微分几何第一章答案(周建伟版)

made by Mr X
所以 r × r = 18a2 t2 − 1, −2t, t2 + 1 , √ |r × r | = 18 2a2 (t2 + 1), (r , r , r ) = 216a3 , √ |r | = 3 2a(t2 + 1). 于是, 曲线的曲率 k 和挠率 τ 分别为 1 |r × r | = , |r |3 3a(t2 + 1)2 (r , r , r ) 1 τ= = . 2 2 (r × r ) 3a(t + 1)2 k=
1.3(6)
锥面 a2 (x2
证明过原点平行于圆柱螺线 r (t) = {a cos t, a sin t, bt} 的副法线的直线轨迹是 + y 2 ) = b2 z 2 . 证明 直接计算得到 r × r = {ab sin t, −ab cos t, a2 },
由解析几何知, 过原点且平行于 r (t) 的副法线的单参数直线簇为 x = ub sin t, y = −ub cos t, z = ua,
1.2(4)
t } (−∞ < t < ∞) 从 t = 0 起计算的弧长. 求悬链线 r (t) = {t, a cosh a
解
从 t = 0 起计算的弧长为
t
s=
0 t
|r (t)| dt
1.2(5)
t 1 + sinh2 ( ) dt a 0 t t = cosh dt a 0 t = a sinh . a 3 3 求星形线 x = a cos t, y = a sin t 的弧长. 3 解：令 r (t) = {a cos3 t, a sin3 t, 0}, 则 |r (t)| = 2 a| sin 2t|. 根据星形线的对称性, 它的弧长为星形线在第一象限弧长的 4 倍, 而星形线在第一象限对应的参数 t 的范围 为0 ≤ t ≤ π 2 , 因此星形线的弧长为 = s=4
(1) r (t) = {a cosh t, a sinh t, at}, (a > 0); (2) r (t) = {a(3t − t3 ), 3at2 , a(3t + t3 )}, (a > 0). 解 (1) 由参数方程得到 r = {a sinh t, a cosh t, a}, r = {a cosh t, a sinh t, 0}, r = {a sinh t, a cosh t, 0}, 所以 r × r = {−a2 sinh t, a2 cosh t, −a2 }, √ |r × r | = 2a2 cosh t, (r , r , r ) = a3 , √ |r | = 2 a cosh t. 于是, 双曲螺线的曲率 k 和挠率 τ 分别为 √ 2 |r × r | 2 a cosh t 1 k= = √ = , 3 3 |r |3 2a cosh2 t 2 2a cosh t a3 (r , r , r ) 1 = τ= = . 2 2 (r × r ) 2a4 cosh t 2a cosh2 t (2) 由参数方程得到 r = a(3 − 3t2 ), 6at, a(3 + 3t2 ) , r = {−6at, 6a, 6at}, r = {−6a, 0, 6a}.
1.3(10) 证明: 如果曲率处处不为零的曲线的所有密切平面都经过一定点, 则此曲线
为平面曲线. 证明Ⅰ 设曲线的一般参数方程为 r = r(t), 并设密切平面上流动点的径矢为 R, 则密切平面方程为 (R − r(t), r (t), r (t)) = 0. 利用密切平面过定点的条件, 不失一般性设定点为坐标原点, 则 (r(t), r (t), r (t)) = 0, 上式两边关于参数 t 求导, 得 (r(t), r (t), r (t)) = 0, 由(1), (2)知 r (t), r (t), r (t) 共面, 即有 (r (t), r (t), r (t)) = 0. 于是 挠率 τ t ≡ 0, 即曲线为平面曲线. (2) (1)
θ0 θ
= =
θ0
ρ 2 (θ) + ρ2 (θ) dθ.
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1.2(8)
求曲线 x3 = 3a2 y, 2xz = a2 在平面 y =
a 3
与 y = 9a 之间的弧长.
3 2
解：令 x = t, 则所给曲线的参数方程为r (t) = t, 3ta2 , a 2t . 容易验证 t 是正则参 a 数. 当 y = 3 时, t = a; 当 y = 9a 时, 即 t = 3a, 于是所求弧长为
3a
s=
a 3a
|r (t)| dt a4 + 2t4 dt 2a2 t2
=
a
= 9a.
1.3(1) 求曲线 x = t sin t, y = t cos t, z = te 在原点的密切平面, 法平面, 从切平面, 切
t
线, 主法线, 副法线方程. 解 由所给曲线的参数方程 r (t) = {t sin t, t cos t, tet }, 先计算出 r (t) = {sin t + t cos t, cos t − t sin t, et + tet }, r (t) = {2 cos t − t sin t, −2 sin t − t cos t, 2et + tet }. 由已知曲线方程知原点对应于参数 t = 0 的点. 所以 r (0) = {0, 0, 0}, r (0) = {0, 1, 1}, r (0) = {2, 0, 2}.
2π
s=
0 2π
|r (t)| dt a2 (1 − cos t)2 + a2 sin2 t dt 2a sin
0
=
0 2π
= = 8a.
t dt 2
1.2(9)
求用极坐标方程 ρ = ρ(θ) 给定的曲线的弧长表达式. 解：设曲线的参数方程为 r (θ) = {ρ(θ) cos θ, ρ(θ) sin θ, 0}.
