线段之和最短问题ppt课件
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线段和差的最小值问题课件
第4题答图
5．如图，在矩形 ABCD 中，若 AB＝4，AD＝5，连接 AC，O 是 AC 的 中点，M 是 AD 上一点，且 MD＝1，P 是 BC 上一动点，则 PM－PO 的 最大值为_____52_____．
第 5 题图
【解析】∵在矩形 ABCD 中，AD＝5，MD＝1，∴AM＝AD－DM＝5－1 ＝4，如答图，连接 MO 并延长交 BC 于点 P，此时 PM－PO 的值最大， 且 PM－PO 的最大值为 OM.∵AM∥CP，∴∠MAO＝∠PCO.∵∠AOM ＝∠COP，AO＝CO，∴△AOM≌△COP(ASA)，∴AM＝CP＝4，OM＝ OP，∴PB＝5－4＝1，过点 M 作 MN⊥BC 于点 N，∴四边形 MNCD 是 矩形，∴MN＝CD＝AB＝4，CN＝DM＝1，∴PN＝5－1－1＝3，∴MP ＝ MN2＋PN2＝ 42＋32＝5，∴OM＝12MP＝25.
D
A
P
C
M
N
B
针对练习 1、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动
点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC称．连 结ED交AC于P，则PB+PE的最小值等于线段__D__E_ 的长度， 最小值等于____5_____；
B
E
：两个动点，一个定点
（陕西省）如图3，在锐角△ABC中， AB= 4 2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交 BC于点D ，M 、N 分别是AD 和 AB上的动 点，则BM+MN 的最小值是_________ ．
第7题答图
8．如图，若∠AOB＝30°，点 P 是∠AOB 内的一定点，且 OP＝6，若点 M，N 分别是射线 OA，OB 上异于点 O 的动点，则△PMN 周长的最小 值是__________．
5．如图，在矩形 ABCD 中，若 AB＝4，AD＝5，连接 AC，O 是 AC 的 中点，M 是 AD 上一点，且 MD＝1，P 是 BC 上一动点，则 PM－PO 的 最大值为_____52_____．
第 5 题图
【解析】∵在矩形 ABCD 中，AD＝5，MD＝1，∴AM＝AD－DM＝5－1 ＝4，如答图，连接 MO 并延长交 BC 于点 P，此时 PM－PO 的值最大， 且 PM－PO 的最大值为 OM.∵AM∥CP，∴∠MAO＝∠PCO.∵∠AOM ＝∠COP，AO＝CO，∴△AOM≌△COP(ASA)，∴AM＝CP＝4，OM＝ OP，∴PB＝5－4＝1，过点 M 作 MN⊥BC 于点 N，∴四边形 MNCD 是 矩形，∴MN＝CD＝AB＝4，CN＝DM＝1，∴PN＝5－1－1＝3，∴MP ＝ MN2＋PN2＝ 42＋32＝5，∴OM＝12MP＝25.
