线性代数与解析几何-厦门大学高等代数
厦大《高代》讲义第6章+特征值
3. 对每个特征值0, 求齐次线性方程组 (0In A)X 0
的基础解系, Xs. 则k1 X1 +
k即2X20+的…特+征k子sX空s,即间是V对0的应基于, 特X1征, X值2, …λ0 ,
的全部特征向量, 其中ki为K上不全为零的数.
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• 掌握复数域上的矩阵可以相似于上三角矩 阵并应用于讨论问题;
• 掌握判断和计算特征值和特征向量的方法; • 注意矩阵与线性变换的对应结论; • 注意特征值的概念与数域有关.
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特征值和特征向量_1
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例子
例5:设A Knn , g( x) K[x],
(1) 若 是A的特征值, 则 g( )是 g( A)的特征值.
(2) 若1, 2 , ..., n是A的全部特征值, 则g(1 ),
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特征值和特征向量_2
定义: 设λ是 的一个特征值, 则 V { V | ( ) }
是V的子空间, 且是称为 子空间, 称为 的
属于特征值λ的 特征子空间.
注: 设α是 的关于λ的特征向量, β是 的关于
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例子
1
例2:
求
a
b
的特征值与特征向量,
其中
d
a d,b 0,a 1,d 1.
3 1 1
例3:
求
2
2
1的特征值与特征向量.
高等代数简介
高等代数简介一、高等代数的教学目的及重要性代数学是以代数结构作为研究对象的一门学科。
所谓代数结构, 就是指带有一个或多个代数运算并且满足一定运算规则的非空集合。
高等代数是代数学的基础部分,是高等学校数学学院的学生的一门专业基础课程，它既是中学代数的继续和提高，也是数学各分支的基础和工具。
高等代数这门课程概念多, 理论性强, 内容抽象, 充分体现了数学的严密逻辑性、高度抽象性、广泛应用性等特征。
通过该课程的学习, 可逐渐培养和训练学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力，提高学生的数学素质。
随着科学技术的进步, 特别是计算机技术的迅速发展与普及,代数学在信息科学、计算机科学和物理学等许多领域都有着非常广泛的应用。
高等代数作为数学学院各专业的重要基础课,学习的好坏, 直接关系到多门后续课程的学习, 同时又关系到学生以后从事科学与技术研究的基本功。
二、高等代数简要发展史代数学是一门古老的数学学科，最简单的代数运算—正整数和有理数的算术运算及这些运算的代数性质在古代就知道了，17-18世纪“代数学”被理解为在代数符合上进行运算的科学，即对由字母组成的公式的“恒等”变换、解代数方程等，到18世纪中叶，代数学或多或少地相当于现在的“初等代数”。
18世纪和19世纪的代数学处理的主要内容是多项式。
历史上，首要的问题是求解一个未知数的代数方程即求解下述类型的方程1010n n n a x a x a -+++=其目的是推导出由方程的系数经加、减、乘、除及开方所构成的公式来表示方程的根。
事实上，人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。
16世纪意大利数学家发现了解三次方程和四次方程的求解公式。
这就很自然地促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的求解公式。
遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家大量的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪都没有解决。
同时，这个时期对于任意复系数代数方程的复根的存在性就成为数学家的主要兴趣，在18世纪和19世纪交替的时候，德国数学家高斯证明了代数方程有解存在的基本定理即代数基本定理。
厦门大学《高等代数(I)》线性方程组部分 练习题及参考答案
单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。
4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。
5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。
6．已知四元非齐次线性方程组 Ax = b ，r (A ) = 3， 3 2 1 , , h h h 是它的三个解向量，其中T T ) 3 , 1 , 0 , 1 ( , ) 2 , 0 , 2 , 1 ( 3 2 2 1 = + = +h h h h ， 则齐次线性方程组的通解为 ____________________________________。
7．设向量组 3 2 1 , , b b b 由向量组 3 2 1 , , a a a 的线性表示式为 ï îï í ì + + - = - + = + - = 3 2 1 3 3 2 1 2 3 2 1 1 a a a b a a a b a a a b ，则 向量组 3 2 1 , ,a a a 由向量组 3 2 1 , ,b b b 的线性表示式为____________。
8．设秩(A ) = r, 秩(B ) = s ，则秩 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ B A 0 0 ____________，秩 ÷ ÷ øö ç ç è æ B A ____________ 9．设 A 是 n 阶方阵，秩 (A ) = n －2，则秩 * A ____________。
厦大《高代》讲义第9章+内积空间
第九章内积空间Inner Product Space§9.1 目的与要求•掌握内积、内积空间的概念•熟练掌握欧氏空间的度量概念，如长度、距离、夹角、正交等•熟练掌握Cauchy-Schwarz不等式、三角不等式的含义及应用厦门大学数学科学学院网址: •定义:设V 是R 上线性空间,存在映射( ,):, 使得对任意x , y , z ∈V, c ∈R,有(1). ( x , y ) = ( y , x )(2). ( x + y , z ) = (x ,z ) + (y , z )(3). ( cx , y ) = c ( x , y )(4). ( x , x ) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0.则称在V 上定义内积( , ). V 称为内积空间.有限维实内积空间称为Euclid 空间(欧氏空间).R V V →⨯对称线性非负（实）内积空间•定义:设V 是C 上线性空间,存在映射( , ):使得对任意x , y , z ∈V, c ∈C,有(1).(2). (x + y , z ) = (x , z ) + ( y , z )(3). (cx , y ) = c ( x , y )(4). (x , x ) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0.则称在V 上定义内积( , ). V 称为复内积空间.有限维复内积空间称为酉空间.•注1:对任意实数a , , 所以复内积空间与实内积空间的定义是一致的, 统称为内积空间.•注2:在复内积空间中, (,)(,)x y y x =a a =(,)(,)x cy c x y =R V V →⨯（复）内积空间•例1:R n ×1是n 维欧氏空间, 若, 定义内积如下:该内积称为R n ×1上的标准内积.C n ×1是n 维酉空间, 若, 定义内积如下:该内积称为C n ×1上的标准内积.1122(,)...n nx y y x x y x y x y '==+++例子1,C n x y ⨯∀∈1,R n x y ⨯∀∈1122(,)...n nx y y x x y x y x y '==+++•例2:R 2×1上对1) 是内积2) 非线性, 非内积3) 未必非负, 非内积11211222(,)4x y x y x y x y x y =--+例子1122,x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∀== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,2(,)max(||,||)i i i x y x y ==1212(,)x y x x y y =+++•例3:设, 定义则c [a , b ]是无限维内积空间. •例4:设G 为n 阶正定阵, 对, 定义则R n ×1是R 上n 维欧氏空间. G =I 即例1.•例5:R n ×n 上定义(A , B ) = tr(A’B ), 是欧氏空间么? 若是, 它是几维的?例子(,)'x y x Gy=(,)()()b a f g f x g x dx =⎰(),()[,]f x g x c a b ∈1,R n x y ⨯∀∈•定义:设V 实内积空间, 设x , y ∈V, 定义x 的长度为:定义x 与y 的距离为:当V是实空间时, 定义x , y 的夹角θ的余弦为:当V 是复空间时, 定义x , y 的夹角θ的余弦为:当( x , y ) = 0时, 称x 与y 正交, 记x ⊥y .