大学物理(9.2.2)--单摆复摆简谐运动的能量

vt
v A sin t
E

1 2
kA2
Ep

来自百度文库
1 2
kA2
cos 2
t
o T T 3T T 42 4
t
Ek

1 2
m
2
A2
sin
2
t
东北大学 理学院 物理系
大学物理 第九单元 振动
第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
简谐运动能量守恒，振幅不
E

1 kA2 2
变
简谐运动势能曲线
Ep
C

T 2 π 0.314 s

amax 20 s 1
A
（ 2）
Ek ,max
=
1 2
mw2 A2
2.0 103 J
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第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
已知 m 0.10 kg，A 1.0 102 m， amax 4.0 m s2 求 :( 3) Esum ； (4) 何处动势能相等 ?

1 kA2 4
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第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
势能 x Acos(t )
Ep

1 kx2 2

1 2
kA2
cos2 (t
)
E p max , E p min , E p
情况同动能。
E p max

1 kA2 2
,
Ep min 0
Ep

1 4
kA2
机械能
E

Ek

Ep

1 2
kA2

1 2
m 2 A2
E 不随时间变化，简谐振动系统机械能守恒。
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第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
2 、简谐振动系统的能量特点
x, v o
能量
简谐运动能量图
xt
0 x A cost
T
t
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第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
动能
Ek

1 2
mv 2

1 2
m
2
A2
sin
2
(t

)
( 2

k m
)

1 2
kA2
sin 2 (t
)
Ek

1 2
kA2
sin
2
(t
)
Ek max

1 kA2 2
,
Ek min 0
Ek

1 T
t T t
Ek dt
P
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第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
2 、 复摆 任意形状、小角度、无摩擦、自由
M l F
( 5 ) 摆动。
M mgl sin mgl

Ja

J
d 2
dt 2
mgl

J
d 2
dt 2
令 2

mgl
J d 2
dt 2
2
物理摆、弹性摆、绳摆、沙漏摆、……
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第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
单摆动力学分析：
M mgl sin mgl
5 时，sin
mgl

J
d 2
dt 2
d 2
dt 2


g l

A
l
FT m
O
J ml 2
第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
例 2 一单摆的悬线长 l=1.5 m ，在顶端固定 点的铅直下方 0.45 m 处有一小钉，如图设两方摆 动均较小，问单摆的左右两方振幅之比 A １／Ａ
２ 为解多 少左？右 摆 长 分 别 为 ：
0.45 l １＝ 1.5 － 0.45 ＝ 1.05 m
解（ 3 ）Esum E k,max 2.0 103 J
（ 4 ）Ek Ep 时 Ep 1.0 103 J
由 Ep

1 kx2 2

1 2
m 2 x 2
x2

2Ep
m 2
0.5 104 m 2
x 0.707 cm
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0
O
l
*C
P
（ C 点为质 心）
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d 2
dt 2
2
0
第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
m cos(t )
简谐振动

mgl J
T 2π 2π

J mgl
O
l
*C
P
（ C 点为质心）
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E
B
Ek
Ep
A
Ox
A x
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能量守恒 推导 简谐运动方程
E

1 2
mv
2

1 kx2 2
常量
d dt
(
1 2
mv 2

1 2
kx2 )

0
mv
dv dt

kx
dx dt

0
d2x dt 2

k m
x

0
x 简A谐co运s(动t )
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第 九 单 元 振 动 第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
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壹.单摆和复摆
第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
1 、单摆：
由一根不可伸长、质量不计的绳子，上端固定 ，下端系一质点的装置叫做单摆。单摆在摆角小 于 5° 的条件下振动时，可近似认为是简谐运动 。
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第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
已知
m 0.10 kg，A 1.0 102 m，
amax 4.0 m s2 求 :( 1) T ； ( 2) Ek,max
解 （ 1 ） a A 2 cost
amax A 2
P
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第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
d 2
dt 2


g l

令
2

g l
d 2
dt 2
2
0
简谐振动
m cos(t )
T 2 2
l g
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A


l
FT m
O
J ml 2
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第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
例 1 质量0为.10 kg
的弹簧振子，以1.0振1幅02 m
4.0作m简 s谐2 运动，其
最大（加速1 ）度振为动的周期； ， 求：
（ 2 ）通过平衡位置的动能； （ 3 ）总能量； （ 4 ）物体在何处其动能和势能相等？
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第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
二 . 简谐运动的能量
能量是伴随运动而存在的，简谐运动同样具 有动能和势能。
1 、简谐振动的能量 ( 以水平弹簧振子为例 )
运动产生动能 v Asin(t )
弹簧形变产生势能 x Acos(t )
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