实验4用分支限界法实现0-1背包问题

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分支限界法的优先队列方式求解

bestx：bestx[i]=1最优解中有物品i
物品 1 2 3 cp 48 30 30 cw 16 15 15 D cp/cw 3 2 2 H I
B E F
C G
J
K
L
M
N
O
分支限界法的优先队列方式求解0-1背包问题 cw=0 cp=0 up=90
1
cw=16 up=76 cp=48
0
cw=0 up=90 cp=0
A
B E F
C G
D
HIBiblioteka JKLM
N
O
分支限界法的优先队列方式求解 0-1背包问题
中国民航大学计算机科学与技术学院刘东楠 1505040
分支限界法的优先队列方式求解0-1背包问题
0-1背包问题：给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，
背包的容量为c。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？
解题步骤：
Step1：搜索解空间建立二叉树，从根节点A开始。 Step2：广度优先遍历二叉树，并用极大堆表示活节点的优先级，选取扩展节点，找出可行解。 Step3：找出最优解。
在算法中，算法首先检查当前扩展节点的左儿子的可行性。如果左儿子节点是可行节点，则将它加入到子集数和活节点优先队列中。当前扩展节点的右儿子一定是可行节点，仅当右儿子满足上界约束时才将它加入子集数和活节点优先队列。 A
-搜索方法不同：
回溯法使用深度优先方法搜索，而分支限界一般用宽度优先或最佳优先方法来搜索。
-对扩展结点的扩展方式不同：
分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。

分支限界法结局0~1背包问题

Bound( i ) cleft = c – cw; b = cp; while( i <= n && w[i] <= cleft ){ cleft -= w[i]; b += p[i]; i++; } if( i<=n) b += p[i]/w[i] * cleft; return b; }

此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。
与回溯法区别
求解目标不同：一般而言，回溯法的求解目标是找出解空间树中满足的约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是尽快的找出满足约束条件的一个解。

搜索方法不同回溯法使用深度优先方法搜索，而分支限界一般用宽度优先或最佳优先方法来搜索；

按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点；
数据结构：队列
（2）优先队列式分支限界法

按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。数据结构：堆最大优先队列：使用最大堆，体现最大效益优先

最小优先队列：使用最小堆，体现最小费用优先
【0-1背包问题】
物品数量n=3，重量w=(20,15,15)，价值v=(40,25,25) 背包容量c=30，试装入价值和最大的物品？解空间：{(0,0,0),(0,0,1),…,(1,1,1)}
分支限界法解决0/1背包问题
分支限界法思想概述与回溯法区别求解步骤常见的两种分支限界法 0-1背包问题
分支限界法的基本思想
分支限界法基本思想

分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。

实验报告分支限界法01背包

实验报告分支限界法01背包实验报告：分支限界法解决01背包问题一、引言背包问题是数学和计算机科学中一个经典的问题。

背包问题通常分为01背包问题和完全背包问题两种情况。

本实验主要探讨的是分支限界法解决01背包问题，该算法常用于解决NP难问题。

分支限界法通过将问题分解为一系列子问题，并借助剪枝技术，逐步缩小问题的空间，从而找到最优解。

本实验将通过具体的案例来展示分支限界法的求解过程和原理，并对算法的时间复杂度和空间复杂度进行分析。

二、算法原理01背包问题的数学模型为：有n个物品，每个物品有一个重量wi和一个价值vi，在限定的背包容量为W的情况下，如何选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。

分支限界法的基本思想是：通过不断地分解问题为更小的子问题，并使用估算函数对子问题进行优先级排序，将优先级最高的子问题优先求解。

具体步骤如下：1.根节点：将背包容量W和物品序号0作为初始状态的根节点。

2.扩展节点：对于任意一个节点S，选择装入下一个物品或者不装入两种分支。

计算新节点的上界。

3.优先级队列：将扩展节点按照上界从大到小的顺序插入优先级队列。

4.剪枝条件：当扩展节点的上界小于当前已找到的最优解时，可以剪枝。

5.结束条件：当到叶节点或者队列为空时，结束。

若叶节点的上界高于当前最优解，更新最优解。

三、实验过程1.输入数据：给定一个物品序列，每个物品有重量和价值，以及一个背包的最大容量。

2.算法实现：根据算法原理，使用编程语言实现分支限界法的求解过程。

3.结果分析：比较算法求解得到的最优解和其他算法（如动态规划）得到的最优解之间的差异。

四、实验结果以一个具体的案例来说明分支限界法的求解过程。

假设有4个物品，其重量和价值分别为{2,3,4,5}和{3,4,5,6}，背包的最大容量为8、通过分支限界法求解，得到最优解为9，对应的物品选择为{2,3,5}。

通过与动态规划算法的结果比较，可以发现分支限界法的最优解与动态规划算法得到的最优解是一致的。

分支界限法0-1背包问题（优先队列式分支限界法）

分⽀界限法0-1背包问题（优先队列式分⽀限界法）输⼊要求有多组数据。

每组数据包含2部分。

第⼀部分包含两个整数C （1 <= C <= 10000）和 n （1 <= n <= 10，分别表⽰背包的容量和物品的个数。

第⼆部分由n⾏数据，每⾏包括2个整数 wi（0< wi <= 100）和 vi（0 < vi <= 100），分别表⽰第i个物品的总量和价值输出要求对于每组输⼊数据，按出队次序输出每个结点的信息，包括所在层数，编号，背包中物品重量和价值。

