2020年北京市海淀区高三数学试卷--带答案
2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题(解析版)
2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =U ，则实数a 的值可以为（ ） A ．2 B ．1C ．0D ．2-【答案】D由题意可得{|1}A x x =≤-，根据A B R =U ，即可得出1a ≤-，从而求出结果． 解：{|},1{|}A x x B x x a =≤-=≥Q ，且A B R =U ，1a ∴≤-， ∴a 的值可以为2-． 故选：D ．考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算． 2．下列函数值中，在区间(0,)+∞上不是．．单调函数的是（ ） A ．y x = B ．2y x =C．y x =+D ．1y x =-【答案】D结合一次函数，二次函数，幂函数的性质可进行判断．解：由一次函数的性质可知，y x =在区间(0,)+∞上单调递增； 由二次函数的性质可知，2y x =在区间(0,)+∞上单调递增；由幂函数的性质可知，y x =+(0,)+∞上单调递增；结合一次函数的性质可知，1y x =-在()0,1上单调递减，在()1,+∞ 上单调递增． 故选：D ．本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题． 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则43S S =（ ） A ．1 B ．53C ．83D ．3【答案】C利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出结果． 解：设等差数列{}n a 的公差为d ，33S a =Q ，且30a ≠，11332a d a d ∴+=+，可得120a d -=≠．∴()11143111434232282 3232332a da a S S a a a d ⨯++⨯-==⨯=⨯-+． 故选：C ． 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．不等式11x >成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．102x << B ．1x > C ．01x <<D ．0x <【答案】A解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件． 解：不等式11x >的解集为()0,1，则其一个充分不必要条件可以是10,2⎛⎫⎪⎝⎭； 故选：A ．本题考查了充分、必要条件的判断与应用，属于基础题．5．如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin()2απ+的值为（ ）A ．35-B ．35C ．45-D ．45【答案】B由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin()2απ+的值． 解：角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，所以3cos 5α=则sin()3cos 52παα==+； 故选：B ． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6．在四边形ABCD 中，//AB CD ，设(,)AC AB AD R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r .若32λμ+=，则=CDABu u u r u u u r （ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】B作出草图，过C 作//CE AD ，又//CD AB ．可得四边形AECD 是平行四边形． AC AE AD =+u u u r u u u r u u u r，根据() ,AC AB AD R λμλμ+∈u u u r u u u r u u u r ＝．可得1,AE AB μλ==u u u r u u u r ，又32λμ+=，可得12λ=，据此即可得出结果．解：如图所示，过C 作//CE AD ，又//CD AB ． ∴四边形AECD 是平行四边形．AC AE AD ∴=+u u u r u u u r u u u r， 又() ,AC AB AD R λμλμ+∈u u u r u u u r u u u r ＝．1,AE AB μλ∴==u u u r u u u r，又3122λμλ+=∴=,，则1==2CDAE AB AB u u u r u u u r u u u r ． 故选：B ．本题考查了向量平行四边形法则、向量共线定理、平面向量基本定理、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知函数32()2f x x x x k =+--.若存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞- C ．[0,)+∞ D ．(,0]-∞【答案】A根据题意将存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立转化为()()00f x f x -=-有根，再根据方程变形可得，原问题转化为22x x k -=有根，进而转化为22y x x =-与y k =的图象有交点，根据数形结合即可求出结果．解：∵32()2f x x x x k =+--且00()()f x f x -=-，323222x x x k x x x k ∴-+--=-+--（） 整理得22x x k -= ，∴原问题转化为22y x x =-与y k =的图象有交点， 画出22y x x =-的图象如下：当1x =时，1y =-，由图可知，1k ≥-． 故选：A ． 本题考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题． 8．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ∈N 都满足()0i A B ϕ=I 且()1i A B ϕ=U ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ=I ()i A ϕg ()i B ϕ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ=U ()+i A ϕ()i B ϕ；其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】A根据题目中给的新定义，对于*,0i i N Aϕ∈=（）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．解：∵对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*A B A B N ∴=∅=I U ，()()01i i A B A B ϕϕ∴==I U ;，故①正确；对于②，若()0i A B ϕ=I ，则()i A B ∉I ，则i A ∈且i B ∉，或i B ∈且i A ∉，或i A ∉且i B ∉；()()0i i A B ϕϕ∴⋅=；若()1i A B ϕ=I ，则()i A B ∈I ，则i A ∈且i B ∈； ()()1i i A B ϕϕ∴⋅=；∴任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i i A B Ai B ϕϕϕ=⋅I （）（）；正确，故②正确；对于③，例如：{}{}{}1232341234A B A B ===U ,,,,,,,,,，当2i =时，1i A B ϕ=U （）；()()1,1i i A B ϕϕ==；()()()i i i A B A B ϕϕϕ∴≠+U ； 故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A ．本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题9．已知向量()1,2,(3,)a b t ==r r ，且//a b r r，则t = _____ 【答案】6直接利用向量的共线的充要条件求解即可．解：由向量()()1,2, 3,a b x ==r r ，若 //a b r r，可得236x =⨯=． 故答案为：6．本题考查平行向量坐标运算公式的应用，考查计算能力．10．函数()6f x x =的零点个数是________ 【答案】1首先求出函数()f x 的定义域为{}|0x x ≥，将原问题转化为260=，解方程，即可得出()f x 的零点个数．解：由题意可知()f x 的定义域为{}|0x x ≥，令()60f x x ==，可得260-=， 2=-（舍去）或3=，9x ∴=；所以函数()6f x x =的零点个数为1个． 故答案为：1．本题把二次函数与二次方程有机的结合来，由方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点．11．已知数列{}n a 的前n 项和为2log n S n =，则1a =____，5678a a a a +++=_____ 【答案】0 1直接利用数列的递推关系式11n n n S a S S -⎧=⎨-⎩12n n =≥，求出数列的首项和5678a a a a +++的值．解：数列{}n a 的前n 项和为2log n S n =， 则112log 10a S ===； 又567884567822,log 8log 41a a a a S S a a a a +++=-∴+++=-=； 故答案为：0,1．本题考查了数列的数列的递推关系式11n nn S a S S -⎧=⎨-⎩12n n =≥的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1.从,,,A B C D 四点中任取两个点作为向量b r的始点和终点，则a b ⋅r r的最大值为____________【答案】3由图可知，要使a b ⋅r r 取到最大值，即要求向量b r 在向量a r上的投影最大，然后再根据图形即可求出结果．解：由题意可知：则 cos cos ,a b a b a b b a b ⋅=⋅<⋅>=<>r r r r r r r r r，所以要使a b ⋅r r 取到最大值，即要求向量b r 在向量a r上的投影最大， 由图形可知：当向量b AC =r u u u r 时，向量b r 在向量a r上的投影最大，即cos ,=1010a b b a b ⋅=<>r r r r r 即a b ⋅r r的最大值为3． 故答案为：3．本题考查向量的数量积几何意义的应用，考查数形结合以及计算能力．13．已知数列{}n a 的通项公式为ln n a n =，若存在p R ∈，使得n a pn ≤对任意*n N ∈都成立，则p 的取值范围为__________ 【答案】ln 3,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭根据题意，利用数列的关系式，进一步进行转换，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和最值，进一步利用函数的恒成立问题的应用求出结果．解：数列{}n a 的通项公式为ln n a n =，若存在p R ∈，使得n a pn ≤对任意的*n N ∈都成立， 则maxln n p n ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥，设()ln x f x x＝，则()21ln x xx f x x ⋅-'＝ ， 令()21ln 0xf x x-'＝＝，解得x e =， 所以函数的单调增区间为()0,e ，函数的减区间为(),e +∞， 所以函数在x e =时函数取最大值， 由于n N ∈，所以当3n =时函数最大值为ln 33． 所以p 的取值范围是ln 3,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 故答案为：ln 3,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调区间和最值，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．14．已知函数(),()f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线.①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为__________.【答案】2π2π①利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积； ②利用等腰直角三角形的性质的应用求出ω的最小值．解：函数(),()f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图象的交点，当1ω=时，()2sin ,()2cos f xx g x x ωω==．所以函数的交点间的距离为一个周期2π，高为22 22222⋅+⋅=． 所以：()121122ABC S ππ∆⋅⋅+＝＝． 如图所示：①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为2π；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则222222πω⎭⋅＝， 解得ω的最小值为 2π． 故答案为：2π， 2π．本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、解答题15．已知数列{}n a 为各项均未正数的等比数列，n S 为其n 前项和，23a =，3436a a +=.()1求数列{}n a 的通项公式； ()2若121nS<，求n 的最大值.【答案】()113-=n n a ；()2 4（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由2343,36a a a =+=，可得123113,36.a q a q a q =⎧⎨+=⎩，即可求出结果．（2）3112131n n S -=<- ，即可得出结论．解：解:()1在等比数列{}n a 中，设{}n a 公比为q . 因为2343,36a a a =+=所以123113,36.a q a q a q =⎧⎨+=⎩ 所以23336q q +=.即2120q q +-=. 则3q =或4q =-. 因为0n a >， 所以0q >， 所以3q =. 因为213a a q ==， 所以11a =.所以数列{}n a 的通项公式1113n n n a a q --==()2在等比数列{}n a 中，因为()()1111nn a q S q q-=?-所以()13131132n nn S -==--因为121n S <， 所以()1311212nn S =-<. 所以3243n <. 所以5n <. 因为*n N ∈.所以4n ≤.即n 的最大值为4.本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知函数π()=2sin cos()3f x x x +.