相似三角形的判定1
相似三角形的判定(一)
4、例2、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角 形和原三角形相似。
已知：在 RtΔABC 中， CD是斜边 AB上的高。 求证：ΔACD ∽ ΔABC ∽ ΔCBD 。 证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900， ∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似）。 同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。 ∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。 此结论可以称为“母子相似定理”,今 后可以直接使用. C D
；
战申?本届战申榜排位赛横空出世の鞠言战申?”祝桦老祖也知道鞠言の名字.“不是他还有谁?俺劝他不要进去,但他执意要进,俺也没办法.”倪炯老祖摇头说道.祝桦老祖也摇了摇头,顿了一下道：“倪炯道友,俺们也往前再看看吧！或许,还能看到鞠言战申.”就他们两个人目前所处の位置来说, 再接近禁区之地一些距离,也是比较安全の.总之,只要不踏入母体の感知范围,就没哪个大问题.“也好！鞠言战申进去,必定是要与子兽激战.俺,还没有亲眼看过鞠言战申の战斗能历,呐次正好能看看.”倪炯老祖点点头.呐两位老祖,随后也向着禁区之地又靠近了一些.不久之后,又陆续有几名混 元无上级善王来到禁区之地边缘.他们,都是得到了天庭の信息,然后打算趁着最后一点事间看一眼禁区之地.此事の鞠言,已经进入禁区之地の危险区域.在禁区之地の中心位置,有一大片红色の区域.呐片原本处于静态の红色区域,呐个事候突然剧烈の蠕动起来.与此同事,那连绵の巨大岩石下方, 开始有绿色、蓝色和黑色の身影钻出来.呐些颜色不同の身影,身形是长の,它们是趴在地上移动行走.若是靠近一些看,便可发现,呐是一种虫类凶兽,相貌极其丑陋邪恶.从岩石下钻出の虫子越来越多,它们发出尖利の名叫声,而后疯狂の移动起来.虫类凶兽,向鞠言所在の位置扑去.进入到危险区域 の鞠言,停住了脚步.他の眼睛,看到了一头头正在高速移动の凶兽.甚至,他已经能隐约の看到那在剧烈蠕动の一片红色.“那就是母兽吧！”鞠言望着红色,心中转念.鞠言手持冰炎剑,申历快速运转,微子世界の历量也处于蓄势之中.“数量好多！”鞠言也难免の脸色发生变化.看着一群群の绿色、 蓝色和黑色凶兽向自身扑来,恐怕任谁都无法保持淡定.“呐是虫类の凶兽?”“移动速度很快！”“呐凶兽叫声,居然还能影响修行者の申魂.”鞠言已经听到了虫类凶兽の名叫声.虫类凶兽の名叫声对于鞠言来说虽然也有些刺耳,觉得不太舒服,但无法真正威胁到鞠言の申魂体.鞠言の精申,能够 保持正常状态,就是说不会由于虫类凶兽の尖利叫声而影响实历发挥.三掌门第三零七陆章试试群杀第三零七陆章试试群杀(第一/一页)虫类凶兽の名叫声,类似于音波攻击,不过在呐界碑世界内,凶兽の声音全部都是通过道则传播.所以,其传播速度是瞬息而至の,几乎不需要事间.“按照倪炯老祖 所说,绿色の虫子对应の是一点黑月积分,所以绿色虫子凶兽实历应该最弱.”鞠言看着冲在前端の虫子,它们距离自身已经很近.“不过,呐绿色虫子凶兽の爬行速度,看起来倒是比蓝色虫子还要稍微快一些.”鞠言心中分析.入眼处,绿色虫子数量非常多,蓝色虫子凶兽数量相对少一些,至于黑色の 凶兽虫子就更少了,基本上一片区域内才有一头黑色虫子凶兽.“嘶嘶~嘶嘶~”一头绿色虫子凶兽,扑到了鞠言近前.鞠言抬手一剑,微子世界历量爆发出来,剑身轰在绿色虫子凶兽慢是黏液の身躯上.虫子凶兽发出更加尖锐の名叫声,身躯被击飞出去.然而,呐头绿色虫子凶兽摔落到地面后并未被击 杀,它身上の伤口正在快速愈合.“果然不容易杀！”“哪怕只是一点黑月积分の凶兽,也不好杀.方才俺全历释放微子世界历量,竟没能一剑将其杀死.”鞠言暗暗心惊の想着.倪炯老祖方才说过,呐样の子兽,要杀死也得耗费一番功夫.而且,便是绿色の虫子凶兽,其攻击历也能达到甚至超过其他の 拾分凶兽.虫子凶兽对应の黑月积分之所以少,原因在于防御之上.呐虫子凶兽の防御相比界碑世界内其他凶兽,要差很多,但相比外界の凶兽,虫子凶兽の防御和恢复能历仍然可怖.“鞠言战申还不跑?再不走,就来不及了！”祝桦老祖微微皱眉道.驻华老祖和倪炯老祖呐两人,正站在鞠言の后方,两 人处于母兽の感知界限处,他们能够看到鞠言の身影.“鞠言战申の黑月积分,距离进入榜单前拾差了不少,看来他还想在最后の事间里,冲刺一把.”倪炯老祖转目说道.“呐也太不要命了.”祝桦老祖摇摇头.为了点黑月积分,将性命都葬送,呐显然不值得.“再不从里面退出来,就真の来不及了.” 倪炯老祖凝声说道.禁区之地の子兽,已经快要对鞠言战申,呈现合围之势.鞠言现在想撤出来,都有些困难了,若是再耽误片刻,那就真の不可能再撤出.飞行逃离,同样不行！禁区之地の子兽,也具有短暂の飞行能历.“鞠言战申,速速从里面撤出来.”祝桦老祖大声对鞠言喊道.修行者在界碑世界,不 能调用世界内道则之历,所以祝桦老祖の声音,只能融入申魂历,呐样传递速度还能快一些.如果是普通の空气传播,那等声音传到鞠言耳中,怕黄花菜都要凉了.而融入申魂历の声音传递,在界碑世界内无法传出太远,只能在修行者申魂覆盖范围内传递.鞠言听到了祝桦老祖の声音,快速扭头看了一眼. 不过此事此刻,鞠言可没工夫回应祝桦老祖.“还不撤出！”“呐个年轻人,太疯狂了.”祝桦老祖摇头惋惜,也不多说了.“那不是鞠言战申吗?”陆续有一些进入界碑世界の修行者,也来到了祝桦老祖两人附近,他们看到了在危险区域の鞠言战申.“真是鞠言战申.”“他……居然进去了！疯了 吧?”“呐个不知死活の蠢货,死在呐里也好！”一道刺耳声音响起.其他诸人,都看向说呐句话の修行者.此人,正是红叶王国の尹红战申,他の黑月
相似三角形的判定1
；
/AG850COM AG 亚游
djm164zbg
儿女双全„„呵呵„„ “马大宝喝醉了酒忙把家还„„”一股酒气掺杂在寒风中迎面扑来，泥泞的小道上一个身影在晃动。 马天栓呀马天栓，你真不愧是马大宝的后代，酒鬼一个。结婚五六年了，还没有一男半女，整天好吃懒做，一无所成，你还算个男人嘛！ 我才不理你呢！躲过他的身影，一口气跑回了家。 院子里静悄悄的，一点声音也没有。从窗口射出的灯光映着地上一小片白雪，我这才感到雪越下越大了。 我轻轻地推开门，满屋的烟气扑鼻而来，定晴一看，堂屋里坐满了人，却死一般的寂静。陈旧的沙发上坐着我那年过花甲的父亲，他正在一口 一口地抽着烟，像是天要塌下来一样的烦心。 若不是遇到大事，父亲是不会这个样子的。 “六弟回来了。”五哥的话打破了屋子里的宁两年，他最了解和关心我。 我把兜挂到墙上的木橛上，走到坐在偏座上的母亲身边，“娘，这是怎么了？” “老六啊，娘跟你说过多少回，你又不是不知道，你媳妇最近要生孩子，你怎么一去就是十几天，你心里还有这个家吗？„„再说，这厂又不 是你自己的，你不就是一个小小的工人嘛，人家有头有脸的都在家里干什么，你知道吗？让你一个人给他们拼命，你得到什么好处了？„„” “娘，你怎么也„„” “什么也别说了，快到里间去看看她娘们，然后„„出来开家庭会。”父亲打断了我的话。 在我们这个二十多口人的家里，父亲的话就是圣旨。 走进里间，四嫂和五嫂都坐在床沿上，我的妻子肖燕盘坐在床上正在给孩子喂奶。 “你和孩子都好吗？我„„”我一时语塞，什么话也说不出来。刚才我对娘的话还有些不服，现在我才感到内心深处有一种说不出的内疚„„ 唉！哪有妻子生孩子，丈夫不在跟前的？我真是一个不称职的丈夫！ “那姊妹俩都好，就是这一个妮子身体弱„„也不肯吃奶，恐怕„„”妻子的话哽咽了，眼泪从她的眼角流出来，滴在襁褓中的婴儿的脸上。 我顺势望去，在四嫂和五嫂的背后，还有两个熟睡的婴儿！ 我的天哪，怪不得老厂长的表情怪怪的，父亲一口一口地抽烟，母亲一肚子的牢骚，还有妻子满脸的泪水„„ 一胞三胎，女孩，绝户头一个！
相似三角形的判定(解析版) (1)
4.4相似三角形的判定相似三角形的判定定理1.（一）相似三角形判定的预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2．判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.3．判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定定理3：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.一、单选题1．如图，AD ，BC 相交于点O ，由下列条件仍不能判定△AOB 与△DOC 相似的是（ ）A ．AB ∥CD B ．∠C ＝∠B C ．OA OBOD OC= D ．OA ABOD CD= 【解答】D【提示】本题中已知∠AOB ＝∠DOC 是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断． 【详解】解：A 、由AB ∥CD 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意． B 、由∠AOB ＝∠DOC 、∠C ＝∠B 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意．C 、由OA OBOD OC = 、∠AOB ＝∠DOC 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意． D 、已知两组对应边的比相等：OA ABOD CD = ，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB 与△DOC 相似，故本选项符合题意． 故选：DAB CDED EACB【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．2．如图，D 是ABC 的边BC 上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC 与△DBA 相似的是（ ）A ．C BAD ∠=∠B ．BAC BDA ∠=∠ C ．AC ADBC AB = D ．2AB BD BC =⋅【解答】C【提示】由相似三角形的判定定理即可得到答案．【详解】解：C BAD ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项A 不符合题意；BAC BDA ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项B 不符合题意；AC ADBC AB =，但无法确定ACB ∠与BAD ∠是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C 符合题意；2AB BD BC =⨯即AB BCBD AB =，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 3．下列各种图形中，有可能不相似的是（ ） A ．有一个角是45的两个等腰三角形 B ．有一个角是60的两个等腰三角形 C ．有一个角是110的两个等腰三角形 D ．两个等腰直角三角形【解答】A【提示】本题每一个选项都跟等腰三角形相似有关，注意的是一个角是一个角是45°，这个角可能是顶角或者底角，有一个角是60，这个三角形就是等边三角形，一个角是110，这个角一定是顶角，若是底角则不满足三角形内角和等于180°.等腰直角三角形的的底角是45°顶角是90°为固定值. 【详解】A ．各有一个角是45°的两个等腰三角形，有可能是一个为顶角，另一个为底角，此时不相似，故此选项符合题意；B ．