全国硕士研究生入学统一考试(数一)试题及答案全

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2024 年全国硕士研究生入学统一考试数学

2024 年全国硕士研究生入学统一考试数学一、选择题（每题3分，共30分）下列计算正确的是（）A. 3a+2b=5abB. a6÷a2=a3C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a3⋅a2=a6下列函数中，随x的增大而减小的是（）A. y=2xB. y=x1（x>0）C. y=−x+1D. y=x2（x>0）下列说法正确的是（）A. 无限小数是无理数B. 负数没有平方根C. 所有的有理数都能用数轴上的点表示D. 绝对值等于本身的数是负数下列调查中，适合采用抽样调查方式的是（）A. 对某市中学生每天学习所用时间的调查B. 对某市食品合格情况的调查C. 对“神舟”飞船零部件的检查D. 对某校七年级（1）班学生视力情况的调查二、填空题（每题3分，共15分）若扇形的圆心角为60∘，半径为3，则该扇形的弧长为_______。

分解因式：x2−9= _______。

已知直线y=2x+b经过点(1,3)，则b= _______。

已知一个正多边形的内角和为1800∘，则这个正多边形的边数是_______。

已知关于x的一元二次方程x2−6x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为_______。

三、解答题（共55分）1.（10分）计算：16−∣−3∣+(3)0−(−21)−2。

2.（10分）解方程组：{3x−2y=8x+4y=−13.（10分）先化简，再求值：(x−1)2−x(x+7)，其中x=21。

4.（10分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,0)，(0,3)，且对称轴为直线x=−1，求这个二次函数的解析式。

5.（15分）某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克。

针对这种水产品销售情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2）商店想在月销售成本不超过15000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？。

2023考研数学一真题试卷+详细答案解析

2023年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及答案考试时间：180分钟，满分：150分一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．（1）曲线1ln()1yx e x =+−的斜渐近线方程为（）（A）y x e =+ （B）1y x e=+（C）y x = （D）1y x e=−【答案】B 【解析】1limlimln()11x x y ke x x →∞→∞==+=−，11lim()lim()lim[ln(]lim [ln(ln ]11x x x x b y kx y x x e x x e e x x →∞→∞→∞→∞=−==−=+−=+−−−111lim ln(1lim (1)(1)x x x x e x e x e→∞→∞=+==−−，所以渐进线方程为1y x e =+，答案为B（2）若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（）（A ）0,0a b <>（B ）0,0a b >>（C ）0,0ab =>（D ）0,0ab =<【答案】C 【解析】0y ay by ′′′++=的解一共三种情形：①240a b Δ=−>，1212x xy C e C e λλ=+，但此时无论12,λλ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；②240a b Δ=−=，12()xy C C x eλ=+，但此时无论λ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；③240a b Δ=−<，12(cos sin )xy e C x C x αββ=+，此时若y 在(,)−∞+∞上有界，则需满足0α=，所以0,0a b =>，答案为（C）（3）设函数()y f x =由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（）（A）()f x 连续，(0)f ′不存在（B）(0)f ′不存在，()f x ′在0x =处不连续（C）()f x ′连续，(0)f ′′不存在（D）(0)f ′′存在，()f x ′′在0x =处不连续【答案】C【解析】当0t =时，有0x y ==①当0t >时，3sin x t y t t=⎧⎨=⎩，可得sin 33x xy =，故()f x 右连续；②当0t <时，sin x ty t t=⎧⎨=−⎩，可得sin y x x =−，故()f x 左连续，所以()f x 连续；因为0sin 033(0)lim 0x x x y x ++→−′==；0sin 0(0)lim 0x x x y x −−→−−′==，所以(0)0f ′=；③当0x >时，1sin sin cos 333393x x x x x y ′⎛⎫′==+ ⎪⎝⎭，所以0lim ()0x y x +→′=，即()f x ′右连续；④当0x <时，()sin sin cos y x x x x x ′′=−=−−，所以0lim ()0x y x −→′=，即()f x ′左连续，所以()f x ′连续；考虑01sin cos 23393(0)lim 9x x x xf x ++→+′′==；0sin cos (0)lim 2x x x x f x −−→−−′′==−，所以(0)f ′′不存在，答案为C（4）已知(1,2,)nn a b n <= ，若级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛，则“1n n a ∞=∑绝对收敛”是“1n n b ∞=∑绝对收敛”的（）（A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为级数1nn a ∞=∑与1nn b ∞=∑均收敛，所以正项级数1()nn n ba ∞=−∑收敛又因为()()n n n n n n n n n nb b a a b a a b a a =−+≤−+=−+所以，若1nn a∞=∑绝对收敛，则1n n b ∞=∑绝对收敛；同理可得：()()n n n n n n n n n na ab b a b b b a b =−+≤−+=−+所以，若1nn b ∞=∑绝对收敛，则1nn a∞=∑绝对收敛；故答案为充要条件，选（A）（5）已知n 阶矩阵A ，B ，C 满足ABC O =，E 为n 阶单位矩阵，记矩阵OA BC E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，ABC O E ⎛⎫⎪⎝⎭，E AB AB O ⎛⎫⎪⎝⎭的秩分别为123,,r r r ，则（）（A ）123r r r ≤≤（B ）132r r r ≤≤（C ）321r r r ≤≤（D ）213r r r ≤≤【答案】B【解析】根据初等变换可得：OA O O O O BC E BC E O E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎯⎯→⎯⎯→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭行列，所以1r n =；AB C AB O O E O E ⎛⎫⎛⎫⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭行，所以2()r n r AB =+；2()E AB E O E O AB O AB ABAB O AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎯⎯→⎯⎯→ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭行列，所以23()r n r AB ⎡⎤=+⎣⎦；又因为20()()r AB r AB ⎡⎤≤≤⎣⎦，所以132r r r ≤≤（6）下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是（）（A ）11022003a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）1112003a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）11020002a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）11022002a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】（A ）特征值互异，则可对角化；（B ）为实对称矩阵，必可对角化；选项（C ），特征值为1，2，2，且特征值2的重数（代数重数）2(2)312n r E A =−−=−=（几何重数），故矩阵可对角化；选项（D ），特征值为1，2，2，且特征值2的重数（代数重数）2(2)321n r E A ≠−−=−=（几何重数），故矩阵不可对角化；（7）已知向量1123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1259β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101β⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，若γ既可由12,αα线性表示，也可由12,ββ线性表示，则γ=（）（A ）33,4k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）11,2k k R −⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】令γ11221122k k l l ααββ=+=+，则有112211220k k l l ααββ+−−=，即12121212(,)0k k l l ααββ⎛⎫ ⎪ ⎪−−= ⎪ ⎪⎝⎭而121212211003(,)2150010131910011ααββ−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−=−→− ⎪ ⎪⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭所以1212(,,,)(3,1,1,1),TT k k l l c c R =−−∈，所以12(1,5,8)(1,5,8),T T c c c k k R γββ=−+=−=∈，答案为D（8）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则()E X EX −=（）（A）1e（B）12（C）2e（D）1【答案】C【解析】因为(1)X P ，所以1EX =，()()1110022112(1)(1)!0!!k k e e e E X EX E X k k E X k k e e−−−∞∞==−=−=−=+−=+−=∑∑，答案为C（9）设12,,,n X X X 为来自总体21(,)N μσ的简单随机样本，12,,,m Y Y Y 为来自总体22(,2)N μσ的简单随机样本，且两样本相互独立，记11n i i X X n ==∑，11m i i Y Y m ==∑，22111()1n i i S X X n ==−−∑， 22211()1mi i S Y Y m ==−−∑，则（）（A）2122(,)S F n m S （B）2122(1,1)S F n m S −−（C）21222(,)S F n m S （D）21222(1,1)S F n m S −− 【答案】D【解析】由正态分布的抽样性质可得，2212(1)(1)n S n χσ−− ，2222(1)(1)2m S m χσ−− 又因为2212,S S 相互独立，所以212222(1)1(1,1)(1)21n S n F n m m S m σσ−−−−−− ，即21222(1,1)S F n m S −− ，答案为D （10）设12,X X 为来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，其中(0)σσ>是未知参数，记12a X X σ=−,若()E σσ=，则a =（）（A）2π（B）2π【答案】A【解析】由已知可得，令212(0,2)Z X X N σ=− ，所以22221212()()()z Z E E a X X aE X X aE Z az f z dz a dzσσ−+∞+∞⋅−∞−∞=−=−===⎰⎰2222440z z a zdz aσσ−−+∞+∞==−=⎰若()E σσ=，则有2a π=，答案为A二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上．（11）当0x →时，函数2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()cos x g x e x =−是等价无穷小，则ab =________【答案】2−【解析】由已知可得：2222200022221(())()ln(1)2lim lim lim 1()cos (1())(1())2x x x x ax bx x x o x f x ax bx x g x e x x o x x o x →→→++−++++==−++−−+220221(1)(()2lim 13()2x a x b x o x x o x →++−+==+所以1310,22a b +=−=，即1,2a b =−=,所以2ab =− （12）曲面222ln(1)z x y x y =++++在点(0,0,0)处的切平面方程为________【答案】20x y z +−=【解析】两边微分可得，222221xdx ydydz dx dy x y +=++++，代入(0,0,0)得2dz dx dy =+，因此法向量为(1,2,1)−，切平面方程为20x y z +−=（13）设()f x 是周期为2的周期函数，且()1,[0,1]f x x x =−∈，若01()cos 2n n a f x a n x π∞==+∑，则21nn a∞==∑_________【答案】0【解析】由已知得01(0)12n n a f a ∞==+=∑，01(1)(1)02n n n a f a ∞==+−=∑ 相加可得021(0)(1)21nn f f a a∞=+=+=∑显然()f x 为偶函数，则(0,1,2,)n a n = 为其余弦级数的系数，故1002()1a f x dx ==⎰，因此210n n a ∞==∑.（14）设连续函数()f x 满足：(2)()f x f x x +−=，2()0f x dx =⎰，则31()f x dx =⎰_______【答案】12【解析】323211121()()()()(2)f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx=+=++⎰⎰⎰⎰⎰[]2121111()()()022f x dx f x x dx f x dx xdx =++=+=+=⎰⎰⎰⎰（15）已知向量11011α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21101α−⎛⎫ ⎪− ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，30111α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪− ⎪⎝⎭，1111β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭，112233k k k γααα=++，若(1,2,3)T T i i i γαβα==，则222123k k k ++=_______【答案】119【解析】由已知可得，123,,ααα两两正交，通过计算可得：11113TT k γαβα=⇒=；2221T T k γαβα=⇒=−；33213T T k γαβα=⇒=−，则222123k k k ++=119（16）设随机变量X 与Y 相互独立，且1(1,3X B ，1(2,2Y B ，则{}P X Y ==________ 【答案】13【解析】212211111{}{0}{1}(323223P X Y P X Y P X Y C ====+===⋅+⋅⋅=三、解答题：17～22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设曲线:()(0)L y y x x =>经过点(1,2)，该曲线上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距（1）求()y x ；（2）求函数1()()xf x y t dt =⎰在(0,)+∞上的最大值【答案】（1）()(2ln )y x x x =− （2）454e −【解析】（1）曲线L 上任一点(,)P x y 处的切线方程为()Y y y X x ′−=−，令0X =，则y 轴上的截距为Y y xy ′=−，由题意可得x y xy ′=−，即11y y x′−=−，解得(ln )y x C x =−，其中C 为任意常数，代入(1,2)可得2C =，从而()(2ln )y x x x =−（2）()(2ln )f x x x ′=−，显然在2(0,)e 上()0f x ′>，()f x 单调递增；在2(,)e +∞上()0f x ′<，()f x 单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上的最大值为22422211515()(2ln )ln 424e e ef e t t dt t t t −⎛⎫=−=−=⎪⎝⎭⎰（18）（本题满分12分）求函数23(,)()()f x y y x y x =−−的极值【答案】极小值为2104(,)327729f =−【解析】先求驻点42235(32)020xy f x x x y f y x x ⎧′=−+=⎪⎨′=−−=⎪⎩，解得驻点为(0,0)，(1,1)，210(,327下求二阶偏导数，3220(62)322xx xy yyf x x yf x xf ⎧′′=−+⎪⎪′′=−−⎨⎪′′=⎪⎩①对于点(0,0)，(0,0)0f =，5(,0)f x x =，由定义可得(0,0)不是极值点；②代入点(1,1)，解得1252xxxy yy A f B f C f ⎧′′==⎪⎪′′==−⎨⎪′′==⎪⎩，210AC B −=−<，所以(1,1)不是极值点；③代入点210(,)327，解得10027832xx xy yyA fB fC f ⎧′′==⎪⎪⎪′′==−⎨⎪⎪′′==⎪⎩，2809AC B −=>且0A >，所以210(,)327是极小值点，极小值为2104(,)327729f =−（19）（本题满分12分）设空间有界区域Ω由柱面221x y +=与平面0z =和1x z +=围成，Σ为Ω的边界曲面的外侧，计算曲面积分2cos 3sin I xzdydz xz ydzdx yz xdxdy Σ=++⎰⎰【答案】54π【解析】由高斯公式可得，2cos 3sin (2sin 3sin )I xzdydz xz ydzdx yz xdxdy z xz y y x dvΣΩ=++=−+⎰⎰⎰⎰⎰ 因为Ω关于平面xoz 对称，所以(sin 3sin )0xz y y x dv Ω−+=⎰⎰⎰所以1222022(1)(:1)xyxyxxy D D I zdv dxdy zdz x dxdyD x y −Ω===−+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22221(21)()2xyxyxyD D D x x dxdy x dxdy x y dxdy ππ=−+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2130015244d r dr πππθππ=+=+=⎰⎰（20）（本题满分12分）设函数()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，证明：（1）若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈−，使得21()[()()]f f a f a aξ′′=+−（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，则存在(,)a a η∈−，使得21()()()2f f a f a aη′′≥−−【答案】（1）利用泰勒公式在0x =处展开，再利用介值性定理；（2）利用泰勒公式在极值点处展开，再利用基本不等式进行放缩；【解析】（1）在0x =处泰勒展开，22()()()(0)(0)(0)2!2!f c f c f x f f x x f x x ′′′′′′=++=+，其中c 介于0与x 之间；代入两个端点有：211()()(0),(0,)2!f f a f a a a ξξ′′′=+∈222()()(0)(),(,0)2!f f a f a a a ξξ′′′−=−+∈− 两式相加可得：212()()()()2f f f a f a a ξξ′′′′++−=即122()()1[()()]2f f f a f a a ξξ′′′′++−= 因为()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，所以()f x ′′存在最大值M 与最小值m ，根据连续函数的介值性定理可得，12()()2f f m M ξξ′′′′+≤≤，所以存在(,)a a ξ∈−，使得12()()()2f f f ξξξ′′′′+′′=，即21()[()()]f f a f a a ξ′′=+−成立；（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，不妨设0x 为其极值点，则由费马引理可得，0()0f x ′=将()f x 在0x 处泰勒展开，22000000()()()()()()()()()2!2!f d f d f x f x f x x x x x f x x x ′′′′′=+−+−=+−其中d 介于0x 与x 之间；代入两个端点有：210010()()()(),(,)2!f f a f x a x x a ηη′′=+−∈ 220020()()()(),(,)2!f f a f x a x a x ηη′′−=+−−∈−两式相减可得：221200()()()()()()22f f f a f a a x a x ηη′′′′−−=−−−−所以22120022()()11()()()()2222f f f a f a a x a x a a ηη′′′′−−=−−−− 22102021[()()()()]4f a x f a x aηη′′′′≤−++，记112()max[(),()]f f f ηηη′′′′′′=，又因为22220000()()[()()]4a x a x a x a x a −++≤−++=，所以21()()()2f a f a f a η′′−−≤成立（21）（本题满分12分）已知二次型2221231231213(,,)2222f x x x x x x x x x x =+++−，22212312323(,,)2g y y y y y y y y =+++（1）求可逆变换x Py =，将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y ；（2）是否存在正交变换x Qy =将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y ?【答案】（1）111010001P −⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（2）不存在（二者矩阵的迹不相同）【解析】（1）利用配方法将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y ，先用配方法将123(,,)f x x x 化成标准形：22222212312312131232323(,,)2222()2f x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++−=+−+++2212323()()x x x x x =+−++再用配方法将123(,,)g y y y 化成标准形：2222212312323123(,,)2()g y y y y y y y y y y y =+++=++令11232233y x x x y x y x =+−⎧⎪=⎨⎪=⎩，即11232233x y y y x y x y=−+⎧⎪=⎨⎪=⎩，则在可逆变换112233*********x y x y x y −⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下，其中111010001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，二次型123(,,)f x x x 即可化成123(,,)g y y y （2）因为二次型123(,,)f x x x 与123(,,)g y y y 的矩阵分别为111120102A −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭，100011011B ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭显然()5tr A =，()3tr B =，所以矩阵A ，B 不相似，故不存在正交矩阵Q ，使得1T Q AQ Q AQ B −==，所以也不存在正交变换x Qy =，将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y .11 /11 （22）（本题满分12分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为22222(),1(,)0,x y x y f x y else π⎧++≤⎪=⎨⎪⎩，求（1）求X 与Y 的斜方差；（2）X 与Y 是否相互独立？（3）求22Z X Y =+概率密度【答案】（1）0 （2）不独立（3）2,01()0,z z f z else <<⎧=⎨⎩【解析】（1）由对称性可得：222212()0x y EX x x y dxdy π+≤=+=⎰⎰，同理0EY =，0EXY =所以(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =−=；（2）22)11()(,)0,X x y dy x f x f x y dy else +∞−∞⎧+−≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰24(121130,x x elseπ⎧+−≤≤⎪=⎨⎪⎩同理可得，24(1211()30,Y y y f y else π⎧+−≤≤⎪=⎨⎪⎩所以(,)()()X Y f x y f x f y ≠，X 与Y 不独立（3）先求分布函数22(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤ 当0z <时，()0Z F z =；当01z ≤<时，2222222320022(){}()Z x y z F z P X Y z x y dxdy d dr z πθππ+≤=+≤=+==⎰⎰⎰；当1z ≤时，()1Z F z =；所以22Z X Y =+概率密度为2,01()()0,Z Z z z f z F z else <<⎧′==⎨⎩。

