大学物理(9.2.2)--单摆复摆简谐运动的能量
《大学物理》期末考试复习题(振动与波)
）
（A） 2 ；
答案：（D）
（B）
m1 m2
2
；
（C）
m2 m1
2
；
（D） 2
m2 . m1
一物体作简谐振动，振动方程为
x
A cos(t
1 4
) 。在
t = T/4（T
为周期）时刻，物体的
加速度为 ( )
(A)
2 2
A 2
；
(B)
2 2
A 2 ；
(C)
3 2
A 2
；
(D)
3 2
A 2
。
一弹簧振子，当把它水平放置时，它作简谐振动。若把它竖直放置或放在光滑斜面上，试判
一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的 1/4 时，其动能为振 动总能量的
(A) 7/16 ； (B) 9/16 ； (C) 11/16 ； (D) 15/16 。 []
答案：（D）
第十章 波动
10-1 机械波的几个概念
10-2 平面简谐波的波函数
如图所示，有一平面简谐波沿 x 轴负方向传播，
断下列情况正确的是
（A）竖直放置作简谐振动，在光滑斜面上不作简谐振动；
（B）竖直放置不作简谐振动，在光滑斜面上作简谐振动；
（C）两种情况都作简谐振动；
（D）两种情况都不作简谐振动。
[]
竖直放置 放在光滑斜面上
答案：（C）
同一弹簧振子悬挂相同的质量，分别按如图（a）、（b）、（c）所示的三种方式放置，摩擦力都
(A) 曲线 3，1，2 分别表示 x，v，a 曲线； (B) 曲线 2，1，3 分别表示 x，v，a 曲线； (C) 曲线 1，2，3 分别表示 x，v，a 曲线； (D) 曲线 2，3，1 分别表示 x，v，a 曲线.
简谐运动的回复力和能量
简谐运动的回复力和能量简谐运动是一种在物理学中经常出现的现象，它是指一种物体在作往复振动时，其位移随时间变化呈现出正弦曲线的运动。
简单来说，就是物体在一定的位置上来回振动，比如一个摆锤在悬挂在绳子上摆动，或者是一个弹簧在振动。
这种运动具有回复力和能量的特点，下面将分别进行讨论。
回复力的定义和特点在简谐运动中，回复力指的是弹性势能的作用力，它是当物体离开平衡位置时，受到的恢复力，使物体朝向平衡位置方向移动。
回复力的大小和方向与物体离开平衡位置的距离成正比，反向指向平衡位置。
具体来说，回复力的公式为F = -kx，其中k是弹性系数，x是物体离开平衡位置的距离。
回复力对于简谐运动来说是一个非常重要的特性，因为它是使物体朝向平衡位置恢复的力量，同时也是振动维持的关键因素。
在简谐运动中，振动的频率、周期和振幅都取决于回复力的大小和弹性系数的变化。
当振幅变大时，回复力也会变大，当弹性系数增大或减小时，回复力的大小也会发生相应的变化。
能量的定义和特点能量是指物体的运动状态所具有的“有用”的物理量。
在简谐运动中，能量由动能和势能组成，它们之间通过运动的转化实现互相转换。
简谐运动的总能量等于动能和势能的和，它是一个守恒量，也就是说在运动过程中能量的总和始终保持不变。
具体来说，当物体在平衡位置附近振动时，它具有最小的动能和弹性势能；当物体脱离平衡位置时，弹性势能会转化为动能，同时物体有更大的动能；当物体到达到最远的位置时，它的动能最大，而弹性势能为零。
这意味着，简谐运动所产生的能量是从一种形式到另一种形式的转化。
简谐运动是一种常见的物理现象，它具有回复力和能量的特点。
回复力是指物体朝向平衡位置方向恢复的力量；能量由动能和势能组成，是物体运动状态的“有用”物理量。
回复力和能量是简谐运动的关键特性，它们直接决定了运动的频率、周期和振幅变化，因此在研究简谐运动时非常重要。
简谐振动的能量、单摆和复摆
简谐运动能量图
o
能量
x−t
T
ϕ =0 t x = A cosωt v − t v = − Aω sin ω t
1 E = kA 2 2 1 2 2 E p = kA cos ω t 2
o
T 4
T 2
3T 4
T
t
1 2 2 2 Ek = mω A sin ωt 2
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
− 2A/ 2
2 x1 = ± A 2
O
2A/ 2
x
x1 = ±7.07×10 m
−3
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
机械振动
（5）当物体的位移为振幅的一半时动能、势能 ）当物体的位移为振幅的一半时动能、 各占总能量的多少? 各占总能量的多少
1 2 1 A E Ep = kx = k = 2 2 2 4
ω = k /m
1 2 2 （振幅的动力学意义） E = Ek + Ep = kA ∝ A 振幅的动力学意义） 2
