物理与文化习题

（a）设子弹质量为 m 1 0.02 kg 沙袋质量为
v 1 0 0 0 m / s 绳长 l 2 m
m 2 10 kg ，
，试计算 之值。
（b）假如将沙袋换为一块钢，子弹做完全弹性
碰撞后反弹回去，试计算 之值。
（c）在上面两种情况下，当摆开始 （处于垂直位置）摆动时，问绳子的 张力各为多少？

t 0
F dt P m v f m v i
得：
I F t P m ( v f v i ) 0 .1 4 5 ( 2 6 4 0 .2 ) 9 .5 9 9 N s
平均力：
F
I t

9 .5 9 9 1 .2 1 0
0 v s

t 0
t
adt
0

vd t
v at 1 2 s at 2
a
v
2
2s
为什么有负号？
2-3棒球运动中的力学：站在右方的投球员以 v i 4 0 .2 m / s 的速度（负号表示速度方向向左）投向站在左方的击球员，后者 挥棒使球反向以 v f 26 m / s 的速度被击出。设球的质量为 m=0.145kg ，击出时间 t 1.2 m s ，问： （a）棒球与棒接触前后的动量各为多少？ （b）棒对球冲量和平均力各为多少？
r r (t0 )
v v (t0 )
注意：对于一维情况位置矢量、速度矢量、加速度矢量可写 为标量式。即：r v a （包含正负号）
解：（a）飞机从静止开始做加速度为a匀加速运动，故
v s


t
adt
0 t
vd t
0
v at 1 2 s at 2
s
v
2
2a
2-1飞机离地起飞时需达到一起飞速度 v 0 ，因此需要在一条长
度为s的跑道上从静止状态开始不断地加速到v 0 ，且假定是匀 加速运动 。
（a）设一架飞机A的加速度为a，求证s v 0 / 2 a （b）设另一架飞机B的加速度也为a，但需要 v 0 值为飞机A
2
的两倍，问跑道长度需增加到几倍？
（c）若 a 2 .2 m / s 2
v
2
s
v
2
即
2
2a a 2 6 .8 2 .9 4 m / s
2
2s
2 122
加速度方向与飞机运动方向相反
（b）根据牛顿第二定律摩擦阻力
F m a 1.75 10 2.94 5.145 10 N
5 5
注意：由一维情况位置矢量、速度矢量、加速度矢量微、积 分关系知：（选飞机运动方向为正方向）
2
co s 1
0 .0 2 1 0 0 0
2 2
2 1 0 2 ( 0 .0 2 1 0 )
（b）动量守恒： m 1 v m 1 v 1 m 2 v 2
能量守恒： 1 m v 2 1 m v 2 1 m v 2 1 1 1 2 2
2 2 2
联立上两式得：
（a）从球触地的时刻（t=0）起，球将获得一角加速度
5k g 2R
（b）到t=T时，球面与地面的接触点P对地的速度恰好将为 零，球的滚动变为无滑动的，此后质心 速度 和球的转动 角速度将保持不变 t 。求证：在从0到T时间内，球心 的平均加速度 当t
T
a k g 0, T
（a）：
m

2
/ mg

2
0 .1 4 %
R
Rg
(m g m
（b）：

2
) / m g 9 9 .8 6 %
G Mm R
2
R
失重状态
mg
m R
2
2-10如图，在游乐场中一人缚在滑车内从高度为h的A点沿光滑
轨道下滑，进入一半径为R的圆轨道后，到达高为2R的顶点B时， 人刚好处于失重状态（即车对轨道无压力）。试证明初始高度需 达到 h 5 R （摩擦力略去不计）
20.5 m/s，弯道半径r=85m，问地面倾斜角度应设计为多少？
合力沿x轴方向：
F sin m

2
r
F cos m g
联立上两式得：
tg

2
rg
2-12你打过保龄球（滚木球，bowling）吗？设你掷出的球（质
量为m，半径为R）与地面刚接触时有平动速度 v 0 （无转动） ， v 球行进s距离后变为无滑动的纯滚动，质心速度降为 ，试证明 （略去空气阻力） ：
2
机械能守恒： 车对轨道无压力
m gh 2 Rm g
1 2
m
2
mg m
5 2

