两个向量的数量积
第七讲。数量积,向量积讲解
2
所以
( a,b ) 3
（3） 因为
4
a • b | a || b | cos( a,b ) | b | Pr jba
所以
Pr
ju AB
a•b |b|
9 3
3
例2 试用向量证明三角形的余弦定理.
证明 在DABC中, ∠BCA, |CB|a, |CA|b, |AB|c,
要证c2a2b22abcos .
3 运算律 （1）交换律 a •b b • a
（2）分配律 (a b) • c a • c b • c
（3）结合律 (a) • b (a • b) a • (b)
其中λ为常数。 4 数量积的计算公式 设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
则有
a • b x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b |
3 两向量的向量积的运算律 （1） a×b=-b×a； （2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b （λ为常数） （3）（a+b）×c=a×c+b×c
向量积还可用三阶行列式表示
i j k a b ax ay az
bx by bz
由上式可推出
ห้องสมุดไป่ตู้
a// b
ax ay az
θ
A
S
B
W | F || S | cos
2 性质： （1） a·a=|a|2
i • i 1, j • j 1, k • k 1
（2）a b a •b 0
i • j 0, j • k 0, k • i 0
（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有
cos a • b
| a || b |
向量的数量积运算的所有公式
向量的数量积运算的所有公式1.向量的数量积定义：对于两个向量u和v，它们的数量积表示为u·v，即：u·v = ，u，，v，cosθ其中，u，和，v，分别表示向量u和v的长度（或模），θ表示向量u和v之间的夹角。
2.向量的数量积性质：(a)u·v=v·u（交换律，数量积满足交换律）(b)u·u=，u，^2（自身与自身的数量积等于向量的长度的平方）(c) (ku)·v = k(u·v)（数量积与标量的乘积等于标量与数量积的乘积）(d)(u+v)·w=u·w+v·w（数量积的分配律）3.向量的数量积的计算公式：(a)对于二维向量u=(u₁,u₂)和v=(v₁,v₂)：u·v=u₁v₁+u₂v₂(b)对于三维向量u=(u₁,u₂,u₃)和v=(v₁,v₂,v₃)：u·v=u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃4.向量的数量积的几何解释：(a)两个向量u和v之间的数量积u·v等于向量u在向量v方向上的投影长度乘以向量v的长度。
(b)如果u和v之间的夹角θ等于0度，则u·v=，u，，v，（数量积的最大值）(c)如果u和v之间的夹角θ等于90度，则u·v=0（数量积的最小值）5.向量的数量积与向量的垂直性：(a)如果u·v=0，则向量u和v垂直（正交）。
(b)如果u·v≠0，则向量u和v不垂直。
6.向量的数量积与向量的夹角的关系：(a) u·v = ，u，，v，cosθ(b)如果θ=0度，则u·v=，u，，v，（数量积的最大值）(c)如果θ=90度，则u·v=0（数量积的最小值）这些公式是向量的数量积运算的基本公式和性质，可用于求解向量的数量积问题，以及在几何和物理等领域中的应用。
向量的数量积定义与性质
向量的数量积定义与性质向量是线性代数中的重要概念之一，用于描述方向和大小。
在向量运算中，数量积是一种常见的运算，也被称为点积或内积。
数量积不仅有其定义，还具有一系列重要的性质和应用。
一、数量积的定义给定两个n维向量A = [a1, a2, ..., an]和B = [b1, b2, ..., bn]，它们的数量积（点积）记作A·B，表示为：A·B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn二、数量积的性质1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C3. 结合律：(kA)·B = k(A·B)，其中k是一个标量三、数量积的几何意义数量积在几何中有重要的几何意义。
对于两个向量A和B，它们的数量积A·B等于向量A在向量B方向上的投影乘以向量B的模长，即：A·B = |A||B|cosθ其中θ为向量A与向量B之间的夹角。
四、数量积的应用1. 判断两个向量是否垂直：如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直的。
2. 计算向量的模长：向量A的模长|A|可以由数量积求解，即|A| = √(A·A)。
3. 判断两个向量的夹角：通过数量积的几何意义，可以利用数量积求解夹角的余弦值，再通过反余弦函数得到夹角的度数。
4. 判断线性相关性：如果两个向量的数量积为0，它们是线性无关的；反之，它们是线性相关的。
5. 计算向量的投影：根据数量积的几何意义，可以利用向量的投影公式求解向量在另一向量上的投影。
五、例题演示假设向量A = [3, -1, 2]，向量B = [2, 4, 1]。
我们来计算A·B并应用数量积进行判断：A·B = 3*2 + (-1)*4 + 2*1 = 6 - 4 + 2 = 4根据数量积的性质和应用：1. 由于A·B不为0，所以向量A和向量B不是垂直的。
两向量的数量积
在二维空间中，两向量的数量积可以表示为$vec{A} cdot vec{B} = AB cos theta$，其中$AB$是两 向量的模长，$theta$是两向量之间的夹角。