每个结点的信息占⼀⾏，如果是叶⼦结点且其所代表的背包中物品价值⼤于当前最优值（初始为0），则输出当前最优值 bestv 和最优解bestx（另占⼀⾏）参见样例输出测试数据输⼊⽰例5 32 23 22 3输出⽰例1 1 0 02 2 2 23 5 2 24 10 4 5bestv=5, bestx=[ 1 0 1 ]4 11 2 23 4 5 42 3 0 0⼩贴⼠可采⽤如下的结构体存储结点：typedef struct{int no; // 结点在堆中的标号int sw; // 背包中物品的重量int sv; // 背包中物品的价值double prior; // 优先值 sv/sw}Node;#include<stdio.h>#include<math.h>#include<string.h>typedef struct {int no; // 结点标号int id; // 节点idint sw; // 背包中物品的重量int sv; // 背包中物品的价值double prior; // sv/sw}Node;int surplusValue(int *v,int n,int y) {int sum = 0;for(int i = y; i <= n; i++) {sum += v[i];}return sum;}void qsort(Node *que,int l,int r) {int len = r - l + 1;int flag;for(int i = 0; i < len; i ++) {flag = 0;for(int j = l; j < l + len - i; j++) {if(que[j].prior < que[j+1].prior) {Node t = que[j];que[j] = que[j+1];que[j+1] = t;flag = 1;}}//if(!flag ) return;}}void branchknap(int *w,int *v,int c,int n) {int bestv = 0;int f = 0;int r = 0;Node que[3000];memset(que,0,sizeof(que));int path[15];que[0].no = 1;que[0].id = que[0].sv = que[0].sw = que[0].prior = 0;while(f <= r) {Node node = que[f];printf("%d %d %d %d\n",node.id+1,node.no,node.sw,node.sv);if(node.no >= pow(2,n)) {if(node.sv > bestv) {bestv = node.sv;printf("bestv=%d, bestx=[",bestv);int temp = node.no;int i = 0;while(temp > 1) {if(temp % 2 == 0)path[i] = 1;elsepath[i] = 0;temp /= 2;i++ ;}i--;while(i >= 0) {while(i >= 0) {printf(" %d",path[i]);i--;}printf(" ]\n");}} else {if((node.sw + w[node.id + 1]) <= c && surplusValue(v,n,node.id+1) + node.sv > bestv) { r++;que[r].id = node.id + 1;que[r].no = node.no*2;int id = node.id + 1;que[r].sv = node.sv + v[id];que[r].sw = node.sw + w[id];que[r].prior = que[r].sv / (que[r].sw*1.0);}if(surplusValue(v,n,node.id+2) + node.sv > bestv) {r++;que[r].id = node.id + 1;que[r].no = node.no*2 + 1;que[r].sv = node.sv;que[r].sw = node.sw;que[r].prior = node.prior;}}f++;qsort(que,f,r);}}int main() {int c,n;int w[15],v[15];while(~scanf("%d %d",&c,&n)){for(int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);}branchknap(w,v,c,n);}return 0;}#include<stdio.h>#include<math.h>#include<string.h>typedef int bool;#define true 1#define false 0struct Node{int no; // ?áµ?±êo?int id; //jie dian idint sw; // ±3°ü?D·µá?int sv; // ±3°ü?D·µ?µdouble prior;};struct Node queuee[2000];int w[15],v[15];int bestv = 0,c,n;int path[15]; //lu jingint surplusValue(int y) {int sum = 0;for(int i = y; i <= n; i++)sum += v[i];return sum;}void qsort(int l,int r) {// printf("------\n");int len = r - l + 1;//printf("----%d %d %d-----\n",l,r,len);bool flag;for(int i = 0; i < len ; i++) {flag = false;for(int j = l; j <l+ len -i ;j++) {if(queuee[j].prior < queuee[j+1].prior) {struct Node temp = queuee[j];queuee[j] = queuee[j+1];queuee[j+1] = temp;flag = true;}//if(!flag) return;}}// printf("---排序嘻嘻---\n");//for(int i = l; i <= r;i++ )// printf("***%d : %.2lf\n",queuee[i].no,queuee[i].prior);// printf("\n------\n");}void branchknap() {bestv = 0;int f = 0;int r = 0;queuee[0].no = 1;queuee[0].id = 0;queuee[0].sv = 0;queuee[0].sw = 0;queuee[0].prior = 0;// printf("f: %d r: %d\n",f,r);while(f <= r) {struct Node node = queuee[f];printf("%d %d %d %d\n",node.id+1,node.no,node.sw,node.sv);if(node.no >= pow(2,n)) {if(node.sv > bestv) {bestv = node.sv;//TODOprintf("bestv=%d, bestx=[",bestv);int temp = node.no;int i = 0;while(temp > 1) {if(temp%2 == 0)path[i] = 1;elsepath[i] = 0;temp /= 2;i++;}i--;while(i >= 0) {while(i >= 0) {printf(" %d",path[i]);i--;}printf(" ]\n");}} else {if((node.sw + w[node.id+1]) <= c && surplusValue(node.id+1) + node.sv > bestv) { r++;//printf("%d\n",(node.sw + w[node.id+1]));queuee[r].id = node.id+1;queuee[r].no = node.no*2;int id = node.id+1;queuee[r].sv = node.sv + v[id];queuee[r].sw = node.sw + w[id];queuee[r].prior = queuee[r].sv/(queuee[r].sw*1.0);//printf("进队id： %d\n",queuee[r].no) ;//printf("%d %d %d\n",id,v[id], w[id]);}if(surplusValue(node.id+2) + node.sv > bestv) {r++;queuee[r].id = node.id+1;queuee[r].no = node.no*2 + 1;queuee[r].sv = node.sv ;queuee[r].sw = node.sw ;queuee[r].prior = node.prior;//printf("进队id： %d\n",queuee[r].no) ;}}f++;qsort(f,r);}}int main() {while(~scanf("%d %d",&c,&n)){memset(queuee,0,sizeof(queuee));for(int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);}branchknap();}return 0;}。

分支界限方法01背包问题解题步骤

分支界限方法是一种用于解决优化问题的算法。

在动态规划算法中，分支界限方法被广泛应用于解决01背包问题。

01背包问题是一个经典的动态规划问题，其解题步骤如下：1. 确定问题：首先需要明确01背包问题的具体描述，即给定一组物品和一个背包，每个物品有自己的价值和重量，要求在不超过背包容量的情况下，选取尽可能多的物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。

2. 列出状态转移方程：对于01背包问题，可以通过列出状态转移方程来描述问题的求解过程。

假设dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时能够获得的最大价值，则状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])3. 初始化边界条件：在动态规划中，需要对状态转移方程进行初始化，一般情况下，dp数组的第一行和第一列需要单独处理。