2
R
h R
联立上两式得：
2-11汽车转弯：当一辆汽车在高速公路上转弯时，弯道并不是水
平的。如图所示，图上x轴沿水平方向，y轴沿铅直方向，地面与 -x轴成 角度，则汽车所受重力W=mg与地面反作用力FN（假 定车速适当，轮胎与地面之间无横向的摩擦力）的合力刚好沿x 轴方向，提供了汽车转弯时所必需的向心力。如设计车速为
解：（a）由动量定义式 P m v
得：
一维情况：接触前
Pi m v i 0 .1 4 5 ( 4 0 .2 ) 5 .8 2 9 k g m / s
接触后： P f m v f 0.145 26 3.77 kg m / s
（b）由动量定理 I
v 0 9 5 m / s ，计算跑道长度s值。
知识点：位置矢量、速度矢量、加速度矢量的微分、积分关 系
dr v dt dv a dt
r (t ) r (t0 )

t
vd t
t0
v (t ) v (t0 )

t t0
adt
初始条件：t t 0 时
2v0 7k g
;
v 时，
5 7
v0 ,
5v0 7R
,
滑行距离 s
12v0
2
49 k g
（c） 摩擦力对球在0到T时间内施加的冲量等于球平动动量 2 的减少量 m 0
7
3-1 试证明在库仑定律成立的情况下，一均匀带电的球壳内 任一点都不受到电场力作用，即球壳上所有电荷对放在这一 点的电荷所产生的电场力之合力为零。 解： 因很小，因此球壳上对应的小面积近似为平面， 小面积 S 1 和 S 2 的带电量分别为（其中为 球壳上电荷 的面密度） ：
v1
m1 m2 m1 m2 2m1 m1 m2
2
v
1 0 .9 9 6
v2
v
2 0 .0 0 3 9 9
对钢块机械能守恒：
1 2
m 2v2 m 2 gh
h l (1 cos )
co s 1
v2
2
2gl
(c) 上两种情况下，绳子的张力
3
4 .8 0 1 0 N
4
2-4一维空间完全弹性碰撞。设光滑水平面上，一个小球质量
为 m 1 ，沿x轴以速度 v 0 与原来静止的质量为 m 2 的小球发生正 面碰撞。假设碰撞是完全弹性的（即不产生热量或形变）
（a）试计算碰撞后两小球各自的速度 v 1 和 v 2（都沿x轴） （b）讨论 m 1 m 2 的特殊情况。 解：（a）动量守恒： m 1 v 0 m 1 v 1 m 2 v 2 能量守恒：
撞 m 2时，两者立刻粘在一起，问：合并后的速度 v f ? 初态 动能有多少变成热能了？当 m 1 m 2 时是多少？
解：动量守恒： m 1 v 0 ( m 1 m 2 ) v f
vf m 1v 0 m1 m2
m 1m 2 2 2 m1 m2 v0
2
动能损失为： 1 m v 2 1 ( m m ) v 2 1 1 0 1 2 f
l

m1
v
h
m2
解: (a) 动量守恒： 机械能守恒：
1 2
m 1 v ( m 1 m 2 )v 1
2
( m 1 m 2 )v 1 ( m 1 m 2 ) g h
h l (1 cos )
联立上三式：
co s 1 m1 v
2 2 2
2 gl (m 1 m 2 )
2
若m 1 m 2 ： 动能损失为：
vf
1 2
1 2
v0
1 2 1 4
m 1v 0
2
( m 1 m 2 )v f
2

m 1v 0
2
2-6火箭喷气推进原理。如图2-5-3所示，设在 t 时间内火箭尾部
喷出燃料气体质量为 m ，离开喷口时的速率为u，则火箭受到 的推力F u m ，即 t 时间内火箭受到的冲量 I F t u m
3-2 通过两平行直导线的电流都为2.2A，且方向相同，导 线间距为7.5cm，求作用在两导线单位长度（l=1cm)上的 吸引力的大小？ 解：根据安培定律，两平行载流长直导线的吸引力为：
F
0 I1 I 2
2 d
l
4 1 0
7
2 .2
2
2 7 .5
1 .2 9 N
1 2 m 1v 0
2
1 2
m 1v1
2
1 2
m 2v 2
2
联立上两式得：
v1
m1 m2 m1 m2
v0
v2