各有一个角是60°的两个等腰三角形是等边三角形，两个等边三角形相似，故此选项不合题意；C ．各有一个角是110°的两个等腰三角形，此角必为顶角，则底角都为35°，则这两个三角形必相似，故此选项不合题意；D ．两个等腰直角三角形，底角是45°顶角是90°，为固定值，此三角形必相似，故此选项不合题意； 故选A ．【点睛】本题解题关键在于，找准一个角是45，60，110的等腰三角形有几种情况，再就是等腰直角三角形的每个角的角度是固定的.4．下列条件，能使ABC 和111A B C △相似的是（ ）A ．1111112.5,2,3;3,4,6AB BC AC A B B C AC ======B ．11111192,3,4;3,6,2AB BC AC A B B C AC ======C．11111110,8;AB BC AC A B BCAC =====D．1111111,3;AB BC AC A B BCAC ====【解答】B【提示】根据相似三角形的判定定理进行判断．【详解】解：A 、11112.55213642AB BC A B B C ==≠==，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； B 、11111123242933632AB BC AC A B A C B C =======，能使ABC ∆和△111A B C 相似，正确；C、1111AB BC A B B C ≠=，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； D、1111AB BC A C B C =≠=ABC ∆和△111A B C 相似，错误； 故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出三角形的对应边、对应角．5．下列能判定ABC DEF ∽△△的条件是( ) A ．AB AC DE DF = B ．AB ACDE DF =，A F ∠=∠ C ．AB AC DE DF =，B E ∠=∠ D ．AB ACDE DF =，A D ∠=∠ 【解答】D【提示】利用相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，逐项判断即可得出答案．【详解】解：A.AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项错误； B. AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项错误； C.AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项错误； D.AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项正确； 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，熟记定理内容是解此题的关键． 6．如图，要使ACD ABC △△∽，需要具备的条件是（ ）A ．AC ABAD BC = B ．CD BCAD AC = C ．2AC AD AB =⋅D ．2CD AD BD =⋅【解答】C【提示】题目中隐含条件∠A ＝∠A ，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件只能是AC ADAB AC =，根据比例性质即可推出答案． 【详解】解：∵在△ACD 和△ABC 中，∠A ＝∠A ，∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：AC ADAB AC =， ∴2AC AD AB ⋅＝ ． 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似． 7．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件不能满足△ADE ∽△ACB 的条件是（ ）A ．∠AED=∠B B ．AD AEAC AB = C ．AD·BC= DE·AC D ．DE//BC【解答】C【提示】根据相似三角形的判定定理去判断分析即可． 【详解】∵∠AED=∠B ，∠A=∠A ， ∴△ADE ∽△ACB ， 故A 不符合题意； ∵AD AEAC AB =，∠A=∠A ， ∴△ADE ∽△ACB ， 故B 不符合题意；∵AD·BC= DE·AC ，无夹角相等， ∴不能判定△ADE ∽△ACB ， 故C 符合题意； ∵DE//BC ， ∴△ADE ∽△ACB ， 故D 不符合题意； 故选C ．【点睛】本题考查了三角形相似的判定条件，熟练掌握判定三角形相似的基本方法是解题的关键． 8．如图，等边ABC 中，点E 是AB 的中点，点D 在AC 上，且2DC DA =，则（ ）A ．AED BED ∽△△ B ．AED CBD ∽△△ C ．AED ABD ∽△△ D ．BAD BCD ∽△△ 【解答】B【提示】由等边三角形的性质，中点的定义得到2BC AB AE ==，60A C ∠=∠=︒，结合2DC DA =，得到12AE AD CB CD ==，即可得到AED CBD ∽△△． 【详解】解：∵ABC 是等边三角形， ∴BC AB =，60A C ∠=∠=︒， ∵点E 是AB 的中点， ∴2BC AB AE ==， ∵2DC DA =， ∴12AE AD CB CD ==，∵60A C ∠=∠=︒，∴AED CBD ∽△△． 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定进行判断．9．如图，在ACB △中，90,ACB AF ∠=︒是BAC ∠的平分线，过点F 作FE AF ⊥，交AB 于点E ，交AC 的延长线于点D ，则下列说法正确的是（ ）A ．CDF EBF ∽B ．ADF ABF ∽C ．ADF CFD ∽D ．ACF AFE ∽【解答】D【提示】根据相似三角形的判定方法AA 解题． 【详解】解：EF AF ⊥90AFE ∴∠=︒90ACB AFE ∴∠=∠=︒AF 是BAC ∠的平分线，CAF FAE ∴∠=∠()ACFAFE AA ∴故选项D 符合题意，选项A 、B 、C 均不符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．10．如图，四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且将这个四边形分成四个三角形，若::OA OC OB OD =，则下列结论中正确的是（ ）A ．△AOB ∽△AOD B ．△AOD ∽△BOC C ．△AOB ∽△BOCD ．△AOB ∽△COD 【解答】D【提示】根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等，即可判断△AOB ∽△COD ． 【详解】解：∵四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ， ∴∠AOB=∠COD ， 在△AOB 和△COD 中， =OA OBOC OD AOB COD ⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩∴△AOB ∽△COD ． 故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握两边对应成比例且夹角相等则这两个三角形相似是解题的关键．二、填空题11．如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，请添加一个条件_________，使ADE ABC △△∽．【解答】∠ADE=∠B （答案不唯一）．【提示】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定． 【详解】解∶∵∠A=∠A ，∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B 或∠AED=∠C 证ADE ABC △△∽相似； 根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件AD AEAB AC =证ADE ABC △△∽相似． 故答案为∶∠ADE ＝∠B （答案不唯一）．【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 12．图，在ABC 中，AB AC >，点D 在AB 上（点D 与A ，B 不重合），若再增加一个条件就能使ACD ABC △∽△，则这个条件是________（写出一个条件即可）．【解答】ACD ABC ∠=∠（答案不唯一）【提示】两个三角形中如果有两组角对应相等，那么这两个三角形相似，据此添加条件即可． 【详解】解：添加ACD ABC ∠=∠，可以使两个三角形相似． ∵CAD BAC ∠=∠，ACD ABC ∠=∠， ∴ACD ABC △∽△．故答案为：ACD ABC ∠=∠（答案不唯一）【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，两组角对应相等的两个三角形相似．理解和掌握三角形相似的判定是解题的关键．13．如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：________________，使△ABC ∽△ADE ．【解答】∠C ＝∠E 或∠B ＝∠ADE(答案不唯一）【提示】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定． 【详解】∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2 ∴∠BAC ＝∠DAE又∵∠C ＝∠E （或∠B ＝∠ADE ） ∴△ABC ∽△ADE ．故答案为：∠C ＝∠E 或∠B ＝∠ADE （答案不唯一）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的几个判定定理是关键． 14．如图，在ABC 中，点D 为边AC 上的一点，选择下列条件：①2A ∠=∠；②1CBA ∠=∠；③BC CDAC AB =；④BC CD DB AC BC AB ==中的一个，不能得出ABC 和BCD △相似的是：__________（填序号）．【解答】③【提示】根据相似三角形的判定定理可得结论．【详解】解：①2A ∠=∠，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故①不符合题意； ②1CBA ∠=∠，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故②不符合题意； ③BC CDAC AB =，C C ∠=∠时，不能推出ABC BDC ∆∆∽，故③符合题意； ④BC CD DBAC BC AB ==，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故④不符合题意， 故答案为：③【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．15．如图，在ABC 中，DE BC ∥，DE 分别交AB 、AC 于点D 、E ，DC 、BE 交于点O ，则相似三角形有______．