洛必达法则详解一元分析学经典讲义
高等数学第三章第二节洛必达法则课件.ppt
lim f (x) g(x)
是未定式极限 , 如果
f (x) 极限 g ( x)
不存在
,
是否
f (x) g(x)
的极限也不存在
?
举例说明 .
3 2
ln(1 x)～ x
分析:
原式
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
1
(3
0)
2 x0
x
2
1
3.
6
分析:
பைடு நூலகம்原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
求
lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
型
n 为正整数的情形.
解:原式 lim
x
nxn1
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
x)
lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
lim 1
x0
cos 3x2
x
lim
x0
1 2
x2
3x2
1 6
1
cos
x
～
1 2
x
2
3)
lim f (x) xa F(x)
洛必达法则的理解及其应用
摘要：对洛必达法则的内涵进行剖析、引申及扩展, 通过实例探讨其应用技巧。
关键词：洛必达法则;内涵剖析;应用技巧;洛比达法则内涵丰富, 是高等数学中求函数未定型极限的一种有力工具。
本文将对洛必达法则的内涵进行深入剖析, 引领学生窥其“庐山真面目”。
然后循序渐进地讲解其应用, 从而帮助学生系统、深入地掌握洛必达法则内容。
1洛比达法则[1]定理1: 若函数f ( x) 和g ( x) 满足:( 2) 在点x0的某空心邻域内两者都可导, 且g' ( x0) ≠0;定理2: 若函数f ( x) 和g ( x) 满足:( 2) 在点x0的某空心邻域内两者都可导, 且g' ( x0) ≠0;二、内涵剖析1. 涵的数学思想方法洛必达法则依据柯西中值定理, 利用求导的方法, 化难为易的数学思想, 将f ( x) /g ( x) 的极限问题转化为f 'x/g' (x) 的极限问题。
2. 几何解释[2]对于定理1, 补充定义, 则参数方程是平面上过原点O的曲线, 记为L, 如图, 则表示曲线上割线OA的斜率, 而为割线斜率的极限, 又割线的极限位置是切线, 即为O点处切线斜率, 另一方面A点处切线的斜率利用参数方程求导为f 'x/g' (x) , 而A处所得切线T随着x→x0的极限位置就是O处的切线OC, 由此表示出OC斜率为从而, 在几何上, 定理1实质上表达了切线的概念, 曲线L的割线OA的极限位置就是过原点的切线OC。
类似可得洛必达法则定理2实质上表达了曲线L上的点A趋于无穷远时, OA的极限位置就是A点处切线的极限位置。
3. 运用法则的关键关键是寻找判断所求极限是否满足三个条件, 有些较难的极限利用洛必达法则可能比较简单, 但若不符合条件时滥用法则, 容易造成错误。
4. 运用法则的一般步骤( 1) 判断所求极限是否可化为法则中的0/0型或∞/∞型, 如0, ∞ - ∞等; ( 2) 判断是否满足条件;( 3) 求, 若存在或为∞ , 则得结果, 若仍为未定式, 则再用法则; 若为循环的情况, 则不可用法则; 若不存在也不为∞ , 则用此法则不可得结果。
高数讲义第二节洛必塔法则
解:分母求导比较麻烦。 先用等价无穷小替换，再用法则。
• 有些未定式也可用其它一些方法来求． 例7 解:
关键:将其它类型未定式化为: 例8 解
步骤:
例9 解
例10 解 例11 解
例12 解
极限不存在
洛必达法则失效，不能说明原极限不存在
注意：当
不存在或不能确定时，
不能说明原极限不存在，需改用其它方法求。
例13 解：这是数列极限，不能直接用洛必达法则
数列极限转化为函数极限
注意：数列没有导数的概念，故对数列未定式的 极限，不能直接用洛必达法则，必须先转化为函 数的极限，再用法则。
三、小结
洛必达法则
使用洛必达法则时的注意事项
（1）所求极限一定要是
（2）可连续使用法则，但每次使用前必须验 证法则的条件。
（3）其它形式的未定式必须先转化为 再用法则。
（4）当法则失效时，不能说明原极限不存在， 要改用其它方法。
（5）注意将法则与其它方法结合使用。 （6）对数列极限使用法则时，必须先转化为函数极限
作业 习题32（P137）：
1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16),
解
×
二、其它形式未定式的洛必达法则 （1）x 时，f (x) 0 , F(x) 0. （2）x a 时，f (x) , F(x) . （3）x 时，f (x) , F(x) . 定理2：设
例3 解 例4 解
例5 解
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
第二节 洛必达法则
三、小结
定义
定理1：设
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第三章 培优点3 洛必达法则