几何意义
两向量的数量积表示两向量在各个维 度上的投影乘积之和，即两向量在各 个方向上的共同贡献。
在二维空间中，两向量的数量积也可 以理解为它们之间的角度余弦值乘以 它们的模长。
两向量的数量积
目录
• 两向量数量积的定义 • 两向量数量积的计算 • 两向量数量积的运算律 • 两向量数量积的应用 • 两向量数量积的扩展
01
CATALOGUE
两向量数量积的定义
定义
两个向量$vec{A} = (a_1, a_2, ..., a_n)$和$vec{B} = (b_1, b_2, ..., b_n)$的数量积定义为$vec{A} cdot vec{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
THANKS
感谢观看
3. 两向量的夹角cos值为 cosθ=4/√13*4/√41=8√41
/(41√13)。
04
05
4. 计算数量积： a·b=|a||b|cosθ=(√13)(√41)
(8√41)/(41√13)=8。
03
CATALOGUE
两向量数量积的运算律
交换律
总结词
两向量数量积的交换律是指，改变两向量的顺序不影响其数量积的结果。
详细描述
根据向量的数量积定义，设向量$vec{A}$和$vec{B}$的数量积为$vec{A} cdot vec{B}$，则交换两向量的顺序后 ，$vec{B} cdot vec{A} = vec{A} cdot vec{B}$。这意味着，无论向量$vec{A}$和$vec{B}$的顺序如何，其数量 积的结果是相同的。
向量的数量积运算的所有公式
向量的数量积运算的所有公式1.定义：设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则a与b的数量积定义为：a·b=a1b1+a2b2+a3b32.单位向量：如果向量a是一个单位向量，则a与任何向量b的数量积等于b在a的方向上的投影长度。
3.平行向量：如果两个向量a和b平行，则它们的数量积为：a ·b = ，a，，b，cosθ其中，a，和，b，分别表示向量的模（长度），θ表示a和b之间的夹角。
4.正交向量：如果两个向量a和b互相垂直（夹角为90度），则它们的数量积为：a·b=05.向量的模：设向量a=(a1,a2,a3)，则a的模定义为：a，=√(a1^2+a2^2+a3^2向量的模也可以表示为向量的数量积与自身的开方，即：a，=√(a·a6.向量的投影长度：设向量a与向量b之间的夹角为θ，则向量b 在a的方向上的投影长度为：proj_a(b) = ，b，cosθ投影长度也可以表示为数量积与向量a的模的商，即：proj_a(b) = (a · b) / ，a7.向量的夹角：设向量a和b之间的夹角为θ，则夹角的余弦可以表示为向量的数量积与两个向量模的商，即：cosθ = (a · b) / (，a，，b，)从该公式可以推导出两个向量夹角的正弦和余弦。
8.柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个向量a和b，有：a·b，≤，a，当且仅当a和b共线时，等号成立。
9.向量的数量积的性质：-交换律：a·b=b·a-结合律：(c*a)·b=c*(a·b)，其中c是一个标量-分配律：(a+b)·c=a·c+b·c这些公式是向量的数量积运算中的一些重要性质和公式。
它们在向量运算、物理学、几何学等领域具有广泛的应用。
(6)两向量的 数量积 向量积 混合积
a b 0 a x bx a y by a z bz
当 a , b 0 cos
a b a b
2 y
ax bx a y by az bz a a a
2 x 2 y 2 z
b b b
2 x
2 z
二、两向量的向量积 定义2 若由向量 a与 b 所确定的一个向量 c 满足下列条件： c的 b c 的方向既垂直于 a又垂直于 （1） , b 来确定（如图） a 指向 按右手规则从 转向 c 的模为| c || a || b | sin （2） (其中 为 a 与 b 的夹角 )， 则称向量 c 为向量 a与 b 的向量积（或称外 积、叉积），记为 c a b
（2）
3.数量积满足下列运算规律：
（1）交换律 （2）分配律
（3）结合律
a b b a; (a b ) c a c b c ; (a b ) (a) b a (b )
1 V [ AB 6 AC AD] ,
x2 x1 AB x2 x1 , y 2 y1, z 2 z1 1 AC x x , y y , z z . V x3 x1 3 1 3 1 3 1 6 AD x x , y y , z z x4 x1 4 1 4 1 4 1
证略（右手，左手系）
证明：以空间任一点为始点作三个不共面的向量
a, b , c ，令 (a b ) r 则 r
表示以 a, b
为邻边的平行四边形OADB的面积S，而
[abc] r c r c cos S h V（这里h表示以
向量积和数量积的运算公式
向量积和数量积的运算公式向量积又称为叉积或矢量积，用符号"×"表示。
给定两个向量a和b，它们的向量积c可以表示为：c=a×b向量积的计算公式如下：1.向量积的计算方法有两种：几何法和代数法。
在几何法中，我们可以根据a和b的方向及其夹角来计算向量积。
而在代数法中，我们可以使用坐标来计算向量积。
2.几何法计算向量积的公式为：c = ，a，，b，sinθ n其中，a，表示向量a的模，b，表示向量b的模，θ表示a和b的夹角，n是一个垂直于平面的单位向量。
3.代数法计算向量积的公式为：c=(a2b3-a3b2)i+(a3b1-a1b3)j+(a1b2-a2b1)k其中，i、j和k是分别表示x、y和z轴的单位向量。
