概率论与数理统计复习资料——含习题

《概率论与数理统计》课程复习资料1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。

古典概型例子摸球模型例1：袋中有a个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出m(m≤a+ｂ)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m次取出的球是白球的概率;例2：袋中有a个白球，ｂ个黑球，c个红球，从中任意取出ｍ(m≤a+ｂ)个球，求取出的m 个球中有k1(≤a) 个白球、k2(≤b) 个黑球、k3(≤c) 个红球(k1＋k2＋k3=m)的概率.占位模型例：n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点，每个质点都以概率1/N落入N个格子(N≥n)的任一个之中，求下列事件的概率：(1) A={指定n个格子中各有一个质点}；(2) B={任意n个格子中各有一个质点}；(3) C={指定的一个格子中恰有m(m≤n)个质点}.抽数模型例：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。

如对于事件A，B，A或B，已知P(A)，P(B)，P(AB)，P(A B)，P(A|B)，P(B|A)以及换为A或B之中的几个，求另外几个。

例1：事件A与B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(A－B)，P(A B)例2：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求：P(A－B)，P(A B)，)|AP，)(B(BPA||P，)(BA3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。

若已知导致事件A发生(或者是能与事件A同时发生)的几个互斥的事件B i，i=1,2,…,n,…的概率P(B i) ，以及B i发生的条件下事件A发生的条件概率P(A|B i)，求事件A发生的概率P(A)以及A发生的条件下事件B i发生的条件概率P(B i| A)。

例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。

假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。

试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。

4．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。

分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。

(1)已知一维离散型随机变量X的分布律P(X=x i)=p i，i=1,2,…,n,…确定参数求概率P(a<X<b)求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数Y=g(X)的分布律及期望E[g(X)]例：随机变量X的分布律为.确定参数k求概率P(0<X<3)，}3P<X1{<求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数2)3(-=X Y 的分布律及期望2)3(-X E(2)已知一维连续型随机变量X 的密度函数f (x ) 确定参数求概率P (a <X <b ) 求分布函数F (x )求期望E (X )，方差D (X )求函数Y =g (X )的密度函数及期望E [g (X )]例：已知随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<=其他0202x kx x f ，确定参数k求概率}31{<<X P 求分布函数F (x )求期望E (X )，方差D (X )求函数X Y =的密度及期望)(X E (3)已知二维离散型随机变量(X ，Y )的联合分布律P (X =x i ，Y =y j )=p ij ，i =1,2,…,m ,…；j =1,2,…,n ,… 确定参数求概率P {(X ,Y )∈G }求边缘分布律P (X =x i )=p i.，i =1,2,…,m ,…；P (Y =y j )=p .j ， j =1,2,…,n ,… 求条件分布律P (X =x i |Y =y j )，i =1,2,…,m ,…和P (Y =y j |X =x i )， j =1,2,…,n ,… 求期望E (X )，E (Y )，方差D (X )，D (Y )求协方差 cov(X ,Y )，相关系数XY ρ，判断是否不相关 求函数Z =g (X , Y )的分布律及期望E [g (X , Y )] 例求概率P (X 求边缘分布律P (X =k ) k =0,1,2 和P (Y =k ) k =0,1,2,3求条件分布律P (X =k |Y =2) k =0,1,2和P (Y =k |X =1) k =0,1,2,3 求期望E (X )，E (Y )，方差D (X )，D (Y )求协方差 cov(X ,Y )，相关系数XY ρ，判断是否不相关 求Z =X +Y ，W =max{X ，Y }，V =min{X ，Y }的分布律 (4)已知二维连续型随机变量X 的联合密度函数f (x , y ) 确定参数求概率P {(X ,Y )∈G }求边缘密度)(x f X ，)(y f Y ，判断Y X ,是否相互独立 求条件密度)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y求期望E (X )，E (Y )，方差D (X )，D (Y )求协方差 cov(X ,Y )，相关系数XY ρ，判断是否不相关求函数Z =g (X , Y )的密度函数及期望E [g (X , Y )]例：已知二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,01,),(22y x y cx y x f ，确定常数c 的值； 求概率P (X <Y )求边缘密度)(x f X ，)(y f Y ，判断Y X ,是否相互独立 求条件密度)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y求期望E (X )，E (Y )，方差D (X )，D (Y )求协方差 cov(X ,Y )，相关系数XY ρ，判断是否不相关 5．会用中心极限定理解题。