2020年考研数学一真题及答案(全)

全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纨指定位置上.1- cos Jx _______ _ r > 0(1)若函数/(# = { ax在x连续，则b,x<Q(A) ab = g.(B) ab = —^.(C) ab = 0.(D) ab = 2.【答案】A【详解】由lim --=，_ = b,得出? = L.ax 2a 2(2)设函数可导，且—。

)>0则(A) /(1)>/(-1). (B) /⑴ </(T).© |/W|>|/(-l)|- ⑼ ]〃刈<|〃-1)卜【答案】C【详解】/(刈=[弓2r〉o,从而广(冷单调递增，尸⑴>(3)函数/。

,乂2)=犬〉+ ^在点(1,2,0)处沿着向量〃 =(1,2,2)的方向导数为(A) 12. (B) 6. (C) 4. (D)2 .【答案】D19【详解】方向余弦cosa = -,cos^ = cosy = §，偏导数f； = 2xy,f； = x\f! = 2z，代入 cos af； + cos /f： + cos yf；即可.(4)甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线y =H«)(单位：m/s),虚线表示乙的速度曲线〃=匕(。

(单位：in/s),三块阴影部分面积的数值一次为10, 20, 3,计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s),则(A) r 0 =10. (B) 15<t 0 <20 . (C) 0 = 25. (D) t 0>25.【答案】C【详解】在。

=25时，乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. (5)设a 为〃维单位列向量，七为〃阶单位矩阵，则(A)七一勿肝不可逆. (B) E+aaT 不可逆. (C) E+2a«i 不可逆. (D)不可逆.【答案】A【详解】可设Q = (l,o,…,0)、则或/的特征值为L0,…,0,从而E —皿丁的特征值为 0』,…因此E —不可逆.101 fl 、2 0 , C= 2 0 J 1 2)(A)A 与C 相似，8与。

2020年考研数学一真题及答案(全)

)>0则(A) /(1)>/(-1). (B) /⑴ </(T).© |/W|>|/(-l)|- ⑼ ]〃刈<|〃-1)卜【答案】C【详解】/(刈=[弓2r〉o,从而广(冷单调递增，尸⑴>(3)函数/。

数学1考研试题及答案

数学1考研试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则c 的取值范围是（）。

A. c≥0B. c≥4C. c≤0D. c≤4答案：B2. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。

A. 3x^2-3B. x^2-3xC. 3x^2-9xD. x^3-3答案：A3. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的值。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B4. 若矩阵A = [1 2; 3 4]，则|A|的值为（）。

A. 2B. -2C. 6D. -6答案：C5. 设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=7，S_6=28，则S_9的值为（）。

A. 63B. 56C. 49D. 84答案：A二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知函数f(x)=2x+3，求f(-1)的值。

答案：17. 设等差数列{a_n}的公差为d=3，若a_3=12，则a_1的值为。

答案：38. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x的值。

答案：19. 设矩阵B = [1 0; 0 2]，则B^2的值为。

答案：[1 0; 0 4]10. 已知函数g(x)=x^3-6x^2+11x-6，求g'(x)的值。

答案：3x^2-12x+11三、解答题（每题10分，共60分）11. 证明：若x>0，则x^2>2x。

证明：因为x>0，所以x-1>-1，所以(x-1)^2>0，即x^2-2x+1>0，所以x^2>2x。

12. 求函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数。

解：f'(x)=3x^2-3，所以f'(1)=3×1^2-3=0。

13. 计算定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx。

解：∫(0,2) (x^2-4x+4) dx = [1/3x^3-2x^2+4x](0,2) = (1/3×2^3-2×2^2+4×2) - (0) = 8/3。