()1求函数()f x 的最小正周期；()2若()0f x m +≤对π[0,]2x ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】()1π；()2(,1]-∞-（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式的变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果．解：解:()1因为()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2sin cos cos sin sin 33x x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭12sin cos 222x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin cos 2x x x =+1sin 2cos 222x x =+ sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22T ππ== ()2“()0f x m +≤对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立”等价于“()max 0f x m +≤”因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当232x ππ+=，即12x π=时()f x 的最大值为112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以10m +≤，所以实数m 的取值范围为(,1]-∞-.本题考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 17．已知函数321()3f x ax x bx c =+++，曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+()1求,b c 的值；()2若函数()f x 存在极大值，求a 的取值范围.【答案】()111b c =⎧⎨=⎩；()2()(),00,1-∞⋃（1）求出函数的导数，结合切线方程得到关于,b c 的方程组，解出即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，结合二次函数，求出函数的单调区间，结合函数的存在极大值，确定a 的范围即可． 解：解：()1()2'2f x ax x b =++因为()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =+，所以()()0101f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩解得11b c =⎧⎨=⎩()2()32113f x ax x x =+++，①当0a =时，()21f x x x =++不存在极大值，不符合题意.②当0a >时，()221f x ax x =++.令2210ax x ++=.(i )当440a =-≤V ，即1a ≥时，不符合题意.(ii )当440a =->V ，即01a <<时，方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根. 设方程两个根为12,x x ，且12x x <.()(),,x f x f x '的变化如表所示:所以()1f x 为极大值.③当0a <时，440a =->V 恒成立.设方程两个根为12,x x ，且12x x <.()(),,x f x f x '的变化如表所示:所以，()2f x 为极大值.综上，若函数()f x 存在极大值，a 的取值范围为()(),00,1-∞⋃.本题考查了切线方程问题，导数在函数的单调性和极值问题中的应用，考查分类讨论思想，转化思想等数学思想，是一道综合题． 18．在ABC ∆中，7,5,8a b c ===.()1求sin A 的值；()2若点P 为射线AB 上的一个动点（与点A 不重合），设APk PC=. ①求k 的取值范围；②直接写出一个k 的值，满足：存在两个不同位置的点P ，使得APk PC=.【答案】()1()2①⎛ ⎝⎦；②答案不唯一，取值在区间⎛ ⎝⎭上均正确 （1）利用余弦定理的应用求出A 的余弦值，进一步求出正弦值； （2）①直接利用正弦定理和关系式的变换的应用求出k 的取值范围；②根据共线的条件求出在区间⎛ ⎝⎭上即可解：解:()1在ABC V 中，7,5,8,a b c ===根据余弦定理2222b c a cosA bc +-=所以2225871cos 2582A +-==⨯⨯因为()0,A π∈，所以sinA ==()2①在ABC V 中，根据正弦定理，得sin sin CP APA ACP=∠sin sin sin sin3AP ACP ACP k ACPPC A π∠∠====∠ 因为点P 为射线AB 上一动点， 所以20,3ACR π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭所以k的取值范围为⎛ ⎝⎦②答案不唯一.取值在区间1,3⎛ ⎝⎭上均正确.本题主要考查了正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19．已知函数ln ()xx f x e =. ()1判断函数()f x 在区间(0)1，上的单调性，并说明理由； ()2求证：1()2f x <.【答案】()1单调递增，理由见解析；()2证明见解析（1）因为()0,1x ∈，对()f x 求导，可证()0f x '>恒成立，即可证明结果； （2）证明“()12f x <”等价于证明“()max 12f x <”．求()f x 的最大值即可证明． 解：()1函数()f x 在区间()0,1上是单调递增函数. 理由如下:由()x lnx f x e=，得()1xlnxx f x e -'= 因为()0,1x ∈，所以11,ln 0x x ><. 因此10lnx x->.又因为0x e >， 所以()0f x '>恒成立.所以()f x 在区间()0,1上是单调递增函数.()2证明“()12f x <”等价于证明“()max 12f x <”由题意可得，(0,)x ∈+∞.因为()1xlnxx f x e -'=令()1lnx xg x -=，则()2110g x x x '=--<.所以()g x 在()0,∞+上单调递减 因为()()1110,10g g e e=>=-<， 所以存在唯一实数0x ，使得()00g x =，其中()01,x e ∈.()(),, x f x f x '的变化如表所示:所以()0f x 为函数()f x 的极大值. 因为函数()f x 在(0,)+∞有唯一的极大值. 所以()()00max ln ox x f x f x e == 因为001lnx x =， 所以()()000max 0ln 1o x x x f x f x e x e === 因为()01,x e ∈ 所以()0max 01112x f x x e e =<< 所以()12f x <本题主要考查了导数在函数单调性中的应用，以及利用导数求函数极值与最值，熟练掌握导数的相关性质是解题的关键，本题属于综合题．20．已知集合*M N ⊆，且M 中的元素个数n 大于等于5.若集合M 中存在四个不同的元素a b c d ,,,，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{},,,a b c d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”.()1分别判断集合{}2,4,6,8,10和集合{}12,3,5,8，是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集； ()2已知集合{}12345,,,,a a a a a 是“关联的”，且任取集合{},i j a a M ⊆，总存在M 的关联子集A ，使得{},i j a a A ⊆.若12345a a a a a <<<<，求证：12345,,,,a a a a a 是等差数列；()3集合M 是“独立的”，求证：存在x M ∈，使得294n n x -+>. 【答案】()1{}2,4,6,8,10是关联的，关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，；{}1,2,3,5,8是独立的；()2证明见解析；()3证明见解析（1）根据题中所给的新定义，即可求解；（2）根据题意，{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =， {}51234 ,,,A a a a a =，进而利用反证法求解；（3）不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<.记{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈，进而利用反证法求解；解：解:()1{}2,4,6,8,10是“关联的”关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，;{}1,2,3,5,8是“独立的”()2记集合M 的含有四个元素的集合分别为:{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =， {}51234 ,,,A a a a a =.所以，M 至多有5个“关联子集”.若{}21345 ,,,A a a a a =为“关联子集”，则{}12345,,,A a a a a =不是 “关联子集”，否则12a a =同理可得若{}21345 ,,,A a a a a =为“关联子集”，则34,A A 不是 “关联子集”.所以集合M 没有同时含有元素25,a a 的“关联子集”，与已知矛盾.所以{}21345,,,A a a a a =一定不是“关联子集” 同理{}41235,,,A a a a a =一定不是“关联子集”. 所以集合M 的“关联子集”至多为135,,A A A .若1A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素35,a a 的“关联子集”，与已知矛盾；若3A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素15,a a 的“关联子集”，与已知矛盾；若5A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素13,a a 的“关联子集”，与已知矛盾；所以135,,A A A 都是“关联子集”所以有2534a a a a +=+，即5432a a a a -=-1524a a a a +=+，即5421a a a a -=-. 1423a a a a +=+，即4321=a a a a --，所以54433221a a a a a a a a -=-=-=-. 所以12345,,,,a a a a a 是等差数列.()3不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<. 记{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈.因为集合M 是“独立的”的，所以容易知道T 中恰好有()212n n n C -=个元素.假设结论错误，即不存在x M ∈，使得294n n x -+>所以任取x M ∈，294n n x -+≤，因为*x ∈N ，所以284n n x -+≤所以22228881134422i j n n n n n n n na a -+-+-+-+≤+-=-=+所以任取t T ∈，232n nt -≤+任取,123t T t ∈≥+=，所以23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭，且T 中含有()212n n n C -=个元素. (i )若3T ∈，则必有121,2a a ==成立.因为5n ≥，所以一定有121n n a a a a -->-成立.所以12n n a a --≥.所以22218822442n n n n n n n na a --+-+-+≤+-=+*232,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，284n n a n -+=，21824n n a n --+-=所以4T ∈，所以33a =，113n a a a a -+=+n 有矛盾，(ii )若3T ∉，23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭而T 中含有()212n n n C -=个元素，所以*243,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭所以284n n a n -+=，21814n n a n --+-=因为4T ∈，所以121,3a a ==.因为222n n T -+∈，所以2222n n n na a --+=+所以22824n n a n --+-=所以123n a a a a -+=+n ，矛盾. 所以命题成立.本题属于新定义题，考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，反证法，等差数列，不等式缩放法，排列组合，本题属于难题.。
2020-2021年北京海淀高三期末数学试卷(附答案)
海淀区2020-2021学年第一学期期末考试高三数学试题本试卷共8奴, 150分）考试时常120分钟。
考生务必将若案答在答胧抵上.在试卷上作答无效。
考试结火后. 本试卷和空四纸•并文回，笫•海分］选择遐共40分）丁选择题共10小题.每小超4分，共40分.在街小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（I ）抛物线/ 二 X 的准线力邪兄（A ） X = --（ B ） X （C ）V =（D ） V =--24 '2' 4（2）在梵平面内.竟数一一对应的点也广1+/（A ）第 %fR （B ）第二软限（C>第，象眼（D ）第四象限⑶ 在&-2丫的展开式中,内的系数为（A ）5（B ） -5（C ） 10（D ） 10（4）已知代线，：x +町，+ 2 = 0 , （A ） 1U（5）某三桎惟的三视图如用所示.止（1>徒《专》1X1点 A (-1,-1)和点B (2,2),若〃/力8,则实数。
的值为i) -1 (C> 2(D)-2该三板维的体积为J KM,J) 4 (C)6 (D) 12b = (-2,D, rt|a-6| = 2,则a ・6 =（B ）0(A) -1(C) 1 (D) 2(7)己如a, 3是例个不同的平面，“a 〃夕的•个充分条件是(A)以内有无数11线平行J "(B)存在牛血丫, arr. P±r(C)存隹TihiL aDr = /n t夕Dy = 〃ll掰〃”(D)存在酉线7, Ila. Ilfi(8)L!知函数/(x)= l-2sirf(x + 2)则4(A) /(x)是偶函数函数/(x)的地小正阖期为2*(C)曲线F = /(.t)关J x = 一1对核：4(D) /0)>/(2)(9)数列SJ的通项公式为勺=“2-3〃・N・前〃比和为s.・给出下列三个结论：①存在止整数加,〃(〃”〃)，使母Z-Z；②存在正施数初〃(m*府•使得q, = 2百♦•③记,4=4%…，。
北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学理试题Word版含答案
