线性规划求解算法研究

线性规划求解算法研究
摘要：线性规划(Linear programming,简记为LP)模型是运筹学中的一个重要内容，其基本解法——单纯形方法（Simplex method）则是处理运筹学模型的一种主要方法，用于如何对有限的资源做出最佳方式的调配和最有利的使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳经济效益。

就一般线性规划问题求解方法——单纯形法作了详尽的综述。

对线性规划进行了概述,具体从线性规划发展简史、线性规划问题的数学模型和线性规划常见的一些应用3个方面进行了较详尽的综述；进行了单纯形法的概述，这一部分主要涉及了单纯形法解题的基本步骤以及对单纯性算法作了进一步的讨论。

关键词：运筹学；线性规划；单纯性法
0 引言
在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源。

线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好。

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解叫做可行解，
由所有可行解组成的集合叫做可行域。

决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的3要素。

线性规划是运筹学的一个重要分支，自1947年乔治•伯纳德•丹兹格（G.B.Dantzig，1914—2005）提出了一般线性规划问题求解的方法——单纯形法之后，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛和深入。

1 线性规划——数学模型
要对实际规划问题作定量分析，必须先加以抽象，建立数学模型。

在建立线性规划模型时，需要有关的专业知识，并要有一定的经验和技巧。

建立线性规划模型包括：①明确问题的目标和划定决策实施的范围（包括时间界限），并将目标表达成决策变量的线性函数，称为目标函数；②选定决策变量和参数。

决策变量就是待决定的问题的未知量，一组决策变量的取值即构成一个规划方案。

决策变量的选定往往需要对问题进行仔细的分析；③建立约束条件。

问题的各种限制条件称为约束条件。

每一个约束条件均表达成决策变量的线性函数应满足的等式或不等式。

约束条件往往不止一个，通常表达成一组线性等式或不等式。

线性规划问题就是在决策变量满足一组约束条件的情况下使目标函数达到极大值或极小值。

式中max表示求极大值；min表示求极小值；s.t.表示受约束于或约束条件是；Z为目标函数;x\-j为决策变量；a\-\{ij\}，b\-i和c\-j分别为消耗系数、需求系数和收益系数, 在具体的线性规划问题
中具有不同的经济学意义，一般都是已知实数。

在线性规划中满足约束条件的一组数(x\-1,x\-2,…,x\-n),全体可行解构成的集合称为问题的可行域。

在可行域上使目标函数取得极大值（或极小值）的可行解称为问题的最优解，对应的目标函数值称为最
优值。

2 线性规划——应用问题
在工业、农业、商业、行政、军事、公用事业等各个领域，存在着大量的线性规划问题。

有些规划问题本身是非线性的，但往往可
以通过改变标度或采用分段线性化等方法，转化为线性规划模型。

用线性规划求解的典型问题有运输问题、生产计划问题、配套
生产问题、下料和配料问题等。

（1）运输问题。

某产品有n个产地，m个销地。

已知各产地的产量和各销地的销量，以及各产地到各销地的单位运价，问如何安排
各产地到各销地的运量，使总的运费为最少？
（2）生产计划问题。

用m种资源生产m种产品。

已知各种产品每生产一单位可得的利润和所需的各种资源的数量，以及各种资源的
限额。

问如何计划各种产品的生产量，使总的利润为最大?
（3）配套生产问题。

用若干台机床加工某种产品的各种零件。

已知各机床加工不同零件的效率。

问如何分配各机床的任务，在零件
配套的前提下使一个生产周期内的产量最高？
（4）下料问题。

将一批固定规格的条材或板材裁剪成具有规定尺寸的若干种毛坯，并已设计出若干种下料方式。

问采用哪种下料方
式，能使各种毛坯满足所需数量，又使总的用料最省？
（5）混合配料问题。

用n种原料配制某些含有m种成分的产品。

已知各种成分在各种原料中的单位含量，以及各种原料的单价和限额。

问怎样混合调配，在满足产量要求和产品所含各种成分的要求下
使成本为最低？
3 单纯性算法基本步骤
（1）把线性规划模型变成它的标准形式。

（2）确定初始基可行解，建立初始单纯形表。

（3）检查对应于非基变量的检验数λ\-j,(j∈N)；若所有这
些λ\-j均小于零，则已得到最优解，停止计算，否则转入下一步。

（4）在所有的λ\-j>0中，若有一个λ\-k在单纯形表上对应的列向量的全部元素yik≤0(i=1,2,…,m)，则
（5）根据max{λ\-j>0|j∈N}=λ\-k, 即确定λ\-k对应的非基
变量λ\-k为进基变量；再根据
θ=min{b\-1[TX-][]y\-\{1k\}|y\-\{ik\}＞0}=b\-1
[TX-][]Y\-rk
确定基变量xr为离基变量。

（6）基可行解的转换运算，即实施行变换，将单纯形表上xk对应的列向量变换为单位向量，其中包括将λk变换为0，而原yrk变
换为1，称元素yrk为变换轴心。

4 单纯形法的进一步讨论
现在已有单纯形法的标准软件，可在电子计算机上求解约束条件和决策变量数达10000个以上的线性规划问题。

为了提高解题速度，又有改进单纯形法、对偶单纯形法、原始对偶方法、分解算法和各种多项式时间算法。

对于只有两个变量的简单的线性规划问题，也可采用图解法求解。

这种方法仅适用于只有两个变量的线性规划问题。

它的特点是直观而易于理解，但实用价值不大。

以下一个例子通
过图解法求解，可以理解线性规划的更多概念。

例如，某工厂生产A，B两种产品,已知生产A1kg，耗煤9t，耗电4kw，用劳力3个工；生产B1kg，耗煤4t，耗电5kw，用劳力10个工。

已知生产1kg A的利润是500元，生产1kg B的利润是900元。

现根据工厂条件，只能提供煤360t，电力200kw,劳力300个工。

问如何安排两种产品的生产量，才能使总的利润最大。

此问题的可行域为图中的多边形区域，即阴影部分。

目标函数的等值线为平行于直线l的平行直线族。

将直线l向右上方平行移动，对应的目标函数值逐渐增大,在即将脱离可行域之际，它与可行域的交点便对应于问题的最优解。

由此可知,在可行域的顶点B 处,目标函数达到最大值。

因此,问题的最优解为:x1＝20千克，x2＝24千克，最
大总利润为3.16万元。

参考文献：
\[1\] G.Dantzig,Linear Programming and Extensions Princeton
University Press,Princeton,NewJersey,1963.
\[2\] S.Gass,Linear Programming,4thed，McGraw-Hill,NewYork,1975.
\[3\] L.S.Srinath,LinearProgramming:PrinciplesandApplications,MacmillanPres
s,NewYork,1983.
\[4\] 胡清淮，魏一鸣.线性规划及其应用\[M\].北京：科学出版
社,2004.
\[5\] 《运筹学》教材编写组.运筹学（第3版）.\[M\].北京：清华大学出版社,2005.。