(,)x x x =(,)d x y x y=-(,)cos x y x yθ=(,)cos x y x y θ=(实)内积空间_2•定理:设V 是实的或复的内积空间,设x , y ∈V, c 为常数(实数或复数), 则(1) (2) (Cauchy-Schwarz 不等式)当且仅当x , y 线性相关时, 等号成立.(3) (三角不等式)cx c x=(,)x y x y≤x y x y+≤+在R n×1中•注1:x=0时, 对任意y, (x, y)=0; 反之, 若对任意y, 都成立(x, y)=0, 则x=0. 即只有零向量和自己正交; 只有零向量的长度为0;•注2:||x+y||= ||x||+||y|| x和y同向或有一为0;•注3:(x, y)=||x||||y||cosθ, 其中θ为x与y的夹角(内积几何意义);•注4:x⊥y时, (x,y)=(y,x)=0, ||x+y||2=||x||2+||y||2 (勾股定理);•注5:若两两正交, 即则1)2)•注6:x 称为单位向量, 若. 一般地, 若x ≠0, 则x /|| x ||是单位向量(称把x 单位化).•注7:Cauchy-Schwarz 不等式具体形式:内积空间_512,,...,m ααα(,)0,i j i j αα=∀≠122...m mk k ααα⊥++22221212......m mαααααα+++=+++1x =()222221111...(...)(...)n n n nx y x y x x y y ++≤++++222(()())()()b bbaaaf xg x dx f x dx g x dx≤⎰⎰⎰例子•例6:证明下列不等式成立1)2) 若A =(a ij )n ×n 是(对称)正定阵, 则))(()(1111211j i n i nj ij j i n i n j ij n i n j j i ij y y a x x a y x a ∑∑∑∑∑∑======≤222111111()()()nnnnnnji ji jijii j i j i j a b a b ======≤∑∑∑∑∑∑厦门大学数学科学学院网址: 作业•作业p294 1, 2, 3, 6, 7补充: R n ×n 上定义(A , B ) = tr(A’B ), 是欧氏空间么? 为什么? 若是, 它是几维的?并证明下列不等式：•选做p295 5222111111()()()nnnnnnji ji jijii j i j i j a b a b ======≤∑∑∑∑∑∑§9.2 目的与要求•掌握标准正交基、正交补空间的概念•掌握度量矩阵与内积的关系•掌握两标准正交基的过渡矩阵与正交阵的关系•熟练掌握矩阵为正交阵的充要条件•掌握向量组的Gram-Schmidt正交化的计算标准正交基_1•定义:设是n 维内积空间V 的一组基, 若, 则称这组基是V 的一组正交基, 若,则称这组基是V 的一组标准正交基.•引理:内积空间V 中任意一组两两正交的非零向量必线性无关.12,,...,n εεε(,)0,i j i j εε=∀≠(,)i j ij εεδ=标准正交基_2•定理: 设V 是内积空间, 是V 中m 个线性无关的向量, 则在V 中存在两两正交的向量, 使得•Gram-Schmidt 正交化:12,,...,m ξξξ12,,...,m ηηη1212(,,...,)(,,...,).m m L L ξξξηηη=11ηξ=,11,11,(,)...,,11(,)i j i i i i i i i j j j k k k j i ξηηξηηηη--=+++=-≤≤-Schmit 正交化uu 2211k v -v 2322k v -1212111112212(,)(,)u u u k v v u v v v v v ==--=v 12v 311k v -3v 3u 331132233313221u u k v k v k k v v v --=--=211k v v 1311k v 322k v 3322u k v -标准正交基_3•注: 任意线性无关向量组必可正交化, 且正交化后的向量组与原向量组等价.•推论: 任意n 维内积空间有一组标准正交基.•注: 标准正交基可以简化内积的运算.设是内积空间V 的标准正交基, 若, 则, 即又若, 则12,,...,n εεε(,)i i x x ε=1122(,)....n n x y x y x y x y =+++1122...n n x x x x εεε=+++111222(,)(,)...(,)n n n x x x x εεεεεε=+++1122...n n y y y y εεε=+++例子•例1:R 1×2, 在标准内积下e 1, e 2是标准正交基, 任意向量x =(x 1, x 2), 则x 1=(x , e 1), x 2=(x , e 2).•例2:设V 是四维行向量空间, 内积为标准内积, 又. 试用Gram-Schmidt 方法将化为V 的一组标准正交基.•例3:设, 问是否为的一组基? 一组标准正交基?1234(1,1,0,0),(1,0,0,1),(1,0,1,0),(1,u u u u ==-==1,1,1)--1234,,,u u u u 12(1,0),(0,1)u u ==12,u u 12R ⨯正交补•定义:设U是内积空间V的子空间,令U⊥={v∈V| (v, u)=0,对任意u∈U},则U⊥是V的子空间, 称为U的正交补空间.•定理:设Ｖ是n维内积空间, U是Ｖ的子空间,则(1) V = U U⊥;(2) U上任意一组标准正交基必可扩为V 的标准正交基;(2’) V上任意一组标准正交向量组必可扩为V 的标准正交基.例子•例5:若, 且对都有, 则•例6:(Bessel 不等式) 设是n 维内积空间V 的正交向量组, y 是V 的任一向量, 则且等号成立的充要条件是•例7:设线性子空间U 是齐次线性方程组Ax =0的解空间, 求U ⊥适合的线性方程组.12,,...,m v v v 2221|(,)|||||||||m k k k y v y v =≤∑12(,,...,).m y L v v v ∈12V U W U W =⊕=⊕11U, W u w ∀∈∈22W w ∈12(,)(,)0u w u w ==12W W U .⊥==度量矩阵_1设V 是n 维欧氏空间,是V 的一组基,令由内积定义知G 是一个实对称矩阵, 称为度量矩阵. 设则( x , y ) = (x 1, …, x n ) G (y 1, …, y n ) = X ’GY 这里X ’= (x 1, …, x n ), Y = (y 1, …, y n )’.因为当x ≠0时, 必有(x , x ) >0, 所以Ｇ是正定阵.111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n G ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11,n n i i i ii i x x y y ξξ====∑∑,,...,12n ξξξ度量矩阵_2•注1:在n 维实线性空间V 的基固定情况下{V 上的内积} {实正定矩阵}.•注2:设是欧氏空间V 的一组基, 则为正交基⇔G 为(正定)对角阵；为标准正交基⇔G 为单位阵.←−−→１：１,,...,12n ξξξ,,...,12n ξξξ,,...,12n ξξξ正交矩阵_1设u 1, u 2, …, u n 和v 1, v 2, …, v n 是n 维欧氏空间V 的两个标准正交基, T 是从基u 1, u 2, …, u n 到v 1, v 2, …, v n 的过渡矩阵,即(v 1, v 2, …, v n )=(u 1, u 2, …, u n )T.则由于,故有T ’T =I .•定义:实n 阶方阵T 称为正交阵, 如果T -1=T ’.1(,)i jn ij si sj s v v t t δ===∑正交矩阵_2•注1:设u1,u2,…,u n是维欧氏空间的一个标准正交基, T是正交阵, 且有(v1,v2,…,v n)=(u1, u2, …, u n)T.则v1,v2,…,v n是V的标准正交基.•注2:T是正交阵 T 的列向量是标准内积空间R n×1的标准正交基.正交矩阵_3•例4:(1) 单位阵是正交阵.(2) 实对角阵是正交阵的充分必要条件是对角元素为±1.(3) 上(下)三角阵是正交阵的充分必要条件是它是对角阵且对角元素为±1.(4)是正交阵且二阶矩阵能作为正交阵的只能是如上两种形式.(5) 置换阵是正交阵.cos sin cos sin ,sin cos sin cos θθθθθθθθ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭正交矩阵_4•命题:设T, S为正交阵, 则(1) |T | = ±1.(2) T 可逆且T -1为正交阵.(3) T *为正交阵.(4) –T 为正交阵.(5) TS 为正交阵.(6) T 的特征值的模长为1.§9.3 目的与要求•了解伴随变换的概念•掌握伴随变换的矩阵表示与性质伴随_1•定义:设V 是数域K 上线性空间, 从V 到K 的线性映射称为线性函数. V 上线性函数的全体称为V 的共轭空间, 记做V *.•注:设V 是n 维欧氏空间,内积为(-,-). 固定0≠v ∈V, 则是V 上线性函数. 反之, 任一线性函数均可由上面方式实现.:.f V K (,)x x v伴随_2•引理:设f 是n 维欧氏空间V 的线性函数,则必存在V 上唯一向量v ,使对任意x ∈V, 均有f (x )=(x ,v ).