北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学理试题本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．双曲线22122x y -=的左焦点坐标为A ．(2,0)-B ．(C ．(1,0)-D ． (4,0)-2.已知向量,a b 满足=((t =)，，1)a 2,0b ， 且a ⋅=a b ，则,a b 的夹角大小为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π3.已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ．1B ．2C ．3D ．44.直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为A ． 0B ．12±C ．1±D ．2±5.以正六边形的6个顶点中的三个作为顶点的三角形中，等腰三角形的个数为A ．6B ．7C ．8D ．126.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间(1,)+∞上存在零点”的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件7.已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是 A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同B.若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点C.把函数()f x 的图像向右平移2π个单位，就可以得到函数()g x 的图像 D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-)4π上都是增函数8.已知集合{}(,)150,150,,A s t s t s N t N =≤≤≤≤∈∈.若B A ⊆，且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈，均有()()0a x b y --≤，则集合B 中元素个数的最大值为 A ．25B ．49C ．75D ．99二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.以抛物线24y x =的焦点F 为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 .10.执行如下图所示的程序框图，当输入的M 值为15，n 值为4 时，输出的S 值为.11.某三棱锥的三视图如上图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 ， .12.设关于,x y 的不等式组,4,2,y x x y kx ≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为Ω，若点A （1，-2），B （3,0），C （2，-3）中有且仅有两个点在Ω内，则k 的最大值为 . 13.ABC中，b ，且cos2cos A B =，则cos A = .14.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点M 在线段CC 1上，动点P 在平面1111A B C D 上，且AP ⊥平面1MBD .（Ⅰ）当点M 与点C 重合时，线段AP 的长度为 ； （Ⅱ）线段AP 长度的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()s()cos22f x aco x x π=-- 其中0>a（Ⅰ）比较()6f π和()2f π的大小；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]22ππ-的最小值.16．（本小题满分13分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩，并规定85X ≥为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率； （Ⅱ）从图中考核成绩满足[70,79]X ∈的学生中任取3人，设Y 表示这3人重成绩满足8510X -≤的人数，求Y 的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据以往培训数据，规定当85(1)0.510X P -≤≥时培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.17．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD PC ⊥ 且01,2,120AB AD DC DP PDC ====∠= （Ⅰ）求证：AD PDC ⊥平面；（Ⅱ）求二面角B-PD-C 的余弦值；（Ⅲ）若M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行.18．（本小题满分14分）椭圆2212x y +=的左焦点为F ，过点(2,0)M -的直线l 与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）若点B 关于x 轴的对称点为B ’，求'AB 的取值范围.19. （本小题满分14分）已知函数xe x ax xf 2)(-=．（Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，求证：2()f x e>-对任意(0,)x ∈+∞成立.20．（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i n Ω=∈=，对于集合n Ω中的任意元素12(,,...,)n x x x α=，12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++- （Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β （Ⅱ）设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学理试题参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A2. B3. D4. A5. C6. C7.C8. D二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 22(1)4x y -+= 10. 24 11. 2 12. 0三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）因为π1(),622a f =-π()12f a =+所以ππ13()()(1)()262222a a f f a -=+--=+因为0a >，所以3022a +>，所以ππ()()26f f >（Ⅱ）因为()sin cos2f x a x x =-2sin (12sin )a x x =--22sin sin 1x a x =+-设sin ,t x = ππ[,]22x ∈-，所以[1,1]t ∈-所以221y t at =+- 其对称轴为4at =- 当14at =-<-，即 4a >时，在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-，即04a <≤时，在4at =-时函数取得最小值218a --16.解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件A 由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀所以所求概率()P A 约为730（Ⅱ）Y 的所有可能取值为0,1,2,3因为成绩[70,80]X ∈的学生共有8人，其中满足|75|10X -≤的学生有5人所以33381(0)56C P Y C ===， 21353815(1)56C C P Y C === 12353830(2)56C C P Y C ===， 353810(3)56C P Y C === 随机变量Y 的分布列为115301015()0123565656568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）根据表格中的数据，满足85110X -≤的成绩有16个 所以8516810.5103015X P ⎛-⎫≤==>⎪⎝⎭所以可以认为此次冰雪培训活动有效.17．解：（Ⅰ）在平面PCD 中过点D 作DH DC ⊥，交PC 于H 因为平面ABCD ⊥平面PCD DH ⊂平面PCD平面ABCD I 平面PCD CD = 所以DH ⊥平面ABCD 因为AD ⊂平面ABCD所以 DH AD ⊥ 又AD PC ⊥，且PC DH H =I 所以AD ⊥平面PCD （Ⅱ）因为AD ⊥平面PCD ，所以AD CD ⊥ 又DH CD ⊥，DH AD ⊥以D 为原点，DA DC DH ，，所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系所以(,,),(,,),(,(,,),(,,)D A P C B -00020001020210，因为AD ⊥平面PCD ，所以取平面PCD 的法向量为(,,)DA =200uu u r设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =r因为(,(,,)DP DB =-=01210uu u r uu u r ，所以n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00r uu u rr uu u r所以y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩020令2z =，则y x =-=，所以()n =2r所以cos ,||||AD n AD n AD n ⋅<>===uuu r ruuu r r uuu u r r 由题知B PD C --为锐角，所以B PD C --的余弦值为19（Ⅲ） 法一：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC ，显然F 与点C 不同所以,,,P M F C 四点共面于α所以FC ⊂α，PM ⊂α 所以B FC ∈⊂α，A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面，所以P ∈α这与P ABCD -为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证 法二：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC连接AC ，取其中点N在PAC ∆中，因为,M N 分别为,PA CA 的中点，所以MNPC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF 与MN 重合 所以点F 在线段AC 上，所以F 是AC ，BC 的交点C ，即MF 就是MC 而MC 与PC 相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 法三：假设棱BC 上存在点F ，使得MFPC ，设BF BC λ=，所以3(1,,(2,1,0)22MF MB BF λ=+=+-因为MFPC，所以(0,3,MF PC μμ==所以有120332λλμ⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩，这个方程组无解所以假设错误，即问题得证 18．解：（Ⅰ）因为,a b ==2221，所以,a b c ===11所以离心率c e a ==2（Ⅱ）法一： 设1122(,),(,)A x y B x y显然直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)y k x =+所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122，所以()k x k x k +++-=222221882028160k ∆=->，所以k <212所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y -所以|'|AB = 因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+12121224(2)(2)()421ky y k x k x k x x k +=+++=++=+所以|'|AB==因为k ≤<2102，所以|'|AB ∈法二：设1122(,),(,)A x y B x y当直线l 是x轴时，|'|AB =当直线l 不是x 轴时，设直线l 的方程为2x t y =-所以x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩22122，所以()t y t y ++=-222420，28160t ∆=-> ，所以t >22 所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222因为22'(,)B x y -所以|'|AB =因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB=22)2t ==-+因为t >22，所以|'|AB ∈ 综上，|'|AB的取值范围是.19．