线性回复力是保守力， 简谐运动的系统机械能守恒 线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒 保守力 运动的系统
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
机械振动
x, v
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
（3）总能量； ）总能量；
机械振动
E = Ek ,max= 2.0 × 10 J
（4）物体在何处其动能和势能相等？ ）物体在何处其动能和势能相等？
−3
Ep1 = Ek1 = =
E 2
kA2 4
Ep1 = kx
简谐运动的能量
例1．用机械能守恒定律求弹簧振子的运动方程。
解：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒，即
两边对时间求导，得
即
令 ，则
其解为
代入守恒方程可得
A=A’
例2．劲度系数为k、原长为l、质量为m的匀质弹簧，一端固定，另一端系一质量为M的物体，在光滑的水平面上作直线运动，求其运动方程。
2．共振角频率与共振振幅：
1）共振角频率：系统发生共振时强迫力的角频率称为共振角频率，用ωr表示。用求极值的方法
计算可得
2）共振振幅
3）共振时受迫振动位移与强迫力之间的相位差
3．说明：
1）ωr略小于ω0，当阻尼因子β趋于零而发生共振现象时，共振角频率等于系统的固有角频率，ωr=ω0；
2）当β→0，ωr=ω0时，共振振幅趋于无穷大，这种情况称为尖锐共振；此时受迫振动位移与强迫力之间的相位差为
考虑到 ，则
（2）结论
弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比。
（3）解释
由于系统不受外力作用，并且内力为保守力，故在简谐运动的过程中，动能与势能相互转化，总能量保持不变。
（4）说明
1）E∝A2，对任何简谐运动皆成立；
2）动能与势能都随时间作周期性变化，变化频率是位移与速度变化频率的两倍，而总能量保持不变；且总能量与位移无关。
动能Ek=E-Ep
2．能量曲线
注意理解能量守恒和动能、势能相互转化过程。
二、能量平均值
定义：一个随时间变化的物理量f(t)，在时间T内的平均值定义为
因而弹簧振子在一个周期内的平均动能为
因而弹簧振子在一个周期内的平均势能为
结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等于总能量的一半。
物理-简谐振动的能量 几个简谐振动的实例
振动动能 弹性势能
Ek
1 2
m 2
Ep
1 2
kx2
一、简谐振动的能量
x, υ
o
T
能量
o T T T 3T 42 4
设 0
x Acosωt t
υ Aωsinωt
E 1 kA2 2
Ep
1 2
kA2
cos2
ωt
t
Ek
1 2
kA2
sin2
ωt
一、简谐振动的能量
弹簧振子的势能曲线
Ep
1 2
kx2
C
Ek
E Ep
1 kA2 1 kx2
2
2
Ep
E
B
Ek
Ep
A O x A
x
一、简谐振动的能量
推广
E Ek Ep A2
(1) 作简谐振动的系统机械能守恒！ (2) 简谐振动的总机械能与振幅的平方成正比！
一、简谐振动的能量
拓展：谐振动的能量守恒与其动力学方程的关系
二、几个简谐振动的实例
解：
E Ep Ek
1 kA2 2
当 x A / 2时：
Ep
1 2
kx2
1 2
k
A 2
2
1 4
E
Ek
E
Ep
3 4
E
二、几个简谐振动的实例
解：
E
Ep
Ek
1 2
kA2
Ep
1 2
kx 2
1 2
1 2
kA2
x 2 A 2
欢迎网上答疑
例：弹簧振子
E 1 m 2 1 kx2 恒量
简谐运动的回复力和能量课件
弹簧振子由质量块和线性弹簧组成，当弹簧处于自然长度时，振子的平衡位置。回复力由弹簧的弹力和质量块的 重力合成，其大小与偏离平衡位置的位移成正比，方向始终指向平衡位置。弹簧振子的振动周期和频率与弹簧的 劲度系数和质量有关。
振动的机械能守恒
总结词
在无外力作用的理想情况下，简谐运动过程中机械能守恒，即动能和势能之和保持不变。
02
通过研究简谐运动，可以深入理 解振动的本质和规律，为研究更 复杂的振动和波动现象奠定基础 。
简谐运动在实际中的应用
01
机械振动
机械振动是简谐运动的一种表现形式，如钟摆、弹簧振子等。通过对简
谐运动的研究，可以了解机械振动的规律和特性，进而应用于工程实践。
02 03
声学
声波是一种波动现象，其传播规律与简谐运动密切相关。通过对简谐运 动的研究，可以深入理解声波的传播机制和特性，为声学技术的应用提 供理论支持。