【解答】ADE∽ABC，DOE∽COB△【提示】根据DE BC∥，找出相等的角，进而得到相似三角形.【详解】解：∵DE BC∥，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴ADE∽ABC，∵DE BC∥，∴∠EDO＝∠BCO，∠DEO＝∠CBO，∴DOE∽COB△，故答案为ADE∽ABC，DOE∽COB△.【点睛】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.16．如图，在△ABC中，AB=10，AC=5，AD是角平分线，CE是高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，若DF=83，则线段CE的长是______．【解答】4【提示】延长AC，作DG⊥AC，根据根据角平分线的性质得到FD=GD，再根据三角形的面积公式即可求解.【详解】解：延长AC，作DG⊥AC，∵AD平方∠BAC，∴FD=DG，∴S△ABC= S△ABD+ S△ADC=12AB FD⨯⨯+12AC GD⨯⨯=12AB EC⨯⨯即111105883310222EC⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯ 解得EC=4.【点睛】本题考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等与三角形的面积公式. 17．如图，在ABC 中，8AB cm =，16BC cm =，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2/cm s ；动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4/cm s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么经过______秒时QBP △与ABC 相似．【解答】0.8或2##2或0.8【提示】设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似，则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：BP BQBA BC =时，BPQ BAC ∽，即824816t t -=；当BP BQ BCBA =时，BPQ BCA △∽△，即824168t t -=，然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似， 则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =, ∵PBQ ABC ∠=∠，∴当BP BQBA BC =时，BPQ BAC ∽， 即824816t t -=， 解得：2t =；当BP BQ BC BA =时，BPQ BCA △∽△，即824168t t-=， 解得：0.8t =；综上所述：经过0.8s 或2s 秒时，QBP △与ABC 相似，【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．18．如图，正方形ABCD 的边长为2，连接BD ，点P 是线段AD 延长线上的一个动点，45PBQ ∠=︒，点Q 是BQ 与线段CD 延长线的交点，当BD 平分PBQ ∠时，PD ______QD （填“>”“<”或“=”）：当BD 不平分PBQ ∠时，PD QD ⋅=__________.【解答】 = 8【提示】①先证明△ABP ≌△CBQ,再证明△QBD ≌△PBD,即可得出PD=QD;②证明△BQD ∽△PBD,即可利用对应边成比例求得PD·QD. 【详解】解:①当BD 平分∠PBQ 时， ∠PBQ=45°，∴∠QBD=∠PBD=22.5°， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠CBD=45°, ∴∠ABP=∠CBQ=22.5°+45°=67.5°， 在△ABP 和△CBQ 中，A C AB BCABP CBQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABP ≌△CBQ （ASA ）, ∴BP=BQ ，在△QBD 和△PBD 中，BQ BP QBD PBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBD ≌△PBD （SAS ）, ∴PD=QD;②当BD 不平分∠PBQ 时， ∵AB ∥CQ ， ∴∠ABQ=∠CQB ，∵∠QBD+∠DBP=∠QBD+∠ABQ=45°， ∴∠DBP=∠ABQ=∠CQB ，∵∠BDQ=∠ADQ+∠ADB=90°+45°=135°,∠BDP=∠CDP+∠BDC=90°+45°=135°, ∴∠BDQ=∠BDP, ∴△BQD ∽△PBD ，∴BD QDPD BD =,∴PD·QD=BD2=22+22=8， 故答案为:=，8.【点睛】本题考查三角形的全等和相似,关键在于熟悉基础知识,利用条件找到对应三角形.三、解答题19．已知：D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，AB ＝8，AD ＝3，AC ＝6，AE ＝4，求证：△ABC ∽△AED ．【解答】见解析【提示】根据已知线段长度求出AB ACAE AD =，再根据∠A=∠A 推出相似即可． 【详解】证明：在△ABC 和△AED 中， ∵824AB AE ==，623AC AD ==，∴AB ACAE AD =， 又∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△AED ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：有两边的对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．20．已知：在△ABC 和△A′B′C′中， AB BC ACA B B C A C '''='''=．求证：△ABC ∽△A′B′C′．【解答】证明见解析【提示】先在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，然后证明△ABC ∽△ADE ，再△ADE ≌△A′B′C′即可．【详解】在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE ． ∵AB ACA B A C =''''，AD=A′B′，AE=A′C′， ∴AB ACAD AE = 而∠BAC=∠DAE ，∴△ABC ∽△ADE （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． ∴AB BCAD DE = 又AB BCA B B C =''''，AD= A′B′， ∴ AB BCAD B C ='' ∴BC BCDE B C =''∴DE=B′C′，∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△ABC ∽△A′B′C′．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形相似，灵活运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，全等三角形的判定是解决本题的关键． 21．已知：如图，在ABC 和A B C '''中，,A A B B ∠=∠∠=∠''． 求证：ABC A B C '''∽△△．【解答】见解析【提示】在ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD A B =''，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F ，容易得到ADE ABC △△∽，然后证明ADE A B C '''≌，从而即可得到ABC A B C '''∽△△．【详解】证明：在ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD A B =''，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，则,ADE B AED C ∠=∠∠=∠，AD AEAB AC =（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）．过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F ，则AD CFAB CB =（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）． ∴AE CFAC CB =． ∵//,//DE BC DF AC ， ∴四边形DFCE 是平行四边形． ∴DE CF =．∴AEDEAC CB =． ∴ADAE DEAB AC BC ==．而,,ADE B DAE BAC AED C ∠=∠∠=∠∠=∠， ∴ADE ABC △△∽．∵,,A A ADE B B AD A B ∠=∠∠=∠=∠=''''， ∴ADE A B C '''≌． ∴ABC A B C '''∽△△．【点睛】本题是教材上相似三角形的判定定理的证明，熟读教材是解题的关键． 22．如图，Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的高．求证：（1）ACD ABC △∽△； （2）CBD ABC ∽△△． 【解答】（1）见解析；（2）见解析【提示】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可． （2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可． 【详解】证明：（1）∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠ADC ＝90°，∴∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∵∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC ．（2）∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠BDC ＝90°，∴∠BDC ＝∠ACB ＝90°， ∵∠B ＝∠B ， ∴△CBD ∽△ABC ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理；熟记有两组角对应相等的两个三角形相似是解决问题的关键．23．如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠ABC ＝∠DBE ，∠3＝∠4． 求证：（1）△ABD ∽△CBE ； （2）△ABC ∽△DBE ．【解答】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【提示】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△CBE；（2）先利用得到∠1=∠2得到∠ABC=∠DBE，再利用△ABD∽△CBE得AB BDBC BE=, 根据比例的性质得到AB BCBD BE=, 然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ABC与△DBE相似．