D
A
P
C
M
N
B
针对练习 1、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动
点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC称．连 结ED交AC于P，则PB+PE的最小值等于线段__D__E_ 的长度， 最小值等于____5_____；
B
E
：两个动点，一个定点
（陕西省）如图3，在锐角△ABC中， AB= 4 2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交 BC于点D ，M 、N 分别是AD 和 AB上的动 点，则BM+MN 的最小值是_________ ．
第7题答图
8．如图，若∠AOB＝30°，点 P 是∠AOB 内的一定点，且 OP＝6，若点 M，N 分别是射线 OA，OB 上异于点 O 的动点，则△PMN 周长的最小 值是__________．
《最短路径问题》PPT课件
13.4 课题学习 最短路径问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
利用“两点之间线段最短”巧解数学题ppt课件(自制)
53、勇士搏出惊涛骇流而不沉沦，懦 夫在风 平浪静 也会溺 水。 54、好好管教自己，不要管别人。
55、人的一生没有一帆风顺的坦途。 当你面 对失败 而优柔 寡断， 当动摇 自信而 怨天尤 人，当 你错失 机遇而 自暴自 弃的时 候你是 否会思 考：我 的自信 心呢？ 其实， 自信心 就在我 们的心 中。 56、失去金钱的人损失甚少，失去健 康的人 损失极 多，失 去勇气 的人损 失一切 。பைடு நூலகம்57、暗自伤心，不如立即行动。
46、活在昨天的人失去过去，活在明 天的人 失去未 来，活 在今天 的人拥 有过去 和未来 。 47、你可以一无所有，但绝不能一无 是处。
48、通过辛勤工作获得财富才是人生 的大快 事。— —巴尔 扎克 49、相信自己能力的人，任何事情都 能够做 到。
50、有了坚定的意志，就等于给双脚 添了一 对翅膀 。—— 乔·贝利 51、每一种挫折或不利的突变，是带 着同样 或较大 的有利 的种子 。—— 爱默生 52、如果你还认为自己还年轻，还可 以蹉跎 岁月的 话，你 终将一 事无成 ，老来 叹息。
A●
a
b
●
B
A
●
D
●
A′
●
●
C
a
b ●B
板书设计
利用“两点之间线段最短”巧解数学题
一、平面内两条线段之和最短的求法：⑴作其中一定 点关于对称轴的对应点；⑵连接对应点与另一定点的 线段；⑶常用勾股定理求其长。
例1 例2 例3 二、立体图形中两点之间距离最短求法：将立体图形
侧面展开，把立体图形的问题转化为平面图形问题， 然后利用两点之间线段最短来解决。
课题
利用“两点之间线段最短”巧 解数学题
教学目标
一知识与技能目标 1·通过本课学习，使学生掌握利用“两点之间线
55、人的一生没有一帆风顺的坦途。 当你面 对失败 而优柔 寡断， 当动摇 自信而 怨天尤 人，当 你错失 机遇而 自暴自 弃的时 候你是 否会思 考：我 的自信 心呢？ 其实， 自信心 就在我 们的心 中。 56、失去金钱的人损失甚少，失去健 康的人 损失极 多，失 去勇气 的人损 失一切 。பைடு நூலகம்57、暗自伤心，不如立即行动。
46、活在昨天的人失去过去，活在明 天的人 失去未 来，活 在今天 的人拥 有过去 和未来 。 47、你可以一无所有，但绝不能一无 是处。
48、通过辛勤工作获得财富才是人生 的大快 事。— —巴尔 扎克 49、相信自己能力的人，任何事情都 能够做 到。
50、有了坚定的意志，就等于给双脚 添了一 对翅膀 。—— 乔·贝利 51、每一种挫折或不利的突变，是带 着同样 或较大 的有利 的种子 。—— 爱默生 52、如果你还认为自己还年轻，还可 以蹉跎 岁月的 话，你 终将一 事无成 ，老来 叹息。
A●
a
b
●
B
A
●
D
●
A′
●
●
C
a
b ●B
板书设计
利用“两点之间线段最短”巧解数学题
一、平面内两条线段之和最短的求法：⑴作其中一定 点关于对称轴的对应点；⑵连接对应点与另一定点的 线段；⑶常用勾股定理求其长。