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第三章培优点3 洛必达法则洛必达法则：若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；注意：1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，洛必达法则也成立.4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.题型一 用洛必达法则处理 型函数若x＝0，则a∈R；若x>0，令h(x)＝2x cos x－2sin x－sin x cos x＋x，h′(x)＝2cos x－2x sin x－2cos x－cos 2x＋1＝－2x sin x－cos 2x＋1＝2sin2x－2x sin x＝2sin x(sin x－x)，因此，当x∈(0，π)时，h′(x)<0，h(x)在(0，π)上单调递减，且h(0)＝0，故g′(x)<0，所以g(x)在(0，π)上单调递减，另一方面，当x∈[π，＋∞)时，思维升华当x＝1时，不等式恒成立，m∈R；令m(x)＝x2－x2ln x－ln x－1，x>1，令n(x)＝x2－2x2ln x－1，x>1，则n′(x)＝2x－4x ln x－2x＝－4x ln x<0，得n(x)＝x2－2x2ln x－1在(1，＋∞)上单调递减，故n(x)<n(1)＝0，得φ(x)在(1，＋∞)上单调递减，进而m′(x)＝φ(x)<φ(1)＝0).所以m(x)在(1，＋∞)上单调递减，可得m(x)<m(1)＝0，故h′(x)<0，题型二 用洛必达法则处理 型函数例2 已知函数f(x)＝ax－a－x ln x.若当x∈(0,1)时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.依题意，ax－a－x ln x≥0恒成立，即a(x－1)≥x ln x恒成立，令g(x)＝x－1－ln x，x∈(0,1)，∴g(x)在(0,1)上单调递减，∴g(x)>g(1)＝0，∴φ′(x)>0，即φ(x)在(0,1)上单调递增.∴φ(x)>0，故a≤0，综上，实数a的取值范围是(－∞，0].思维升华跟踪训练2 已知函数f(x)＝2ax3＋x.当x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3－a，求a的取值范围.当x∈(1，＋∞)时，f(x)>x3－a恒成立，即2ax3＋x>x3－a恒成立，即a(2x3＋1)>x3－x恒成立，∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递增，能力提升1.已知函数f(x)＝x(e x－1)－ax2，当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.当x≥0时，f(x)≥0，即x(e x－1)≥ax2.当x＝0时，a∈R；记h(x)＝(x－1)e x＋1，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝x e x>0，因此h(x)＝(x－1)e x＋1在(0，＋∞)上单调递增，即当x→0时，g(x)→1，所以g(x)>1，即有a≤1.综上所述，当a≤1，x≥0时，f(x)≥0成立.2.若∀x∈[0，＋∞)，x－ln(x＋1)≤ax2恒成立，求a的取值范围.当x＝0时，a∈R；所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以h(x)<h(0)＝0，即g′(x)<0，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，本课结束。
一文讲透洛必达法则
洛必达法则，一个富二代用钱买来的数学定理。
有句谚语“遇事不决洛必达”，说明它非常好用。
其实它非常好理解，甚至相比于泰勒展开它简单太多，它只不过是一阶泰勒展开。
本施篇文章从背景介绍内容介绍使用限制直观解释严格推导极限可以取到无穷远5个维度去彻底认识洛必法则，关于泰勒展开的文章参见之所以很多考试题目禁止使用洛必达法则是因为直接使用结论就跳过了出题人要考察的思想。
如果我们做题时推导过程把洛必达法则的思想也简单体现出来，而不是直接使用结论那就不会被禁止了。
因为这相当于没有使用洛必达法则，而是你自己直接悟出了这种思想，正所谓“英雄所见略同”。
但前提是得遇到明智的阅卷老师，否则他会因为不懂而误以为你不是“精金”，而是“秽土”。
1. 背景介绍在严格解释与认证之前，我们先介绍一下背景。
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定原分式极限的方法，其实这是由瑞士数学家伯努力发现的，只不过当时洛必达买走了伯努力的知识产权，后来以洛必达命名。
洛必达是法国中世纪的王公贵族，他喜欢并且酷爱数学，后拜伯努利为师学习数学。
但洛必达法则并非洛必达本人研究。
实际上，洛必达法则是洛必达的老师伯努利的学术论文，由于当时伯努利境遇困顿，生活困难，而学生洛必达又是王公贵族，洛必达表示愿意用财物换取伯努利的学术论文，伯努利也欣然接受。
此篇论文即为影响数学界的洛必达法则。
在洛必达死后，伯努利宣称洛必达法则是自己的研究成果，但欧洲的数学家并不认可，他们认为洛必达的行为是正常的物物交换，因此否认了伯努利的说法。
事实上，科研成果本来就可以买卖，洛必达也确实是个有天分的数学学习者，只是比伯努利等人稍逊一筹。
洛必达花费了大量的时间精力整理这些买来的和自己研究出来的成果，编著出世界上第一本微积分教科书，使数学广为传播。
并且他在此书前言中向莱布尼兹和伯努利郑重致谢，特别是约翰·伯努利。
这是一个值得尊敬的学者和传播者，他为这项事业贡献了自己的一生。
(参考资料)洛必达法则详解
sec x
1
正解：
lim lim 1 x tan x x sin x
2
2
18
信息学院 罗捍东
4.2.3 其它型未定式
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型 ( 0 ),( ) .