【详解】（1）相似．理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4．∴△ABD∽△CBE；（2）相似．理由如下：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DBC=∠2+DBC，即∠ABC=∠DBE，∵△ABD∽△CBE，∴=，∴=，∴△ABC∽△DBE．【点睛】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题关键．24．已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：（1）△BAF∽△BCE．（2）△BEF∽△BCA．【解答】（1）答案见解析；（2）答案见解析【提示】（1）根据两角相等，两个三角形相似即可得出结论；（2）根据（1）得到△BAF ∽△BCE ，再由相似三角形的对应边成比例，得到BF ：BE=BA ：BC ，由两边对应成比例，夹角相等两个三角形相似，即可得出结论． 【详解】（1）∵AF ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠AFB=∠CEB=90°． ∵∠B=∠B ，∴△BAF ∽△BCE ；（2）∵△BAF ∽△BCE ，∴BF ：BE=BA ：BC ． ∵∠B=∠B ，∴△BEF ∽△BCA ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB BC ACAD DE AE ==，点B 、D 、E 在一条直线上，求证：△ABD ∽△ACE ．【解答】证明见解析；【提示】根据三边对应成比例的两个三角形相似可判定△ABC ∽△ADE ，根据相似三角形的性质可得∠BAC=∠DAE ，即可得∠BAD=∠CAE ，再由AB AC AD AE =可得AB ADAC AE =，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定△ABD ∽△ACE ．【详解】∵在△ABC 和△ADE 中，AB BC ACAD DE AE ==, ∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC=∠DAE ， ∴∠BAD=∠CAE ， ∵AB ACAD AE =， ∴AB ADAC AE =， ∴△ABD ∽△ACE ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定方法是解决本题的关键． 26．如图，△ABC 与 △ADE 中，∠ACB=∠AED=90°，连接BD 、CE ，∠EAC=∠DAB.（1）求证：△ABC ∽△ADE ； （2）求证：△BAD ∽△CAE ；（3）已知BC=4，AC=3，AE=32．将△AED 绕点A 旋转，当点E 落在线段CD 上时，求 BD 的长．【解答】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BD=53．【提示】（1）由已知可得∠CAB=∠EAD ，∠ACB=∠AED=90°，则结论得证； （2）由（1）知AC AEAB AD ＝，∠EAC=∠DAB ，则结论得证； （3）先证△ABC ∽△ADE ，求出AE 、AD 的长，则BD 可求． 【详解】证明：（1）∵∠EAC=∠DAB ， ∴∠CAB=∠EAD ， ∵∠ACB=∠AED=90°， ∴△ABC ∽△ADE ；（2）由（1）知△ABC ∽△ADE ， ∴AC AEAB AD ＝， ∵∠EAC=∠BAD ， ∴△BAD ∽△CAE ；（3）∵∠ACB=90°，BC=4，AC=3，∴2222=43BC AC ++，∵△ABC ∽△ADE ， ∴AC AB AE AD ＝， ∴AD=5=•2AB AE AC ， 如图，将△AED 绕点A 旋转，当点E 落在线段CD 上时，∠AEC=∠ADB=90°，∴222255=()=3225AB AD--【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．。
《相似三角形的判定(第1课时)》教案
相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定〔1〕【知识与技能】会说判定两个三角形相似的方法：两个角分别相等的两个三角形相似.会用这种方法判断两个三角形是否相似.【过程与方法】培养学生动手操作能力.【情感态度】在动手推演中感受几何的趣味性.【教学重点】相似三角形的判定定理1以及推导过程，并会用判定定理1来证明和计算.【教学难点】相似三角形的判定定理1的运用.一、情境导入，初步认识1.两个矩形一定会相似吗？为什么？2.如何判断两个三角形是否相似？根据定义：对应角相等，对应边成比例.△ABC与△A′B′C′会相似吗？为什么？是否存在判定两个三角形相似的简便方法？本节就是探索识别两个三角形相似的方法.二、思考探究，获取新知同学们观察你与你的同伴用的三角尺，及老师用的三角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样.这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索.〔1〕45°角的三角尺是等腰直角三角形，它们是相似的.〔2〕30°的三角尺，那么另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢？这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好似就会“相似〞.是这样吗？请同学们动手试一试：1.画两个三角形，使它们的三个角分别相等.画△ABC与△DEF，使∠A=∠D，∠B=∠E,∠C=∠F,在实际画图过程中，同学们画几个角相等？为什么？实际画图中，只画∠A=∠D,∠B=∠E,那么第三个角∠C与∠F一定会相等，这是根据三角形内角和为180°所确定的.2.用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例？与同伴交流，是否有相同结果.3.发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似.4.两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢？这是由于三角形具有它特殊的性质.三角形有稳定性，而四边形有不稳定性.于是我们得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说，两角对应相等，两三角形相似.同学们思考，能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢？例1 如图，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′，判断这两个三角形是否相似.解：相似，因为∠C=∠C′，∠A=∠A′，根据相似三角形的判定定理1可知△A′B′C′∽△ABC.例2 在△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′=50°，∠B=70°，∠B′=60°，这两个三角形相似吗?解：由三角形的内角和定理知∠C′=180°-∠A′-∠B′=180°-50°-60°=70°，∴∠C′=∠B,又∵∠A=∠A′，∴△ABC∽△A′C′B′.【教学说明】教师注意引导学生分析∠B不一定与∠B′对应.例3 如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB,试说明△ADE∽△EFC.证明：∵DE∥BC,∴∠AED=∠∵EF∥AB,∴∠CEF=∠A.∴△ADE∽△EFC三、运用新知，深化理解1.△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，找出图中所有的相似三角形.2.△ABC中，D是AB的边上一点，过点D作一直线与AC相交于E，要使△ADE与△ABC 会相似，你怎样画这条直线?说明理由.和你的同伴交流作法是否一样.【答案】1.△ACD∽△CBD∽△ABC①过D点作DE∥BC,DE交AC于点E②以AD为一边在△ABC内部作∠ADE=∠C,另一边DE交AC于点E.【教学说明】第2题注意分类讨论.四、师生互动，课堂小结这节课你学到哪些判定三角形相似的方法？还有什么疑惑？说说看.1.布置作业：从教材相应练习和“习题”中选取.“课时作业〞局部.本课时从学生所熟悉的特殊三角板入手，通过学生动手操作探究相似三角形的判定定理1，从中感受学习几何的乐趣，从而激发学生学习兴趣，培养学生的几何推理能力.。
相似三角形的判定
相似三角形的判定（一）一、判定（1）平行于三角形的一边的直线与两边相交，所截得的三角形与原三角形相似。
（2）平行于三角形一边的直线与另两边的延长线相交，所得的三角形与原三角形相似。
例一（1）如图，DE//BC,EF//AB,则图中有个相似三角形。
（2图中EF//GH//IJ∥BC，找出图中所有的相似三角形。
例二（1）如图，在∆ABC中，DE//BC,AD=EC,BD=1,AE=4,BC=5,则DE= 。
（2）如图，在∆ABC中，∠ACB的平分线交AB于D，DE//AC交BC于E，若AC=9，CE=3，则BE= 。
例三(1)如图，平行四边形ABCD中，E是BC边上的点，AE交BD于点F，如果BE:BC=2:3,求BF:FD。
(2)如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,EF交AC于G,那么AG:GC的值是多少？（3）如图，已知AB//EF//CD，且AB=3，CD=2，求EF的值相似三角形的判定（二）一、如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
二、如果两个三角形中两组对应边的比相等，并且它们的夹角也相等，那么这两个三角形相似。
例一：如图，E是平行四边形ＡＢＣＤ的对角线ＢＤ上一点，且,且AB/AE=AC/AD.∠1=∠2,求证:∠ABC=∠AED。
例二：如图，在等边∆ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AD/AC=⅓,AE=BE,则有（）A、∆ADE∽∆BEDB、∆AED∽∆CBDC、∆AED∽∆ABDD、∆BAD∽∆BCD例三:(1)如图，点D是△ABC内一点，连结BD并延长到E，连结AD、AE，若∠BAD＝20°，AB /AD=BC/DE=AC/AE ，则∠EAC＝。
(2)如图，在正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD上一点，且BP：CP=3:1，Q是CD的中点，求证：（1）∆ADQ∽∆QCP；（2）∆APQ∽∆QPC。
相似三角形的判定（三）如果两个三角形有两组对应角相等，那么这两个三角形相似。
经典：相似三角形判定复习(一)
Rt△ABC∽Rt△A'B'C' A
B'
C
B
二、例题欣赏
例1．已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点， 连结C P ， (1)∠ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC? (2)AC∶AP满足什么条件时,△ACP∽△ABC?
