热统第一章作业答案

1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数

κT 。

解：已知理想气体的物态方程为

,pV nRT = （1）

由此易得

11

,p V nR V T pV T

α∂⎛⎫=

== ⎪

∂⎝⎭ （2） 11

,V p nR p T pV T

β∂⎛⎫=

== ⎪

∂⎝⎭ （3） 2111

.T T V nRT V p V p p

κ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）

1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：

()ln T V =αdT κdp -⎰

如果11

,T T p

ακ==

，试求物态方程。 解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为

(),,V V T p =

其全微分为

.p T

V V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫

=+ ⎪ ⎪

∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有

11.p T

dV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为

.T dV

dT dp V

ακ=- （2）

上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有

()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）

若1

1,T T p

ακ==，式（3）可表为

11ln .V dT dp T

p ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭⎰ （4）

选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体

积由0V 最终变到V ，有

000

ln

=ln ln ,V T p

V T p - 即

000

p V pV C T T ==（常量）， 或

.pV CT = （5）

式（5）就是由所给11,T T

p

ακ==求得的物态方程。 确定常量C 需要进一步的实验数据。

1.8 满足n pV C =的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量n C 为

1

n V n C C n γ

-=

- 解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量

0lim .n T n n

n

Q U V C p T T T ∆→∆∂∂⎛⎫⎛⎫

⎛⎫

==+ ⎪ ⎪ ⎪∆∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1） 对于理想气体，内能U 只是温度T 的函数，

,V n

U C T ∂⎛⎫

= ⎪∂⎝⎭ 所以

.n V n

V C C p T ∂⎛⎫

=+ ⎪∂⎝⎭ （2）

将多方过程的过程方程式n pV C =与理想气体的物态方程联立，消去压强p 可得

11n TV C -=（常量）。 （3）

将上式微分，有

12(1)0,n n V dT n V TdV --+-=

所以

.(1)n

V V T n T ∂⎛⎫

=- ⎪

∂-⎝⎭ （4） 代入式（2），即得

,(1)1

n V V pV n C C C T n n γ-=-

=-- （5） 其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。

1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。 解：假设在p V -图中两条绝热线交于C 点，如图所示。设想一等温线与

两条绝热线分别交于A 点和B 点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程ABCA 中，系统在等温过程AB 中从外界吸取热量Q ，而在循环过程中对外做功W ，其数值等于三条线所围面积（正值）。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有

W Q =。

这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，

这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。 因此两条绝热线不可能相交。

1.16 理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由1T 升至2T 。 假设γ是常数，试证明前者的熵增加值为后者的γ倍。

解：根据式（1.15.8），理想气体的熵函数可表达为

0ln ln .p S C T nR p S =-+ （1）

在等压过程中温度由1T 升到2T 时，熵增加值p S ∆为

2

1

ln

.p p T S C T ∆= （2） 根据式（1.15.8），理想气体的熵函数也可表达为

0ln ln .V S C T nR V S =++ （3）

在等容过程中温度由1T 升到2T 时，熵增加值V S ∆为

2

1

ln

.V V T S C T ∆= （4） 所以

.p p V

V

S C S C γ∆=

=∆ （5）

1.18 10A 的电流通过一个25Ω的电阻器，历时1s 。 （a ）若电阻器保持为室温27C ，试求电阻器的熵增加值。 （b ）若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为27C ，电阻器的质量为10g ，比热容p c 为110.84J g K ,--⋅⋅ 问电阻器的熵增加值为多少？

解：（a ）以,T p 为电阻器的状态参量。设想过程是在大气压下进行的，如果电阻器的温度也保持为室温27C 不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。

（b ）如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的焦耳热Q 将全部被电阻器吸收而使其温度由i T 升为f T ，所以有

2f i (),p mc T T i Rt -=

故

22f i 23

10251

300600K.100.4810p i Rt T T mc -⨯⨯=+=+≈⨯⨯

电阻器的熵变可参照§1.17例二的方法求出，为

f

i

231f i 600

ln

100.8410ln 5.8J K .300

T p p T mc dT T S mc T

T --∆===⨯⨯=⋅⎰

1.22 有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为i T 。今令一制冷机在这两个物体间工作，使其中一个物体的温度降低到2T 为止。假设物体维持在定压下，并且不发生相变。试根据熵增加原理证明，此过程所需的最小功为

2min

222i p i T W C T T T ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭

解： 制冷机在具有相同的初始温度i T 的两个物体之间工作，将热量从物体2送到物体1,使物体2的温度降至2T 为止。以1T 表示物体1的终态温度，p C 表示物体的定压热容量，则物体1吸取的热量为

()11p i Q C T T =- （1）

物体2放出的热量为

()22p i Q C T T =- （2）

经多次循环后，制冷机接受外界的功为