以弹簧振子为例，当振子从平衡位置向最大位移处运动时， 回复力方向指向平衡位置；当振子从最大位移处向平衡位置 运动时，回复力方向远离平衡位置。
03
简谐运动的能量
简谐运动的能量守恒
简谐运动过程中，系统的能量保持不变，即能量 守恒。
能量守恒是指系统在运动过程中，动能和势能之 间的相互转化，总能量保持不变。
中能量会有所损耗。
能量损耗表现为系统在振动 过程中，部分能量转化为热 能或其他形式的能量，使得
系统总能量逐渐减少。
阻尼是造成能量损耗的主要原 因之一，它通过摩擦力等形式 将机械能转换为热能散发到周
围环境中。
04
简谐运动的实例分析
单摆的简谐运动
总结词
单摆的简谐运动是物理学中一个经典的 例子，它展示了简谐运动的基本特征和 原理。
知识讲解 简谐运动的回复力和能量、单摆 基础
简谐运动的回复力和能量、单摆 编稿：张金虎 审稿：吴嘉峰【学习目标】1．掌握简谐运动的动力学特征，明确回复力的概念。
2．知道简谐运动是一种没有能量损耗的理想情况。
3．理解简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。
4．知道什么是单摆。
5．理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。
6．知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。
【要点梳理】要点一、简谐运动的回复力、能量 1．回复力物体振动时受到的回复力的方向总是指向平衡位置，即总是要把物体拉回到平衡位置的力称为回复力．F kx =－．要点诠释：（1）负表示回复力的方向是与位移方向相反．（2）k 为F 与x 的比例系数，对于弹簧振子，k 为劲度系数．（3）对水平方向振动的弹簧振子，回复力由弹簧的弹力提供；对竖直方向振动的弹簧振子，回复力由弹簧的弹力与重力两力的合力提供．（4）物体做简谐运动到平衡位置时，回复力为0（但合力可能不为0）．（5）回复力大小随时间按正弦曲线变化．2．简谐运动的能量（1）弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，即振动过程中机械能守恒． （2）水平方向的振子在平衡位置的机械能以动能的形式出现，势能为零；在位移最大处势能最大，动能为零．（3）简谐运动中系统的动能与势能之和称为简谐运动的能量，即212E kA =。
（4）简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能 量越大．（5）在振动的一个周期内，动能和势能间完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小．要点二、简谐运动的特征1．物体做简谐运动的三个特征 （1）振动图像是正弦曲线；（2）回复力满足条件F kx =－；（3）机械能守恒．2．简谐运动的判定方法（1）简谐运动的位移一时间图像是正弦曲线或余弦曲线．（2）故简谐运动的物体所受的力满足F kx=－，即回复力F与位移x成正比且方向总相反．（3）用F kx=－判定振动是否是简谐运动的步骤：①对振动物体进行受力分析；②沿振动方向对力进行合成与分解；③找出回复力，判断是否符合F kx=－．要点三、简谐运动的运动特点1．简谐运动的加速度分析方法简谐运动是一种变加速的往复运动，由ka xm=-知其加速度周期性变化，“－”表示加速度的方向与振动位移x的方向相反，即总是指向平衡位置，a的大小跟x成正比．2．简谐运动的运动特点物体位置位移x回复力F加速度a速度v势能pE动能kE方向大小方向大小方向大小方向大小平衡位置O 零零零mv零kmE最大位移处M 指向MA指向OkA指向OkAm零pmE零O M →指向MA→零指向OkA→零指向OkAm→零指向Mmv→零pmE→零kmE→零M O→指向MA→零指向OkA→零指向OkAm→零指向Omv→零pmE→零kmE→零通过上表不难看出：位移、回复力、加速度三者同步变化，与速度的变化相反．通过上表可看出两个转折点：平衡位置O点是位移方向、加速度方向和回复力方向变化的转折点；最大位移处是速度方向变化的转折点．还可以比较出两个过程的不同特点，即向平衡位置O靠近的过程及远离平衡位置O的过程的不同特点：靠近O点时速度大小变大，远离O点时位移、加速度和回复力大小变大3．弹簧振子在光滑斜面上的振动光滑斜面上的小球连在弹簧上，把原来静止的小球沿斜面拉下一段距离后释放，小球的运动是简谐运动．分析如下：如图所示，小球静止时弹簧的伸长量为0sin mg x kθ=， 往下拉后弹簧相对于静止位置伸长x 时，物体所受回复力()0sin F k x x mg kx θ=++=－－．