数1--20真题答案

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）当0x +→，下列无穷小量中最高阶的是（A ）2(1)xt e dt −⎰ （B ）0ln(1xdt +⎰（C ）sin 20sin xt dt ⎰．（D ）1cos 0−⎰【答案】（D ）．【详解】()2220(1)1xt x e dte x '−=−⎰；()320ln(1ln(1xdt x '=⎰；()()sin 2220sin sin sin cos xt dt x x x '=⎰； ()21cos342()24x dt xx x −'=⎰．故选（D ）．（2）设函数()f x 在区间(1,1)−有定义，且0lim ()0x f x →=，则（）（A ）当0x →=时，()f x 在0x =处可导（B ）当20()lim0x f x x→=时，()f x 在0x =处可导（C ）()f x 在0x =处可导时，0x →=（D ）()f x 在0x =处可导时，20()lim0x f x x→= 【答案】（C ）．【详解】()f x 在0x =处可导，所以在0x =处连续，则0lim ()(0)0x f x f →==，'(0)00x x f →→==⋅=，故选（C ）．（3）(,)f x y 在()00，可微，(0,0)0f =，()(0,0),,1x y f f ''=−n ，非零向量⊥αn ，则（）（A ）(,)limx y → （B ）(,)limx y →（C）(,)limx y →存在（D）(,)limx y →存在【答案】（A ）．【详解】(,)f x y 在()00，可微，则(,)(,)(0,0)(0,0)(0,0)lim0x y f x y f f x f y→''−−−=，即(,)(,)(,)limlimlimx y x y x y →→→===（4）R 为幂级数1nn n a x∞=∑的收敛半径，r 为实数，则（）（A ）221nnn ar∞=∑发散，则r R ≥ （B ）221n nn ar ∞=∑收敛，则r R ≤（C ）r R ≥，221nn n a r∞=∑发散（D ）r R ≤，则221nn n a r ∞=∑收敛【答案】（A ）．【详解】R 为1nn n a x∞=∑的收敛半径，设r R <，则1nn n a r∞=∑绝对收敛，而212221221111+nn nn nn n n n n n n a ra ra ra r ∞∞∞∞−−=====≥∑∑∑∑由比较判别法知221nnn ar ∞=∑绝对收敛，221n n n a r ∞=∑收敛。

2020年考研数学一真题及答案(全)

2020年考研数学一真题及答案(全)全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1.若函数 $f(x)=\begin{cases}1-\cos x。

& x>0 \\ a x + b。

& x\leq 0\end{cases}$ 在 $x$ 连续，则 $ab=$答案：A详解：由 $\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)$ 得 $ab=1$。

2.设函数 $f(x)$ 可导，且 $f(x)f'(x)>0$，则A) $f(1)>f(-1)$；(B) $f(1)f(-1)$；(D) $f(1)<f(-1)$。

答案：C详解：$f(x)f'(x)>0$ 表示 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 和$(0,+\infty)$ 上单调，且 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，在$(0,+\infty)$ 上单调递增，所以 $f(1)>f(-1)$。

3.函数 $f(x,y,z)=xy+z$ 在点 $(1,2,0)$ 处沿着向量$n=(1,2,2)$ 的方向导数为A) $12$；(B) $6$；(C) $4$；(D) $2$。

答案：D详解：方向余弦$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+2^2+2^2}}=\frac{1}{3}$，$\cos\beta=\frac{2}{3}$，$\cos\gamma=\frac{2}{3}$，偏导数$f_x'=2xy$，$f_y'=x^2$，$f_z'=2z$，代入 $\cos\alphaf_x'+\cos\beta f_y'+\cos\gamma f_z'$ 即可。

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版附答案解析

sin
t2dt) '
=
sin
x2
cos
x
~
x2
；
0
1-cos x
D 选项 (
sin3 tdt) ' = sin x
sin3(1− cos x) ~
1 x4 .
0
2
2.设函数 f ( x) 在区间（-1,1）内有定义，且 lim f (x) = 0 ，则（） x→0 A 当 lim f (x) = 0 ， f ( x) 在 x = 0 处可导。 x→0 x B 当 lim f (x) = 0 ， f ( x) 在 x = 0 处可导。 x→0 x C 当 f ( x) 在 x = 0 处可导时， lim f (x) = 0 。 x→0 x
a1 a2 a2 − a3 点组成的向量与两直线的方向向量共面，故 b1 b2 b2 − b3 = 0 ，故选 C .
c1 c2 c2 − c3
7. 设 A, B,C 为三个随机事件，且 P(A) = P(B) = P(C) = 1 , P(AB) = 0
4
P(AC) = P(BC) = 1 ，则 A, B,C 中恰有一个事件发生的概率为
A 存在矩阵 P ，使得 PA = B B 存在矩阵 P ，使得 BP = A
C 存在矩阵 P ，使得 PB = A
D 方程组 Ax = 0 与 Bx = 0 同解
答案：B
解析：矩阵 A 经初等列变换化成 B ，根据左行右列，应该选 B .
6.
已
知
直
线
L1：x
− a2 a1
=
y − b2 b1
=
z − c2 c1
12 A. 3

数1--19真题答案

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当0x →时，若tan x x −与kx 是同阶无穷小，则k = A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 【答案】C【解析】3tan ~3x x x −−，所以选C.2、设函数,0,()ln ,0,x x x f x x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩则0x =是()f x 的A. 可导点，极值点.B. 不可导点，极值点.C. 可导点，非极值点.D. 不可导点，非极值点. 【答案】B【解析】0(0)lim ln lim 0x x f x x x x +−→→===，所以连续. 又00ln 0(0)lim lim ln 0x x x x f x x +++→→−'===−∞−,所以不可导. 2,0,()ln 1,0,x x f x x x −<⎧'=⎨+>⎩()f x '在0的去心左右领域内异号,所以是极值点.选B. 3、设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A. 1.n n un∞=∑ B.11(1).nn nu ∞=−∑ C. 11(1).n n n uu ∞=+−∑ D.2211().n n n uu ∞+=−∑【答案】D 【解析】取1ln n u n=−，则A 不对；取1n u n =−，则B 、C 不对；而D 选项:2222222212132111()()()lim n n n n n uu u u u u u u ∞++→∞=−=−+−+=−∑,n u 存在极限. 选D.4、设函数2(,).xQ x y y=如果对上半平面(0)y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有(,)d (,)d 0CP x y x Q x y y +=⎰，那么函数(,)P x y 可取为A. 23.x y y− B. 231.x y y −C.11.x y − D. 1.x y− 【答案】D【解析】曲线积分与路径无关，则连续的偏导数21y xP Q y''==，所以C 不选(0x =不连续)，选D.5、设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵. 若22+=A A E ，且4=A ，则二次型T x Ax 规范形为A. 222123.y y y ++B. 222123.y y y +− C. 222123.y y y −− D. 222123.y y y −−− 【答案】C【解答】由22+=A A E ，可知矩阵的特征值满足方程220λλ+−=，解得，1λ=或2λ=−. 再由4=A ，可知1231,2λλλ===−，所以规范形为222123.y y y −−故答案选C.6、如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则 A. ()2,() 3.r r ==A A B. ()2,() 2.r r ==A A C. ()1,() 2.r r ==A A D. ()1,() 1.r r ==A A 【答案】A.【解答】因为3张平面无公共交线，则说明方程组=Ax b 无解，即()()r r <A A .又因为3张平面两两相交，且交线相互平行，则齐次方程组=Ax 0只有一个线性无关解，所以()2r =A . 故答案选A.7、设,A B 为随机事件，则()()P A P B =充分必要条件是A. ()()().P AB P A P B =+ B. ()()().P AB P A P B =C. ()().P AB P BA =D. ()().P AB P AB = 【答案】C【解析】()()()()()()()()P AB P BA P A P AB P B P AB P A P B =⇔−=−⇔=；选C.8、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(,)N μσ，则{1}P X Y −<A. 与μ无关，而与2σ有关.B. 与μ有关，而与2σ无关. C. 与μ，2σ都有关. D. 与μ，2σ都无关. 【答案】A【解析】2~(0,2X Y N −σ，所以{1}21P X Y −<=Φ=Φ=Φ−；选A二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分． 9、设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =−+，则11cos cos z z x x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ . 【答案】.cos cos y x x y+ 【解答】因为(sin sin )(cos )z f y x x y x ∂'=−−+∂，(sin sin )cos zf y x y x y∂'=−+∂，所以11cos cos z zx x y y ∂∂⋅+⋅=∂∂.cos cos y x x y+ 10、微分方程2220yy y '−−=满足条件(0)1y =的特解y = .【答案】y =【解答】因为2220yy y '−−=，可得22d d 2y y x y =+，两边积分可得2ln(2).y x C +=+代入(0)1y =，得ln 3C =，故y =11、幂级数0(1)(2)!n nn x n ∞=−∑在(0,)+∞内的和函数()S x = .【答案】12、设∑为曲面22244(0)x y z z ++=的上侧，则d x y ∑= .【答案】32.3【解答】d x y ∑=224,0d d 2d d x y y y x y y x y ∑+=⎰⎰⎰⎰2π20322d sin d 3r r r θθ==⎰⎰. 13、设123(,,)=A ααα为3阶矩阵. 若12,αα线性无关，且3122=−+ααα，则线性方程组=Ax 0的通解为 .【答案】121k ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭x （k 为任意常数）.【解答】由条件3122=−+ααα可知123,,ααα线性相关，又12,αα线性无关，所以()2r =A . 由此可知方程组=Ax 0的基础解系只包含一个线性无关解向量. 再由3122=−+ααα可得1231(,,)201⎛⎫ ⎪−= ⎪ ⎪⎝⎭ααα，所以可取121⎛⎫ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭为一个非零解，故通解为121k ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭x （k 为任意常数）.14、设随机变量X 的概率密度为,02,()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,()F x 为X 的分布函数，EX 为X 的数学期望，则{()1}P F X EX >−= . 【答案】2.3【解答】由条件可得224()d d 23x EX xf x x x +∞−∞===⎰⎰，且可求得分布函数20,0,(),02,41, 2.x xF x x x <⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩故可得12{()1}{()}.33P F X EX P F X >−=>=三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本题满分10分）设函数()y x 是微分方程22e x y xy −'+=满足条件(0)0y =的特解.（1）求()y x ；（2）求曲线()y y x =凹凸区间及拐点.【解】（1）可知方程为一阶线性方程，由通解公式可得通解为212()e[]x y x x C −=+，再由(0)0y =，解得0C =，故特解为212()e.x y x x −=（2）因为222e (1)x y x −'=−，232e(3)x y x x −''=−，由0y ''=得0,x x x === 凹区间为((3,)+∞，凸区间为(,(0,3)−∞，拐点为3322(0,0),().−−16、（本题满分10分）设,a b 为实数，函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中，沿方向34=−−l i j 的方向导数最大，最大值为10. （1）求,a b ；（2）求曲面222(0)z ax by z =++的面积.解:（1）2,2x y z ax z by ''==;方向导数沿梯度的方向时最大,此时为梯度的模;而梯度(3,4)(3,4)(,)(6,8)x y grad z z z a b ''==，所以68034a b=>−−,且223664100a b +=,解得1a b ==−. (2)222z x y =−−,所以所求面积2222221d d d x yx y x y S z z x y x y ++''=++=⎰⎰⎰⎰π2013π4d d 3r r θ==⎰. 17、求曲线()esin 0xy x x −=与x 轴之间图形的面积解:设在区间[π,(1)π]n n +(0,1,2,)n =上所围的面积记为n u ,则(1)π(1)πππe |sin |d (1)e sin d n n x n x n n n u x x x x ++−−==−⎰⎰;记e sin d x I x x −=⎰,则e d cos (e cos cos de )x x x I x x x −−−=−=−−⎰⎰e cos e dsin e cos (e sin sin de )x x x x x x x x x x −−−−−=−−=−−−⎰⎰e (cos sin )x x x I −=−+−,所以1e (cos sin )2xI x x C −=−++; 因此(1)π(1)πππ11(1)()e (cos sin )(e e )22n nx n n n n u x x +−−+−=−−+=+; (这里需要注意cos π(1)nn =−)因此所求面积为ππππ0111e 11e 221e 2e 1n n n n u −∞∞−−===+=+=+−−∑∑. 18、()10,1,2n a x n ==⋅⋅⋅⎰设（1）证明数列{}n a 单调递减；且()212,32n nn a a n n −−==⋅⋅⋅+ （2）求1lim−∞→n nn a a（1）证明: 110(0n n n a a x x +−=−<⎰,所以{}n a 单调递减.13331112122122200011(1)[(1)(1)]33n n n n a x d x x x x dx −−−=−−=−−−−⎰⎰1220110021(131()31(),3n n n n n x x x n x x x x n a a −−−−=−−=−−=−⎰⎰⎰从而有()212,32n n n a a n n −−==⋅⋅⋅+; (2)因为211n n n n n n a a a a a a −−<<=,而21lim lim 12n n n n a n a n →∞→∞−−==+,由夹逼准则知1lim1nn n a a →∞−=.19、设Ω是由锥面()()()222101x y z z z +−=−≤≤与平面0z =围成的锥体，求Ω的形心坐标.解: 设形心坐标为(,,)x y z ，由对称性知，0x =，且有22211200()(1)πd d d d d d π(1)d 3x y z z x y z zx y z z Ω+−−==−=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 2221120()(1)πd d d d d d π(1)d 12x y z z z x y z z zx y z z z Ω+−−==−=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，令,1,1,x u y v w z w =⎧⎪=−+⎨⎪=−⎩则(,,)1(,,)x y z u v w ∂=−∂，所以，22222222211200(,,)d d d (1)d d d (1)d d d (,,)π(1)d d d π(1)d .12u v w u v w u v w x y z y x y z v w u v w v w u v wu v w w wu v w w w Ω+++∂=−+=−+∂=−=−=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰故d d d 14d d d y x y z y x y z ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，d d d 14d d d z x y zz x y zΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 因此形心坐标为11(0,,).4420、设向量组123(1,2,1),(1,3,2),(1,,3)T T T a ===ααα为3R 的一个基，(1,1,1)T=β在这个基下的坐标(,,1)Tb c .(1)求a, b,c;（2）证明23,,ααβ到123,,,ααα的过渡矩阵.(1)解:易知向量组123,,ααα线性无关,则其行列式不为零,即4a ≠.由123b c β++=ααα可得11,2+31,231,b c b c a b c ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩从而3,2,2a b c ===−.(2)因为23111|,,|33120231==≠ααβ,因为也是3R 的一个基;设过渡矩阵为P ,则有23123(,,)(,,,)P =ααβααα,从而1231231101(,,)(,,,)0121002P −⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ααβααα21.已知矩阵22122002A x −−⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭相似.（1）求x ,y ;（2）求可逆矩阵P 使得1P AP B −=.解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有2221,,x y −+−=−+⎧⎪⎨=⎪⎩A B又2(42)x =−−A ,2y =−B ,所以3,2x y ==−. (2)易知B 的特征值为2,1,2−−;因此2102001000r⎛⎫⎪−⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A E ,取T 1(1,2,0)ξ=−,120001000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T 2(2,1,0)ξ=−,4012021000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→− ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T 3(1,2,4)ξ=−令1123(,,)P ξξξ=,则有111200010002PAP −⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭; 同理可得,对于矩阵B ,有矩阵2110030001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,122200010002P BP −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,所以111122P AP P BP −−=,即112112B PP APP −−=,所以 112111212004P PP −−−−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.22、设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为(1)P Y p =−=,(1)1P Y p ==−,(01p <<)，令Z XY =.（1）求Z 的概率密度;（2） p 为何值时，X 与Z 不相关; （3） X 与Z 是否相互独立?【解】（1）Z 的分布函数为()()(1,)(1,)Z F z P XY z P Y X z P Y X z ===−−+=，因为X 与Y 相互独立，且X 的分布函数为1e ,0,()0,0.x X x F x x −⎧−>=⎨⎩因此，e ,0,()[1()](1)()1(1)e ,0.z Z X X zp z F z p F z p F z p z −⎧<=−−+−=⎨−−⎩ 所以，Z 的概率密度为e ,0,()()(1)e ,0.z Z Z zp z f z F z p z −⎧<'==⎨−⎩（2）当22(,)()0Cov X Z EXZ EX EZ EX EY EX EY DX EY =−⋅=⋅−⋅=⋅=时，X 与Z不相关. 因为1DX =，12EY p =−，故1.2p = （3）不独立. 因为(01,1)(01,1)(01)P X Z P X XY P X ==，而1(1)(1)(1)(1e )1Z P Z F p −==−−≠，故(01,1)(01)(1)P X Z P X P Z ≠⋅，所以X 与Z 不独立. 23、（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()22e ,,(;)0,,x A xf x x μσμσσμ−−⎧⎪=⎨⎪<⎩μ是已知参数，0σ>是未知参数，A 是常数. 12,,,n X X X 是来自总体X 简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最大似然估计量. 【解答】（1）由密度函数的规范性可知()d 1f x x +∞−∞=⎰，即222222()2220ed ed d 12x t t AAx t t μσσσμσσ−−−−+∞+∞+∞−∞====⎰⎰⎰，得A =（2）设似然函数22()22211()(;)i x nni i i L f x μσσσ−−====∏，取对数22221()1ln ()ln ]22ni n x L μσσσ=−=−−∑；求导数2221224241()()d ln ()1[]d 2222nin i i i x x L nμμσσσσσσ==−−=−+=−+∑∑，令导数为零解得2211()n i i x n σμ==−∑，故2σ的最大似然估计量为2211()n i i X n σμ==−∑.。