例1 例2 例3 二、立体图形中两点之间距离最短求法：将立体图形
侧面展开，把立体图形的问题转化为平面图形问题， 然后利用两点之间线段最短来解决。
课题
利用“两点之间线段最短”巧 解数学题
教学目标
一知识与技能目标 1·通过本课学习，使学生掌握利用“两点之间线
线段和的最小值问题
课堂小结
学习目标
1.了解并掌握解决两定一动求线段和的最小 值问题的方法。
2.能够运用相关知识和方法解决两定两动求 线段和的最小值问题。
达标检测
已知平面直角坐标系内两点A(1，2), B(2，-1),点P在y轴上运动，求当PA+PB取 得最小值时P点的坐标。
（第 1 题）
能力提升：已知A(0,5),EF=2,且EF在x轴 上平行移动，当AE+AF最小时求E、F 坐标。
典例一：两定一动,求和最小
例1：如图矩形顶点O在坐标原 点，OA=6，OB=8，D为OB边的 中点，若E为OA边上的一个动 点，当△DCE的周长最小时， 在图中画出E点的位置并求点 E的坐标；
变式练习1：已知平面直角坐标系中的两点A （1，2），B（4,2），点P在x轴上运动，则 PA+PB的最小值是_5__。
典例二：两定两动,求和最小
作图2：已知线段EF=1且EF在直线a上平行 移动，A 、B为两个定点，E点在什么位置 时，使得AE+BF最小，请在图中画出点来
• 变式练习2：如图矩形OACB，OA=6， OB=8，D为OB边的中点，若E、F为OA边 上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E、F的坐标。
学习目标
1.了解并掌握解决两定一动求线段和的最小 值问题的方法。
2.能够运用相关知识和方法解决两定两动求 线段和的最小值问题。
自主学习
作图1：已知直线l，在直线l同侧 有两点A、B，在直线l上找一点P， 使+PB的值最小。
·B A﹒
l
知识点拨：
1、轴对称性； 2、三角形两边之和大于第三边。
《两点之间线段最短》课件
Floyd算法
1
算法步骤
深入了解Floyd算法的实现步骤。
时间复杂度分析
2
分析Floyd算法的时间复杂度。
3
算法优化
介绍一些对Floyd算法进行优化的方法。
分支界定算法
1
算法步骤
详细讲解分支界定算法的实现步骤。
时间复杂度分析
2
分析分支界定算法的时间复杂度。
3
算法优化
探索如何对分支界定算法进行优化，提高 效率。
时间复杂度分析
简单算法的时间复杂度如何？我 们来一起分析。
缺点与局限性
了解简单算法的缺点和局限性， 为后续算法做铺垫。
Dijkstra算法
1
算法步骤
详细介绍Dijkstra算法的执行步骤。
2
时间复杂度分析
分析Dijkstra算法的时间复杂度。
3
算法优化
探索如何对Dijkstra算法进行优化，提高效率。
2 如何根据实际问题选择合适的算法
提供一些建议，帮助你根据实际问题选择合适的算法。
3 未来发展方向展望
展望两点之间线段最短问题的未来发展方向。
《两点之间线段最短》 PPT课件
欢迎来到《两点之间线段最短》课件！本课程将介绍如何解决两点之间线段 最短问题，并深入探讨不同算法的优缺点以及适用场景。让我们一起开始吧！
问题描述
1 两点之间线段最短问题
我们将探讨什么是两点之间线段最短问题，以及为什么需要解决这个问题。
简单算法
勾股定理求解
使用勾股定理来计算两点之间的 距离。
综合比较
算法的时间复杂度和 空间复杂度对比
比较各算法的时间复杂度和空间 复杂度，找到最适合问题的算法。
13.4最短路径问题 课件
实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
Q
Q
P
P
MA
l Q
P
M
l
C
B
M Q
l
P
M
l
D
2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000米.
C
D 河
新课引入
我们把研究关于“两点之间，线 段最短” “垂线段最短”等问题， 称它们为最短路径问题.最短路径问 题在现实生活中经常碰到，今天我们 就通过几个实际问题,具体体会如何 运用所学知识选择最短路径.
