随机过程[2]

随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
由以上定义可得 (1) mZ(t)=mX(t)+jmY(t) t∈T
(2) DZ(t)= DX(t)+DY(t)
t∈T
(3) CX(s,t)=RZ(s,t)-mZ(s)mZ(t) s,t∈T
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举例
Zt = ∑ X k e j ( ω t +Φk ) ,t ∈ R , 其中ω0为正常数, n为 设
k =1 l =1 n n
n
n
= E[∑∑ X k X l e j ( Φl −Φ k ) ]e jω0 ( t − s )
k =1 l =1
=e
jω0 ( t − s )
∑σ
k =1
n
2 k
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解 mZ (t ) = E[∑ X k e j (ω0t +Φ k ) ] = 0
k =1 n
n
R Z ( s, t ) = E[∑ X k e j (ω0 s +Φ k ) ⋅ ∑ X k e j (ω0t +Φ k ) ]
k =1 k =1
n
= E[∑∑ X k X l e − j (ω0 s +Φ k ) e j (ω0t +Φ l ) ]
0
n
固定正整数, X 1 , X 2 , L , X n , Φ1 , Φ 2 , L , Φ n 是相互独立 的实随机变量,且 EX k = 0, DX k = σ k2 , Φk～U[0,2π], k=1,2,…,n. 计算S.P.{Zt ,t∈R}的均值函数和相关函数.
k =1
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复随机过程的数字特征
定义 设{Zt, t∈T}是复S.P. 对任意t ∈T,称 mZ(t)=E[Zt] 为复S.P.的均值函数 称 DZ(t)=D[Zt] =E| Zt- mZ(t)|2 为复S.P.的方差函数
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称 ΦZ(t)=E|Zt|2 为复S.P.的均方值函数. 对任意的s,t∈T,称 RZ(s,t)=E[ZsZt] 为复S.P.的相关函数. 称 CX(s,t) =cov(Zs，Zt) =E[(Zs-mz(s))(Zt-mz(t))] 为复S.P.的协方差函数.
随机过程的数字特征
1. 均值函数 设X={Xt , t∈T}是一实值随机过程，对任意t∈T,若 E[Xt ]存在, 则称E[Xt ]为随机过程X的 均值函数，记为mX(t)， 即 mX(t)= E[Xt ]， t∈T
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2. 方差函数 设X={Xt , t∈T}是一实值随机过程，对任意t∈T,若 D[Xt ]=E[Xt -mX(t)]2存在, 则称D[Xt ]为随机过程X的方差函数， 记DX(t). 即 DX(t)= E[Xt -mX(t)]2 ，t∈T
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3. 协方差函数 设X={Xt , t∈T}是一实值随机过程，对任意s,t∈T, 若 Cov(Xs, Xt)=E[Xs-mX(s)][Xt -mX(t)]存在, 则称Cov(Xs, Xt)为随机过程X的协方差函数.记 CX(s,t). 即 CX(s,t)= E[Xs-mX(s)][Xt -mX(t)] s,t∈T
= RX ( s , t ) a2 = cos ω (t − s ), 2
a2 ∴ DX (t ) = C X (t , t ) = 2
− ∞ < s, t < +∞
− ∞ < t < +∞
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2. 设S.P. Xt=Acosωt+Bsinωt t≥0, ω为常数. A,B相互独立,同服从正态分布N(0,σ2) 求该过程的数字特征.
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两个随机过程的数字特征
互相关函数 设{Xt,Yt, t∈T}是二维S.P. 对任意s,t∈T，若 E[XsYt]存在, 则称 E[XsYt]=RX,Y(s,t) 为该二维S.P.的 互相关函数
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设{Xt,Yt, t∈T}是二维S.P. 对任意s,t∈T，若 cov(Xt,Yt）=E[(Xs-mX(s))(Yt-mY(t)]存在, 则记 cov(Xt,Yt)= CXY(s,t) 称为二维S.P.的互协方差函数 显然有 CXY(s,t)=RXY(s,t)-mX(s)mY(t)
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5. 均方值函数 设X={Xt , t∈T}是一实值随机过程，对任意t∈T,若 E[Xt]2存在 则称E[Xt]2为随机过程X的均方值函数，记为ΦX(t).即 ΦX(t)= E[Xt]2 t∈T
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随机过程的数字特征有如下关系 CX(s,t)=RX(s,t)-mX(s)mX(t) DX(t)=CX(t,t) ΦX(t)=RX(t,t) t∈T t∈T s,t∈T
RX ( s, t ) = E[ X s X t ]
2π
=∫
2π
0
1 2 a cos(ω s + θ ) cos(ωt + θ )dθ 2π − ∞ < s, t < +∞
a2 = cos ω (t − s ), 2
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Q C X ( s, t ) = RX ( s, t ) − m X ( s )m X ( t )
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4. 相关函数 设X={Xt , t∈T}是一实值随机过程，对任意s,t∈T, 若 E[XsXt] 存在, 则称E[XsXt]为随机过程Xt的相关函数. (自相关函数) 记RX(s,t).即 RX(s,t)= E[XsXt] s,t∈T 显然 mX(t)=0时, CX(s,t)= RX(s,t)
解
mX (t ) = E[ X t ] = 0
− ∞ < t < +∞
RX ( s, t ) = E[ X s X t ]
= E[ A ]cos ω s cos ωt + E[ AB](sin ω s cos ωt + cos ω s sin ωt )
2
+ E[ B 2 ]sin ω s sin ωt 2 = σ cos ω (t − s ) − ∞ < s, t < +∞
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定义 设{Xt, t∈T}, {Yt, t∈T}是二个 S.P.若 CXY(s,t)=0 或 RX,Y(s,t)= mX(s)mY(t) s,t∈T, 则称S.P {Xt, t∈T},与S.P {Yt, t∈T}不相关.
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最关键的数字特征是均值函数与相关函数
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数字特征练习 1. 设S.P. Xt=acos(ωt+Θ). a, ω常数, Θ~U[0, 2π] 求该过程的均值函数,相关函数,方差函数.
解
mX (t ) = E[ X t ]
1 =∫ ⋅ a cos(ωt + θ )dθ 0 2π =0 − ∞ < t < +∞
随机过程的数字特征
虽然有限维分布函数族能够比较完整的描述随机过程 的统计特征,但是在实际中很难得到. 思考：还可以用什么工具表征随机过程的一些特点？
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
下面介绍数字特征，内容包括： 随机过程的数字特征 两个随机过程的数字特征 复随机过程的数字特征
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