平面直角坐标系与几何图形相结合
平面直角坐标系与图形的对称
对称中心
对于中心对称图形，存在一个固定点，使得图形关于这个点 对称。这个点被称为对称中心。
对称变换基本性质
对称变换不改变图形的形状和大小， 只改变图形的方向或位置。
对于轴对称图形，对称轴两侧的图形 完全重合；对于中心对称图形，关于 对称中心的任意两点连线都被对称中 心平分。
对称变换具有可逆性，即如果图形A 经过对称变换得到图形B，那么图形B 也可以经过相应的对称变换得到图形 A。
03
对于某些具有旋转对称性的图形，通过旋转坐标系可以使得对
称性的描述更加直观。
坐标系变换下图形对称性变化规律
平移变换
平移变换不改变图形的对称性，但会改变对称轴或对称中心的位 置。
旋转变换
旋转变换可以改变图形的对称性，如将轴对称图形转变为中心对称 图形或将非对称图形转变为对称图形。
缩放变换
缩放变换不改变图形的对称性类型，但会改变对称轴或对称中心的 位置以及对称点的坐标。
。
02
图形对称性质简介
对称图形定义及分类
定义
如果一个图形经过一次变换后，与另 一个图形重合，则称这两个图形关于 这次变换对称。
分类
根据对称变换的不同，对称图形可以 分为轴对称图形和中心对称图形。
对称轴和对称中心概念
对称轴
对于轴对称图形，存在一条直线，使得图形关于这条直线对 称。这条直线被称为对称轴。
定义
平面直角坐标系由两条互相垂直、原点重合的数轴组成，通常水平方向的数轴 称为x轴，竖直方向的数轴称为y轴。
性质
在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示，即点的坐标。 坐标原点用(0,0)表示，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。
坐标轴上点表示方法
专题06 平面直角坐标系与几何结合的点坐标问题—2023年中考数学必考特色题型讲练(原卷版)
专题06平面直角坐标系与几何结合的点坐标问题选题介绍本题型在河南省近五年的中招试卷中考了3次，分别为2021年第9题，2020年第9题，2018年第9题。
该题一般为选择题型，分值3分，平面直角坐标系与几何相结合的题型每年中招试题中均有涉及，规律型问题（2022年真题第9题、2019年真题第10题，专题均已归纳总结）、尺规作图相结合问题。
本题属于几何题型，侧重于对题意的几何理解，难度系数中等，得分率偏高。
本专题主要归纳总结几何中的平移、旋转、折叠中设计到的求点坐标问题。
根据已有的图像与文字提供的信息，按照以下思维过程解题：①对平面直角系相关知识点充分了解，判定所求点位置坐标；②运用平移、旋转、折叠等相关性质求解对应量；③利用点的坐标表示出相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标。
真题展现2021年河南中招填空题第9题9．（3分）如图，▱OABC的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D．将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD′A′，当点D的对应点D′落在OA上时，D′A′的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为（）A．（2，0）B．（2，0）C．（2+1，0）D．（2+1，0）2020年河南中招填空题第9题9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（）A．（，2）B．（2，2）C．（，2）D．（4，2）2019年河南中招填空题第9题9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（）A．2B．4C．3D．2018年河南中招填空题第9题9．（3分）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D ，E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点F ；③作射线OF ，交边AC 于点G ，则点G 的坐标为（）A ．（﹣1，2）B ．（，2）C ．（3﹣，2）D ．（﹣2，2）模拟演练1．如图，在平面直角坐标系中，//AB DC ，AC BC ⊥，5CD AD ==，6AC =，将四边形ABCD 向左平移m 个单位后，点B 恰好和原点O 重合，则m 的值是()A ．11.4B ．11.6C ．12.4D ．12.62.如图，将ABC 绕点(0,2)C -旋转180︒得到DEC ，设点D 的坐标为(,)a b ，则点A 的坐标为（）A.(,)a b --B.(,2)a b ---C.(,2)a b --D.(,2)a b --3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，等边AOB 的顶点O 在原点上，OA 在x 轴上，4OA =，C 为AB 边的中点，将等边AOB 向右平移，当点C 落在直线MN ：4y x =-+上时，点C 的对应点'C 的坐标为（）A.(B.(1+C.D.(4-4.如图，在平面直角坐标系中，已知()20A -，，()04B ，，点C 与坐标原点O 关于直线AB 对称．将ABC 沿x 轴向右平移，当线段AB 扫过的面积为20时，此时点C 的对应点1C 的坐标为（）A.7855⎛⎫ ⎪⎝⎭，B.9855⎛⎫ ⎪⎝⎭，C.1855⎛⎫- ⎪⎝⎭，D.1655⎛⎫- ⎪⎝⎭，5.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A 的坐标为()0,2，点B 的坐标为()4,0，点E 为对角线的交点，点F 与点E 关于y 轴对称，则点F 的坐标为（）A.()2,3-B.()3,3-C.()3,2-D.()3,3-6.如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1：2，CO CD =，=90OCD ∠︒，若()10B ,，则点C 的坐标为（）A.()1,2-B.()2,1-C.D.()1,1-7.如图，在△AOB 中，顶点O 与原点重合，90∠=︒ABO ，AB OB =，()2,4A -，点C 为边OA 上一点，且4OA OC =．将△AOB 向右平移，当点C 的对应点C '恰好落在直线4y x =-+上时，点B 的对应点B '的坐标为（）A.()2,1B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()4,2D.1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭8.在平面直角坐标系中，已知两点()75A ，，()43B ，，先将线段AB 向右平移1个单位，再向上平移1个单位，然后以原点O 为位似中心，将其缩小为原来的12，得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标为（）A.()4,3 B.()4,3或()4,3-- C.()4,3-- D.()3,2或()3,2--9.如图，在平面直角坐标系中Rt △ABC 的斜边BC 在x 轴上，点B 坐标为（1，0），AC =2，∠ABC =30°，把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A点的对应点A′的坐标为（）A.（﹣4，﹣2B.（﹣4，﹣） C.（﹣2，﹣ D.（﹣2，﹣210．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（）A．（，1）B．（2，1）C．（1，）D．（2，）。
平面直角坐标系的认识与应用
平面直角坐标系的认识与应用平面直角坐标系是数学中常用的一种工具，用于描述平面上的点的位置。
通过平面直角坐标系，我们可以准确地表示和计算点的坐标和距离，从而实现对平面上各种几何问题的分析和解决。
本文将介绍平面直角坐标系的基本概念、表示方法以及在数学与几何问题中的应用。
一、平面直角坐标系的基本概念平面直角坐标系由两个相互垂直的坐标轴组成，通常称为x轴和y 轴。
在平面上选择一个点作为原点O，并确定x轴与y轴的正方向，可以得到一个完整的平面直角坐标系。
在这个坐标系中，任意一点P可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x表示点P在x轴上的坐标，y表示点P在y轴上的坐标。
二、平面直角坐标系的表示方法为了清晰地表示平面直角坐标系，我们通常使用网格线来表示x轴和y轴，并在网格线上标注坐标值。
在x轴和y轴上，我们可以选择一个单位长度，通常用1表示，从而得到其他点的坐标。
例如，点A坐标为(2, 3)，表示点A在x轴上的坐标为2，y轴上的坐标为3。
三、平面直角坐标系的应用平面直角坐标系在数学与几何问题中有着广泛的应用，具体如下所示：1. 点的位置关系：通过比较点的坐标值，我们可以准确地确定点的相对位置。
例如，若点A的坐标为(2, 3)，而点B的坐标为(4, 5)，我们可以判断出点A在点B的左下方。
2. 距离的计算：在平面直角坐标系中，我们可以根据两点的坐标值计算它们之间的距离。
例如，若点A的坐标为(2, 3)，而点B的坐标为(4, 5)，则点A和点B之间的距离为√[(4-2)² + (5-3)²] = √5。
3. 图形的绘制：通过使用平面直角坐标系，我们可以准确地绘制各种图形，如直线、曲线和多边形等。
利用坐标轴上的点和线段，我们可以将抽象的数学概念具象化，并进行图形的分析和推理。
4. 函数的表示：在数学中，函数可以用平面直角坐标系表示。
将函数的自变量作为x轴坐标，函数的值作为y轴坐标，我们可以绘制函数的图像，并通过分析图像来研究函数的性质。
平面直角坐标系的应用
平面直角坐标系的应用平面直角坐标系是数学中一个重要的概念，它在解决各种问题中起到了至关重要的作用。
在这篇文章中，我将为大家介绍平面直角坐标系的应用，并通过具体的例子来说明其重要性。
一、图像的表示与分析平面直角坐标系可以用来表示和分析各种图像。
我们可以通过确定图像上的点在坐标系中的位置来描述图像的特征。
例如，我们可以用平面直角坐标系来表示一条直线。
假设有一条直线过点A(2, 3)和点B(5, 7)，我们可以通过计算斜率和截距来确定这条直线的方程。
通过平面直角坐标系，我们可以轻松地绘制出这条直线，并进一步分析其特征。
二、几何图形的性质研究平面直角坐标系也可以用来研究几何图形的性质。
例如，我们可以通过平面直角坐标系来证明两条直线是否垂直。
假设有两条直线，分别过点A(2, 3)和点B(5, 7)，以及过点C(4, 1)和点D(4, 5)。
我们可以计算两条直线的斜率，如果斜率的乘积为-1，则可以得出这两条直线垂直的结论。
通过平面直角坐标系，我们可以方便地进行这样的几何性质研究。
三、函数的图像与性质分析平面直角坐标系也是研究函数图像和性质的重要工具。
我们可以通过平面直角坐标系来绘制函数的图像，并进一步分析函数的性质。
例如，我们可以通过平面直角坐标系来研究一元二次函数。
对于函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过绘制函数的图像来观察函数的开口方向、顶点位置以及对称轴的位置。
通过平面直角坐标系，我们可以对函数的性质有一个直观的认识。
四、问题的建模与解决平面直角坐标系在问题建模与解决中也起到了重要的作用。
我们可以将实际问题转化为平面直角坐标系中的数学问题，并通过分析坐标系中的几何关系来解决问题。
例如，我们可以通过平面直角坐标系来解决最短路径问题。
假设有一个城市的地图，我们需要从点A(2, 3)走到点B(5, 7)，并希望走的路径尽可能短。
我们可以通过计算两点之间的距离，并在平面直角坐标系中绘制出这两点之间的直线，从而找到最短路径。
《平面直角坐标系》说课稿
《平面直角坐标系》说课稿《平面直角坐标系》说课稿1一、教材分析“平面直角坐标系”是“数轴”的发展，它的建立，使代数的基本元素（数对）与几何的基本元素（点）之间产生一一对应，数发展成式、方程与函数，点运动而成直线、曲线等几何图形，于是实现了认识上从一维空间到二维空间的发展，构成更广阔的范围内的数形结合、互相转化的理论基础。
因此，平面直角坐标系是沟通代数和几何的桥梁，是非常重要的数学工具。
直角坐标系的基本知识是学习全章及至以后数学学习的基础，在后面学习如何画函数图象以及研究一些具体函数图象的性质时，都要应用这些知识；注意到这种知识前后的关系，适当把握好本小节的教学要求，是教好、学好本小节的关键。
