案例3 养老金的谨慎供应

Case3 孟威曹赓时天卓徐绍珺

案例3 养老金的谨慎供应

普鲁登金融服务公司（PFS）管理的许多金融产品中有一只很受赞誉的养老基金，这些养老基金是很多公司用来为其雇员提供养老金的。PFS的管理层以其在基金运作中严格的专业标准而自豪。自从2001年下半年安然破产事件和随之而来的联邦政府和州政府对养对老基金运作的紧缩进规制，PFS已经加倍努力来谨慎管理基金。

现在是2002年的12月了，在接下去的10年是需要支付的总的养老基金如下表所示：

同样通过使用利息计算，PFS当前具备足够的流动资产来满足所有养老金支付。因此，为了使养老基金有安全保证，PFS希望投资在能够与未来10年中的养老金支付相匹配的项目。养老基金授权PFS的投资项目只能是资本市场基金和债券。资本市场基金获得每年固定的5%的利息收人，公司所考虑投资的四个债券的特征如下表所示：

所有的债券将可在2003年1月1日购买，可以购买任意数量单位。息票率是面值的一个比例，将在每年的1月1日付息，支付期为购买后的第一年到到期日不止（包括到期日）。因此这些每年1月1日的利息支付获得正好能够用来抵冲当年养老金的支付。所有多余的利息收入将存入资本市场基金。为了金融计划的保守起见，PFS假定所有的养老金支付在每年的年初，正好在利息收入（包括资本市场基金的利息入）获得之后。债券的面值也将在到期日获得。即然当前的债券价格低于面值，真正的债权的收益比息票率要高，债券3是一个零息票率的债券，所以每年得到的利息为0，但是到到期日获得的面值要远大于当年债券的购得价格。

PFS希望在2003年1月1日使用最小可能的投资（包括资本市场基金的存款）来应付到2012年为止的所有所需的养老金的支付。需要建立一些电子表格模型来实施分析。

a、形象化你所要完成的分析，哪些数值是PFS管理层所需要的？决策变量是什么？目标是什么？

b、假设PFS2003年1月1日将在资本市场基金投资2800万美元以及购买债券1和债券2各10000单位。计算2004年和2005年在债券1和债券2上可以获得的利息收入。计算每年存入资本市场基金后2003年、2004年、2005年1月1日相应的资金平衡表。

c、制作一个粗糙的电子表格模型的轮廓，在单元格中言放置数据单元，输出单元和目标单元。

d、为2003年到2005年建立一个电子表格模型，然后彻底的测试该模型。

e、扩展模型考虑到2012年为止的所有年份，求解该问题。

1.模型假设

a.我们假定资本市场基金比率保持5%不变

b.我们假定题目中所提到的4种债券的票息率保持所给值不变

2.问题简析

题目中假定“所有的养老金支付在每年的年初，正好在利息收入（包括资本市场基金的利息入）获得之后”以及“债券的面值也将在到期日获得”，据此，我们可以得到在每年（2004年后），支付养老金之后资本市场余额满足：

资本市场余额=

上一年余额*1.05+上年债券收入（包括利息及到期债券面值）-本年养老金支出问题要求我们：在2003年初进行一次性的最小投资，以期满足在未来的10年内每年初足以支付养老金。

因此，PFS需要知道四个债券中每个需要购买多少单位，在货币市场上需要投资多少，以及他们每年在养老金支付之后在资金货币市场上的最终平衡结果(balance)。

决策变量可以选为4种债券各购买多少单位和在货币市场投资钱数，以及每年在养老金支付之后在资金货币市场上的最终平衡结果，或者决策变量可以选为在4种债券和货币市场上分别的投资钱数，以及每年在养老金支付之后在资金货币市场上的最终平衡结果。

目标为初期投资最小。

下面，我们就前者按问题要求给出表格模型，最后，就后者建立线性规划模型予以检验。

3.模型建立与求解

a．如2种所述，PFS需要知道四个债券中每个需要购买多少单位，在货币市场上需要投资多少，以及他们每年在养老金支付之后在资金货币市场上的最终平衡结果。

目标为初期投资最小

b．当PFS2003年1月1日将在资本市场基金投资2800万美元以及购买债券1和债券2各10000单位时，注意到债券到期时间，有:

2004年债券1利息收入=10000*1000*0.04=0.4（百万）

2004年债券2利息收入=10000*1000*0.02=0.2（百万）

2005年债券1利息收入=0

2005年债券2利息收入=10000*1000*0.02=0.2（百万）

由2中建立的公式：

资本市场余额=

上一年余额*1.05+上年债券收入（包括利息及到期债券面值）-本年养老金支出

2003年资金平衡表=28-8=20（百万）

2004年资金平衡表=20*1.05+10.4+0.2-12=19.6（百万）

2005年资金平衡表=19.6*1.05+0.2-13=7.78（百万）

c．由以上分析，表格中应具有基金投资，初始债券投资，养老金开支，货币市场利息，货币市场平衡的现金流动情况，结果是每支基金要购买多少单位。

据此，在Excel中建立表格如下：

其中表格中蓝色区域（放置数据单元）中填入债券相关信息，进行规划运算后，最优值在红色区域（目标单元）显示，黄色区域（输出单元）为最优值对应的各个股票购买数。

d．当只考虑2003-2005年时，由c中表格，放入数据，计算如下

由表格，可知当购买债券1 23.44千单位时，初始投资最小为30.97百万，其中购买债券22.97百万美元，基金投资8百万美元。

e.扩展模型到2012年，类似d有

由表格，可以看出：在2003年初分别购买债券1、3、4 44.26、51.36、43.55千单位，基金投资8百万美元时，有最小初始投资124.74百万美元。

4. 问题扩展与检验

当我们以线性规划来解决该问题时，我们记 x i (i=1,2,3,4)为分别在债券1、2、3、4上投资的钱数(百万)，以x 5记在基金市场投资钱数（百万），以s i （i=1—10）记每年资金余额（百万），则规划问题为

min ∑x i 5i=1

s.t. s 1=x 5-8;

s 2=1.05* s 1+(52/49)* x 1+(1/46)* x 2+(3/80)* x 4-12; s 3=1.05* s 2+(1/46)* x 2+(3/80)* x 4-13; s 4=1.05* s 3+(51/46)* x 2+(3/80)* x 4-14; s 5=1.05* s 4+(3/80)* x 4-16;

s 6=1.05* s 5+(4/3)* x 3+(3/80)* x 4-17; s 7=1.05* s 66+(3/80)* x 4-20; s 8=1.05* s 7+(3/80)* x 4-21; s 9=1.05* s 8+(103/80)*x 4 -22; s 10=1.05*s 9-24; s i ≥0 i=1,2,……,10 x i ≥0 i=1,2,3,4,5

用Lingo 解之，结果如下