由此可判定物体是做简谐运动的．要点四、单摆 1．单摆单摆指在一条不可伸长的，又没有质量的线的下端系一质点所形成的装置．单摆是实际摆的理想化的物理模型．实际摆可视为单摆的条件：细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略．一个很轻的细线系着一个有质量的质点，这个模型叫做单摆．在实验室里，如果悬挂物体的细线的伸缩和质量可以忽略，细线的长度比物体的直径大得多，这样的装置就叫做单摆． 单摆做简谐运动的条件：小球摆到最高点时，细线与竖直方向的夹角叫偏角．偏角很小时，单摆做简谐运动． 2．单摆做简谐运动的回复力单摆做简谐运动的回复力是由重力mg 沿圆弧切线的分力 sin F mg θ=切提供（不要误认为是摆球所受的合外力）．当θ很小时，圆弧s 可以近似地看成直线x ，sin xlθ=．切线的分力F 可以近似地看做沿这条直线作用，这时可以证明mgF x kx l=-=-．可见，在偏角很小的情况下，单摆振动时回复力跟位移成正比而方向相反，是简谐运动． 3．单摆的周期公式荷兰物理学家惠更斯发现在偏角很小的情况下，单摆的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，而跟摆球的质量和振幅无关，即 2l T gπ= 式中l 为悬点到摆球球心间的距离，g 为当地的重力加速度．（1）单摆的等时性：往振幅较小时，单摆的周期与单摆的振幅尤天，单摆的这种性质叫单摆的等时性．（2）单摆的周期公式：由简谐运动的周期公式2m T kπ=， 对于单摆mgk l=， 所以2l T gπ=． 周期为2 s 的单摆，叫做秒摆，由周期公式2l T gπ= 得秒摆的摆长222229.8m 1m 44 3.14T g l π⋅⨯==≈⨯． 4．单摆的应用（1）计时器：利用单摆周期与振幅无关的等时性，制成计时仪器，如摆钟等．由单摆周期公式知道，调节单摆摆长即可调节钟表快慢．（2）测定重力加速度：把单摆周期公式变形，得224/g l T π=．由此可知，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以测出当地的重力加速度g 。
大学物理下册目录
2021/4/9
9
感谢您的阅读收藏，谢谢！
2021/4/9
10
2021/4/9
2
ห้องสมุดไป่ตู้
第十章 波动
10 - 1 机械波的几个概念 10 - 2 平面简谐波的波函数 10 - 3 波的能量 能流密度 10 - 4 惠更斯原理 波的衍射和干涉 10 - 5 驻波 10 - 6 多普勒效应 10 - 7 平面电磁波
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第十一章 光学
11 - 1 相干光 11 - 2 杨氏双缝干涉 劳埃德镜 11 - 3 光程 薄膜干涉 11 - 4 劈尖 牛顿环 11 - 5 迈克尔孙干涉仪 时间相干性
物理学（第五版） 下 册目录
第 九 章 振动
第 十 章 波动
第十一章 光学
第十二章 气体动理论 第十三章 热力学基础
第十四章 相对论
第十五章 量子物理
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第九章 振动
9 - 1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位 9 - 2 旋转矢量 9 - 3 单摆和复摆 9 - 4 简谐运动的能量 9 - 5 简谐运动的合成 9 – 7 电磁振荡
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6
第十三章 热力学基础
13-1 准静态过程 功 热量
13-2 热力学第一定律 内能
13-3 理想气体的四种典型过程 摩尔热容
13-5 循环过程 卡诺循环
13-6 热力学第二定律的表述 卡诺定理
13-7 熵 熵增加原理
13-8 热力学第二定律的统计意义
2021/4/9
7
第十四章 相对论
14 - 1 伽利略变换式 牛顿的绝对时空观 14 - 2 迈克尔孙－莫雷实验 14 - 3 狭义相对论和基本原理 洛伦兹变换式 14 - 4 狭义相对论的时空观 14 - 6 相对论性动量和能量
简谐运动的回复力和能量 课件
1.简谐运动的回复力
(1)简谐运动的动力学定义:如果质点所受的力与它偏离平衡位置
位移的大小成正比,并且总是指向平衡位置,质点的运动就是简谐
运动。
(2)回复力的概念:振动物体偏离平衡位置后,所受到的使它回到
