数量关系思维导图【范文】
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船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2
电梯
人梯同向：扶梯可见=人走距离+梯走 距离
人梯反向：扶梯可见=人走距离-梯走 距离
设时钟一圈总路程为12格，时钟每小 时走1格，分钟每小时走12格
基本常识
时钟一昼夜转2圈，1小时转1/12圈； 分针一昼夜转24圈，1小时转1圈
钟面每2格之间30度
常用的2、3、5、7、11、13整除判 定法则
题目没有具体数字，只有相互比例关 系等，常用于计算题、浓度问题、工
程问题、行程问题
数字特值
数字特值计算题优先考率-1，0，1， 工程与行程等问题优先考率最小公倍
数
图形特值 比如特殊的长方形——正方形
题目中出现平均、总和、差，尤其是 不定方程的时候
奇偶判定
赋值法：赋每瓶酒价格为N元，则空 瓶子1元，酒N-1元，再计算
从地面爬到N层，共爬了N-1层楼梯
从M层爬到N层，共爬了N-M层楼梯
植树问题
线性植树：总数=路长/间隔+1 单边植树 环形植树：总数=路长/间隔
楼间植树：总数=路长/间隔-1 双边植树 单边基础上*2 最外圈人数=4×（边长-1）
方阵问题
数量思维
选项关联 代入排除 整除思想
特值思想 奇偶特性
不是填空题
注意观察选项之间的倍数关系
应用范围：多位数问题、不定方程问 题、同余问题、年龄问题、周期问 题、复杂行程问题、和差倍比问题。
优先代入整数选项
必须将题目式子转化程A=B*C两两相 乘的形式
拆分法 517=470+47
整除判定法则
因式分解 6=2*3
反复操作型 先看第一次，抓住不变量
标准型：满足条件Ⅰ的个数+满足条 件Ⅱ的个数-两者都满足的个数=总个
数-两者都不满足的个数
两集合问题
标数型：题目提及“只满足某1个条件 ”的数目，用简洁的“文氏图”标数
图示标数的关键是：从最中间“两个 条件都满足”的数字入手
标准型
=总数-三个都不
三集合问题 非标准型
任意两个队伍比赛一场
双循环赛
任意两个队伍比赛两场
杂题模块
草的原有油量=（牛数-草长）*时间
牛吃草问题 引申：原总=（快-慢）*时间
常用方程或方程组来解
问题：青蛙在h米深的井底，白天向上 爬a米，夜晚向下滑b米，问几天爬出
去
青蛙跳井
空瓶换酒问题 爬楼问题
每N个空瓶子能换1瓶酒，一共有M个 空瓶，那么一共可以换M/(N-1)瓶酒
计算每人的工作效率，得到一个周期 的工作量
轮流工作问题
做除法，看工作总量包含几个周期的 工作量，还剩余多少工作量
分析剩余工作量，得出最终答案
溶液的质量=溶质的质量+溶剂的质量
基本公式
浓度=溶质质量÷溶液质量 溶液质量=溶质质量÷浓度
溶质质量=溶液质量×浓度
常用方法
十字交叉、不变量、比例、赋值、调 和平均数
路程=速度*时间 三个比例关系
速度一定，路程与时间正比 时间一定，路程与速度正比
相遇问题
相遇距离=（大速度+小速度）*相遇 时间
相遇追及问题
追及问题
追及距离=（大速度-小速度）*追及时 间
反向运动：第N次相遇路程和为N个周 长，环形周长=（大速度+小速度）×
相遇时间
环形运动
同向运动：第N次相遇路程差为N个周 长，环形周长=（大速度-小速度）×
比例问题：分量/总量=所占比例，分量/所占比例=总 量，分量=总量*所占比例
不定方程（组）
不定方程：奇偶特性→因子分析→尾数判定→赋值验证
不定方程组：整体分析法——凑整； 赋0法简化计算；数字特性法
时间问题
平年、闰年
平年365天，闰年366天
判别法则：非世纪年整除4为闰年，世纪年整除400为闰 年
大月（31天）1,3,5,7,8,10,12月
求和公式：
周期与余数相结合（日期问题）
找到最小公倍数（周期）
一周7天，5个工作日，平年365天（ 52周+1天），闰年366天（52周+2
天）
大月（1、3、5、7、8、10、12）31 天，小月（4、6、9、11）30天，平
月（2月）28或29天
数量关系
行程问题
周期与工程、行程结合 将特值法与周期问题结合
钟表问题
工程问题 浓度问题 容斥原理
追及型
坏钟型 比例问题，抓住“标准比”
工作总量一定，效率与时间反比
工作总量=工作时间*工作效率 三个比例关系 工作时间一定，总量与效率正比
工作效率一定，总量与时间正比
设工作总量为特值(完成工作所需时间 或工作效率的最小公倍数)
多人合作问题
求各自的效率或者时间
求题目所问
特征
未知量的个数多于方程个数
不定方程组
求一个整体的值
赋零法、整体带入法
最不利构造
特征：至少...保证N个相同的... 方法：最不利情况+1
最值问题
构造数列
多集合反向构造 二次函数最值
特征：最多（少）...最多（少）...；排名第...最多（少）...