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

A 、B 、C 、D 、A 、B 、C 、D 、A 、B 、C 、D 、A 、B 、C 、D 、2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析第1题单项选择题（每题4分，共8题，共32分）下列每小题的四个选项中，只有一项是最符合题意的正确答案，多选、错选或不选均不得分。

1、当x→0+时，下列无穷小量中是最高阶的是( )．2、设函数f(x)在区间(-1，1)内有定义，且，则( )3、设函数f(x ，y)在点(0，0)处可微f(0，0)=0，且非零向量d 与n 垂直，则( )．4、设R 为幂级数的收敛半径，r 是实数，则( )．5、若矩阵A 经初等列变换化成B ，则( )．A 、存在矩阵P ，使得PA=BB 、存在矩阵P ，使得BP=AC 、存在矩阵P ，使得PB=AD 、方程组Ax=0与Bx=0同解A 、可由，线性表示B 、可由，线性表示C 、可由，线性表示D 、，，线性无关A 、B 、C 、D 、A 、1-(1)B 、(1)C 、 1-(0．2)D 、 (0．2)6、已知直线相交于一点，法向量，则( )．7、设A ，B ，C 为三个随机事件，P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)=O,P(AC)=P(BC)=1，则A ，B ，C 中恰有一个事件发生的概率为( )．8、设X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的简单随机样本，其中P{X=0}=P{X=1}=，(x)表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得的近似值为( )．第2题填空题（每题4分，共6题，共24分）将正确答案写在题中横线上（或者“括号里”）的空白处。

9、10、11、若函数f(x)满足f”(x)+af’(x)+f(x)=0(a>0)，且f(0)=m，f'(0)=n，则12、13、14、设X服从区间(-)上的均匀分布，Y=sinX，则Cov(X，Y)=——．第3题解答题（每题10.44分，共9题，共93.96分）根据所给材料回答问题。

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学试题【含答案】

x
ln 1
t3 dt
0
sin x
（C） sin t2 dt 0
1cos x
（D） 0
sin3 t dt
【答案】（D）
x t2
'
x2
2
【详解】(A) ( (e 1)dt) e 1 x (x 0 ) 0
x
3
(B) ( ln(1 t3 dt)' ln(1 x3 ) x 2( x 0 ) 0
BQ1 A ，令 P Q1 ，则 BP A ，故选 B.
（6）直线 : x a2 y b2 z c2 与直线 l : x a 3 y b3 z c3 相交于一点，记
l
2
1
a1
b1
c1
a2
b2
c2
向量
bai， i 1,2,3 ，则（）
i
i
c
i
（A）1 可由2 、3 线性表示
（ 7 ）设 A ， B ， C 为三个随机事件，且 P( A) P(B) P(C) 1 ， P( AB) 0 ，
4
P( AC) P(BC) 1 ，则 A ， B ， C 恰有一个事件发生的概率是（）． 12
（A） 3
（B） 2
（C） 1
（D） 5
4
3
2
12
【答案】（D）
【详解】
P( ABC) P( ABC) P( ABC)
非零向量与 n 垂
直，则（）
n(x, y, f (x, y))
（A） lim
( x, y )(0,0)
x2 y2
存在
n (x, y, f (x, y))
（B） lim
存在

