方程的根与函数的零点题型及解析

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《方程的根与函数的零点》知识点

方程的根与函数的零点学习目标：1.理解函数零点的定义，了解函数零点与方程根的等价关系，理解函数零点存在性定理，能够判断函数零点个数和所在区间；2.初步体会化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值.学习重点：方程的根与函数的零点的等价关系，函数零点存在性定理.学习难点：探究函数零点存在的条件.一、感知概念方程：2230x x --=；2210x x -+=2230x x -+=问题1：以上一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？问题2:你的结论对一般的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠及相应的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是否也成立？结论:方程的根函数图象与x 轴交点二、深化概念．1.函数零点：对于函数y ＝f (x )，把使_______________________叫做函数y ＝f (x )的零点．注意：练习1：函数f (x )=x (x 2－16)的零点为（）A ．(0，0)，(4，0)B ．0，4C ．(–4，0)，(0，0)，(4，0)D ．–4，0，4练习2：求下列函数的零点：（1）223y x x =--；（2）221.y x x =-+问题3：函数的零点、方程的根、函数的图象与x 轴的交点有什么关系？三、定理探究小组活动：思考1：函数()223f x x x =--在区间21[,]-和24[,]内各有一个零点.则在这两个区间内，函数的图象有什么共同点？函数值的变化有什么共同点？思考2:若二次函数()2f x ax bx c =++有两个零点，其中一个在区间(,)m n 内，那么在区间(,)m n 内，它的函数值有什么变化规律？思考3：对于二次函数()2f x ax bx c =++，如果()()0f m f n ⋅<（m n <），则它在区间[,]m n 内一定有零点吗？思考4：一般地，如果函数()f x 在区间[],a b 上有()()0f a f b ⋅<，那么函数()f x 在区间(),a b 内一定存在零点吗？请举例说明.思考5：在（4）的条件下，再添加什么条件就可以保证函数()f x 区间(),a b 内一定存在零点？2.零点存在性定理：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是_______________一条曲线，并且有_____________，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点．即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．小组讨论:已知函数f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的一条曲线，试判断下列结论是否正确.（1）若f (a )·f (b )>0，则函数f (x )在区间(a ，b )内无有零点；（）（2）函数f (x )在区间（a ，b ）内有零点，必有f (a )·f (b )<0．（）（3）若f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在区间(a ，b )内有且仅有一个零点；（）练习3函数()31f x x x =--的有零点的区间是（）A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）例1判断方程2201430149990x x -+=有无实数解.四、定理应用．例2求函数()26ln f x x x =+-的零点的个数.五、课后反馈基础题：（1）课本第88页练习.（2）已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表：那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个（3）方程–x 3–3x +5=0的零点所在的大致区间为（）A ．(–2，0)B ．(0，1)C ．(0，1)D ．(1，2)思考题：函数()26ln f x x x =+-在区间（2,3）内有零点，你能想到办法求出这个零点吗？x 1234567f (x )239－711－5－12－26。

高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解

高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。

（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。

（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。

例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

1.函数的零点与方程的根

a>0 ∆ = 8a 2 + 24a + 4 > 0 1 −1 < − <1 2a f (1) ≥ 0 f ( −1) ≥ 0 a<0 ∆ = 8a 2 + 24a + 4 > 0 1 或 −1 < − <1 2a f (1) ≤ 0 f ( −1) ≤ 0
定义证明.(2)因在为增函数, 解:(1)定义证明因在 ( −1,+∞ ) 为增函数定义证明为增,又故在 (0,+∞ ) 为增又 f(0)= -1<0,f(1)=2.5,所所以在(0,1)有且只有一个正根下用二分法有且只有一个正根.下用二分法以在有且只有一个正根列表,区间中点,中点函数值约为 0.28(列表区间中点中点函数值列表区间,中点中点函数值)
一、一元二次函数与一元二次方程内容复习
知识归纳：一元二次函数、不等式、知识归纳：、一元二次函数、不等式、方程的关系 1、
∆ = 0
∆ = 0
∆ < 0
二次函数
y = ax
2
+ bx + c
（ a > 0 ）的图象
一元二次方程有两相异实根有两相等实根
(a
ax
2
> 0) 的根
+ bx + c = 0

3.方程有一正根一负根 ⇔ ac < 0
如果两根都大于2乍办？如果两根都大于乍办？乍办
2.方程有两个不相等的负实数根 ⇔
∆ = b − 4 ac > 0 b x1 + x 2 = − > 0 a c x1 x 2 = > 0 a

高中数学常见题型解法归纳函数的零点个数问题的求解方法

高中数学常见题型解法归纳函数的零点个数问题的求解方法【知识要点】一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x .第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步.三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组：（1）a 的符号；（2）对称轴2bx a=-的位置；（3）判别式的符号；（4）根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】方法一方程法使用情景方程可以直接解出来. 解题步骤先解方程，再求解.【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7方法二图像法使用情景一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性，再画图分析.【例2】（2017全国高考新课标I 理科数学）已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.(2) ①若0,a ≤由（1）知()f x 至多有一个零点.②若0a >，由（1）知当ln x a =-时，()f x 取得最小值，1(ln )1ln f a a a-=-+. （i ）当1a =时，(ln )f a -=0，故()f x 只有一个零点. （ii ）当(1,)a ∈+∞时，由于11ln a a-+>0，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点. （iii ）当0,1a ∈（）时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 422(2)(2)2220,f ae a e e ----=+-+>-+>故()f x 在(,ln )a -∞-只有一个零点.00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln ,()n n n n n n f n e ae a n e n n aa f x a>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在（-lna,+)有一个零点.综上所述，a 的取值范围为（0,1）.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a ∈（）时，要先判断(,ln )a -∞的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln )0f a -<，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是422(2)(2)2220,f aea e e ----=+-+>-+>要说明(2)0f ->，这里利用了放缩法，丢掉了42ae ae --+.(3) 当0,1a ∈（）时，要判断(ln ,)a -+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是03ln(1)n a>-，再放缩证明0()f n >0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3)问，由于函数()f x 中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax=+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若1 3x=是函数()f x的一个极值点，求a的值；(2) 当4a=-时，求函数()f x的单调区间；(3) 当a取正实数时，若存在实数m，使得关于x的方程()f x m=有三个实数根，求a的取值范围.方法三方程+图像法使用情景函数比较复杂，不容易求函数的单调性.解题步骤先令()0f x=,重新构造方程()()g x h x=,再画函数(),()y g x y h x==的图像分析解答.【例4】函数()lg cosf x x x=-的零点有（）A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个【点评】调性不是很方便，所以先令()lg cos0f x x x=-=,可化为lg cosx x=,再在同一直角坐标系下画出lgy x=和cosy x=的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用.【反馈检测3】设函数()()()221ln,1,02f x x m xg x x m x m=-=-+>．（1）求函数()f x的单调区间；（2）当1m≥时，讨论函数()f x与()g x图象的交点个数．422510152025oy=cosxy=lgxyx参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测2答案】（1）95a =；（2）()f x 的单调增区间是51(1)2-，15(,12+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5(1)++∞；（3）a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测2详细解析】(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ 因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点.因此95a =.(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得51x =，而12x ≠±.所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞-15(,1)22-- 512-51(1,)22-15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x '--++-()f x极小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1,)22-，15(,1)22+；()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)2--，5(1,)++∞；【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ；（2）1．【反馈检测3详细解析】（1）函数()f x 的定义域为()()(0,,'x m x m f x x+∞=．当0x m <<()'0f x <,函数()f x 单调递减，当x m >时，()'0f x >函数()f x 单调递增，综上，函数()f x 的单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ．（2）令()()()()211ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->,问题等价于求函数()F x 的零点个数，()()()1'x x m F x x--=-,当1m =时，()'0F x ≤，函数()F x 为减函数，F x有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．综上，函数()。

高中数学课时分层作业二十三方程的根与函数的零点含解析必修1

课时分层作业二十三方程的根与函数的零点（30分钟60分）一、选择题(每小题5分,共30分)1。

已知函数f(x）=若f(f（0))=4a，则实数a等于（）A。

B. C.2D。

9【解析】选C。

由题知f(0）=2，f(2)=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2。

2.设函数f(x）=，若f（m）=3,则实数m的值为（)A。

—2 B。

8 C.1 D.2【解析】选D。

因为当0<x〈2时,log2x<1，所以由f（m)=3得m ≥2,所以m2-1=3,解得m=2。

3.函数y=f（x)在区间［1，4]上的图象是连续不断的曲线,且f(1)·f(4）〈0，则函数y=f（x）（）A。

在(1, 4）内至少有一个零点B.在(1，4)内至多有一个零点C。

在(1，4)内有且只有一个零点D.在（1, 4）内不一定有零点【解析】选A。

由已知y=f（x）的图象在区间[1，4]上是连续不断的曲线,且f(1)·f（4)〈0,故在（1，4）内至少有一零点.4。

函数f(x）=—x3—3x+5的零点所在的大致区间是()A.(-2，0）B。

(0，1) C.(1，2）D。

(2,3)【解析】选C。

因为函数f(x)=—x3-3x+5是单调递减函数,又因为f(1)=—13—3×1+5=1>0，f(2）=—23-3×2+5=-9〈0,所以函数f（x）的零点必在区间(1，2)上，故必存在零点的区间是（1,2）.5.已知x0是函数f（x)=2x+的一个零点.若x1∈（1，x0)，x2∈（x0，+∞）,则有（）A.f(x1)〈0，f(x2）<0B.f（x1）〈0,f(x2）>0C.f（x1）〉0，f(x2）<0D.f（x1）>0，f（x2)〉0【解析】选B。