解：（Ⅰ）因为()xax x f x -=e 2所以()'()xx a x af x -++=e22 当a =-1时，'()x x x f x --=e 21所以'()f -=e11，而()f -=e 21曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为21()(1)e ey x --=-- 化简得到11e ey x =-- （Ⅱ）法一：因为()'()xx a x af x -++=e 22，令()'()x x a x a f x -++==e 220得x x ==12当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22 因为()x a x a -++=22220，所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2，其中x >0，所以()()'()x xa x x a F x ----+==e e 2222 令'()F x =0，得a x +=322，当a >0时，x ，'()F x ，()F x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()F x 在(,)+∞0上的最小值为()a a F ++-=e 12222，而()a a F ++--=>e e 122222 注意到x =>20， 所以(())fx x F =>-e222，问题得证 法二：因为“对任意的x >0，22e e x ax x ->-”等价于“对任意的x >0，220e ex ax x -+>” 即“x >0，2+12e e()0ex x ax x +->”，故只需证“x >0，22e e()0x ax x +->” 设2()2e e()x g x ax x =+- ，所以'()2e e(2)x g x a x =+- 设()'()h x g x =，'()2e 2e x h x =- 令'()F x =0，得x =31当a >0时，x ，'()h x ，()h x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1，而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=> 所以x >0时，'()2e e(2)0x g x a x =+->，所以()g x 在(,)+∞0上单调递增 所以()(0)g x g >而(0)20g =>，所以()0g x >，问题得证 法三：“对任意的x >0，2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e-”因为()'()xx a x af x -++=e22，令'()f x =0得x x ==12当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在在(,)∞+0上的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为 (),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x x ax x x x x a f =---=>e e e 22222222222 注意到x =2和a >0，所以x =>22 设()xxF x -=e 2，其中x >2 所以()()'()x xx x F x --=-=e e2121 当x >2时，'()F x >0，所以()F x 单调递增，所以()()F x F >=-e242而()--=-->e e e e 2242240 所以()()f x F x >->e222，问题得证法四：因为a >0，所以当x >0时，()x x ax x x f x --=>e e22设()x x F x -=e2，其中x >0所以()'()xx x F x -=e2 所以x ，'()F x ，()F x 的变化情况如下表:所以()F x 在x =2时取得最小值()F =-e 224，而()--=-->e e e e2242240 所以x >0时，2()eF x >-所以()()f x F x >>-e220. 解：(Ⅰ) 满足3αβ*=的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1) （Ⅱ）记12(,,,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=，注意到{0,1}i x ∈，所以(1)0i i x x -=， 所以11112222()()()n n n n x x x y x x x x x x x x αα*=+-++-+++-12n x x x =+++ 12n y y y ββ*=+++因为n ααββ*+*=，所以1212n n x x x y y y n +++++++=所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1，n 个量的值为0.显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++-1122n n x y x y x y n ≤++++++=，当(1,1,,1)α=，(0,0,,0)β=时，αβ，满足n ααββ*+*=，n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-1122()n n n x y x y x y =-+++注意到只有1i i x y ==时，1i i x y =，否则0i i x y = 而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1，n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个， 当n 为偶数时，22n n n αβ*≥-=. 当22(1,1,,1,0,0,,0)n n αβ==个个时，满足n ααββ*+*=，且2n αβ*=. 所以αβ*的最小值为2n当n 为奇数时，且1i i x y =，这样的元素i 至多有12n -个，所以 1122n n n αβ-+*≥-=. 当1122(1,1,,1,0,0,,0)n n α+-=个个，1122(1,1,,1,0,0,,0)n n β-+=个个时，满足n ααββ*+*=，12n αβ-*=. 所以αβ*的最小值为12n - 综上：αβ*的最大值为n ，当n 为偶数时，αβ*的最小值为2n ，当n 为奇数时，12n αβ-*=.（Ⅲ）S 中的元素个数最大值为222n n ++设集合S 是满足条件的集合中元素个数最多的一个 记1S ={}1212(,,,)|1,n n x x x x x x n S αα=+++≥-∈， {}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈显然1212S S S S S ==∅，集合1S 中元素个数不超过1n +个，下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈=，则122n x x x n +++≤-则12n x x x ，，，中至少存在两个元素 0i j x x ==212,(,,,)n S y y y ββ∀∈=，βα≠因为 1n αβ*≥-，所以 ,i j y y 不能同时为0 所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言， 在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α=满足i j x x ，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211nn C n n ++=++ 记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω，则1T 中共1n +个元素，对于任意的1T α∈，n β∈Ω，1n αβ*≥-. 对1i j n ≤<≤，记,12(,,,),i j n x x x β= 其中0i j x x ==，1t x =，,t i t j ≠≠记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤，显然2,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-. 记12S T T =，S 中的元素个数为21n n ++，且满足,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.综上所述，S 中的元素个数最大值为21n n ++.。
2020届北京市海淀区高三数学一模试题(含答案)
海淀区高三年级第二学期阶段性测试数学2020春第一部分(选择题共40分)一､选择题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项｡(1)在复平面内,复数i(2- i)对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(2) 已知集合A={x|0<x<3}, A ∩B= {1},则集合B 可以是(A) {1,2}(B) {1,3} (C) {0,1,2} (D) {1,2,3 } (3)已知双曲线2221(0)y x b b-=>的离心率为5,则b 的值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(4)已知实数a, b, c 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是(A) b-a<c+a (B)2c ab < ()c c C b a > (D) |b|c<|a|c(5)在61(2)x x-的展开式中,常数项为(A) -120 (B) 120 (C) -160 (D) 160 (6)如图,半径为1的圆M 与直线l 相切于点A,圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M'时,圆M'与直线1相切于点B,点A 运动到点A ',线段AB 的长度为3,2π则点M '到直线'BA 的距离为(A) 1 (3B 2(C 1()2D (7)已知函数f(x)=|x-m|与函数g(x)的图象关于y 轴对称.若g(x)在区间(1,2)内单调递减,则m 的取值范围为(A) [-1,+∞) (B) (-∞,-1] (C) [-2,+∞) (D) (-∞,-2](8)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为()5A ()22B ()23C ()13D(9)若数列{}n a 满足12,a =则“*,,p r p r p r a a a +∀∈=N ”是“{}n a 为等比数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 (10)形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数,记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出5F 不是质数,那5F 的位数是(参考数据: lg2≈0.3010 )(A) 9(B) 10 (C) 11 (D) 12第二部分(非选择题共110分)二､填空题共5小题,每小题5分,共25分｡(11)已知点P(1,2)在抛物线C 2:2y px =上,则抛物线C 的准线方程为___.(12)在等差数列{}n a 中,1253,16a a a =+=,则数列{}n a 的前4项的和为___.(13) 已知非零向量a , b 满足|a |=|a -b |,则1()2-⋅a b b =__. (14) 在△ABC 中, 43,4AB B π=∠=,点D 在边BC 上,2,3ADC π∠=CD=2,则AD=___ ; △ACD 的面积为____.(15) 如图,在等边三角形ABC 中, AB=6.动点P 从点A 出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点,记P 运动的路程为x,点P 到此三角形中心O 距离的平方为f(x),给出下列三个结论:①函数f(x)的最大值为12;②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9;③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根.其中,所有正确结论的序号是____.注:本题给出的结论中,有多个符合题目要求｡全部选对得5分,不选或有错选得0分,其他得3分.三､解答题共6小题,共85分｡解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程｡(16) (本小题共14分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,AB ⊥平面1111,22,3BB C C AB BB BC BC ====，点E 为11A C 的中点.( I)求证:1C B ⊥平面ABC;(II)求二面角A BC E --的大小.(17) (本小题共14分)已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+.(I )求f(0)的值;(II)从①121,2ωω==121,1ωω==②这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数f(x)在[,]26ππ-上的最小值,并直接写出函数f(x)的一个周期.注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分｡(18) (本小题共14分)科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素,也是推动经济实现高质量发展的重要支撑,而研发投入是科技创新的基本保障,下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图:其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比,条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元)｡ ( I )从2010年至2019年中随机选取一年,求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率;(II)从2010年至2019年中随机选取两个年份,设X 表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数,求X 的分布列和数学期望;(III)根据图中的信息,结合统计学知识,判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发,并说明理由.(19) (本小题共15分)已知函数()x f x e ax =+.( I)当a=-1时,①求曲线y= f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;②求函数f(x)的最小值;(II)求证:当()2,0a ∈-时,曲线() y f x =与1y lnx =-有且只有一个交点.(20) (本小题共14分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>123(,0),(,0),(0,)A a A a B b -,12A BA ∆的面积为2. (I)求椭圆C 的方程;(II)设M 是椭圆C 上一点,且不与顶点重合,若直线1A B 与直线2A M 交于点P,直线1A M 与直线2A B 交于点Q. 求证:△BPQ 为等腰三角形.(21) (本小题共14分)已知数列{}n a 是由正整数组成的无穷数列.若存在常数*k ∈N , 使得212n n n a a ka -+=任意的*n ∈N 成立,则称数列{}n a 具有性质()k ψ.(I)分别判断下列数列{}n a 是否具有性质(2)ψ; (直接写出结论)1n a =① 2,n n a =②(II)若数列{}n a 满足1(1,2,3,)n n a a n +≥=L ,求证:“数列{}n a 具有性质(2)ψ”是“数列{}n a 为常数列”的充分必要条件;(III)已知数列{}n a 中11,a =且1(1,2,3,)n n a a n +>=L .若数列{}n a 具有性质(4)ψ,求数列{}n a 的通项公式.。
北京市海淀区2020届高三数学一模试题含解析
（I）求f(0)的值;
(II）从① ；② 这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f（x)在 上的最小值，并直接写出函数f（x）的一个周期.
【答案】（I） ；(II) ① 时 ， ；② 时 ， 。
【解析】
【分析】
（I）将 代入求值即可；
(II)①用二倍角和辅助角公式化简可得 ，再由 可得 ，结合正弦函数图象求解最值；
14。在△ABC中， ,点D在边BC上， CD=2，则AD=___；△ACD的面积为____。
【答案】 （1）. (2）。
【解析】
【分析】
在 中用正弦定理求解 ，在 用面积公式可得。
【详解】
在 中由正弦定理得： ，
.