如果没有透彻理解这部分知识，就很难学好整个一章内容。
二、教学目标1、理解平面直角坐标系，以及横轴、纵轴、原点、坐标等的概念。
2、认识并能画出平面直角坐标系。
3、能在给定直角坐标系中，由点的位置确定点的坐标，由点的坐标确定点的位置。
4、理解各个象限内的点的坐标的符号特点以及坐标轴上的点的坐标特点。
1637年，笛卡尔在他写的《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》一书中，用运动着的点的坐标概念，引进了变数。
恩格斯在《自然辩证法》高度评价笛卡尔，称其将辩证法引入了数学。
因此，在讲授平面直角坐标系这一部分内容时，应对学生进行运动观点、坐标思想和数形结合思想等唯物辩证观方面的适当教育。
三、重点难点1、教学重点能在平面直角坐标系中，由点求坐标，由坐标描点。
2、教学难点：⑴平面直角坐标系产生的过程及其必要性；⑵教材中概念多，较为琐碎。
如平面直角坐标系、坐标轴、坐标原点、坐标平面、象限、点在平面内的坐标等概念及其特征等等。
四、教法学法本节课以“问题情境──建立模型──巩固训练──拓展延伸”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。
平面直角坐标系与形的位置关系
平面直角坐标系与形的位置关系在数学中，平面直角坐标系是一种常用的坐标系统，用于描述平面上点的位置。
它是由两条互相垂直的直线所构成，它们被称为x轴和y 轴。
平面直角坐标系不仅可以用于描述点的位置，还可以用于研究形的位置关系。
下面将介绍一些常见的形及其与平面直角坐标系的位置关系。
1. 点与平面直角坐标系的位置关系在平面直角坐标系中，点的位置由其在x轴和y轴上的坐标确定。
假设给定一个点P(x, y)，其中x为点P在x轴上的坐标，y为点P在y轴上的坐标。
点与平面直角坐标系的位置关系可以分为四种不同情况：1.1 点位于第一象限当点P的x坐标和y坐标均为正数时，点P位于第一象限。
在平面直角坐标系中，第一象限是x轴和y轴的正方向所在的区域。
以点P为中心，可以画一个半径为r的圆，其中r为点P到原点的距离。
1.2 点位于第二象限当点P的x坐标为负数，y坐标为正数时，点P位于第二象限。
在平面直角坐标系中，第二象限是x轴的负方向和y轴的正方向所在的区域。
1.3 点位于第三象限当点P的x坐标和y坐标均为负数时，点P位于第三象限。
在平面直角坐标系中，第三象限是x轴和y轴的负方向所在的区域。
1.4 点位于第四象限当点P的x坐标为正数，y坐标为负数时，点P位于第四象限。
在平面直角坐标系中，第四象限是x轴的正方向和y轴的负方向所在的区域。
2. 线段与平面直角坐标系的位置关系线段是由两个端点确定的一段连续的直线。
在平面直角坐标系中，线段与坐标系的位置关系可以分为以下几种情况：2.1 线段与x轴平行当线段与x轴平行时，表示线段的两个端点具有相同的y坐标。
这种情况下，线段在平面直角坐标系中水平延伸。
2.2 线段与y轴平行当线段与y轴平行时，表示线段的两个端点具有相同的x坐标。
这种情况下，线段在平面直角坐标系中垂直延伸。
2.3 斜线段斜线段既不与x轴平行，也不与y轴平行。
这种情况下，线段在平面直角坐标系中呈现斜线倾斜的状态。
3. 矩形与平面直角坐标系的位置关系矩形是一种常见的四边形，其四个内角均为直角。
平面直角坐标系数形结合思想
平面直角坐标系数形结合思想平面直角坐标系是一种常用的坐标系，它由一条水平的x轴和一条垂直的y轴组成，以原点O（0，0）为中心，x轴和y轴上的点可以用坐标（x，y）来表示。
在平面直角坐标系中，任意一点P（x，y）的坐标可以用下面的公式表示：P（x，y）=（x，y）其中，x表示点P在x轴上的横坐标，y表示点P在y轴上的纵坐标。
在平面直角坐标系中，任意一点P（x，y）到原点O（0，0）的距离可以用下面的公式表示：d=√（x^2+y^2）其中，d表示点P到原点O的距离，x表示点P在x轴上的横坐标，y表示点P在y轴上的纵坐标。
此外，在平面直角坐标系中，任意一点P（x，y）到x轴的距离可以用下面的公式表示：d_x=|x|其中，d_x表示点P到x轴的距离，x表示点P在x轴上的横坐标。
同理，在平面直角坐标系中，任意一点P（x，y）到y轴的距离可以用下面的公式表示：d_y=|y|其中，d_y表示点P到y轴的距离，y表示点P在y轴上的纵坐标。
此外，在平面直角坐标系中，任意一点P（x，y）的坐标可以用极坐标表示，极坐标由极轴和极角组成，极轴表示点P到原点O的距离，极角表示点P到x轴正半轴的角度，极坐标可以用下面的公式表示：P（r，θ）=（r，θ）其中，r表示点P到原点O的距离，θ表示点P到x轴正半轴的角度，θ的取值范围为[0,2π]。
由于平面直角坐标系中的点可以用直角坐标和极坐标表示，因此，可以用下面的公式将直角坐标转换为极坐标：r=√（x^2+y^2）θ=tan^-1（y/x）其中，r表示点P到原点O的距离，θ表示点P到x轴正半轴的角度，x表示点P在x轴上的横坐标，y表示点P在y轴上的纵坐标。
反之，也可以用下面的公式将极坐标转换为直角坐标：x=r*cosθy=r*sinθ其中，x表示点P在x轴上的横坐标，y表示点P在y轴上的纵坐标，r表示点P到原点O的距离，θ表示点P到x轴正半轴的角度。
总之，平面直角坐标系是一种常用的坐标系，它可以用直角坐标和极坐标表示，可以用公式将直角坐标和极坐标相互转换，可以用公式计算点到原点和点到坐标轴的距离，为研究几何图形提供了有效的方法。
平面直角坐标系与几何关系解析
平面直角坐标系与几何关系解析在数学中，平面直角坐标系是一种常见的坐标系，用于描述平面上的点的位置。
它由两条互相垂直的直线所构成，其中一条被称为x轴，另一条被称为y轴。
本文将通过解析平面直角坐标系与几何关系的方式来探讨其特点和应用。
一、平面直角坐标系的定义在平面直角坐标系中，每个点的位置都可以用一个有序对 (x, y) 来表示，其中x代表该点在x轴上的坐标，y代表该点在y轴上的坐标。
x轴和y轴的交点称为原点，表示为 (0, 0)。
二、直线在平面直角坐标系中的表示直线在平面直角坐标系中可以用线性方程来表示。
一般形式为 y = mx + c，其中m代表直线的斜率，c代表直线与y轴的交点（即截距）。
三、点、线、区域之间的关系在平面直角坐标系中，点可以表示为坐标 (x, y)。
两点间的距离计算使用勾股定理：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)。
线段是连接两个点的线段，在平面直角坐标系中可以表示为有限个点的集合。
由于平面直角坐标系的性质，我们可以进一步探讨点、线、区域之间的关系。
例如，两个点在平面直角坐标系中的位置关系可以通过比较它们的坐标值得出。
同样地，两条直线的位置关系可以通过比较它们的斜率和截距得出。
在平面直角坐标系中，我们还可以定义一个区域，该区域是由一条直线与坐标轴所围成的。
我们可以利用坐标对区域中的点进行分类，从而得到某个点是否在区域内的结论。
四、平面直角坐标系的应用平面直角坐标系在几何学、物理学和工程学等领域有广泛的应用。
在几何学中，通过直线和曲线的表示，我们能够研究各种图形的性质和关系。
在物理学中，平面直角坐标系的运用使得我们能够描述力、速度、加速度等物理量的变化和相互关系。
在工程学中，平面直角坐标系被广泛应用于建筑设计、道路规划、城市规划等各个领域。
五、小结平面直角坐标系是数学中一种常见的坐标系，能够准确描述平面上的点的位置。
通过线性方程，我们能够表示直线在平面直角坐标系中的位置。
第1章 1 平面直角坐标系
§1平面直角坐标系1.坐标系(1)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.(2)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论. 2.平面直角坐标系的作用平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)，曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合. 3.平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换.(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 【思维导图】【知能要点】1.回顾坐标系有关概念，体会坐标系的作用.2.了解建立坐标系的方法和原则.3.坐标伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0.题型一平面直角坐标系坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上起过划时代的作用.坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决.【例1】如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得|PM|＝2|PN|，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程.分析本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：|PM|＝2|PN|，即|PM|2＝2|PN|2，结合图形由勾股定理转化为|PO1|2－12＝2(|PO2|2－12).设P(x，y)，由距离公式写出代数关系式，化简整理可得. 解以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0).由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.因为两圆的半径均为1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1).设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0).【反思感悟】本题求点的轨迹，考查建坐标系和数形结合思想，利用勾股定理、两点间距离公式等知识，巧妙探求动点P满足的条件.1.一种作图工具如图①所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图②所示的平面直角坐标系. 试求曲线C 的方程.解 设点D (t ，0)(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意，MD →＝2DN →，且|DN →|＝|ON →|＝1，所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎨⎧（x 0－t ）2＋y 20＝1，x 20＋y 20＝1.即⎩⎨⎧t －x ＝2x 0－2t ，y ＝－2y 0，且t (t －2x 0)＝0. 由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0， 于是t ＝2x 0，故x 0＝x 4，y 0＝－y 2.代入x 20＋y 20＝1， 可得x 216＋y 24＝1，即所求的曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1.【例2】 如图所示，四边形ABCD 的四个顶点坐标分别为 A (－1，3)，B (－3，－2)，C (4，－2)，D (3，4)，求四边形ABCD 的面积.分析 本例是帮助同学们进一步了解点的坐标.点的坐标还可以表示点到坐标轴的距离(点A (a ，b )到x 轴的距离为|b |，到y 轴的距离为|a |)，从而得出某些我们需要的线段的长度.将四边形ABCD 分割成两个三角形和一个梯形，其中BE 的长度等于B 到y 轴的距离减去A 到y 轴的距离，AE 的长度为A 到x 轴的距离加上B 到x 轴的距离，依此类推可以求出DF ，CF ，EF 的长度，从而求出四边形ABCD 的面积.解 作AE ⊥BC ，DF ⊥BC .垂足分别为E 、F .S △ABE ＝12·BE ·AE ＝2×52＝5；S △CDF ＝CF ·DF 2＝1×62＝3； S 梯形AEFD ＝（AE ＋DF ）·EF 2＝（5＋6）×42＝22， 所以四边形ABCD 的面积为5＋22＋3＝30.【反思感悟】 本例是坐标系在几何图形中的应用，在求面积时要尽量利用图形中的垂直关系，将原图形分割求得面积.2.一直角梯形的上、下底边分别为12和15，两腰分别为33和6，选择适当的坐标系，表示各顶点坐标及较短对角线的长.