因为x〉1时,y=2x，y=都是增函数，所以f（x)=2x+在(1，+∞)上是增函数，所以有且只有一个零点x0，根据零点存在性定理及函数增减性知，f（x1）<0，f（x2)〉0。

2022版新高考数学总复习真题专题--函数的零点与方程的根(解析版)

2022版新高考数学总复习--§2.6 函数的零点与方程的根— 五年高考 —考点函数的零点1.(2020天津,9,5分)已知函数f (x )={x 3,x ≥0,-x ,x <0.若函数g (x )=f (x )-|kx 2-2x |(k ∈R )恰有4个零点,则k 的取值范围是( )A.(-∞,-12)∪(2√2,+∞) B.(-∞,-12)∪(0,2√2) C.(-∞,0)∪(0,2√2) D.(-∞,0)∪(2√2,+∞) 答案 D2.(2019天津文,8,5分)已知函数f (x )={2√x ,0≤x ≤1,1x , x >1.若关于x 的方程f (x )=-14x +a (a ∈R )恰有两个互异的实数解,则a 的取值范围为 ( )A.[54,94] B.(54,94]C.(54,94]∪{1} D.[54,94]∪{1} 答案 D3.(2019浙江,9,4分)设a ,b ∈R ,函数f (x )={x , x <0,13x 3-12(a +1)x 2+ax , x ≥0.若函数y =f (x )-ax -b 恰有3个零点,则 ( )A.a <-1,b <0B.a <-1,b >0C.a >-1,b <0D.a >-1,b >0 答案 C4.(2017山东理,10,5分)已知当x ∈[0,1]时,函数y =(mx -1)2的图象与y =√x +m 的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是 ( )A.(0,1]∪[2√3,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,√2]∪[2√3,+∞)D.(0,√2]∪[3,+∞)答案B5.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a= ()A.-12B.13C.12D.1答案C6.(2021北京,15,5分)已知f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:①若k=0,则f(x)有两个零点;②∃k<0,使得f(x)有一个零点;③∃k<0,使得f(x)有三个零点;④∃k>0,使得f(x)有三个零点.以上正确结论的序号是.答案①②④7.(2019江苏,14,5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=√1-(x-1)2,g(x)={k(x+2),0<x≤1,-12,1<x≤2,其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.答案[13,√2 4)以下为教师用书专用(1—8)1.(2015天津文,8,5分)已知函数f(x)={2-|x|,x≤2,(x-2)2,x>2,函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.5答案 A 由已知条件可得g (x )=3-f (2-x )={|x -2|+1,x ≥0,3-x 2, x <0.函数y =f (x )-g (x )的零点个数即为函数y =f (x )与y =g (x )图象的交点个数,在平面直角坐标系内作出函数y =f (x )与y =g (x )的图象如图所示.由图可知函数y =f (x )与y =g (x )的图象有2个交点,所以函数y =f (x )-g (x )的零点个数为2,选A . 2.(2014北京文,6,5分)已知函数f (x )=6x -log 2x.在下列区间中,包含f (x )零点的区间是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)答案 C ∵f (1)=6-log 21=6>0, f (2)=3-log 22=2>0,f (4)=64-log 24=32-2<0,∴包含f (x )零点的区间是(2,4),故选C . 3.(2011课标,10,5分)在下列区间中,函数f (x )=e x+4x -3的零点所在的区间为 ( )A.(-14,0)B.(0,14)C.(14,12)D.(12,34)答案 C 显然f (x )为定义域R 上的连续函数.如图作出y =e x与y =3-4x 的图象,由图象知函数f (x )=e x+4x -3的零点一定落在区间(0,34)内,又f (14)=√e 4-2<0, f (12)=√e -1>0.故选C .评析本题考查函数零点的概念及求解方法,考查学生分析问题、解决问题的能力,属中等难度试题. 4.(2016山东文,15,5分)已知函数f (x )={|x |,x ≤m ,x 2-2mx +4m ,x >m ,其中m >0.若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是 .答案 (3,+∞)解析 f (x )的图象如图所示,若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,只需4m -m 2<m ,解之得m >3或m <0,又m >0,所以m >3.方法总结分段函数问题、函数零点个数问题或方程根的个数问题通常采用数形结合的思想方法来解决. 评析本题考查基本初等函数及分段函数的图象,考查数形结合的思想方法,属于难题. 5.(2016天津文,14,5分)已知函数f (x )= {x 2+(4a -3)x +3a ,x <0,log a (x +1)+1, x ≥0(a >0,且a ≠1)在R 上单调递减,且关于x 的方程|f (x )|=2-x3恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是 . 答案 [13,23)解析 ∵函数f (x )在R 上单调递减,∴{-4a -32≥0,0<a <1,3a ≥1,解得13≤a ≤34.在同一直角坐标系下作出函数y =|f (x )|与y =2-x3的图象,如图所示.方程|f (x )|=2-x3恰有两个不相等的实数解等价于y =|f (x )|的图象与y =2-x3的图象恰有两个交点,则需满足3a <2,得a <23,综上可知,13≤a <23.易错警示 (1)f (x )在R 上单调递减,需满足{-4a -32≥0,0<a <1,3a ≥1,缺少条件是失分的一个原因;(2)由方程解的个数求参数范围往往利用数形结合思想将问题转化为两个函数图象交点个数的问题是解决这类问题常用的方法.评析本题主要考查分段函数的单调性及函数与方程,利用数形结合思想,将方程解的个数问题转化为两个函数图象交点个数的问题是求解这类问题的常用方法.6.(2015湖南理,15,5分)已知函数f (x )={x 3,x ≤a ,x 2,x >a .若存在实数b ,使函数g (x )=f (x )-b 有两个零点,则a 的取值范围是 . 答案 (-∞,0)∪(1,+∞)解析当a <0时,若x ∈(a ,+∞),则f (x )=x 2,当b ∈(0,a 2)时,函数g (x )=f (x )-b 有两个零点,分别是x 1=-√b ,x 2=√b .当0≤a ≤1时,f (x )的图象如图所示,易知函数y =f (x )-b 最多有一个零点. 当a >1时, f (x )的图象如图所示,当b ∈(a 2,a 3]时,函数g (x )=f (x )-b 有两个零点,分别是x 1=√b 3,x 2=√b .综上,a ∈(-∞,0)∪(1,+∞).7.(2015北京理,14,5分)设函数f (x )={2x -a , x <1,4(x -a )(x -2a ), x ≥1.①若a =1,则f (x )的最小值为 ;②若f (x )恰有2个零点,则实数a 的取值范围是 .答案 ①-1 ②[12,1)∪[2,+∞)解析 ①当a =1时, f (x )={2x -1,x <1,4(x -1)(x -2),x ≥1,其大致图象如图所示:由图可知f (x )的最小值为-1. ②当a ≤0时,显然函数f (x )无零点;当0<a <1时,易知f (x )在(-∞,1)上有一个零点,要使f (x )恰有2个零点,则当x ≥1时, f (x )有且只有一个零点,结合图象可知,2a ≥1,即a ≥12,则12≤a <1;当a ≥1时,2a >1,由二次函数的性质可知,当x ≥1时, f (x )有2个零点, 则要使f (x )恰有2个零点,则需要f (x )在(-∞,1)上无零点,则2-a ≤0,即a ≥2. 综上可知,满足条件的a 的取值范围是[12,1)∪[2,+∞).8.(2015湖北文,13,5分)函数f (x )=2sin x sin (x +π2)-x 2的零点个数为 .答案 2解析 f (x )=2sin x cos x -x 2=sin 2x -x 2,函数f (x )的零点个数可转化为函数y 1=sin 2x 与y 2=x 2图象的交点个数,在同一坐标系中画出y 1=sin 2x 与y 2=x 2的图象如图所示:由图可知两函数图象有2个交点,则f (x )的零点个数为2.— 三年模拟 — A 组考点基础题组考点函数的零点1.(2019广东汕头达濠华侨中学,东厦中学第二次联考,12)设函数f (x )是定义在R 上周期为2的函数,且对任意的实数x ,恒有f (x )-f (-x )=0.当x ∈[-1,0]时, f (x )=x 2,若g (x )=f (x )-log a x 在x ∈(0,+∞)上有且仅有三个零点,则a的取值范围为 ( )A.[3,5]B.[4,6]C.(3,5)D.(4,6) 答案 C2.(2020湖南长沙明德中学3月月考,10)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2-x )=f (2+x ),当x ≤2时, f (x )=x e x,若关于x 的方程f (x )=k (x -2)+2有三个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是 ( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-e ,0)∪(0,e ) D.(-e ,0)∪(e ,+∞) 答案 A3.(多选题)(2021辽宁沈阳市郊联体一模,12)已知函数f (x )={2x +2,-2≤x ≤1,lnx -1,1<x ≤e ,若关于x 的方程f (x )=m 恰有两个不同解x 1,x 2(x 1<x 2),则(x 2-x 1)f (x 2)的取值可能是 ( ) A.-3 B.-1 C.0 D.2 答案 BC4.(2021福建三明三模,15)函数f (x )=ln x +2x -6零点的一个近似值为 .(误差不超过0.25,自然对数的底数e ≈2.72)答案 2.45(可填(2.36,2.54)中的任一实数)5.(2021湖北九师联盟2月质量检测,15)若函数f (x )={x 3-3x +1-a ,x >0,x 3+3x 2-a ,x ≤0恰有3个零点,则实数a 的取值范围为 . 答案 (-1,0)∪[1,4)B 组综合应用题组时间:30分钟分值:35分一、单项选择题(每小题5分,共15分)1.(2020河北新时代NT 教育模拟自测)已知函数f (x )={|lnx |,x >0,x 2+2x +2,x ≤0,若f (x )=kx 有两个不等实根,则实数k 的取值范围是 ( )A.2-2√2<k <0或k =1e B.k <2-2√2C.2-2√2<k <0D.k <2-2√2或k =1e 答案 D2.(2020辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知函数f (x )=2x ,函数g (x )与p (x )=1+ln (-2-x )的图象关于点(-1,0)对称,若f (x 1)=g (x 2),则x 1+x 2的最小值为 ( ) A.2 B.ln2-12C.12ln 2 D.ln 2答案 C3.(2019河北衡水中学第二次调研,12)已知函数f (x )={x 2+4x ,x ≤0,xlnx ,x >0,g (x )=kx -1,若方程f (x )-g (x )=0在x ∈(-2,e 2)上有3个实根,则k 的取值范围为 ( )A.(1,2]B.(1,32]∪{2} C.(1,32)∪(32,2) D.(1,32)∪(32,2+1e 2)答案 B二、多项选择题(每小题5分,共10分)4.(2021湖南衡阳联考(一),12)已知函数f (x )=e sin|x |+e|sin x |,以下结论正确的是 ( )A. f (x )是偶函数B. f (x )的最小值为2C. f (x )在区间(-π,-π2)上单调递减 D.g (x )=f (x )-2πx 的零点个数为5 答案 ABD5.(2021山东日照一模,11)已知函数f (x )对于任意x ∈R ,均满足f (x )=f (2-x ).当x ≤1时, f (x )={lnx ,0<x ≤1,e x,x ≤0,若函数g (x )=m |x |-2-f (x ),则下列结论正确的为 ( ) A.若m <0,则g (x )恰有两个零点 B.若32<m <e ,则g (x )有三个零点 C.若0<m ≤32,则g (x )恰有四个零点 D.不存在m 使得g (x )恰有四个零点答案 ABC三、填空题(每小题5分,共10分)6.(2021山东济南十一学校联考,16)如果两个函数存在零点,分别为α,β,且满足|α-β|<n ,则称两个函数互为“n 度零点函数”.若f (x )=ln (x -2),g (x )=ax 2-ln x 互为“2度零点函数”,则实数a 的取值范围为 .答案 (0,12e]7.(2020山东淄博实验中学模拟,16)已知函数f (x )=(2-a )·(x -1)-2ln x.若函数f (x )在(0,12)上无零点,则a 的最小值为 . 答案 2-4ln 2— 一年原创 —1.(2021 5·3原创题)已知x 0是函数f (x )=x 2e x -2+ln x -2的零点,则下列结论错误的是( )A.ln x 0=2-x 0B.e 2-x 0+ln x 0=2C.x 0∈(1,2)D.ln x 0-1x 0>0 答案 D2.(2021 5·3原创题)已知函数f (x )={|x +2|,x ≤0,log 2x ,x >0.关于x 的方程[f (x )]2=mf (x )+1有4个不同的实数根,则实数m 的取值范围为( )A.(-32,1) B.(-∞,32] C.(1,32] D.(-∞,-32) 答案 B3.(2021 5·3原创题)已知f (x )={lnx ,x ≥1,x 2,x <1,若g (x )=f 2(x )+mf (x )+2有5个零点,则实数m 的取值范围为( )A.(-∞,-2√2)B.(-∞,-3)C.(-∞,-3]D.(-2√3,-3) 答案 B4.(2021 5·3原创题)已知函数F (x )=(x 3+x2)3+x 3+x2-2x ,设x 1,x 2(x 1<x 2)是函数的两个非零零点,则函数y =2(x 1+2x 2)t +2(2x 1+x 2)t+1(t ∈R )的最小值为( )A .2√2B .0C .1D .4 答案 A5.(2021 5·3原创题)已知函数f (x )=|x |(x +1),若函数g (x )=f (x )+2f (x )+m 有四个不同零点x 1,x 2,x 3,x 4,则实数m 的取值范围是 ;若x 1<x 2<x 3<x 4,则f (x 1)f (x 2)f (x 3)f 3(x 4)的值是 .答案 (-∞,-334);8 6.(2021 5·3原创题)函数f (x )=|cos x |-m sin x -3m 无零点,则m 的取值范围是 . 答案 (-∞,0)∪(√24,+∞)11 / 11 7.(2021 5·3原创题)已知f (x )是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x >0时,f (x )={3x -7,0<x ≤2,|x -5|-1,x >2.g (x )=f (x )-a. (1)若函数g (x )恰有三个不相同的零点,求实数a 的值;(2)记h (a )为函数g (x )的所有零点之和.当-1<a <1时,求h (a )的取值范围.解析 (1)作出函数f (x )的图象,如图,由图象可知,当且仅当a =2或a =-2时,直线y =a 与函数y =f (x )的图象有三个不同的交点,∴当且仅当a =2或a =-2时,函数g (x )恰有三个不相同的零点.(2)由f (x )的图象可知,当-1<a <1时,g (x )有6个不同的零点.设这6个零点从左到右依次为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6. 则x 1+x 2=-10,x 5+x 6=10,x 3是方程-3-x +7-a =0的解,x 4是方程3x-7-a =0的解. ∴h (a )=-10-log 3(7-a )+log 3(7+a )+10=log 37+a7-a .∵当-1<a <1时,7+a 7-a =147-a -1∈(34,43),∴h (a )∈(1-2log 32,2log 32-1).∴当-1<a <1时,h (a )的取值范围为(1-2log 32,2log 32-1).技巧点拨遇到函数零点求和时,往往要结合函数的图象,注意函数图象的对称性,理清零点间的关系再求和.。