解：(1)∵∠A＝∠A ∴ 当∠ACP＝∠B时, △ACP∽△ABC.
M为斜边BC中点
又 ∵ ∠DMA=
∴AM=BM=BC/2
∠AME
∴ ∠B= ∠MAD 又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90°
∴△MAD∽ △MEA ② ∵ △MAD∽ △MEA
∠E+ ∠ADE= 90° ∠BDM= ∠ADE
AM ME ∴ MD =AM
即AM2=MD·ME
3. 如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，
AA'BB'BB'CC'CC'AA'△ABC∽△A'B'C'
思考： 对于两个直角三角形，我们还
可以用“HL”判定它们全等。那么， 满足斜边的比等于一组直角边的比 的两个直角三角形相似吗？
直角三角形相似的判定:
直角边和斜边的比相等，两直角 A' 三角形相似。
∠C=∠C' =90o
C'
AC = A B A'C' A ' B '
∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD·AB.
A
2.△ABC中,∠ BAC是直角，过斜
D
B
E
边中点M而垂直于斜边BC的直线
交CA的延长线于E，交AB于D,连AM. D A
相似三角形判定1-学生版
基本内容相似三角形的判定（一）知识精要1、相似三角形：若一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．即：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边．2、相似比：两个相似三角形对应边的比k，叫做这两个相似三角形的相似比（相似系数）．如：若△DEF与△ABC相似，则AB BC AC DE EF DF==．3、相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础．4、三角形相似的判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两三角形相似．三角形相似的判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．热身练习1、在△ABC中，E、F分别在AC、AB上，且AF AB AE AC⋅=⋅，则下列各式中正确的是（）A．EF AFAC BC=；B．AF BCAE AB=；C．EF AEBC AC=；D．BC ABEF AE=．2、BD、CE是△ABC的两条高，BD、CE相交于点O．下列结论中不正确的是（）A．△ADE∽△ABC；B．△DOE∽△COB；C．△BOE∽△COD；D．△BOE∽△BDE．3、下列各组有可能不相似的是（）A ．各有一个角是45︒的两个等腰三角形；B ．各有一个角是60︒的两个等腰三角形；C ．各有一个角是105︒的两个等腰三角形；D ．两个等腰直角三角形．4、在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，CD ⊥AB ，垂足D 在斜边AB 上，则下列四个结论中正确的是（ ）①2AC AD AB =⋅； ②2BC BD AB =⋅； ③2CD AD BD =⋅； ④AC BC AB CD ⋅=⋅． A ．①②④； B ．②③④； C ．①③④； D ．①②③④．5、已知点P 是△ABC 的边BC 的中点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与原三角形相似，那么这样的直线最多有（ ）条A ．5；B ．4；C ．3；D ．2．精解名题例1、已知在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，DE ∥BC ，DE 交AC 于点E ， △ADE 与△ABC 有什么关系？例2、根据下列条件，判断△ABC 与△'''A B C 是否相似，并说明理由：（1）120A ∠=︒，7AB =cm ，14AC =cm ； '120A ∠=︒，''3A B =cm ，''6A C =cm ． （2）4AB =cm ，6BC =cm ，8AC =cm ； ''12A B =cm ，''18B C =cm ，''21A C =cm ．例3、四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，1OA =，1.5OB =，3OC =，2OD =，求证：△OAD 与△OBC 是相似三角形．备选例题GF E DCBA例1、点D 是△ABC 的边AB 上的一点，且2AC AD AB =⋅，求证：△ACD ∽△ABC ．例2、如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起， A 为公共顶点，90BAC AGF ∠=∠=︒， 它们的斜边长为2， 若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），设BE m =，CD n =．（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． （2）求m 与n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围．（3）以△ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC 上找一点D ，使BD CE =，求出D 点的坐标，并通过计算验证222BD CE DE +=．（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系222BD CE DE +=是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．巩固练习1、下列命题中，不正确的是（ ）Gy xOFE DCBAA ．如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形全等；B ．等腰直角三角形都是相似三角形；C ．有一个角为60︒的两个等腰三角形相似；D ．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似． 2、下列结论中，不正确的是（ ）A ．有一个角相等，有两条边对应成比例的两个三角形相似；B ．顺次连结三角形各边中点所得的三角形与原三角形相似；C ．如果三角形两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似；D ．两条边长分别是7、4和14、8的两个直角三角形相似． 3、△ABC ∽△'''A B C 且相似比为13错误!未找到引用源。
《相似三角形的判定(1)》教学设计
《相似三角形的判定（1）》教学设计作者：刘艳菊来源：《学校教育研究》2017年第13期一、教材分析本节学习内容是《相似三角形的判定》，它是在学生学习了全等三角形的性质和判定方法和相似三角形的概念基础上，通过类比的方法进一步研究三角形相似的条件，同时本节内容也是研究其他判定定理的基础。
二、教学目标知识与技能：1.初步掌握两角对应相等的两个三角形相似的判定方法，并且能够运用它们进行简单的证明及计算2.通过习题的引申练习，培养学生解决问题的能力过程与方法：经历相似三角形与全等三角形的类比过程，进一步体验类比思想、特殊与一般的辨证思想情感态度与价值观：积极参与数学活动，体验数学活动充满探索与创造，形成实事求是的态度及独立思考的习惯三、教学重点及难点重点相似三角形判定定理（1）难点能正确运用判定定理（1）解决数学问题。
四、教学方法与手段1.教学方法：直观演示验证法自主、合作、探究式2.教学手段：借助于多媒体课件演示及学生动手操作确认发现新知。
五、教学过程【创设情提出问题境】（学生回答）【板书课题】《相似三角形的判定（1）》【自主探究，感受新知】（1、学生亲手实践2、学生理解3、边听讲边思考）1.教师活动：一个角对应相等的两个三角形是否一定相似？学生活动：画图试试看（每人画一个∆ABC，使得∠BAC=60°，看所画的三角形是否相似。
）2.教师活动：两个角对应相等的两个三角形相似吗？学生活动：完成课本40页实验与探究。
3.教师活动如果两个三角形有若干个角对应相等，那么至少有几个角对应相等就能保证这两个三角形相似？学生活动：小组合作交流，共同探究，得出结论【挑战自我】.完成课本41页挑战自我，写出解答过程。
【课时小结】教师活动通过这节课的学习，你能获得哪些收获？也可以对本堂课进行质疑。
学生活动分小组交流后个别回答，使知识系统化（1）知识上的收获（2）数学思想方法的领悟（3）能力上的提高（4）谈谈学习过程的体验和感受【当堂测试】学生活动1.判断题：（1）两个顶角相等的等腰三角形是相似的三角形. （）（2）两个等腰直角三角形是相似三角形. （）（3）底角相等的两个等腰三角形是相似三角形. （）（4）两个直角三角形一定是相似三角形. （）（5）一个钝角三角形和一个锐角三角形有可能相似. （）（6）有一个角相等的两个直角三角形是相似三角形. （）（7）有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形. （）（8）连接三角形的三边中点所围成的三角形与原三角形相似.（）（9）所有的正三角形都相似. （）（10）两个等腰三角形只要有一个角对应相等就相似. （）2.填空：（填上“不”、“不一定”或“一定” ）两个等腰三角形都有一个角为45°，这两个等腰三角形_______相似；如果都有一个角为95°，这两个等腰三角形_______相似.3.已知△ABC如右图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（）4.小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE和BC是两根互相平行的固定架，DE=10m，BC=18m，小明从底部固定点B开始攀登，攀行8m，遇上第二个固定点D，小明再攀行多少米就可以到达这个攀登架的顶部A？【教学反思】本节课主要是探究两个三角形相似的判定方法，因此在教学设计中突出了探究的过程，从而给学生以深刻的数学学习体验。
相似三角形的判定(1)
1、相似三角形的定义是什么？
如果两个三角形的三条边都成比例,三个 角对应相等,那么这两个三角形相似 A 在△ABC与△A'B’C’中 A’ AB BC AC / / / / k C’ A/ B / BC AC
C
B’
A A, B B, C C
记作△ABC∽△A/B/C/
解： 与△ABC相似的三角形有3个:
A G D O B E C
△AＤＥ
△ＧＦＣ △ＧＯＥ
F
E
解: (1) ∵
DE ∥ BC △ADE∽△ABC ∠AED=∠C=400.
A
D
B
在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950.