•定理:设是n 维欧氏空间V 的线性变换算子,则存在唯一线性变换算子,使得对任意u ,v ∈V, 有•注1: 称为的伴随变换.•注2: 欧氏空间上线性变换称为线性算子.ϕ*ϕ((),)(,*()).u v u v ϕϕ=*ϕϕ伴随_3•定理:设u 1,u 2,…,u n 是n 维欧氏空间V 的一组标准正交基,若V 的线性变换在这组基下的表示矩阵为A ,则的伴随算子在这组基下的表示矩阵为A ’.•定理:设是n 维内欧氏空间V 的两个线性变换,c 为常数,则ϕ*ϕϕ2)()**c c ϕϕ=1)()***ϕψϕψ+=+3)()***ϕψψϕ=4)(*)*ϕϕ=,ϕψ§9.4 目的与要求•掌握内积空间的（保积）同构的概念•熟练掌握内积空间的同构的等价命题•掌握正交算子的概念•熟练掌握正交算子的等价命题•掌握正交阵在正交相似下的标准型及相应的正交算子命题正交算子_1•引理:设是维欧氏空间V 到W 的线性映射,则下列条件等价:(1) 保持内积,(2) 保持范数,(3) 保持距离, •定义:设V,W 是n 维欧氏空间是线性映射.如果是线性空间同构且保持内积,即则称是欧氏空间的同构,记:V W ϕ→ϕϕϕϕ((),())(,).x y x y ϕϕ=().x x ϕ=((),())(,).d x y d x y ϕϕ=ϕ((),())(,),x y x y ϕϕ=ϕV W.≅正交算子_2•定理: 设V, W 是n 维欧氏空间, 是线性映射,则下列条件等价:(1) 保持内积.(2) 保持范数.(3) 保持距离.(4) 是欧氏空间同构.(5) 将V 的任一标准正交基变成W 的标准正交基.(6) 将V 的某一标准正交基变成W 的标准正交基.:V W ϕ→ϕϕϕϕϕϕ正交算子_3•推论:设V, W 是欧氏空间,则 dimV = dimW.•注1:两个欧氏空间是否同构与其上定义的内积无关, 只与维数有关.•注2:欧氏空间的同构是等价关系.•注3:任意n 维欧氏空间都同构于标准内积空间R n .•意义:对一般n 维欧氏空间的研究可转化为对标准内积空间R n 的研究.V W正交算子_3•定义: n 维欧氏空间V 上保持内积的线性算子称为正交算子或正交变换.•定理:设是n 维欧氏空间V 的线性变换,则下列条件等价:(1) 是正交算子. (2) 保持距离.(3) 保持范数. (4) 是V 的自同构.(5) 可逆且(6) 将V 的任意标准正交基变为另一标准正交基.(7) 将V 的一组标准正交基变为另一标准正交基.(8) 在V 的任意标准正交基下的矩阵是正交阵.(9) 在V 的某组标准正交基下的矩阵是正交阵.ϕϕϕϕϕ1*.ϕϕ-=ϕϕϕϕϕ正交算子_4•注1:n 阶正交阵可视为某n 维欧氏空间V 上正交变换在V 的某标准正交基下的表示矩阵;•注2:n 阶正交阵还可视为某n 维欧氏空间V 中某两标准正交基的过渡矩阵.•注3:若是正交算子, 则1) 可逆, 且也是正交算子;2)为正交算子;3) 若|c |=1, 则为正交算子.,ϕψϕ1ϕ-ϕψc ϕϕ正交相似_1设是n 维欧氏空间V 上线性变换, u 1, …, u n 和v 1, …, v n 分别是V 的两组标准正交基,则•定义:设A , B ∈R n ×n , 若存在正交阵T , 使则称A , B 是正交相似的.ϕ1212(,,...,)(,,...,)n n v v v u u u T =1212(,,...,)(,,...,)n n u u u u u u A ϕ=1212(,,...,)(,,...,)n n v v v v v v Bϕ=1.B T AT T AT -'==1,B T AT T AT -'==正交相似_2•注1:设A, B∈R n×n, 则A与B是正交相似的充分必要条件是A, B是n维欧氏空间V上同一个线性算子在不同标准正交基下的矩阵.•注2:正交相似是等价关系.•注3:设A与B正交相似, A是正交阵, 则B也是正交阵.•注4:若B由矩阵A互换i,j两行, 再互换i,j两列得到, 则A, B正交相似.•注5:两对角阵仅对角元顺序不同, 则他们正交相似.正交算子_5•引理:设A 为正交阵,为A 的一个复特征值, (b ≠0), 为对应的特征向量, 则且•注:因, 故可设cos sin (,),(,)sin cos Ax x y Ay x y θθθθ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a ib λ=+u x iy =+.x y =x y ⊥221,a b +=1λ=cos ,sin .a b θθ==-cos sin (,).sin cos A x y θθθθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭正交算子_6•定理:设A 为正交阵, 则存在正交阵T , 使T -1AT •定理:设是n 维欧氏空间V 的正交算子, 则存在一组标准正交基, 使得在此基下的矩阵是1111cos sin cos sin {,,,...,}.sin cos sin cos l l s t l l diag I I θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111cos sin cos sin {,,,...,}.sin cos sin cos l l s t l l diag I I θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ϕϕ例子•例1:设是欧氏空间V 的线性变换, 则下列命题中___不能作为是正交变换的等价命题.A. 在某一组基下表示矩阵是正交阵;B. ;C. 保积同构;D. 保持距离不变.A1*ϕϕ-=例子•例2:和矩阵正交相似的矩阵是___.A.B. C.D.A 1001M ⎛⎫= ⎪-⎝⎭0110⎛⎫ ⎪⎝⎭1100-⎛⎫ ⎪⎝⎭1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭0110⎛⎫ ⎪-⎝⎭例子•例3:设是n 维欧氏空间的线性变换, 分别是的伴随变换, 则下列命题中错误的有___个.①是单的线性变换, 则是满的线性变换②③, 对任意的④是同构变换, 则也是同构变换A. 0B. 1C. 2D. 3A,ϕψ*,*ϕψ,ϕψϕ*ϕ*dimIm dimIm ϕϕ=ϕ*ϕ*((),)((),)ϕαβϕβα=,Vαβ∈例子•例4:三阶正交矩阵在正交相似下的所有可能的标准形是___.111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭111-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭cos sin sin cos 1θθθθ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭cos sin sin cos 1θθθθ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭例子•例5:设为n 阶正交矩阵, 且则矩阵方程的解x = ___.要点:1. 因为A 是正交阵, 故A 可逆, 问题的解唯一; 2.又因A 是正交阵, 且故A 的第一列为-e 1, 从而.()ij n n A a ⨯=111,a =-1Ax e =1e -111,a =-11()A e e -=§9.5 目的与要求•掌握自伴随算子的概念及与对称矩阵的关系•熟练掌握对称矩阵的正交相似标准型•掌握对称矩阵相似/合同/正交相似的全系不变量•一些相关的计算和证明对称算子_1•定义:设V 是n 维欧氏空间,是V 的线性算子, 如果, 则称是自伴随算子(对称算子).•定理:设是n 维欧氏空间V 的线性算子, 则下列条件等价：(1)是对称算子;(2)(3) 在V 的任一组标准正交基下的矩阵是对称阵;(4) 在V 的某一组标准正交基下的矩阵是对称阵.*ϕϕ=ϕϕϕϕ((),)(,());ϕαβαϕβ=ϕϕ•定理:设是n 维欧氏空间V 上对称算子,则的特征值全为实数且属于不同特征值的特征向量互相正交.•定理’:设A ’=A ∈R n ×n ,则A 的特征值全为实数且属于不同特征值的特征向量互相正交(标准内积空间R n ×1).•引理:设是n 维欧氏空间V 上对称算子. U 是子空间. 则U ⊥也是子空间.•定理:设是n 维欧氏空间V 上对称算子, 则存在V 的一组标准正交基, 使在这组基下的矩阵是对角阵.•定理’:设A ’= A ∈R n ×n , 则存在正交阵T , 使T -1AT =T ’AT 为对角阵, 且对角线元素为A 的特征值.ϕϕϕϕ-ϕ-ϕϕ•定理:A , B 实对称矩阵, 则A , B 正交相似 A , B 的特征值相同.•注:特征值是实对称矩阵相似的全系不变量.•定理:设是n 元实二次型,是A 的所有特征值, 则必存在正交线性替换为正交阵, 使f 的正惯性指数等于A 的正特征值个数, f 的负惯性指数等于A 的负特征值个数, f 的秩等于A 的非零特征值的个数.22211122(,,)n n n f x x y y y λλλ=+++ 1(,,)n f x x X AX '= 1,,n λλ ,X TY T =。
厦门大学09-10学年第一学期《高等代数》半期考试卷
3) 记 e1, e2 , e3 为 3 维列向量，则与 3 阶行列式 e1,e 2 , e3 等值的行列式是____. D
A) e1, 2e1 + e 2 , e1 + 3e 2 - e3 ；
B) e 3,e 2 ,e1 ；
C) e1 + e 2 ,e 2 + e3, e3 + e1 ；
D) e 3 - e 2 ,e1 - e3, e3 .