对于01背包问题，可以初始化dp数组的第一行和第一列为0。

4. 利用分支界限方法优化：针对01背包问题，可以使用分支界限方法来优化动态规划算法的效率。

分支界限方法采用广度优先搜索的思想，在每一步选择最有希望的分支，从而减少搜索空间，提高算法的效率。

5. 实际解题步骤：根据上述步骤，实际解决01背包问题的步骤可以概括为：确定问题，列出状态转移方程，初始化边界条件，利用分支界限方法优化，最终得到问题的最优解。

分支界限方法在解决01背包问题时起到了重要的作用，通过合理的剪枝策略，可以有效地减少动态规划算法的时间复杂度，提高问题的求解效率。

分支界限方法也可以应用于其他优化问题的求解过程中，在算法设计和实现中具有重要的理论和实际意义。

在实际应用中，分支界限方法需要根据具体问题进行灵活选择和调整，结合动态规划和剪枝策略，以便更好地解决各类优化问题。

掌握分支界限方法对于解决复杂问题具有重要的意义，也是算法设计和优化的关键技术之一。

分支界限方法在解决01背包问题的过程中，具有重要的作用。

优先队列式分支限界法求解0-1背包问题

算法分析与设计实验报告第7 次实验}1、测试自己输入的小规模数据2、测试随机生成1003、随机生成1000数据4、随机生成1000数据附录：完整代码#include <iostream>#include<time.h>#include<algorithm>#include<fstream>using namespace std;ifstream in("input.txt");ofstream out("output.txt");typedef int Typew;typedef int Typep;//物品类class Object{friend Typep Knapsack(Typew *, Typep *, Typew, int, int *); public:int operator <= (Object a) const{return (d >= a.d);}private:int ID; //物品编号float d; //单位重量价值};//树结点类class bbnode{friend class Knap;friend Typep Knapsack(Typew *, Typep *, Typew, int, int *); private:bbnode *parent; //指向父节点的指针int LChild;};//堆结点类class HeapNode{friend class Knap;friend class MaxHeap;public:operator Typep()const{return uprofit;};private:Typep uprofit, //结点的价值上界profit; //结点所相应的价值Typew weight; //结点所相应的重量int level; //活结点在子集树中所处的层序号bbnode *elemPtr; //指向该活结点在子集树中相应结点的指针};//最大堆类class MaxHeap{public:MaxHeap(int maxElem){HeapElem = new HeapNode* [maxElem+1]; //下标为0的保留capacity = maxElem;size = 0;}void InsertMax(HeapNode *newNode);HeapNode DeleteMax(HeapNode* &N);private:int capacity;int size;HeapNode **HeapElem;};//0-1背包问题的主类class Knap{friend Typep Knapsack(Typew *, Typep *, Typew, int, int *); public:Typep MaxKnapsack();private:MaxHeap *H;Typep Bound(int i);void AddLiveNode(Typep up, Typep cp, Typew cw, int ch, int level);bbnode *E; //指向扩展结点的指针Typew c; //背包容量int n; //物品总数Typew *w; //物品重量数组（以单位重量价值降序）Typep *p; //物品价值数组（以单位重量价值降序）Typew cw; //当前装包重量Typep cp; //当前装包价值int *bestx; //最优解};void MaxHeap::InsertMax(HeapNode *newNode){int i = 1;for (i = ++size; i/2 > 0 && HeapElem[i/2]->uprofit < newNode->uprofit; i /= 2){HeapElem[i] = HeapElem[i/2];}HeapElem[i] = newNode;}HeapNode MaxHeap::DeleteMax(HeapNode *&N){if(size >0 ){N = HeapElem[1];int i = 1;while(i < size){if(((i*2 +1) <= size) && HeapElem[i*2]->uprofit > HeapElem[i*2 +1]->uprofit){HeapElem[i] = HeapElem[i*2];i = i*2;}else{if(i*2 <= size){HeapElem[i] = HeapElem[i*2];i = i*2;}elsebreak;}}if(i < size)HeapElem[i] = HeapElem[size];}size--;return *N;}Typep Knap::MaxKnapsack(){H = new MaxHeap(10000);bestx = new int [n+1];int i = 1;E = 0;cw = 0;cp = 0;Typep bestp = 0;Typep up = Bound(1);while (i != n+1){Typew wt = cw + w[i];if(wt <= c) {if(cp + p[i] > bestp)bestp = cp + p[i];AddLiveNode(up, cp + p[i], cw + w[i], 1, i);}up = Bound(i + 1);if(up >= bestp)AddLiveNode(up, cp, cw, 0, i);HeapNode* N;H->DeleteMax(N);E = N->elemPtr;cw = N->weight;cp = N->profit;up = N->uprofit;i = N->level + 1;}for (int i = n; i > 0; i--){bestx[i] = E->LChild;E = E->parent;}return cp;}Typep Knap::Bound(int i){Typew cleft = c - cw;Typep b = cp;while (i<=n && w[i] <= cleft){cleft -= w[i];b += p[i];i++;}if(i<=n) b += p[i]/w[i] * cleft;return b;}void Knap::AddLiveNode(Typep up, Typep cp, Typew cw, int ch, int level) {bbnode *b=new bbnode;b->parent=E;b->LChild=ch;HeapNode *N = new HeapNode;N->uprofit=up;N->profit=cp;N->weight=cw;N->level=level;N->elemPtr=b;H->InsertMax(N);}//Knapsack返回最大价值，最优值保存在bestxTypep Knapsack(Typew *w, Typep *p, Typew c, int n, int *bestx){Typew W = 0;Typep P = 0;Object *Q = new Object[n];for(int i =1; i<=n; i++){Q[i-1].ID = i;Q[i-1].d = 1.0*p[i]/w[i];P += p[i];W += w[i];}if (W <= c){for(int i =1; i<=n; i++){bestx[i] = p[i];}return P;}for(int i = 1; i<n; i++)for(int j = 1; j<= n-i; j++){if(Q[j-1].d < Q[j].d){Object temp = Q[j-1];Q[j-1] = Q[j];Q[j] = temp;}}Knap K;K.p = new Typep [n+1];K.w = new Typew [n+1];for(int i = 1; i<=n; i++){K.p[i] = p[Q[i-1].ID];K.w[i] = w[Q[i-1].ID];}K.cp = 0;K.cw = 0;K.c = c;K.n = n;Typep bestp = K.MaxKnapsack();for(int i = 1; i<=n; i++){bestx[Q[i-1].ID] = K.bestx[i];}delete [] Q;delete [] K.w;delete [] K.p;delete [] K.bestx;delete [] K.H;return bestp;}int main(){cout<<"请在input.txt文件中输入物品数量、背包容量"<<endl;int N ;in>>N;Typew c; //背包容量in>>c;int bestx[N+1]; //最优解int bestp; //最优值Typep p[N+1];//物品价值Typew w[N+1];//物品重量cout<<"在input.txt文件中读取的物品总数N = "<< N<<",背包容量C = "<< c<<endl; cout<<"请选择生成数据的规模大小：200请输入1,2000请输入2，20000请输入3"<<endl; int x;cin>>x;if(x==1){ofstream in1("input1.txt");srand(time(NULL));int n=200;int *a=new int[n];for(int i=0;i<n;i++){a[i]=rand()%91;in1<<a[i]<<" ";}cout<<"随机数已请生成到input1文件中，请将数据添加到input.txt文件中"<<endl; }else if(x==2){ofstream in1("input1.txt");srand(time(NULL));int n=2000;int *a=new int[n];for(int i=0;i<n;i++){a[i]=rand()%91;in1<<a[i]<<" ";}cout<<"随机数已请生成到input1文件中，请将数据添加到input.txt文件中"<<endl; }else if(x==3){ofstream in1("input1.txt");srand(time(NULL));int n=20000;int *a=new int[n];for(int i=0;i<n;i++){a[i]=rand()%91;in1<<a[i]<<" ";}cout<<"随机数已请生成到input1文件中，请将数据添加到input.txt文件中"<<endl;}cout<<"添加完毕后请输入1"<<endl;int m;cin>>m;clock_t start,finish;start=clock();for (int i = 1; i <= N; i++){in>>w[i];}for (int i = 1; i <= N; i++){in>>p[i];}cout<<"已在input文件中读取物品重量和价值。

回溯法和分支限界法解决0-1背包题要点教学内容

回溯法和分支限界法解决0-1背包题要点0-1背包问题计科1班朱润华 2012040732方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。

问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。

对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。

该解空间包含对变量的所有0-1赋值。

例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。

物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。

问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。

二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。

0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。

在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。

当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。

否则，将右子树剪去。

设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。

当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。

计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。

例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。

这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。

以物品单位重量价值的递减序装入物品。

先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。

回溯法、分支限界法解0-1背包问题(计算机算法设计与分析实验报告)

BBnode enode =null;
inti = 1;
doublebestp = 0.0;
doubleup = bound(1);
while(i !=n+ 1) {
doublewt =cw+w[i];
//检查当前扩展节点的左儿子节点
if(wt <=c) {
if(cp+p[i] > bestp) {
}
do{
System.out.println("请输入背包的容量：");
input = in.readLine().trim();
input = in.readLine().replaceAll(" ","");
}while(input.equals(""));
if(input.equals("2")){
w=newdouble[n+ 1];
for(inti = 1; i <=n; i++) {
p[i] = pp[q[i - 1].id- 1];
w[i] = ww[q[i - 1].id- 1];
}
backtrack(1);
returnbestp;
}
//回溯过程
privatevoidbacktrack(inti) {
c= cc;
n= pp.length;
Element[] q =newElement[n];
doublews = 0.0;
doubleps = 0.0;
for(inti = 0; i <n; i++) {
q[i] =newElement(i + 1, pp[i] / ww[i]);