a1、a2和a3是向量a的坐标分量，b1、b2和b3是向量b的坐标分量。
4.叉积满足右手定则，即当右手的食指指向向量a的方向，中指指向向量b的方向时，大拇指所指的方向即为向量积c的方向。
5. 向量积的模可以通过公式，c， = ，a，，b，sinθ 来计算，其中θ为a和b的夹角。
向量积的运算公式非常重要，它有助于解决关于平面及其运动、力学等方面的问题，下面是一些应用案例：（1）力矩的计算：力矩可以通过向量积来计算。
对于一个由作用力F产生的力矩M，可以表示为：M=r×F其中，r是从力的作用点到旋转轴的矢量。
（2）平面的法向量计算：给定一平面上的两个向量a和b，可以通过叉积来计算平面的法向量n。
具体公式为：n=a×b法向量可以用来计算平面的方程以及平面上点的投影等问题。
（3）力的分解：向量积可以用于将一个力分解为两个分力的向量和。
假设力F的两个分力分别为F1和F2，那么可以计算得到：F=F1+F2其中，F1为向量积c的方向与F相同的分力，F2为向量积c的方向与F相反的分力。
（4）等式的转化：叉积可以用于将复杂的向量等式转化为不同形式的等式，以简化计算。
向量的数量积
向量的数量积向量的数量积是线性代数中的一个重要的概念，它在计算机图形学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍向量的数量积的定义和性质，并探讨其在实际应用中的意义和作用。
一、向量的数量积的定义向量的数量积又称为点积或内积，是两个向量的一种运算方式。
设有两个n维向量A和B，它们的数量积定义为：A·B = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A和B之间的夹角。
二、向量的数量积的性质1. 交换律两个向量的数量积满足交换律，即A·B = B·A。
2. 分配律向量的数量积与加法满足分配律，即(A+B)·C = A·C + B·C。
3. 结合律向量的数量积与数乘满足结合律，即(kA)·B = A·(kB) = k(A·B)，其中k为实数。
4. 长度两个向量的数量积的绝对值等于它们的模长的乘积与夹角的余弦值的乘积，即|A·B| = |A||B|cosθ。
三、向量的数量积的应用1. 判断两个向量的正交性若两个向量的数量积为0，则它们垂直或正交。
这个性质在几何学中非常有用，可以用来判断两条直线是否相互垂直、两个平面是否相互垂直等。
2. 求两个向量的夹角利用向量的数量积的定义，可以求出两个向量之间的夹角。
通过计算A·B = |A||B|cosθ，可以得到θ的值，从而确定两个向量的夹角。
3. 求向量在某个方向上的投影设有一个单位向量u和一个向量A，向量A在方向u上的投影可以用数量积来表示，即A在u方向上的投影等于A·u。
4. 计算向量的模长根据向量的数量积的性质，可以计算出向量的模长。
设有一个向量A，通过计算A·A = |A|^2，可以得到A的模长。
四、向量的数量积的意义向量的数量积在几何学中具有重要的应用，它可以帮助我们理解和描述空间中的向量关系。
向量的数量积的定义
向量的数量积的定义向量的数量积，又称点积或内积，是在向量空间中两个向量之间的一种数学运算，有着很广泛的应用。
在物理、几何、计算机图形学等领域中，数量积被广泛使用。
下面我将详细介绍向量的数量积的定义。
1. 公式：$\vec{a} \cdot \vec{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}+\cdots+a_{n}b_{n}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}$2. 含义：向量的数量积的含义是：将一个向量$\vec{a}$的每个分量与另一个向量$\vec{b}$的对应分量相乘，然后将乘积相加得到一个标量。
也就是说，向量的数量积是一个标量（即一个实数），不是一个向量。
如果两个向量的数量积为0，即$\vec{a} \cdot \vec{b}=0$，则这两个向量垂直（即正交）。
如果两个向量的数量积大于0，即$\vec{a} \cdot \vec{b}>0$，则这两个向量的夹角为锐角。
如果两个向量的数量积小于0，即$\vec{a} \cdot \vec{b}<0$，则这两个向量的夹角为钝角。
3. 性质：向量的数量积具有以下的一些性质：（1）向量的数量积是可交换的，即$\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot\vec{a}$。
4. 应用：向量的数量积具有广泛的应用。
在物理学中，向量的数量积可以用来计算力和位移之间的关系，以及计算向量场中的通量和功率。
在几何学中，向量的数量积可以用来计算角度和面积等。
在计算机图形学等领域中，向量的数量积可以用来计算向量之间的夹角和相似性等。
综上所述，向量的数量积具有重要的意义和广泛的应用。
掌握向量的数量积的定义和性质对于理解向量的乘法和运用向量的方法有着极为重要的意义。
向量的数量积的概念讲解
向量的数量积的概念讲解向量的数量积是指两个向量之间的数乘积。
在三维空间中，向量通常用箭头表示，例如AB。
向量的数量积通常用小括号“()”表示，例如(A,B)，其中A和B为两个向量。
向量的数量积在向量运算中有着重要的应用。
向量的数量积取决于两个向量的长度和它们之间的夹角。
两个向量的数量积定义如下：(A, B) = A B cosθ其中，A 和B 分别是向量A和向量B的长度，θ是A和B之间的夹角。
这个公式意味着当两个向量的夹角为0或180度时，它们的数量积为正或负的最大值。
当两个向量垂直时，它们的数量积为0。
这个公式也可以写成：(A, B) = Ax Bx + Ay By + Az Bz其中，Ax、Ay和Az是向量A的x、y和z分量，Bx、By和Bz是向量B的x、y和z分量。
