物理与文化习题
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2v0 7k g
;
v 时,
5 7
v0 ,
5v0 7R
,
滑行距离 s
12来自百度文库0
2
49 k g
(c) 摩擦力对球在0到T时间内施加的冲量等于球平动动量 2 的减少量 m 0
7
3-1 试证明在库仑定律成立的情况下,一均匀带电的球壳内 任一点都不受到电场力作用,即球壳上所有电荷对放在这一 点的电荷所产生的电场力之合力为零。 解: 因很小,因此球壳上对应的小面积近似为平面, 小面积 S 1 和 S 2 的带电量分别为(其中为 球壳上电荷 的面密度) :
(a)从球触地的时刻(t=0)起,球将获得一角加速度
5k g 2R
(b)到t=T时,球面与地面的接触点P对地的速度恰好将为 零,球的滚动变为无滑动的,此后质心 速度 和球的转动 角速度将保持不变 t 。求证:在从0到T时间内,球心 的平均加速度 当t
T
a k g 0, T
t
设 u 2 km / s ,每秒喷出气体为1000kg,计算F 之值。
解:
F u
m t
2 10 1000 2 10 N
3 6
2-7冲击摆。如图,用一根绳子从固定点悬挂一个沙袋,开始时
处于铅值位置,当一子弹从左方以速度 v 射入沙袋,陷在里面后 一起摆动到 角度后静止。
1 2 m 1v 0
2
1 2
m 1v1
2
1 2
m 2v 2
2
联立上两式得:
v1
m1 m2 m1 m2
v0
v2
2m1 m1 m2
v0
(b)若
m 1 m 2 时,由上两式得:
v1 0
v2 v0
2-5一维空间完全弹性碰撞。在2-4题中,假设 m 1 以速度 v 0 碰
2
若m 1 m 2 : 动能损失为:
vf
1 2
1 2
v0
1 2 1 4
m 1v 0
2
( m 1 m 2 )v f
2
m 1v 0
2
2-6火箭喷气推进原理。如图2-5-3所示,设在 t 时间内火箭尾部
喷出燃料气体质量为 m ,离开喷口时的速率为u,则火箭受到 的推力F u m ,即 t 时间内火箭受到的冲量 I F t u m
2
机械能守恒: 车对轨道无压力
m gh 2 Rm g
1 2
m
2
mg m
5 2
2
R
h R
联立上两式得:
2-11汽车转弯:当一辆汽车在高速公路上转弯时,弯道并不是水
平的。如图所示,图上x轴沿水平方向,y轴沿铅直方向,地面与 -x轴成 角度,则汽车所受重力W=mg与地面反作用力FN(假 定车速适当,轮胎与地面之间无横向的摩擦力)的合力刚好沿x 轴方向,提供了汽车转弯时所必需的向心力。如设计车速为
3-2 通过两平行直导线的电流都为2.2A,且方向相同,导 线间距为7.5cm,求作用在两导线单位长度(l=1cm)上的 吸引力的大小? 解:根据安培定律,两平行载流长直导线的吸引力为:
F
0 I1 I 2
2 d
l
4 1 0
7
2 .2
2
2 7 .5
1 .2 9 N
2-1飞机离地起飞时需达到一起飞速度 v 0 ,因此需要在一条长
度为s的跑道上从静止状态开始不断地加速到v 0 ,且假定是匀 加速运动 。
(a)设一架飞机A的加速度为a,求证s v 0 / 2 a (b)设另一架飞机B的加速度也为a,但需要 v 0 值为飞机A
2
的两倍,问跑道长度需增加到几倍?
(c)若 a 2 .2 m / s 2
t 0
F dt P m v f m v i
得:
I F t P m ( v f v i ) 0 .1 4 5 ( 2 6 4 0 .2 ) 9 .5 9 9 N s
平均力:
F
I t
9 .5 9 9 1 .2 1 0
0 v s
t 0
t
adt
0
vd t
v at 1 2 s at 2
a
v
2
2s
为什么有负号?