分支限界法解决01背包问题

分⽀限界法解决01背包问题分⽀限界法和之前讲的回溯法有⼀点相似，两者都是在问题的解的空间上搜索问题的解。

但是两者还是有⼀些区别的，回溯法是求解在解的空间中的满⾜的所有解，分⽀限界法则是求解⼀个最⼤解或最⼩解。

这样，两者在解这⼀⽅⾯还是有⼀些不同的。

之前回溯法讲了N后问题，这个问题也是对于这有多个解，但是今天讲的01背包问题是只有⼀个解的。

下⾯就讲讲分⽀限界法的基本思想。

分⽀限界法常以⼴度优先或以最⼩消耗（最⼤效益）优先的⽅式搜索问题的解空间树。

问题的解空间树是表⽰问题解空间的⼀颗有序树，常见的有⼦集树和排列树。

分⽀限界法和回溯法的区别还有⼀点，它们对于当前扩展结点所采⽤的扩展⽅式也是不相同的。

分⽀限界法中，对于每⼀个活结点只有⼀次机会成为扩展结点。

活结点⼀旦成为了扩展结点，就⼀次性产⽣其所有的⼦结点，⼦结点中，不符合要求的和⾮最优解的⼦结点将会被舍弃，剩下的⼦结点将加⼊到活结点表中。

再重复上⾯的过程，直到没有活结点表中没有结点，⾄此完成解决问题的⽬的。

分⽀限界法⼤致的思想就是上⾯的叙述，现在就可以发现，对于结点的扩展将会成为分⽀限界法的主要核⼼。

所以，分⽀限界法常见的有两种扩展结点的⽅式，1.队列式（FIFO）分⽀限界法，2.优先队列式分⽀限界法。

两种⽅法的区别就是对于活结点表中的取出结点的⽅式不同，第⼀种⽅法是先进先出的⽅式，第⼆种是按优先级取出结点的⽅式。

两中⽅法的区别下⾯也会提到。

在背包问题中还会提到⼀个⼦树上界的概念，其实就是回溯法中的剪枝函数，只不过，分⽀限界法⾥的剪枝函数改进了⼀些，剪枝函数同样也是分⽀限界法⾥⽐较重要的东西。

下⾯就讲⼀讲01背包问题的实现。

01背包问题和前⾯讲的背包问题的区别不⼤，就是01背包问题的物品不可以只放⼊部分，01背包问题的物品只能放⼊和不放⼊两个选择，这也是名字中01的原因。

其他的和背包问题相差不⼤，这⾥也不再累述。

算法的主体是⽐较容易想的，⾸先，将数据进⾏处理，这也是上⾯讲到的第⼆种取结点的⽅式（优先队列式）。

分支限界法0-1背包问题-队列式

分⽀限界法0-1背包问题-队列式⼀.分⽀限界法概述（1）分⽀限界法就是采⽤⼴度优先的策略，依次搜索活结点所有的分枝，也就额是所有的相邻结点。

在求最优解时采⽤⼀个限界函数，计算限界函数值，选择⼀个最有利的⼦节点作为扩展结点，使搜索树朝着解空间树上有最优解的分⽀推进，以便尽快找出⼀个最优解。

（2）常见的两种分⽀限界法先进先出（FIFO）队列式:在先进先出的分⽀限界法中，⽤队列作为组织活结点表的数据结构，并按照队列先进先出的原则选择结点作为扩展结点。

优先队列（PQ）：⽤优先队列作为组织活结点表的数据结构。

⼆.0-1背包问题问题：给定n种物品和⼀背包。

物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为C。

问应如何选择装⼊背包的物品，使得装⼊背包中物品的总价值最⼤?#include<iostream>#include<queue>using namespace std;const int maxn=99;int n,c;int w[maxn];int v[maxn];int bestv=0;int bestx[maxn];int total=1; //解空间中的节点数累计，全局变量struct nodetype //队列中的结点类型{int no; //结点编号，从1开始int i; //当前结点在搜索空间中的层次int w; //当前结点的总重量int v; //当前结点的总价值int x[maxn]; //当前结点包含的解向量double ub; //上界};void input(){cout<<"请输⼊物品的个数："<<endl;cin>>n;cout<<"请输⼊每个物品的重量及价值(如5 4):"<<endl;for(int i = 1; i <= n; i++){cin>>w[i]>>v[i];}cout<<"请输⼊背包的容量："<<endl;cin>>c;}void bound(nodetype &e) //计算分⽀结点e的上界{int i=e.i+1; //考虑结点e的余下物品int sumw=e.w;double sumv=e.v;while((sumw+w[i]<=c)&&i<=n){sumw+=w[i];sumv+=v[i];i++;}if(i<=n) //余下物品只能部分装⼊e.ub=sumv+(c-sumw)*v[i]/w[i];else e.ub=sumv;}void enqueue(nodetype e,queue<nodetype> &qu)//结点e进队qu{if(e.i==n) //到达叶⼦节点，不在扩展对应⼀个解{if(e.v>bestv) //找到更⼤价值的解{bestv=e.v;for(int j=1;j<=n;j++)bestx[j]=e.x[j];}}else qu.push(e); //⾮叶⼦结点进队}void bfs(){int j;nodetype e,e1,e2;queue<nodetype> qu;e.i=0;e.w=0;e.v=0;e.no=total++;for(j=1;j<=n;j++)e.x[j]=0;bound(e);qu.push(e);while(!qu.empty()){e=qu.front();qu.pop(); //出队结点eif(e.w+w[e.i+1]<=c) //剪枝，检查左孩⼦结点{e1.no=total++; //建⽴左孩⼦结点e1.i=e.i+1;e1.w=e.w+w[e1.i];e1.v=e.v+v[e1.i];for(j=1;j<=n;j++)e1.x[j]=e.x[j];e1.x[e1.i]=1;bound(e1); //求左孩⼦的上界enqueue(e1,qu); //左孩⼦结点进队}e2.no=total++;e2.i=e.i+1;e2.w=e.w;e2.v=e.v;for(j=1;j<=n;j++)e2.x[j]=e.x[j];e2.x[e2.i]=0;bound(e2);if(e2.ub>bestv) //若右孩⼦结点可⾏，则进队，否则被剪枝 enqueue(e2,qu);}}void output(){cout<<"最优值是:"<<bestv<<endl;cout<<"(";for(int i=1;i<=n;i++)cout<<bestx[i]<<"";cout<<")";}int main(){input();bfs();output();return0;}。

0-1背包问题四种不同算法的实现

兰州交通大学数理与软件工程学院题目0-1背包问题算法实现院系数理院专业班级信计09学生姓名雷雪艳学号200905130指导教师李秦二Ｏ一二年六月五日一、问题描述：1、0—1背包问题：给定n 种物品和一个背包，背包最大容量为M ，物品i 的重量是w i ,其价值是平P i ，问应当如何选择装入背包的物品，似的装入背包的物品的总价值最大？背包问题的数学描述如下：2、要求找到一个n 元向量(x1，x2…xn)，在满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤∑10i i i x M w x 情况下，使得目标函数px ii∑max，其中，1≤i ≤n ；M>0；wi>0；pi>0。

满足约束条件的任何向量都是一个可行解，而使得目标函数达到最大的那个可行解则为最优解[1]。

给定n 种物品和1个背包。

物品i 的重量是wi ，其价值为pi ，背包的容量为M 。

问应如何装入背包中的物品，使得装人背包中物品的总价值最大？在选择装人背包的物品时，对每种物品i 只有两种选择，即装入背包、不装入背包。

不能将物品i 装人背包多次，也不能只装入部分的物品i 。

该问题称为0-1背包问题。

0-1背包问题的符号化表示是，给定M>0， w i >0， pi >0，1≤i ≤n ，要求找到一个n 元0-1向量向量(x1，x2…xn)， X i =0 或1 , 1≤i ≤n, 使得Mw xi i≤∑ ，而且px ii∑达到最大[2]。

二、解决方案：方案一：贪心算法1、贪心算法的基本原理与分析贪心算法总是作出在当前看来是最好的选择，即贪心算法并不从整体最优解上加以考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优解。

贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，但对范围相当广的许多问题它能产生整体最优解。

在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，但其最终结果却是最优解的很好近似解。

贪心算法求解的问题一般具有两个重要性质：贪心选择性质和最优子结构性质。

用分支限界求解0-1背包问题

实验题目：用分支限界求解0-1背包问题物品个数n=4，背包容量c=7，价值向量p={9，10，7,4}，重量向量w={3,5,2,1}请求出最优的解及其目标函数值。