0
1. 0 型
步骤:
0 0 0,
1
0
或
0
1
0
.
19
信息学院 罗捍东
例11: 求 lim x2e x . x
3. 1 ,00 ,0 型
步骤:
1
ln1
00
取对数
0 ln 0
0
0 ln
0 .
23
信息学院 罗捍东
1
例13: 求 lim x1 x . x1
( 1 )
e 1
1 ln x
解: lim x1x lim e1x
x1
x1
limln x x11 x
1
e
lim x
x1 1 e1 .
24
罗捍东
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
29
其它型的未定式还有： 0 , ,1 ,00,0
1
信息学院 罗捍东
4.2.1 0 型未定式 0
定理：洛必达法则 设:(1) lim f (x) lim g(x) 0;
xa
xa
(2) f (x), g(x)在a点的某去心邻域内可导,且g(x) 0;
(3) lim f (x) 存在(或); xa g(x)
数论洛必达法则
数论洛必达法则-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:数论洛必达法则是数学中一个重要的定理，它在解决极限计算问题中扮演着重要的角色。
洛必达法则主要用于解决形式为\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}的不定式极限问题。
这个法则的提出和应用，极大地简化了求解极限的复杂程度，成为数学分析中的重要工具。
在本文中，我们将对洛必达法则进行详细的介绍，包括其概念、应用和意义。
我们将深入探讨这一定理在数论领域中的重要性，以及它在数学研究和实际问题中的应用。
同时，我们也会对洛必达法则的局限性进行探讨，以及未来在这一领域中的发展展望。
通过本文的阐述，读者将更加深入地理解数论洛必达法则，并对数学研究中的极限问题有更深入的认识。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文将分为引言、正文和结论三部分进行阐述。
引言部分将从概述、文章结构和目的三方面介绍数论洛必达法则的重要性和意义。
正文部分将详细介绍洛必达法则的概念、应用和意义，包括其在数论领域的具体运用和影响。
结论部分将对洛必达法则进行总结，并讨论其局限性和未来的发展方向，以展望洛必达法则在数论研究中的潜力。
每个部分将以清晰的逻辑顺序和详细的论证来展现洛必达法则在数论领域的重要性和价值。
1.3 目的本文旨在深入探讨数论中的洛必达法则，并分析其概念、应用和意义。
通过对洛必达法则进行系统性的介绍和解读，旨在帮助读者更好地理解这一重要的数学原理，并且探讨洛必达法则在数论领域中的具体运用。
同时，本文也将对洛必达法则的局限性进行深入分析，并展望未来在数论研究中的潜在应用。
通过本文的阐述，读者将能够更全面地了解洛必达法则在数论领域中的重要性和意义，以及未来可能的发展方向。
2.正文2.1 洛必达法则的概念洛必达法则是数学中的一个重要概念，通常用于解决极限计算中的不定式形式。
它最初由意大利数学家洛必达（L'Hôpital）在17世纪提出，并在微积分学中得到广泛应用。
第一部分微分中值定理洛必达法则教学-PPT精选
通常称为未定式，分别记为 0 和 。
0
下面介绍利用导数求未定式极限的一个简单而 有效的方法——罗必达法则。
1、 0 型未定式：
0
定理：若函数 f(x)和g(x) 满足下列条件：
(1 ) lim f(x ) 0 ,lig m (x ) 0 ;
[0, x]上满足拉格朗日定理的条件，因此有
f ( x ) f ( 0 ) f () x ( 0 ) ( 0 , x )
即 ln(1x) x
1
由于 0x ， 所以
x x x
1x 1
即
x ln1(x)x
1x
二、罗必达法则
如果当 x x0(或 x )时，两个函数f(x)和g(x) 的极限都为零或都趋于无穷大，极限
第一节 微分中值定理 洛必达法则
一、微分学中值定理 二、罗必达法则
一、微分学中值定理
1、罗尔定理 定理1 （罗尔定理）如果函数 y f(x)满足下
列条件： （1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b)内可导； （3）f(a)=f(b)。
则在开区间（a,b)内至少存在一点 ，使得
f()0
lim2x3
xlnx
1
x
例9 求 lim lnsin3x
x0 ln sin x
解
limlns
in3x lims
1 .3c in3x
o3sx
x0 lnsinx x0
1 .coxs
sinx
3lim co3xs.lim six n x 0 coxsx 0si3 nx
x x 0
高等数学——详解洛必达法则
高等数学——详解洛必达法则今天和大家一起复习的是洛必达法则，这个法则非常重要，在许多问题的解法当中都有出现。
虽然时隔多年，许多知识点都已经还给老师了，但是我仍然还记得当年大一的时候，高数老师在讲台上慷慨激昂的样子。
上篇文章当中我们回顾了微分中值定理，今天要说的洛必达法则其实是微分中值定理一个经典的应用。
所以有遗忘或者是新关注的同学可以点下下方的链接回顾一下上篇文章的内容。
一文讲透高数中的微分中值定理用处我们学习的目的往往很朴素，就是学以致用，之前的时候我总觉得这种想法有些现实，后来我发现很多学了不能致用的知识都忘得差不多了。
