海伦公式

海伦公式

初等几何的海伦公式，由于大学、中学课本配合不够，许多同学对这一公式感到陌生，现将这一公式证明如下：

海伦公式：三角形的面积

()()()c p b p a p p S ---=

其中：a 、b 、c 分别是三角形的三边长，()c b a p ++=

2

1

证明（1）：由余弦定理可知：b

a c

b a C 2cos 2

22-+= ，由此得出

由 ()c b a p ++=

2

1

可得： p c b a 2=++ ，

()c p c p c c b a c b a -=-=-++=-+2222 ， ()a p a p a c b a c b a -=-=-++=++-2222 ， ()b p b p b c b a c b a -=-=-++=+-2222 ，

因此：

()()()()

()()()

c p b p a p p b

a c

b a

c b a c b a c b a b a C ---=

+-++--+++=

221sin

()()

()()()()()()()()

c b a c b a c b a c b a b

a b

a b a c b

a c

b a b a b a b a

c b a c b a b a

b a

c b a b a c b a C C C

C +-++--+++=

--⋅-+=-+-⋅

-++=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-+=-=21

2222222121cos 1cos 1cos 1sin 2

222222222

2222222

由三角形面积公式 C b a S sin 2

1

=

即得 ()()()c p b p a p p S ---=

上述证明用到了三角函数 C sin 、C cos ，若要求纯初等几何的证明，则可如下证之。

BT 是 △ABC 的AC 边上的高，点 T 为垂足。记 c AB =，b AC =，a BC =，

h BT =，d CT =（见上图）

。 证明（2）：若 △ABC 是锐角三角形（图1），则由勾股定理有

()

()()

⎩

⎨⎧=--=-212

22222h d b c h d a 由（1）式得出 22h a d -=

，带入（2）式 ：

(

)2

2

2

22

h h

a b c =--

- 。

展开，即得 (

)2

2

2

2

222

2h h

a b h a b c =---+- ，由此式解得

(

)()()()()2

2

2

222222

444b c b a c b a c b a c b a b c b a b a h -++-++-++=-+-=

，

类似于证明（1），得出

()()()2

24b c p b p a p p h ---=

，

由于三角形面积 h b S 2

1

=

，由上式即得 ()()()c p b p a p p S ---=

。

若 △ABC 是钝角三角形（图2），不失一般性，设

90>∠C ，则由勾股定理有

()()()

⎩⎨⎧=+-=-312222

22h

d b c h d a 类似于 △ABC 是锐角三角形的情况，可得

()()()2

24b c p b p a p p h ---=

，

因而亦得 ()()()c p b p a p p S ---=

。

若 △ABC 是直角三角形（图2），不失一般性，设

90=∠C ，由勾股定理有

222c b a =+ 。

()()()()[]()[]

b a b a

c c b a c

b a

c b a c b a c b a c p b p a p p 2

141

2

2222

222=--⋅-+=

-+⋅+-⋅++-⋅++=

---

故，此时仍有 ()()()c p b p a p p S ---= 。

关于海伦公式（Heron's formula 或Hero's formula ）的历史

海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica 》中找到其证明。亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于《Metrica 》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作

亚历山大里亚的海伦（希腊语： Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς）（公元10年－70年） ，是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明（Hellenistic civilization ）科学传统方面享负盛名。

我国南宋末年数学家 秦九韶 发现或知道等价的公式，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。”若以大斜记为 a ，中斜记为 b ，小斜记为 c ，秦九韶的方法即相当于海伦公式。