平衡位置的力。
(3)回复力的方向:跟振子偏离平衡位置的位移方向相反,总是指
向平衡位置,它的作用是使振子能够回到平衡位置。
(4)回复力的表达式:F=-kx,即回复力与物体的位移大小成正比,负
号表明回复力与位移方向始终相反,k是常数,由简谐运动系统决定。
对于弹簧振子,k为弹簧的劲度系数。
2.简谐运动的能量
(1)振子的速度与动能:水平弹簧振子运动过程中,速度不断变化,
动能也在不断变化。
振动即为简谐运动,否则不是。
ห้องสมุดไป่ตู้
解析：
答案：是
简谐运动中的能量问题
【例3】 如图所示,一弹簧振子在光滑水平面的A、B两点间做简谐
运动,平衡位置为O,已知振子的质量为m。
(1)简谐运动的能量取决于
,本题中物体振动时
和
相互转化,总
守恒。
(2)关于振子的振动过程,以下说法正确的是(
)
A.振子在平衡位置,动能最大,势能最小
力和空气阻力,只有弹力或重力做功,振动过程中动能和势能相互
转化,总量保持不变,系统的机械能守恒。
3.振动系统的机械能跟振幅有关,振幅越大,机械能越大。
三、判断振动是否为简谐运动的方法有哪些
1.运动学方法:找出质点的位移与时间的关系,若遵从正弦函数的
规律,即它的振动图象(x-t图象)是一条正弦曲线,就可判定此振动为
度的变化相反。通过上表可看出两个转折点:平衡位置O点是位移
简谐运动的回复力和能量、单摆
简谐运动的回复力和能量、单摆【学习目的】1．掌握简谐运动的动力学特征，明确回复力的概念。
2．知道简谐运动是一种没有能量损耗的理想情况。
3．理解简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。
4．知道什么是单摆。
5．理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。
6．知道单摆的周期跟什么因素有关，理解单摆的周期公式，并能用来进展有关的计算。
【要点梳理】要点一、简谐运动的回复力、能量 1．回复力物体振动时受到的回复力的方向总是指向平衡位置，即总是要把物体拉回到平衡位置的力称为回复力．要点诠释：〔1〕负号表示回复力的方向是与位移方向相反．〔2〕k 为F 与x 的比例系数，对于弹簧振子，k 为劲度系数．〔3〕对程度方向振动的弹簧振子，回复力由弹簧的弹力提供；对竖直方向振动的弹簧振子，回复力由弹簧的弹力与重力两力的合力提供．〔4〕物体做简谐运动到平衡位置时，回复力为0〔但合力可能不为0〕．〔5〕回复力大小随时间按正弦曲线变化．2．简谐运动的能量〔1〕弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，即振动过程中机械能守恒． 〔2〕程度方向的振子在平衡位置的机械能以动能的形式出现，势能为零；在位移最大处势能最大，动能为零．〔3〕简谐运动中系统的动能与势能之和称为简谐运动的能量，即212E kA =。
〔4〕简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能 量越大．〔5〕在振动的一个周期内，动能和势能间完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小． 要点二、简谐运动的特征1．物体做简谐运动的三个特征 〔1〕振动图像是正弦曲线；〔2〕回复力满足条件F kx =－；〔3〕机械能守恒．2．简谐运动的断定方法〔1〕简谐运动的位移一时间图像是正弦曲线或余弦曲线．〔2〕故简谐运动的物体所受的力满足F kx =－，即回复力F 与位移x 成正比且方向总相反．〔3〕用F kx =－断定振动是否是简谐运动的步骤： ①对振动物体进展受力分析；②沿振动方向对力进展合成与分解；③找出回复力，判断是否符合F kx =－． 要点三、简谐运动的运动特点1．简谐运动的加速度分析方法简谐运动是一种变加速的往复运动，由ka x m=-知其加速度周期性变化，“－〞表示加速度的方向与振动位移x 的方向相反，即总是指向平衡位置，a 的大小跟x 成正比．通过上表不难看出：位移、回复力、加速度三者同步变化，与速度的变化相反．通过上表可看出两个转折点：平衡位置O 点是位移方向、加速度方向和回复力方向变化的转折点；最大位移处是速度方向变化的转折点．还可以比拟出两个过程的不同特点，即向平衡位置O 靠近的过程及远离平衡位置O 的过程的不同特点：靠近O 点时速度大小变大，远离O 点时位移、加速度和回复力大小变大 3．弹簧振子在光滑斜面上的振动光滑斜面上的小球连在弹簧上，把原来静止的小球沿斜面拉下一段间隔 后释放，小球的运动是简谐运动．分析如下：如下图，小球静止时弹簧的伸长量为往下拉后弹簧相对于静止位置伸长x 时，物体所受回复力 由此可断定物体是做简谐运动的． 