数1--18真题答案

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．（1）【答案】D.【解答】选项A 和C ，函数sin sin x x x x =，cos cos x x =，可导；B 选项，00()(0)(0)lim 0x x f x f f x →→−'==−0x →=320lim 0x x x →==，可导；对于D选项，由定义得0112(0)lim lim 2x x xf x +++→→−'===−；112(0)lim lim 2x x xf x −−−→→−'===. 因为(0)(0)f f +−''≠，所以不可导. 故选D. （2）【答案】B.【解答】设切点的坐标为220000(,,)x y x y +. 由题设可知切平面的法向量为00{2,2,1}x y =−n ，则切平面的方程为220000002()2()[()]0x x x y y y z x y −+−−−+=，即 22000022()0x x y y z x y +−−+=.将点(1,0,0)与(0,1,0)代入上式22000220002()0,2()0,x x y y x y ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩解得000x y ==或001x y ==，将00,x y 代入方程，得0z =或222x y z +−=. 故选B. （3）【答案】B.【解答】因为，00023212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!nn n n n n n n n n n ∞∞∞===++−=−+−+++∑∑∑00(1)(1)2(2)!(21)!n nn n n n ∞∞==−−=++∑∑，而，21200(1)(1)sin ,cos (),(21)!(2)!n n n nn n x x x x x n n +∞∞==−−==−∞<<+∞+∑∑ 所以，23(1)cos12sin1(21)!nn n n ∞=+−=++∑，故选B.（4）【答案】C. 【解答】因为，πππ2222πππ22222122d (1)d 1d 11x x x M x x x x x −−−++==+=++⎰⎰⎰，11cos x + 所以，K M >. 设()e 1xf x x =−−，则()e 1xf x '=−，所以当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x 时，()0f x '，()f x 单调递增，故(0)0f =是其最小值，即11exx +. 所以M N >，即N M K <<，故选C. （5）【答案】A.【解答】记矩阵110011,001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M 则3110011(1)0001λλλλλ−−−=−−=−=−E M ，所以特征值为1231λλλ===，且()()2r r λ−=−=E M E M ；对于A 选项：记矩阵为A ，解得特征值均为1，且()()2r r λ−=−=E A E A ；同理对于B 、C 、D 选项：分别记矩阵为,,B C D ，计算可得其特征值均为1，而()()()1r r r −=−=−=E B E C E D .若矩阵,T N 相似，则对应的矩阵λ−E T 和λ−E N 也相似，故秩相等. 由此可以排除选项B ，C ，D ，故选A. （6）【答案】A.【解答】选项A ，易知()()r r A AB A .由分块矩阵的乘法，可知()()=A AB A E B ，因此()min{(),()}r r r A AB A E B ，从而 ()()r r A AB A ，所以 ()()r r =A AB A ，则选项A 正确. B 选项，令1001,0010⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，则()1,()2r r ==A A BA ； C 选项，令1000,0001⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，则()()1,()2r r r ===A B A B ；D 选项，令1001,0000⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，则T T()1,()2r r ==A B A B ；故选A. （7）【答案】A.【解答】因为(1)(1)f x f x +=−，所以()f x 的图像关于1x =对称，因此{0}{2}P X P X =.因为2()d 0.6f x x =⎰，所以{0}{2}2{0}10.60.4P X P X P X +==−=，从而{0}0.2P X =，故选A. （8）【答案】D.【解答】如右图所示，/2Z α表示标准正态分布的上2α分位数，即图中阴影部分的面积为2α.区间/2/2(,)Z Z αα−是在显著性水平α下的接受域.若显著性水平0.05α=时接受0H ，即表示检验统计量0/X Z nμσ−=的观察值落在接受域0.0250.025(,)Z Z −内. 区间0.0050.005(,)Z Z −包含0.0250.025(,)Z Z −，因此其观察值也落在区间0.0050.005(,)Z Z −内，即落在接受域内，所以选项D 正确，B 错误；0.05α=时拒绝0H ，即Z 的观察值落在拒绝域0.0250.025(,][,)Z Z −∞−+∞内；但区间0.0050.005(,][,)Z Z −∞−+∞包含于0.0250.025(,][,)Z Z −∞−+∞，因此无法判断观察值是否落在区间0.0050.005(,][,)Z Z −∞−+∞内，选项A ，C 无法确定；故选D.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．（9）【答案】2−.【解答】2tan 11tan sin (1tan )sin 2tan 001tan 2tan lim()lim{[1()}1tan 1tan xx kx x kx x x x x x x x−++−→→−−=+++022lim 1=e e x x kx k →−−⋅=，所以21k−=，解得2k =−. （10）【答案】2ln 22−.【解答】由题意可知，(0)0,(1)2,(1)2ln 2f f f '===，因此111100()d d ()()()d xf x x x f x xf x f x x '''''==−⎰⎰⎰10[()()]2ln 22xf x f x '=−=−.（11）【答案】(1,0,1)−.【解答】旋度(,,)(,,)x y z y z x x y z x y z PQ R xy yz xz∂∂∂∂∂∂===−−∂∂∂∂∂∂−rot ij k i jk F ，所以(1,1,0)(1,1,0)(,,)(1,0,1)y z x =−−=−rot F .（12）【答案】3π−. 【解答】由曲线2221:0x y z l x y z ⎧++=⎨++=⎩的表达式可知，,,x y z 有轮换对称性，所以1d ()d 3llxy s xy yz zx s =++⎰⎰.又222211[()()]22xy yz zx x y z x y z ++=++−++=−，交线l 是半径为1的圆弧，所以111d ()d 23263ll xy s s π=−=−⋅π=−⎰⎰. （13）【答案】1−.【解答】由21212()()+=+A αααα可知212()()−+=0A E αα.12,αα线性无关，因此方程2()−=0A E x 有非零解，从而20−=A E ，所以特征值λ满足方程210λ−=，即1λ=或1λ=−.又A 有两个不同的特征值，所以1(1)1=⋅−=−A . （14）【答案】14. 【解答】由条件可知，()()(),()()(),()0P AB P A P B P AC P A P C P BC ===. 由条件概率的定义可得，(()())()(())()()()()P AC AB C P ACAB ACC P AC AB C P AB C P AB P C P ABC ==+− 1()()1211()()()4()22P C P AC P A P B P C P C ===+⋅+，解得1()4P C =. 三、解答题：15～23小题，共94分．（15）【解】利用分部积分，2e arctan x x ⎰21arctan 2x =⎰2211e e 22xx x x =−⎰2211e arctan 24x x x =211e 24x x x =11222e 1[(e 1)(e 1)]d(e 1)24x x x x −=−−+−−⎰31222e 12[(e 1)2(e 1)]243x x xC =−−+−+ 31222e 11(e 1)(e 1)262x x xC =−−−−+. （16）【解】设圆的周长为x ，正三角周长为y ，正方形的周长z ，由题设2x y z ++=.则目标函数2222221π2π22344π3616x y z x z S y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，构造拉格朗日函数222(,,;)(2)4π3616x zL x y z y x y z λλ=+++++−，对参数求导并令导函数为零，则0,20,3620,1620.x yzx L L z L L x y z λλπλλ⎧'=+=⎪⎪⎪'=+=⎪⎨⎪'=+=⎪⎪⎪'=++−=⎩解得x =y =，z =此时面积和有最小值为2)S =.（17）【解】记33,,P x Q y z R z ==+=；构造平面22331,:0,y z x ∑⎧+'⎨=⎩取后侧，∑'与∑所围区域2{(,,)|013x y z x y Ω=−.由高斯公式可得，+d d d d d d d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y ∑∑∑∑''++=++−++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22()d d d 0(133)d d d x y z P Q R x y z yz x y z ΩΩ'''=++−=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22220331d d 33)dy z y z y z x +=++⎰⎰222233133)d d y z yz y z +=++⎰⎰220d 3)dr r r θπ=+⋅⎰2212)3)d(13)6r r =π(−+−2232)d(13)3r r π=−−−31222223)2(13)]d(13)3r r rπ=−−−−51222224[(13)(13)353r rπ=−−−1445π=.（18）（Ⅰ）【解】由题可知方程为一阶线性微分方程.当()f x x=时，由公式可得通解为，1d1d()e(e d)x xy x x x C−⎰⎰=+⎰=e(e d)x xx x C−+⎰=e[(1)e]x xx C−−+=(1)e xx C−−+，（C为任意常数）.（Ⅱ）【证】由条件课得通解为，1d1d()e[()e d]x xy x f x x C−⎰⎰=+⎰()e()e dx xf x x C−=+⎰，（C为任意常数）.因为()f x为周期函数，不妨设周期为T，则()()f x T f x+=.而()()()e()e d ex T x T x Ty x T f x T x C−++−++=++⎰()e e()e e dT x x Tf x x C−−=⋅⋅+⎰()1e e e()e dT x T xf x x C−−=⋅⋅+⎰()1e()e dx xf x x C−=+⎰.欲使()y x为周期函数，即()()y x y x T=+，只需1e TC C−=⋅，再由e0T−>，故0C=.从而()e()e dx xy x f x x−=⎰为方程对应的解，且为周期函数.（19）【证】设()e1,0xf x x x=−−>，则有e1()e10,()(0)0,1xxf x f x fx−'=−>>=>，从而1221e1e1,0xx xx−=>>.猜想0n x >，现用数学归纳法证明:1n =时，10x >，成立；假设(1,2,)n k k ==时，有0k x >，则1n k =+时有11e 1e1,0k k x x k kx x ++−=>>；因此0n x >，有下界. 再证单调性，1e 1e 1ln ln e lne n n nnx x x n n x n n x x x x +−−−=−=. 设()e 1e xxg x x =−−，0x >时，()e e e e 0x x x xg x x x '=−−=−<，所以()g x 单调递减，()(0)0g x g <=，即有e 1e xxx −<，因此1e 1ln ln10e n nx n n x n x x x +−−=<=，即数列{}n x 单调递减. 故由单调有界准则可知极限lim n n x →∞存在.不妨设lim n n x A →∞=，则e e 1A AA =−.因为()e 1e x xg x x =−−只有唯一的零点0x =，所以0A =，即lim 0n n x →∞=.（20）【解】（Ⅰ）由123(,,)0f x x x =得12323130,0,0,x x x x x x ax −+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 系数矩阵 11110210101110002r a a −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎯⎯→ ⎪ ⎪⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A ，所以，当2a ≠时，()3r =A ，方程组有唯一解，1230x x x ===.当2a =时，()2r =A ，方程组有无穷解，21,1k k −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭x 为任意常数. （Ⅱ）当2a ≠时，令1123223313,,,y x x x y x x y x ax =−+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩为可逆变换，此时规范形为222123y y y ++. 当2a =时，2221231232313(,,)()()(2)f x x x x x x x x x x =−+++++222123121322626x x x x x x x =++−+222323133()2()22x x x x x −+=−+，此时规范形为2212y y +.（21）【解】（Ⅰ）由题设条件可知矩阵A 与B 等价，则秩()()r r =A B .因为 131212130130027390a ar r a +==−A ，所以 31121201101120111013a a r r a a +==−=−+B ，因此 2a =.（Ⅱ）设矩阵111213212223313233x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，对增广矩阵作初等变换可得， 122122106344(,)130011012111272111000000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→−−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭A B ，解得，11112213321122223331132233363646421,21,21x k x k x k x k x k x k x k x k x k −+−+−+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以123123123636464212121k k k k k k k k k −+−+−+⎛⎫ ⎪=−−− ⎪ ⎪⎝⎭P .又P 可逆，因此1231223123231231236364640113,22121211110k k k r r r r k k k k k k k k k k k −+−+−++−=−−−−−=−≠P ，即23k k ≠.故123123123636464212121k k k k k k k k k −+−+−+⎛⎫ ⎪=−−− ⎪⎪⎝⎭P ，其中123,,k k k 为任意常数，且23k k ≠.（22）【解】（Ⅰ）因为随机变量X 的概率分布为1{1}{1}2P X P X ===−=，所以，2()0,()1,()1E X E X D X ===. 因为，Y 的分布律为e {},0,1,!k P Y k k k λλ−===，所以，()E Y λ=.因为，2(,)(,)()()()Cov X Z Cov X XY E X Y E X E XY ==−，且X 与Y 相互独立，所以，(,)Cov X Z 22()()()()()()E X E Y E X E Y D X E Y λ=−==. （Ⅱ）利用全概率公式有，{}{}P Z k P XY k ==={1}{|1}{1}{|1}P X P XY k X P X P XY k X ====+=−==−，再由X 与Y 相互独立可得{}P Z k ={1}{}{1}{}P X P Y k P X P Y k ===+=−=−1[{}{}]2P Y k P Y k ==+=−. 当0k =时，{0}{0}e P Z P Y λ−====；当k 为正整数时，1e {}{}22!kP Z k P Y k k λλ−====⋅；当k 为负整数时，1e {}{}22()!kP Z k P Y k k λλ−−===−=⋅−.综上所述，有e ,0,{}e ,1,2.2!k k P Z k k k λλλ−−⎧=⎪==⎨=±±⎪⋅⎩（23）【解】（Ⅰ）似然函数 11111()e e22niii x nx n n i L σσσσσ=−−=∑==∏，取对数： 11ln ()ln 2ln nii L n n xσσσ==−−−∑，求导： 21d ln ()10d nii L n xσσσσ==−+=∑，解得 1nii xnσ==∑，所以σ的最大似然估计量 1ˆnii Xnσ==∑.（Ⅱ） 111ˆ()()()e d 2xn i i E E X E X x x n σσσ−+∞−∞====∑⎰e d dexxxx x σσσ−−+∞+∞==−⎰⎰e|e d xxx x σσσ−−+∞+∞=−+=⎰；2221()()()1ˆ()()ni i D X E X E X D D X n n nσ=−===∑22220111(e d )(e d )2xx x xx x n n σσσσσσ−−+∞+∞−∞=−=−⎰⎰ 22220111(e d )(de )2xx xx x n n σσσσσ−−+∞+∞−∞=−=−−⎰⎰ 222011(2e d )(2)xx x n nσσσσ−+∞=−=−⎰2nσ=.。