4
参考答案——0910 学年第一学期厦门大学《高等代数》期中试卷
同理由 B¢B = I ，知| B |= ±1。又因为| A |= - | B | ，所以| A || B |= -1 。而
| A + B |=| A + AA¢B |=| A || I + A¢B |=| A || B¢B + A¢B |=| A || B¢ + A¢ || B |= - | B¢ + A¢ |= - | A + B |
A
=
n( n -1)
( -1) 2
æçè1 -
n i=2
1ö i ÷ø
n!。
常见错误： (1) 漏掉符号或者弄错符号。 (2) 用归纳法时，递推式错误。注：此题用归纳较为复杂。
四、 (15 分) 设 A = I - xx ¢ ，其中x 为 n 维非零列向量，x ¢ 是x 的转置，证明：
1） A2 = A 的充要条件是x ¢x = 1 ； 2） 当x ¢x = 1 时， A 是奇异的，即 A 是不可逆的。 证明：1） A2 = (I -xx ¢)(I - xx ¢) = I - 2xx ¢ + x (x ¢x )x ¢ ，记x ¢x = a ，则 A2 = I - (2 - a)xx ¢ 。 充分性：若x ¢x = 1 ，即 a = 1 ，则 A2 = I - xx ¢ = A 。 必要性：若 A2 = A ，则 (2 - a)xx ¢ = xx ¢ 。又x 为 n 维非零列向量，于是xx ¢ ¹ 0 ，因此 2 - a = 1，即 a = xx ¢ = 1。 2)（方法一）（09 级 马晴 等）由 1）知，当x ¢x = 1 时 A2 = A 。若 A 可逆，则 A = I ，从而xx ¢ = 0 ， 与x 为 n 维非零列向量矛盾。因此 A 是奇异的。 （方法二）（08 级转专业 郑光辉）当x ¢x = 1 时，Ax = (I - xx ¢)x = x - x (x ¢x ) = x - x = 0 ，由于x 为 n 维非零列向量，因此| A |= 0 ，即 A 是奇异的. （方法三）（09 级 尹浩宇 等）由于| A |=| I - xx ¢ |=|1- x ¢x |= 0 ，因此 A 是奇异的。 常见错误：对长方阵x 求行列式或逆等。
(word版)厦门大学参考答案0809学年第一学期《高等代数》期末考试卷
08-09学年第一学期厦门大学?高等代数?期末试卷 厦门大学?高等代数?课程试卷数学科学学院各系2021年级各专业信息科学与技术学院 计算机科学 系2021年级CST 专业特别说明：答案写在答题纸上一、单项选择题〔32分.共8题,每题4分〕以下说法错误的选项是___B____.假设向量组1,2,3线性无关，那么其中任意两个向量线性无关；B ) 假设向量组1, 2,3 中任意两个向量线性无关，那么1,2,3线性无关；C) 向量组 1 2,2 3,3 1线性相关；D) 假设向量组1,2,3 线性无关，那么1, 1 2, 123线性无关.2. 设n 维列向量1,2,...,m (m n)线性无关,那么n 维列向量1,2,...,m线性无关的充要条件是___D____.A) 向量组 1,2,..., m 可由向量组1, 2,..., m 线性表示；B) 向量组 1, 2,..., m 可由向量组 1,2,..., m 线性表示；C) 向量组 1,2,..., m 与向量组 1, 2,...,m 等价；D)矩阵A (1, 2,..., m )与矩阵B (1, 2,..., m )相抵. 3.设线性方程组 Ax 0的解都是线性方程组 Bx 0的解，那么__C__.A)r(A) r(B)；B)r(A) r(B)；C)r(A) r(B)；D)r(A) r(B).4. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵 A * 0，非齐次线性方程组 Ax b 有无穷多组解，那么对应的齐次线性方程组Ax 0的根底解系__B__.A)不存在； B)仅含一个非零解向量；C)含有两个线性无关的解向量； D)含有三个线性无关的解向量 .以下子集能构成R 22的子空间的是___B____.A)122 } ；B)V2{A|tr(A)0,AR 22}；V{A||A|0,AR108-09学年第一学期厦门大学?高等代数?期末试卷C)V 3 {A|A 2A,A R 22}；D)V 4 {A|A A 或 A,A R 22}.6.设V 是数域K 上的线性空间,V 上的线性变换在基 1,2,...,n 下的矩阵为A 且|A|2，假设在基 n ,n1,...,1下的矩阵为B,那么|B|___B___.A)2n；B)2； C)1； D)不能确定.27.设V 是n 维向量空间， 和 是V 上的线性变换，那么 dimImdimIm的充分必要条件是_____D ___.A) 和都是可逆变换； B)Ker=Ker ；C)Im Im ；D) 和 在任一组基下的表示矩阵的秩相同.8. 设 是线性空间 V 到U 的同构映射,那么以下命题中正确的有 ___D___个.(Ⅰ) 为可逆线性映射；(Ⅱ)假设W 是V 的s 维子空间,那么(W )是U 的s 维子空间；(Ⅲ) 在给定基下的表示矩阵为可逆阵；(Ⅳ)假设V=V 1 V 2,那么(V 1V 2)(V 1)(V 2).A)1B)2C)3D)4二、填空题〔32分.共8题,每题4分〕1 0 0 3假设矩阵A( 1,2,3,0 0 2 4 1,2,3,4的1. 4)经过行初等变换化为1 0 ,那么向量组0 50 0一个极大无关组是1,2,3,其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为4315223.2. 设3 维向量空间的一组基为1(1,1,0),2(1,0,1),3(0,1,1)，那么向量 (2,0,0) 在这组基1下的坐标为1.13. 设V 1，V 2均为线性空间 V 的子空间，那么 L(V 1 V 2)V 1 V 2.208-09学年第一学期厦门大学?高等代数?期末试卷4. 数域K 上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是 _3_.而E 12E 21,E13E 31,E 23E 32是它的一组基.5. K 12上的线性变换定义如下：((a,b))(0,a)，那么Ker={(0,a)|aK}.Im={(0,a)|aK}.6. 设是数域K 上n 维线性空间 V 到m 维线性空间U 的线性映射, 那么为满射的充分必要条件是对任意 U,存在V,使得();Im U;dimImm;.〔请写出两个〕dimKer nm;在任意基下的矩阵都是行满秩的 ; 在某个基下的矩阵是行满秩的 〔.其中任两个均可〕7. 设1,2,...,n 和1, 2,..., n 是线性空间 V 的两组基，从 1,2,..., n到1,2,...,n 的过渡矩阵为P .假设 是V 上的线性变换且 (i ) i, i1,2,...,n ，那么 在基1, 2,..., n 下的表示矩阵是_P_.8. 设是线性空间V 上的线性变换，在基1, 2,...,n 下的表示矩阵为 A B ，其中A 为rr 矩C阵，那么存在V 的一个非平凡-不变子空间L(1,,r ).三、(8 分)设线性空间V 的向量组1,2,..., m 线性无关，V ，考虑向量组,1,2,...,m .求证：或者该向量组线性无关，或者 可由 1,2,...,m 线性表示.