解 如图所示，以D 为原点，CD 边所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则A (0，33)，B (12，33)，C (15，0)，D (0，0)， |BD |＝319.题型二 坐标伸缩变换平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标的伸缩变换，学习中可结合坐标间的对应关系理解.在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，在同一坐标系下对坐标进行伸缩变换，展示了坐标法思想.在伸缩变换下，直线仍然变为直线，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，而椭圆可以变为圆，圆可以变为椭圆.【例3】 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的图形.(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.分析 根据变换公式，分清新旧坐标即可.解 (1)由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，得⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.将其代入5x ＋2y ＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x ′＋3y ′＝0. 经过伸缩变换后，直线仍然是直线. (2)将⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′代入x 2＋y 2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是x ′214＋y ′219＝1.经过伸缩变换后，圆变成了椭圆.【反思感悟】 伸缩变换要分清新旧坐标，直接利用公式即可，变换后的新坐标用x ′，y ′表示.3.伸缩变换的坐标表达式为⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝4y .曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1.求曲线C 的方程.解 设P (x ，y )为曲线C 上任意一点.把⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝4y 代入x ′2＋y ′216＝1，得x 2＋y 2＝1.故曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1. 【例4】 求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.分析 求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求出其变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数就可得了，椭圆伸缩变换之后可得圆或椭圆.解 设变换为⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，可将其代入第二个方程，得λ2x 2＋μ2y 2＝1.与4x 2＋9y 2＝36比较，将其变为436x 2＋936y 2＝1，即19x 2＋14y 2＝1，比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13，μ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，即将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1.【反思感悟】 对于图形的伸缩变换问题，只要搞清新旧坐标，区别x ，y 和x ′，y ′，比较公式中的系数即可.4.在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0，求满足图像变化的伸缩变换. 解 x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －422－9y 2＝1.① x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为 (x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②两式得x ′－2＝x －42，y ′＝3y .故所求伸缩变换为：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y .1.已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程. 解 (代入法)设A (a ，0)，B (0，b )，M (x ，y )， ∵|AB |＝6，∴a 2＋b 2＝36.①M 分AB －的比为12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋12×01＋12＝23a ，y ＝0＋12b1＋12＝13b .⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32x ，b ＝3y .②将②式代入①式，化简为x 216＋y 24＝1.2.已知B 村位于A 村的正西方向1公里处，原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m .但在A 村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W .根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问：埋设地下管线m 的计划需要修改吗？解 解决这一问题的关键，在于确定遗址W 与地下管线m 的相对位置，如图所示，以A 为原点，正东方向和正北方向分别为x 轴和y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (－1 000，0).由W 位于A 的西北方向及|AW |＝400，得W (－2002，2002)，由直线m 过B 点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线m 的方程是x －3y ＋1 000＝0.于是，点W 到直线m 的距离为|－2002－3·2002＋1 000|2＝100(5－2－6)≈113.6>100，所以，埋设地下管线m 的计划可以不修改.3.阐述由曲线y ＝tan x 得到曲线y ＝3tan 2x 的变化过程，并求出坐标伸缩变换. 解 y ＝tan x 的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝tan 2x ，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y ＝3tan 2x . 设y ′＝3tan 2x ′，变换公式为⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0.将其代入y ′＝3tan 2x ′得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y .[P 2思考交流]1.在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2，3)，5为半径的圆的方程是什么？ 答 (x －2)2＋(y －3)2＝25.2.在平面直角坐标系中，以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的方程是什么？ 答 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2. [P 5思考交流]我国1990年至2000年的国内生产总值如表1－2(单位：亿元)表1—2特点. 答 统计图从表中统计数据可看到，我国的生产总值年年增长，1994～1997年增长较快，1997～2001年放慢了增长速度，2001年之后又以较快的速度增长. [P 6思考交流]1.观察例3(2)中y ＝sin x 的图像与(1)中y ＝2sin 3x 的图像，讨论它们的关系？答 y ＝sin x 的图像和y ＝2sin 3x 的图像可以通过伸缩变换相互得到： y ＝sin x 的图像――————————————→纵坐标不变横坐标缩短为原来的13得y ＝sin 3x 的图像―——————————―→横坐标不变纵坐标伸长为原来的2倍得y ＝2sin 3x 的图像. y ＝2sin 3x 的图像横坐标不变纵坐标缩短为原来的12得y ＝sin 3x 的图像.纵坐标不变横坐标伸长为原来的3倍得y ＝sin x 的图像 2.试将上述讨论引申为坐标轴单位长度任意伸缩的情况.答 设函数y ＝f (x )与函数y ＝μf (ωx )(其中ω＞0，μ＞0)图像之间的关系为：y ＝μf (ωx )的图像.它们的图像可以通过伸缩变换相互得到. 【规律方法总结】1.建立平面直角坐标系，可以利用未知点满足条件的坐标形式，求点的轨迹方程.2.利用平面直角坐标系，可以将平面图形坐标化，进行证明或计算.3.在伸缩变换中，要分清新旧坐标，然后代入公式比较系数即可.4.在伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝λx （λ＞0），y ′＝μy （μ＞0）的作用下，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，圆可以变为椭圆，椭圆可以变成圆，我们可以把圆作为椭圆的特例.一、选择题1.▱ABCD 中三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－1，2)、(3，0)、(5，1)，则点D 的坐标是( ) A.(9，－1) B.(－3，1) C.(1，3)D.(2，2)解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D 点坐标.设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧2－0－1－3＝y －1x －5，2－y －1－x ＝0－13－5. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.，故D (1，3). 答案 C2.要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( )A.向左平移π12个单位 B.向右平移π12个单位 C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位解析 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B. 答案 B3.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋4y ′2＝1，则曲线C 的方程为( ) A.25x 2＋36y 2＝1 B.9x 2＋100y 2＝1 C.10x ＋24y ＝1D.225x 2＋89y 2＝1解析 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y代入x ′2＋4y ′2＝1， 得25x 2＋36y 2＝1，为所求曲线C 的方程.答案 A4.将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )A.椭圆B.比原来大的圆C.比原来小的圆D.双曲线 解析 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1λx ′，y ＝1μy ′，(λ，μ不为零). ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λx ′－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1μy ′－b 2＝r 2， 1λ2(x ′－λa )2＋1μ2(y ′－μb )2＝r 2， ∴（x ′－λa ）2（λr ）2＋（y ′－μb ）2（μr ）2＝1.