（2）∵
△ADE∽△ABC AE DE 50 DE ,即 . AC BC 50 30 70 50 70 所以, DE 43.75( cm ). 50 30
D (1)议一议:这两个三角形的三个内角是否对应相等 ?
(2)量一量这两个三角形的边长,它们是否对应 成比例?
A
D
E C
B
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交 （或两边的延长线相交 ) 所构成的三角形与原 三角形相似.
数学语言: 在△ADE与△ABC中 ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
A
D A E
D
B
E C
B
（图2） “X” 型 C
“A”型
（图1）
１．任意画一个三角形,再画一个三角形, 使它的各边长都是原三角形各边长的k倍,
２．度量这两个三角形的对应角,它们相等吗? 与邻座交流一下,看一看是否有同样的结论.
３．这两个三角形相似吗?
相似三角形的判定方法
(一)类似三角形1.界说：对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做类似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等,且三条对应边的比相等时,这两个(或几个)三角形叫做类似三角形,即界说中的两个前提,缺一不成;②类似三角形的特点：外形一样,但大小不必定相等;③类似三角形的界说,可得类似三角形的基赋性质：对应角相等,对应边成比例．2.类似三角形对应边的比叫做类似比．①全等三角形必定是类似三角形,其类似比k=1．所以全等三角形是类似三角形的特例．其差别在于全等请求对应边相等,而类似请求对应边成比例．②类似比具有次序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比,即类似比为k,则△A′B′C′∽△ABC的类似比,当它们全等时,才有k=k′=1．③类似比是一个主要概念,后继进修时消失的频率较高,其本质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助类似三角形可不雅察得出．3.假如两个边数雷同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做类似多边形．4.类似三角形的准备定理：平行于三角形的一条边直线,截其它双方地点的直线,截得的三角形与原三角形类似．①定理的根本图形有三种情形,如图其符号说话：∵DE ∥BC,∴△ABC ∽△ADE;（双A型）②这个定理是用类似三角形界说推导出来的三角形类似的剖断定理．它不单本身有着普遍的应用,同时也是证实类似三角形三个剖断定理的基本,故把它称为“准备定理”;③有了准备定理后,在解题时不单要想到 “见平行,想比例”,还要想到“见平行,想类似”．(二)类似三角形的剖断1.类似三角形的剖断：剖断定理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形类似.可简略说成：两角对应相等,两三角形类似.例1.已知：如图,∠1=∠2=∠3,求证：△ABC ∽△ADE ．例2.如图,E.F 分离是△ABC 的边BC 上的点,DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.剖断定理2：假如三角形的两组对应边的比相等,并且响应的夹角相等,那么这两个三角形类似. AB CD E F 第4简略说成：双方对应成比例且夹角相等,两三角形类似．例1.△ABC中,点D在AB上,假如AC2=AD•AB,那么△ACD与△ABC类似吗？说说你的来由．例2.如图,点C.D在线段AB上,△PCD是等边三角形.（1）当AC.CD.DB知足如何的关系时,△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.剖断定理3：假如三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形类似.简略说成：三边对应成比例,两三角形类似．强调：①有平行线时,用准备定理;②已有一对对应角相等(包含隐含的公共角或对顶角)时,可斟酌应用剖断定理1或剖断定理2;③已有双方对应成比例时,可斟酌应用剖断定理2或剖断定理3．但是,在选择应用剖断定理2时,一对对应角相等必须是成比例双方的夹角对应相等．2.直角三角形类似的剖断：斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形类似．例1.已知：如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP＝3PC,Q 是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．例 2.如图,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P点在BD上由B点向D点活动时,PB的长知足什么前提,可以使图中的两个三角形类似?请解释来由.例3.如图AD⊥AB于D,CE⊥AB于E交AB于F,则图中类似三角形的对数有对.例 4.已知：AD是Rt△ABC中∠A的等分线,∠C=90°,EF是AD的垂直等分线交AD于M,EF.BC的延伸线交于一点N.求证：(1)△AME∽△NMD(2)ND2=NC·NB①因为直角三角形有一个角为直角,是以,在剖断两个直角三角形类似时,只需再找一对对应角相等,用剖断定理1,或两条直角边对应成比例,用剖断定理2,一般不必剖断定理3剖断两个直角三角形类似;②如图是一个十分主要的类似三角形的根本图形,图中的三角形,可称为“母子类似三角形”,其应用较为普遍．（直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形类似）③如图,可简略记为：在Rt△ABC中,CD⊥AB,则△ABC∽△CBD ∽△ACD．④填补射影定理.特别情形：第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形类似.第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形类似.第三：有一个锐角相等的两个直角三角形类似.第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形类似.第五：假如一个三角形的双方和个中一边上的中线与另一个三角形的双方和个中一边上的中线对应成比例,那么这两个三角形类似.三角形类似的剖断办法与全等的剖断办法的接洽列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的剖断SAS SSS AAS（ASA）HL类似三角形的剖断双方对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例二.重点难点疑点冲破1.查找类似三角形对应元素的办法与技能准确查找类似三角形的对应元素是剖析与解决类似三角形问题的一项根本功．平日有以下几种办法：(1)类似三角形有公共角或对顶角时,公共角或对顶角是最显著的对应角;类似三角形中最大的角(或最小的角)必定是对应角;类似三角形中,一对相等的角是对应角,对应角所对的边是对应边,对应角的夹边是对应边;(2)类似三角形中,一对最长的边(或最短的边)必定是对应边;对应边所对的角是对应角;对应边所夹的角是对应角．（3）对应字母要写在对应的地位上,可直接得出对应边,对应角.2.罕有的类似三角形的根本图形：进修三角形类似的剖断,要与三角形全等的剖断比拟较,把证实三角形全等的思惟办法迁徙到类似三角形中来;对一些消失频率较高的图形,要擅长归纳和记忆;对类似三角形的剖断思绪要擅长总结,形成一整套完全的剖断办法．如：(1)“平行线型”类似三角形,根本图形见前图．“见平行,想类似”是解这类题的根本思绪;(2)“订交线型”类似三角形,如上图．个中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角,找另一对等角或夹等角的双方成比例”是解这类题的根本思绪;(3)“扭转型”类似三角形,如图．若图中∠1=∠2,∠B=∠D(或∠C=∠E),则△ADE∽△ABC,该图可算作把第一个图中的△ADE 绕点A扭转某一角度而形成的．从根本图形入手能较顺遂地找到解决问题的思绪和办法,能帮忙我们尽快地找到添加的帮助线．以上“平行线型”是罕有的,这类类似三角形的对应元素有较显著的次序,“订交线型”识图较艰苦,解题时要留意从庞杂图形平分化或添加帮助线结构出根本图形．演习：1.如图,下列每个图形中,存不消失类似的三角形,假如消失,把它们用字母暗示出来,并扼要解释识此外依据.2.如图27-2-1-12,在大小为4×4的正方形方格中,△ABC的极点A,B,C在单位正方形的极点上,请在图中画一个△A1B1C1,使△A1B1C1∽△ABC(类似比不为1),且点A1,B1,C1都在单位正方形的极点上.图27-2-1-121.查找类似三角形的个数例 1.(吉林)将两块完全雷同的等腰直角三角形摆成如图的样子,假设图形中所有点.线都在统一平面内,答复下列问题：(1)图中共有若干个三角形？把它们一一写出来;(2)图中有类似(不包含全等)三角形吗？假如有,就把它们一一写出来．如图,△ABC 中,点D.E 分离在边AB.AC 上,衔接并延伸DE 交BC 的延伸线于点F,衔接DC.BE,若∠BDE ＋∠BCE ＝180°.⑴写出图中3对类似三角形（留意：不得添加字母和线）⑵请在你所找出的类似三角形中拔取1对,解释它们类似的来由.1.如图,在正方形网格上有6个三角形：①ABC ∆,②BCD ∆,③BDE ∆,④BFG ∆,⑤FGH ∆,⑥EFK ∆,个中②-⑥中与①类似的是.2.画相符请求的类似三角形例1.(上海)在大小为4×4的正方形方格中,△ABC 的极点A.B.C 在单位正方形的极点上,请在图中画出一个△A 1B 1C 1,使得△A 1B 1C 1∽△ABC(类似比不为1),且点A 1.B 1.C 1都在单位正方形的极点上．3.类似三角形的剖断例1.(1)如图,O 是△ABC 内任一点,D.E.F 分离是OA.OB.OC 的中点,FE D B A C求证：△DEF ∽△ABC;(2)如图,正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,DF=3CF,写出图中所有类似三角形,并证实．例2.如图,在△ABC 中,DF 经由△ABC 的重心G,且DF∥AB,DE∥AC,衔接EF,假如BC=5,AC=2AB.求证:△DEF∽△ABC4.直角三角形中类似的剖断例1.如图,△ABC 中,∠BAC =90°,AD ⊥BC 于D ,DE 为AC 的中线,延伸线交AB 的延伸于F ,求证：AB ·AF=AC ·DF .例2.已知：如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,E 是AC 上一点,CF ⊥BE 于F.求证：EB ·DF=AE ·DB5.类似三角形的分解应用例1.如图,CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线,过点D 垂直于AB 的直线交BC 于E,交AC 延伸线于F ．求证：(1)△ADF ∽△EDB;(2)CD 2=DE·DF．例 2.如图,AD 是△ABC 的角等分线,BE ⊥AD 于E,CF ⊥AD 于F ． 求证：． 例3.如图,在正方形ABCD 中,M.N 分离是AB.BC 上的点,BM=BN,BP ⊥MC 于点P ．求证： PN ⊥PD ．6.类似三角形中帮助线的添加（1）.作垂线C B AF ED G3.如图从 ABCD极点C向AB和AD的延伸线引垂线CE和CF,垂足分离为E.F,（2）.作延伸线例1. 如图中,CD为斜边AB上的高,E为CD的中点,AE 的延伸线交BC于于G,求证：（3）.作中线例1. 如图,AB⊥AC,AE⊥BC于E,D在AC边上,若BD=DC=EC=1,求AC.演习：是AB上一点,Q是PC上一点（不是中点）,MN过Q且MN⊥CP,交AC.BC于M.N,求证：2.. 来由？3.(2009年湖北武汉)如图1,,（1（2,如图2,;（3,BBA ACEDDECOF图1 图2F。
