1、一元二次方程的定义及解法

第一讲一元二次方程的定义及解法

1.1 一元二次方程的定义

知识网络图

定义

直接开平方法

一元二次方程配方法

解法

公式法

因式分解法

知识概述

1．一元二次方程的概念：

只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如ax2bx c 0（a 0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项． 3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根课堂小练1．（2018?马鞍山二模）已知 a 是方程x2﹣2x﹣1=0 的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（）

A ． 1 B．﹣ 2 C．﹣ 2 或 1 D ．2

2（．2018?岐山县二模）若关于x 的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3=0 有一个根为1，则m 的值为（

）

A ．1 B．3 C．0 D．1 或3

3．（2017 秋?潮南区期末）一元二次方程（x+3）（x﹣3）=5x 的一次项系数是（）

A ．﹣ 5 B．﹣9 C．0 D ．5

课后练习

1．（2018?荆门二模）已知 2 是关于x 的方程x2﹣（5+m）x+5m=0 的一个根，并且这个方向的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为（）

A ．9 B．12 C．9 或12 D． 6 或12 或15

2．（2018?河北模拟）若关于x 的一元二次方程ax2﹣bx+4=0 的解是x=2，则2020+2a﹣b 的值是（）

A ．2016

B ．2018 C．2020 D．2022

3．（2017 秋?武城县期末）若关于x 的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m 2﹣3m+2=0 的常数项为0，则m 等于

1.2 直接开平方法

知识概述

1．直接开方法解一元二次方程：

（1） 直接开方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法 （2）直接开平方法的理论依据：平方根的定义

课堂小练

1．（2017 春?费县校级月考）解方程：

（1）25x 2﹣36=0 课后练习

1．（2017 秋?天宁区校级月考）解方程：

（1）（x+2）2﹣16=0 1.3 配方法

4． 5． A ． 0 B ．1 C ．2 2017 秋?蓬溪县期末）关于 A ．1

B ．﹣ 1

2017 秋?常熟市期末）已知 A ． 2015 D ．1 或 2

x 的一元二次方程（

C ．±1

2

元二次方程 x 2﹣ x

B ．2016

C ．2018 22

a ﹣ 1) x 2+2ax+1 ﹣ a 2=0 有一个根是 0，则

D ．0

﹣ 2=0 的一个根是 m ，则 2018﹣ m 2

+m 的值是（ D ． 2020

（3）能用直接开平方法解一元二次方程的类型：①形如关于 x 的一元二次方程 ，可直接开平方求解

可直接开平方求解，两根是

2）4（2x ﹣1）2=36．

2)x 2﹣2x ﹣4=0．

②形如关于 x 的一元二次方程

知识概述

1．配方法解一元二次方程： （1）配方法解一元二次方程：

将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法 叫配方法 .

（2）配方法解一元二次方程的理论依据是公式： （3）用配方法解一元二次方程的一般步骤：

① 移项：将含未知数的项移到左边，不含未知数的项移到右边； ②

化系数为 1：方程两边同时除以二次项的

系数，将二次项系数化为

1；

③ 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④ 再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤ 若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解 课堂小练

1．（ 2018?临沂）一元二次方程 y 2﹣ y ﹣ =0 配方后可化为（ ）

A ．（y+ ） 2=1

B ．（y ﹣ ）2=1

C ．（y+ ）2=

D ．（y ﹣ ）2=

2

2．（2018?旌阳区模拟）用配方法解方程 x 2﹣ x ﹣1=0 时，应将其变形为（

）

2 2 2 2

A ．（x ﹣ ） =

B ．（x+ ） =

C ．（x ﹣ ） =0

D ．（ x ﹣ ） =

3．（ 2018?中江县模拟）用配方法解方程： x 2﹣7x+5=0 ．

课后练习

上方程用配方法变形正确的是（

1．（ 2018?秀洲区二模）在《九章算术》 勾股”章里有求方程 2

x +34x ﹣

71000=0

的正根才能解析的题目，以

2

A ．（x+17 ） 2

B ．（x+17）2=71289 2

C ．（x ﹣17）2=70711 2

D ．（x ﹣17）2=71289

2．（2017 秋?定安县期末）将一元二次方程 x 2﹣ 4x ﹣ 6=0化成（ x ﹣ a ） 2=b 的形式，则 b 等于（ ）

［来

A ． 4

B ． 6

C ． 8

D ． 10

3．（2018?宁河县一模）解下列方程：

2

1）x 2

+10x+25=0

2

2） x 2﹣ x ﹣1=0．