此方程不可能是双曲线.答案 D二、填空题5.△ABC 中，B (－2，0)，C (2，0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程为__________.解析 ∵△ABC 的周长为10，∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4，即有|AB |＋|AC |＝6>4.∴A 点轨迹为椭圆除去长轴两端点，且2a ＝6，2c ＝4.∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5.∴A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1 (y ≠0).答案 x 29＋y 25＝1 (y ≠0)6.在平面直角坐标系中，方程x 2＋y 2＝1所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后的图形所对应的方程是____________.解析 代入公式，比较可得x ′24＋y ′29＝1.答案 x ′24＋y ′29＝17.y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后曲线方程变为________. 解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′， 代入y ＝cos x 中得：13y ′＝cos 12x ′，即：y ′＝3cos 12x ′.答案 y ′＝3cos 12x ′8.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间为________h.解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B (40，0)，以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝20 2. 求得|MN |＝2302－d 2＝20(km)， 故|MN |20＝1，所以城市B 处于危险区的时间为1 h. 答案 1三、解答题9.已知▱ABCD ，求证：|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).证明 法一 坐标法 以A 为坐标原点O ，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A (0，0)，设B (a ，0)，C (b ，c )，则AC 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2，由对称性知D (b －a ，c )，所以|AB |2＝a 2，|AD |2＝(b －a )2＋c 2，|AC |2＝b 2＋c 2，|BD |2＝(b －2a )2＋c 2，|AC |2＋|BD |2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )，|AB |2＋|AD |2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ，∴|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).法二 向量法 在▱ABCD 中，AC→＝AB →＋AD →， 两边平方得AC →2＝|AC →|2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD→， 同理得BD →2＝|BD →|2＝BA →2＋BC →2＋2BA →·BC→， 以上两式相加，得|AC →|2＋|BD →|2＝2(|AB →|2＋|AD →|2)＋2BC →·(AB→＋BA →) ＝2(|AB→|2＋|AD →|2)， 即|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).10.通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆（x －1）29＋（y ＋2）24＝1变为中心在原点的单位圆，求上述平移变换与伸缩变换，以及这两种变换的合成变换.解 先通过平移变换⎩⎨⎧x ′＝x －1，y ′＝x ＋2把椭圆（x －1）29＋（y ＋2）24＝1变为椭圆x ′29＋y ′24＝1.再通过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝x ′3，y ″＝y ′2把椭圆x ′29＋y ′24＝1变为单位圆x ″2＋y ″2＝1.由上述两种变换合成的变换是⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝13（x －1），y ″＝12（y ＋2）.习题1－1 (第7页)A 组1.由两点式写直线的方程为35x ＋36y －41＝0.2.直线x 6＋y 4＝－2与x 轴、y 轴的交点坐标以及直线的斜率分别为(－12，0)、(0，－8)、－23.3.解 △ABC 是以∠A 为直角的直角三角形，且AB 平行于x 轴，AC 平行于y 轴. ∴∠A 的平分线的斜率为1，所在直线方程为x －y ＋1＝0.BC 所在直线的方程为4x ＋3y －29＝0，解⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，4x ＋3y －29＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝267，y ＝337.∠A 的平分线的长为1227.4.解 法一 由两点式写出直线AB 的方程为3x ＋y －6＝0.将点C (4，－6)代入方程3×4＋(－6)－6＝0，点C 在直线AB 上，∴A 、B 、C 在同一条直线上.法二 ∵k AB ＝－3，k BC ＝－3∴A 、B 、C 三点在同一条直线上.5.解 与x 轴交点 令y ＝0，2x －10＝0，x ＝5，与y 轴交 点令x ＝0，－5y －10＝0，y ＝－2，S △＝12×5×2＝5.6.证明 如图：矩形OABC .设OA ＝a ，OC ＝b ，以O 为原点建立如图所示的直角坐标系.则O 、A 、B 、C 的坐标分别为(0，0)，(a ，0)，(a ，b )，(0，b )|OB |＝a 2＋b 2， |AC |＝b 2＋（－a ）2＝a 2＋b 2，∴|OB |＝|AC |.结论得证.7.解 (1)设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2代入C 、D 两点得⎩⎨⎧（－1－a ）2＋1＝r 2，（1－a ）2＋9＝r 2，解得a ＝2，r ＝10，∴方程为(x －2)2＋y 2＝10(2)设圆心为(0，b )m则5＝|b －6|，b ＝1或11，∴方程为x 2＋(y －1)2＝25或x 2＋(y －11)2＝25.(3)设方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵过A 、B 两点，圆心在2x －y ＝3上，∴⎩⎨⎧（5－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，2a －b ＝3，解得a ＝2，b ＝1，r ＝10.∴方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.(4)设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意可得⎩⎨⎧（3－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，b ＝2a ，r ＝|2a －b ＋5|1＋4，解得：⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝85，r ＝5， ∴圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝5或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝5， 图略.8.解 以底边中点为原点，底边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.设△ABC ，底边BC ＝8，高为AD ＝5，则B (－4，0)，C (4，0)，D (0，0)，A (0，5)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2则⎩⎨⎧（－4－a ）2＋b 2＝r 2，（4－a ）2＋b 2＝r 2，a 2＋（5－b ）2＝r 2，得a ＝0，b ＝910，r 2＝412100，∴圆方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －9102＝1 681100. 9.解 |A 1F 1|＋|A 2F 1|＝2＋14＝16＝2a ，a ＝8，F 1(－6，0)，F 2(6，0)，c ＝6，∴b 2＝28.∴椭圆标准方程为x 264＋y 228＝1.10.解 (1)由题意知a 2＝8，b 2＝5，椭圆方程为x 28＋y 25＝1.(2)由题意知a ＝3b当焦点在x 轴上时a ＝3，b ＝1，椭圆方程：x 29＋y 21＝1；当焦点在y 轴上时b ＝3，a ＝9，椭圆方程：x 29＋y 281＝1.(3)由题意知c ＝23，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，P (5，－6)在椭圆上.∴⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＋6b 2＝1，a 2－b 2＝12，解得a 2＝20，b 2＝8， ∴椭圆方程为x 220＋y 28＝1.11.略B 组1.证明 ∵圆直径的端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， 半径为（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）22∴圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎪⎫y －y 1＋y 222 ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24， x 2－x (x 1＋x 2)＋（x 1＋x 2）24＋y 2－y (y 1＋y 2)＋（y 1＋y 2）42＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24， x 2－x (x 1＋x 2)＋（x 1＋x 2）24－（x 1－x 2）24＋y 2－y (y 1＋y 2)＋（y 1＋y 2）24－（y 1－y 2）24＝0， x 2－x (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 2－y (y 1＋y 2)＋y 1y 2＝0，(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0，∴圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.2.解 由⎩⎨⎧（x －3）2＋（y －5）2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋（y －5）2＝1得x －54＝0，∴直线方程为x －54＝0.3.解 以地球球心与距地最近点所在直线为x 轴，以最近点与最远点的中点为原点建立平面直角坐标系.则2a ＝6 636＋8 196＝14 832，a ＝7 416，a 2＝54 997 056，c ＝8 196－7 416＝780，∴b 2＝54 388 656.∴椭圆方程为x 254 997 056＋y 254 388 656＝1.。
平面直角坐标系与几何图形的综合(解析版)