第十三章 轴对称
13.4课题学习 最短路径问题
问题1 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名 的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，请教一个百思不得其解的问题：
C．通过互联网 D．乘坐火车赴各地了解
解析：本题考查中国近代物质生活的变迁。注意题干信
息“20世纪初”“最快捷的方式”，因此应选B，火车速度 远不及电报快。20世纪30年代民航飞机才在中国出现， 互联网出现在20世纪90年代。 答案：B
问题1 归纳
B A
l
解决实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知解决新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
问题2
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条 河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何 处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
线段之和最短问题
四、在圆背景下探求线段和的最小值
9、如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°， B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______
五、在函数背景下探求线段和的最小值
10、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．
（1）求该函数的解析式； （2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点， 求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．
延伸3：在两条相交线之外有一个定点P，分别在两条直线上找点B、 C使得PB+BC+CP最短，如何确定B、C的位置？ 15、如图，∠AOB=45°,P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、 OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
16、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°， AB＝1，AD＝2，在BC、CD上分别找一点M、N，使得△AMN的周 长最小，则△AMN的最小周长是_______．
13、如图，在锐角△ABC中，AB＝ 4 2 ，∠BAC＝45°， ∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点， 则BM+MN的最小值是____．
延伸2：已知直线L外有一个定点P，在直线L上找两点A、B，使 AB=m，且PA+PB最短。（其中m为定值）
14、如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点， 顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的 中点. （1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时， 求点E的坐标； （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2， 当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
线段和的最小值问题
2、小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图1所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），求从A、B两点到奶站P距离之和的最小值。
练习
A’
P
C
B
A
E
P
D
C
DE
5
出题背景变式有：
1
角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
2
解题思路：
3
找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。
----线段和的最小值问题
单击添加副标题
单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述你的观点
如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？
A
B
街道
P
P’
A B A’ P 如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？ 街道 P’
4
变式1（2008 年湖北荆门市中考题） 如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_____________．
A
D
C
B
M
N
P
M’
P’
5
练习 (2011广西试题改编） 如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P线段EF上一个动点，连接BP、GP，则（1）PB+PG的最小值是 （2）△BPG周长的最小值是 。
线段和的最小值
本节课我们学习了 问题， 这类问题的解题方法是怎样的？
练习
A’
P
C
B
A
E
P
D
C
DE
5
出题背景变式有：
1
角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
2
解题思路：
3
找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。
----线段和的最小值问题
单击添加副标题
单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述你的观点
如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？
A
B
街道
P
P’
A B A’ P 如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？ 街道 P’
4
变式1（2008 年湖北荆门市中考题） 如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_____________．
A
D
C
B
M
N
P
M’
P’
5
练习 (2011广西试题改编） 如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P线段EF上一个动点，连接BP、GP，则（1）PB+PG的最小值是 （2）△BPG周长的最小值是 。
线段和的最小值
本节课我们学习了 问题， 这类问题的解题方法是怎样的？
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14
延伸4：直线L的异侧有两个点A、B，在直线L上求一个点C， 使得：A、B到C的距离的差的绝对值最小。
15
17、y 如= 12图x，2 +已bx知+直c 线与y直=线12交x +于1 与A、y轴E两交点于，点与A，x轴与交x轴于交B、于C点两D点，，抛且物B线 点坐标为(1，0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称 轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标
N是AC上的一个动点，则边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角 线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值____________cm．
8、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内， 在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为____________
16
7
四、在圆背景下探求线段和的最小值
9、如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°， B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______
8
五、在函数背景下探求线段和的最小值
10、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．
13
延伸3：在两条相交线之外有一个定点P，分别在两条直线上找点B、 C使得PB+BC+CP最短，如何确定B、C的位置？ 15、如图，∠AOB=45°,P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、 OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
16、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°， AB＝1，AD＝2，在BC、CD上分别找一点M、N，使得△AMN的周 长最小，则△AMN的最小周长是_______．
（1）求该函数的解析式； （2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点， 求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．
9
11、如图，正比例函数
y1x 2
图象与反比例函数
y k (k 0) x
在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，
已知△OAM的面积为1.
1、如图，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点， P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为_________
2、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，P是AD 上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EP+CP的最小值为
4
三、在四边形背景下探求线段和的最小值
3、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5， BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A
不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.