所以尽管我们的心态要放好，但是操作的时候可以实际一些，先从用处入手，也许能更好地理解也说不定。
洛必达法则的应用场景非常简单，就是能解决一些一下子无法求解的极限问题。
不知道大家有没有发现，不管在什么领域，总有一些一下子无法解决的问题。
伴随着对这些问题的研究，我们的技术和理论在不断的进步，工作在不断地简化，效率越来越高。
无论是数学上某个领域的突破还是计算机当中某些工具的迭代和演进，莫不如此。
我们之前介绍极限的文章当中讲过一道例题：在这题当中，由于x趋向于0的时候，sinx 和x都趋向于0，我们要计算0除以0的结果，当时为了解决这个问题，我们用上了夹逼法，对它进行了缩放之后才得到了极限。
类似的极限还有很多，本质上来说问题在于当分子和分母都趋向于0时，我们很难计算得到结果。
再比如x/x^2，这个问题很简单，只要进行约分，那么就是1/x 的极限，x趋向于0时，显然 1/x 趋向于无穷大。
但如果不约分呢？它就是一个极限0除以极限0的问题，和上面的结果不同，它的比值结果是无穷大。
洛必达法则就是为了解决上述这些极限问题而出现的。
定义洛必达法则的本质是一个定理，它规定，如果一个形如的极限，如果它满足：1.x趋向于常数a时，函数f(x)和F(x)都趋向于02.在点a的去心邻域内，f(x)和F(x)的导数都存在，并且F'(x) 不等于 03.存在 lim f'(x)/F'(x)那么：也就是当变量趋向于一个常数时，如果分子分母函数的导数存在，那么我们可以用导数的极限比值来代替原函数的比值。
经典洛必达法则-PPT课件
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
k k e f ( ) e kf ( ) 0
cos x 0 .( ) 例 求 lim 0 x 2 x 2 sin x (cosx) 解 原式 lim lim sin 1. 1 x 2 x 2 ) 2 (x 2
cos x 1 x 0 例求 lim .( ) 3 x 0 0 x 1 s in x 21 x 解 原式 lim . 2 x 0 3 x
例
3 x 3 x 2 求 lim . 3 2 x 1x x x 1
0 ( ) 0
解：
正解：
×
注意: 不是未定式不能用L’Hospital法则 !
2、 型未定式解法：
定理3：设
(1) 定理 3 对其他极限过程也是成 立的。
f ( x ) ( 2 ) 当 lim 不存在也不为 时，应改用他 F ( x )
f( x x ) sin x 0
F ( x ) f ( x ) sin x
验证 F ( x ) 在 [0,] 上满足Rolle定理条件.
3.
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
f ( x ) f ( x ) ( 或 f ( x ) f ( x )), 0 0 ( x ) 0 . 那么 f 0
洛必达法则详解【一元分析学经典讲义】
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练习题
一、 填空题： 填空题：
0 ∞ 1、洛必达法则除了可用于求“ ” 及“ ”两种类 洛必达法则除了可用于求“ ， 0 ∞ 型的未定式的极限外，也可通过变换解决 _____________， _____________， ____________， _____________，_____________，____________， _____________，_____________， _____________，_____________，等型的未定式 的求极限的问题. 的求极限的问题.
2 2
6 cos 6 x 3. = = lim π x → 2 cos 2 x
2
法则可多次使用
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注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 但与其它求极限方法结合使用，效果更好.比如 等价替换、 极限先求等 等价替换、非0极限先求等. 例6 解
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例
求 lim
e x (1 − cos x 2 ) x ⋅ ( 1 + x 2 − 1)
x → 0 tan 2
.
0 ( ) 0
x4 2 = lim 1 = 1. ( 因 e x →1 ) 原式 = lim 解 式 2 x →0 x→0 2 x x ⋅ 2 0 e2 x − 1 − 2 x ( ) 例 求 lim 2 x . 0 x → 0 x ⋅ (e + 1 + 2 x )
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三、小结
洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，可多次 使用， 不是万能的. 使用，但不是万能的 它与其它求极限方法结合使 效果更好.比如等价替换 等价替换、 极限先求等 用，效果更好.比如等价替换、非0极限先求等
洛必达法则课件
0 0
)
lim lim
e cos x 2x e sin x
x
x 0
(
)
.
x 0
2
12
洛必达法则
例 求 lim
x
tan x tan 3 x
2
.