方法：排序、定位、构造、加和、求解
核心：
若求至多为多少，则其他量尽量小，从小到大构造数列 若求至少为多少，则其他量尽量大，从大到小构造数列
相邻问题 捆绑法 不能相邻 插空法 圆桌型 （n-1）排列
排列组合与概率
错位排列
记住D1=0,D2=1,D3=2,D4=9,D5= 44
一般都是停车位的问题，主要记4和5
遇到带图形的采用标数的方法
概率问题
某事发生的概率=满足条件情况/总的 情况
某事发生的概率=1-不发生的概率
构造问题 几何问题 方程问题
相遇时间
左右点出发：第N次迎面相遇，路程 和=全程×（2N-1）；第N次追上相 遇，路程差=全程×（2N-1）。每个 人所走路程=第一次相遇路程×（2N-
1）
多次相遇问题
同一点出发：第N次迎面相遇，路程 和=全程×2N；第N次追上相遇，路
程差=全程×2N
流水行船、电梯问题
流水行船
顺水速度=船速+水速； 逆水速度=船速－水速
至少。。。保证
最不利+1
都。。。至少。。。
反向、加和、做差
最多，最少
排序、反向找数列，求方程
表面积 基础公式
正方体：6*单面面积 长方体：2*（前+上+侧） 球体： 圆柱体： 长方体：abc
立体几何
体积
球体： 圆柱体： 锥体：
数个数：整体涂—内部没涂=至少一面涂
几何重构
挖部分：原体积-挖掉的体积
长短线：勾股定理
平面几何
割补法 平移法
几何极限理论
平面中，周长一定，面积越大越靠近圆 立体中，表面积一定，体积越大越靠近球
定方程
一个方程、一个未知量
定方程组
特征 方法
多个方程、多个未知量 未知量个数等于方程个数 带入消元、加减消元
不定方程
特征 方法
一个方程、多个未知量 求某个未知量的值 带入排除、数字特性
多个方程、多个未知量
大月、小月
小月（30天）4,6,9,11月 2月：平年28天，闰年29天
速度：时针每分钟走0.5度，分针每分 钟走6度，两者每分钟差5.5度
钟表问题
直角：时针与分针每小时垂直2次，每 天垂直44次
重合：每小时1次，每天22次
180度：每小时1次，每天22次
淘汰赛：每比赛一场淘汰一个队伍
比赛问题
单循环赛பைடு நூலகம்
计算结果非整数时：求至少的，向上取整；求至多的，向 下取整
特征：都...至少...