1978-2019年全国硕士研究生入学统一考试(数学一)真题及部分答案

历年考研数学一真题1987-20191987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x =_____________时,函数2x y x =⋅取得极小值. (2)由曲线ln y x=与两直线e 1y x=+-及y =所围成的平面图形的面积是_____________.1x =(3)与两直线 1y t =-+2z t =+及121111x y z +++==都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)L xy y dx x x dy -+-⎰= _____________. (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a 与,b 使等式201lim 1sin x x bx x →=-⎰成立.三、(本题满分7分) (1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求,.u v x x∂∂∂∂ (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 求矩阵.B四、(本题满分8分)求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解,其中常数0.a >五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2()()lim1,()x af x f a x a →-=--则在x a =处 (A)()f x 的导数存在,且()0f a '≠ (B)()f x 取得极大值 (C)()f x 取得极小值 (D)()f x 的导数不存在 (2)设()f x 为已知连续函数0,(),s t I t f tx dx =⎰其中0,0,t s >>则I 的值(A)依赖于s 和t (B)依赖于s 、t 和x (C)依赖于t 、x ,不依赖于s (D)依赖于s ,不依赖于t (3)设常数0,k >则级数21(1)n n k n n∞=+-∑(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与k 的取值有关 (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于(A)a (B)1a(C)1n a - (D)na六、（本题满分10分）求幂级数1112n nn x n ∞-=∑的收敛域，并求其和函数.七、（本题满分10分）求曲面积分2(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑=++--⎰⎰其中∑是由曲线13()0z y f x x ⎧=≤≤⎪=⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y 轴正向的夹角恒大于.2π八、（本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个,x 函数()f x 的值都在开区间(0,1)内,且()f x '≠1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x 使得().f x x =九、（本题满分8分）问,a b 为何值时,现线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=-有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件A 发生的概率为,p 现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为____________;而事件A 至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量X 的概率密度函数为221(),xx f x-+-=则X 的数学期望为____________,X 的方差为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为()X f x = 1001x ≤≤其它,()Y f y = e 0y - 00y y >≤, 求2Z X Y =+的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数1(3)3nnn x n ∞=-∑的收敛域. (2)设2()e ,[()]1x f x f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域.(3)设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,计算曲面积分333.I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若21()lim (1),tx x f t t x→∞=+则()f t '= _____________.(2)设()f x 连续且31(),x f t dt x -=⎰则(7)f =_____________. (3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-上定义为()f x =22x1001x x -<≤<≤,则的傅里叶()Fourier 级数在1x =处收敛于_____________.(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 可导且01(),2f x '=则0x ∆→时,()f x 在0x 处的微分dy 是(A)与x ∆等价的无穷小 (B)与x∆同阶的无穷小(C)比x ∆低阶的无穷小 (D)比x ∆高阶的无穷小 (2)设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个解且00()0,()0,f x f x '>=则函数()f x 在点0x 处(A)取得极大值 (B)取得极小值(C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少 (3)设空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥则(A)124xdv dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(B)124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(C)124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D)124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)设幂级数1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定(5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k +++≠ααα(B)12,,,s ααα中任意两个向量均线性无关(C)12,,,s ααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)12,,,s ααα中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设()(),x y u yf xg yx=+其中函数f 、g 具有二阶连续导数,求222.u u x y x x y∂∂+∂∂∂五、(本题满分8分)设函数()y y x =满足微分方程322e ,x y y y '''-+=其图形在点(0,1)处的切线与曲线21y x x =--在该点处的切线重合,求函数().y y x =六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引力大小为2(0kk r>为常数,r 为A 质点与M 之间的距离),质点M 沿直线y =(2,0)B 运动到(0,0),O 求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B P 求5,.A A八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 与20000001y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=PAP B的可逆阵.P九、（本题满分9分）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,且在(,)a b 内有()0,f x '>证明:在(,)a b 内存在唯一的,ξ使曲线()y f x =与两直线(),y f x a ξ==所围平面图形面积1S 是曲线()y f x =与两直线(),y f x b ξ==所围平面图形面积2S 的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19,27则事件A 在一次试验中出现的概率是____________.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________.(3)设随机变量X 服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知22(),(2.5)0.9938,u xx du φφ-==⎰则X 落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度函数为21(),(1)X f x x π=-求随机变量1Y =的概率密度函数().Y f y1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h→--= _____________. (2)设()f x 是连续函数,且10()2(),f x x f t dt =+⎰则()f x =_____________.(3)设平面曲线L为下半圆周y =则曲线积分22()Lxy ds +⎰=_____________.(4)向量场div u在点(1,1,0)P 处的散度div u =_____________.(5)设矩阵300100140,010,003001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当0x >时,曲线1sin y x x=(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210,x y z ++-=则点的坐标是(A)(1,1,2)- (B)(1,1,2)-(C)(1,1,2) (D)(1,1,2)-- (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)11223c y c y y ++ (B)1122123()c y c y c c y +-+(C)1122123(1)c y c y c c y +--- (D)1122123(1)c y c y c c y ++--(4)设函数2(),01,f x x x =≤<而1()sin ,,n n S x b n x x π∞==-∞<<+∞∑其中12()sin ,1,2,3,,n b f x n xdx n π==⎰则1()2S -等于(A)12- (B)14-(C)14(D)12(5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)设(2)(,),z f x y g x xy =-+其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂ (2)设曲线积分2()c xy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0,ϕ=计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值.(3)计算三重积分(),x z dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由曲面z =与z =所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数1()arctan 1x f x x+=-展为x 的幂级数.五、(本题满分7分)设0()sin ()(),xf x x x t f t dt =--⎰其中f 为连续函数,求().f x六、（本题满分7分）证明方程0ln exx π=-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分6分）问λ为何值时,线性方程组13x x λ+= 123422x x x λ++=+ 1236423x x x λ++=+有解,并求出解的一般形式. 八、（本题满分8分）假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明 (1)1λ为1-A 的特征值.(2)λA为A 的伴随矩阵*A 的特征值.九、（本题满分9分）设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A 的概率()0.5,P A =随机事件B 的概率()0.6P B =及条件概率(|)0.8,P B A =则和事件AB的概率()P AB =____________.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.(3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x x ξ++=有实根的概率是____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差)的正态分布,而Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2x t =-+(1)过点(1,21)M -且与直线 34y t =-垂直的平面方程是_____________.1z t =-(2)设a 为非零常数,则lim()x x x a x a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x =111x x ≤>,则[()]f f x =_____________.(4)积分2220e y x dx dy -⎰⎰的值等于_____________. (5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,且e ()(),xx F x f t dt -=⎰则()F x '等于(A)e (e )()x x f f x ---- (B)e (e )()x x f f x ---+(C)e (e )()x x f f x ---(D)e (e )()x x f f x --+ (2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n f x 是(A)1![()]n n f x + (B)1[()]n n f x +(C)2[()]n f x(D)2![()]n n f x(3)设a 为常数,则级数21sin()[n na n∞=∑ (A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)收敛性与a 的取值有关 (4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1cos x f x f x→==-则在点0x =处()f x (A)不可导 (B)可导,且(0)0f '≠(C)取得极大值 (D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是(A)1211212()2k k -+++ββααα(B)1211212()2k k ++-+ββααα (C)1211212()2k k -+++ββαββ(D)1211212()2k k ++-+ββαββ三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求120ln(1).(2)x dx x +-⎰(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂(3)求微分方程244e x y y y -'''++=的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数0(21)n n n x ∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分) 求曲面积分2SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'>七、（本题满分6分）设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.九、（本题满分8分）质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 作用(见图).F 的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.2π求变力F 对质点P 所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞ 则X 的概率分布函数()F x =____________.(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -===则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设 21cos x t y t=+=,则22d ydx =_____________.(2)由方程xyz +=所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.(4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A的逆阵1-A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221e 1ex x y --+=-(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰则()f x 等于(A)e ln 2x(B)2e ln 2x(C)eln 2x+(D)2eln 2x+(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于(A)3 (B)7 (C)8 (D)9 (4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B)12D xydxdy ⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有(A)=ACB E (B)=CBA E(C)=BAC E (D)=BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求20lim ).x π+→(2)设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =在点P 处沿方向n 的方向导数.(3)22(),x y z dv Ω++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线 220yz x ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体.四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、（本题满分7分）设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β(1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________.(2)随机地向半圆0y a <<为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y =(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数()y y x =由方程e cos()0x yxy ++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu=_____________.(3)设()f x =211x-+ 00x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π处收敛于_____________. (4)微分方程tan cos y y x x'+=的通解为y=_____________.(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠=则矩阵A的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x →时,函数1211e 1x x x ---的极限(A)等于2 (B)等于0 (C)为∞ (D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos )(n n a n∞=--∑常数0)a >(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与a 有关(3)在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线(A)只有1条 (B)只有2条(C)至少有3条 (D)不存在(4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为 (A)0 (B)1(C)2 (D)3(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为(A)[]212- (B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求x x →(2)设22(e sin ,),x z f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.zx y∂∂∂ (3)设()f x = 21exx -+ 00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰四、(本题满分6分)求微分方程323e x y y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分) 计算曲面积分323232()()(),xaz dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =.六、（本题满分7分）设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分）在变力F yzizxj xyk=++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问:(1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论. (2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β (1)将β用123,,ξξξ线性表出. (2)求(n n A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }X E X -+=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中22()e)t xx dt --∞Φ=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数1()(2(0)x F x dt x =->⎰的单调减少区间为_____________.(2)2232120x y z +==绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为1(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________. (4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小 (D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰ (B)404cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为(A)6π(B)4π(C)3π(D)2π(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos xL f t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于(A)e e 2x x--(B)e e 2x x--(C)e e 12x x-+-(D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则(A)6t =时P 的秩必为1 (B)6t =时P的秩必为2(C)6t ≠时P 的秩必为1 (D)6t ≠时P的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求21lim(sin cos ).x x x x→∞+(2)求.x(3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y ==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰其中∑是由曲面z =与z =所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.(2)设,b a e >>证明.ba ab >七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞ (1)求X 的数学期望EX 和方差.DX(2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关? (3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)011lim cot ()sin x x xπ→-= _____________.(2)曲面e 23x z xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3)设e sin ,xxu y-=则2u x y ∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________.(4)设区域D为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________. (5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则nA =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M << (B)MP N<<(C)N MP <<(D)P MN<<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,λ>且级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与λ有关 (4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e-→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d = (B)4b d =- (C)4a c = (D)4a c =- (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)011lim cot ()sin x x xπ→-= _____________.(2)曲面e 23x z xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3)设e sin ,xxu y-=则2u x y ∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________. (4)设区域D为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________. (5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则nA =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M << (B)MP N<<(C)N MP <<(D)P MN<<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (3)设常数0,λ>且级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与λ有关 (4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d = (B)4b d =-(C)4a c = (D)4a c =- (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组 (A)12233441,,,++++αααααααα线性无关 (B)12233441,,,----αααααααα线性无关 (C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关 (D)12233441,,,++--αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设 2221cos()cos()tx t y t t udu ==-⎰,求dy dx 、22d y dx在t =的值.(2)将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数.(3)求.sin(2)2sin dxx x+⎰四、(本题满分6分)计算曲面积分2222,Sxdydz z dxdyx y z +++⎰⎰其中S是由曲面222x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分) 设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f '==且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且()lim0,x f x x →=证明级数11()n f n ∞=∑绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=AA 时,证明0.≠A十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N 且X 与Y 的相关系数1,2xy ρ=-设,32X Y Z =+(1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差. (2)求X 与Z 的相关系数.xz ρ (3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)202cos x d x t dt dx ⎰= _____________.(3)设()2,⨯=a b c 则[()()]()+⨯++a b b c c a =_____________.(4)幂级数2112(3)n n nn nx ∞-=+-∑的收敛半径R=_____________.(5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设有直线:L321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L(A)平行于π (B)在π上(C)垂直于π (D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是(A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-(B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的(A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (4)设(1)ln(1n n u =-则级数 (A)1n n u ∞=∑与21nn u ∞=∑都收敛 (B)1n n u ∞=∑与21nn u ∞=∑都发散(C)1n n u ∞=∑收敛,而21nn u ∞=∑发散 (D)1n n u ∞=∑收敛,而21nn u ∞=∑发散(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有(A)12AP P =B (B)21AP P =B (C)12P P A =B (D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,y u f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.zϕ∂≠∂求.du dx(2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1(),f x dx A =⎰求110()().x dx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分,zdS ∑⎰⎰其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)L xydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y七、（本题满分8分）假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证:(1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f fg g ξξξξ''=''八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥= 则{max(,)0}P X Y ≥=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度为()X f x = e 0x- 00x x ≥<,求随机变量e XY =的概率密度().Y f y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设2lim()8,x x x a x a →∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程22e x y y y '''-+=的通解为_____________. (4)函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于 (A)-1 (B)0(C)1 (D)2 (2)设()f x 具有二阶连续导数,且()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则(A)(0)f 是()f x 的极大值 (B)(0)f 是()f x 的极小值 (C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点(3)设0(1,2,),n a n >=且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,),2πλ∈则级数21(1)(tan )n n n n a nλ∞=-∑(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)散敛性与λ有关 (4)设有()f x 连续的导数220,(0)0,(0)0,()()(),xf f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与k x 是同阶无穷小,则k 等于(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)四阶行列式112233440000000a b a b a b b a 的值等于(A)12341234a a a a b b b b - (B)12341234a a a a b b b b +(C)12123434()()a a b b a a b b -- (D)23231414()()a a b b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数.(2)设1110,1,2,),n x x n +===试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z x y x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换 2u x y v x ay =-=+可把方程2222260z z zx x y y∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,zu v∂=∂∂求常数.a五、(本题满分7分) 求级数211(1)2nn n ∞=-∑的和.六、(本题满分7分) 设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y轴上的截距等于01(),x f t dt x⎰求()f x 的一般表达式.。