这个形式更直观，也更方便计算。
向量数量积的应用非常广泛，以下列举几个常见的方面：1.计算向量的模长向量的数量积可以用来计算向量的模长。
根据上述公式，对一个向量A，它的模长可以表示为：A = √(A·A)其中，A·A是向量A与它自己的数量积，也就是A的长度的平方。
这个公式可以推广到任意维度的向量。
2.计算向量之间的夹角向量的数量积可以用来计算两个向量之间的夹角。
两个向量之间夹角的余弦可以通过它们的数量积计算，即：cosθ= (A, B) / A B其中，A和B为两个向量。
这个公式也可以写成：cosθ= (Ax Bx + Ay By + Az Bz) / ( A B )注意，因为余弦值只在0到π之间取值，所以这个公式只能确定向量夹角的绝对值，而无法确定它们的正负或是具体的夹角角度。
3.求解向量的投影向量的数量积可以用来计算一个向量在另一个向量上的投影长度。
对于两个非零向量A和B，在B方向上的投影长度可以表示为：P = (A, e) / B其中，e是B的单位向量，即e = B / B这个公式的推导可以通过三角函数得到。
两个向量的数量积-重点中学空间向量课件集
03
两个向量的数量积的应用
在几何中的应用
01
02
03
判断角度
通过计算两个向量的数量 积，可以判断这两个向量 之间的夹角是锐角、直角 还是钝角。
计算距离
在三维空间中，可以通过 计算两个向量的数量积来 求得它们之间的距离。
特殊情况下，当两向量共线且同向时，数量积为正无穷大；当两 向量共线反向时，数量积为负无穷大；当两向量垂直时，数量积 为0。
性质
交换律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$。
分配律
$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$。
进阶习题3
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (x,y,z)$，$overset{longrightarrow}{b} = (m,n,p)$，若 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 100$，$m^{2} + n^{2} + p^{2} = 400$，求 $overset{longrightarrow}{a}$与$overset{longrightarrow}{b}$的数量积。
THANK YOU
感谢聆听
向量投影
在解决线性代数问题时，经常需要将一个向量投影到一个 子空间上。通过计算向量的数量积，可以方便地求得向量 的投影。
04
两个向量的数量积的注意事项
计算方法的选择
向量积 数量积
向量积数量积向量积，也称为数量积或点积，是线性代数中的一个重要概念。
它是两个向量的乘积，得到的结果是一个标量。
本文将深入探讨向量积的定义、性质和应用。
一、向量积的定义向量积是两个向量的乘积，表示为A·B，读作A点乘B。
对于二维向量A=(x1, y1)和B=(x2, y2)，它们的向量积定义为A·B = x1x2 + y1y2。
对于三维向量A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，它们的向量积定义为A·B = x1x2 + y1y2 + z1z2。
二、向量积的性质1. 向量积满足交换律：A·B = B·A。
这意味着两个向量的顺序对结果没有影响。
2. 向量积不满足结合律：(A·B)·C ≠ A·(B·C)。
这意味着向量积不具备结合性质。
3. 向量积与向量的夹角：A·B = |A||B|cosθ，其中θ是A和B 之间的夹角。
4. 向量积与正交性：如果两个向量的向量积为0，即A·B = 0，那么它们是正交的，也就是说它们的夹角为90度。
三、向量积的应用1. 计算力矩：在物理学中，力矩是指力对物体产生旋转的效果。
对于一个力F作用在位置矢量r上，其力矩M定义为M = r × F，其中×表示向量积。
通过向量积可以方便地计算力矩的大小和方向。
2. 判断向量的方向：通过向量积可以判断两个向量的相对方向。
如果A·B > 0，那么A和B的夹角小于90度；如果A·B < 0，那么A和B的夹角大于90度；如果A·B = 0，那么A和B是正交的。
3. 计算平面的法向量：对于一个平面上的两个非零向量A和B，它们的向量积A·B可以得到平面的法向量。
法向量垂直于平面，可以用来描述平面的性质和方程。
4. 计算三角形的面积：对于三角形的两条边A和B，它们的向量积的大小的一半可以表示三角形的面积。
两向量的数量积
两向量的数量积在向量运算中，数量积是指两个向量的积再乘上它们之间夹角的余弦值，也称为点积或内积。
数学上，写作 a·b，其中 a 和 b 表示两个向量。
在二维向量中，a·b = axbx + ayby；在三维向量中，a·b = axbx + ayby + azbz。
数学中的数乘积不难理解，它表达的意思是一个向量在另一个向量上的投影所构成的“长度”。
那么，两向量的数量积究竟有什么应用呢？一. 应用于向量的模长和夹角的关系首先，数量积被广泛应用于向量的模长和夹角的退一步关系中。
在平面上，向量的模长是以该向量为对角线的平行四边形的面积的平方根。
而这个面积是由两条垂直的边相乘而来的，这两条边各自又是初始向量的模长。
所以，两向量的数量积也可以用来表达两向量的模长的乘积和它们之间夹角的余弦值的关系。
设向量 a、b 的夹角为θ，那么：a·b = |a|×|b|×cosθ其中，|a| 表示向量 a 的模长，|b| 表示向量 b 的模长，cosθ 表示向量 a和向量 b 之间夹角的余弦值。