要点四、单摆 1．单摆单摆指在一条不可伸长的，又没有质量的线的下端系一质点所形成的装置．单摆是实际摆的理想化的物理模型．实际摆可视为单摆的条件：细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略．一个很轻的细线系着一个有质量的质点，这个模型叫做单摆．在实验室里，假如悬挂物体的细线的伸缩和质量可以忽略，细线的长度比物体的直径大得多，这样的装置就叫做单摆． 单摆做简谐运动的条件：小球摆到最高点时，细线与竖直方向的夹角叫偏角．偏角很小时，单摆做简谐运动． 2．单摆做简谐运动的回复力单摆做简谐运动的回复力是由重力mg 沿圆弧切线的分力 sin F mg θ=切提供〔不要误认为是摆球所受的合外力〕．当θ很小时，圆弧s 可以近似地看成直线x ，sin xlθ=．切线的分力F 可以近似地看做沿这条直线作用，这时可以证明mgF x kx l=-=-． 可见，在偏角很小的情况下，单摆振动时回复力跟位移成正比而方向相反，是简谐运动．3．单摆的周期公式荷兰物理学家惠更斯发如今偏角很小的情况下，单摆的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，而跟摆球的质量和振幅无关，即式中l 为悬点到摆球球心间的间隔 ，g 为当地的重力加速度．〔1〕单摆的等时性：往振幅较小时，单摆的周期与单摆的振幅尤天，单摆的这种性质叫单摆的等时性．〔2〕单摆的周期公式：由简谐运动的周期公式 对于单摆 所以周期为2 s 的单摆，叫做秒摆，由周期公式 得秒摆的摆长 要点五、单摆的应用1．单摆的应用〔1〕计时器：利用单摆周期与振幅无关的等时性，制成计时仪器，如摆钟等．由单摆周期公式知道，调节单摆摆长即可调节钟表快慢．〔2〕测定重力加速度：把单摆周期公式变形，得224/g l T π=．由此可知，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以测出当地的重力加速度g 。
简谐运动的回复力和能量精品课件ppt
•
1.分析单摆和弹簧振子振动过程中能量的转
化情况，提高学生分析和解决问题的能力。2.通
过阻尼振动的实例分析，提高处理实际问题的能
力。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
• 三、德育目标
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
一、简谐运动的回复力
1.回复力:振动物体受到的总是指向平衡位置的力.
是物体在振动方向上的合外力.
动力学特点： F=-kx
2.简谐运动 运动学特点a： kx
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
11.3《简谐运动的 回复力和能量》
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
mg=-kx0
当向下拉动x长度时弹簧所受的
合外力为
F=-k(x+x0)+mg =-kx-kx0+mg =-kx
(符合简谐运动的公式)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
例1:做简谐运动的物体，当位移为负
简谐运动的加速度大小和方向都随时间 做周期性的变化，所以
简谐运动的回复力和能量课件
B→O O→A A→O O→B
位移的方 向
力的方向
向右 向左
向左 向左 向右 向右 向右 向左
位移方向 与力的方 向的关系
相反
相反
相反
相反
弹簧弹力与位移的关系式
.
F kx
k ----弹簧的劲度系数(常量) x ----振子离开平衡位置的位移
“-” 表示弹簧弹力方向始终与位移方向相反。
x/cm
8t2t1源自t3t/s-8本节课小结
简谐运动回复力的特点 简谐运动过程中能量的变化关系 简谐运动过程中物理量的变化规律
作业布置
课后习题和练习册上对应的习题
从O→B
四、简谐运动的特点：
1、回复力与位移成正比而方向相反，总是指向 平衡位置。
2、简谐运动是一种理想化的运动，振动过程中 无阻力，所以振动系统机械能守恒。
3、简谐运动是一种非匀变速运动。 4、在平衡位置位移、回复力、加速度、弹性势
能最小，动能最大。在最大位移处位移、回 复力、加速度、弹性势能最大，动能最小。
第三节 简谐运动的回复力和能量
情景设置
物体做匀变速直线运动时，所受的合力大 小、方向都不变;物体做匀速圆周运动时， 所受的合力大小不变、方向与速度方向垂 直并指向圆心。 物体做简谐运动时，所受到的合力有什么特
点呢?