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：平面直角坐标系与几何图形的综合各问题归纳总结若点()11y x A ，、()22y x B ，、()b a P ，问题一：若点P 在x 轴上，则b=0； 若点P 在y 轴上，则a=0；若点P 在第一象限，则a ＞0，b ＞0； 若点P 在第二象限，则a ＜0，b ＞0； 若点P 在第三象限，则a ＜0，b ＜0； 若点P 在第四象限，则a ＞0，b ＜0；问题二：若点A 、B 在同一水平线上，则21y y =； 若点A 、B 在同一竖直线上，则21x x =； 若点P 在第一、三象限角平分线上，则b a =；若点P 在第二、四象限角平分线上，则b a -=；问题三：点()b a P ，关于x 轴对称的点P 1坐标为()b a P -，1； 点()b a P ，关于y 轴对称的点P 2坐标为()b a P ，-2；点()b a P ，关于原点对称的点P 3坐标为()b a P --，3； 问题四：点的平移口诀“左减右加，上加下减”； 问题五：线段AB 的中点公式：⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y x x ，；若点A 、B 在同一水平线上，则AB=21x x -；若点A 、B 在同一竖直线上，则AB=21y y -；若点A 、B 所在直线是倾斜的，则AB=()()221221y y x x AB -+-=（两点间距离公式）问题六：点()b a P ，到x 轴的距离=|b|；点()b a P ，到y 轴的距离=|a|；问题七：割补法，优先分割，然后才是补全 问题八：周期型：①判断周期数（一般3到4个）；②总数÷周期数=整周期……余数（余数是谁就和每周期的第几个规律一样） 注意横纵坐标的规律可能不同。
【类题训练】1．如图，A （8，0），B （0，6），以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点C 的坐标为（ ）A ．（10，0）B ．（0，10）C ．（﹣2，0）D ．（0，﹣2）【分析】根据勾股定理求出AB ，根据坐标与图形性质解答即可． 【解答】解：由题意得，OB ＝6，OA ＝8， ∴AB ＝＝10，则AC ＝10， ∴OC ＝AC ﹣OA ＝2， ∴点C 坐标为（﹣2，0）， 故选：C ．2．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣1，3），点B 的坐标为（5，3），则线段AB 上任意一点的坐标可表示为（ ）A．（3，x）（﹣1≤x≤5）B．（x，3）（﹣1≤x≤5）C．（3，x）（﹣5≤x≤1）D．（x，3）（﹣5≤x≤1）【分析】根据A、B两点纵坐标相等，可确定AB与x轴平行，即可求解．【解答】解：∵点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（5，3），A、B两点纵坐标都为3，∴AB∥x轴，∴线段AB上任意一点的坐标可表示为（x，3）（﹣1≤x≤5），故选：B．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，下列说法中正确的是（）A．点A与点D的纵坐标相同B．点A与点B的横坐标相同C．点A与点C的纵坐标相同D．点B与点D的横坐标相同【分析】根据与x轴平行的直线上点的坐标特征计算判断．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，∴点A与D的纵坐标相同，点B与C的纵坐标相同．故选：A．4．如图，已知∠AOB＝30°，∠AOC＝60°，∠AOD＝90°，∠AOE＝120°，∠AOF＝150°，若点B可表示为点B（2，30），点C可表示为点C（1，60），点E可表示为点E（3，120），点F可表示为点F（4，150），点B 可表示为点B（2，30），则D点可表示为（）A．D（0，90）B．D（90，0）C．D（90，5）D．D（5，90）【分析】根据题干得出规律，从而得出答案．【解答】解：根据题意知：横坐标表示长度，纵坐标表示角度，从而得出D点可表示为（5，90），故选：D．5．在平面直角坐标系中，若A（m+3，m﹣1），B（1﹣m，3﹣m），且直线AB∥x轴，则m的值是（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，建立方程求解即可求得答案．【解答】解：∵直线AB∥x轴，∴m﹣1＝3﹣m，解得：m＝2，故选：C．6．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是（）A．（2021，0）B．（2022，﹣1）C．（2021，﹣1）D．（2022，0）【分析】利用坐标与图形的关系，结合路程问题求解．【解答】解：一个半圆的周长是π，速度是每秒，所以走一个半圆需要2秒，2022秒正好可以走1011个半圆，故选：D．7．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（3，1），C（3，3），D（1，3），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA﹣AB﹣…路线运动，当运动到2022秒时，点P的坐标为（）A．（1，1）B．（3，1）C．（3，3）D．（1，3）【分析】利用路程找规律，看最后的路脚点，再求解．【解答】解：由题意得：四边形ABCD是正方形，且边长是2，点P运动一周需要8秒，2022÷8商252余6，结果到点D处，故坐标为（1，3），故选：D．8．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标A（0，4），B（﹣1，b），C（2，c），BC 经过原点O，且CD⊥AB，垂足为点D，则AB•CD的值为（）A．10B．11C．12D．14【分析】AB•CD可以联想到△ABC的面积公式，根据S△ABO+S△ACO＝S△ABC即可求解．【解答】解：∵A（0，4），∴OA＝4，∵B（﹣1，b），C（2，c），∴点B，C到y轴的距离分别为1，2，∵S△ABO+S△ACO＝S△ABC，∴×4×1+×4×2＝×AB•CD，∴AB•CD＝12，故答案为：C．9．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别为（0，a），（0，3﹣a），（1，2），且点A在点B的下方，连接AC，BC，若在AB，BC，AC若所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个，那么a的取值范围是（）A．﹣1＜a≤0B．﹣1≤a≤1C．1≤a＜2D．0＜a≤1【分析】根据题意得出除了点C外，其它三个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界上，即线段AB上，从而求出a的取值范围．【解答】解：∵点A（0，a），点B（0，3﹣a），且A在B的下方，∴a＜3﹣a，解得：a＜1.5，若在AB，BC，AC所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个，∵点A，B，C的坐标分别是（0，a），（0，3﹣a），（1，2），∴区域内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点，∴已知的5个横纵坐标都为整数的点都在区域的边界上，∵点C（1，2）的横纵坐标都为整数且在区域的边界上，∴其他的4个都在线段AB上，∴3≤3﹣a＜4．解得：﹣1＜a≤0，故选：A．10．如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（2，）D．（，）【分析】过点B′作B′D⊥OC，因为∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4，所以∠B′CD＝30°，B′D＝2，根据勾股定理得DC＝2，故OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）．【解答】解：过点B′作B′D⊥OC∵∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4∴∠B′CD＝30°，B′D＝2根据勾股定理得DC＝2∴OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）故选：C．11．如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a﹣3），则a的值为．【分析】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，可得关于a的方程，求解即可．【解答】解：∵OA＝OB，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P，∴点P在∠BOA的角平分线上，∴点P到x轴和y轴的距离相等，又∵点P的坐标为（a，2a﹣3），∴a＝2a﹣3，∴a＝3．故答案为：3．12．如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是．【分析】因为△ABD与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点D在AB的上边、点D在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．【解答】解：△ABD与△ABC有一条公共边AB，当点D在AB的下边时，点D有两种情况：①坐标是（4，﹣1）；②坐标为（﹣1，﹣1）；当点D在AB的上边时，坐标为（﹣1，3）；点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．13．教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M 的坐标为（，），即M（2，4）．利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则4a+b的值等于．【分析】根据中点坐标公式求出点G的坐标，根据线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，得到点G的横坐标等于0，纵坐标的绝对值为1，列出方程组求解即可．【解答】解：根据题意得：G（，），∵线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，∴，解得：4a+b＝4或0．故答案为：4或0．14．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|，例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．已知点，B为y轴上的一个动点．（1）若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；（2）直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值．【分析】（1）根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y|＝2，据此可以求得y的值；（2）设点B的坐标为（0，y）．因为|﹣﹣0|≥|0﹣y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|＝．【解答】解：（1）∵B为y轴上的一个动点，∴设点B的坐标为（0，y）．∵|﹣﹣0|＝≠4，∴|0﹣y|＝2，解得y＝2或y＝﹣2；∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；故答案为：（0，2）或（0，﹣2）；（2）∵|﹣﹣0|≥|0﹣y|，∴点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|＝；∴点A与点B的“非常距离”的最小值为．故答案为：．15．如图，在平面直角坐标系中，已知三点的坐标分别为A（0，4），B（2，0），C（2，5），连接AB，AC，BC．（1）求AC，AB的长；（2）∠CAB是直角吗？请说明理由．【分析】（1 ）过点A作AH⊥BC于点H，再利用勾股定理求解即可；（2 ）利用勾股定理的逆定理即可得出结论．【解答】解：（1）如图，∵A（0，4），B（2，0），C（2，5），∴OA＝4，OB＝2，BC＝5，过点A作AH⊥BC于点H，∴BH＝OA＝4，AH＝OB＝2，∴CH＝BC﹣BH＝5﹣4＝1，在Rt△OAB中，AB＝，在Rt△ACH中，AC＝；（2）∠CAB是直角，理由：由（1）得，AC＝，AB＝2，BC＝5，∵，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠CAB是直角．16．对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法：如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点A，C作水平线的铅垂线l1，l2，l1，l2之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B，D作水平线l3，l4，l3，l4之间的距离h叫做四边形的铅垂高．【结论提炼】容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S＝dh”【结论应用】为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．已知：如图3，点A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），则△ABC的水平宽为10，铅垂高为，所以△ABC 面积的大小为．【再探新知】三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索：（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四个点，得到四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是，由此发现：用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积．（填“适合”或“不适合”）（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四个点，得到了四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是，用其它的方法进行计算得到面积的大小是，由此发现：用“S＝dh”这一方法对求图5中四边形的面积．（“适合”或“不适合”）（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（5，1），D（﹣1，﹣5）四个点，得到了四边形ABCD．通过计算发现：用“S＝dh”这一方法对求图6中四边形的面积．（填“适合”或“不适合”）【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“S＝dh”来求面积．那么，可以用“S＝dh”来求面积的四边形应满足的条件是：．【分析】【结论应用】直接代入公式即可；【再探新知】（1）求出水平宽，铅垂高，代入公式求出面积，再利用矩形面积减去周围四个三角形面积可得答案；（2）（3）与（1）同理；【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S＝dh”来求面积．【解答】解：【结论应用】由图形知，铅垂高为4，S△ABC＝＝20，故答案为：4，20；【再探新知】（1）∵四边形ABCD的水平宽为8，铅垂高为9，∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8×9﹣＝37.5，∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积不合适，故答案为：36，37.5，不合适；（2）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为8，∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8×9﹣＝36，∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，故答案为：36，36，合适；（3）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为10，∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为45，利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为10×9﹣＝45，∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，故答案为：合适；【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S＝dh”来求面积，故答案为：一条对角线等于水平宽或铅垂高．17．如图所示，在平面直角坐标系中，P（2，2），（1）点A在x的正半轴运动，点B在y的正半轴上，且P A＝PB，①求证：P A⊥PB；②求OA+OB的值；（2）点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且P A＝PB，③求OA﹣OB的值；④点A的坐标为（8，0），求点B的坐标．【分析】（1）①过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，根据点P的坐标可得PE＝PF＝2，然后利用“HL”证明Rt△APE和Rt△BPF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠APE＝∠BPF，然后求出∠APB＝∠EPF＝90°，再根据垂直的定义证明；②根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，再表示出OA、OB，然后列出方程整理即可得解；（2）③根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，再表示出PE、PF，然后列出方程整理即可得解；④求出AE的长度，再根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，然后求出OB，再写出点B的坐标即可．【解答】（1）①证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，∵P（2，2），∴PE＝PF＝2，在Rt△APE和Rt△BPF中，，∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），∴∠APE＝∠BPF，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°，∴P A⊥PB；②解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴BF＝AE，∵OA＝OE+AE，OB＝OF﹣BF，∴OA+OB＝OE+AE+OF﹣BF＝OE+OF＝2+2＝4；（2）解：③如图2，∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣2，BF＝OB+OF＝OB+2，∴OA﹣2＝OB+2，∴OA﹣OB＝4；④∵PE＝PF＝2，PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，∴四边形OEPF是正方形，∴OE＝OF＝2，∵A（8，0），∴OA＝8，∴AE＝OA﹣OE＝8﹣2＝6，∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF＝6，∴OB＝BF﹣OF＝6﹣2＝4，∴点B的坐标为（0，﹣4）．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（1，0），点C（5，0），以BC为边在x轴的上方作正方形ABCD，点M（﹣5，0），N（0，5）．（1）点A的坐标为；点D的坐标为；（2）将正方形ABCD向左平移m个单位，得到正方形A'B'C'D'，记正方形A'B'C'D'与△OMN重叠的区域（不含边界）为W：①当m＝3时，区域内整点（横，纵坐标都是整数）的个数为；②若区域W内恰好有3个整点，请直接写出m的取值范围．【分析】（1）先求出正方形的边长为BC＝4，再求点的坐标即可；（2）①画出正方形A'B'C'D'，结合图形求解即可；②在△OMN中共有6个整数点，在平移正方形ABCD，找到恰好有3个整数解的情况即可．【解答】解：（1）∵点B（1，0），点C（5，0），∴BC＝4，∵四边形ABCD是正方形，∴A（1，4），D（5，4），故答案为：（1，4），（5，4）；（2）①如图：共有3个，故答案为：3；②在△OMN中共有6个整数点，分别是（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣1，3），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣3，1），∵区域W内恰好有3个整点，∴2＜m≤3或6≤m＜7．19．类比学习是知识内化的有效途径，认真读题是正确审题的第一步：对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k系好友点”；例如：P（1，2）的“3系好友点”为即．请完成下列各题．（1）点P（﹣3，1）的“2系好友点”P'的坐标为．（2）若点P在y轴的正半轴上，点P的“k系好友点”为P'点，若在三角形OPP'中，pp′＝3OP，求k的值．（3）已知点A（x，y）在第四象限，且满足xy＝﹣8；点A是点B（m，n）的“﹣2系好友点”，求m﹣2n的值．【分析】（1）根据“k系好友点”的定义列式计算求解；（2）设P（0，t）（t＞0），根据定义得点P′（kt，t），则PP′＝|kt|＝3OP＝3t，即可求解；（3）点A是点B（m，n）的“﹣2系好有点”，可得点A（m﹣2n，n﹣），由xy＝﹣8得到（m﹣2n）2＝16，即可求解．【解答】解：（1）点P（﹣3，1），根据“k系好友点”的求法可知，k＝2，∵﹣3+2×1＝﹣1，1+＝﹣，∴P′的坐标为（﹣1，﹣），故答案为（﹣1，﹣）；（2）设P（0，t）其中t＞0，根据“k系好友点”的求法可知，P′（kt，t），∴PP'∥x轴，∴PP'＝|kt|，又∵OP＝t，PP'＝3OP，∴|kt|＝3t，∴k＝±3；（3）∵B（m，n）的﹣3系好有点A为（m﹣2n，n﹣），∴x＝m﹣2n，y＝n﹣，又∵xy＝﹣8，∴（m﹣2n）•（n﹣）＝﹣8，∴m﹣2n＝±4，∵点A在第四象限，∴x＞0，即m﹣2n＝4．20．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），点C在y轴上，且BC∥x轴，a，b满足|a﹣3|+＝0．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）当点P运动3秒时，连接PC，PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO，∠BCP，∠AOP之间满足的数量关系；（3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用绝对值和二次根式的非负性即可求得；（2）当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，根据AO＝3，即可得点P在线段AB上且AP＝3，写出P 的坐标即可；作PE∥AO．利用平行线的性质证明即可；（3）由t≠0得点P可能运动到AB或BC或OC上．再分类讨论列出一元一次方程解得t即可．【解答】解：（1）∵|a﹣3|+＝0且|a﹣3|≥0，≥0，∴|a﹣3|＝0，＝0，∴a＝3，b＝4，∴A（3，0），B（3，4），C（0，4）；（2）如图，当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，∵AO＝3，∴点P运动3秒时，点P在线段AB上，且AP＝3，∴点P的坐标是（3，3）；如图，作PE∥AO．∵CB∥AO，PE∥AO，∴CB∥PE，∴∠BCP＝∠EPC，∠AOP＝∠EPO，∴∠CPO＝∠BCP+∠AOP；（3）存在．∵t≠0，∴点P可能运动到AB或BC或OC上．①当点P运动到AB上时，2t≤7，∵0＜t≤，P A＝2t﹣OA＝2t﹣3，∴2t﹣3＝t，解得：t＝2，∴P A＝2×2﹣3＝1，∴点P的坐标为（3，1）；②当点P运动到BC上时，7≤2t≤10，即≤t≤5，∵点P到x轴的距离为4，∴t＝4，解得t＝8，∵≤t≤5，∴此种情况不符合题意；③当点P运动到OC上时，10≤2t≤14，即5≤t≤7，∵PO＝OA+AB+BC+OC﹣2t＝14﹣2t，∴14﹣2t＝t，解得：t＝，∴PO＝﹣2×+14＝，∴点P的坐标为（0，）．综上所述，点P运动t秒后，存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况，点P的坐标为（3，1）或（0，）．。