据此，我们可以通过两向量的数量积来推导它们之间的夹角大小，而不必通过角度公式来计算了。
二. 应用于向量的垂直关系其次，我们可以应用两向量的数量积来判断它们之间的垂直关系。
在平面上，只要两条向量的数量积为零，就可以判定这两条向量垂直。
为什么呢？因为两条垂直的向量的夹角肯定是 90 度，而 cos90=0，所以它们的数量积也一定是 0。
举个例子，假设有向量 a = 3i - 4j 和向量 b = 2i + 3j，那么：a·b = (3i - 4j)·(2i + 3j)= 3×2 + (-4)×3= -6这个结果不为零，说明向量 a 和 b 不是垂直的。
如此一来，我们就不必通过建立坐标系来判断向量之间的垂直关系了，只需计算它们的数量积即可。
向量的数量积运算公式
向量的数量积运算公式1.向量的数量积的定义：对于n维向量a和b，数量积（又称点积、内积）定义为两个向量的对应分量相乘再求和的结果。
用数学符号表示为：a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn2.向量的数量积的性质：（1）交换律：a·b=b·a（2）分配律：(c·a)·b=c·(a·b)=c·(b·a)（3）结合律：(c·a)·b=c·(a·b)=a·(c·b)3.向量的数量积的几何意义：数量积的几何意义可以通过向量的模长和夹角来描述。
设向量a和b 分别为A和B的模长，向量a和b之间的夹角为θ，数量积a·b的几何意义为：a·b = ，a，b，cosθ4.向量的数量积的运算公式：（1）向量的模长公式：a·b， = ，a，b，cosθ（2）相同方向的向量的数量积：若a和b的夹角θ为0度，则有cosθ=1，此时有：（3）垂直向量的数量积：若a和b的夹角θ为90度，则有cosθ=0，此时有：a·b=0（4）零向量的数量积：若向量a为零向量，则有：a·b=0（5）数量积的坐标分量表示：设a = (a1, a2, ..., an)，b = (b1, b2, ..., bn)，则有：a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn（6）数量积与向量的夹角计算：夹角θ可以通过数量积来计算，即：cosθ = (a·b) / (，a，b，)θ = arccos((a·b) / (，a，b，))（7）向量的正交分解：设向量b为非零向量，向量a可以分解为平行于b和垂直于b的两个分量：a=a1+a2，其中a1为平行于b的分量，a2为垂直于b的分量。
则有：a2=a-a1a， = sqrt(a1^2 + a2^2)5.应用举例：（1）计算向量的模长：通过向量的数量积公式可以计算向量的模长，即将向量与自身做数量积再开方，即可得到向量的模长。
向量的数量积
向量的数量积什么是向量的数量积在线性代数中，向量的数量积（也称为点积、内积、标量积）是指两个向量之间的一种运算。
它是将两个向量乘积的每个分量相乘，并将结果相加的运算。
数量积产生的结果是一个标量值，而不是向量。
它可以用数学符号表示为：A ·B = |A| |B| cosθ其中，A和B表示两个向量，|A|和|B|表示这两个向量的模（长度），θ表示这两个向量之间的夹角。
数量积的性质向量的数量积具有以下性质：1.交换律：A · B = B · A2.分配律：(A + B) · C = A · C + B · C3.数量积与向量的数量乘积的结合律：k(A · B) = (kA) · B = A · (kB)4.数量积与向量的模（长度）的关系：A · A = |A|^25.数量积与两个向量夹角的关系：A · B = |A| |B| cosθ，其中θ为A和B之间的夹角。
数量积的应用1. 计算向量的模（长度）根据数量积与向量的模（长度）的关系，我们可以利用数量积来计算一个向量的模。
例如，对于一个二维向量A=(x, y)，根据数量积的定义，可以得到A · A = |A|^2 = x^2 + y^2因此，向量A的模可以通过计算|A| = sqrt(A · A)来得到。
2. 计算两个向量之间的夹角通过数量积的定义，我们可以得到两个向量之间夹角的计算公式：cosθ = (A · B) / (|A| |B|)利用这个公式，我们可以计算两个向量之间的夹角的余弦值，然后通过反三角函数计算得到夹角的值。
3. 判断两个向量之间的关系利用向量的数量积，我们可以判断两个向量之间的关系。
如果两个向量的数量积为零（A · B = 0），则表示它们是垂直的。
如果两个向量的数量积大于零（A · B > 0），则表示它们夹角小于90度，即锐角。
向量的数量积、向量积、混合积
混合积
混合积在解析几何中可以用于表示向量的旋 转和缩放。例如，在三维空间中，混合积可 以用来计算三个向量的旋转角度和缩放因子。
在物理学中的应用
向量积
在物理学中，向量积可以用于描述矢量场中的矢量线。 例如，在电磁学中，向量积可以用来计算磁场中的矢量 线。
混合积
在物理学中，混合积可以用于描述物体的转动惯量。例 如，在刚体动力学中，混合积可以用来计算刚体的转动 惯量。
性质
混合积为标量，其值与三个向量的顺序有关，但与向量的排列顺序无关。
几何意义
几何意义
向量$mathbf{a}$、$mathbf{b}$、 $mathbf{c}$的混合积等于以这三个向量 为邻边的平行六面体的体积。
VS
特殊情况
当其中一个向量是零向量时，混合积为零 ；当两个向量共线时，混合积为零。
运算性质
交换律
$(mathbf{a}, mathbf{b}, mathbf{c}) = (mathbf{c}, mathbf{b}, mathbf{a})$
分配律