方程的根与函数的零点(最终版)

10
8
6
函数图象
方程的根
7
x2 2x 36 0
5
f
(x)
x2
4
2x
3
3
2
1
4
-3
2
-1
1
2
1
2
8
6
3 -3
4 -4
y5
x1 3
x2 1
2x 1 0
f ( x) 5 2x 1
4
3
2
4
6
1
8
10
4
2 15
0
1
2
3
4
2 10
4
x0
函数图象与x轴的交点坐标
(-3, 0) (1, 0)
(0, 0)
例二、已知函数 y f (x) 是R上的连续函数，观
察下表，判断函数在哪些区间内一定存在零点，并简述理由。
x123456789
f(x) 0.2 0.4 -0.4 -0.3 1 6 8 -3 -1
例三、试判断函数 f (x) ex x 4是否有零点，若有，有几个？
解：因为 f (1) e 3 0 且 f (2) e2 2 0 所以函数在区间(1, 2) 存在零点；
零点：对于函数 y f (x)，我们把使 f (x)=0的实数x叫做函数 y f (x)的零点。
代数方面：零点就是方程 f (x)=0 的实根图形方面：零点就是函数 y f (x) 的图象
与x轴交点的横坐标
判断方程 f (x) 0 是否有实根判断函数 y f (x) 的图象与x轴是否有交点
判断函数 y f (x) 是否有零点
1
f (x) x2 x 6

函数的零点与方程根的关系

函数的零点与方程根的关系
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
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人教A版数学必修一第三章3.1.1《方程的根与函数的零点》讲解与例题