#include <stdio.h>#include<malloc.h>#defineMaxSize 100//最多结点数typedefstructQNode{floatweight;floatvalue;intceng;structQNode *parent;bool leftChild;}QNode,*qnode;//存放每个结点typedef struct{qnodeQ[MaxSize];int front,rear;}SqQueue;//存放结点的队列SqQueuesq;float bestv=0; //最优解int n=0;//实际物品数float w[MaxSize];//物品的重量float v[MaxSize];//物品的价值int bestx[MaxSize];//存放最优解qnode bestE;void InitQueue(SqQueue &sq ) //队列初始化{}sq.front=1;sq.rear=1;bool QueueEmpty(SqQueue sq) //队列是否为空{}void EnQueue(SqQueue &sq,qnode b)//入队{}qnode DeQueue(SqQueue &sq)//出队{qnode e;if(sq.front==sq.rear){}e=sq.Q[sq.front];printf("队列已空!");return 0;if(sq.front==(sq.rear+1)%MaxSize){}sq.Q[sq.rear]=b;sq.rear=(sq.rear+1)%MaxSize;printf("队列已满!");return ;if(sq.front==sq.rear)return true;elsereturn false;}sq.front=(sq.front+1)%MaxSize;return e;voidEnQueue1(float wt,float vt, int i ,QNode *parent, bool leftchild) {}voidmaxLoading(float w[],float v[],int c){float wt=0;float vt=0;int i=1;//当前的扩展结点所在的层qnode b;if (i==n)//可行叶子结点{}b=(qnode)malloc(sizeof(QNode));//非叶子结点b->weight=wt;b->value=vt;b->ceng=i;b->parent=parent;b->leftChild=leftchild;EnQueue(sq,b);if (vt==bestv){}return;bestE=parent;bestx[n]=(leftchild)?1:0;float ew=0;//扩展节点所相应的当前载重量float ev=0;//扩展结点所相应的价值qnode e=NULL;qnode t=NULL;InitQueue(sq);EnQueue(sq,t);//空标志进队列while (!QueueEmpty(sq)){}printf("最优取法为：\n");wt=ew+w[i];vt=ev+v[i];if (wt <= c){if(vt>bestv)bestv=vt;EnQueue1(wt,vt,i,e,true);//左儿子结点进队列}EnQueue1(ew,ev,i,e,false);//右儿子总是可行；e=DeQueue(sq);//取下一扩展结点if (e == NULL){}ew=e->weight;//更新当前扩展结点的值ev=e->value;if (QueueEmpty(sq))break; EnQueue(sq,NULL);//同层结点尾部标志e=DeQueue(sq);//取下一扩展结点i++;for( int j=n-1;j>0;j--)//构造最优解{}for(int k=1;k<=n;k++){}printf("\n");printf("最优价值为：%.1f\n\n",bestv);if(bestx[k]==1)printf("\n物品%d:重量：%.1f，价值：%.1f\n",k,w[k],v[k]);bestx[j]=(bestE->leftChild?1:0);bestE=bestE->parent;}void main(){int c;float ewv[MaxSize];printf("510专区\n");printf("请输入物品的数量：\n");scanf("%d",&n);printf("请输入背包容量：\n");scanf("%d",&c);printf("\n请输入物品价值和重量:\n\n"); for(int i=1;i<=n;i++){printf("物品%d:",i);scanf("%f%f",&ewv[i],&w[i]);v[i]=w[i]*ewv[i];printf("\n");}}实验结果：maxLoading(w, v, c);。

分支限界法 01背包问题c语言

分支限界法 01背包问题c语言分支限界法是一种解决组合优化问题的算法。

其中，01背包问题是一种经典的背包问题，它要求在给定的容量下，选择商品的组合，使得组合的总价值达到最大化，但组合中每种商品只能选择一次。

C语言是一种广泛使用的编程语言，适用于实现各种算法和数据结构。

下面我将用C语言实现分支限界法来解决01背包问题。

首先，我们定义一个结构体用来表示商品的信息，包括商品的重量和价值：```typedef struct {int weight;int value;} Item;```接下来，我们定义一个递归函数来实现分支限界法。