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是解析几何中常用的坐标系，用于描述平面上的点和其它几何图形。
本文将详细介绍平面直角坐标系的定义、性质及应用。
一、定义平面直角坐标系由两个互相垂直的数轴（x轴和y轴）构成。
x轴水平放置，从左到右逐渐增大；y轴垂直于x轴，从下往上逐渐增大。
两条轴的交点称为原点，记作O。
平面直角坐标系将平面上的点与有序的实数对（x，y）一一对应。
二、性质1. 坐标轴性质：x轴上的点坐标为(x, 0)，y轴上的点坐标为(0, y)。
2. 坐标线性质：对于坐标系内的一点P(x, y)，以x轴和y轴为边，可以得到4个区域，分别对应第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
3. 距离计算公式：两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)之间的距离d可以通过勾股定理求得：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。
三、应用平面直角坐标系在解析几何中有广泛的应用，常与方程、图形和向量等相关联。
1. 方程：通过坐标系可以解决一元和两元方程的问题。
对于一元方程，可以将其在坐标系中表示为一条直线，并求解其根；对于两元方程，可以表示为一条曲线，通过坐标系求解方程组的解。
2. 图形：通过坐标系，可以准确地表示和描述各种几何图形，如直线、抛物线、双曲线等。
在坐标系中，每个点都有唯一的坐标，因此可以使用坐标来确定图形上的点的位置。
3. 向量：向量是平面直角坐标系中的重要概念之一。
向量的起点可以任意选取，表示为一个有向线段，并通过坐标系表示其方向和大小。
向量可以进行加法、减法、数量积等运算，在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
总结：平面直角坐标系是解析几何中最基本的坐标系之一，通过两个垂直的坐标轴构成。
它具有一些重要的性质，如坐标轴和坐标线的性质，以及距离计算公式。
平面直角坐标系在方程、图形和向量等方面有广泛的应用，能够准确地描述和解决各种几何问题。
平面直角坐标系中的几何关系
平面直角坐标系中的几何关系在平面直角坐标系中，我们可以通过坐标点的位置和相对关系来描述几何图形的性质和几何关系。
本文将从不同角度探讨平面直角坐标系中常见的几何关系，包括点、直线、线段、圆以及它们之间的关系。
1. 点的坐标表示与位置关系在平面直角坐标系中，点是最基本的几何要素。
每个点都可以通过两个坐标值(x, y)来唯一确定其在坐标系中的位置。
在坐标系中，点的位置可以通过其坐标值的大小和正负来进行判断。
例如，点P(x, y)在第一象限，当且仅当x>0且y>0；点Q(x, y)在x轴上，当且仅当y=0。
点的位置关系可以通过坐标的大小关系来判断，例如两个点的x坐标相等，但y坐标不等，则它们在平行于y轴的直线上。
2. 直线的方程与性质直线在平面直角坐标系中可以通过其方程来表示。
直线的方程可以有不同的形式，如斜截式、点斜式、两点式等。
其中，斜截式方程y = kx + b表示了直线的斜率k和与y轴的截距b之间的关系。
点斜式方程y - y1 = k(x - x1)通过给定的点和斜率来确定直线。
两点式方程(x -x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1)通过直线经过的两个点来确定。
在平面直角坐标系中，我们可以通过直线的方程来判断其斜率的正负以及与坐标轴的交点等性质。
3. 线段的长度和中点坐标线段是连接两个点的线段部分，其长度可以通过两点间的距离公式来计算。
设线段的两个端点为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段AB的长度为√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。
线段的中点坐标可以通过两点坐标的平均值来计算。
设线段的两个端点为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段AB 的中点坐标为((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
线段的长度和中点坐标可以帮助我们更好地理解和描述平面中的几何关系。
4. 圆的方程与性质圆是平面上一组等距离于某一点的点的集合，该点称为圆心，等距离称为半径。
八上数学平面直角坐标系与三角形结合的问题
平面直角坐标系与三角形是初中数学八年级上册的重要内容，学生在学习过程中常常会遇到一些问题。
本文将分为以下几个部分，分别探讨平面直角坐标系和三角形的基本概念、平面直角坐标系与三角形结合的问题及解决方法等。
一、平面直角坐标系的基本概念1.1 直角坐标系的引入在平面直角坐标系中，我们将平面划分为四个象限，并引入x轴和y 轴，用来表示平面上的点的位置。
其中，x轴和y轴的交点为原点O，横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴。
1.2 点的坐标在平面直角坐标系中，每个点都有唯一确定的坐标，用(x, y)表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。
通过坐标，我们可以唯一地确定平面上的一个点。
1.3 距离公式在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过距离公式来求解，距离公式为：AB的距离=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
二、三角形的基本概念2.1 三角形的定义在平面几何中，三条线段两两连接成一个封闭图形，这个封闭图形就是三角形。
三角形是几何图形中的基本概念，其性质和定理在数学中具有重要的地位。
2.2 三角形的分类根据三角形的边和角的性质，我们可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形和锐角三角形等不同类型。
2.3 三角形的面积公式三角形的面积公式为：S=1/2*底*高。
其中，S表示三角形的面积，底表示三角形的底边长，高表示三角形的高。
三、平面直角坐标系与三角形结合的问题3.1 平面直角坐标系与三角形的坐标关系当我们在平面直角坐标系中遇到三角形时，通常需要确定三角形的顶点坐标、中点坐标、重心坐标等。
通过坐标关系，我们可以推导出三角形的各种性质，如边长、角度、面积等。
3.2 平面直角坐标系与三角形的距离关系在平面直角坐标系中，我们可以利用距离公式来求解三角形的边长、高度、中位线等。
通过计算三角形的距离关系，可以更深入地理解三角形的性质，并解决相关问题。
3.3 平面直角坐标系与三角形的重心、外心、内心和垂心在平面直角坐标系中，三角形的重心、外心、内心和垂心都有具体的坐标表示。
平面直角坐标系的应用
平面直角坐标系的应用在数学中，平面直角坐标系是一种常用的工具，用于描述和分析平面上的各种几何图形和数学函数。
它由两条相互垂直的数轴组成，分别称为x轴和y轴，它们的交点称为原点(O)。
本文将介绍平面直角坐标系的基本概念、应用和实际意义。
一、平面直角坐标系概述平面直角坐标系是指在平面上选择两个相互垂直的直线作为坐标轴，并取定一个单位长度，从而确定平面上任意一点的位置。
常用的表示方式是(x, y)，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
在平面直角坐标系中，每个点都可以被唯一地表示为一个有序数对(x, y)。
其中，x轴上的点表示为(x, 0)，y轴上的点表示为(0, y)。
在第一象限，x和y均为正数；在第二象限，x为负数，y为正数；在第三象限，x和y均为负数；在第四象限，x为正数，y为负数。
二、1. 几何图形的表示和分析平面直角坐标系可以有效地表示和分析各种几何图形，如点、线、多边形等。
以直线为例，可以通过两点之间的距离和斜率来确定一条直线的方程。
对于多边形，可以通过坐标计算其周长、面积和对称轴等属性。
2. 函数的图像和性质分析在平面直角坐标系中，函数可以表示为y = f(x)的形式。
通过绘制函数图像，可以直观地了解函数的特征和性质，如增减性、奇偶性、周期性等。
同时，可以通过求导和积分等运算，进一步分析函数的导数、极值点、曲线的凹凸性等重要概念。
3. 物理运动的描述平面直角坐标系广泛应用于物理学中对运动的描述。
以平抛运动为例，将水平方向的位移和垂直方向的位移分别表示为x和y的函数，可以得到物体在平面上的运动轨迹。
此外，平面直角坐标系还可以用于分析力的合成、分解和投影等问题。
4. 经济和市场分析在经济学和市场分析领域，平面直角坐标系常用于表示供需曲线、价格和数量之间的关系。
通过绘制散点图或曲线图，分析者能够直观地观察到市场的供求状况、价格变动趋势、价格弹性等重要信息，从而做出更准确的决策。
三、平面直角坐标系的实际意义平面直角坐标系在科学、工程和实际生活中都扮演着重要的角色。
平面直角坐标系的应用
平面直角坐标系的应用在数学中，平面直角坐标系是一种常见的图像表示方法，它以X轴和Y轴为基准，利用坐标点的位置来描述图形的几何特征。
平面直角坐标系的应用广泛，不仅在几何学中被广泛使用，还在物理学、计算机科学、经济学等领域发挥重要作用。
本文将探讨平面直角坐标系的应用，并从几个方面进行阐述。
一、图形的表示平面直角坐标系为我们提供了一种直观的方式来表示各种图形。
通过给定的X轴和Y轴，我们可以轻松地在平面上定位点。
例如，我们想要表示一个点A（2，3），只需在X轴上从原点出发向右移动2个单位，在Y轴上向上移动3个单位，即可在图上准确地表示点A。
类似地，我们可以用端点表示线段、圆心表示圆等，这种图形的表示方式直观而清晰。
二、图形的性质在平面直角坐标系中，我们可以通过计算坐标点的位置和关系，推导出图形的性质。
例如，我们可以利用两点间的距离公式来计算线段的长度，利用斜率公式来推导直线的特征等。
坐标系的使用为我们提供了一种便捷的方法来研究图形的数学性质，进一步加深我们对图形的理解。
三、曲线的绘制平面直角坐标系在绘制曲线方程上起到了重要的作用。
给定一个方程，如y = 2x + 1，我们可以通过依次给x赋予不同的值来计算出对应的y值，然后在坐标系中标出这些点，便可绘制出该直线。
类似地，我们可以通过给定不同的方程，绘制出各种曲线，如抛物线、双曲线等。
这种绘制方式使我们能够直观地看到方程与图形之间的联系。
四、问题的解决平面直角坐标系在解决实际问题中发挥着重要的作用。
通过在坐标系中建立数学模型，我们可以解决许多涉及位置、距离、速度等的实际问题。
例如，在物理学中，我们可以通过绘制图形并应用相关公式，计算物体的运动轨迹、速度和加速度。
在经济学中，我们可以利用坐标系分析供需曲线、成本曲线等，以支持决策和预测。
五、几何思维的培养通过学习和应用平面直角坐标系，我们不仅能够理解和解决具体问题，还能培养几何思维。
坐标系的使用强调了几何概念和图形之间的关系，提供了一种思考问题的框架。
平面直角坐标系的基本概念与应用
平面直角坐标系的基本概念与应用在数学中，平面直角坐标系是研究平面几何和代数的基础工具之一。
它由两条相互垂直的坐标轴组成，通常称为x轴和y轴。
本文将介绍平面直角坐标系的概念、性质，并探讨其在代数和几何中的应用。
一、平面直角坐标系的概念平面直角坐标系使用数轴上的实数，将平面上的每一个点都与一个有序数对（x，y）相对应。
这里，x轴上的数值表示点在水平方向上的位置，y轴上的数值表示点在垂直方向上的位置。
两个轴的交点称为原点，用O表示。
二、平面直角坐标系的性质1. 坐标轴相互垂直：x轴和y轴在原点处相交，且彼此垂直。
2. 坐标方向：x轴自原点向右延伸为正方向，向左延伸为负方向；y轴自原点向上延伸为正方向，向下延伸为负方向。
3. 轴的单位长度：x轴和y轴在同一张纸上通常有相同的单位长度，但在实际应用中可以根据需要进行调整。
4. 正负坐标：平面直角坐标系将平面上的每个点表示为(x，y)的形式。
若x为正值，表示点在x轴的正方向上；若x为负值，则表示点在x轴的负方向上。
同理，若y为正值，表示点在y轴的正方向上；若y为负值，则表示点在y轴的负方向上。
三、平面直角坐标系在代数中的应用平面直角坐标系在代数中有广泛的应用，尤其是在方程和函数的研究中。