证明：假设,1,,m 线性相关，那么存在不全为0的数k 0,k 1,,k m 使得k 0+k 11+k mm0．我们断言，k 0 0．事实上，假设k 0=0，那么k 11+k mm 0．由1, 2,...,m 线性无关知k 1==k m =0．于是，k 0=k 1==k m =0．这与k 0,k 1, ,k m 不全为０相矛盾．因此，k 00．此时，k 1 k m m ．1k 0k 0从而，或者该向量组线性无关，或者可由1, 2,..., m 线性表示．四、(10分)设V 1,V 2分别是数域K 上的齐次线性方程组x 1x 2x n 与x 1x 2x n 0的解空间.证明K n1V 1V 2.3a1证明：法一：一方面，a2V1V2，有a1a2a n，那么a1a2a n0．故a1a2a n0a nV1V20．n n n na1a i a ia1a i a i i1a i1i1a i1n1n n1na2K n1，存在a2另一方面，V1,V2，使得＝＋n n n na a i a i a n a i a ini1i1i1i1a n a nn n n n 即K n1V1V2．因此，K n1V1V2．a1法二：一方面，a2a1a2a n，那么a1a2a n0．故V1V20．V1V2，有a2a1a n0a n11000另一方面，由于V1为方程组Ax0的解空间，其中A 01100，V2为方程组00011(n1)nBx0的解空间，其中B(1,1,,1)1n，所以dimV11,dimV2n1．故dimV1dimV2dimK n1．从而，K n1V1V2．11000法三：一方面，由于V1为方程组Ax0的解空间，其中A 01100，V2为方00011(n1)n程组Bx0的解空间，其中B(1,1,,1)1n，所以dimV11,dimV2n1．故dimV1dimV2dimK n1．4nnnna 1a ia ia 1a ia ii1i1i 1i1na 1na 1a 2Kn1，存在na 2n另一方面，V 1,V 2，使得＝＋nnnna na ia ia na ia ii1i1i 1i1n a nna nnn即K n1V 1 V 2．因此，K n1V 1V 2．五、(10分)设AK mn .证明：r(A)r 的充分必要条件是存在BK mr，CK rn ，使得r(B)r(C)r 且ABC .证明： 充分性： 由于BK mr ，C K rn 满足r(B)r(C)r 且ABC ，所以rr(B)r(C)rr(A)r(BC)r(B)r故r(A)r ．必要性： 由于r(A)r，所以存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q 使得AI r 0PQ ．令BPI r ,C(I r ,0)Q，那么BK mr ，CKrn满足r(B)r(C)r 且ABC ．六、(8分)设V,U,W 是有限维线性空间，:V U ，:WU 是线性映射.求证：存在线性映射:VW 使得的充分必要条件是 Im Im .证明： 充分性： 法一：取V 的一组基 1,2,, n ，由于ImIm，所以(i ) Im，1 in ，即存在iW 使得(i )(i )．定义线性映射:V W 满足(i )i,1in ，那么(i ) (i )( i ), 1 in ．因此，．法二：取V 的一组基1,2,,n ，U 的一组基1,2,,m ，W 的一组基1,2,,s ．设(1,2, ,n ) (1,2, ,m )A mn(1,2,,s )(1,2,,m )B ms5其中A(1,2,,n ),B(1,2, ,s )．由于ImIm ，所以L(1,2,s,n)L1(,2 ,s ，, 即)1 jn, jciji ．取i1C(c ij )s n ，那么A BC ．定义线性映射:V W 满足 (1, 2,, n )(1,2,, s )C ，那么.必要性： 对任意 Im，存在V 使得( )．由于，所以( )(())Im从而，ImIm．附加题:(本局部不计入总分)设V,U,W是有限维线性空间且dimVdimW ，:V U ， :W U 是线性映射.证明：存在可逆线性映射:V W 使得的充分必要条件是 ImIm.证明：充分性：法一：由于dimVdWim 且Im Im ，所以由维数公式知：dimKerdimKe ．r 取Ker的一组基1,2,,r ；Ker 的一组基1,2,, r ，将其扩充为V的一组基1,2,,r ,r1, n ，那么(r1),(n )是Im的一组基．由于Im Im ，所以(r 1),( n )是Im的一组基．设(i )( i ), r 1 i n ，由于 (r1), , (n )线性无关，所以r1,,n 线性无关．我们断言， 1, 2, ,r ,r1,,n 线性无关．事实上，假设k 11k 22krrk r1r 1knn0，那么将作用于上式得k r1(r1) k n (n )0．由于(r1), ,(n )线性无关，所以k r1k n 0．于是k 11 k 22k r r ＝０．又1, 2, , r 是Ker的一组基，故k 1k r从而，1, 2,,r ,r1,,n 线性无关．注意到dimW n ，故1,2,,r ,r1,,n 是W 的一组基．定义线性映射 :V W 满足(i )i ,1 i n ．由于1,2,,n 是V 的一组基，1,2,,n 是W的一组基，故 可逆．又(i )( i)( i ), 1i n ，从而．法二：取V 的一组基1,2,, n ，U 的一组基1,2,,s ，W 的一组基1, 2,, n ．设(1,2, ,n )(1,2,,s )A sn6(1,2,,n)(1,2,,s)B sn且dimIm dimIm r，那么r(A)r(B)r．于是，存在n阶可逆矩阵P,Q使得AP(A1,0), BQ(B1,0)，其中A1,B1K sr列满秩．由于Im Im，所以同上题证明可知存在n阶矩阵C使得A BC，那么(A1,0)AP BQ(Q1CP)．设Q1CP X11X12，其中X11是r阶方阵，那么X21X22(A1,0)(B1,0)X11X12．从而，A1B1X11．又A1列满秩，所以存在A2K rs使得A2A1I r．于X21X22是，I r A2A1(A2B1)X11，即X11是可逆矩阵．因此，存在可逆矩阵X Q X110P1使得0I n rBX BQ X110P1(B1,0)X110P1B1X11,0P1(A1,0)P1A0I nr0I nr定义线性映射:V W满足(1,2,,n)(1,2,,n)X由于X可逆且ABX，故可逆且．必要性：由于，所以同上题证明可知Im Im．又由:V W可逆可知1，所以Im Im．从而，Im Im．7。
厦门大学2012年硕士研究生入学考试高等代数试题参考解答
高等代数资源网 February 12, 2012
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7.设B 是n × n阶正定矩阵,C 是秩为m的n × m阶实矩阵,n > m.则A = )个正特征值,( 解:由于 ( )T ( )( ) ( ) En −B −1 C B C E n −B − 1 C B = , Em CT 0 Em −C T B − 1 C 且−C T B −1 C 是负定的,故结果为n, m. 8.设p是素数,则xp + px + p和x2 + p的最大公因式为( √ 解:由于x2 + p = 0的两个复根为± pi,且 √ √ (± pi)p + p(± pi) + p ̸= 0. 故结果为1. ). )个负特征值.