该函数通过深度优先搜索的方式，尝试不同的选择，并计算当前组合的总价值。

如果当前组合的总价值已经超过了已知的最优解，则剪枝，不再继续搜索。

```void branchAndBound(int index, int capacity, int currentWeight, int currentValue, int n, Item items[], int bestValue, int choice[]) {if (index >= n || currentWeight >= capacity) {if (currentValue > bestValue) {bestValue = currentValue;// 更新最优解for (int i = 0; i < n; i++) {choice[i] = tempChoice[i];}}return;}// 选择当前商品if (currentWeight + items[index].weight <= capacity) {currentWeight += items[index].weight;currentValue += items[index].value;tempChoice[index] = 1;branchAndBound(index + 1, capacity, currentWeight, currentValue, n, items, bestValue, choice);currentWeight -= items[index].weight;currentValue -= items[index].value;tempChoice[index] = 0;}// 不选择当前商品branchAndBound(index + 1, capacity, currentWeight, currentValue, n, items, bestValue, choice);}最后，我们可以在主函数中调用分支限界法来解决01背包问题。

实验 4 用分支限界法实现0-1背包问题

实验四用分支限界法实现0-1背包问题一．实验目的1.熟悉分支限界法的基本原理。

2.通过本次实验加深对分支限界法的理解。

??二．实验内容及要求};double MaxBound(int i);double Knap();void AddLiveNode(double up,double cp,double cw,bool ch,int level);//up是价值上界，cp是相应的价值，cw是该结点所相应的重量，ch是tureorfalsestack<HeapNode>High;//最大队Highdouble w[N],p[N];//把物品重量和价值定义为双精度浮点数double cw,cp,c;//cw为当前重量，cp为当前价值，定义背包容量为cint n;//货物数量为int main(){cout<<"请输入背包容量："<<endl;cin>>c;{double cleft=c-cw;//剩余容量double b=cp;//价值上界while(k<=n&&w[k]<=cleft)//以物品单位重量价值递减装填剩余容量{cleft-=w[k];b+=p[k];k++;}if(k<=n)b+=p[k]/w[k]*cleft;//装填剩余容量装满背包return b;cw=cp=0;double bestp=0;//best为当前最优值double up=MaxBound(1);//价值上界//搜索子集空间树while(1)//非叶子结点{double wt=cw+w[i];if(wt<=c)//左儿子结点为可行结点{if(cp+p[i]>bestp)bestp=cp+p[i];AddLiveNode(up,cp+p[i],cw+w[i],true,i+1);。

《程序设计创新》分支限界法解决01背包问题

《程序设计创新》分支限界法解决01背包问题一、引言分枝限界法通常以广度优先或最小成本（最大收益）优先搜索问题的解空间树。

在分枝限界方法中，每个活动节点只有一次成为扩展节点的机会。

当活动节点成为扩展节点时，将同时生成所有子节点。

这些子节点将丢弃不可执行或非最优解的子节点，并将剩余的子节点添加到活动节点表中。

然后，从活动节点表中选择节点作为当前扩展节点，然后重复上述节点扩展过程。

此过程将持续到所需的解决方案或节点表为空。

二、研究背景在生活或企业活动中，我们常常会遇到一些装在问题。

例如在生活中我们要出去旅游，背包的容量是有限的而要装物品可能很多，但是每个物品的装载优先级肯定是不一样的，那么怎么装更合适一些呢。

在企业活动中，比如轮船集装箱装载问题，集装箱是有限的，那么怎么装载这些货物才能每次都是装载最多的，只有这样企业利润才能最大化。

三、相关技术介绍上述问题就是我们算法中会遇到的背包问题。

而背包问题又分许多。

如背包问题，通常用贪心法解决。

如01背包问题通常用动态规划或者分支限界法解决。

本次我们考虑使用分支限界法来解决01背包问题四、应用示例在01背包问题中，假设有四个物品。

重量W（4,7,5,3），价值V（40,42,25,12），背包重量W为10，试求出最佳装载方案。

定义限界函数： ub = v + （W-w）×（Vi+1/W+1）画出状态空间树的搜索图步骤：①在根结点1，没有将任何物品装入背包，因此，背包的重量和获得的价值均为0，根据限界函数计算结点1的目标函数值为10×10=100；②在结点2，将物品1装入背包，因此，背包的重量为4，获得的价值为40，目标函数值为40 + (10-4)×6=76，将结点2加入待处理结点表PT中；在结点3，没有将物品1装入背包，因此，背包的重量和获得的价值仍为0，目标函数值为10×6＝60，将结点3加入表PT 中；③在表PT中选取目标函数值取得极大的结点2优先进行搜索；④在结点4，将物品2装入背包，因此，背包的重量为11，不满足约束条件，将结点4丢弃；在结点5，没有将物品2装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点2相同，目标函数值为40 + (10-4)×5=70，将结点5加入表PT中；⑤在表PT中选取目标函数值取得极大的结点5优先进行搜索；⑥在结点6，将物品3装入背包，因此，背包的重量为9，获得的价值为65，目标函数值为65 + (10-9)×4=69，将结点6加入表PT中；在结点7，没有将物品3装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点5相同，目标函数值为40 + (10-4)×4＝64，将结点6加入表PT中；⑦在表PT中选取目标函数值取得极大的结点6优先进行搜索；⑧在结点8，将物品4装入背包，因此，背包的重量为12，不满足约束条件，将结点8丢弃；在结点9，没有将物品4装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点6相同，目标函数值为65；⑨由于结点9是叶子结点，同时结点9的目标函数值是表PT中的极大值，所以，结点9对应的解即是问题的最优解，搜索结束。

综合练习 0-1背包动态规划回溯法分支限界法求解过程

设有0/1背包实例，有4件物品，其重量分别为4,2,6,5，价值分别为8,5,18,9，且背包最大容量为16。

问：背包内装入哪些物品可以不超重并且达到最大价值。

解：一、动态规划法求解过程如下：设物品序号为1,2,3,4，向量W={w 1,w 2,w 3,w 4}={4,2,6,5}表示4件物品的重量，向量V={v 1,v 2,v 3,v 4}={8,5,18,9}表示4件物品的价值, C=16表示背包的最大容量。

即在满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤∑=41},1,0{41i x C x w i i i i 的条件下，求∑=41max i i i x v 及对应的向量X, 向量中分量x i 取0或1分别表示物品不放入背包或放入背包。

用二维数组m 记录中间结果，其中m[i][j]表示物品i,i+1,...,n 在容量为j 的背包中产生的最大价值。

根据动态规划法得递归式为：ii i i w j w j j i m v w j i m j i m j i m <≤≥⎩⎨⎧++-++=0]][1[}]][1[],][1[max{]][[nn nw j w j v j n m <≤≥⎩⎨⎧=00]][[n=3, i=1,2,3 j=1,2,.....,10C=16m[1][16]!=m[2][16] x[1]=1 C=16-w1=12m[2][12]==m[3][12] x[2]=0m[3][12]!=m[4][12] x[3]=1 C=12-w3=6m[4][6]>0 x[4]=1 最优值为35，最优解为(1,0,1,1)，对应物品1,3,4。

二、回溯法求解过程如下：按照单位重量价值降序对物品排序，w’={6,2,4,5}, v’={18,5,8,9}，物品编号顺序为s={3,2,1,4}。

判断左儿子是否可行使用约束函数cw+wi<=C，判断右儿子是否有最优解使用限界函数bound(i+1)>bestp。

算法0-1背包问题

一、实验目的与要求掌握回溯法、分支限界法的原理，并能够按其原理编程实现解决0-1背包问题，以加深对回溯法、分支限界法的理解。

1．要求分别用回溯法和分支限界法求解0-1背包问题；2．要求交互输入背包容量，物品重量数组，物品价值数组；3．要求显示结果。

二、实验方案在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入背包或不装入背包。

不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。

三、实验结果和数据处理1．用回溯法解决0-1背包问题：代码：import .*;public class Knapsack{private double[] p,w;d];w[i+1]=ww[q[i].id];}cw=;cp=;bestX = new int[n+1];heap = new MaxHeap(n);double bestp = MaxKnapsack();for(int j=0;j<n;j++)xx[q[j].id]=bestX[j+1];return bestp;}public static void main(String [] args){double w[]=new double[5];w[1]=3;w[2]=5;w[3]=2;w[4]=1;double p[]=new double[5];p[1]=9;p[2]=10;p[3]=7;p[4]=4;double c=7;int x[] = new int[5];double m = Knapsack(p,w,c,x);"优先队列式分支限界法:");"物品个数：n=4");"背包容量：c=7");"物品重量数组：w= {3,5,2,1}"); "物品价值数组：p= {9,10,7,4}"); "最优值：="+m);"选中的物品是:");for(int i=1;i<=4;i++)" ");}}pperProfit;if(upperProfit < xup)return -1;if(upperProfit == xup)return 0;elsereturn 1;}}class Element implements Comparable{int id;double d;public Element(int idd,double dd) {id=idd;d=dd;}public int compareTo(Object x){double xd=((Element)x).d;if(d<xd)return -1;if(d==xd)return 0;return 1;}public boolean equals(Object x){return d==((Element)x).d;}}class MaxHeap{static HeapNode [] nodes;static int nextPlace;static int maxNumber;public MaxHeap(int n){maxNumber = (int)((double)2,(double)n);nextPlace = 1;pperProfit<nodes[j+1].upperProfit) ++j;if(!