在 中， ，
故答案为： ; .
【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题.
其求解思路：（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理、勾股定理求解；
8.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（ ）
A. B。 C. D。
【答案】C
【解析】
【分析】
四棱锥底面是直角梯形， 底面 ，可知最长棱是 ，在直角三角形 中利用勾股定理可解.
【详解】
由三视图知，四棱锥底面是直角梯形， 底面 ， ，最长棱是 ，
在 中, ，在 中， ，
，
。
故选：D．
【点睛】由几何体三视图还原其直观图时应注意的问题。要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图．
此时 到达 ， ，则点 到直线 的距离为 。
故选:C．
【点睛】本题考查圆的渐开线变式运用.
圆的渐开线性质:（1）渐开线的发生线滚过的距离等于其在基圆滚过的弧长。(2）渐开线上任一点的法线恒与基圆相切。
北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习数学(二模)(含答案)
北京市海淀区高三年级第二学期期末练习数学2020.6 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
( 1）若全集U= R, A = {x I x< 1} , B = (x I x ＞一1｝，则(A)A<;;B(B)Bt;;A( C)B <;; CuA ( 2）下列函数中，值域为［0, + 00 ）且为偶函数的是(A) y=x2 (B)y=lx-11( C)y=cosx ( D)CuA <;;B (D)y=lnx( 3 ）若抛物线y2= 12x的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为3，则I PFI等于(A)4( B)6( C) 8( D)10(4）已知三条不同的直线I,m, n和两个不同的平面α，F，下列四个命题中正确的为(A）若m Hα，n Hα，则m II n(B ）若I II m, meα，则I I Iα (C）若I IIα，111 p，则αIIP(D）若I IIα，11..p，则α.1..p( 5）在！：：：.ABC中，若a=1,b=8，叫＝牛则LA的大小为(A）号(B)*(C）号(D）亏(6）将函数f(x）＝血（2x-f）的图象向左刊号个单位长度，得到函数g(x）的图象，则g(x)=(A)sin ( 2x＋号）( C)cos2x ( B)sin ( 2x ＋子）( D)-cos2x．，．．l，．．． ‘．， ．．、，’．白．．‘．，．，－ ．． ‘，，．a ‘‘’－－－－－－－－－．－－‘－－． ，，e ’（．a L ．．． ι’’－．俨’ ．．………又＼一图……一…．‘．’j j i g －－j e－－！ －J j e － －J j a － －…＼…一左…………：：l i t i －－； ．．． ，－a a －－－－’ －－－－E ’’－ －－··a 句脚’7··｜’；l e i －－d a ”’－E ．． 、怡、，－J ；’jl ；l － J I ；1 －j z ；！ ；I J I 丁，人（：1万，」视→、a x a ’…·视→………／一主一＼……俯丁··；，．：J e －－e ·－－－ ’’’－－－－－ －－－－－－－－ ’’’’也’’’－r －a ，，．． e g－－ ．．，．．，‘‘，，．． ，‘(7）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1,(B)1(D )4那么该三棱锥的体积为(A)t ( C )2( 8）对于非零向量a,b ，“（a+b)·a =2矿”是“a =b ”的(B ）必要而不充分条件(A）充分而不必要条件( D）既不充分也不必要条件(C）充分必要条件(9）如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点。
2020届海淀区高三期中数学试卷及答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学(理科) 2013.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B =( A )A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D. {2}2. 下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D. ()tan f x x =3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( B )B.D. 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( C )A. 2-B. 12-C. 12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ B ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)nn a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（ B ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7. 已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（ D ） A. 2[,0)3- B. [1,0)- C. [2,3) D. (0,)+∞8. 已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：① π是()f x 的一个周期；② ()f x 的图象关于直线x 4π=对称； ③ ()f x 在(,0)2π-上单调递减. 其中，正确结论的个数为（ C ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2020年北京市海淀区高三一模数学试卷+答案
2020年北京市海淀区高三一模数学试卷2020.5 本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在复平面内,复数i(2i)-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2. 已知集合{|03},{1}A x x A B =<<=,则集合B 可以是 （A ）{1,2}（B ）{1,3}（C ）{0,1,2}（D ）{1,2,3}3. 已知双曲线2221(0)yx b b-=>的离心率是5,则b 的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44. 已知实数,,a b c 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是 （A ）b a c a -<+（B ）2c ab < （C ）c c b a>（D ）||||b c a c <5. 在61(2)x x-的展开式中,常数项为（A ）120-（B ）120（C ）160-（D ）1606. 如图,半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ,圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚到圆M '时,圆M '与直线l 相切于点B ,点A 运动到点A ',线段AB 的长度为3π2,则点M '到直线BA '的距离为 （A ）1 （B ）32（C ）22（D ）127. 已知函数()||f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称.若()g x 在区间(1,2)内单调递减,则m 的取值范围为 （A ）[1,)-+∞（B ）(,1]-∞-（C ）[2,)-+∞（D ）(,2]-∞-8. 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为 （A ）5 （B ）22 （C ）23 （D ）139. 若数列{}n a 满足12a =,则“*,,p r p r p r a a a +∀∈=N ”是“{}n a 为等比数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件10. 形如221n+（n 是非负整数）的数称为费马数,记为n F .数学家费马根据01234,,,,F F F F F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出5F 不是质数,那么5F 的位数是（参考数据:lg 20.3010≈） （A ）9（B ）10（C ）11（D ）12第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。
2020年北京市海淀区高三一模数学试卷+答案
2020年北京市海淀区高三一模数学试卷2020.5 本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分,满分150分,考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题纸上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。
第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1. 在复平面内,复数i(2i)-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2. 已知集合{|03},{1}A x x A B =<<=,则集合B 可以是 （A ）{1,2}（B ）{1,3}（C ）{0,1,2}（D ）{1,2,3}3. 已知双曲线2221(0)y x b b-=>的离心率是5,则b 的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44. 已知实数,,a b c 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是 （A ）b a c a -<+ （B ）2c ab < （C ）c c b a>（D ）||||b c a c <5. 在61(2)x x-的展开式中,常数项为（A ）120- （B ）120 （C ）160-（D ）1606. 如图,半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ,圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚到圆M '时,圆M '与直线l 相切于点B ,点A 运动到点A ',线段AB 的长度为3π2,则点M '到直线BA '的距离为 （A ）1 （B ）32（C ）22（D ）127. 已知函数()||f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称.若()g x 在区间(1,2)内单调递减,则m 的取值范围为 （A ）[1,)-+∞（B ）(,1]-∞-（C ）[2,)-+∞（D ）(,2]-∞-8. 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为 （A ）5 （B ）22 （C ）23 （D ）139. 若数列{}n a 满足12a =,则“*,,p r p r p r a a a +∀∈=N ”是“{}n a 为等比数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件10. 形如221n+（n 是非负整数）的数称为费马数,记为n F .数学家费马根据01234,,,,F F F F F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出5F 不是质数,那么5F 的位数是（参考数据:lg 20.3010≈） （A ）9（B ）10（C ）11（D ）12第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：共5小题,每小题5分,共25分。
北京市海淀区2020届高三数学一模试题(含解析)
北京市海淀区2020届高三数学一模试题（含解析）第一部分(选择题共40分)一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在复平面内,复数(2)i i -对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】试题分析：()212i i i -=+，对应的点为1,2，在第一象限 考点：复数运算2.已知集合{}|03A x x =<<， 1A B ，则集合B 可以是（ ）A. {1，2}B. {1，3}C. {0，1，2}D. {1，2，3 }【答案】B 【解析】 【分析】集合A ，B 是数集，{}|03A x x =<< , 1A B , B 集合中一定没有元素2，由选项可得. 【详解】 1A B ，则集合B 中一定有元素1，又{}|03A x x =<<,B 集合中一定没有元素2B ∴可以是{1}3， 故选：B.【点睛】本题考查集合交集运算. 交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.3.已知双曲线2221(0)y x b b-=>则b 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】 【分析】由题知21a = ，5ce a== 及222+c a b 联解可得【详解】由题知21a = ，5ce a ==，222222+5c a b e a a ，2b ∴=.故选：B.【点睛】本题考查利用双曲线离心率求双曲线方程.求双曲线方程的思路: (1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a b c ，，的方程组，解出22a b ，，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为221(0)mx ny mn +=<求解．4.已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A. b a c aB. 2c ab <C.c c b a> D.b c a c【答案】D 【解析】 【分析】由数轴知0c b a <<< ，不妨取=3,2,1c ba 检验选项得解. 【详解】由数轴知0cb a <<< ，不妨取=3,2,1c b a，对于A ，2121 ，∴ 不成立.对于B ，2(3)(2)(1)，∴ 不成立.对于C ， 3231-<---，∴ 不成立. 对于D ，(3)1(3) 2 ，因此成立.故选：D ．【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法． 5.在61(2)x x-的展开式中，常数项为（ ）A. 120-B. 120C. 160-D. 160【答案】C 【解析】 【分析】写出二项式展开式的通项公式求出常数项. 