(
)
解
原式 lim
x
sin x cos 3 x cos x sin 3 x
cos 3 x cos x
0 0
2
lim
)
有:
lim
e n次
x ln x .
n!
x
e
n
x
0
14
洛必达法则
用法则求极限有两方面的局限性
其一, 当导数比的极限不存在时,不能断定函数 比的极限不存在, 这时不能使用洛必达法则. 例
求 lim x cos x x
x
x
解
原式 lim
x a ( x )
lim
f ( x) F ( x)
lim
称为
tan x x
0 0
(
或
0 0 )
型未定式.
lim ln sin ax ln sin bx
x 0
如,
(
)
x 0
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定. 在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算 法则来求.
9
洛必达法则
1 f f ( x ) z lim lim A x F ( x ) z 0 1 F z
高等数学课件-D32洛必达法则
例题二：判断函数性质问题
题目
判断函数 f(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x)) 的奇偶性。
解题思路
本题考察的是利用洛必达法则判断函数的性质。 首先，我们需要判断函数在x=0处的值，然后 利用洛必达法则求解函数在x→0时的极限值， 最后根据奇偶性的定义进行判断。
例题二：判断函数性质问题
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总结回顾本次课程内容
洛必达法则的基本概念
洛必达法则是用于求解不定式极限的一种有效方法，通过分子分母分别求导的方式，简化极限的求解 过程。
洛必达法则的适用条件
在使用洛必达法则时，需要满足一定的条件，如分子分母在某点的去心邻域内可导，且分母导数不为 零等。
洛必达法则的求解步骤
首先验证是否满足适用条件，然后分别对分子分母求导，得到新的分子分母，再次判断是否满足适用 条件，如此循环直至求出极限或判断极限不存在。
泰勒公式可以将函数展开为多项式形式，而洛必达法则可 以解决多项式函数的极限问题。因此，可以将泰勒公式与 洛必达法则结合使用，解决复杂函数的极限问题。
要点二
复杂函数极限的求解
对于复杂函数，可以先使用泰勒公式将其展开为多项式形 式，然后应用洛必达法则进行求解。这种方法可以简化复 杂函数的极限求解过程。
在复变函数中应用
证明过程
由于$varphi(x)$在点$a$附近单调且有界，因此存在极限 $lim_{x to a} varphi(x) = l$。又因为$frac{F'(x)}{G'(x)} to l$， 所以$frac{F(x)}{G(x)} to l$。
03 洛必达法则在高等数学中 应用
专题05 洛必达法则(解析版)
备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第一篇专题五 洛必达法则一、问题指引“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现00型或∞∞型可以考虑使用洛必达法则。
二、方法详解法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x af x →= 及()lim 0x ag x →=；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；(3)()()limx a f x l g x →'='， 那么 ()()limx af xg x →=()()limx af x lg x →'='。
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞= 及()lim 0x g x →∞=；(2)0A ∃f ，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g'(x)≠0；(3)()()limx f x l g x →∞'='， 那么 ()()lim x f x g x →∞=()()limx f x l g x →∞'='。
法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x af x →=∞及()lim x ag x →=∞；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；(3)()()limx a f x l g x →'='，那么 ()()limx af xg x →=()()limx af x lg x →'='。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1.将上面公式中的x→a ，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立。
洛必达法则讲解及应用
那么
lim f (x) lim f (x) . xa g(x) xa g(x)
证 由于 lim f (x) 0，lim g(x) 0 可知x=a或者是f(x)，
xa
xa
g(x)的连续点，或者是f(x),g(x)的可去间断点.
如果x=a为f(x)，g(x)的连续点，则可知必有f(a)=0， g(a)=0.从而
对于x 时的0型，有 0
定理4.5 如果f(x)和g(x)满足下列条件：
(1) lim f (x) 0，lim g(x) 0，
x
x
(2) 当| x | 足够大时，f (x)和g(x)存在，且g(x) 0,
(3) lim f (x) 存在(或为无穷大)，那么 x g(x)
那么
lim f (x) lim f (x) . x g(x) x g(x)
xa
(x)
(x)
则称 lim [ f (x) g(x)]为 型极限.
xa (x)
对于 型，将函数进行恒等变型化为0 型或 0
型，再由洛必达法则求之.
例7 求 lim x ln x.
x0
解 lim x ln x lim ln x.
x0
x0 1
x
如果先令 x t，x 0时，t 0 ,因此
证明时，只要令x 1 就可利用定理4.4的结论得 t
出定理4.5.
例1 求 lim e x ea . xa x a
解 为 0 型，由洛必达法则有 0 lim e x ea lim (e x ea ) xa x a xa (x a) lim e x xa 1 ea.