2023年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及答案解析【完整版】

2023年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。

1．1ln 1y x e x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭曲线的渐近线方程为（）。

A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e 【参考答案】B【参考解析】1ln 11lim lim lim ln 1,1x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝⎭ ()()()11lim lim ln lim ln 11111lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢⎥--⎣⎦所以斜渐近线方程为y ＝x ＋1/e ．2．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（）。

A ．a ＜0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＝0，b ＞0 D ．a ＝0，b ＜0 【参考答案】C【参考解析】微分方程y ′′＋ay ′＋by ＝0的特征方程为λ2＋a λ＋b ＝0，当Δ＝a 2－4b ＞0时，特征方程有两个不同的实根λ1，λ2，则λ1，λ2至少有一个不等于零，若C 1，C 2都不为零，则微分方程的解1212x x y C e C e λλ--=+在（－∞，＋∞）无界；当Δ＝a 2－4b ＝0时，特征方程有两个相同的实根λ1，2＝－a/2，若C 2≠0，则微分方程的解2212a a x xy C eC e=+在（－∞，＋∞）无界；当Δ＝a 2－4b ＜0时，特征方程的根为1,222a i λ=-±，则通解为212ax y eC x C x -⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，此时，要使微分方程的解在（－∞，＋∞）有界，则a ＝0，再由Δ＝a 2－4b ＜0，知b ＞0.3．设函数y ＝f （x ）由2sin x t t y t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（）。

全国硕士研究生入学统一考试数一试题及答案

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x +→时，与（A ）1-（B ）ln（C 1 （D ）1-（2）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为（A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] （3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =-- [ ]（4）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（C ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[ ] （5）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()n u f n =，则下列结论正确的是：(A) 若12u u > ，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u > ，则{}n u 必发散(C) 若12u u < ，则{}n u 必收敛. (D) 若12u u < ，则{}n u 必发散. [ ]（6）设曲线:(,)1L f x y =（(,)f x y 具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N ，T 为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列小于零的是（A ）(,)d Tf x y x ⎰. （B ）(,)d Tf x y y ⎰（C ）(,)d Tf x y s ⎰. （D ）(,)d (,)d x y Tf x y x f x y y ''+⎰. [ ]（7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) 122331,,αααααα---(B) 122331,,αααααα+++(C) 1223312,2,2αααααα---. (D) 1223312,2,2αααααα+++.[ ]（8）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B(A) 合同且相似（B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为（A ）23(1)p p -. （B ）26(1)p p -.（C ）223(1)p p -. （D ）226(1)p p - [ ] （10）设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为(A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D)()()X Y f x f y . [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11）12211e d x x x=⎰=__________. （12）设(,)f u v 是二元可微函数，(,)yxz f x y =，则zx∂=∂ __________. （13）二阶常系数非齐次微分方程2432e xy y y '''-+=的通解为y =________.（14）设曲面:||||||1x y z ∑++=，则()||d x y S ∑+=⎰⎰Ò（15）设矩阵0100001000010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .（16）在区间()0,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为 . 三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分11分)求函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域(){}22,|4,0D x y xy y =+≤≥上的最大值和最小值.（18）（本题满分10分）计算曲面积分 d d 2d d 3d d Ixz y z yz z x xy x y ∑=++⎰⎰，其中∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤ 的上侧. （19） (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.（20） (本题满分10分)设幂级数nn n a x∞=∑在(,)-∞+∞内收敛，其和函数()y x 满足240,(0)0,(0)1y xy y y y ''''--===.（Ⅰ）证明：22,1,21n n a a n n +==+L ；（II ）求()y x 的表达式.（21） (本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.（22） (本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（II ）求矩阵B . （23） (本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他.（I ）求{}2P X Y >；(II) 求ZX Y =+的概率密度.（24） (本题满分11分)设总体X 的概率密度为12(,,X X …,)n X 为来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（I ）求参数θ的矩估计量θ)；（II ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.2007年考研数学试题答案解析（数学一）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1）当0x +→ (B)A. 1-B.C. 1D.1-(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 (D) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 (C) A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F -- (4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是(D)A.若12u u >，则{n u }必收敛B. 若12u u >，则{n u }必发散C. 若12u u <，则{n u }必收敛D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 (B) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A ） ,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ）1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则A 于B ， (B)(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： (C) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为 (A)（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y (D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。