【详解】61(2)x x-展开式的通项2616(1)2k k k k kT C x ，令260,3k k常数项333316(1)2=160T C故选：C ．【点睛】本题考查二项定理. 二项展开式问题的常见类型及解法:(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第1k +项，再由特定项的特点求出k 值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第1k +项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．6.如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3,2π则点M '到直线BA '的距离为（ ）A. 1 3 C.22D.12【答案】C 【解析】 【分析】 线段AB 的长度为3,2π即圆滚动了34圈，此时A 到达A '，90BM A，则点M '到直线'BA 的距离可求.【详解】线段AB 的长度为3,2π设圆滚动了x 圈，则332,24x x 即圆滚动了34圈， 此时A 到达A '，90BM A ，则点M '到直线BA '的距离为2sin 452r . 故选：C ．【点睛】本题考查圆的渐开线变式运用.圆的渐开线性质:(1)渐开线的发生线滚过的距离等于其在基圆滚过的弧长.(2)渐开线上任一点的法线恒与基圆相切.7.已知函数f (x )=|x -m |与函数g (x )的图象关于y 轴对称.若g (x )在区间(1，2)内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A. [-1，+∞) B. (-∞，-1]C. [-2，+∞)D. (-∞，-2]【答案】D 【解析】 【分析】函数()f x 与()g x 的图象关于y 轴对称,得到()=()g x f x x m ，再利用绝对值函数性质列出不等式求解.【详解】函数()f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称,()=()g x f x x m ，()g x 在区间(12)，内单调递减， 则22mm ，，故选：D ．【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.8.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（ ）A. 5B. 22C. 23D. 13【答案】C 【解析】 【分析】四棱锥底面是直角梯形，EA 底面ABCD ,可知最长棱是EC ,在直角三角形EAC 中利用勾股定理可解.【详解】由三视图知，四棱锥底面是直角梯形，EA ⊥底面ABCD ,2EA AB BC ,最长棱是EC ，在Rt ABC ∆中，222AC AB BC =+，在Rt EAC 中，222EC EA AC ，222212EC EA AB BC ，EC =故选：D ．【点睛】由几何体三视图还原其直观图时应注意的问题.要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图．9.若数列{}n a 满足12,a =则“*,,p r p r p r a a a +∀∈=N ”是“{}n a 为等比数列”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】*,,p r p r p r a a a +∀∈=N ,不妨设1r =，则11p p a a a ，+=12p p a a ，+∴=可证充分性；{}n a 为等比数列且2q时得不到p r p r a a a +=，可知必要性不成立【详解】不妨设1r =，则11p p a a a ，+=12p p a a ，+∴=12p pa a {}n a ∴为等比数列；故充分性成立反之若{}n a 为等比数列，不妨设公比为q ，111=2p r r p r p q a a q ++-+-=，22214pr pr p ra a a q q当2q时p r p r a a a +≠，所以必要性不成立故选：A ．【点睛】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． (2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．10.形如221n+(n 是非负整数)的数称为费马数，记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那5F 的位数是（ ）(参考数据: lg 2≈0.3010 ) A. 9 B. 10C. 11D. 12【答案】B 【解析】 【分析】32521F ,设322m ,两边取常用对数估算m 的位数即可.【详解】32521F ,设322m，则两边取常用对数得32lg lg 232lg 2320.30109.632m .9.63291010m ，故5F 的位数是10， 故选：B ．【点睛】解决对数运算问题的常用方法： (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2lg51+=简化计算.第二部分(非选择题共110分)二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知点P (1，2)在抛物线C 2:2y px =上，则抛物线C 的准线方程为___. 【答案】1x =- 【解析】 【分析】(12)P ，代入抛物线方程，求出2p =，可求准线方程.【详解】(12)P ，在抛物线C 2:2y px =上，24,2p p ==， 准线方程为12px =-=-， 故答案为：1x =-.【点睛】本题考查抛物线的性质.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．12.在等差数列{}n a 中，1253,16a a a =+=，则数列{}n a 的前4项的和为___. 【答案】24 【解析】 【分析】利用等差数列基本量关系求通项. 利用等差数列前n 项和公式求出n S . 【详解】设等差数列的公差为d .2516a a +=，11146d a a d +++=，13a =，2d ∴=，1(1)3(1)22+1na a n dn n ，（2）1444()4(39)=2422a a S . 故答案为：24【点睛】本题考查解决等差数列通项公式及前n 项和n S .（1）等差数列基本量计算问题的思路：与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式1(1)n a a n d =+-和前n 项和公式11()(1)22n nn a a n n dS na ，在两个公式中共涉及五个量：1n n a d n a S ，，，，，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．13.已知非零向量a b ， 满足a a b ，则1()2a b b -⋅=__.【答案】0 【解析】 【分析】aa b 两边平方求出2||2b a b =⋅；化简1()2a b b -⋅ 可求解.【详解】由aa b 两边平方，得222|||||+|2a a b a b -=⋅，2||2b a b =⋅，211()=022a b b a b b a b a b -⋅=⋅-=⋅-⋅，故答案为：0【点睛】本题考查平面向量数量积的应用. 求向量模的常用方法:(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝(2)若向量a b ， 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22•a a a a ＝＝或2222||)2?(a b ab aa b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．14.在△ABC 中，4AB B π=∠=，点D 在边BC 上，2,3ADC π∠=CD =2，则AD =___；△ACD 的面积为____.【答案】 (1). 【解析】 【分析】在ABD △中用正弦定理求解AD ，在ACD 用面积公式可得. 【详解】2,3ADC π∠=,3ADB π∴∠=在ABD △中由正弦定理得：sinB sinAD ABADB=∠， sinB4sin sin 3AB AD ADBππ===∠在ACD 中，11sin 222ACDSAD DC CDA =⨯∠=⨯=， 故答案为：【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题.其求解思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理、勾股定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．15.如图，在等边三角形ABC 中， AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9； ③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根. 其中，所有正确结论的序号是____. 【答案】①② 【解析】 【分析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =，利用分段函数图象可解.【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(12),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(12),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩，由图象知：正确的是①②. 故答案为：①②【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面1111,22,3BB C C AB BB BC BC ====，点E 为11A C 的中点.(I)求证：1C B ⊥平面ABC ； (II)求二面角A BC E --的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）3π【解析】 【分析】 (I) 证1BCC B ，在同一平面内用“数据说话”，证1AB C B ⊥ 用线面垂直的性质；(II) 以B 为原点，建立空间直角坐标系，求出(1,0,0),BC 1(,3,1),2BE求出平面BEC 求出的法向量，利用空间向量夹角公式可得.【详解】(I)AB ⊥平面11,BB C C 1C B ⊂平面11CBB C ，1AB C B ∴⊥，在1CBC △中，1112,1,3CC BB BC BC ====，22211BC BC CC +=， 1BC C B ，AB BC B ⋂=，1C B ∴⊥平面ABC ；(II)由(I)知11ABC B ABCB BCC B ，，,则建立空间直角坐标系B xyz -，则1(0,0,0),(,3,1),(1,0,0)2B EC，1(1,0,0),(,3,1),2BC BE设平面BEC的法向量为(,,)n x y z=，故n BCn BE⎧⋅=⎨⋅=⎩，1302xx y z=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩.令3y=，0,3,3x y z，(0,3,3)n，又平面BAC的法向量为(0,1,0)m=，1cos,2m nm nm n.由题知二面角A BC E--为锐二面角，所以二面角A BC E--的大小为3π.【点睛】本题考查线面垂直判定及利用空间向量计算二面角大小.计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小17.已知函数212()2cos sinf x x xωω=+.(I)求f(0)的值；(II)从①121,2ωω==；②121,1ωω==这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在[,]26ππ-上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期.【答案】(I) 0；(II) ①121,2ωω==时min ()1f x =，T π=；②121,1ωω==时min ()1f x =-，2T π=.【解析】 【分析】(I)将0x =代入求值即可；(II)①用二倍角和辅助角公式化简可得()+)+14f x x π=，再由[,]26x ππ∈-可得372[,]4412x πππ+∈-，结合正弦函数图象求解最值； ②121,1ωω==，()222cos sin 2sin sin 2f x x x x x =+=-++利用抛物线知识求解【详解】(I)2(0)2cos 0sin 02f =+=； (II)①121,2ωω==，由题意得2()2cos sin 2cos 2sin 21+)+14f x x x x x x π=+=++=，T π∴=，[,]26x ππ∈-，372[,]4412x πππ∴+∈-，故sin 2124x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以当2x π=-时，()f x 取最小值1-. ②121,1ωω==，22()2cos sin 2sin sin 2f x x x x x =+=-++，[,]26x ππ∈-，令sin x t =，21[1,],()222t f t t t ∴∈-=-++，∴当1t =-时，函数取得最小值为(1)1f -=-.2()2cos sin f x x x =+，22(+2)2cos (+2)sin(+2)2cos sin f x x x x x πππ∴=+=+，2T π∴=【点睛】本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用. （1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成sin()A xk 或cos()A x k 的形式；（2）根据自变量的范围确定x ωϕ+的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值. （3）换元转化为二次函数研究最值.18.科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障，下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图:其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元).(I )从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；(II )从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X 表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X 的分布列和数学期望；(III )根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由. 