) B C 有( CT 0
x1 + x2 + x3 = 1 二.(20分)已知线性方程组 2x1 + (a + 2)x2 + (a + 1)x3 = a + 3 有无穷多解.又设A是 x1 + 2x2 + ax3 = 3 三阶方阵,α1 = (1, a, 0)T , α2 = (−a, 1, 0)T , α3 = (0, 0, a)T 为A的属于特征值λ1 = 1, λ2 = −2, λ3 = −1的特征向量. (1)求矩阵A; (2)求行列式|A∗ + 2E |. 解:由于方程组的增广矩阵 1 1 1 1 1 1 1 1 2 a + 2 a + 1 a + 3 → 0 1 a − 1 2 , 2 1 2 a 3 0 0 (a − 1) a − 1 故a = 1.从而 AP = P diag (λ1 , λ2 , λ3 ), P = (α1 , α2 , α3 ). 故 (1)A = P diag (λ1 , λ2 , λ3 )P −1 −0.5 1.5 0 = 1.5 −0.5 0 . 0 0 −1 5 高等代数资源网
厦门大学本科课程教学大纲
厦门大学本科课程教学大纲XMU Undergraduate Course Syllabus□Basic Common Courses □General Education Courses □DisciplinaryGeneral Courses SpecializedCourses□Other Teaching Processes Lecture □Experiment □Skill-training□PracticalTick厦门大学本科课程大纲填写说明(Notes)1．须同时填写课程大纲中文版和英文版。
2．课程名称必需准确、标准。
3．课程代码：非任课教师填写。
该课程在教务系统生成后，由学院代为填写。
4．讲课对象填写专业。
5．适用年级填写可修读本课程的时刻，如本科三年级第一学期。
6．课程类型指公共大体课程、通识教育课程、学科通修课程、专业（或专业方向）课程、其他教学环节。
7．课程课型指理论课、实验课、技术课、实践课。
8．总学时=讲课学时+讨论学时+实验学时+上机学时+其他学时9．先修课程是与该课程具有严格的前后逻辑关系，非先修课程那么无法学习该课程。
10.培育目标很多于150字。
11.考核方式包括成绩记录方式、成绩组成、考核标准等。
成绩记录方式包括百分制、通过/不通过等。
成绩组成指各类考核方式占比。
考核标准指衡量各项考评指标得分的基准。
12.选用教材和要紧参考书要求注明作者、书目、出版社、出版年份。
例如，“丹利维尔：《民主、官僚制组织和公共选择》，中国青年出版社，2001年。
”13.其它信息指课堂标准要求等，如课上禁止利用电话、缺勤要求等。
14.课程英文类别代号:。
线性代数厦门出版社答案
线性代数答案解答第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：.解（2）=ba ca c bc b a ccc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （4）yx yx x y x yy x y x+++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+--33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=4.计算下列各行列式：解 (2)2605232112131412-24c c -260532122130412-24r r -0412032122130412-14r r -0000032122130412-=0(4)d c ba 10110011001---21ar r +d cb a ab 10011011010---+ =12)1)(1(+--d c a ab 101101--+ 23dc c +010111-+-+cd c ada ab=23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）： 解(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax xa a x xa a x x a a a a x D n ------=00000再将各列都加到第一列上，得ax a x a x a a a an x D n ----+=00000000)1()(])1([1a x a n x n --+=-(3)从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行 交换，得nn nn n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-∙-∙-=---=1121)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nnnnn d c d c b a b a D 011112=n n n n n nd d c d c b a b a a 00000011111111----展开按第一行00000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开 由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D 即 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((6)n n a a a D +++=11111111121,,433221c c c c c c ---n nn n a a a a a a a a a a +-------100100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------0000000000000000000000022433221nn n a a a a a a a a ----+--000000000000001133221++nn n a a a a a a a a -------0000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑+==n i in a a a a第二章 矩阵及其运算4．计算下列乘积： 解(2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321)10()132231(=⨯+⨯+⨯=(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=652087613．利用逆矩阵解下列线性方程组:解 (1) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：解3．从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ,问B A ,的秩的关系怎样? 解 )(A R ≥)(B R设r B R =)(，且B 的某个r 阶子式0≠D r .矩阵B 是由矩阵A 划去一行得 到的，所以在A 中能找到与D r 相同的r 阶子式D r ，由于0≠=D D r r ， 故而)()(B R A R ≥.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013r r 21~↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------564056401211~12133r r r r 2000056401211~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r r 二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073131223123⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------15273321059117014431~27122113r r r r r r 200000591170144313~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----r r . 二阶子式71223-=-．(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812434241322~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0230102420536307121131223~r r r r ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210344314211614~r r r r r r r r -÷÷↔↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000100007121002301秩为3 三阶子式07023855023085570≠=-=-．6．求解下列齐次线性方程组:(2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x解(2) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021~ 即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********k k x x x x8．λ取何值时,非齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2321321321,,1λλλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解 (1) 0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2) )()(B R A R <⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011~λλλλλλλλλλ由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ 得2-=λ时,方程组无解.(3) 3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ, 得1=λ时,方程组有无穷多个解.11．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323513123;解 （1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101011001200410123~ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10121121023200010023~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2102121129227100010003~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----21021211233267100010001~故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2102121123326712．(1) 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=132231,113122214B A ,求X 使B AX =;(1) ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231113122214B A 初等行变换~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--412315210100010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==∴-4123152101B A X第四章 向量组的线性相关性1．设T T T v v v )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===, 求21v v -及32123v v v -+.解 21v v -T T )1,1,0()0,1,1(-=T )10,11,01(---=T )1,0,1(-=32123v v v -+T T T )0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=T )01203,41213,30213(-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯= T )2,1,0(=2．设)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-其中T a )3,1,5,2(1=, T a )10,5,1,10(2=,T a )1,1,1,4(3-=,求a解 由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-整理得)523(61321a a a a -+=])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61T T T --+=T )4,3,2,1(=3．举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则1a 可由,,2m a a 线性表示. (2)若有不全为0的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ成立,则m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关. (3)若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.(4)若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,则有不全为0的数, m λλλ,,,21 使0,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ 同时成立.解 (1) 设)0,,0,0,1(11 ==e a032====m a a a满足m a a a ,,,21 线性相关,但1a 不能由,,,2m a a 线性表示.(2) 有不全为零的数m λλλ,,,21 使01111=+++++m m m m b b a a λλλλ原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλ取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111 其中m e e ,,1 为单位向量,则上式成立,而m a a ,,1 ,m b b ,,1 均线性相关(3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ ) m m b a b a b a +++⇒,,,2211 线性无关 取021====m a a a 取m b b ,,1 为线性无关组满足以上条件,但不能说是m a a a ,,,21 线性无关的.(4) T a )0,1(1= T a )0,2(2= T b )3,0(1= T b )4,0(2= ⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾.4．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组 4321,,,b b b b 线性相关.证明 设有4321,,,x x x x 使得 044332211=+++b x b x b x b x 则0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k , 411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=;由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相 关.(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒x x x x由01100011000111001=知此齐次方程存在非零解 则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.5．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组 r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关. 证明 设02211=+++r r b k b k b k 则++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k 因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k因为0110011011≠= 故方程组只有零解则021====r k k k 所以r b b b ,,,21 线性无关6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4820322513454947513253947543173125; (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---140113130********211.解 (1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312514131233~r r r r r r --- ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731252334~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00003100321043173125 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221114132~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122114323~r r r r ↔+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000222001512012211， 所以第1、2、3列构成一个最大无关组．7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41211a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41010092a ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=82423a ; (2) )3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2---=T a ,)7,4,3,1(3---=Ta . 解 (1) 3131,2a a a a ⇒=-线性相关.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛824241010094121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000032198204121~ 秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛743165143121321T T T a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------10550189903121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000189903121~ 秩为2,最大线性无关组为TT a a 21,.8．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,已知n 维单位坐标向量n e e e ,,,21 能 由它们线性表示,证明n a a a ,,,21 线性无关. 证明 n 维单位向量n e e e ,,,21 线性无关 不妨设:nnn n n n nn nn a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++=22112222121212121111所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e 2121222211121121 两边取行列式，得 T n T T nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e 2121222211121121=由002121≠⇒≠TnTTT n T T a a a e e e即n 维向量组n a a a ,,,21 所构成矩阵的秩为n 故n a a a ,,,21 线性无关.9．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件 是：任一n 维向量都可由它们线性表示.证明 设n εεε,,,21 为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量 T n k k k a ),,,(21 =则有n n k k k a εεε+++= 2211即任一n 维向量都 可由单位向量线性表示.必要性⇒n a a a ,,,21 线性无关，且n a a a ,,,21 能由单位向量线性表示，即 nnn n n n nn nn k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα+++=+++=+++= 22112222121212121111故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n T T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121两边取行列式，得 Tn TTnn n n n n T nT T k k k k k k k k k a a a εεε 212122*********1=由0021222211121121≠⇒≠nn n n n n TnTTk k k k k k k k k a a a令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯nn n n n n n n k k k k k k k k k A212222111211则 由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T n T T T n T T T n T T T n T T a a a A A a a a εεεεεε 212112121 即n εεε,,,21 都能由n a a a ,,,21 线性表示，因为任一n 维向量能由单 位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由n a a a ,,,21 线性表示.充分性⇐已知任一n 维向量都可由n a a a ,,,21 线性表示，则单位向量组： n εεε,,,21 可由n a a a ,,,21 线性表示，由8题知n a a a ,,,21 线性无关. TsT T βββ,,,21 显然,存在矩阵B A '',,使得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T T T n T T A a a a ααα 2121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T T T n T T B b b b βββ 2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+∴T n T n T T T T b a b a b a B A 2211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=T s T T T s T T B A βββααα 2121 因此 ()()()B R A R B A R +≤+由于0212221212111≠rrr r r r k k k k k k k k k所以方程组只有零解021====r x x x .所以r b b b ,,,21 线性无关, 证毕.13．设}0,,),,,({211211=+++∈==n n T n x x x R x x x x x x V 满足 }1,,),,,({211212=+++∈==n n T n x x x R x x x x x x V 满足 问21,V V 是不是向量空间？为什么？证明 集合V 成为向量空间只需满足条件： 若V V ∈∈βα,，则V ∈+βα 若R V ∈∈λα,，则V ∈λα 1V 是向量空间，因为：0),,,(2121=+++=n T n ααααααα 0),,,(2121=+++=n T n βββββββ T n n ),,,(2211βαβαβαβα+++=+ 且)()()(2211n n βαβαβα++++++ 0)()(2121=+++++++=n n αααβββ 故1V ∈+βα ),,,(,21n R αααλαλ =∈00)(2121=⋅=+++=+++λαααλλαλαλαn n 故1V ∈λα2V 不是向量空间，因为：)()()(2211n n βαβαβα++++++211)()(2121=+=+++++++=n n αααβββ 故2V ∉+βα ),,,(,21n R λαλαλαλαλ =∈λλαααλλαλαλα=⋅=+++=+++1)(2121n n 故当1≠λ时，2V ∉λα14．试证:由T T T a a a )0,1,1(,)1,0,1(,)1,1,0(321===所生成的向量空间就 是3R .证明 设),,(321a a a A =011101110,,321a a a A =02110101011)1(1≠-=-=-于是3)(=A R 故线性无关.由于321,,a a a 均为三维,且秩为3,所以321,,a a a 为此三维空间的一组基,故由321,,a a a 所生成的向量空间 就是3R .15．由,)1,1,0,1(,)0,0,1,1(21T T a a ==所生成的向量空间记作1V ,由 ,)1,1,1,0(,)3,3,1,2(21T T a b --=-=所生成的向量空间记作2V ,试证 21V V =.证明 设{}R k k a k a k x V ∈+==1122111,{}R x V ∈+==1122112,λλβλβλ任取1V 中一向量,可写成2211a k a k +, 要证22211V a k a k ∈+,从而得21V V ⊆ 由22112211βλβλ+=+a k a k 得 ⎩⎨⎧=+-+=⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-==+1212112122121211212332k k k k k k k k λλλλλλλλλλ 上式中,把21,k k 看成已知数,把21,λλ看成未知数0211021≠=-=D 21,λλ⇒有唯一解21V V ⊆∴同理可证: 12V V ⊆ (001112≠=D )故21V V =16．验证T T T a a a )2,1,3(,)3,1,2(,)0,1,1(321==-=为3R 的一个基,并把 T T v v )13,8,9(,)7,0,5(21---==用这个基线性表示.解 由于06230111321,,321≠-=-=a a a即矩阵),,(321a a a 的秩为3故321,,a a a 线性无关，则为3R 的一个基. 设3322111a k a k a k v ++=，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321k k k k k k k k ⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒132321k k k故321132a a a v -+=设3322112a a a v λλλ++=，则 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321λλλλλλλλ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒233321k k k 故线性表示为3212233a a a v --=17．