3.1.1 方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1．辨误区函数的零点不是点我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．【例1】函数f(x)＝x2－1的零点是( )A．(±1,0) B．(1,0)C．0 D．±1解析：解方程f(x)＝x2－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x2－1的零点是±1．答案：D2函数零点(或零点个数)正比例函数y＝kx(k≠0)一个零点0反比例函数kyx=(k≠0)无零点一次函数y＝kx＋b(k≠0)一个零点b k -二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0Δ＞0两个零点－b±Δ2aΔ＝0一个零点－b2aΔ＜0无零点指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)无零点对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)一个零点1幂函数y＝xαα＞0一个零点0α≤0无零点【例2( )A．0 B．1 C．2 D．1或2解析：∵b2＝ac，∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0．故函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点个数为0．答案：A3．函数的零点与对应方程的关系(1)方程f(x)＝0有实根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．【例3－1】若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点就是方程x2＋ax＋b＝0的根，故方程x2＋ax ＋b＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a，b的值．解：由题意，得方程x2＋ax＋b＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得2(4), 2(4),ab+-=-⎧⎨⨯-=⎩即2,8.a b =⎧⎨=-⎩(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)与二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象联 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 f (x )＝ax 2＋ bx ＋c (a ＞0) 的图象图象与x 轴交点 (x 1,0)，(x 2,0) (x 0,0) 无交点方程f (x )＝0的根 x ＝x 1，x ＝x 2 x ＝x 0 无实数根函数y ＝f (x )的零点x 1，x 2 x 0 无零点式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系．【例3－2】函数y ＝f (x )的图象如图所示，则方程f (x )＝0的实数根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：观察函数y ＝f (x )的图象，知函数的图象与x 轴有3个交点，则方程f (x )＝0的实数根有3个．答案：D点技巧借助图象判断方程实数根的个数由于“方程f (x )＝0的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x 轴是否有交点即可．4．判断(或求)函数的零点(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f (x )的零点，就是方程f (x )＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实数根，有几个实数根．例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝1－log 3x ．解：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3．故函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3； (2)令1－log 3x ＝0，即log 3x ＝1，解得x ＝3．故函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3．(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程F(x)＝0即方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【例4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝24122x xx+--．解析：分别解方程f(x)＝0得函数的零点．解：(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或－6．故函数的零点是－1，－6．(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1．故函数的零点是－1．(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26．故函数的零点是log26．(4)解方程f(x)＝24122x xx+--＝0，得x＝－6．故函数的零点为－6．辨误区忽略验根出现错误本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．【例4－2】函数f(x)＝ln x－11x-的零点的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：在同一坐标系中画出函数y＝ln x与11yx=-的图象如图所示，因为函数y＝ln x与11yx=-的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－11x-的零点个数为2．答案：C,5．判断零点所在的区间零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点：(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0．则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(2)当函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．例如函数f (x )＝x 2在区间[－1,1]上有f (－1)·f (1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在零点0．(3)函数在区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，且在区间(a ，b )上单调，若满足f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有且只有一个零点．,【例5－1】求函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数．错解错解一：由题意，得f (1)＝2＞0，f (4)＝2＞0，因此函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上没有零点，即零点个数为0．错解二：∵f (1)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(1，2.5)内有一个零点；又∵f (4)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(2.5,4)内有一个零点．∴函数在区间[1,4]内有两个零点．错因分析对于错解一，是错误地类比了零点存在性定理，注意当f (a )·f (b )＞0时，区间(a ，b )内的零点个数是不确定的；对于错解二，注意当f (a )·f (b )＜0时，区间(a ，b )内存在零点，但个数是不确定的．正解由x 2－5x ＋6＝0，得x ＝2或x ＝3，所以函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数是2．【例5－2】函数f (x )＝lg x －x的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10)解析：∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0， f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0，∴f (9)·f (10)＜0． ∴函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间为(9,10)．答案：D6．一元二次方程的根的分布(1)一元二次方程的根的零分布所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根为x 1，x 2且x 1≤x 2①x 1＞0，x 2＞0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩②x 1＜0，x 2＜0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩③x 1＜0＜x 2⇔ca＜0．④x 1＝0，x 2＞0⇔c ＝0，且b a ＜0；x 1＜0，x 2＝0⇔c ＝0，且ba＞0．(2)一元二次方程的根的k 分布研究一元二次方程的根的k 分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负． ③对应二次函数图象——抛物线的对称轴2bx a=-与区间端点的位置关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则一元二次方程x 1，x 2中有且仅有一个在区间 (k 1，k 2)内f (k 1)·f (k 2)＜0或f (k 1)＝0，k 1＜12<22k k b a +-或f (k 2)＝0，12<22k k b a+-＜k 2．__________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________【例6－1】已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)．若m ＜0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m ＞0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当2(3)40,30,20m m mm m ⎧∆=--≥⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩⇒21090,03,0m m m m ⎧-+≥⎪<<⎨⎪>⎩⇒19,03m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或⇒0＜m ≤1．综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]．点技巧研究函数图象性质有技巧对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f (0)＝1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征解决问题．【例6－2】关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时， (1)方程有一根； (2)两根都大于1；(2)方程一根大于1，一根小于1；(3)方程一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．解：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即12x =-符合题意；当a ≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以Δ＝12a ＋4＝0，解得13a =-．综上可知，当a ＝0或13a =-时，关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有一根．(2)方程两根都大于1，图象大致如下图，所以必须满足：0,0,11,(1)0,a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,11,(1)0,a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程两根都大于1． (3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如下图，所以必须满足0,(1)0,a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0,a f <⎧⎨>⎩解得a ＞0．(4)因为方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图，所以必须满足(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f -<⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．。

方程的根与函数的零点经典练习及答案

[基础巩固]1．(多选)下列图象表示的函数有零点的是( )解析观察图象可知A 选项中图象对应的函数没有零点．答案 BCD2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0，的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 解析解法一令f (x )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0x 2＋2x －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0ln x ＝2， ∴x ＝－3或x ＝e 2，应选C.解法二画出函数f (x )的图象可得，图象与x 轴有两个交点，则函数f (x )有2个零点．答案 C3．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析设函数f (x )＝ln x ＋x －4，则函数f (x )的图象是一条连续不断的曲线．f (1)＝ln 1＋1－4＝－3<0，f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3－1>0，f (4)＝ln 4>0，所以f (2)·f (3)<0，所以x 0∈(2,3)．答案 C4．函数f (x )＝ln x －x 2＋2x ＋5的零点个数为________．解析令ln x －x 2＋2x ＋5＝0得ln x ＝x 2－2x －5，画图可得函数y ＝ln x 与函数y ＝x 2－2x －5的图象有2个交点，即函数f (x )的零点个数为2.答案 25．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________．解析 ∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)<0，f (1)>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b <0，1＋b >0.∴－1<b <0. 答案 (－1,0)6．判断方程log 2x ＋x 2＝0在区间⎣⎡⎦⎤12，1内有没有实数根？为什么？解析设f (x )＝log 2x ＋x 2，先设该方程有实数根，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＋⎝⎛⎭⎫122＝－1＋14＝－34＜0， f (1)＝log 21＋1＝1＞0，∴f ⎝⎛⎭⎫12·f (1)＜0. ∵函数f (x )＝log 2x ＋x 2的图象在区间⎣⎡⎦⎤12，1上是连续的，∴f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，1内有零点，即方程log 2x ＋x 2＝0在区间⎣⎡⎦⎤12，1内有实根．[能力提升]7．已知f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．不能确定解析因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f (x )有三个零点，则其和必为0.答案 A8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≤0，－2＋ln x ，x >0，若函数y ＝f (x )－k 有三个零点，则实数k 的取值范围为( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[1,2]D ．[1,2)解析函数y ＝f (x )－k 有三个零点，即y ＝f (x )与y ＝k 有三个交点，f (x )的图象如上，由图象可得－2<k ≤－1.故选A ．答案 A9．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点，由图象可知当0<a <1时两函数的图象只有一个交点，不符合；当a >1时，因为函数y ＝a x (a >1)的图象过点(0,1)，当直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点(0，a )在(0,1)的上方时一定有两个交点．所以a >1.答案 (1，＋∞)10．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围．(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解析 (1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧ (－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a >0，a >1，解得2≤a <52. (2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f (1)＝5－2a <0，解得a >52. (3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝4>0，f (1)＝5－2a <0，f (6)＝40－12a <0，f (8)＝68－16a >0，解得103<a <174. [探索创新]11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示．由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C. 答案 C。