2-3棒球运动中的力学:站在右方的投球员以 v i 4 0 .2 m / s 的速度(负号表示速度方向向左)投向站在左方的击球员,后者 挥棒使球反向以 v f 26 m / s 的速度被击出。设球的质量为 m=0.145kg ,击出时间 t 1.2 m s ,问: (a)棒球与棒接触前后的动量各为多少? (b)棒对球冲量和平均力各为多少?
r r (t0 )
v v (t0 )
注意:对于一维情况位置矢量、速度矢量、加速度矢量可写 为标量式。即:r v a (包含正负号)
解:(a)飞机从静止开始做加速度为a匀加速运动,故
v s
t
adt
0 t
vd t
0
v at 1 2 s at 2
s
v
2
2a
N m / kg
2
2-9(a)一个人在高空乘飞机的速度 v 300 m / s(亚声速)绕 地球飞行时,它的体重(可用磅秤检验)比平时的mg减少的百 分比是多少?此时飞机得到的空气浮力占它静止时重量的百分比 是多少? (b)当一个宇航员乘宇宙飞船在大气层之外以第一宇宙速度 [见(2-4-3)式] 1 7 .9 k m / s 绕地球飞行时,他处在什么状态? [将此情形与(a)中的飞机乘客比较,可体会航天与航空两种技 术的不同]。
24
半径R/m
6.378 10 1.738 10
6
表面重力加速度
9.799 1.634
2 .7 4 0 1 0
2
22
6
1.989 10 2 .8 1 0
30
6 .9 6 1 0 1 10
4
8
30
1.868 10
11 2
12
g G
m R
2
G 6.6726 10
q1 ( 1 2 BD )
2
q2 (
1 2
AC )
2
S 1 和 S 2 上的电荷在p点产生的电场力为:
F1 k
q q1 PD
2
F2 k
qq2 PA
2
(方向相反)
P B D 和 P C A 相似:
BD / AC PD / PA
因此:
F1 F 2
s
v0
2
2a
(b)4倍 (c) s
v0
2
95
2
2a
2 2 .2
2 0 5 1 .1 m
2-2飞机迫降时需在较短距离S内使其速度从 v 降到0 ,有时 利用泡沫水泥铺道以增大摩擦阻力,使飞机减速。今设飞机 质量为 1 .7 5 1 0 5 k g , v 2 6 .8 m / s ,要求它在S=122m距离内 停下来,问: (a)飞机的加速度为a=? (b)飞机的轮胎受到的摩擦阻力F=? 解:(a)由2-1题知
l
m1
v
h
m2
解: (a) 动量守恒: 机械能守恒:
1 2
m 1 v ( m 1 m 2 )v 1
2
( m 1 m 2 )v 1 ( m 1 m 2 ) g h
h l (1 cos )
联立上三式:
co s 1 m1 v
2 2 2
2 gl (m 1 m 2 )
解:(a)由动量定义式 P m v
得:
一维情况:接触前
Pi m v i 0 .1 4 5 ( 4 0 .2 ) 5 .8 2 9 k g m / s
接触后: P f m v f 0.145 26 3.77 kg m / s
(b)由动量定理 I
3-3 在图中,两个带电粒子运动在均匀磁场中,粒子1所带电 荷量为 q1 3 .6 0 C ,速率为 1 8 6 2 m / s ,速度方向与磁 0 场方向成 9 0 ,所受磁场力 F1 为 4.25 10 3 N 。粒子2所 3 带电荷量 q 2 5 3 .0 C ,速度 2 1 .3 1 0 m / s ,速度方 向与磁场方向夹角为 5 5 0 ,试求(a)均匀磁场的磁感应 强度;(b)作用在带电粒子2上的磁场力的大小。 解: 运动的电荷在磁场中受到的力为: (a):
2
co s 1
0 .0 2 1 0 0 0
2 2
2 1 0 2 ( 0 .0 2 1 0 )
(b)动量守恒: m 1 v m 1 v 1 m 2 v 2
能量守恒: 1 m v 2 1 m v 2 1 m v 2 1 1 1 2 2
2 2 2
联立上两式得:
v 0 9 5 m / s ,计算跑道长度s值。
知识点:位置矢量、速度矢量、加速度矢量的微分、积分关 系
dr v dt dv a dt
r (t ) r (t0 )
t
vd t
t0
v (t ) v (t0 )
t t0
adt
初始条件:t t 0 时
20.5 m/s,弯道半径r=85m,问地面倾斜角度应设计为多少?