例1：每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为25.1，求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率．例2：设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。

6．熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。

数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1．统计量的判断。

对于来自总体X 的样本n X X X ,,,21 ，由样本构成的各种函数是否是统计量。

2．计算样本均值与样本方差及样本矩。

3．熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。

4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计。

例：设总体X 的概率密度为()()⎩⎨⎧<<+=其它,010,1x x x f θθ，n X X ,,1 是来自总体X 的一个样本，求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量. 5．掌握无偏性与有效性的判断方法。

对于来自总体X 的样本n X X X ,,,21 ，判断估计量是否无偏，比较哪个更有效。

例：设321,,X X X 是来自总体X 的一个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计 3212110351X X X ++；)(31321X X X ++；321X X X -+；)(2121X X +；3211214331X X X ++求出方差，比较哪个更有效。

6．会求正态总体均值与方差的置信区间。

对于正态总体，由样本结合给出条件，导出参数的置信区间。

7．理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。

对于单、双正态总体根据给定条件，确定使用什么检验方法，明确基本步骤。

例：设),(~2σu N X ，u 和2σ未知，(X 1，…，X n )为样本，(x 1,…,x n )为样本观察值。

(1)试写出检验u 与给定常数u 0有无显著差异的步骤；(2)试写出检验2σ与给定常数20σ比较是否显著偏大的步骤。

1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。

古典概型例子 摸球模型例1：袋中有a 个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出m (m ≤a +ｂ)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m 次取出的球是白球的概率;分析：本例的样本点就是从a +ｂ中有次序地取出m 个球的不同取法；第m 次取出的球是白球意味着：第ｍ次是从a 个白球中取出一球，再在a +ｂ-1个球中取出m-1个球。

解：设B ＝｛第m 次取出的球是白球｝样本空间的样本点总数： mb a A n +=事件B 包含的样本点： 111--+=m b a a A C r ，则 b a a A aA n r B P mba mb a +===+--+11)( 注：本例实质上也是抽签问题，结论说明按上述规则抽签，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关。

例2：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1 个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B ＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝样本空间的样本点总数： 915C n ==5005事件B 包含的样本点： 563514C C C r ==240，则 P (B )=120/1001=0.048 占位模型例：n 个质点在N 个格子中的分布问题.设有n 个不同质点，每个质点都以概率1/N 落入N 个格子(N ≥n)的任一个之中，求下列事件的概率：(1) A ={指定n 个格子中各有一个质点}；(2) B ={任意n 个格子中各有一个质点}； (3) C ={指定的一个格子中恰有m (m ≤n )个质点}.解：样本点为n 个质点在N 个格子中的任一种分布，每个质点都有N 种不同分布，即n 个质点共有N n 种分布。

故样本点总数为：N n(1)在n 个格子中放有n 个质点，且每格有一个质点，共有n !种不同放法；因此，事件A 包含的样本点数：n!，则 n Nn A P !)(=(2)先在N 个格子中任意指定n 个格子，共有nN C 种不同的方法；在n 个格子中放n 个质点，且每格一个质点，共有n !种不同方法；因此，事件B 包含的样本点数： n N n N A C n =!，则n nNNA B P =)((3)在指定的一个格子中放m (m ≤n )个质点共有mn C 种不同方法；余下n-m 个质点任意放在余下的N-1个格子中,共有m n N --)1(种不同方法.因此，事件C 包含的样本点数：m n C m n N --)1(, 则mn m m n nm n mn N N N C NN C C P ---=-=)1()1()1()( 抽数模型例：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：410A =5040，设B ={能排成一个四位偶数} 。