方程的根与函数的零点

对应学生用书P 116基础达标一、选择题1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )解析：观察图象可知A 中图象表示的函数没有零点．答案：A2．函数f (x )＝x 2＋4x ＋4在区间[－4，－1]上的零点情况是( ) A ．没有零点 B ．有一个零点 C ．有两个零点D ．有无数多个零点解析：函数f (x )＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2有唯一零点－2∈[－4，－1]．答案：B3．(2010·福建高考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3＝0x ≤0得x ＝－3，由⎩⎪⎨⎪⎧－2＋ln x ＝0x >0得x ＝e 2，故有两个零点．答案：C4．已知函数f (x )＝x 3－x －1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是( ) A ．(3,4) B ．(2,3) C ．(1,2)D ．(0,1)解析：利用零点存在性定理，判断零点存在的区间．由于f (0)＝－1<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝5>0，f (3)＝23>0，f (4)＝59>0，所以f (1)f (2)<0，故选C.答案：C5．若已知f (a )<0，f (b )>0，则下列说法中正确的是( ) A ．f (x )在(a ，b )上必有且只有一个零点 B ．f (x )在(a ，b )上必有正奇数个零点 C ．f (x )在(a ，b )上必有正偶数个零点D ．f (x )在(a ，b )上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能无零点解析：若f (x )的图象不连续则可能没有零点，若f (x )在该区间有零点则可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点．故应选D.答案：D答案：C 二、填空题7．函数f (x )＝x 2－4x －2的零点是________．解析：本题易认为函数的零点有两个，即由x 2－4＝0求出x ＝±2，事实上x ＝2不在函数的定义域内．答案：－28．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的最小区间为________.解析：令f (x )＝，f (0)＝1－2＝－1<0，f (1)＝2.72－3＝－0.28<0，f (2)＝7.39－4＝3.39>0，f (3)＝20.09－5＝15.09>0，由于f (1)·f (2)<0，所以根据表格原方程的一个根所在的最小区间为(1,2)．答案：(1,2)9．已知函数f (x )的图象是不间断的，且有如下的x ，f (x )的对应值表：解析：由f (－2)·f (－1.5)<0，f (－0.5)·f (0)<0，f (0)·f (0.5)<0可知，函数f (x )在区间[－2,2]内至少有3个零点．答案：3 三、解答题10．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝－8x 2＋7x ＋1； (2)f (x )＝x 2＋x ＋2； (3)f (x )＝3x ＋1－7；(4)f (x )＝log 5(2x －3)．解：(1)因为f (x )＝－8x 2＋7x ＋1＝－(8x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0可解得x ＝－18或x ＝1，所以函数的零点为－18和1.(2)令x 2＋x ＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程无实数根，所以f (x )＝x 2＋x ＋2不存在零点．(3)令3x ＋1－7＝0，解得x ＝log 373，所以函数的零点是log 373.(4)令log 5(2x －3)＝0，解得x ＝2，所以函数的零点是2.11．已知m ∈R 时，函数f (x )＝m (x 2－1)＋x －a 恒有零点，求a 的范围．解：当m ＝0时，f (x )＝x －a ， a ∈R 时，f (x )有零点；当m ≠0时，Δ＝12－4m (－a －m )＝4m 2＋4am ＋1≥0恒成立，则有16a 2－16≤0. 解得－1≤a ≤1综上所述，当m ＝0时，a ∈R ；当m ≠0时，－1≤a ≤1.创新题型12．试判断函数f (x )＝x 5－1x－2存在几个零点？解：因为f (1)＝－2<0，f (2)＝32－12－2>0，且函数f (x )＝x 5－1x －2的图象在区间(1,2)上不间断，所以函数f (x )在(1,2)上必存在零点，又可证函数f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以函数f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点；因为f (－13)＝－135＋3－2>0，f (－1)＝－2<0，且函数f (x )＝x 5－1x －2的图象在区间(－1，－13)上不间断，所以函数f (x )在(－1，－13)上必存在零点，又可证函数f (x )在(－∞，0)上是单调增函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上只有一个零点．综上所述，原函数存在两个零点．。

压轴小题02 辨析函数与方程的根的情况(含答案解析)

辨析函数与方程的根的情况一、方法综述确定函数f (x )零点个数(方程f (x )＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f (x )在R 上的零点个数，一般由对应的二次方程f (x )＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数f (x )在[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f (a )·f (b )＜0，则y ＝f (x )在区间(a ，b )内有唯一零点．二、解题策略类型一求方程解的个数例1．已知函数2log ,0,(),0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[4,4]ππ-上零点的个数为（） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】A【解析】当[],0x π∈-时，[]0,x ππ+∈，故()()11sin 22g x g x x π=+=-，同理可得当[]2,x ππ∈--时，()1sin 4g x x =-，此时()()()1sin 04y f x g x x g x x π=-=--≥+>，故()()y f x g x =-在[]2,ππ--无零点，同理()()y f x g x =-在[]4,2ππ--也无零点.因为()()2g x g x π+=，故将()[],0,y g x x π=∈上的图象向右平移π个单位后，图象伸长为原来的两倍，在平面直角坐标系，()f x 、()g x 在[],4ππ-上的图象如图所示：因为222357log 2,log 4,log 8222πππ><<，故()f x 、()g x 在(]0,4π上的图象共有5个不同交点，下证：当[],0x π∈-，()()y f x g x =-有且只有一个零点. 此时1sin 2y x x =-+，而11cos 02y x '=-+<，故()()y f x g x =-在[],0π-上为减函数，故当[],0x π∈-，有()()()()000f x g x f g -≤-=，当且仅当0x =时等号成立. 故()f x 、()g x 在[],4ππ-上的图象共有6个不同交点，即()()y f x g x =-在[]4,4ππ-有6个不同的零点，故选：A.【名师点睛】函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现。

高考复习专题：函数零点的求法及零点的个数

函数零点的求法及零点的个数题型1：求函数的零点。

[例1] 求函数2223+--=x x x y 的零点. [解题思路]求函数2223+--=x x x y 的零点就是求方程02223=+--x x x 的根[解析]令32220x x x --+=，∴2(2)(2)0x x x ---=∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或即函数2223+--=x x x y 的零点为-1，1，2。

[反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。

题型2：确定函数零点的个数。

[例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数. [解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 [解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增，又有(1)(4)0f f ⋅<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。

方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数即求ln 62y x y x =⎧⎨=-⎩的交点的个数。

画图可知只有一个。

[反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。

题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围 [例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数()a x ax x f --+=3222,假如函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。

[解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点找寻关于参数a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2x 的系数，故要对a 进行探讨[解析] 若0a = , ()23f x x =- ,明显在[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠.令()248382440a a a a ∆=++=++=, 解得32a -=①当a =时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上;②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点。

《方程的根与函数的零点》

小结
1、函数零点与方程的根的关系。函数零点与方程的根的关系。
2、函数零点存在性的判定方法。函数零点存在性的判定方法。
3、数形结合、函数与方程的思想。数形结合、函数与方程的思想。
作业
课本P119习题4—1 A组 4
<
在区间(a,d)上______(有/无)零点；零点； ③ 在区间上有有无零点 f(a).f(d) _____ 0（＜或＞）．（＜或（＜
<
辨析：
1、如果函数y=f(x)在区间、如果函数在区间[a,b]上满足上满足f(a)f(b)<0, 在区间上满足那么函数y=f(x)在区间那么函数在区间(a,b)内一定有零点吗？内一定有零点吗？在区间内一定有零点吗
y
0
a
b
x
4、若函数函数f(x)在[a, b]上的图象是连续不断的一 b]上的图象是连续不断的一函数在条曲线，上恰有一个零点，条曲线，在 (a, b) 上恰有一个零点，是否一定有f(a)f(b) <0？？
=3 x 例1 已知函数 f (x) 问：方程
x 2
f (x) = 0 在区间
y y
0
a
b
x
0a
b
x
函数f(x)在[a, b]上的图象是连续不断的一 b]上的图象是连续不断的一 2、若函数函数在条曲线，满足f(a)f(b)>0，则函数 b)上条曲线，满足，则函数f(x)在(a, b)上在有零点吗？有零点吗？
函数f(x)在[a, b]上的图象是连续不断的一条 3、若函数函数在上的图象是连续不断的一条曲线，满足f(a)f(b)<0，是否意味着函数曲线，满足 0 是否意味着函数f(x)在在（a, b）上有唯一一个零点？）上有唯一一个零点？

方程的根与函数的零点

-6 -8
( x1 ,0),( x2 ,0)
-6
( x1 ,0)
-10
没有交点
-12 -14
-8
结论：一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标，方程根的个数就是函数图像与X轴交点的个数。
-16
冷世平原创教案，谢绝翻印！
-18
4
知识探究
对于函数y f ( x), 把使f ( x) 0的实数x叫做函数y f ( x)的零点.
程的一般解法。
冷世平原创教案，谢绝翻印！
2
引入新知
探究1.下列二次函数的图像与x轴交点和相应方程的根有何关系?
方程函数
x2 2 x 3 0
y x2 2x 3
y
x2 2 x 1 0
y x2 2x 1yx2 2 x 3 0
y x2 2x 3
x1 1, x2 3
x1 x2 1
无实数根无交点
3
函数的图象与x轴交点
(1,0), (3,0)
(1,0)
冷世平原创教案，谢绝翻印！
一般地, 一元二次方程ax 2 bx c 0的根与二次函数y ax 2 bx c (a 0)的图像有如下关系 :
判别式
零点是一个点吗? 注意：零点指的是一个实数，不是点。
思考 : 函数y f ( x)的图像与x轴的交点与相应的方程f ( x) 0的根有何关系? 函数y f ( x)有零点
研究方程f ( x) g ( x)的根
方程f ( x) 0有实数根
研究函数y f ( x)与y g ( x)的交点
a
0
b
x