求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x(3)02)1(121=++-+-n n x x x n nx .解 (1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=000041431004012683154221081~初等行变换A所以原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=-=4323141434x x x x x取3,143-==x x 得0,421=-=x x 取4,043==x x 得1,021==x x因此基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4010,310421ξξ (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019719141019119201~367824531232初等行变换A 所以原方程组等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=4324311971914191192x x x x x x取2,143==x x 得0,021==x x取19,043==x x 得7,121==x x因此基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=19071,210021ξξ(3)原方程组即为1212)1(------=n n x x n nx x取0,11321=====-n x x x x 得n x n -=取0,114312======-n x x x x x 得1)1(+-=--=n n x n取0,12211=====--n n x x x x 得2-=n x所以基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=-21100010001),,,(121 n n n ξξξn E R A E A R A E R A R E A R A R ==-+≥-+=-+)()()()()()( 由此n E A R A R =-+)()(．23．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解 系：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+;32235,122,54321432121x x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-.6242,1635,11325432143214321x x x x x x x x x x x x解 (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101322351211250011~初等行变换B⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴0111,20138ξη(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=00000221711012179016124211635113251~初等行变换B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴2011,0719,002121ξξη24．设*η是非齐次线性方程组b Ax =的一个解,r n -ξξ,,1 是对应的齐 次线性方程组的一个基础解系,证明: (1)r n -*ξξη,,,1 线性无关；(2) r n -***++ξηξηη,,,1 线性无关。
《线性代数》厦门大学
6、毛泽东思想科学体系的鲜明特点有( A B C ) A.科学性 B.独创性 C.完整性 D.发展性 E.实践性7、我国社会主义四个现代化是（A B C E ）P175 A、现代农业B、现代工业C、现代国防D、现代教育E、现代科学技术8、国民革命时期，组成国民革命联合战线的政治联盟有( A B D E ) A.小资产阶级B.民族资产阶级C.大资产阶级D.工人阶级E.农民阶级9、解放初期进行镇压反革命运动的重点打击对象是（A B C D ）A、恶霸分子B、特务C、土匪（匪首、惯匪）D、反动党团骨干分子E、反动会道门头子10、新民主主义社会的经济构成有( A B C D E ) A.国营经济 B.合作社经济 C.个体经济 D.私人资本主义经济E.国家资本主义经济11、近代中国民主革命的基本任务是（ A B ）A、反对帝国主义的侵略B、反对封建主义的统治C、发展社会生产力D、反对资本主义的剥削E、实现国家的繁荣富强12、1945年4月，毛泽东在中共七大政治报告中，首次提出党的优良作风有（A B C ）A、理论和实践相结合的作风B、和人民群众紧密联系在一起的作风C、自我批评的作风D、保持谦虚、谨慎、不骄、不躁的作风E、保持艰苦奋斗的作风13、中国共产党在中国革命中战胜敌人的主要法宝是（B C E ）A、土地革命B、统战线C、武装斗争D、根据地建设E、党的建设14、毛泽东思想科学体系的鲜明特点是（B C D ）A、革命性B、科学性C、独创性D、完整性E、全面性15、1956年毛泽东提出的在共产党与民主党派的关系上实行的方针是（AB ） A.长期共存 B.互相监督 C.肝胆相照 D.荣辱与共 E.共同参政三、名词解释题1、四马分肥P160 “四马分肥”是我国社会主义改造时期对初级形式的民族资本主义工商业获得利润的分配形式的形象说法。
“四马分肥”指民族资本主义企业每年的利润按国家所得税、企业公积金、工人福利奖金、资方的股息红利这四个方面进行分配。
教学大纲-厦门大学高等代数
教学大纲-厦门大学高等代数第一篇：教学大纲-厦门大学高等代数教学大纲一．课程的教学目的和要求通过这门课的学习，使学生掌握高等代数的基本知识，基本方法，基本思路，为进一步学习专业课打下良好的基础，适当地了解代数的一些历史，一些背景。
要突出传授数学思想和数学方法，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。
突出高等代数中等价分类的思想，分解结构的思想，同构对应的思想，揭示课程内部的本质的有机联系。
二．课程的主要内容：代数学是研究代数对象的结构理论与表示方法的一门学科。
代数对象是在一个集合上定义若干运算，且满足若干公理所构成的代数系统，线性空间则是数学类专业本科生所接触和学习的第一个代数对象。
本课程力求突出代数学的思想和方法。
《高等代数》分为两个部分主要内容。
一部分是基本工具性质的，包括多项式，行列式，矩阵初步，二次型。
既然是工具性质的，因而除了多项式内容外，也是数学专业以外的理科、工科、经管类《线性代数》的内容，以初等变换为灵魂的矩阵理论是这部分内容的核心。
另外一部分是研究线性空间的结构，这是研究代数结构的起点和模型，也是《高等代数》有别于《线性代数》之所在。
《高等代数》从三个角度进行研究。
从元素的角度看，研究向量间的线性表示，线性相关性，基向量；从子集角度看，研究子空间的运算和直和分解；从线性空间之间的关系来研究线性空间结构，就是线性映射，线性变换，线性映射的像与核，Jordan标准形对应的空间分解。
而欧氏空间则是具体的研究空间的例子。
在研究线性空间中，始终贯穿着几何直观和矩阵方法的有机结合，矩阵的相似标准形和对应的线性空间分解则是这种有机结合的生动体现和提升，因而是本课程的精华内容。
本课程力求突出几何直观和矩阵方法的对应和互动。
我们强调矩阵理论，把握简洁和直观的代数方法，同时重视线性空间和线性映射（变换）的主导地位和分量，从几何观点理解和把握课程内容。
三．课程教材和参考书：教材：林亚南编著，高等代数，高等教育出版社，第一版参考书：1.姚慕生编著，高等代数（指导丛书），复旦大学出版社，第二版2.北京大学数学系编，高等代数，高等教育出版社，北京（1987）3.张禾瑞、郝炳新，高等代数，高等教育出版社，北京（1999）4.樊恽、郑延履、刘合国，线性代数学习指导，科学出版社，北京（2003）5.林亚南编：高等代数方法选讲，2002年，见厦门大学精品课程“高等代数”网站四．课程内容及学时分配本课程开课时间：一学年（共两学期），共170学时，其中课堂讲授122学时,习题讨论课42学时，考试6学时。
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内积，外积， 混合积
平面，直线方程
n维向量与方程组的解结构
向量空间
特征值与特征向量(相似、对角化) 二次型
空间曲线，曲面 线性变换
2. 课程内容的三种组织模式
国外： 线性方程组与矩阵
实向量空间
n维向量与向量空间 线性变换与矩阵
特征值与特征向量
特点： (1) 丰富的应用实例 (2) 与软件的紧密结合 (3) 自主学习能力培养
1. 课程的建设与改革历史
2003年，教育部高等教育司委托非数学专业数学基础 课程教学指导分委员会对1995年制定的工科数学课程教学基 本要求进行修订。此次修订中将“线性代数与空间解析几何” 作为一门独立课程写进官方文件。文件中并不要求所有学校 将线性代数与空间解析几何整合成一门课程，各校具有自主 选择权。
例1: 实对称矩阵的分解问题
问题1：
如何将一个秩为r的矩阵Amn表示为r个秩为1的矩阵之和?
解答：
矩阵Amn的秩为r , 则存在m阶可逆矩阵P与n阶可
逆矩阵Q满足
:
A
P
Ir O
O
O
mn
Q.
令Ti为第i行与第i列的元素为1而其余元素都为0
的m n矩阵,则Ti是秩为1的矩阵,因此PTiQ的秩为1, 且A P(T1 L Tr )Q PT1Q PT2Q L PTrQ.
3 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 00 2 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
例1: 实对称矩阵的分解问题
若再继续问，该问什么：
矩阵满秩分解定理 设A是一个秩为r(r>0)的 m n 阶矩阵, 则必存在秩为r 的 m r 阶矩阵G和秩为r的 r n 阶矩阵H，使得
维数, 基变换，行(列)空间) 第四章：线性变换(定义，矩阵表示，相似性) 第五章：正交性(标量积，正交子空间，最小二乘，内积空
间，正交集，G-S正交化过程，正交多项式) 第六章：特征值(定义，线性微分方程组，对角化 ，Her-矩阵，
奇异值分解，二次型，正定矩阵，非负矩阵) 第七章：数值线性代数(浮点数，矩阵范数，条件数，……)
行列式
实二次型
2. 课程内容的三种组织模式
一本国外的经典教材国外： Steven J. Leon, Linear Algebra with Applications
(Seventh Edition)
第一章：矩阵与方程组 (线性方程组，行阶梯形， 矩阵代数，初等矩阵，分块矩阵 )
第二章：行列式(矩阵的行列式，性质，克拉默法则) 第三章：向量空间(定义，子空间，线性无关，基与
解析几何内容 (几何向量，空间直线与平面，极 坐标，二次曲面等) 都放在微积分内容前讲。
二十世纪七、八十年代初，部分大学的工科数学 教学内容增加了线性代数、概率论与数理统计等，当 时统称为工程数学。
1. 课程的建设与改革历史
二十世纪八十年代后期，多数重点大学把线性代数 独立设课，成为三门工科数学课程之一：微积分、线性 代数、概率论与数理统计。
微积分
解析 几何
线性 代数
线性代数 与解析几何
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
- +=
1. 课程的建设与改革历史
线性代数与解析几何课程内容
行列式 矩阵 几何向量 n维向量与向量空间
线性变换
线性代数 与解析几何
线性空间
线性方程组 特征值与特征向量
二次型 空间曲线与曲面
1. 课程的建设与改革历史
近20年的改革成果: (1) 建成独立课程 (2)扩充与重组教学内容 (3)渗透计算软件 (4) 编入应用实例 ……
3. 课程内容的主线与核心
线性代数的起源之一是解线性方程组，线性方程组 的求解作为一条主线贯穿于线性代数课程内容的全部.
它的核心是矩阵(对角化), 主要方法(手段)是线性变 换(初等变换)。
线性代数的教学应该是依照它的主线， 讲出核心和基本方法(教学思想)。
例1: 实对称矩阵的分解问题
实对称矩阵A
这样A就表示成了r个秩为1的矩阵之和.
例1: 实对称矩阵的分解问题
继续问：
如果一个矩阵能表示为r个秩为1的矩阵之和,能 否断定这个矩阵的秩为r？
解答：不能断定这个矩阵的秩为r. 反例：
若再继续问， 应该问什么？
A=(1,2,3)=(1,0,0)+(0,2,0)+(0,0,3)
3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
培养创新思维的教学方法与实践
----谈线性代数课程的建设
李继成
西安交通大学数学与统计学院 高等学校大学数学教学研究与发展中心
2015-12
讲座内容
线性 代数
课程的建设与改革历史 课程内容的三种组织模式 课程内容的主线与核心 线性代数课程的改革
1. 课程的建设与改革历史
二十世纪五、六十年代，我国工科数学基础课程 统称为高等数学，教学内容主要以微积分为主，线性 代数仅占很少的一部分(行列式计算和线性方程组求解， 很少的学校根据具体情况讲一点矩阵知识)。
存在正交矩阵 P,使得 A PDPT
P [u1, u2 , , un ], D diag(1, 1, , n )
1
A PDPT (PD)PT (u1, u2 , , un )
2
u1T
u2T
n
unT
1u1u1T 2u2u2T nununT
实对称矩阵的秩1分解
问题: (1) 矩阵可对角化的条件是什么？ (2) 如何计算矩阵的秩1分解？
应用实例：信号处理，情报检索，图像压缩、恢复，
机械震动，电路，管理等
2. 课程内容的三种组织模式
模式1：
行列式
矩阵
内积，外积， 混合积
平面，直线方程
n维向量与向量空间
线性方程组
特征值与特征向量(相似、对角化) 二次型
空间曲线，曲面 线性变换
2. 课程内容的三种组织模式
模式2： 线性方程组消元法 矩阵
1995年，教育部高等教育司委托非数学专业数学基 础课程教学指导分委员会对线性代数课程的教学内容做 了规范化的基本要求, 内容主要包括：行列式, 矩阵, n 维向量(空间), 线性方程组, 特征值与特征向量, 二次型等.
1996-2000, 国家教育部“九五规划”面向21世纪 教改项目:
工科数学教学内容和课程体系改革的研究与实践 全国13个院校参加。