弹簧振子在运动过程中受到哪些力的作用？ 合力由什么力提供？
合力的大小在振子运动过程中如何变化？
动能
势能 总能
A A→O O
最大
0
0
最大
最大
0
0 最大 不变 不变
最大
0
不变
O→B B
简谐运动的能量
即两个分振动同相时，合振幅等于分振幅之和。
若 ，则
即两个分振动反相时，合振幅等于分振幅之差的绝对值。
一般情况下，合振动的振幅则在 与 之间。
3）上述结论可以推广到多个同方向同频率简谐运动的合成，即
合振动： 也是简谐运动
和 也可以用一般矢量求和的方法得到。
二、同方向不同频率简谐运动的合成
问题：某质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐运动
2．共振角频率与共振振幅：
1）共振角频率：系统发生共振时强迫力的角频率称为共振角频率，用ωr表示。用求极值的方法
计算可得
2）共振振幅
3）共振时受迫振动位移与强迫力之间的相位差
3．说明：
1）ωr略小于ω0，当阻尼因子β趋于零而发生共振现象时，共振角频率等于系统的固有角频率，ωr=ω0；
2）当β→0，ωr=ω0时，共振振幅趋于无穷大，这种情况称为尖锐共振；此时受迫振动位移与强迫力之间的相位差为
即合振动的频率为：
合振幅变化的周期：
拍频：
用旋转矢量法理解：
假设 ，所以 比 转动得快，当 转到与 反方向位置时，合振幅最小；当 转到与 同方向位置时，合振幅最大，并且这种变化是周期性的。
拍的应用：
用音叉的振动来校准乐器；
利用拍的规律测量超声波的频率；
在无线电技术中，可以用来测定无线电波频率以及调制
（4）说明
1）E∝A2，对任何简谐运动皆成立；
2）动能与势能都随时间作周期性变化，变化频率是位移与速度变化频率的两倍，而总能量保持不变；且总能量与位移无关。
动能Ek=E-Ep
2．能量曲线
注意理解能量守恒和动能、势能相互转化过程。
二、能量平均值
定义：一个随时间变化的物理量f(t)，在时间T内的平均值定义为
简谐运动能量公式
简谐运动能量公式
简谐运动能量公式是描述简谐运动能量的公式，它是物理学中非常重要的公式之一。
简谐运动是指物体在一个周期内做往复运动的运动形式，例如弹簧振子、摆锤等。
简谐运动的能量公式为：
E = 1/2 kA^2
其中，E表示简谐运动的总能量，k表示弹性系数，A表示振幅。
这个公式告诉我们，简谐运动的能量与弹性系数和振幅的平方成正比。
弹性系数是描述物体弹性的物理量，它越大，物体的弹性就越强。
振幅是指物体在简谐运动中的最大位移，它越大，物体的能量就越大。
因此，简谐运动的能量与物体的弹性和振幅密切相关。
简谐运动的能量公式还可以用来计算简谐振动的频率。
频率是指物体在单位时间内完成的周期数，它与简谐运动的周期T的倒数成正比。
简谐振动的周期T可以表示为：
T = 2π√(m/k)
其中，m表示物体的质量。
将周期T代入简谐运动能量公式中，可以得到简谐振动的能量公式：
E = 1/2 kA^2 = 1/2 mω^2A^2
其中，ω表示简谐振动的角频率，它等于2π/T。
这个公式告诉我们，简谐振动的能量与物体的质量、角频率和振幅的平方成正比。
简谐运动能量公式是物理学中非常重要的公式之一，它不仅可以用来描述简谐运动的能量，还可以用来计算简谐振动的频率和角频率。
在实际应用中，我们可以利用这个公式来设计和优化各种简谐振动系统，例如弹簧振子、摆锤等。
简谐运动的能量
5、简谐运动是理想化的振动，振动过程中系统的 能量守恒.
2021/4/9
6
二、阻尼振动
点击下图观看动画演示
2021/4/9
7
动画演示的是实际振动情况：
1、实际的振动与理想化的振动不同，由于振 动过程中要克服阻力做功，将一部分机械能 转化为其他形式的能量，导致振动的总能量 不断减小，即振幅不断减小．
2021/4/9
4
3、竖直弹簧振子的振动能量
沿竖直方向振动的 弹簧振子：通过回复 力（重力和弹簧弹力 的合力）做功，动能 和势能（包括重力势 能、弹性势能）间相 互转化．
在此过程中，因为 只有重力和弹簧弹力 做功，所以总机械能 不变．
2021/4/9
5
因此：
1、简谐运动中，通过回复力做功，动能和势能间 相互转化，总机械能保持不变．
A．1次
B．2次
C．3次
D．4次
2021/4/9
9
2．弹簧振子在振动过程中振幅逐渐减小， 这是由于（ ）
A．振子开始振动时的振幅大小
B．在振动过程中要不断克服阻尼的作用 做功，消耗了系统的机械能
C．动能总是不断地减小
D．势能总是不断地减小
2021/4/9
10
3．把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组 成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围
2、阻尼振动：振幅逐渐减小的振动叫做阻尼 振动，也叫减幅振动．
3、振幅减小的快慢跟所受的阻尼有关，阻尼 越大，振幅减小得越快．
4、阻尼振动若在一段不太长的时间内振幅没 有明显的减小，可认为是等幅振动．
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8
练习：
1．弹簧振子在完成一次全振动的 过程中势能转化为动能的周期性变 化次数是（ ）
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大学物理 第九单元 振动
第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
动能
Ek
1 2
mv 2
1 2
m
2
A2
sin
2
(t
)
( 2
k m
)
1 2
kA2
sin 2 (t
)
Ek
1 2
kA2
sin
2
(t
)
Ek max
1 kA2 2
,
Ek min 0
Ek
1 T
t T t
Ek dt
0
O
l
*C
P
（ C 点为质 心）
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d 2
dt 2
2
0
第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
m cos(t )
简谐振动
mgl J
T 2π 2π
J mgl
O
l
*C
P
（ C 点为质心）
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解（ 3 ）Esum E k,max 2.0 103 J
（ 4 ）Ek Ep 时 Ep 1.0 103 J
由 Ep
1 kx2 2
1 2
m 2 x 2
x2
2Ep
m 2
0.5 104 m 2
x 0.707 cm
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大学物理 第九单元 振动