$(mathbf{a} + mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d}) = (mathbf{a}, mathbf{c}, mathbf{d}) + (mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d})$
运算性质
要点一
分配律
$mathbf{A} times (mathbf{B} + mathbf{C}) = mathbf{A} times mathbf{B} + mathbf{A} times mathbf{C}$。
要点二
结合律
$(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。
向量的运算的乘法公式
向量的运算的乘法公式一、向量的点乘（数量积）向量的点乘是指两个向量相乘得到一个标量的运算。
用符号"."表示，表示为A·B，并且满足以下运算规律：1.结合律：(A·B)·C=A·(B·C)2.分配律：A·(B+C)=A·B+A·C3.交换律：A·B=B·A4.数乘结合律：k(A·B)=(kA)·B=A·(kB)，其中k为实数点乘的计算方法：如果A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)是两个三维向量，那么A·B=x1x2+y1y2+z1z2，即各个分量乘积的和。
点乘的意义：1.判断两个向量是否垂直：如果A·B=0，那么向量A与向量B垂直。
2.求解向量的模：A·A=，A，^2，其中，A，表示A的模。
3. 计算两个向量的夹角：cosθ = A·B / (，A，·，B，)，其中θ是向量A和向量B之间的夹角。
二、向量的叉乘（向量积、叉积）向量的叉乘是指两个向量相乘得到一个新的向量的运算。
用符号"×"表示，表示为A×B，并且满足以下运算规律：1.分配律：A×(B+C)=A×B+A×C2.反交换律：A×B=-B×A3.数乘结合律：k(A×B)=(kA)×B=A×(kB)，其中k为实数叉乘的计算方法：如果A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)是两个三维向量，那么A×B=(y1z2-z1y2,z1x2-x1z2,x1y2-y1x2)，即各个分量分别计算。
叉乘的意义：1.求解平行四边形的面积：平行四边形的面积等于两个边的模的乘积乘以它们之间的夹角的正弦值。
2.判断向量的方向：A×B的方向垂直于A和B的平面，其方向遵循右手定则。
高中数学向量的数量积
高中数学向量的数量积向量的数量积是高中数学中的一个重要概念，学生在学习该概念时，首先需要理解它的定义、规律以及具体应用。
本文将从以下三个方面对向量的数量积做出详细介绍：向量的数量积定义及其性质、向量的数量积的几何意义、向量的数量积的具体应用。
一、向量的数量积定义及其性质：向量的数量积又称为点积，它是在平面直角坐标系或空间直角坐标系中，两个向量的数量积。
“数量积”是指两个向量相乘之后的结果，结果是一个标量。
设 OX 和 OY 是平面直角坐标系中的两条坐标轴，分别表示实数轴和虚数轴，原点 O 是两条坐标轴的交点。
设有两个向量 a 和 b，a = (x1,y1)，b = (x2, y2)，则向量 a 和 b 的数量积记作 a·b = x1x2 + y1y2。
向量的数量积有下面几个重要性质：1. 交换律：a·b = b·a。
2. 数量积为0的条件：若 a·b = 0，则向量 a 与向量 b 垂直。
3. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c。
4. 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中 k 为实数。
5. 数量积的平方长度：a·a = |a|²，其中 |a| 表示向量 a 的长度。
二、向量的数量积的几何意义：在平面直角坐标系中，向量的数量积还可以解释为向量 a 在向量 b 上的投影的长度。
具体地说，向量 a 在向量 b 上的投影长度为a·cosθ，其中θ是向量 a 与向量 b 之间的夹角。
因此，向量的数量积还可以解释为：若两个向量夹角为α，则它们之间的夹角余弦值为它们数量积除以它们长度的乘积，即：cosα = a·b / |a||b|。
三、向量的数量积的具体应用：向量的数量积在数学中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用：1. 求向量的模长：|a| = √(a·a)，其中a为向量。
向量的乘法计算公式
向量的乘法计算公式向量这个家伙，在数学的世界里可是相当重要的角色。
咱们今天就来好好聊聊向量的乘法计算公式。
先来说说向量的点乘吧。
点乘，也叫数量积。
假如有两个向量 A = (x₁, y₁) 和 B = (x₂, y₂) ，那它们的点乘 A·B 就等于 x₁×x₂ +y₁×y₂。
给您举个例子啊，就说在物理课上，我们计算力做功的问题。
假设有个力 F 作用在物体上，物体在力的方向上移动了一段距离 s 。
力 F可以看作一个向量，位移 s 也可以看作一个向量。
那力做的功 W 就等于力 F 和位移 s 的点乘，也就是 W = F·s 。
比如，一个力 F = (3, 4) ，位移 s = (5, 0) ，那它们的点乘就是 3×5 +4×0 = 15 ，这就表示这个力做的功是 15 焦耳。
再讲讲向量的叉乘，也叫向量积。
对于向量 A = (x₁, y₁, z₁) 和 B= (x₂, y₂, z₂) ，它们的叉乘结果是一个向量，设为 C ，C 的模长等于|A|×|B|×sinθ ，其中θ 是 A 和 B 的夹角，C 的方向遵循右手定则。
就像我们在研究磁场的时候，磁感应强度 B 和电流元 I dl 的叉乘就能得出安培力 F 。
记得有一次，我在课堂上讲向量乘法计算公式，有个同学就迷糊了，他怎么都搞不明白为啥要有这么个计算。