1
例2 求 lim x . x arc cot x
那么
洛必达课件
x0
x0
利用 例5
e0 1
例8. 求
lim
x0
tan x x x2 sin x
.
0型 0
解: 注意到 ～
原式
lim
x0
tan x x3
x
lim
x0
sec2 x 3x2
1
lim
x0
tan2 x 3x2
sec2 x 1 tan2 x
1 3
例9. 求 lim n ( n n 1).
n
解: 原式
1
cos
x
～
1 2
x2
3. 求
解: 令 t 1 , 则 x
原式 lim
t0
1 2t 2 t2
1t 1
lim
(1
2
t
)
1 2
(1
t
)
1 2
t0
2t
lim
(1
2t
)
3 21 2ຫໍສະໝຸດ (1 t)
3 2
1
t0
2
4
5. 求下列极限 :
1) lim [x2 ln(1 1) x];
x
x
2)
lim
x0
1 x100
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
例4.
求 lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
(2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
从而 由(1)
xk xn xk 1
xk ex
xn ex
第六节 洛必达法则
第一节洛必达法则在上一章中我们研究了导数的概念以及它们的计算方法,本章将利用导数来研究函数在区间上的某些特性,并利用这些特性解决一些实际问题一. 微分学中值定理[拉格朗日中值定理]如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使即成立。
这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。
[ 罗尔定理]若在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。
下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理[柯西中值定理]如果函数，在闭区间[a ，b]上连续，在开区间(a ，b)内可导，且≠0，那末在(a ，b)内至少有一点c，使成立。
在求函数的极限时，常会遇到两个函数、都是无穷小或都是无穷大时，求它们)(x f )(x F 比值的极限，此时极限可能存在，也可能不存在．通常把这种极限叫做未定式，)()(limx F x f 并分别简称为型或型。
例如，就是型的未定式；而极限就是00∞∞xx x sin lim 0→00x x x ln lim +∞→型的未定式．我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用"商的极限等于极限∞∞的商"这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则.一、型未定式定理1 设函数、满足下列条件：)(x f )(x F （1），；0)(lim 0=→x f x x 0)(lim 0=→x F x x （2）与在)(x f )(x F 0x （3）存在（或为无穷大），则)()(lim0x F x f x x ''→这个定理说明：当存在时，也存在且等于；当)()(lim 0x F x f x x ''→)()(lim 0x F x f x x →)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，也是无穷大．)()(lim0x F x f x x ''→)()(lim 0x F x f x x →这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（ospital ）法则.H L '例1计算极限.0e 1lim x x x →-解 该极限属于“”型不定式，于是由洛必达法则，得.0e 1lim x x x →-0e lim 11x x →==例2计算极限．0sin lim sin x axbx →解 该极限属于“”型不定式，于是由洛必达法则，得．00sin cos limlim sin cos x x ax a ax abx b bx b→→==注 若仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即(),()f x g x ''．()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''===''' 例3 计算极限．33221216lim 248x x x x x x →-+--+解 由洛必达法则，得．33221216lim 248x x x x x x →-+--+222312lim 344x x x x →-=--263lim 642x x x →==-例4 计算极限．arctan 2lim 1x xxπ→+∞-解 ．arctan 2lim 1x xx π→+∞-2211lim1x x x→+∞-+=-22lim 11x x x →+∞==+二、型未定式∞∞定理2 设函数、满足下列条件：)(x f )(x F （1），；∞=→)(lim 0x f x x ∞=→)(lim 0x F x x （2）与在的某一去心邻域内可导，且；)(x f )(x F 0x 0)(≠'x F （3）存在（或为无穷大），则)()(lim0x F x f x x ''→注：上述关于时未定式型同样适0x x →∞∞∞∞用．例5 计算极限．ln lim(0)x xx αα→+∞>解 此极限满足洛必达法则，于是得．11ln 1lim lim lim 0x x x x x x x x ααααα-→+∞→+∞→+∞===例6 计算极限．lim (0)nx x x n e →+∞>解 所求问题是型未定式，连续次施行洛必达法则，有∞∞n ．lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞=== 例7 计算极限．20tan lim sin x x xx x →-解 （利用等价无穷小量代换）20tan lim sin x x x x x →-30tan limx x xx →-=sin x x :．22222000sec 1tan 1tan 1lim lim lim()3333x x x x x x x x x →→→-====使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变00∞∞形成“”或“”型才能运用该法则；00∞∞（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．