方程的根与函数的零点练习题及答案解析

方程的根与函数的零点练习题及答案解析王学忠山东省临沂市沂水县第一中学教材版本：《普通高中课程标准实验教科书·数学1·必修·A 版》，人民教育出版社，2007年1月第二版课题：§3.1.1方程的根与函数的零点教学目标：【知识与技能】了解函数零点的概念，理解方程的根与函数的零点的关系；理解图象连续的函数存在零点的判定方法，并能进行简单的应用。

【过程与方法】在探究方程的根与函数的零点的关系，图象连续的函数存在零点的判定方法中体会数形结合、函数与方程的数学思想，从特殊到一般的归纳思想。

【情感态度与价值观】在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值；在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣，培养学生的辨证思维。

教学重点：方程的根与函数的零点的关系；图象连续的函数存在零点的判定方法及应用。

教学难点：图象连续的函数存在零点的判定方法的理解。

教具准备：直尺 Powerpoint 2003课件几何画板4.07课件学具准备：计算器教学方法：问题探究法教学过程设计：一、创设情境：问题引入：求方程01532=-+x x 的实数根。

变式：求方程01535=-+x x 的实数根。

数学史上，人们曾希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果，1824年挪威年仅22岁的数学家阿贝尔（N.H.Abel ，1802-1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解。

五次以上的高次方程不能用代数运算来求解，我们就必须寻求新的角度——函数来解决这个方程的问题。

设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。

通过对数学史的讲解，培养学生学习数学的兴趣，开门见山地提出利用函数思想解决方程根的问题。

二、新知探究：1．零点的概念：问题1：求方程0322=--x x 的实数根，并画出函数322--=x x y 的图象。

1-，3具有多重角色，它能够使这个方程成立，也能够使这个函数的函数值为0，它又是函数图象与x 轴两个交点的横坐标。

函数的零点与解析问题及例题分析

函数的零点与解析问题及例题分析1. 函数的零点函数的零点指的是函数取值为零的点，即满足$f(x) = 0$的$x$值。

求函数的零点是许多数学问题中的基本任务。

求函数的零点方法很多，常见的包括二分法、牛顿法、割线法等。

下面以二分法为例来说明求函数零点的过程。

例题1：：已知函数$f(x) = \sin(x)$，求$f(x)$的零点。

解析过程如下：1. 首先确定一个区间$[a, b]$，使得$f(a)$和$f(b)$异号。

2. 将区间中点记作$c$，计算$f(c)$的值。

3. 如果$f(c)$为零，则$c$是$f(x)$的零点；否则，根据$f(c)$和$f(a)$（或$f(b)$）的符号确定新的区间。

4. 重复步骤2和3，直到找到一个足够接近零点的解。

2. 解析问题解析问题是指在数学运算中的一些特殊情况，如分母为零、根号内为负数等。

解析问题的存在可能导致函数无法取值或无法计算。

解析问题的判定和处理与具体的数学表达式有关。

以下是一些常见的例子：- 分母为零：当函数中出现分母为零的情况时，其解析问题是分母为零的$x$值，并且在该点处函数无法取值。

- 根号内为负数：当函数中出现根号内为负数的情况时，其解析问题是根号内为负数的$x$值，并且在该点处函数无法计算。

解析问题在数学问题的解决中需要注意，可以通过数值计算的方法来规避这些问题。

3. 例题分析例题2：：已知函数$f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$，求$f(x)$的定义域。

解析过程如下：由于分母为$x^2 - 4$，我们需要排除使分母为零的情况。

即解方程$x^2 - 4 = 0$，求得$x = \pm 2$。

因此，函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$。

以上是关于函数的零点与解析问题的简要分析和例题讲解。

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专题37 讨论函数零点或方程根的个数问题(解析版)