10
12、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1， 3),
△AOB的面积是 3
（1）求点B的坐标； （2）求过点A、O、B的抛物线解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周 长最小？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，请说明理由；
11
六、拓展延伸
延伸1：在不同直线上找两点A、B，使PA+PB最短。 13、如图，在锐角△ABC中，AB＝ 4 2 ，∠BAC＝45°， ∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点， 则BM+MN的最小值是____．
12
延伸2：已知直线L外有一个定点P，在直线L上找两点A、B，使 AB=m，且PA+PB最短。（其中m为定值） 14、如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点， 顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的 中点. （1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时， 求点E的坐标； （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2， 当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
专题复习 《两线段之和最短》
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在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB这类 线段之和最小问题，解决这一类问题关键是要运用 好数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质 入手，把两条线段的和变为一条线段来研究，利用 两点之间线段最短或者三角形两边之和大于第三边 来加以证明。
关于最短距离，我们有下面几个相应的结论： （1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点 之间，线段最短）； （2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差 小于第三边； （3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。
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一、数学模型
1、实际问题：人教版八年级上册课本P42轴对称探究 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇 供气， 泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 2、数学问题： 已知：直线l和l的同侧两点A、B 求作：点P，使P在直线l上，并且PA＋PB最小。
3
二、在三角形背景下探求线段和的最小值
4、如图，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是
上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为
．
5
5、如图菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，
P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为
．
6、如图，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，
延伸4：直线L的异侧有两个点A、B，在直线L上求一个点C， 使得：A、B到C的距离的差的绝对值最小。
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17、y 如= 12图x，2 +已bx知+直c 线与y直=线12交x +于1 与A、y轴E两交点于，点与A，x轴与交x轴于交B、于C点两D点，，抛且物B线 点坐标为(1，0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称 轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标
N是AC上的一个动点，则边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角 线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值____________cm．
8、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内， 在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为____________
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四、在圆背景下探求线段和的最小值
9、如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°， B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______
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五、在函数背景下探求线段和的最小值
10、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．
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延伸3：在两条相交线之外有一个定点P，分别在两条直线上找点B、 C使得PB+BC+CP最短，如何确定B、C的位置？ 15、如图，∠AOB=45°,P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、 OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
16、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°， AB＝1，AD＝2，在BC、CD上分别找一点M、N，使得△AMN的周 长最小，则△AMN的最小周长是_______．
（1）求该函数的解析式； （2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点， 求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．
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11、如图，正比例函数
y1x 2
图象与反比例函数
y k (k 0) x
在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，
已知△OAM的面积为1.
1、如图，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点， P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为_________
2、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，P是AD 上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EP+CP的最小值为
4
三、在四边形背景下探求线段和的最小值
3、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5， BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A
不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.
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12、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1， 3),
△AOB的面积是 3
（1）求点B的坐标； （2）求过点A、O、B的抛物线解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周 长最小？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，请说明理由；
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六、拓展延伸
延伸1：在不同直线上找两点A、B，使PA+PB最短。 13、如图，在锐角△ABC中，AB＝ 4 2 ，∠BAC＝45°， ∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点， 则BM+MN的最小值是____．
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延伸2：已知直线L外有一个定点P，在直线L上找两点A、B，使 AB=m，且PA+PB最短。（其中m为定值） 14、如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点， 顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的 中点. （1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时， 求点E的坐标； （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2， 当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
专题复习 《两线段之和最短》
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在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB这类 线段之和最小问题，解决这一类问题关键是要运用 好数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质 入手，把两条线段的和变为一条线段来研究，利用 两点之间线段最短或者三角形两边之和大于第三边 来加以证明。
关于最短距离，我们有下面几个相应的结论： （1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点 之间，线段最短）； （2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差 小于第三边； （3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。
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一、数学模型
1、实际问题：人教版八年级上册课本P42轴对称探究 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇 供气， 泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 2、数学问题： 已知：直线l和l的同侧两点A、B 求作：点P，使P在直线l上，并且PA＋PB最小。
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二、在三角形背景下探求线段和的最小值
4、如图，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是
上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为
．
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5、如图菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，
P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为
．
6、如图，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，