相似三角形的判定一
ABC DEF相似三角形的判定(一)掌握相似三角形的判定方法：1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
2、如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
3、如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
4、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 重点难点:相似三角形判定条件 【知识点回顾】 相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
即：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
即：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例1、△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD •AB ，那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由．例2、如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形。
（1）当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时，△ACP ∽△PDB ？ （2）当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB 的度数。
判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．不相似，请说明理由。
，求出相似比；如果它们相似吗？如果相似，和如图在正方形网格上有222111A C B A C B ∆∆例1、如图，方格纸上的每个小正方形的边长都为1，下列图中的三角形与右图中的△ABC 相似的是（）。
例2、如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=3，CD=6，AC=4，DA=8.AC平分∠BAD 吗？为什么？例3、方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点之间的连线为边的三角形叫做格点三角形。
相似三角形的判定(第一课时)1
∵ AD=DB=
1
2AB
∴AD=EF
又∠A=∠1，∠2=∠C
D
BFΒιβλιοθήκη ∴△ADE≌△EFC1
∴AE=EC= 2AC1 DE=FC=BF= 2BC
这样我们证明了△ADE和 △ABC的对应角相等,对应 边的比相等,所以1 它们相似,
相似比2为
A
2E
1
C
3
改变点D在AB上的位置，继续观察图形，容易进一步猜想△ADE与 △ABC有什么关系？
什∴么△关A系′B?′C′∽△ABC
2
如图, △ABC中， D,是AB边的中点，DE∥BC， DE 交BC于点E， △ADE与△ABC有什么关系？
分析： 在△ADE和△ABC中， ∠A=∠A
∵ DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
过点Ｅ作EF∥AB,EF交BC于点Ｆ,
在 BFED中,DE= BF,DB=EF.
等于k吗?另外两组对应角∠B′与
∠B, ∠C′与∠C是否相等?
A
A′ B′
C
C′
三角形相似的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等,
并且相应的夹角相等,那么这两个三角形
相似．
AB AC
k
A/ B/ A/C /
ΔABC∽ΔA/B/C/
∠A′=∠A,
7
(第一课时)
如图,在方格纸内先任
A
意画一对个应△角A相BC等,然,对后画
△应AB边C成经比某一例相的似两变个换
(后AA如三三几′,,B得B放,角角′C到何,大C,形顶△形′或分语点A,缩叫别.′言B在小对做′C格:若应′相(点点干点似上倍).)注相 母B似 写意时 在:在对,一表应般示的对三位应角置的形B上字′ .
相似三角形的判定1(定)
相似三角形的判定（一）学习目标：1．经历“有两个角对应相等的两个三角形相似”及其推论的探索过程. 2．能运用“有两个角对应相等”及其推论的判定两个三角形相似. 3．发展同学们合情推理与数学说理能力。
学习过程：一、创设情境，引入新课：问题：如果两个三角形的对应边 ，对应角 ，那么这两个三角形相似。
结合我们学习全等三角形的判定，是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？如果有，包括哪几种情况？写下来：二、合作交流，探究新知： 探究一：相似三角形的判定方法1（1）请同学们观察你与同伴的直角三角尺，同样角度的三角尺是否相似？你能提出什么猜想？（2）由此我们发现：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么 。
（3）如果两个三角形的两对角分别对应相等，这两个三角形是否相似？为什么？归纳：由此我们得到判定两个三角形相似的方法1： 。
∴ 如图，∵∠A ＝∠A ′,∠B ＝∠B ′∴△ABC ∽△A ′B ′C ′（4）独立思考：如果两个三角形仅有一对角对应相等，它们是否一定相似？举反例说明。
探究二：如图甲与图乙，若DE ∥BC,则△ADE 与△ABC 有什么关系，你能写出证明过程吗？归纳：由此我们得到判定两个三角形相似的方法1的推论： 平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．∵AC ∥DB ∴△ADE ∽△ABC 探究三：ABCA ′B ′C ′A BCDE 图甲ABCDE图乙除了以上常见的基本图形外，能利用本节判定方法的基本图形如下 （1）如图1,若∠AED ＝∠B,则△ADE ∽△ACB ； （2）如图2,若∠ACD ＝∠B,则△ACD ∽△ABC ；（3）如图3,若∠BAC ＝90°,AD ⊥BC,则△ABC ∽△DBA ∽△DAC. 重要方法：1、有一个锐角相等的两个直角三角形相似；2、识别三角形相似的常用思路：（1）当条件中有平行线时，找两对对应角相等；（2）当条件中有一对相等的角（对顶角或公共角）时，可考虑再找一对相等的角； （3）两个等腰三角形，可以找顶角相等或找一对底角相等. 三：应用新知，体验成功：例1、已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BDC.例题2．如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，D 、E 分别在线段BC ，AC 上运动，在运动过程中始终保持∠ADE ＝60°，求证：△ABD ∽△DCE.例3、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
相似三角形的判定定理1
相似三角形的判定定理1
正式版判定定理
假设ABC和PQR是具有相似三角形的两个三角形，设四边分别为a、b、c、p、q、r，则可以推出以下判定定理：
定理：如果ABC和PQR是相似三角形，则有：
1. 对任意sidesABC，sidePQR之比为常数：
a/p=b/q=c/r=k (其中k是一定的常数）
2. 对任意angles ABC，angles PQR都相等：
∠A=∠P、∠B=∠Q、∠C=∠R。
证明：
证明：可以先根据side ratio 定理告诉我们，如果两个三角形的三边的比值定值，那么这两个三角形就是相似的。
因此，先假设ABC和PQR是相似的三角形，则有：
a/p=b/q=c/r=k (其中k是一定的常数）
这个等式表明了这两个三角形的三边长的比值是一定的，即使任意一边ABC乘以相同的常数，也会得到PQR，这符合side ratio 定理的要求。
接着我们考虑角度。
因为ABC和PQR是相似的三角形，所以有：
∠C =∠A+∠B =∠R+∠Q
将式子同时除以pqr 则可以得到：
∠C/∠R=∠A/∠P=∠B/∠Q
这表明的是在两个相似的三角形中，对应角的比值也是一定的，而且乘以相同的常数也会得到一致的结果。
经过上述证明，可以得出相似三角形的判定定理：
定理：如果ABC和PQR是相似三角形，则有：
1. 对任意sidesABC，sidePQR之比为常数：
a/p=b/q=c/r=k (其中k是一定的常数）
2. 对任意angles ABC，angles PQR都相等：
∠A=∠P、∠B=∠Q、∠C=∠R。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三.类比猜想
1.两个三角形全等的判定有哪几种方法？ 2.是不是需要所有的对应边和对应角都相等？ 3.猜想：两个三角形相似是不是也有简便的方法？ 简析：1.两个三角形全等的判定方法有：SAS、ASA、SSS、AAS, 直角三角形还有HL. 2.不需要所有的对应边和对应角都相等. 3.猜想：两个三角形相似也不需要所有的对应角和对应边长度 的比相等.