大学物理 第九单元 振动
第 九 单 元 振 动 第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
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壹.单摆和复摆
第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
1 、单摆：
由一根不可伸长、质量不计的绳子，上端固定 ，下端系一质点的装置叫做单摆。单摆在摆角小 于 5° 的条件下振动时，可近似认为是简谐运动 。
1 kA2 4
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第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
势能 x Acos(t )
Ep
1 kx2 2
1 2
kA2
cos2 (t
)
E p max , E p min , E p
情况同动能。
E p max
1 kA2 2
,
Ep min 0
vt
v A sin t
E
1 2
kA2
Ep
1 2
kA2
cos 2
t
o T T 3T T 42 4
t
Ek
1 2
m
2
A2
sin
2
t
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第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
简谐运动能量守恒，振幅不
E
1 kA2 2
变
简谐运动势能曲线
Ep
C
E
B
Ek
Ep
A
Ox
A x
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第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
能量守恒 推导 简谐运动方程
E
1 2
mv
2
1 kx2 2
常量
d dt
(
1 2
mv 2
1 2
kx2 )
0
mv
dv dt
kx
dx dt
0
d2x dt 2
k m
x
0
x 简A谐co运s(动t )
物理摆、弹性摆、绳摆、沙漏摆、……
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第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
单摆动力学分析：
M mgl sin mgl
5 时，sin
mgl
J
d 2
dt 2
d 2
dt 2
g l
A
l
FT m
O
J ml 2
T 2 π 0.314 s
amax 20 s 1
A
（ 2）
Ek ,max
=
1 2
mw2 A2
2.0 103 J
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第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
已知 m 0.10 kg，A 1.0 102 m， amax 4.0 m s2 求 :( 3) Esum ； (4) 何处动势能相等 ?
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第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
二 . 简谐运动的能量
能量是伴随运动而存在的，简谐运动同样具 有动能和势能。
1 、简谐振动的能量 ( 以水平弹簧振子为例 )
运动产生动能 v Asin(t )
弹簧形变产生势能 x Acos(t )
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Ep
1 4
kA2
机械能
E
Ek
Ep
1 2
kA2
1 2
m 2 A2
E 不随时间变化，简谐振动系统机械能守恒。
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第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
2 、简谐振动系统的能量特点
x, v o
能量
简谐运动能量图
xt
0 x A cost
T
t
第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
例 2 一单摆的悬线长 l=1.5 m ，在顶端固定 点的铅直下方 0.45 m 处有一小钉，如图设两方摆 动均较小，问单摆的左右两方振幅之比 A １／Ａ
２ 为解多 少左？右 摆 长 分 别 为 ：
0.45 l １＝ 1.5 － 0.45 ＝ 1.05 m
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第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
已知
m 0.10 kg，A 1.0 102 m，
amax 4.0 m s2 求 :( 1) T ； ( 2) Ek,max
解 （ 1 ） a A 2 cost
amax A 2
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第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
例 1 质量0为.10 kg
的弹簧振子，以1.0振1幅02 m
4.0作m简 s谐2 运动，其
最大（加速1 ）度振为动的周期； ， 求：
（ 2 ）通过平衡位置的动能； （ 3 ）总能量； （ 4 ）物体在何处其动能和势能相等？
P
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第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
2 、 复摆 任意形状、小角度、无摩擦、自由
M l F
( 5 ) 摆动。
M mgl sin mgl
Ja
J
d 2
dt 2
mgl
J
d 2
dt 2
令 2
mgl
J d 2
dt 2
2
P
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第二讲 单摆和复摆 简谐运动的能量
d 2
dt 2
g l
令
2
g l
d 2
dt 2
2
0
简谐振动
m cos(t )
T 2 2
l g
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A
l
FT m
O
J ml 2