第2讲：方程与方程组

第二讲 方程与方程组

一、学习指引

1．知识要点

（1）一元一次方程 （2）二元一次方程组 （3）一元二次方程 （4）分式方程 （5）方程的整数根 （6）方程应用问题

2．方法指导

（1）一元一次方程经变形总可以化成ax=b 的形式，此时需注意对字母系数的讨论． （2）二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元．

（3）方程ax 2

+bx+c=0(a ≠0)称为一元二次方程：①一元二次方程的基本解法有开平方法、

配方法、公式法和因式分解法．②对于方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)， b 2

-4ac 称为该方程的根的判别式．

（4）解分式方程的基本方法：①去分母；②求出整式方程未知数的值；③验根.

（5）列方程（组）解应用题其具体步骤是： ①审－－理解题意,弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么；②设－－即找出题中和未知量，选择其中一个设为未知数；③列－－找出题中和等量关系，列出方程；④解－－解出所列的方程；⑤答－－检验作答.其中列是关键，特别是找等量关系。找等量关系的方法是—用两种方式表达同一个量！

二、典型例题

例1．解关于x 的方程：

(1)4x+b=ax-8； (2) 0232

=+-x x ；

(3) 6,23

4()5() 2.

x y x y

x y x y +-⎧+=⎪

⎨⎪+--=⎩ (4)21124x x x -=--

例2．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩

⎨⎧=-=+k y x ,

k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，

求k 的值．

例3．关于x 的方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．

例4. 符号“

a b c d

”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：

a b ad bc c d

=-，请你根

据上述规定求出下列等式中x 的值：

2

1

11111

x

x =-- ．

例5．设a 是方程0120062

=+-x x 的一个根，求代数式2006

1

200722

++-a a a 的值．

例6．求出二元一次方程2x+3y=20的非负整数解．

例7．小明计划将今年春节期间得到的压岁钱的一部分作为自己一年内购买课外书籍的费用，其余的钱计划买这些玩具去看望市福利院的孩子们．某周日小明在商店选中了一种小熊玩具，单价是10元，按原计划买了若干个，•结果他的压岁钱还余30%，于是小明又多买了6个小熊玩具，这样余下的钱仅是压岁钱的10%．

（1）问小明原计划买几个小熊玩具，小明的压岁钱共有多少元

（2）为了保证小明购书费用不少于压岁钱的20%，•问小明最多可比原计划多买几个玩具

例8．某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： （1）若一次购物少于200元，则不予优惠；

（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；

（3）若一次购物超过500元，其中500元以下部分（包括500元）给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠． 小李两次去该超市购物，分别付款198元和554元，现在小张决定一次性地购买和小李分两次购买同样多的物品，他需付多少元

例9．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准．某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这

例10．为了支援四川人民抗震救灾，某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划10天完成．

（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷 顶；

（2）生产2天后，公司又从其它部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时，通过技术革新等手段使每位工人．．．．的工作效率比原计划提高了25％，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷

图1

如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700

如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.

第二讲 方程与方程组同步练习

班级 姓名

【基础巩固】

1.若n （0n ≠）是关于x 的方程2

20x mx n ++=的根，则m+n 的值为__________． 2.如果关于x 的一元二次方程2

2

(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 . 3.已知关于x 的方程

32

2=-+x m

x 的解是正数，则m 的取值范围为____________. 4.已知x a

y b =⎧⎨

=⎩

是方程组||223x x y =⎧⎨+=⎩的解，则a+b 的值等于 ．

5. 若x 与y 互为相反数，且532=-y x ，则=+3

3

2y x _________．

6.一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,

这种服装每件的成本为 元.

7.已知方程组325

(1)7x y kx k y -=⎧⎨+-=⎩

的解x ，y ，其和x+y=1，则k ＝_____

8.篮球巨星姚明在一场比赛中24投14中，拿下28分，其中三分球三投全中，那么姚明两

分球投中 球，罚球投中 球. 9. 用换元法解分式方程

13101x x x x --+=-时，如果设1

x y x

-=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ）

A ．2

30y y +-= B ．2

310y y -+= C ．2

310y y -+= D ．2

310y y --= 10. 一条船顺流航行是逆流航行的速度的3倍，则船在静水中航速与水的流速之比为（ ）

A ．3:1 :1 :1 :2 11.方程(3)(1)3x x x -+=-的解是（ ）

A ．0x =

B ．3x =

C ．3x =或1x =-

D ．3x =或0x = 12．08年省政府提出确保到2010年实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知08年我省森林覆盖率为%，设从08年起我省森林覆盖率年平均增长率为x ，则可列方程（ ） A ．()60.051263%x += B ．()60.051263x += C ．()2

60.05163%x +=

D ．()2

60.05163x +=

13．方程4x+y=20的正整数解有（ ）组. A ．2 B.3

142

()x y =+，则x －y 的值为（ ）

A ．－1

B ．1

C ．2

D ．3