方法：反向、加和、做差
特征：列出计算式为一元二次方程
方法：配方法、求导法、不等式法
年龄问题
每人每年长1岁 核心是年龄差不变
和差倍比
和倍：和/（倍数+1）=基倍量 差倍：差/（倍数-1）=基倍量
和差问题：大数=（和+差）/2，小数=（和－差）/2
余数问题
相邻两圈相差为8 余同加余、和同加和、差同减差
基本公式
题目出现“（只）满足两个条件”， 一般用非标准型
利润率=利润÷成本=（售价-成本）÷ 成本
总利润=单利润*件数=总收入-总成本
利润问题
常用方法 折扣
方程、比例
分段计算：水费电费、纳税金额、出 租车乘车费等
加法原理（分类）
乘法原理（分步）
排列与数序有关，组合与顺序无关
n人站一排
排列组合
几大模型
加减运算：同奇同偶比得偶，一奇一 偶只能奇
乘除运算：一偶就是偶，双奇才是奇
平方差、完全平方
完全平方公式 平方差公式
常用的计算公式
立方和差
计算问题
常用方法 等差数列 等比数列
周期问题
阶乘 公式法，记住常用的公式 因子法（整除特性结合） 放缩法（用于判定计算的整数部分） 构造法 特值法
求和公式：
等差中项 通项公式：
电梯
人梯同向：扶梯可见=人走距离+梯走 距离
人梯反向：扶梯可见=人走距离-梯走 距离
设时钟一圈总路程为12格，时钟每小 时走1格，分钟每小时走12格
基本常识
时钟一昼夜转2圈，1小时转1/12圈； 分针一昼夜转24圈，1小时转1圈
钟面每2格之间30度
常用的2、3、5、7、11、13整除判 定法则
题目没有具体数字，只有相互比例关 系等，常用于计算题、浓度问题、工
程问题、行程问题
数字特值
数字特值计算题优先考率-1，0，1， 工程与行程等问题优先考率最小公倍
数
图形特值 比如特殊的长方形——正方形
题目中出现平均、总和、差，尤其是 不定方程的时候
奇偶判定
赋值法：赋每瓶酒价格为N元，则空 瓶子1元，酒N-1元，再计算
从地面爬到N层，共爬了N-1层楼梯
从M层爬到N层，共爬了N-M层楼梯
植树问题
线性植树：总数=路长/间隔+1 单边植树 环形植树：总数=路长/间隔
楼间植树：总数=路长/间隔-1 双边植树 单边基础上*2 最外圈人数=4×（边长-1）
方阵问题
数量思维
选项关联 代入排除 整除思想
特值思想 奇偶特性
不是填空题
注意观察选项之间的倍数关系
应用范围：多位数问题、不定方程问 题、同余问题、年龄问题、周期问 题、复杂行程问题、和差倍比问题。
优先代入整数选项
必须将题目式子转化程A=B*C两两相 乘的形式
拆分法 517=470+47
整除判定法则
因式分解 6=2*3
反复操作型 先看第一次，抓住不变量
标准型：满足条件Ⅰ的个数+满足条 件Ⅱ的个数-两者都满足的个数=总个
数-两者都不满足的个数
两集合问题
标数型：题目提及“只满足某1个条件 ”的数目，用简洁的“文氏图”标数
图示标数的关键是：从最中间“两个 条件都满足”的数字入手
标准型
=总数-三个都不
三集合问题 非标准型
任意两个队伍比赛一场
双循环赛
任意两个队伍比赛两场
杂题模块
草的原有油量=（牛数-草长）*时间
牛吃草问题 引申：原总=（快-慢）*时间
常用方程或方程组来解
问题：青蛙在h米深的井底，白天向上 爬a米，夜晚向下滑b米，问几天爬出
去
青蛙跳井
空瓶换酒问题 爬楼问题
每N个空瓶子能换1瓶酒，一共有M个 空瓶，那么一共可以换M/(N-1)瓶酒
计算每人的工作效率，得到一个周期 的工作量
轮流工作问题
做除法，看工作总量包含几个周期的 工作量，还剩余多少工作量
分析剩余工作量，得出最终答案
溶液的质量=溶质的质量+溶剂的质量
基本公式
浓度=溶质质量÷溶液质量 溶液质量=溶质质量÷浓度
溶质质量=溶液质量×浓度
常用方法
十字交叉、不变量、比例、赋值、调 和平均数
路程=速度*时间 三个比例关系
速度一定，路程与时间正比 时间一定，路程与速度正比
相遇问题
相遇距离=（大速度+小速度）*相遇 时间
相遇追及问题
追及问题
追及距离=（大速度-小速度）*追及时 间
反向运动：第N次相遇路程和为N个周 长，环形周长=（大速度+小速度）×
相遇时间
环形运动
同向运动：第N次相遇路程差为N个周 长，环形周长=（大速度-小速度）×
比例问题：分量/总量=所占比例，分量/所占比例=总 量，分量=总量*所占比例
不定方程（组）
不定方程：奇偶特性→因子分析→尾数判定→赋值验证
不定方程组：整体分析法——凑整； 赋0法简化计算；数字特性法
时间问题
平年、闰年
平年365天，闰年366天
判别法则：非世纪年整除4为闰年，世纪年整除400为闰 年
大月（31天）1,3,5,7,8,10,12月
求和公式：
周期与余数相结合（日期问题）
找到最小公倍数（周期）
一周7天，5个工作日，平年365天（ 52周+1天），闰年366天（52周+2
天）
大月（1、3、5、7、8、10、12）31 天，小月（4、6、9、11）30天，平
月（2月）28或29天
数量关系
行程问题
周期与工程、行程结合 将特值法与周期问题结合
钟表问题
工程问题 浓度问题 容斥原理
追及型
坏钟型 比例问题，抓住“标准比”
工作总量一定，效率与时间反比
工作总量=工作时间*工作效率 三个比例关系 工作时间一定，总量与效率正比
工作效率一定，总量与时间正比
设工作总量为特值(完成工作所需时间 或工作效率的最小公倍数)
多人合作问题
求各自的效率或者时间
求题目所问
特征
未知量的个数多于方程个数
不定方程组
求一个整体的值
赋零法、整体带入法
最不利构造
特征：至少...保证N个相同的... 方法：最不利情况+1
最值问题
构造数列
多集合反向构造 二次函数最值
特征：最多（少）...最多（少）...；排名第...最多（少）...