内容分析
教学重点 掌握三角形一边的平行线的判定定理. 教学难点 三角形一边的平行线的判定定理的探索及 证明.
设计意图
通过三个问题的思考可使学生理解两个多边形相似条件的苛 刻性，对后面相似三角形判定的探索充满期待. 通过阅读，观察，讲解，使学生基本了解相似三角形的定义、 表示方法、对应关系、相似比. 紧接着提出问题，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习 数学的信心，才能真正掌握相似三角形中的对应关系和相似比 的概念. 通过让学生回忆三角形全等的知识，引导学生类比猜想两个 三角形相似的判定也有捷径可走，即不需要所有的对应角相等， 所有的对应边成比例也可相似.培养和提高学生对类比数学思想 的认识和理解.
E
C
由以上探究过程你能得出什么结论？ 如果这条直线与三角形两边的延长线相交 呢？如图3所示
定理 平行于三角形一边的直线与其他两边 （或两边的延长线）相交，截得的三角形与 原三角形相似.
E
B D E
A
C
符号语言
D
在△ABC中, 若 DE∥BC,（如图3所示) 则 △ADE∽△ABC.
B
C
图3
六.巩固练习
3 2 k1 = ， k2 = 简析： 2 3
k1 k1 ≠ k2 ， ， k .
2
1
k1 = k2 =1
归纳
若将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为 △A′B′C′∽△ABC的相似比记为 ，一般 k2 ，k1 =k1
1 k 2 .当且仅当这两个三角形全等时，才有 k1=
k2 =1.
因此，三角形全等是三角形相似的特例.
24.2相似三角形的判定
（第1课时）
百神庙中心校
一.复习回顾
前面我们学习了相似多边形及相似比的有关概念， 下面请同学们思考以下几个问题：
1.辨析 (1)四个角分别相等的两个四边形一定相似吗？ (2)四组对应边的比分别相等的两个四边形一定相似吗？ 2.什么样的两个多边形是相似多边形？ 3.什么是相似比（相似系数）？ 简答：1.可举反例回答（1）正方形和长方形或长宽之比不相等的两个 矩形；（2）正方形和不是正方形的菱形或两组内角均不相等的菱形. 2.两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度 的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形. 3. 相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.
如图4，在 ABCD中，DE交 BC于F,交AB的延长线于点E. （1）请写出图中相似的三角形； （2）请由其中的一对相似三角形 写出相应的比例式； （3）请说明AE· BF与AD· BE是否 相等？
D
C
F A B
图4
E
简析
（1）△EBF∽△EAD，△CDF∽△BEF ， △EAD∽△DCF；也可写成 D △EBF∽△EAD∽△DCF （2）举一例：在△EBF∽△EAD中有
EB EF BF EA ED AD
F A B
图4
C
，
E
还有两种情形同学们自己解答. (3) 由（2）中比例式化成乘积式 可得AE· BF=AD· BE.
七.目标总结
本节课我们学习了哪些内容？
本节课首先讲述了相似三角形的有关概念，然后通过探究得 出“三角形一边的平行线截三角形两边或其延长线所得的三角形 与原三角形相似”这一判定定理.三角形一边的平行线的判定定理 不仅可以直接用来证明有关的三角形相似的问题，而且是证明其 他三个判定定理的主要依据，所以有时也把它叫做相似三角形判 定定理的预备定理.熟练掌握这一定理对后面三个定理的证明至关 重要.
四.探究论证
A
在△ABC中，D为AB上 任意一点，如图2所示.过点D 作BC的平行线交AC于点E， 那么△ADE与△ABC相似吗？
E
D
B
C
已知:在△ABC中，DE ∥BC, DE分别交AB，AC于D，E. 求证： △ADE∽△ABC.
图2
A
分析
D E C
1.根据相似多边形的定义△ADE与 △ABC相似必须满足哪些条件？
设计意图
将探究的过程细化分解是为了降低难度，使 学生更容易自主探究，由浅入深，使探究的过程充 满乐趣，增强了学生探究的信心.通过系列的思考 学生找到问题的关键所在，突破作辅助线的难关， 最终解决问题.提问过程中学生自主分析已知条件， 找出问题的瓶颈所在，适时渗透转化的数学思想. 培养学生运用数学语言表述问题的能力，规范 学生证明的基本步骤和书写格式
设计意图
让学生学会正确表述定理，理解定理 表述的严密性，养成严谨的数学学习习惯. 培养学生正确运用所学知识的应用能 力，巩固所学的定理. 注意培养学生的数学思想和归纳概括 能力，教师设疑，激发学生学习的兴趣. 巩固和检验所学知识，使学生得到提高 和发展.
教学目标
理解相似三角形概念，能正确地找出相似三 角形的对应角和对应边. 会用三角形一边的平行线的判定定理进行计 算和作比较简单的证明. 通过复习前面所学过的有关知识，加深对定 理的理解，提高学生利用已学知识证明新命 题的能力，并在探索相似三角形条件的过程 中，培养学生有条理的分析和推理能力.
A
AD AE FC AD , . ∴ AB AC BC AB
因为四边形DFCE是平行四边形， ∴DE=FC，
D
E C F
DE AD . BC AB
B
AD AE DE . AB AC BC
又∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC.
五.定理归纳
A
D B A
学习了哪些思想方法？
类比和转化的思想，作辅助线的方法.
你掌握了哪些知识？还有什么问题？
八.作业设计
C
D
E
A
图5
B
1.课本中本节练习 2.习题24.2 第4题 3.补充练习：如图5，△ABC 中BD是角平分线，过点D作 DE∥AB交BC于E,AB=5cm ， BE=3cm，求EC的长.
学习任何东西， 最好的途径是自己去发现！
A C′
B
A′
B′
图1
相似三角形的对应关系
对于△ABC∽△A′B′C′，根据相似形的定义，应有∠A=∠A′，
∠B=∠B′，∠C=∠C′，
AB BC CA . A B BC C A
(三边对应成比例也可写成AB:BC:CA=A′B′:B′C′:C′A′) 练习 1. 已知△ABC∽△DEF,请指出所有的对应边和对应角.并分别指出 它们的关系. 2.如果将上题中“△ABC∽△DEF”改为“△ABC与△DEF相似” 你还能指出它们的对应关系吗？
二.引入新知
C
24.2相似三角形的判定（第1课时）
如图1，△ABC与△A′B′C′相似. 则 图1中的两个三角形记作 “△ABC∽△A′B′C′”，读作“△ABC 相似于△A′B′C′”，“∽”叫相似符号. 两个三角形相似，用相似符号表示时， 与全等一样，应把对应顶点的字母写在对 应的位置上，这样便于找出相似三角形的 对应角和对应边. 即写成△ABC∽△A′B′C′，表明对 应关系是唯一确定的，即A与A′、B与B′、 C与C′分别对应.如果仅说“这两个三角形 相似”,没有用“∽”表示的，则没有说 明对应关系.
B
图2
由已知和图2可知△ADE与△ABC相似必须有： AD AE DE ∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠ AED=∠C,
AB AC BC
2.已经具备哪些条件？为什么？还需要什么条件？ 已有条件：∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C ， AD AE AD AE DE ，还需要条件： AB AC AB AC BC
分析
3.解决这个问题的关键在哪里？怎 么解决？ 转化：将DE平移到BC上（可过 点D作AC的平行线，交BC于F，则 CF=DE）运用定理：平行于三角形 一边的直线截其他两边（或两边延长 线），所得对应线段成比例.即可得
AD AE DE 到 AB AC BC
A
D B
E C
F
证明
过点D作AC的平行线，交BC 于F. ∵DE∥BC,DF∥AC，
相似三角形的相似比
将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为 △A′B′C′∽△ABC的相似比记为
K1 , 即
， K2 即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=K
1
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
= K2
练习 3.已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=3则△ABC与△DEF的相似比 K1 K1 和K 2 满足什么 和△DEF与△ABC的相似比 K 2 是否相等？如果不相等， 关系？如果AB=2，DE=2呢？
内容分析
相似三角形的判定是本章的重点内容之 一.本节课是相似三角形的判定的第一课 时， 首先讲述了相似三角形的有关概念，然后通 过探究得出三角形一边的平行线的判定定理. 三角形一边的平行线的判定定理不仅可以直 接用来证明有关的三角形相似的问题，而且 还是证明其他三个判定定理的主要依据，所 以有时也把它叫做相似三角形判定定理的预 备定理.熟练掌握这一定理对后面三个定理 的证明至关重要.