专题37 讨论函数零点或方程根的个数问题【方法总结】判断、证明或讨论函数零点个数的方法利用零点存在性定理求解函数热点问题的前提条件为函数图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0．①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f (a )·f (b )<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f (a )·f (b )<0．【例题选讲】[例1] 已知f (x )＝e －x (ax 2＋x ＋1)．当a >0时，试讨论方程f (x )＝1的解的个数．[破题思路] 讨论方程f (x )＝1的解的个数，想到f (x )－1的零点个数，给出f (x )的解析式，用f (x )＝1构造函数，转化为零点问题求解(或分离参数，结合图象求解)． [规范解答] 法一：分类讨论法方程f (x )＝1的解的个数即为函数h (x )＝e x －ax 2－x －1(a >0)的零点个数．而h ′(x )＝e x －2ax －1，设H (x )＝e x －2ax －1，则H ′(x )＝e x －2a ．令H ′(x )>0，解得x >ln 2a ；令H ′(x )<0，解得x <ln 2a ，所以h ′(x )在(－∞，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增．所以h ′(x )min ＝h ′(ln 2a )＝2a －2a ln 2a －1．设m ＝2a ，g (m )＝m －m ln m －1(m >0)，则g ′(m )＝1－(1＋ln m )＝－ln m ，令g ′(m )<0，得m >1；令g ′(m )>0，得0<m <1，所以g (m )在(1，＋∞)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以g (m )max ＝g (1)＝0，即h ′(x )min ≤0(当m ＝1即a ＝12时取等号)．①当a ＝12时，h ′(x )min ＝0，则h ′(x )≥0恒成立．所以h (x )在R 上单调递增，故此时h (x )只有一个零点．②当a >12时，ln 2a >0，h ′(x )min ＝h ′(ln 2a )<0，又h ′(x )在(－∞，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增，又h ′(0)＝0，则存在x 1>0使得h ′(x 1)＝0，这时h (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，x 1)上单调递减，在(x 1，＋∞)上单调递增．所以h (x 1)<h (0)＝0，又h (0)＝0，所以此时h (x )有两个零点． ③当0<a <12时，ln 2a <0，h ′(x )min ＝h ′(ln 2a )<0，又h ′(x )在(－∞，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增，又h ′(0)＝0，则存在x 2<0使得h ′(x 2)＝0．这时h (x )在(－∞，x 2)上单调递增，在(x 2，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以h (x 2)>h (0)＝0，h (0)＝0，所以此时f (x )有两个零点．综上，当a ＝12时，方程f (x )＝1只有一个解；当a ≠12且a >0时，方程f (x )＝1有两个解．法二：分离参数法方程f (x )＝1的解的个数即方程e x －ax 2－x －1＝0(a >0)的解的个数，方程可化为ax 2＝e x －x －1．当x ＝0时，方程为0＝e 0－0－1，显然成立，所以x ＝0为方程的解．当x ≠0时，分离参数可得a ＝e x －x －1x 2(x ≠0)．设函数p (x )＝e x －x －1x 2(x ≠0)，则p ′(x )＝(e x －x －1)′·x 2－(x 2)′·(e x －x －1)(x 2)2＝e x (x －2)＋x ＋2x 3．记q (x )＝e x (x －2)＋x ＋2，则q ′(x )＝e x (x －1)＋1．记t (x )＝q ′(x )＝e x (x －1)＋1，则t ′(x )＝x e x ．显然当x <0时，t ′(x )<0，函数t (x )单调递减；当x >0时，t ′(x )>0，函数t (x )单调递增．所以t (x )>t (0)＝e 0(0－1)＋1＝0，即q ′(x )>0，所以函数q (x )单调递增．而q (0)＝e 0(0－2)＋0＋2＝0，所以当x <0时，q (x )<0，即p ′(x )>0，函数p (x )单调递增；当x >0时，q (x )>0，即p ′(x )>0，函数p (x )单调递增．而当x →0时，p (x )→(e x －x －1)′(x 2)′ x →0＝e x －12x x →0＝(e x －1)′(2x )′ x →0＝e x 2 x →0＝12(洛必达法则)，当x →－∞时，p (x )→(e x －x －1)′(x 2)′ x →－∞＝e x －12x x →－∞＝0，故函数p (x )的图象如图所示．作出直线y ＝a ．显然，当a ＝12时，直线y ＝a 与函数p (x )的图象无交点，即方程e x －ax 2－x －1＝0只有一个解x ＝0；当a ≠12且a >0时，直线y ＝a 与函数p (x )的图象有一个交点(x 0，a )，即方程e x －ax 2－x －1＝0有两个解x ＝0或x ＝x 0．综上，当a ＝12时，方程f (x )＝1只有一个解；当a ≠12且a >0时，方程f (x )＝1有两个解．[注] 部分题型利用分离法处理时，会出现“00”型的代数式，这是大学数学中的不定式问题，解决这类问题有效的方法就是洛必达法则．法则1 若函数f (x )和g (x )满足下列条件：(1)li m x →a f (x )＝0及li m x →a g (x )＝0；(2)在点a 的去心邻域内，f (x )与g (x )可导且g ′(x )≠0；(3)li m x →a f ′(x )g ′(x )＝l ．那么li m x →af (x )g (x )＝li m x →a f ′(x )g ′(x )＝l ．法则2 若函数f (x )和g (x )满足下列条件：(1)li m x →a f (x )＝∞及li m x →a g (x )＝∞；(2)在点a 的去心邻域内，f (x )与g (x )可导且g ′(x )≠0；(3)li m x →a f ′(x )g ′(x )＝l ．那么li m x →af (x )g (x )＝li m x →a f ′(x )g ′(x )＝l ． [题后悟通] 对于已知参数的取值范围，讨论零点个数的情况，借助导数解决的办法有两个．(1)分离参数：得到参数与超越函数式相等的式子，借助导数分析函数的单调区间和极值，结合图形，由参数函数与超越函数的交点个数，易得交点个数的分类情况；(2)构造新函数：求导，用单调性判定函数的取值情况，再根据零点存在定理证明零点的存在性． [例2] 设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0．(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[规范解答] (1)函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)，得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx ．由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去)．f ′(x )与f (x )在区间(0，＋∞)上随x 的变化情况如下表：x (0，k ) k (k ，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )↘ k (1－ln k )2↗所以，f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)． f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2，无极大值． (2)由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2．因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e ，当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e]上单调递减且f (e)＝0，所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点；当k >e 时，f (x )在区间(1，e]上单调递减且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[例3] 已知函数f (x )＝a ln x ＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为－a .(1)求f (x )的单调区间； (2)讨论方程f (x )＝1根的个数．[规范解答] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －b －a ln xx 2，由f ′(1)＝a －b ＝－a ，得b ＝2a ，所以f (x )＝a (ln x ＋2)x ，f ′(x )＝－a (ln x ＋1)x 2.当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <1e ；由f ′(x )<0，得x >1e .当a <0时，由f ′(x )>0，得x >1e ；由f ′(x )<0，得0<x <1e.综上，当a >0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1e ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞；当a <0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e . (2)f (x )＝1，即方程a ln x ＋2a x ＝1，即方程1a ＝ln x ＋2x ，构造函数h (x )＝ln x ＋2x，则h ′(x )＝－1＋ln x x 2，令h ′(x )＝0，得x ＝1e ，且在⎝⎛⎭⎫0，1e 上h ′(x )>0，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上h ′(x )<0，即h (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递减，所以h (x )max ＝h ⎝⎛⎭⎫1e ＝e. 在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上，h (x )单调递减且h (x )＝ln x ＋2x >0，当x 无限增大时，h (x )无限接近0；在⎝⎛⎭⎫0，1e 上，h (x )单调递增且当x 无限接近0时，ln x ＋2负无限大，故h (x )负无限大．故当0<1a <e ，即a >1e 时，方程f (x )＝1有两个不等实根，当a ＝1e 时，方程f (x )＝1只有一个实根，当a <0时，方程f (x )＝1只有一个实根．综上可知，当a >1e 时，方程f (x )＝1有两个实根；当a <0或a ＝1e 时，方程f (x )＝1有一个实根；当0<a <1e 时，方程f (x )＝1无实根． [例4] 已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)若直线y ＝kx 与f (x )的反函数的图象相切，求实数k 的值； (2)若m <0，讨论函数g (x )＝f (x )＋mx 2零点的个数． [规范解答] (1)f (x )的反函数为y ＝ln x ，x >0，则y ′＝1x ．设切点为(x 0，ln x 0)，则切线斜率为k ＝1x 0＝ln x 0x 0，故x 0＝e ，k ＝1e.(2)函数g (x )＝f (x )＋mx 2的零点的个数即是方程f (x )＋mx 2＝0的实根的个数(当x ＝0时，方程无解)，等价于函数h (x )＝e xx 2(x ≠0)与函数y ＝－m 图象交点的个数．h ′(x )＝e x (x －2)x 3.当x ∈(－∞，0)时，h ′(x )>0，h (x )在(－∞，0)上单调递增；当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0，h (x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )在(2，＋∞)上单调递增．∴h (x )的大致图象如图：∴h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (2)＝e 24.∴当－m ∈⎝⎛⎭⎫0，e 24，即m ∈⎝⎛⎭⎫－e 24，0时，函数h (x )＝exx 2与函数y ＝－m 图象交点的个数为1；当－m ＝e 24，即m ＝－e 24时，函数h (x )＝e xx2与函数y ＝－m 图象交点的个数为2；当－m ∈⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞，即m ∈－∞，－e 24时，函数h (x )＝exx2与函数y ＝－m 图象交点的个数为3. 综上所述，当m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－e 24时，函数g (x )有三个零点；当m ＝－e24时，函数g (x )有两个零点；当m ∈－e 24，0时，函数g (x )有一个零点．[例5] 已知函数f (x )＝－x 3＋ax －14，g (x )＝e x －e(e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线与曲线y ＝g (x )在(0，g (0))处的切线互相垂直，求实数a 的值；(2)设函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )<g (x )，试讨论函数h (x )零点的个数．[规范解答] (1)f ′(x )＝－3x 2＋a ，g ′(x )＝e x ，所以f ′(0)＝a ，g ′(0)＝1，由题意，知a ＝－1． (2)易知函数g (x )＝e x －e 在R 上单调递增，仅在x ＝1处有一个零点，且x <1时，g (x )<0，又f ′(x )＝－3x 2＋a ，①当a ≤0时，f ′(x )≤0，f (x )在R 上单调递减，且过点⎝⎛⎭⎫0，－14，f (－1)＝34－a >0，即f (x )在x ≤0时必有一个零点，此时y ＝h (x )有两个零点； ②当a >0时，令f ′(x )＝－3x 2＋a ＝0，得两根为x 1＝－a3<0，x 2＝a3>0，则－a3是函数f (x )的一个极小值点，a3是函数f (x )的一个极大值点，而f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝－⎝⎛⎭⎫－a 33＋a ⎝⎛⎭⎫－a 3－14＝－2a 3a 3－14<0．现在讨论极大值的情况： f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－⎝⎛⎭⎫a 33＋a a 3－14＝2a 3a 3－14，当f ⎝⎛⎭⎫a 3<0，即a <34时，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上恒小于零，此时y ＝h (x )有两个零点；当f ⎝⎛⎭⎫a 3＝0，即a ＝34时，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有一个零点x 0＝a 3＝12，此时y ＝h (x )有三个零点；当f ⎝⎛⎭⎫a 3>0，即a >34时，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有两个零点，一个零点小于a3，一个零点大于a 3，若f (1)＝a －54<0，即a <54时，y ＝h (x )有四个零点；若f (1)＝a －54＝0，即a ＝54时，y ＝h (x )有三个零点；若f (1)＝a －54>0，即a >54时，y ＝h (x )有两个零点．综上所述：当a <34或a >54时，y ＝h (x )有两个零点；当a ＝34或a ＝54时，y ＝h (x )有三个零点；当34<a <54时，y ＝h (x )有四个零点．[例6] 已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋2)x ＋2ln x (a ∈R )．(1)若a ＝0，求证：f (x )<0； (2)讨论函数f (x )零点的个数．[破题思路] (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2ln x (x >0)，f ′(x )＝－2＋2x ＝2(1－x )x ，设g (x )＝1－x ，根据g (x )的正负可画出f (x )的图象如图(1)所示．