方法：排序、定位、构造、加和、求解
核心：
若求至多为多少，则其他量尽量小，从小到大构造数列 若求至少为多少，则其他量尽量大，从大到小构造数列
相邻问题 捆绑法 不能相邻 插空法 圆桌型 （n-1）排列
排列组合与概率
错位排列
记住D1=0,D2=1,D3=2,D4=9,D5= 44
一般都是停车位的问题，主要记4和5
遇到带图形的采用标数的方法
概率问题
某事发生的概率=满足条件情况/总的 情况
某事发生的概率=1-不发生的概率
构造问题 几何问题 方程问题
相遇时间
左右点出发：第N次迎面相遇，路程 和=全程×（2N-1）；第N次追上相 遇，路程差=全程×（2N-1）。每个 人所走路程=第一次相遇路程×（2N-
1）
多次相遇问题
同一点出发：第N次迎面相遇，路程 和=全程×2N；第N次追上相遇，路
程差=全程×2N
流水行船、电梯问题
流水行船
顺水速度=船速+水速； 逆水速度=船速－水速
至少。。。保证
最不利+1
都。。。至少。。。
反向、加和、做差
最多，最少
排序、反向找数列，求方程
表面积 基础公式
正方体：6*单面面积 长方体：2*（前+上+侧） 球体： 圆柱体： 长方体：abc
立体几何
体积
球体： 圆柱体： 锥体：
数个数：整体涂—内部没涂=至少一面涂
几何重构
挖部分：原体积-挖掉的体积
长短线：勾股定理
平面几何
割补法 平移法
几何极限理论
平面中，周长一定，面积越大越靠近圆 立体中，表面积一定，体积越大越靠近球
定方程
一个方程、一个未知量
定方程组
特征 方法
多个方程、多个未知量 未知量个数等于方程个数 带入消元、加减消元
不定方程
特征 方法
一个方程、多个未知量 求某个未知量的值 带入排除、数字特性
多个方程、多个未知量
大月、小月
小月（30天）4,6,9,11月 2月：平年28天，闰年29天
速度：时针每分钟走0.5度，分针每分 钟走6度，两者每分钟差5.5度
钟表问题
直角：时针与分针每小时垂直2次，每 天垂直44次
重合：每小时1次，每天22次
180度：每小时1次，每天22次
淘汰赛：每比赛一场淘汰一个队伍
比赛问题
单循环赛பைடு நூலகம்
计算结果非整数时：求至少的，向上取整；求至多的，向 下取整
特征：都...至少...
方法：反向、加和、做差
特征：列出计算式为一元二次方程
方法：配方法、求导法、不等式法
年龄问题
每人每年长1岁 核心是年龄差不变
和差倍比
和倍：和/（倍数+1）=基倍量 差倍：差/（倍数-1）=基倍量
和差问题：大数=（和+差）/2，小数=（和－差）/2
余数问题
相邻两圈相差为8 余同加余、和同加和、差同减差
基本公式
题目出现“（只）满足两个条件”， 一般用非标准型
利润率=利润÷成本=（售价-成本）÷ 成本
总利润=单利润*件数=总收入-总成本
利润问题
常用方法 折扣
方程、比例
分段计算：水费电费、纳税金额、出 租车乘车费等
加法原理（分类）
乘法原理（分步）
排列与数序有关，组合与顺序无关
n人站一排
排列组合
几大模型
加减运算：同奇同偶比得偶，一奇一 偶只能奇
乘除运算：一偶就是偶，双奇才是奇
平方差、完全平方
完全平方公式 平方差公式
常用的计算公式
立方和差
计算问题
常用方法 等差数列 等比数列
周期问题
阶乘 公式法，记住常用的公式 因子法（整除特性结合） 放缩法（用于判定计算的整数部分） 构造法 特值法
求和公式：
等差中项 通项公式：