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全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰则()f x '的零点个数（）()A 0.()B 1. ()C 2.()D 3.（2）函数(,)arctanxf x y y=在点(0,1)处的梯度等于（） ()A i .()B i -. ()C j .()D j -.（3）在下列微分方程中，从123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（）()A 440y y y y ''''''+--=.()B 440y y y y ''''''+++=.()C 440y y y y ''''''--+=.()D 440y y y y ''''''-+-=.（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛.()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（5）设A 为n 阶非零矩阵E 为n 阶单位矩阵若30A =，则（）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设A 为3阶非零矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数（）()A 0.()B 1.()C 2.()D 3.（7）随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F X ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（）()A ()2F X .()B ()()F X F Y .()C ()211F X --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F X F Y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()0,1XN ，()1,4YN 且相关系数1XY ρ=，则（）()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）微分方程0xy y '+=满足条件()11y =的解是y = . （10）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （11）已知幂级数()02nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数()03nn n a x ∞=-∑的收敛域为 . （12）设曲面∑是224z x y =--的上侧，则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰ .（13）设A 为2阶矩阵，12,a a 为线性无关的2维列向量，12120,2Aa Aa a a ==+，则A 的非零特征值为 .（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分10分）求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16)（本题满分12分）计算曲线积分()2sin 221Lxdx xydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从点()0,0到点(),0π的一段.(17)（本题满分12分）已知曲线22220:35x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求C 点距离XOY 面最远点和最近的点.(18)（本题满分12分）函数()f x 连续，()()0xF x f t dt=⎰，证明()F x 可导，且()()F x f x '=.(19)（本题满分12分）()21f x x =-，用余弦级数展开，并求()1211n n n +∞=-∑的和(20)（本题满分9分）T T A ααββ=+，T α为α的转置，T β为β的转置（1）证()2r A ≤；（2）若,αβ线性相关，则()2r A <. （21）（本题满分9分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =，()1,0,,0B =，（1）求证()1nA n a =+（2）a 为何值，方程组有唯一解，求1x（3）a 为何值，方程组有无穷多解，求通解（22）（本题满分9分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+ （1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭（2）求Z 的概率密度．（23）（本题满分9分）12,,,n x x x 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.记11ni i x x n ==∑，2211()1n ii S x x n ==--∑，221T x S n =- （1）证 T 是2μ的无偏估计量. （2）当0,1μσ==时，求DT .2008年考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为【】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3．【答案】应选(B).【详解】22()ln(2)22ln(2)f x x x x x '=+⋅=+．显然()f x '在区间(,)-∞+∞上连续，且(1)(1)(2ln3)(2ln3)0f f ''-∙=-∙<，由零点定理，知()f x '至少有一个零点．又2224()2ln(2)02x f x x x''=++>+，恒大于零，所以()f x '在(,)-∞+∞上是单调递增的．又因为(0)0f '=，根据其单调性可知，()f x '至多有一个零点．故()f x '有且只有一个零点．故应选(B).（2）函数(,)arctanxf x y y=在点(0,1)处的梯度等于【】 (A) i (B) i -. (C) j . (D) j - . 【答案】应选(A).【详解】因为222211f y y x x x y y ∂==∂++．222221xf x y x y x y y-∂-==∂++．所以(0,1)1f x ∂=∂，(0,1)0fy∂=∂，于是(0,1)(,)i grad f x y =.故应选(A).（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【】(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=.【答案】应选(D).【详解】由123cos2sin2x y C e C x C x =++，可知其特征根为11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+3244λλλ=+-- λλλ3244=-+-所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【】．(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】应选(B).【详解】若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}n f x 收敛．故应选(B).（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则【】则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C).23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C).（6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x xyz A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【答案】应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y z a c +-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B).（7）设随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则max {,}Z X Y =的分布函数为【】(A) 2()F x . (B) ()()F x F y . (C) 21[1()]F x --. (D) [1()][1()]F x F y --. 【答案】应选(A)．【详解】(){}()max{,}F z P Z z P X Y z =≤=≤()()2()()()P X z P Y z F z F z F z =≤≤==．故应选(A)．（8）设随机变量XN (0,1), (1,4)YN , 且相关系数1XY ρ=，则【】(A) {21}1P Y X =--= (B) {21}1P Y X =-= (C) {21}1P Y X =-+= (D) {21}1P Y X =+= 【答案】应选 (D)．【详解】用排除法．设Y aX b =+．由1XY ρ=，知X ，Y 正相关，得0a >．排除（A ）和（C ）．由(0,1)XN ，(1,4)Y N ，得0,1,()EX EY E aX b aEX b ==+=+．10a b =⨯+，1b =．从而排除(B).故应选 (D)．二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) （9）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】应填1y x=．【详解】由dy y dx x =-，得dy dx y x=-．两边积分，得ln ||ln ||y x C =-+．代入条件(1)1y =，得0C =．所以1y x=．（10）曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为 . 【答案】应填1y x =+．【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1(,)cos()1x F x y y xy y x -=+--，1(,)cos()x F x y x xy y x=+-， (0,1)1x F =-，(0,1)1y F =．于是斜率(0,1)1(0,1)x y F k F '=-='．故所求得切线方程为1y x =+．（11）已知幂级数(2)nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(2)nn n a x ∞=-∑的收敛域为 .【答案】 (1,5]．【详解】由题意，知(2)nn n a x ∞=+∑的收敛域为(4,0]-，则nn n a x∞=∑的收敛域为(2,2]-．所以(2)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5]．(12)设曲面∑是224z x y =--的上侧，则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰ . 【答案】 4π．【详解】作辅助面1:0z ∑=取下侧．则由高斯公式，有2xydydz xdzdx x dxdy ∑++⎰⎰122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2224x y ydV x dxdy Ω+≤=+⎰⎰⎰⎰⎰．2222410()2x y x y dxdy +≤=++⎰⎰d r rdr πθππ22200116424=∙==⎰⎰． (13) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10A α=，2122A ααα=+．则A 的非零特征值为___________. 【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+= ⎪⎝⎭．记12(,)P αα=，因12,αα线性无关，故12(,)P αα=是可逆矩阵．因此0201AP P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭．记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 与B 相似，从而有相同的特征值．因为2||(1)01E B λλλλλ--==--，0λ=，1λ=．故A 的非零特征值为1．(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX ==____________．【答案】应填12e. 【详解】因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1EX DX ==．从而由22()DX EX EX =-得22EX =．故{}{}22P X EX P X ====12e．三、解答题：(15－23小题，共94分. )(15)(本题满分10分) 求极限[]4sin sin(sin )sin limx x x x x →-【详解1】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx →-[]3sin sin(sin )limx x x x →-=＝20cos cos(sin )cos lim3x x x x x →-201cos(sin )lim 3x x x →-= 0sin(sin )cos lim 6x x x x →=(或2201(sin )2lim 3x x x →=，或22201sin (sin )2lim 3x x o x x→+=)16=．【详解2】[]4sin sin(sin )sin limx x x x x →-[]40sin sin(sin )sin limsin x x x x x→-= ＝30sin limt t t t →-201cos lim 3t t t →-=2202lim 3t t t →=（或0sin lim 6t t t →=） 16=．（16）(本题满分9分)计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从(0,0)到(,0)π的一段．【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算．2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰2[sin 22(1)sin cos ]xdx x x x dx π=+-⎰20sin 2x xdx π=⎰200cos 2cos 22x x x xdx ππ=-+⎰20cos 22x xdx ππ=-+⎰200sin 2sin 2222x xx dx πππ=-+-⎰22π=-．【详解2】添加辅助线，按照Green 公式进行计算．设1L 为x 轴上从点(,0)π到(0,0)的直线段．D 是1L 与L 围成的区域12sin 22(1)L L xdx x ydy ++-⎰2(2(1)sin 2D x y x dxdy x y ⎡⎤∂-∂=--⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰4Dxydxdy =-⎰⎰sin 04xxydydx π=-⎰⎰22sin x xdx π=-⎰0(1cos 2)x x dx π=--⎰20cos 22x x xdx ππ=-+⎰200sin 2sin 2222x xx dx πππ=-+-⎰ 22π=-．因为12sin 22(1)sin 20L xdx x ydy xdx π+-==⎰⎰故2sin 22(1)Lxdx xydy +-⎰22π=-【详解3】令2sin 22(1)LI xdx xydy =+-⎰212sin 222Lxdx ydy x ydy I I =-+=+⎰对于1I ，记sin 2,2P x Q y ==-．因为0P P y x∂∂==∂∂，故1I 与积分路径无关． 10sin 20I xdx π==⎰．对于2I ，2222022sin cos sin 2LI x ydy x x xdx x xdx ππ===⎰⎰⎰200cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰2cos 22x xdx ππ=-+⎰200sin 2sin 2222x xx dx πππ=-+-⎰22π=-．故2sin 22(1)Lxdx xydy +-⎰22π=-17（本题满分11分）已知曲线22220,:35,x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点．【详解1】点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数2H z =在条件22220,x y z +-=35x y z ++=下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z λμλμ=++-+++-，由222220,20,220,43.,350xy z L x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-++-=++==⎨⎪⎪⎪⎩ 得x y =，从而22220,23 5.x z x z -=+=⎧⎨⎩解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解2】点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数22H x y =+在条件2225203x y x y +-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数222222(,,,)(5)9L x y z x y x y x y λλ⎛⎫=+++-+- ⎪⎝⎭，由222520.422(5)0,9422(5)0,93x y L x x x y L y x x y y y y x λλ⎧⎛⎫'=+-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫'=+-+-=+-⎨⎪⎝⎭⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩得x y =，从而2222(25)09x x --=．解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解3】由22220x y z +-=得2cos ,2sin .x z y z θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 代入35x y z ++=，得532(cos sin )z θθ=++所以只要求()z z θ=的最值．令()252(sin cos )()032(cos sin )z θθθθθ-+'==++，得cos sin θθ=，解得5,44ππθ=．从而5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．（18）(本题满分10分)设()f x 是连续函数，（I ）利用定义证明函数0()()xF x f t dt =⎰可导，且()()F x f x '=；（II ）当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数2()2()()xG x f t dt x f t dt=-⎰⎰也是以2为周期的周期函数．（I ）【证明】000()()()()()limlim x xxx x f t dt f t dtF x x F x F x xx+∆∆→∆→-+∆-'==∆∆⎰⎰()limx x xx f t dtx+∆∆→=∆⎰00()limlim ()()x x f xf f x xξξ∆→∆→∆===∆ 【注】不能利用L ’Hospital 法则得到0()()limlimx x xx x f t dtf x x xx+∆∆→∆→+∆=∆∆⎰．(II) 【证法1】根据题设，有222000(2)2()(2)()(2)()x G x f t dt x f t dt f x f t dt +'⎡⎤'+=-+=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，22000()2()()2()()x G x f t dt x f t dt f x f t dt '⎡⎤'=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，(2)()f x f x +=．从而 (2)()G x G x ''+=．因而(2)()G x G x C +-=．取0x =得，(02)(0)0C G G =+-=，故 (2)()0G x G x +-=．即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数．【证法2】根据题设，有2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，2222022()()()2()x f t dt x f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰．对于22()x f t dt +⎰，作换元2t u =+，并注意到(2)()f u f u +=，则有22()(2)()()x x x xf t dt f u du f u du f t dt +=+==⎰⎰⎰⎰，因而 2220()()0x xf t dt x f t dt +-=⎰⎰．于是2(2)2()()()xG x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数【证法3】根据题设，有2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，222002()2()()2()xx xf t dt f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰2222()()2()2()x x xf t dt x f t dt f t dt f t dt +=-+-⎰⎰⎰⎰()22()2()()x xG x f t dt f t dt +=+-⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，必有22()()x xf t dt f t dt +=⎰⎰．事实上22(())(2)()0x d f t dt f x f x dx+=+-=⎰，所以22()x f t dt C +≡⎰．取0x =得，02222()()C f t dt f t dt +≡=⎰⎰．所以2(2)2()()()xG x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数(19)(本题满分11分)将函数2()1(0)f x x x π=-≤≤展开成余弦级数，并求级数11(1)n n n -∞=-∑的和．【详解】将()f x 作偶周期延拓，则有0,1,2,n b n ==．0a =22(1)d x x ππ-⎰2213π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．2()cos n a f x nxdx ππ=⎰22cos cos nxdx x nxdx ππππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰20020cos x nxdx πππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰2002sin 2sin x nxx nx dx n n πππ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰ 1222(1)n n ππ--=124(1)n n --=．所以2101221()1cos (1)143cos 2n n n n a f x x n a nx nx π-∞∞===-=+=--+∑∑，0x π≤≤．令x=0，有n n f n π2121(1)(0)143-∞=-=-+∑ 又(0)1f =，所以n n n π1221(1)12-∞=-=∑．（20）(本题满分10分)设,αβ为3维列向量，矩阵T T A ααββ=+，其中,T T αβ分别是,αβ得转置．证明：（I ）秩()2r A ≤；（II ）若,αβ线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2T T T T r A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤．【证法2】因为T T A ααββ=+，A 为33⨯矩阵，所以()3r A ≤．因为,αβ为3维列向量，所以存在向量0ξ≠，使得0,0T T αξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0Ax =有非零解，从而()2r A ≤．【证法3】因为TTA ααββ=+，所以A 为33⨯矩阵．又因为()00T TTT A αααββαββ⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以|||0|00TT a A αββ==故 ()2r A ≤．（II ）【证法】由,αβ线性相关，不妨设k αβ=．于是()2()()(1)()12TT T r A r r k rααβββββ=+=+≤≤<．(21) (本题满分12分)．设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ．（III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na a a a aD A a a a a ==以下用数学归纳法证明(1)n n D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得n n n a a a aD aD a a a a 2212211021212212--=-2122n n aD a D --=- 1222(1)n n ana a n a --=-- (1)n n a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==-得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD a D a D a ------=-==-=．于是(1)n n D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na a a a aA a a a a =22122213121212212na a a ar ar a a a a -322222130124123321212na a a r ar a aa a a a -=n n na a a n r ar nn a n n a n 121301240113111----+(1)n n a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn a aa a a aa aD na a a a a a a a a ---===所以，11(1)n n D ax D n a-==+．（III ）【详解】当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为()()010100TTx k =+，其中k 为任意常数．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率密度为1()(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y 其它.≤<⎧=⎨⎩ 记Z X Y =+．（I ）求102P Z X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭；（II ）求Z 的概率密度)(z f Z . （I ）【详解】解法1．1100221110.222P Z X P X Y X P Y X P Y ⎛⎫⎛⎫≤==+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≤==≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解法2．()()1,0120201,0112.022P X Y X P Z X P X P Y X P Y P X ⎛⎫+≤= ⎪⎛⎫⎝⎭≤== ⎪=⎝⎭⎛⎫≤= ⎪⎛⎫⎝⎭==≤= ⎪=⎝⎭（II ）解法1．Z z P Z z P X Y z P F (){}{}=P{X+Y z,X=-1}+P{X+Y z,X=0}+P{X+Y z,X=1} =P{Y z+1,X=-1}+P{Y z,X=0}+P{Y z-1,X=1} =P{Y z+1}P{X=-1}+P{Y z}P{X=0}+P{Y z-1}P{X=1}1=[{Y z+1}P{Y 3=≤=+≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤+≤Y Y Y z z Y Y Y F z F z F z f z F z z f z f z f z 'z}P{Y z-1}]1=[(1)()(1)]3()()1,12;1(1)()(1)330,.其它+≤+++-=⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩解法2．11()()()1,12;1(1)()(1)330,.Z Y i Y Y Y f z P X i f z i z f z f z f z =-==-⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩∑其它（23）(本题满分11分)设n X X X 21,是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，记∑==ni i X n X 11，2211()1n ii S X X n ==--∑，221T X S n =-．（1）证明T 是μ2的无偏估计量；（2）当μσ0,1==时，求.DT . 【详解1】（1）首先T 是统计量．其次221()()E T E X ES n=-222222111()()D X EX ES n n nσμσ=+-=+-2μ= 对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量．【详解2】（1）首先T 是统计量．其次()()22111111n ni j ki j k n T X X X X n n n n n =≠=-=---∑∑，()()1n j k j kn ET E X EX n ≠=-∑2μ=，对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量．（2）解法2．根据题意，有(0,1)nXN ，22(1)nX χ，22(1)(1)n S n χ--．于是2()2D nX =，()2(1)2(1)D n S n -=-．所以221()D T D X S n ⎛⎫=-⎪⎝⎭()()()22222112()(1)11D nX D n S n n n n n =+-=--。