习题4-61.用洛必达法则求下列极限：（1）； （2）；πππ--→x x x )sin(limx xx 2tan 3tan lim 0→（3）； （4）；)0(ln lim >+∞→n x xn x 为常数）、n m x x nn m m x ,0(lim ≠--→αααα（5）； （6）；20)1ln(lim x x x +→x arc x x cot )11ln(lim ++∞→（7）； （8）．xx xe e x x x sin 2lim 0----→x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→4. 洛必达法则在使用洛必塔法则时应注意以下几点：①洛必塔法则只适用于型或型的极限.00∞∞②如果仍是型或型,则可继续使用洛必塔法则.(x)g )( lim ''x f 00∞∞③如果不存在且不是,并不表明不存在,只表明洛必塔法则失效,这(x)g )( lim ''x f ∞g(x))( lim x f 时应用其他方法求解.第二节函数的极值一、函数单调性的判定法函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？我们知道若函数在某区间上单调增(或减)，则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正(或负),也就是函数的导数在此区间上均取正值(或负值).因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性.判定方法[定理] 设函数在上连续，在内可导.()y f x =],[b a ),(b a （１）如果在内，那么函数在上单调增加；),(b a 0)(>'x f ()y f x =],[b a （２）如果在内，那么函数在上单调减少.),(b a 0)(<'x f ()y f x =],[b a 证明 （1）由于函数满足拉格朗日中值定理条件，故在上)(x f ],[b a 任取两点（不妨设），必有使21,x x 21x x <),,(21x x ∈ξ))(()()(12a b f x f x f -'=-ξ 如果，必有，于是0)(>'x f 0)(>'ξf ，0)()(12>-x f x f 即 ).()(21x f x f <这表明函数在上单调增加.()y f x =],[b a 同理可证，如果，函数在上单调减少.0)(<'x f ()y f x =],[b a 注：（1）在上面定理的证明过程中易于看到，闭区间若改为开],[b a 区间或无限区间，该定理结论同样成立．),(b a （2）有的可导函数在某区间内的个别点处，导数等于零，但函数在该区间内仍旧是单调增加（或单调减少.例如，幂函数的导数，当时，3x y =23x y ='0=x 但它在内是单调增加的，如图所.0='y ),(+∞-∞示．(图4-2) 图4-2[例1]讨论函数的单调性.ln y x =解 的定义域为.ln y x =(0,)+∞因为，10[(0,)]y x x'=>∈+∞所以在其定义域内单调增加.ln y x =(0,)+∞[ 例2]：确定函数的增减区间.解：此函数的定义域为(－∞,＋∞)因为：，所以可以判出：当x ＞0时，＞0，故它的单调增区间为(0,＋∞)；当x ＜0时，＜0，故它的单调减区间为(-∞,0)；注：此判定方法若反过来讲，则是不正确的。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.5.1) 洛必达法则
lim
x →a+
f (x) g (x )
=
α.
证明.
补充定义 f (a) = g(a) = 0, 则 f , g ∈ C0[a, b). 由 Cauchy 定理, 任给 x ∈ (a, b), 存在
ξ ∈ (a, x), 使得
f (x) f (x) − f (a) f (ξ)
=
=.
g(x) g(x) − g(a) g (ξ)
=
.
g(b) − g(a) g (ξ)
证明. 由 g 处处非零和 Rolle 定理可知 g(b) = g(a). 记
f (b) − f (a)
ν=
, h(x) = f (x) − νg(x),
g(b) − g(a)
则 h(a) = h(b). 根据 Rolle 定理, 存在 ξ ∈ (a, b), 使得 h (ξ) = 0. 此时 f (ξ) = νg (ξ), 整理以后即得欲证等式.
g(a + η)
g(x) = g(x) + g (ξ) 1 − g(x) .
利用 (1) 式以及条件 (i) 不难得知, 存在正数 δ < η, 使得当 x ∈ (a, a + δ) 时
f (x) g(x) < ε,
这说明
lim
x →a+
f (x) g (x )
=
0.
(2) α ∈ R. 此时, 通过将 f 换成 f − αg 可以转化为情形 (1).
ξ ∈ (a, b), 使得
f (b) − f (a) f (ξ)
=
.
g(b) − g(a) g (ξ)
Cauchy 中值定理
定理 1 (Cauchy)
洛必达法则洛必达法则
洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
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?
lim e 2x ? 1 x? 0 2x
?
lim 2e2x x? 0 2
? 1.
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二、0 ?? ,? ? ? ,00 ,1? ,? 0型未定式解法
关键 :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ( 0 ), ( ? ) .
0?
1. 0 ?? 型
步骤: 0 ?? ? 1 ?? , 或 0 ?? ? 0 ?1 .
f ?(? ) (?在x与a之间) F ?(? )
当x ?
a时,? ?
a,
? lim f ?( x ) ? A, x? a F ?( x )
? lim f ?(? ) ? A, ? ? a F ?(? )
? lim f ( x ) ? lim f ?(? ) ? A. x ? a F ( x ) ? ? a F ?(? )
?
0
例7 求 lim x ? 2e x .
x ? ??
解
原式 ?
lim
x ? ??
ex x2
( 0 ?? )
? lim e x ? lim e x ? ?? . x ? ?? 2 x 2 x ? ??