<nodes[j].upperProfit))break;nodes[s] = nodes[j];s = j;}nodes[s] = rc;}private static void heapSort(HeapNode [] nodes){for(int i=(nextPlace-1)/2;i>0;--i){heapAdjust(nodes,i,nextPlace-1);}}}运行结果：3．用队列式分支限界法解决0-1背包问题：代码：#include<>#include<>#define MAXNUM 100struct node{int step;double price;double weight;double max, min;unsigned long po;};typedef struct node DataType;struct SeqQueue{ /* 顺序队列类型定义 */int f, r;DataType q[MAXNUM];};typedef struct SeqQueue *PSeqQueue;PSeqQueue createEmptyQueue_seq( void ){PSeqQueue paqu;paqu = (PSeqQueue)malloc(sizeof(struct SeqQueue));if (paqu == NULL)printf("Out of space!! \n");elsepaqu->f = paqu->r = 0;return paqu;}int isEmptyQueue_seq( PSeqQueue paqu ){return paqu->f == paqu->r;}/* 在队列中插入一元素x */void enQueue_seq( PSeqQueue paqu, DataType x ){if((paqu->r + 1) % MAXNUM == paqu->f)printf( "Full queue.\n" );else{paqu->q[paqu->r] = x;paqu->r = (paqu->r + 1) % MAXNUM;}}/* 删除队列头元素 */void deQueue_seq( PSeqQueue paqu ){if( paqu->f == paqu->r )printf( "Empty Queue.\n" );elsepaqu->f = (paqu->f + 1) % MAXNUM;}/* 对非空队列,求队列头部元素 */DataType frontQueue_seq( PSeqQueue paqu ){return (paqu->q[paqu->f]);}/* 物品按性价比从新排序*/void sort(int n, double p[], double w[]){int i, j;for (i = 0; i < n-1; i++)for (j = i; j < n-1; j++){double a = p[j]/w[j];double b = p[j+1]/w[j+1];if (a < b){double temp = p[j];p[j] = p[j+1];p[j+1] = temp;temp = w[j];w[j] = w[j+1];w[j+1] = temp;}}}/* 求最大可能值*/double up(int k, double m, int n, double p[], double w[]) {int i = k;double s = 0;while (i < n && w[i] < m){m -= w[i];s += p[i];i++;}if (i < n && m > 0){s += p[i] * m / w[i];i++;}return s;}/* 求最小可能值*/double down(int k, double m, int n, double p[], double w[]) {int i = k;double s = 0;while (i < n && w[i] <= m){m -= w[i];s += p[i];i++;}return s;}/* 用队列实现分支定界算法*/double solve(double m, int n, double p[], double w[], unsigned long* po) {double min;PSeqQueue q = createEmptyQueue_seq();DataType x = {0,0,0,0,0,0};sort(n, p, w);= up(0, m, n, p, w);= min = down(0, m, n, p, w);if (min == 0) return -1;enQueue_seq(q, x);while (!isEmptyQueue_seq(q)){int step;DataType y;x = frontQueue_seq(q);deQueue_seq(q);if < min) continue;step = + 1;if (step == n+1) continue;= + up(step, m - , n, p, w);if >= min){= + down(step, , n, p, w);= ;= ;= step;= << 1;if >= min){min = ;if (step == n) *po = ;}enQueue_seq(q, y);}if +w[step-1]<= m){= + p[step-1]+up(step, [step-1], n, p, w);if >= min) {= + p[step-1] +down(step, [step-1], n, p, w);= + p[step-1];= + w[step-1];= step;= << 1) + 1;if >= min){min = ;if (step == n) *po = ;}enQueue_seq(q, y);}}}return min;}#define n 4double m = 7;double p[n] = {9, 10, 7, 4};double w[n] = {3, 5, 1, 2};int main(){int i;double d;unsigned long po;d = solve(m, n, p, w, &po);if (d == -1)printf("No solution!\n");else{for (i = 0; i < n; i++)printf("x%d 为 %d\n", i + 1, ((po & (1<<(n-i-1))) != 0)); printf("最优值是：%f\n", d);}getchar();return 0;}运行结果：。

分支界限法解0-1背包问题实验报告

一、实验要求1.要求用分支界限法求解0-1背包问题；2.要求交互输入背包容量，物品重量数组，物品价值数组;3.要求显示结果。

二、实验仪器和软件平台仪器：带usb接口微机软件平台：WIN-XP + VC++三、源程序ttinclude “# include<iostream>#include<cstdio>#include<>itincl ude< i oman i p>using namespace std；int *x；struct node //结点表结点数据结构(node *parent；//父结点指针node *next；//后继结点指针int level；//结点的层int bag； //节点的解int cw；//当前背包装载量int cp；//当前背包价值float ub；//结点的上界值};〃类Knap中的数据记录解空间树中的结点信息，以减少参数传递及递归调用所需的栈空间class Knap{private：struct node *front, //队列队首*bestp,*first; //解结点、根结点int *p.*w,n,c,*M；//背包价值、重量、物品数、背包容量、记录大小顺序关系long lbestp；//背包容量最优解public：void Sort ()；Knap(int *pp, int *ww,int cc,int nn):"Knap ()；float Bound(int i t int cw, int cp)://计算上界限node *nnoder(node *pa, int ba, float uub)://生成一个结点ba=l 生成左节点ba=0 生成右节点void addnode (node *nod) ；//向队列中添加活结点void deletenode (node *nod): //将结点从队列中删除struct node extnodeO : //取下一个节点void display (): //输出结果void solvebagO ； //背包问题求解};〃按物品单位重呈的价值排序void Knap：:Sort(){int i,j,k,kkl；float mini；for(i = l； i<n； i++){minl=*p[i]/w[i]:k二0；for(j=l；j<=n-i； j++)(if (minl<*p[j]/w[jj){minl=*p[j]/w[j]:swap(p[k],p[j])；swap(w[k],w[j])；swap(M[k] ,M[j])；k=J；}}}}Knap： :Knap(int *pp, int int cc, int nn){int i;nwri；c=cc；p二new int[n]:w=new int[n]；M=new int[n]；for(i=0；i<n；i++)p[i]=pp[i];讥i]二ww[i]；M[i]=i；〃用M数组记录大小顺序关系}front=new node[l]: front->next=NULL: lbestp二0；bestp 二new no de ⑴； bestp二NULL；Sort()；}Knap： :、Knap(){delete []first； delete []front； delete [lbestp； delete []p；delete []w；}〃取上限最大结点node *Knap：:nextnode(){node *p=front->next；front->next=p->next；return(p):}〃将一个新的结点插入到子集树和优先队列中node * Knap：:nnoder(struct node *pa.int ba,float uub) {//生成一个新结点node * node11二new(node)；nodell->parent=pa；nodell->next=NULL；nodell->level=(pa->level) +1:nodell->bag=ba；nodell->ub=uub；if(ba==l){nodell->cu r:::pa->cw+w[pa-> level]:nodell->cp=pa->cp+p[pa->level]；}elsenodell->cw-pa->cw；nodell->cp=pa->cp；}return(nodell)；}//将结点加入优先队列void Knap：:addnode(node *no){node *p=front->next,*nex11ront；float ub=no->ub；while(p!二NULL){if(p->ub<ub){no->next=p；nextl->next=no；break；} nextl=p； p=p->next；}if (p==NULL){nextl->next=no；}}//计算结点所相应价值的上界float Knap：:Bound(int i,int cw,int cp){int cleft=c-cw；//剩余容量float b=(float)cp；//价值上界〃以物品单位重量价值减序装填剩余容呈while (i<n&&w[i]<=cleft){cleft-二w[i]；b+=p[i]；i卄；}〃装填剩余容量装满背包if (i<n) b+-*p[i]/w[i]*cleft；return b；}//计算最优值和变量值void Knap：:display(){int i；cout«endl；cout«，r当前最优价值为:w«]bestp<<endl ； for (i=n；i>=l；i一一)-bestp->bag；bestp=bestp->parent；}cout<<”变量值X = M； for (i=l；i<=n；i++) cout«x[i-l];cout«endl； }//背包问题求解void Knap：: solvebagO{int i;float ubb;node *aa；//记录上限最大结点first=new node[l]；//根结点first->parent=NULL；first->next=NULL；first->level=O；〃用level记录结点的层first->cw=0；first->cp=0；f irst->bag z:0；ubb二Bound(0.0.0)；first->ub=ubb；front->next=first；while(front->next!