合力沿x轴方向:
F sin m
2
r
F cos m g
联立上两式得:
tg
2
rg
2-12你打过保龄球(滚木球,bowling)吗?设你掷出的球(质
量为m,半径为R)与地面刚接触时有平动速度 v 0 (无转动) , v 球行进s距离后变为无滑动的纯滚动,质心速度降为 ,试证明 (略去空气阻力) :
1
l
2
(a) 时: (b) 时:
F ( m1 m 2 ) g ( m1 m 2 )
F m2 g m
2
l
2
2-8下面是四种天体的半径R和质量m的数值,试从公式(2-4-7)
出发,计算在这些天体表面的重力加速度g值填入表内。
天体 地球 月球 太阳 中子 星
质量m/kg
5.974 10 7.4 10
(a)设子弹质量为 m 1 0.02 kg 沙袋质量为
v 1 0 0 0 m / s 绳长 l 2 m
m 2 10 kg ,
,试计算 之值。
(b)假如将沙袋换为一块钢,子弹做完全弹性
碰撞后反弹回去,试计算 之值。
(c)在上面两种情况下,当摆开始 (处于垂直位置)摆动时,问绳子的 张力各为多少?
v1
m1 m2 m1 m2 2m1 m1 m2
2
v
1 0 .9 9 6
v2
v
2 0 .0 0 3 9 9
对钢块机械能守恒:
1 2
m 2v2 m 2 gh
h l (1 cos )
co s 1
v2
2
2gl
(c) 上两种情况下,绳子的张力
撞 m 2时,两者立刻粘在一起,问:合并后的速度 v f ? 初态 动能有多少变成热能了?当 m 1 m 2 时是多少?
解:动量守恒: m 1 v 0 ( m 1 m 2 ) v f
vf m 1v 0 m1 m2
m 1m 2 2 2 m1 m2 v0
2
动能损失为: 1 m v 2 1 ( m m ) v 2 1 1 0 1 2 f
(a):
m
2
/ mg
2
0 .1 4 %
R
Rg
(m g m
(b):
2
) / m g 9 9 .8 6 %
G Mm R
2
R
失重状态
mg
m R
2
2-10如图,在游乐场中一人缚在滑车内从高度为h的A点沿光滑
轨道下滑,进入一半径为R的圆轨道后,到达高为2R的顶点B时, 人刚好处于失重状态(即车对轨道无压力)。试证明初始高度需 达到 h 5 R (摩擦力略去不计)
v
2
s
v
2
即
2
2a a 2 6 .8 2 .9 4 m / s
2
2s
2 122
加速度方向与飞机运动方向相反
(b)根据牛顿第二定律摩擦阻力
F m a 1.75 10 2.94 5.145 10 N
5 5
注意:由一维情况位置矢量、速度矢量、加速度矢量微、积 分关系知:(选飞机运动方向为正方向)
3
4 .8 0 1 0 N
4
2-4一维空间完全弹性碰撞。设光滑水平面上,一个小球质量
为 m 1 ,沿x轴以速度 v 0 与原来静止的质量为 m 2 的小球发生正 面碰撞。假设碰撞是完全弹性的(即不产生热量或形变)
(a)试计算碰撞后两小球各自的速度 v 1 和 v 2(都沿x轴) (b)讨论 m 1 m 2 的特殊情况。 解:(a)动量守恒: m 1 v 0 m 1 v 1 m 2 v 2 能量守恒: