华中科技大学2018年数学分析试题解答

1．

解

由1n n n a x x -=-（1n ≥），得

2．

证明 将(1)f 、(0)f 在x 点（01x <<）用Taylor 公式展开并相减，则得

2211

(1)(0)'()''()(1)''()(0)22

f f f x f x f x ξη-=+

---（0,1ξη<<）

，由于(0)(1)f f =，因此得

此不等式可以改进为：'()1f x <（01x <<），因为01x <<时，上式22(1)1x x -+<． 3． 证明 1

221112220

(1)[(,)2(,)(,)]t x f tx ty xyf tx ty y f tx ty dt -++⎰

4．

证明 （反证法），假设00(,)f x y 不是(,)f x y 在,0x y ≥上的最大值。由于

22

lim (,)0x y f x y +→∞

=，存在0r >，当22

,0,0x y r x y +≥≥≥时，00(,)(,)f x y f x y <。 考察闭区域22{(,):0,0,}D x y x y x y r =≥≥+≤，显然00(,)x y D ∈，由已知(,)f x y 在D 上连续，从而(,)f x y 在D 上取得最大值，设为11(,)f x y 。显然在D ∂上，总有

00(,)(,)f x y f x y <，因而必有：1111'(,)'(,)0x y f x y f x y ==。当22,0,0x y r x y +≥≥≥时，0011(,)(,)(,)f x y f x y f x y <≤，因此

11(,)f x y 是(,)f x y 在,0x y ≥上的最大值。由假设，1100(,)(,)x y x y ≠。

这与已知矛盾，可知假设不真。

5．设处处有''()0f x >．证明：曲线()y f x =位于任一切线之上方，且与切线有唯一公共点．

证明 设00(,)x y 为曲线()y f x =上任一点，在该点处曲线的切线方程为 对曲线()y f x =上任意点，按Taylor 公式展开，得

由''()0f x >知，当0x x ≠时，000()'()()f x f x x x +-()f x <，而00(,)x y 为唯一公共点．得证．

6．求22

49L

xdy ydx

I x y -=+⎰，L 是取反时针方向的单位圆周．

解 L 的参数方程：cos ,sin ,02x y θθθπ==≤≤ 7．

证明 2

2

2

2

222

2222222

()()()()x y z t

x y t f x y z dxdydz

F t x y f x y dxdy

++≤+≤++=++⎰⎰⎰

⎰⎰

2203

2

()2

()t

t r f r dr

r

f r dr

=⎰⎰，当0t >时

因此，()F t （0t >）是严格单调减函数。

8．设级数01n n a n ∞

=+∑收敛，证明10001

n

n n n n a a x dx n ∞∞===+∑∑⎰．

证明 由01n n a n ∞

=+∑收敛知，10()1

n n n a

S x x n ∞

+==+∑在[]0,1上一致收敛，从而

10

()1n n n a S x x n ∞

+==+∑左连续，即110lim 1n n x n a x n -∞+→=+∑01n

n a n ∞

==+∑．对(0,1)x ∀∈，有1

0()1

x

x

n

n

n n n n n n n a a t dt a x dx x n ∞

∞

∞

+=====+∑∑∑

⎰

⎰， 于是100100lim ()x

n

n

n n x n n a x dx a t dt -∞

∞

→===∑∑⎰⎰1100lim 11

n n n

x n n a a x n n -

∞

∞+→====++∑∑． 9．设()f x 在[0,)∞上连续，其零点为01:0n n x x x x =<<<

()n x n →∞→∞．证明：积分0

()f x dx ∞

⎰收敛⇔级数1

()n n

x x n f x dx +∞

=∑⎰

收敛．

证明

1

1

()()n N n

N

x x x n f x dx f x dx ++==∑⎰

⎰

，若0

()f x dx ∞

⎰收敛，则

1

1

1

10

()lim ()lim

()()n N N n

N x x x x n x n f x dx f x dx f x dx f x dx ++++∞

+∞

→∞→∞====∑⎰

⎰

⎰

⎰

，即1

()n n

x x n f x dx +∞

=∑⎰

收敛。

若0()f x dx ∞

⎰不收敛，同理可知1

()n n

x x n f x dx +∞

=∑⎰不收敛。

10．设a b <，()n f x 在[,]a b 上连续，()0b

n a f x dx ≥⎰（1,2,n =L ），当n →∞时，

()n f x 在[,]a b 上一致收敛于()f x ．证明：至少存在一点0[,]x a b ∈，使得0()0f x ≥．