=NULL){33二nextnodeO ；i=aa->level；//当叶子节点处的解〉最优解时，更新最优解if(i==n-l){if(aa->cw+w[i]<=c&&(1ong)(aa->cp+p[i])>lbestp){lbestp=aa->cp+p[i]；bestp=nnoder (aa, 1, (float) lbestp);//将一个新的结点插入到子集树和优先队列中}if((long)(aa->cp)>lbestp){lbestp=aa->cp；bestp=nnoder(aa,0.(float)lbestp)；}}//非叶子结点，递归调用Bound函数计算上界if(aa->cw+w[i]<=c&&Bound(i+1■aa->cw+w[i],aa->cp+p[i])Xfloat)1bestp) {ubb二Bound(i,aa->cw+w[i],aa->cp+p[i]);addnode (nnoder (aa, 1, ubb)) ；//将结点加入到优先队列中}ubb=ubb二Bound(i,aa->cw,aa->cp)；if(ubb>lbestp)addnode(nnoder(aa,0.ubb))；}}display ()；}int main(){int c,n；int i二0；int *p；int *w；cout«e ndl；cout«，T***********分支限界法解0T 背包问题*********** n«endl； cout«endl；cout«B请输入物品数量n ="；cin>>n；cout«e ndl；cout«B请输入背包容量C ="；cin»c；cout«endl；x=new int [n]: //变量值p=new int [n]: //物品价值w=new int [n]: //物品重量cout<<"请分别输入这"«n«"个物品的重t W：n«endl；for (i=0; i<n； i++)cin»w[i]:cout«endl；cout«w请输入这个物品的价值P： "«endl；for (i=0; i<n； i++)cin»p[i]:Knap knbag(p.w,n):0；getchO ;return 0；五、实验小结回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找岀满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。

0-1背包问题(分支界限法)

实验报告实验名称课程名称姓名0-1背包问题（分支界限法）算法设计姜玉龙指导老师学号刘晓敏11100140101评分实验地点1C26217一、实验目的1•掌握0-1背包问题的分支限界法；2进一步掌握分支限界法的基本思想和算法设计方法；二' 实验内容（含实验原理介绍）实验日期2014年10月23 H专业班级计算机科学与技术11级二表1班0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。

物品i的重量是Wi,其价值为Vi,背包的容量为C。

应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？三、实验过程及步骤（包含使用软件或实验设备等情况）1 •由0-1背包问题的最优子结构性质，2.查找装入背包物品的3 •边界函数4 •书写实验报告四、实验结果(含算法说明' 程序' 数据记录及分析等，可附页)#include<iostream>#include<stack>using namespace std;#define N 100 classHeapNode // 定义HeapNode 结点类{ public:double upper,price,weight;int level,x[N];};double MaxBound(int i);double Knap();void AddLiveNode(double up,double cp,double cw,bool ch,int level);stack<HeapNode> High; // 最大队Highdouble w[N],p[N]; //把物品重量和价值定义为双精度浮点数double cw,cp,c=30; 〃cw为当前重量，cp为当前价值，定义背包容量为30int n=3; // 货物数量为 3 int main(){coutvv”请按顺序输入3个物品的重量:n«endl; int i;for(i=1 ;i<=n;i++) cin»w[i];coutvv"请按顺序输入3个物品的价值：(按回车键区分每个物品的价值)n«endl; for(i=1 ;i<=n;i++)ci n> >p[i]; coutvv"最大价值为：coutvvKnap()v<endl; 〃调用knap函数输出最大价值return 0; }double MaxBound(int j) //MaxBound 函数求最大上界{ doubleleft=c-cw,b=cp; //剩余容量和价值上界while(jv=n&&w[j]v=left) //以物品单位重量价值递减装填剩余容量{left-=w[j]; b+=p[j]; j++；} if(jv=n)b+=p[j]/w[j]*left; //装填剩余容量装满背包return b;}void AddLiveNode(double up,double cp,double cw,bool ch,int lev) // 将一个新的活结点插入到子集数和最大堆High中{HeapNode be;be.upper=up; be.price=cp;be.weight=cw; be」evel=lev;if(levv=n)High.push(be); // 调用stack 头文件的push 函数}double Knap() 〃优先队列分支限界法，返回最大价值，bestx返回最优解{int i=1;cw=cp=0; doublebestp=O,up二MaxBound⑴；//调用MaxBound求出价值上界，best为最优while(1) 〃非叶子结点{double wt=cw+w[i];if(wt<=c) //左儿子结点为可行结点{if(cp+p[i]>bestp) bestp=cp+p[i]; AddLiveNode(up,cp+p[i]5cw+w[i]5true,i+1);}up=MaxBound(i+1);if(up>=bestp) //右子数可能含最优解AddLiveNode(up,cp,cw,false5i+1);if(High.empty()) return bestp;HeapNode node=High.top(); // 取下一扩展结点High.pop();cw=no de.weight;cp=node.price;up=node.upper;i=node」evel;}}五、实验思考题分支限界法常以广度优先或以最小耗费(最大效益)优先的方式搜索问题的解空间树。

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实验四用分支限界法实现0-1背包问题
一.实验目的
1.熟悉分支限界法的基本原理。

2.通过本次实验加深对分支限界法的理解。

二.实验内容及要求
内容：•给定n种物品和一个背包。

物品i的重量是w,其价值为v，背包容量为c。

问应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？
要求：使用优先队列式分支限界法算法编程，求解0-1背包问题
三.程序列表
#inelude <iostream>
#include <stack>
using namespacestd;
#defi ne N 100
class HeapNode // 定义HeapNode结点类
{
public :
double upper, price, weight; //upper 为结点的价值上界，price 是结点所对应的价值，weight
为结点所相应的重量
int level, x[ N]; //活节点在子集树中所处的层序号
};
double MaxBound(int i);
double Kn ap();
void AddLiveNode( double up, double cp, double cw, bool ch, int level); //up 是价值上界，
cp是相应的价值，cw是该结点所相应的重量，ch是ture or false
stack <HeapNode> High; // 最大队High
double w[ N], p[ N；〃把物品重量和价值定义为双精度浮点数
double cw, cp, c; 〃cw为当前重量，cp为当前价值，定义背包容量为 c int n; //货物数量为
int main()
{
cout << "请输入背包容量："<< endl;
cin >> c;
cout << "请输入物品的个数："<< endl; |
cin >> n;
cout << "请按顺序分别输入物品的重量："<< endl;
int i;
for (i = 1; i <= n; i++)
cin >> w[i]; //输入物品的重量
cout << "请按顺序分别输入物品的价值：” << endl;
for (i = 1; i <= n; i++)
cin >> p[i]; //输入物品的价值
cout << "最优值为：";|
cout << Knap() << endl; //调用knap函数输岀最大价值
return 0;
}
double MaxBound(int k) //MaxBound 函数求最大上界
{
double cleft = c - cw; // 剩余容量
{
cleft -= w[ k]; b += p[ k]; k++; }
if ( k <= n)
b += p[ k] / w[ k] * cleft; return b;
插入到子集数和最大堆High 中
HeapNodebe; be.upper = up; be.price = cp; be.weight = cw be.l evel = lev ; if ( lev <=
n)
High.push(be);
}//调用stack 头文件的push 函数} double Knap()
//优先队列分支限界法，返回最大价值，
bestx 返回最优解 {
int i = 1; cw = cp = 0;
double bestp = 0; //best 为当前最优值
void AddLiveNode( double up, double cp. double cw, bool ch, int lev) //将一个新的活结点
//装填剩余容量装满背包
double up = MaxBound(1); // 价值上界
//搜索子集空间树
while (1) //非叶子结点
{
double wt = cw + w[i];
if (wt <= c) //左儿子结点为可行结点|
{
if (cp + p[i]>bestp)
bestp = cp + p[i];
AddLiveNode(up, cp + p[i], cw + w[i], true , i + 1);
}
up = MaxBou nd(i + 1);
if (up >= bestp) //右子数可能含最优解|
AddLiveNode(up, cp, cw, false , i + 1);
if (High.empty())
return bestp;
HeapNodenode = High.top(); // 取下一扩展结点
High.pop();
cw = no de.weight;
cp = no de.price;
up = no de.upper;
i = node」evel;
}
｝四.实验结果
品 C:\WI N DOWS\syste m 32\cmd . exe
F （全扃范围）
□
X
二界.曲杲相.
■_ J. J J.-
I *
.weight 为奇。

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