【答案】(I)910； (II)()1E X =分布列如下： X0 12 ()P X295929(III)2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加，因此公司在发展的过程中重视研发.【解析】 【分析】(I) 折线图中2010年到2019年共10年中，2010年公司研发投入占当年总营收的百分比在10%以下(II) 2010年到2019年共10年中，研发投入超过500亿元的有5年，X 的取值可能为0，1，2，超几何分布求概率.(III) 图中信息10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加, 判断公司在发展的过程中比较重视研发.【详解】(I)由题知，2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，设从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%为事件A ,9()10P A ∴=. (II)由题意得X 的取值可能为0，1，2()25210209C P X C ===,()1155210519C P C X C ⋅===, ()25210229C P X C ===.X 的分布列为()2520121999E X =⨯+⨯+⨯=.（III ）2010年到2019年共10年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，每年基本上都在增加，因此公司在发展的过程中重视研发. 【点睛】超几何分布的特征.(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．求离散型随机变量分布列的步骤. 19.已知函数()x f x e ax =+. (I )当a =-1时，①求曲线y = f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； ②求函数f (x )的最小值；(II )求证:当()2,0a ∈-时，曲线() y f x =与1y lnx =-有且只有一个交点. 【答案】（1）切线方程1y =；min ()1f x =；（2）证明见解析 【解析】 【分析】(I)函数求导'()1xf x e =-，求出(0)k f '=得切线方程；解()0f x '>求单增区间，解()0f x '<求单减区间；利用单调性求最值；(II)构造()()ln 10xg x e ax x x =++->得到函数调调性，由零点存在性定理证有且只有一个零点.【详解】(I)当1a =-时，①函数()xf x e x =-，0(0)=1f e ∴=，()1x f x e =-'，即0(0)1=0f e -'=，∴曲线()y f x =在点()(0)0f ，处的切线方程为1y =.②令()1>0x f x e -'=，得0x >，令()1<0x f x e -'=，得0x <， 所以()f x 在(0,+)∞上单增，在(,0)-∞单减,∴函数()f x 的最小值为min ()(0)1f x f ==.(II) 当()2,0a ∈-时，曲线() y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点. 等价于()()ln 10xg x e ax x x =++->有且只有一个零点.()()10x g x e a x x'=++>， 当()0,1x ∈时，11,1xe x >>，()2,0a ∈-，则()10x g x e a x'=++>， 当[)1,x ∈+∞时，12,0xe e x >>>， ()2,0a ∈-，则()10x g x e a x'=++>，()g x ∴在()0,∞+上单增，又1121()220ea g e e e e=+-<-<， ()220e g e e ae e e =+>->，由零点存在性定理得()g x 有唯一零点，即曲线() y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点. 【点睛】判断函数零点个数及分布区间的方法：（1）解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上； （2）定理法：利用零点存在性定理进行判断；（3）数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>12(,0),(,0),(0,)A a A a B b -，12A BA ∆的面积为2.(I)求椭圆C 的方程；(II)设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线1A B 与直线2A M 交于点P ，直线1A M 与直线2A B 交于点Q .求证:△BPQ 为等腰三角形.【答案】(I)2214x y +=；(II)证明见解析【解析】 【分析】(I)运用椭圆离心率公式和三角形面积公式，结合,,a b c 的关系，解方程可得2,1a b ==，从而得到椭圆方程(II) 设(),M m n ，直线2A M 的直线方程为()22ny x m =--直线1A B 的直线方程为112y x =+，联解求出P 点坐标，同理求出Q 坐标，22225(1)4p p p BP x y x =+-=,22225(1)4Q Q Q BQ x y x =+-=，只需证明22=P Q x x ,利用作差法可证明.【详解】(I)由题意得2221222c aab b c a ⎧=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得2,1,a b c ===故椭圆的方程为2214xy +=.(II)由题意得()()()122,0,2,0,0,1A A B -,设点(),M m n ，则有2244m n +=，又直线2A M 的直线方程为()22ny x m =--，直线1A B 的直线方程为112y x =+， ()22112n y x m y x ⎧=-⎪⎪-∴⎨⎪=+⎪⎩，解得24422422m n x n m n y n m +-⎧=⎪⎪-+⎨⎪=⎪-+⎩，P ∴点的坐标为2444,2222m n n n m n m +-⎛⎫⎪-+-+⎝⎭.又直线1A M 的直线方程为()22n y x m =++，直线2A B 的直线方程为112y x =-+. ()22112n y x m y x ⎧=+⎪⎪+∴⎨⎪=-+⎪⎩，解得24422422m n x n m n y n m -+⎧=⎪⎪++⎨⎪=⎪++⎩，Q ∴点的坐标为2444,2222m n n n m n m -+⎛⎫⎪++++⎝⎭.22225(1)4p p p BP x y x ∴=+-=，22225(1)4Q Q Q BQ x y x ∴=+-=. 2222244244()()2222P Q m n m n x x n m n m +--+-=--+++()()()()()()22222242222422222222m n n m m n n m n m n m +-++--+-+=-+++()()222264(44)02222mn m n n m n m +-==-+++，22=BP BQ ∴，BP BQ ∴=，∴△BPQ 为等腰三角形.【点睛】圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等. 通常利用代数方法，即把要求证的等式或不等式用坐标形式表示出来，然后进行化简计算等进行证明21.已知数列{}n a 是由正整数组成的无穷数列.若存在常数*k ∈N ，使得212n n n a a ka -+=任意的*n ∈N 成立，则称数列{}n a 具有性质()k ψ.（1）分别判断下列数列{}n a 是否具有性质(2)ψ； (直接写出结论) ①1n a = ②2,nn a =（2）若数列{}n a 满足1(1,2,3,)n n a a n +≥=，求证:“数列{}n a 具有性质(2)ψ”是“数列{}n a 为常数列”的充分必要条件；（3）已知数列{}n a 中11,a =且1(1,2,3,)n n a a n +>=.若数列{}n a 具有性质(4)ψ，求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）①1n a =时，数列{}n a 具有性质(2)ψ；②2n n a =时，数列{}n a 不具有性质(2)ψ.（2）证明见解析（3）21n a n =-. 【解析】 【分析】（1）代入验证即可得.（2）充分性: 由212+2n n n a a a -≥及数列{}n a 具有性质(2)ψ可得212==2n n n a a a -；必要性：数列{}n a 为常数列，所以1n a a =可证2122n n n a a a -+=.（3）数列{}n a 具有性质(4)ψ，求出2=3a ，由3424=12a a a +=，34a ≥对34,a a 取值进行证明排除，得到1234=13=5=7a a a a =，，, ，猜想21n a n =-，用反证法证明猜想成立. 【详解】（1）①1n a =时，数列{}n a 具有性质(2)ψ.②2nn a =时，数列{}n a 不具有性质(2)ψ.（2）1(1,2,3,)n n a a n +≥=，2122+n n n a a a -∴≥，等号成立，当且仅当212==2n n n a a a -，因为数列{}n a 具有性质(2)ψ，即2122n n n a a a -+=， 所以数列{}n a 为常数列.必要性：因为数列{}n a 为常数列，所以1n a a =， 2122n n n a a a -+=成立，即数列{}n a 具有性质(2)ψ.（3）11,a =数列{}n a 具有性质(4)ψ，1221=34a a a a ∴+=，， 3424=12a a a +=，34a ≥.若34=4=8a a ,，1n n a a +>569+10=19a a ∴+≥563=164a a a +=矛盾；若36a ≥,则46a ≤矛盾.所以1234=13=5=7a a a a =，，, ， 所以猜想21n a n =-. 证明如下：假设命题不成立，设{}212min |4341i i r i N a i a i +-=∈≠-≠-或（3r ≥ ）， 考虑数列{}n b ，当24=4(2)n n r b a r +---时具有性质(4)ψ， 此时1234=13=5=7b b b b =，，, ，即21=43r a r --或2=41r a r -，矛盾，21n a n ∴=-. 【点睛】数列与不等式相结合问题的处理方法(1)如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等． (2)如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等． 总之，解决这类问题，要把数列和不等式的知识巧妙结合起来，综合处理．。
2020海淀区高三数学期末上学期试题及答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数学 2020. 01本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合UA B 是（A ）{1,3,5,6}（B ）{1,3,5} （C ）{1,3} （D ）{1,5}（2）抛物线24y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)（B ）(10，) （C ）(0,1-) （D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是（A ）y x =- （B ）y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =（4）已知,a b R ，且a b ，则（A ）11a b（B ）sin sin a b（C ）11()()33ab （D ）22a b（5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为 （A ）5（B ）5（C ）10（D ）10（6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为（A ）12（B ）12（C ）32（D 2（7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγ，=n βγ，则“m n ∥”是“αβ∥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3. 点D 在BC 边上，且BD CD >，AD =下列结论中错误的是（A ）2BDCD= （B ）2ABDACDS S ∆∆= （C ）cos 2cos BADCAD∠=∠ （D ）sin 2sin BAD CAD ∠=∠（9）声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W/m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A ）610倍（B ）810倍（C ）1010倍（D ）1210倍（10）若点N 为点M 在平面上的正投影，则记()Nf M . 如图，在棱长为1的正方体1111ABCDA B C D 中，记平面11AB C D 为，平面ABCD 为，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），1[()]Q f f P ，2[()]Q f f P . 给出下列三个结论：①线段2PQ长度的取值范围是1[2；②存在点P 使得1PQ ∥平面；③存在点P 使得12PQ PQ .其中，所有正确结论的序号是（A ）①②③（B ）②③（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习数学(二模)(含答案)
( 1 ）若全集U=R, A=(xlx<l}, B=(xlx>-1｝，则
(A) A 巨B
(B) B旦A
(C) B 旦 Cu
(D) CuA 豆B
(2 ）下列函数中，值域为［ 0, + oc ）且为偶函数的是
(A) y=x2
(B)y=lx-11
( C) y=cosx
(D)y=lnx
( 3 ）若抛物线y2: 12x 的焦点为 F，点 P在此抛物线上且横坐标为 3，则 IPFI 等于
(D) -cos2x
高三年级（数学） 第1页（共6页）
(7）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1,
那么该三棱锥的体积为 (A)t ( C) 2
1 (B)
(D)4
； j ｜ ’’’’也’’’－r－a，，．
：． xa ；z；； ’； eg－．．，．
a ！ ．．，‘‘，，，‘
－ － ’ ’ e－ ；··丁 …… …
人数为
〉 飞J 〉
(A) 9
( B) 10
J ， ‘ ‘
FU
、 ‘ E ，
－－ －EA
、
，
( D) 12
高三年级（数学） 第2页（共6页）
－ ’ －／ － － e ， 一主
－ － · …一＼ －丁 人（： ， 万1 」， 视 →、
…·视’ →
－
J
’
j
J
－ da”’－
－
7··
－ － － － － a ：：l ＼… －－J －J ．‘．’j
… …
· － a一…
… 又＼
I I l E · － － i 左 j j j 一图
( 8）对于非零向量 a, b，“ （ a+b)·a=2矿 ” 是 “a=b” 的
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（Ⅲ）已知数列 A2n1 的特征值为 n 1，求
| xi xj | 的最小值.
