洛必达法则详解一元分析学经典讲义

ln x x?1
?
lim
x? 0
x?1 ? x?2
?
?
lim x ?
x? 0
0
2. ? ? ? 型
步骤 :
? ?? ?
1? 1? 00
0? 0. 0 ?0
例8
求 lim ( 1 ? 1 ). x? 0 sin x x
(? ?? )
解
原式 ?
lim x ? sin x x? 0 x ?sin x
?
lim
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例1 求 lim tan x .
(0)
x? 0 x
0
解
原式
?
lim (tan
x )? ?
sec2 lim
x
?
1.
x? 0 ( x )?
x? 0 1
例2
求
lim
x? 1
x
x3 3?
? x
3x 2?
? x
2 ?
. 1
(0) 0
解
原式
?
3x2 ? 3
lim
x? 1
3x2
?
2x
?
? 1
6x lim x? 1 6x ?
?
lim e 2x ? 1 x? 0 2x
?
lim 2e2x x? 0 2
? 1.
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二、0 ?? ,? ? ? ,00 ,1? ,? 0型未定式解法
关键 :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ( 0 ), ( ? ) .
0?
1. 0 ?? 型
步骤: 0 ?? ? 1 ?? , 或 0 ?? ? 0 ?1 .
2
?
3. 2
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? ? arctan x
Baidu Nhomakorabea
例3 求 lim 2 x ? ??
1
.
(0) 0
x
1
解
原式 ?
lim
x? ??
? 1? x2 1
? x2
?
lim
x ? ??
x2 1? x2
? 1.
例4
求 lim ln sin ax . (a ? 0, b ? 0) x? 0? ln sin bx
(? ) ?
若x ? a 换为其它 极限过程, 比如 x ? ? 时, 其它条件 作相应变动， 该法则仍然成立 .
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为 洛必达法则 .
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证 仅证 0 情形. 定义辅助函数 0
f1( x )
?
? ? ?
f
( x ), 0,
x?a ,
?
lim 3 x? ?
cos2 x
2
2
? 1 lim ? 6cos 3x sin 3x ? lim sin 6x
3 x? ? ? 2cos x sin x 2
x? ? sin 2 x 2
? lim 6cos6x ? 3. x? ? 2cos 2x
2
法则可多次使用
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注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好 .比如 等价替换、非 0极限先求等.
F ( x )都趋于零或都趋于无穷 大, 那末极限
lim f ( x ) 称为 0 或 ? 型未定式 .
x? a F (x)
0?
例如, lim tan x , ( 0 )
x? 0 x
0
ln sin x
lim
,
(?
)
x? 0? ln sin x ?
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定理 设(1) 当 x ? a时,函数 f ( x ) 及 F ( x ) 都趋于零
或都趋于无穷大 ;
(2) 在 a 点的某去心邻域内 , f ?( x ) 及 F ?( x ) 都存在且 F ?( x ) ? 0; (3) lim f ?( x ) ? A (有限或无穷大 );
x ? a F ?( x ) 那末 lim f ( x ) ? lim f ?( x ) (? A).
x? a F ( x ) x ? a F ?( x )
?
0
例7 求 lim x ? 2e x .
x ? ??
解
原式 ?
lim
x ? ??
ex x2
( 0 ?? )
? lim e x ? lim e x ? ?? . x ? ?? 2 x 2 x ? ??
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例8 求 lim x ln x . ( 0 ?? )
x? 0?
解
原式 ?
lim
x? 0
f ?(? ) (?在x与a之间) F ?(? )
当x ?
a时,? ?
a,
? lim f ?( x ) ? A, x? a F ?( x )
? lim f ?(? ) ? A, ? ? a F ?(? )
? lim f ( x ) ? lim f ?(? ) ? A. x ? a F ( x ) ? ? a F ?(? )
例6
求
lim
x? 0
tan x2
x? tan
x x
.
解
原式
?
tan x ?
lim
x? 0
x3
x
?
lim
x? 0
sec 2 3
x? x2
1
2sec2 x tan x 1 tan x 1
? lim
? lim
?.
x? 0
6x
3 x? 0 x
3
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例 求 lim e x (1 ? cos x 2 ) .
( L' Hospital ' s rule )洛必达法则
一、0 型及 ? 型未定式解法
0
?
二、0 ?? , ? ? ? ,00 ,1? , ? 0型未定式解法
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结束
一、0 型及 ? 型未定式解法
0
?
( L ' Hospital )洛必达法则
定义 如果当 x ? a时, 两个函数 f ( x )与
x? 0
x ? sin x2
x
?
1 ? cos x lim x? 0 2x
? lim x 2 / 2 ? lim x ? 0.
x? 0 2x
x? 0 4
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x?a
F1( x )
?
? F ( x ),
? ?
0,
x?a ,
x?a
在 N 0(a,? )内任取一点 x , 在以 a 与 x 为端点的区间上 ,
f1( x ), F1 ( x )满足柯西中值定理的条 件, 则有
f (x) ? F(x)
f1(x) ? F1( x ) ?
f1(a) F1( a )
?
f1?(? ) ? F1?(? )
x ? 0 tan 2 x ?( 1 ? x 2 ? 1)
(0) 0
x4
解
原式 ?
lim
x? 0
x
2
2 ?x
2
?
lim 1 ? 1.
x? 0
( 因式 e x ?
1)
2
例
求
lim
x? 0
x2
e2x ? 1 ?(e x ?
? 2x 1? 2x
)
.
(0) 0
解
原式 ?
e2x ? 1?
lim
x? 0
2x2
2x
解
原式 ?
lim
a cos ax ?sin bx
?
lim
cos bx
?
1.
x? 0? b cos bx ?sin ax x? 0? cos ax
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例5 求 lim tan x . x? ? tan 3 x
2
(? ) ?
解
原式
?
lim
x? ?
sec2 x 3sec2 3 x
1 cos2 3 x