因此得到 r (θ) = {ρ (θ) cos θ − ρ(θ) sin θ, ρ (θ) sin θ + ρ(θ) cos θ, 0}, 所以由极坐标 ρ = ρ(θ) 给定的曲线从 θ = θ0 起计算的弧长为
θ
s=
θ0 θ
|r (θ)| dθ (ρ (θ) cos θ − ρ(θ) sin θ)2 + (ρ (θ) sin θ + ρ(θ) cos θ)2 dθ
1.3(4) 在曲线 x = cos α cos t, y = cos α sin t, z = t sin α 的副法线的正向取单位长, 求
其端点组成的新曲线的密切平面. 解 令 r (t) = {cos α cos t, cos α sin t, t sin α}, 则由 r (t) 的副法线正向的单位向量 ¯ (t) = r (t) + γ (t). 据此, 我们先求曲线 r (t) 的副 的端点组成的新曲线的参数方程 r 法向量 γ , 由r (t) = {− cos α sin t, cos α cos t, sin α} 知, |r (t)| = 1, 所以 t 是自然参数, 故 ˙ (t) = {− cos α sin t, cos α cos t, sin α}, α=r β= ¨ (t) r = {− cos t, − sin t, 0}, ¨ (t)| |r
1.2(2)
求三次挠曲线 r (t) = {at, bt2 , ct3 } 在点 t = t0 的切线和法面. 解：当 t = t0 时, 有
3 r (t0 ) = {at0 , bt2 0 , ct0 },
r (t0 ) = {a, 2bt0 , 3ct2 0 },
所以切线方程为
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z − ct3 y − bt2 x − at0 0 0 = , = a 2bt0 3ct2 0
γ = α × β = {sin α sin t, − sin α cos t, cos α}, 于是新曲线的参数方程为 ¯ (t) = {cos(t − α), sin(t − α), t sin α + cos α}, r
1.3(5) 证明球面曲线的法平面通过球的中心.
证 明 不 失 一 般 性, 取 球 的 中 心 为 右 手 么 正 坐 标 系 的 坐 标 原 点 O , 并 设 球 面 曲 线(即 此 两 曲 线 落 在 一 个 球 面 上)的 自 然 参 数 方 程 为 r = r (s), 则 |r (s)| = 常数(即球的半径) , 即r · r = 常数 , 两边关于弧长 s 求导, 得 r · α = 0. 设 ρ(x, y, z ) 是 r (s) 法平面上任一点的向径, 则曲线的法平面方程为 (ρ − r (s)) · α = 0, 由(5.1)显然球心满足法平面方程, 因此法平面通过球的中心. 注记: 命题 5 的逆命题亦成立, 即若曲线的所有法平面通过定点, 则曲线为球面 曲线. 于是我们有: 曲线为球面曲线的充要条件是它的所有法平面都通过定点. (5.1)
dα dt dt ds dt | dα dt || ds |
dα ds | dα ds |
=
dα dt | dα dt |
= {cos t, sin t, 0}.
从而知圆柱螺线在任一点处的主法线方程为 x − a cos t y − a sin t z − bt = = , cos t sin t 0 取 z 轴上的单位矢量 e3 = {0, 0, 1}, 显然有e3 · β = 0, 即 e3 ⊥β , 说明圆柱螺线的 主法线总与 z 轴垂直. 同时, 注意到对任何实数 t, 点 (0, 0, bt) 既在 z 轴上, 也在圆柱螺 线的主法线上, 即圆柱螺线的主法线总与 z 轴相交. 因此, 我们证明了圆柱螺线的主 法线总与 z 轴垂直相交. made by Mr X
而且, 曲线 r (t) 在原点的三个基本向量为 α(0) = r (0) 1 = √ {0, 1, 1}, |r (0)| 2 r (0) × r (0) 1 γ (0) = = √ {1, 1, −1}, |r (0) × r (0)| 3 1 β (0) = γ (0) × α(0) = √ {2, −1, 1}. 6 √
5 3 2 ) = 0. + 3c2 t0 z − ( a2 t0 + 2b2 t ax + 2bt0 y + 3ct0 0
法面方程为
1.2(3)
证明圆柱螺线 r (θ) = {a cos θ, a sin θ, bθ} 的切线和 z 轴作固定角. 证明：取 z 轴正方向的单位矢量 e3 = {0, 0, 1}, 若记 z 轴与圆柱螺线的切线间的 夹角为 ϕ, 则 r · e3 b , cos ϕ = =√ |r ||e3 | a2 + b2 与圆柱螺线的参数 θ 无关, 因此 ϕ 为定角.
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其中 u 为参数, 消去 t 得到
x2 + y 2 = b2 u2 , z 2 = a2 u2 , a2 (x2 + y 2 ) = b2 z 2 .
消去 u 得
也可以从过原点, 平行于圆柱螺线的副法线的直线方程中直接消去参数而得所求 的轨迹方程.
1.3(7) 求以下曲线的曲率和挠率.
1.3(2)证明圆柱螺线 x = a cos t, y = a sin t, z = bt 的主法线和 z 轴垂直相交.
证明 得到 由于 r (t) = {−a sin t, a cos t, b}, 因此 |r (t)| = α= 进而 β= a2 + b2 , 将 r (t) 单位化后 r (t) 1 {−a sin t, a cos t, b}, =√ |r (t)| a2 + b2 =
0
π 2
|r (t)| dt 3 a sin 2t dt 2
π 2
=4
0
π 2
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= (−3a cos 2t)|0 = 6a.
1.2(6)求旋轮线 x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) 的 0 ≤ t ≤ 2π 一段的弧长.
解：令 r (t) = {a(t − sin t), a(1 − cos t), 0}, 则 r (t) = {a(1 − cos t), a sin t, 0}. 于 是所求弧长为