方程的根与函数的零点题型及解析

方程的根与函数的零点

题型及解析

标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

方程的根与函数的零点题型及解析1.求下列函数的零点

（1）f（x）=x3+1；（2）f（x）=；（3）y=﹣x2+3x+4；（4）y=x2+4x+4．

分析：根据函数零点的定义解f（x）=0，即可得到结论．

解：（1）由f（x）=x3+1=0得x=﹣1，即函数的零点为﹣1；（2）由f（x）==0

得x2+2x+1=0得（x+1）2=0，得x=﹣1，即函数的零点为﹣1．（3）由y=﹣x2+3x+4=0，可得（x﹣4）（x+1）=0，所以函数的零点为4，﹣1；（4）y=x2+4x+4，可得（x+2）2=0，所以函数的零点为﹣2．

2.①求函数f（x）=2x+x﹣3的零点的个数；②求函数f（x）=log

2

x﹣x+2的零点的个数；③求函数的零点个数是多少？

分析：①由题意可判断f（x）是定义域上的增函数，从而求零点的个数；②由题意可

得，函数y=log

2

x 的图象和直线y=x﹣2的交点个数，数形结合可得结论．③由函数

y=lnx 的图象与函数y=的图

象只有一个交点，可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数．

解：①∵函数f（x）=2x+x﹣3单调递增，又∵f（1）=0，故函数f（x）=2x+x﹣3

有且只有一个零点

②函数f（x）=log

2x﹣x+2的零点的个数，即函数y=log

2

x 的图象和直线y=x﹣2

的交点个数，如图所示：故函数y=log

2

x 的图象（红色部分）和直线y=x﹣2（蓝

色部分）的交点个数为2，即函数f（x）=log

2

x﹣x+2的零点的个数为2；③函数

f（x）=lnx-（1／x）的零点个数就是函数y=lnx的图象与函数y=1／x的图象

的

交点的个数，由函数y=lnx 的图象与函数y=1／x的图象只有一个交点，如图

所示，

可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数是1

3.①已知方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，求实数a的取值范围

②已知a是实数，函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个

零点，求a的取值．

③已知函数f（x）=x2﹣2ax+4在区间（1，2）上有且只有一个零点，求a的取值范围

分析：①由已知，函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，它的对称轴为x=3／2，得出不等式组，解出即可；

②若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f（0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，解得答案；③若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有一个零点，则△=0，经检验不符合条件；则函数f（x）=x2﹣2ax+4有两个零点，进而f （1）f（2）＜0，解得答案

解：①若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f （0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，即-3＜0，a-4＞0，2a-7＞0，4a-19＜0，解得：a∈（4，19／4）；②∵令f（x）=x2﹣3x+a，它的对称轴为x=3／2，∴函数f （x）在区间（2，3）单调递增，∵方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，∴函数f（x）在区间（2，3）内与x轴有一个交点，根据零点存在性定理得出：f（2）＜0，f（3）＞0，即a-2＜0，9-9+a＞0，解得0＜a＜2；③解：若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有

一个零点，则△=4a2﹣16=0，解得：a=±2，此时函数的零点为±2不在区间（1，2）上，即函数f（x）=x2﹣2ax+4有两个零点，则f（1）f（2）＜0，即（5﹣2a）（8﹣

4a）＜0，解得：a∈（2，5／2）

4.已知函数f（x）的图象是连续不断的，观察下表：函数f（x）在区间[﹣2，2]上的零点至少有几个？

分析：看区间端点值，只要在区间两端点处函数值异号，由零点存在性定理即可解决问题．

解：由题中表得，f（﹣2）＜0，f（﹣1）＞0，f（0）＜0，f（1）＜0，f（2）＞0，

由零点存在性定理可得f（x）在区间[﹣2，﹣1]，[﹣1，0]，[1，2]上个有一个零点，故函数f（x）在区间[﹣2，2]上的零点至少有3个

5.已知y=f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）

A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）f（b）＜0

B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点

分析：据函数零点的定义，函数零点的判定定理，运用特殊函数判断即可．

解：①y=x2，在（﹣1，1）内有零点，但是f（﹣1）f（1）＞0，故A不正确，②y=x2，f （﹣1）f（1）＞0，在（﹣1，1）内有零点，故B不正确，③若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，f（a）=﹣1，f（b）=1，在（a，b）恒成立有f（x）＞0，可知满足f（a）f（b）＜0，但是其在（a，b）内没有零点．故C不正确．所以ABC不正确，故选D

6.若y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是

（）

A．若f（a）f（b）＜0，不存在实数c∈（a，b），使得f（c）=0； B．若f（a）f （b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b），使得f（c）=0； C．若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b），使得f（c）=0； D．若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b），使得f（c）=0

分析：画满足条件的函数图象排除不正确的选项

解：首先，设函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如左图：图中满足f（a）·f（b）＜0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0，故A，B错误；其次，设函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如右图：图中满足f（a）·f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0，故C错误；D正确．

7.已知函数f（x）=mx2﹣3x+1的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围

分析：根据题意，二次函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，有两种情况，一是只有一个在右侧，二是两个都在右侧，分类讨论即可．

解：（1）当m=0时，f（x）=﹣3x+1，直线与x轴的交点为（1／3，0），即函数的零点为1／3，在原点右侧，符合题意；（2）当m≠0时，∵f（0）=1，∴抛物线过点（0，1）；若m＜0时，f（x）的开口向下，如图所示；

∴二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧，满足题意；若m＞0，f （x）的开口向上，如图所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当△=9﹣4m≥0，且＞0即可，如图所示，解得0＜m≤；综上，m的取值范围是（﹣∞，9／4]