我就耐心地给他解释，从实际的例子入手，一点点带着他去理解。
我拿了两支笔当作向量，比划来比划去，终于让他恍然大悟，那一瞬间他眼睛里的迷茫消失了，换上了兴奋和理解的光芒，我心里别提多有成就感了。
回到向量乘法计算公式，大家可别小看它，这在解决很多实际问题中都特别有用。
比如在计算机图形学中，判断两个向量的方向关系，或者在物理学中计算力矩等等。
在数学的海洋里，向量的乘法计算公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
只要我们用心去理解，去运用，它就能成为我们解决问题的得力助手。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.1.3
探究点一 空间向量的数量积运算 问题 1 空间两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？ → 答案 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝ → a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉 ．
规定：0≤〈a，b〉≤π. 问题 2 类比平面向量的数量积，说出空间向量的数量积 a· b
＝|b||c|cos 60° － |a||c|cos 60° ＝0， → → ∴CC1⊥BD，即 CC1⊥BD.
3.1.3
探究点三
问题
利用数量积求向量的模
类比平面向量，说出利用数量积求长度或距离的方法．
答案 利用数量积 a· b＝|a||b|cos θ 知 a· a＝|a||a |cos〈a，a〉＝|a|2.
3.1.3
2．空间向量的数量积
|a||b|cos〈a，b〉 (1)定义：已知两个非零向量 a， b，则 ____________________
叫做 a， b 的数量积，记作 a· b. (2)数量积的运算律 数乘向量与向量数 量积的结合律 交换律 分配律
λ(a· b) (λa)· b＝ ________ b· a a· b＝ ________
3.1.3
跟踪训练 1 已知正四面体 OABC 的棱长为 1.求： → → (1)OA· OB； → → → → (2)(OA＋OB)· (CA＋ CB)． → → → → 解 (1)OA· OB＝|OA|· |OB|· cos∠AOB 1 ＝1×1×cos 60° ＝2. → → → → (2)(OA＋OB)· (CA＋CB) → → → → → → ＝(OA＋OB)· (OA－OC＋OB－OC) → → → → → ＝(OA＋OB)· (OA＋OB－2OC)
3.1.3
例 1 已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝ AA1＝2， AD ＝ 4， E 为侧面 AB1 的中心， F 为 A1D1 的中点．试计算： → → → → → → (1)BC· ED1；(2)BF· AB1；(3)EF· FC1. → → → 解 如图， 设AB＝a， AD＝b， AA1＝c，
3.1.3
3.1.3
【学习要求】
两个向量的数量积
1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量 积的概念、性质和计算方法及运算规律． 2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中 一些简单的问题． 【学法指导】 数量积是向量最重要的运算，利用数量积可以求向量的模、 两个向量的夹角；通过类比平面向量的数量积，学习空间两 向量的数量积，通过向量积的运用，培养数学应用意识．
④ |a· b|≤ |a ||b |
3.1.3
3. 异面直线 (1)异面直线的定义
不同在任何一个平面内 的两条直线叫做异面直线． ________________________
(2)两条异面直线所成的角
平移到一个平面内 把异面直线 ________________________ ， 这时两条直线的夹角 锐角或直角 (________________) 叫做两条异面直线所成的角．如果所成的 直角 ，则称两条异面直线互相垂直． 角是 ________
1 1 1 → → b＋a (3)EF· FC1＝2c－a＋2b· 2 1 1 b＋a ＝ (－a＋b＋c)· 2 2 1 2 1 2 ＝－2|a | ＋4|b | ＝2.
小结
计算两个向量的数量积，可先将各向量用同一顶点
上的三条棱对应向量表示，再代入数量积公式进行运算．
3.1.3
1．空间向量的夹角 已知两个非零向量 a， b，在空间任 定 → → 取一点 O，作OA＝ a，OB＝ b，则 义 ∠ AOB 叫做向量 a， b 的夹角 记 法
〈a，b〉
π [0 ， π ] 范 〈 a， b〉∈ ________.当〈 a， b〉＝ 2 围 ⊥ b 时， a______ 想一想 :〈 a，b〉与〈 b，a〉相等吗?〈 a,b〉与〈a,－ b〉呢?
3.1.3
方法二 设正方体的棱长为 2. 1→ → 1→ → → → 1 → → → → ∴MN· AC＝ (BC＋CC1)· (AB＋BC)＝ BC· AB＋ BC· BC＋ 2 2 2 1→ → 1→ → CC · AB＋ CC1· BC 2 1 2 1→2 ＝0＋ |BC| ＋0＋0＝2， 2 → → → → 又|AC|＝2 2，|MN|2＝|NC|2＋|CM|2＝2. → → MN· AC 2 1 → → ∴cos〈MN，AC〉＝ ＝ ＝ . → → 2×2 2 2 |MN|· |AC| → → ∴〈MN，AC〉＝60° ， 即异面直线 AC 和 MN 所成的角为 60° .