(2)f ′(x )＝(x －1)(ax －2)x(x >0)，令g (x )＝(x －1)(ax －2)，当a ＝0时，由(1)知f (x )没有零点；当a >0时，画g (x )的正负图象时，需分2a ＝1，2a >1，2a <1三种情形进行讨论，再根据极值、端点走势可画出f (x )的图象，如图(2)(3)(4)所示；当a <0时，同理可得图(5)．综上，易得f (x )的零点个数．[规范解答] (1)当a ＝0时，f ′(x )＝－2＋2x ＝2(1－x )x，由f ′(x )＝0得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减．所以f (x )≤f (x )max ＝f (1)＝－2，即f (x )<0.(2)由题意知f ′(x )＝ax －(a ＋2)＋2x ＝ax 2－(a ＋2)x ＋2x ＝(x －1)(ax －2)x (x >0)，当a ＝0时，由第(1)问可得函数f (x )没有零点．当a >0时，①当2a＝1，即a ＝2时，f ′(x )≥0恒成立，仅当x ＝1时取等号，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝－12a －2＝－12×2－2<0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上有一个零点．②当2a >1，即0<a <2时，若0<x <1或x >2a ，则f ′(x )>0，f (x )在(0,1)和⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上单调递增；若1<x <2a ，则f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1，2a 上单调递减．又f (1)＝12a －(a ＋2)＋2ln 1＝－12a －2<0，则f ⎝⎛⎭⎫2a <f (1)<0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以函数f (x )仅有一个零点在区间⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上；③当0<2a <1，即a >2时，若0<x <2a 或x >1，则f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 和(1，＋∞)上单调递增；若2a<x <1，则f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫2a ，1上单调递减．因为a >2，所以f ⎝⎛⎭⎫2a ＝－2a －2＋2ln 2a <－2a －2＋2ln 1<0，又x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以函数f (x )仅有一个零点在区间(1，＋∞)上．当2a<0，即a <0时，若0<x <1，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上单调递增；若x >1，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减．当x →0时，f (x )→－∞，当x →＋∞时，f (x )→－∞，又f (1)＝12a －(a ＋2)＋2ln 1＝－12a －2＝－a －42.当f (1)＝－a －42>0，即a <－4时，函数f (x )有两个零点；当f (1)＝－a －42＝0，即a ＝－4时，函数f (x )有一个零点；当f (1)＝－a －42<0，即－4<a <0时，函数f (x )没有零点．综上，当a <－4时，函数f (x )有两个零点；当a ＝－4时，函数f (x )有一个零点；当－4<a ≤0时，函数f (x )没有零点；当a >0时，函数f (x )有一个零点．[题后悟通] 解决本题运用了分类、分层的思想方法，表面看起来非常繁杂．但若能用好“双图法”处理问题，可回避不等式f ′(x )>0与f ′(x )<0的求解，特别是含有参数的不等式求解，而从f ′(x )抽象出与其正负有关的函数g (x )，画图更方便，观察图形即可直观快速地得到f (x )的单调性，大大提高解题的效率．[对点训练]1．(2018·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝13x 3－a (x 2＋x ＋1)．(1)若a ＝3，求f (x )的单调区间； (2)证明：f (x )只有一个零点．1．解析 (1)当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2－3x －3，f ′(x )＝x 2－6x －3．令f ′(x )＝0解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3.当x ∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(3－23，3＋23)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)单调递增，在(3－23，3＋23)单调递减． (2)由于x 2＋x ＋1>0，所以f (x )＝0等价于x 3x 2＋x ＋1－3a ＝0.设g (x )＝x 3x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x )＝x 2（x 2＋2x ＋3）（x 2＋x ＋1）2≥0，仅当x ＝0时g ′(x )＝0，所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增．故g (x )至多有一个零点，从而f (x )至多有一个零点．又f (3a －1)＝－6a 2＋2a －13＝－6⎝⎛⎭⎫a －162－16<0，f (3a ＋1)＝13>0，故f (x )有一个零点．综上，f (x )只有一个零点．2．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝x ＋x ，其中e 是自然对数的底数，e ＝2.718 28…． (1)证明：函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间(1，2)上有零点； (2)求方程f (x )＝g (x )的根的个数，并说明理由． 2．解析 (1)由题意可得h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －1－x －x ，所以h (1)＝e －3＜0，h (2)＝e 2－3－2＞0，所以h (1)h (2)＜0，所以函数h (x )在区间(1，2)上有零点． (2)由(1)可知h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －1－x －x ．由g (x )＝x ＋x 知x ∈[0，＋∞)，而h (0)＝0，则x ＝0为h (x )的一个零点．又h (x )在(1，2)内有零点，因此h (x )在[0，＋∞)上至少有两个零点． h ′(x )＝e x －12x －12－1，记φ(x )＝e x －12x －12－1，则φ′(x )＝e x ＋14x －32．当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )＞0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，易知φ(x )在(0，＋∞)内只有一个零点，则h (x )在[0，＋∞)上有且只有两个零点，所以方程f (x )＝g (x )的根的个数为2． 3．设函数f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R ．(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数．3．解析 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ，则f ′(x )＝x －e x2，∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增，∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2．(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x >0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)．当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23．又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知，①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点．4．已知函数f (x )＝ln x ＋1ax －1a ，a ∈R 且a ≠0.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 时，试判断函数g (x )＝(ln x －1)e x＋x －m 的零点个数． 4．解析 (1)f ′(x )＝ax －1ax 2(x >0)，当a <0时，f ′(x )>0恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，由f ′(x )>0，得x >1a ；由f ′(x )<0，得0<x <1a ，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减．综上所述，当a <0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减． (2)∵当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 时，函数g (x )＝(ln x －1)e x ＋x －m 的零点，即当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 时，方程(ln x －1)e x ＋x ＝m 的根．令h (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，则h ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1x ＋ln x －1e x ＋1. 由(1)知当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋1x－1在⎝⎛⎭⎫1e ，1上单调递减，在(1，e)上单调递增，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 时，f (x )≥f (1)＝0．∴1x＋ln x －1≥0在x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒成立． ∴h ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1x ＋ln x －1e x ＋1≥0＋1>0，∴h (x )＝(ln x －1)e x ＋x 在x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递增． ∴h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫1e ＝－2e 1e＋1e，h (x )max ＝e. ∴当m <－2e 1e＋1e 或m >e 时，函数g (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上没有零点；当－2e 1e＋1e ≤m ≤e 时，函数g (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有且只有一个零点． 5．设函数f (x )＝e x －2a －ln(x ＋a )，a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)若a >0，且函数f (x )在区间[0，＋∞)内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若0<a <23，试判断函数f (x )的零点个数．5．解析 (1)∵函数f (x )在[0，＋∞)内单调递增，∴f ′(x )＝e x －1x ＋a ≥0在[0，＋∞)内恒成立．即a ≥e －x －x 在[0，＋∞)内恒成立．记g (x )＝e －x －x ，则g ′(x )＝－e －x －1<0恒成立，∴g (x )在区间[0，＋∞)内单调递减，∴g (x )≤g (0)＝1，∴a ≥1，即实数a 的取值范围为[1，＋∞)． (2)∵0<a <23，f ′(x )＝e x －1x ＋a (x >－a )，记h (x )＝f ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋1(x ＋a )2>0，知f ′(x )在区间()－a ，＋∞内单调递增．又∵f ′(0)＝1－1a <0，f ′(1)＝e －1a ＋1>0，∴f ′(x )在区间()－a ，＋∞内存在唯一的零点x 0，即f ′(x 0)＝0e x－1x 0＋a＝0，于是0e x＝1x 0＋a ，x 0＝－ln ()x 0＋a ．当－a <x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴f (x )min ＝f (x 0)＝0e x－2a －ln ()x 0＋a ＝1x 0＋a －2a ＋x 0＝x 0＋a ＋1x 0＋a－3a ≥2－3a ，当且仅当x 0＋a ＝1时，取等号．由0<a <23，得2－3a >0，∴f (x )min ＝f (x 0)>0，即函数f (x )没有零点．6．已知函数f (x )＝ln x －12ax 2(a ∈R )．(1)若f (x )在点(2，f (2))处的切线与直线2x ＋y ＋2＝0垂直，求实数a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)讨论函数f (x )在区间[1，e 2]上零点的个数．6．解析 (1)f (x )＝ln x －12ax 2的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax ＝1－ax 2x ，则f ′(2)＝1－4a 2．因为直线2x ＋y ＋2＝0的斜率为－2，所以(－2)×1－4a2＝－1，解得a ＝0．11 (2)f ′(x )＝1－ax 2x，x ∈(0，＋∞)，当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x >0得0<x <a a ；由f ′(x )<0得x >a a ，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a a ，＋∞上单调递减．综上所述：当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，a a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a a ，＋∞． (3)由(2)可知，(ⅰ)当a <0时，f (x )在[1，e 2]上单调递增，而f (1)＝－12a >0，故f (x )在[1，e 2]上没有零点． (ⅰ)当a ＝0时，f (x )在[1，e 2]上单调递增，而f (1)＝－12a ＝0，故f (x )在[1，e 2]上有一个零点． (ⅰ)当a >0时，①若a a≤1，即a ≥1时，f (x )在[1，e 2]上单调递减．因为f (1)＝－12a <0，所以f (x )在[1，e 2]上没有零点． ②若1<a a ≤e 2，即1e 4≤a <1时，f (x )在⎣⎡⎦⎤1，a a 上单调递增，在⎣⎡⎦⎤a a ，e 2上单调递减，而f (1)＝－12a <0，f ⎝⎛⎭⎫a a ＝－12ln a －12，f (e 2)＝2－12a e 4，若f ⎝⎛⎭⎫a a ＝－12ln a －12<0，即a >1e 时，f (x )在[1，e 2]上没有零点；若f ⎝⎛⎭⎫a a ＝－12ln a －12＝0，即a ＝1e 时，f (x )在[1，e 2]上有一个零点；若f ⎝⎛⎭⎫a a ＝－12ln a －12>0，即a <1e 时，由f (e 2)＝2－12a e 4>0，得a <4e 4，此时，f (x )在[1，e 2]上有一个零点；由f (e 2)＝2－12a e 4≤0，得a ≥4e4，此时，f (x )在[1，e 2]上有两个零点； ③若a a ≥e 2，即0<a ≤1e4时，f (x )在[1，e 2]上单调递增，因为f (1)＝－12a <0，f (e 2)＝2－12a e 4>0，所以f (x )在[1，e 2]上有一个零点．综上所述：当a <0或a >1e 时，f (x )在[1，e 2]上没有零点；当0≤a <4e 4或a ＝1e时，f (x )在[1，e 2]上有一个零点；当4e 4≤a <1e时，f (x )在[1，e 2]上有两个零点．。

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