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例8 求 lim x ln x . ( 0 ?? )
x? 0?
解
原式 ?
lim
x? 0
2
?
3. 2
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? ? arctan x
例3 求 lim 2 x ? ??
1
.
(0) 0
x
1
解
原式 ?
lim
x? ??
? 1? x2 1
? x2
?
lim
x ? ??
x2 1? x2
? 1.
例4
求 lim ln sin ax . (a ? 0, b ? 0) x? 0? ln sin bx
(? ) ?
( L' Hospital ' s rule )洛必达法则
一、0 型及 ? 型未定式解法
0
?
二、0 ?? , ? ? ? ,00 ,1? , ? 0型未定式解法
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结束
一、0 型及 ? 型未定式解法
0
?
( L ' Hospital )洛必达法则
定义 如果当 x ? a时, 两个函数 f ( x )与
x ? 0 tan 2 x ?( 1 ? x 2 ? 1)
(0) 0
x4
解
原式 ?
lim
x? 0
x
2
2 ?x
2
?
lim 1 ? 1.
x? 0
( 因式 e x ?
1)
2
例
求
lim
x? 0
x2
e2x ? 1 ?(e x ?
? 2x 1? 2x
)
.
(0) 0
解
原式 ?
e2x ? 1?
lim
x? 0
2x2
2x
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例1 求 lim tan x .
(0)
x? 0 x
0
解
原式
?
lim (tan
x )? ?
sec2 lim
x
?
1.
x? 0 ( x )?
x? 0 1
例2
求
lim
x? 1
x
x3 3?
? x
3x 2?
? x
2 ?
. 1
(0) 0
解
原式
?
3x2 ? 3
lim
x? 1
3x2
?
2x
?
? 1
6x lim x? 1 6x ?
F ( x )都趋于零或都趋于无穷 大, 那末极限
lim f ( x ) 称为 0 或 ? 型未定式 .
x? a F (x)
0?
例如, lim tan x , ( 0 )
x? 0 x
0
ln sin x
lim
,
(?
)
x? 0? ln sin x ?
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定理 设(1) 当 x ? a时,函数 f ( x ) 及 F ( x ) 都趋于零
x? 0
x ? sin x2
x
?
1 ? cos x lim x? 0 2x
? lim x 2 / 2 ? lim x ? 0.
x? 0 2x
x? 0 4
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解
原式 ?
lim
a cos ax ?si bx
?
1.
x? 0? b cos bx ?sin ax x? 0? cos ax
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例5 求 lim tan x . x? ? tan 3 x
2
(? ) ?
解
原式
?
lim
x? ?
sec2 x 3sec2 3 x
1 cos2 3 x
例6
求
lim
x? 0
tan x2
x? tan
x x
.
解
原式
?
tan x ?
lim
x? 0
x3
x
?
lim
x? 0
sec 2 3
x? x2
1
2sec2 x tan x 1 tan x 1
? lim
? lim
?.
x? 0
6x
3 x? 0 x
3
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例 求 lim e x (1 ? cos x 2 ) .
x?a
F1( x )
?
? F ( x ),
? ?
0,
x?a ,
x?a
在 N 0(a,? )内任取一点 x , 在以 a 与 x 为端点的区间上 ,
f1( x ), F1 ( x )满足柯西中值定理的条 件, 则有
f (x) ? F(x)
f1(x) ? F1( x ) ?
f1(a) F1( a )
?
f1?(? ) ? F1?(? )
?
lim 3 x? ?
cos2 x
2
2
? 1 lim ? 6cos 3x sin 3x ? lim sin 6x
3 x? ? ? 2cos x sin x 2
x? ? sin 2 x 2
? lim 6cos6x ? 3. x? ? 2cos 2x
2
法则可多次使用
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注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好 .比如 等价替换、非 0极限先求等.
若x ? a 换为其它 极限过程, 比如 x ? ? 时, 其它条件 作相应变动， 该法则仍然成立 .
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为 洛必达法则 .
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证 仅证 0 情形. 定义辅助函数 0
f1( x )
?
? ? ?
f
( x ), 0,
x?a ,
或都趋于无穷大 ;
(2) 在 a 点的某去心邻域内 , f ?( x ) 及 F ?( x ) 都存在且 F ?( x ) ? 0; (3) lim f ?( x ) ? A (有限或无穷大 );
x ? a F ?( x ) 那末 lim f ( x ) ? lim f ?( x ) (? A).
x? a F ( x ) x ? a F ?( x )
ln x x?1
?
lim
x? 0
x?1 ? x?2
?
?
lim x ?
x? 0
0
2. ? ? ? 型
步骤 :
? ?? ?
1? 1? 00
0? 0. 0 ?0
例8
求 lim ( 1 ? 1 ). x? 0 sin x x
(? ?? )
解
原式 ?
lim x ? sin x x? 0 x ?sin x
?
lim