则|a |＝|c|＝2，|b |＝4， a· b＝b· c＝c· a＝0.
1 → → (1)BC· ED1＝b· [2(c－a)＋b] ＝|b |2＝42＝16.
3.1.3
1 → → (2)BF· AB1＝c－ a＋ b · (a＋c) 2 ＝ |c|2－ |a |2＝ 22－ 22＝ 0.
＝12＋1×1×cos 60° －2×1×1×cos 60° ＋1×1 ×cos 60° ＋12 －2×1×1×cos 60° ＝1.
3.1.3
探究点二
利用数量积求夹角
在右图正方体中，M、 N 分别为棱 BC 和 棱 CC1 的中点， 求异面直线 AC 和 MN 所成的 角．
→ 1→ 解 方法一 ∵MN＝ BC1， 2 → → 又BC1＝AD1. ∴∠CAD1 的大小就是所求异面直线所成的角， ∵△ACD1 为正三角形，∴∠CAD1＝60° ，即异面直线 AC 和 MN 所成的角为 60° .
(a＋ b)· c＝ a· c＋ b· c
3.1.3
(3)数量积的性质 ①若 a， b 是非零向量，则 a⊥ b⇔
a· b＝0 __________
两个 向量 数量
|a|· |b| ； ②若 a 与 b 同向，则 a· b＝ ________
|a|· |b| 若反向，则 a· b＝－ ________. 2 积的 | a | 特别地， a· a＝ ______或 |a|＝ a· a a· b 性质 |a||b| ③若 θ 为 a， b 的夹角， 则 cos θ＝ ________
＝36＋36＋36＋2×36cos 60° ＝144. → 所以|PC|＝12.
3.1.3
空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数 量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构 造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为 证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量 的数量积．
3.1.3
跟踪训练 2 如图所示，已知平行六面体 ABCD— A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形， 且 ∠ C1CB ＝ ∠ C1CD ＝ ∠ BCD ＝ 60° .求 证： CC1⊥ BD. → → → 证明 设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则 |a |＝ |b |. → → → ∵BD＝CD－CB＝b－a， → → ∴BD· CC1＝(b－a)· c＝b· c－a· c
3.1.3
2．已知 a， b 均为单位向量，它们的夹角为 60° ，那么|a＋3b|等 于 A. 7 B. 10 C. 13 D．4 ( C )
解析 |a＋3b |2＝(a＋3b)2＝a2＋6a· b＋9b2 ＝1＋6· cos 60° ＋9＝13.∴|a＋3b|＝ 13.
3.1.3
3． 如图所示， 已知 PA⊥平面 ABC， ∠ ABC ＝ 120° ，PA＝ AB＝ BC＝ 6，则 PC 等于 ( C ) A． 6 2 C． 12 B． 6 D． 144 → → → → 解析 因为PC＝PA＋AB＋BC， → → → → → → 所以PC2＝PA2＋AB2＋BC2＋2AB· BC
解 由 AC⊥α，可知 AC⊥AB. → → 由∠DBD′＝30° ，可知〈CA，BD〉＝60° ， → → → → → → ∵|CD|2＝CD· CD＝(CA＋AB＋BD)2 →2 →2 →2 → → → → → → ＝ |CA | ＋ |AB| ＋ | BD| ＋2( CA · AB＋CA · BD＋ AB· BD ) ＝b2 ＋a2＋b2＋2(0＋b2cos 60° ＋0)＝a2＋3b2， → ∴|CD|＝ a2＋3b2，即 CD＝ a2＋3b2.
的定义？
答案 已知两个非零向量 a，b，则|a||b |cos〈a， b〉叫做 a，b 的数量积，记作 a· b. 零向量与任何向量的数量积为 0.
3.1.3
问题 3
请你类比平面向量说出 a· b 的几何意义．
答案
a· b 的几何意义是 a 的长度|a |与 b 在 a 的方向上的投影
|b |cos θ 的乘积．
3.1.3
π 例 3 已知 a， b， c 中每两个的夹角都是 ，且 |a|＝ 4， |b|＝ 6， 3 |c|＝ 2，试计算 |a＋ b＋ c|.
解 ∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2， π 且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝3， ∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)· (a＋b＋c) ＝|a |2＋|b |2＋|c|2＋2a· b＋2a· c＋2b· c ＝|a |2＋|b |2＋|c|2＋2|a|· |b|· cos〈a，b〉＋2|a|· |c|cos〈a，c〉＋2|b |· |c|cos〈b，c〉 ＝42＋62＋22＋4×6＋4×2＋6×2＝100， ∴|a＋b＋c|＝10.
3.1.3
小结
利用向量法求两异面直线的夹角， 在两条异面直线
上各取一非零向量： (1)把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合的位 置，化为求平面角的大小，通过解三角形得夹角的大小． (2)利用向量的数量积求出两向量的夹角， 则这个夹角就是 两异面直线所成的角或者是其补角 (注意异面直线所成角 的范围 )．