1. 点的坐标：通过平面直角坐标系，我们可以将每个点表示为一个有序数对的形式。
这使得我们可以准确地描述点的位置，进行计算和推理。
2. 线段长度：利用坐标系上两点的坐标，可以计算出两点之间的距离，进而得到线段的长度。
这是平面几何中常见的计算问题。
3. 方程表示：平面直角坐标系可用于表示和解决方程。
通过将方程转化为坐标系上的图形，我们可以更直观地理解方程的性质和解的情况。
4. 函数图像：坐标系可以用于绘制函数的图像。
函数图像是将自变量的取值与函数值相对应的点所组成的集合，通过观察图像，我们可以研究函数的性质和变化趋势。
四、平面直角坐标系在几何中的应用平面直角坐标系在几何中也扮演着重要的角色，使得我们可以通过代数方法和几何方法相互转化，进而解决各种几何问题。
利用平面直角坐标系解决几何问题
利用平面直角坐标系解决几何问题在解决几何问题时，我们经常会遇到各种各样的困难和挑战。
然而，利用平面直角坐标系可以帮助我们更好地理解和解决这些问题。
平面直角坐标系是一种用于描述平面上点的坐标系统，它由水平的x轴和垂直的y轴组成，通过它们的交点确定了原点O。
在这个坐标系中，每个点都可以用一对有序实数(x, y)表示，其中x是点在x轴上的投影，y是点在y轴上的投影。
利用平面直角坐标系解决几何问题的关键是将几何问题转化为代数问题。
通过将点和图形映射到坐标系上，我们可以用代数方法来分析和计算它们的性质和关系。
下面，我将通过几个例子来说明平面直角坐标系在解决几何问题中的应用。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设有一个三角形ABC，其中A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)。
我们需要计算三角形的周长和面积。
首先，我们可以计算AB的长度。
根据勾股定理，AB的长度等于√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]，代入坐标值计算可得AB的长度为√[(3-1)²+(4-2)²]=√8。
同样地，我们可以计算BC和AC的长度。
然后，根据周长的定义，三角形的周长等于AB+BC+AC。
代入计算结果，我们可以得到三角形的周长。
接下来，我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积。
海伦公式是一个用于计算三角形面积的公式，它是根据三边的长度来计算的。
根据海伦公式，三角形的面积等于√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s是三角形周长的一半，a、b、c分别是三角形的三边的长度。
代入计算结果，我们可以得到三角形的面积。
接下来，我们来看一个更复杂的例子。
假设有一个圆C，圆心为O(0, 0)，半径为r。
我们需要确定圆上一点P(x, y)的位置关系。
首先，我们可以计算点P到圆心O的距离。
根据距离公式，点P到圆心O的距离等于√(x²+y²)。
如果这个距离等于圆的半径r，那么点P在圆上；如果这个距离小于圆的半径r，那么点P在圆内；如果这个距离大于圆的半径r，那么点P在圆外。
数轴 平面直角坐标系 数形结合
数轴平面直角坐标系数形结合
数轴
数轴是数学中一个重要的概念，它是指一个一维空间中的直线，该直线上的点都对应
着一个实数。
通常来说，数轴上选取一个点作为0点，然后向左右两侧分别用正数和负数
来表示实数。
数轴可以帮助我们更好地理解数学概念，比如说绝对值、正负数、数的大小关系等
等。
平面直角坐标系是指在平面上建立起了一个直角坐标系，任意一个点都可以用其横纵
坐标的数值来唯一地表示。
在平面直角坐标系中，横坐标通常表示横向位移，纵坐标表示
纵向位移。
平面直角坐标系具有广泛的应用，比如说在几何学中，它被用于表示图形的位置和大
小等信息；在物理学中，它被用于表示物体在空间中的位置，速度和加速度等信息。
数形结合
数形结合是指将数学的抽象概念与生动形象的图形相结合，以便更好地理解数学概念，从而更好地解决数学问题。
数形结合具有很多实际应用，比如说在几何学中，数形结合被广泛应用，可以帮助我
们更好地理解图形的性质和定理；在物理学中，数形结合被用来解决各种物理问题，比如
说运动学和力学问题。
总结
数轴、平面直角坐标系和数形结合都是数学中非常重要的概念和工具，它们在解决数
学问题和实际应用中都起到了重要的作用。
学好这些概念不仅可以帮助我们更好地理解数
学知识，而且可以帮助我们在实际应用中更好地解决问题。
平面直角坐标系与形的性质
平面直角坐标系与形的性质在数学中，平面直角坐标系是一种用来描述二维几何图形的工具。
它由坐标轴组成，分别为x轴和y轴，它们以一个交点为原点，并以单位长度为间隔来刻画图像中各点的位置。
通过平面直角坐标系，我们可以轻松地研究几何图形的性质以及进行各种计算。
本文将探讨平面直角坐标系与形的性质，包括点、直线、矩形和圆。
一、点的性质在平面直角坐标系中，点用一对有序数值（x，y）来表示，分别代表点在x轴和y轴上的位置。
根据点的位置可以判断它所在的象限，即第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
例如，如果一个点的x 和y值都大于0，则它位于第一象限。
通过点在平面直角坐标系中的位置，我们可以推导出其他形的性质。
二、直线的性质直线是由平面上两个不同点确定的。
给定两个点(x₁, y₁)和(x₂,y₂)，我们可以通过以下方法计算直线的性质。
1.斜率斜率是直线在平面直角坐标系中的倾斜程度，数学上用k表示。
计算公式如下：k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)斜率可以为正、负、零或不存在。
如果斜率为正，直线会向上倾斜；如果斜率为负，直线会向下倾斜；如果斜率为零，直线是水平的；如果斜率不存在，直线是竖直的。
2.截距截距是直线与y轴的交点位置，数学上用b表示。
计算公式如下：b = y₁ - k * x₁通过斜率和截距，我们可以用代数方程y = kx + b来表示直线。
三、矩形的性质矩形是具有四个直角和相对边相等的四边形。
在平面直角坐标系中，矩形的特征可以使用其角点的坐标表示。
1.对角线的长度设矩形的对角线长度为d，角点的坐标为(x₁, y₁)，(x₂, y₁)，(x₂,y₂)和(x₁, y₂)，则根据勾股定理可得：d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]2.边长关系如果矩形的相邻边分别为a和b，则有a = b。
此外，边长的关系也可通过坐标差值来推导。
四、圆的性质圆是平面上一组等距离于圆心的点的集合。
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平面直角坐标系与几何图形相结合
扣庄乡陈官营中学田海凤
教学目标：
（一）知识与技能：使学生进一步复习勾股定理、等腰三角形和平面直角坐标系的基础知识，通过知识的相互联系发展学生的基本技能，发展学生思维的灵活性.
（二）过程与方法：通过学生的自主学习，合作探究等活动，让学生去感受和体会思考问题的正确的思路和方法，建立知识间的相互联系.
（三）情感态度与价值观：体会事物间的相互作用和相互联系.
重点：掌握基础知识发展学生的基本技能
难点：提高学生的解决问题的能力
教学方法：自主探究、合作学习.
教学手段：小篇子
教学过程：
一、复习回顾
1.在R t△ABC中，∠C=90°a=3,b=4,则C=___
2.如图1，等腰△ABC中，AB=AC,∠B=46°,BC=4,AD⊥BC
（1）∠C=______°
（2）∠BAD=______°
（3）BD=______.
3. 等腰△ABC中∠B=60°,则△ABC是____三角形. BC=4,AD⊥BC，则AD=_____
4.点A（1，-4），则点A在第______象限
5.点B（-1，-2），则点B关于x轴的对称点B′的坐标为_______；则点B关于y轴的对称点B〞的坐标为________；点B关于原点的对称点的坐标为_________;点B到x轴的距离是_______；点B到y轴的距离是_________
二、例题讲解
等边△ABC中AB=AC=BC=6,请建一个适当的平面直角坐标系，求个点坐标。
教师总结：在坐标轴上只要有线段长就能求点的坐标，有坐标就会知道一些线段长，当点不在坐标轴上时，过点做两坐标轴的垂线，利用勾股定理也能求点的坐标。
变形：如图9，等边△ABC两个顶点的坐A(-4,0),B(2,0)
(1)求点C的坐标；
(2)求△ABC的面积
变形:如图8，在平面直角坐标系中，Rt△CDO的直角边OD在x轴、的正半轴上，且CD=2，OD=1，将△CDO沿x轴向左平移1个单位再把所得图像绕点O按逆时针旋转90°得到Rt△AOB，，
（1）写出点A 、C 的坐标
（2）求点A 与点C 的距离
四、训练提高
题组一
1.如图2长方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标（3，-2），则长方形的面积______.
2.射线OP 在直角坐标系的位置如图3所示，若OP=6，∠POX=30°,则点P 的坐标是________.
3.在等腰三角形ABC 中，腰AB=AC=102，底边BC =
4.建立如图4所示的直角坐标系， 则点A 的坐标_____,点B 的坐标______、点C 的坐标______
4.已知：正方形ABCD 在坐标系内的位置如图5所示，边长为2，并按图3答出正方形ABCD 顶点的坐标：
点A ______，点B______，点C______，点D_____．
5.已知：如图6所示，正三角形ABC 边长为4．按图填空：点A 的坐标______，点B 的坐标______，点c 的坐标______
6. 在6×8网格图中，每个小正方形边长
均为1，点0和△ABC 及△A ′B ′C ′的
顶点均为小正方形的顶点．则四边形
AA′C′C 的周
题组二 1.如图所示，在直角坐标系中，有一直角三角形OAB 且OA=3，OB=4，观察图形回答下列
问题：
（1） 写出A 、B 两点的坐标
（2） 求出线段AB 的长
（3） 在x 轴上找一点P ，使△ABP
为等腰三角形
2.我市“提出优化市民的居住环境，改
善人们的居住条件”这一利民政策，
经研究决定把县城周边的A 、B 村冬
天采暖纳入改造日程。
要在主管道上建一个供热分站点，分别向供热热主管道同侧的A 、B 两村供热。
经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以热力总公司O 为坐标原点，以供热主
图5
图6
管道所在的直线为x 轴建立直角坐标系（如图）。
两村的坐标分别为A （2，1），B （7，4）。
(1)若从节约经费考虑，供热分站点建在距热力总公司O 多远的地方可使所用输热管道最短？并求出最短的管道长度？
(2) 请在图2中用尺规作出供热分站点建在什么位置时可使它到A 村、B 村的距离相等？保留作图痕迹。
分析：
五、课堂检测：
1.在直角坐标系中,M(-3,4), M 到x 、y 轴的距离与M /到x 、y 轴的距
离相等，则M 的坐标为…………………………………………（ ）
A ．（-3，-4） B. (3,4) C. (3,-4) D. (3,0).
2. 如图, 点M(-3,4)离原点的距离是( )单位长度.
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7.
3.平面直角坐标系中，某正方形ABCD 三个点顶点坐标分别为：
(11)(11)(11)A B C ----，，，，，，
则D 点坐标为………………………( ) A ( 0,1 ) B (1, 1) C (1,0 ) D 无法确定
4.如图，A 、B 、C 三点的位置关系及有关数据如图所示，则
下列对A 、B 、C 三点的相对位置确定正确的有…………（ ）
①A 在B 的东北方向和C 点的西北方向上；②A 在B 的东北
方向22cm 处；③设B （0,0）C （4,0），则A 的位置为（2,2）；
④A 在距BC 2cm 的位置上
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
5.如图3，平行四边形ABCD 的边长42AB BC ==，，若把它放
在平面直角坐标系中，使AB 在x 轴上，点C 在y 轴上，如果点A
的坐标为（3-，0），求B C D ，，的坐标．
六、课堂总结
本节课你学到哪些知识，让学生自己用语言表述
七、课堂作业
必做题：把本节课所学到知识进行整理
选做题：学案题组二。