1i j2n1
海淀区 2020 届高三年级第一学期期末练习参考答案
数学
2020.01
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.
（D） (1, 0)
（3）下列直线与圆 (x 1)2 ( y 1)2 2 相切的是
（A） y x
（B） y x
（C） y 2x
（4）已知 a, b Î R ，且 a > b ，则
（D） y 2x
（A） 1 < 1 ab
（B） sin a > sin b
（5）在 (x 1 )5 的展开式中， x3的系数为
高三年级（数学）第 4页（共 5 页）
（22）（本小题共 14 分） 给定整数 n(n 2) ，数列 A2n1：x1, x2 ,, x2n1 每项均为整数，在 A2n1 中去掉一项
xk , 并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大 值记为 mk (k 1, 2,, 2n 1) . 将 m1, m2 ,, m2n1 中的最小值称为数列 A2n1 的特征值.
A1
B1
C ，C1 不重合），Q1 = fg [ fb (P)] ，Q2 = fb [ fg (P)] . 给出下
P
列三个结论：
D
C
①线段
PQ2
长度的取值范围是
[
1 2
,
2)； 2
②存在点 P 使得 PQ1 ∥平面 b ；
③存在点 P 使得 PQ1 ^ PQ2 .
其中，所有正确结论的序号是
A
B
（A）①②③
抽取 10 个小区进行调查，若在抽取的 10 个小区中再随机地选取 2 个小区做深入
调查，记这 2 个小区中为优质小区的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.
（20）（本小题共 14 分）
已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1
(a b
0) 的右顶点
A2,0 ，且离心率为
3． 2
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（1）已知集合U 1, 2,3, 4,5, 6 ， A 1,3,5 ， B 2,3, 4，则集合 A ðU B 是
（A）1,3,5, 6}
（B） 1, 3, 5}
（C） 1, 3}
（D）1, 5}
（2）抛物线 y2 4x 的焦点坐标为
（A） (0,1)
（B） (1，0)
（C） (0, 1)
2
2
2
f (x)
0
2
0
2
0
（15）用“五点法”作函数 f (x) Asin(x ) 的图象时，列表如下：
高三年级（数学）第 2页（共 5 页）
则 f (1) _________， f (0) f ( 1) _________. 2
（16）已知曲线 C： x4 y4 mx2 y2 1（ m 为常数）.
sin BAD sin CAD
2
高三年级（数学）第 1页（共 5 页）
（9）声音的等级
f
( x )（单位：dB）与声音强度
x（单位：W /m2
）满足
f
(x)
10
lg
x 11012
.
喷气式飞机起飞时，声音的等级约为 140dB；一般说话时，声音的等级约为 60dB，那
么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的
海淀区高三年级第一学期期末练习
数学
2020. 01
本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。
高三年级（数学）第 3页（共 5 页）
小区 指标值 权重 教育与文化（0.20） 医疗与养老（0.20） 交通与购物（0.32） 休闲与健身（0.28）
A 小区
0.7 0.7 0.5 0.5
B 小区
0.9 0.6 0.7 0.6
C 小区
0.1 0.3 0.2 0.1
注 ： 每 个 小 区 “15 分 钟 社 区 生 活 圈 ” 指 数 T w1T1 w2T2 w3T3 w4T4 ， 其 中 w1, w2 , w3, w4 为该小区四个方面的权重，T1,T2 ,T3,T4 为该小区四个方面的指标值（小区 每一个方面的指标值为 0~1 之间的一个数值）.
x
（A） -5
（B） 5
（C） (1)a < (1)b 33
（C） -10
（D） a2 > b2 （D）10
（6）已知平面向量 a, b, c 满足 a b c 0 ，且 | a || b || c | 1 ，则 a b 的值为
（A） - 1 2
1 （B）
2
（C） - 3 2
（D） 3 2
（7）已知 , , 是三个不同的平面，且 =m ， =n ，则“ m∥n ”是“ ∥ ”的
题号
1
2
3
4
5
678源自910答案 D
B
A
C
A
A
B
C
B
D
二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
题号 11
12
13
14
15
16
答案
0
2
2
(1,16)
2； 0
1 ②③； m 2 均可
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（17）解：（Ⅰ） f (x) 1 cos 2x 3 sin 2x 1
（Ⅰ）已知数列 A5 :1, 2, 3, 3, 3 ，写出 m1, m2 , m3 的值及 A5 的特征值； （Ⅱ）若 x1 x2 x2n1 ，当[i (n 1)][ j (n 1)] 0 ，其中 i, j {1, 2,, 2n 1}且
i j 时，判断 | mi mj | 与 | xi x j | 的大小关系，并说明理由；
现有 100 个小区的“15 分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：
分组 [0,0.2） [0.2,0.4） [0.4,0.6） [0.6,0.8） [0.8,1]
频数
10
20
30
30
10
（Ⅰ）分别判断 A，B，C 三个小区是否是优质小区，并说明理由；
（Ⅱ）对这 100 个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，
（Ⅱ）设 O 为原点，过点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于两点 P ， Q ，直线 AP 和 AQ 分别
与直线 x 4 交于点 M , N ．求△ APQ 与△ AMN 面积之和的最小值.
（21）（本小题共 13 分） 已知函数 f (x) ex (ax2 1) (a 0) .
（Ⅰ）求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； （Ⅱ）若函数 f (x) 有极小值，求证： f (x) 的极小值小于1.
3) ，点 B , C
x2 分别为双曲线
a2
y2 3
1
(a 0) 的左、右顶点.
若△ABC
为正三角形，则该双曲线的离心率为_________.
（14）已知函数 f (x) x a 在区间 (1, 4) 上存在最小值，则实数 a 的取值范围是_________. x
x
1
1
4
2
5
11
4
2
4
x
0
3
(0, 0, 2) ， B(1,1, CM (1, 0,1) ，
0) ， M (1, 0,1) ，
CN
(
1
,
1
,1)
.
22
N
(
1 2
,
1 2
,1)
.
设平面 CMN 的法向量为 n (x, y, z) ，
则
n
CM
0,
n CN 0.
x z 0,
即
1 2
x
1 2
y
z
0.
令 x 1则 y 1， z 1,
kπ
π 3
, kπ
π 6
(k
Z)
.
（Ⅱ）方法 1：因为 x [0, m] ，
所以 2x π [ π , 2m π] .
66
6
又因为 x [0, m] ， f (x) sin(2x π ) 的最大值为 1， 6
所以 2m π π . 62
解得 m π . 6
所以 m 的最小值为 π . 6
（A）106 倍
（B）108 倍
（C）1010 倍
（D）1012 倍
（10）若点 N 为点 M 在平面a 上的正投影，则记 N = fa (M ) . 如
D1
C1
图 ， 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中 ， 记 平 面 AB1C1D 为 b ，平面 ABCD 为g ，点 P 是棱 CC1 上一动点（与
VAC ，
所以VC 平面 ABC .
又因为 AB 平面 ABC ， 所以 AB VC .
（Ⅲ）在平面 ABC 内过点 C 做 CH 垂直于 AC，
由（Ⅱ）知，VC 平面 ABC ，
因为 CH 平面 ABC ，