矩阵的判定条件
判断矩阵ab合同的条件
判断矩阵ab合同的条件
两个矩阵A和B的合同条件是，它们具有相同的大小（行数
和列数相等），并且存在一个非零矩阵C，使得AC=CB成立。
也可以写成A ~ B。
具体的合同条件如下：
1. A和B的维度必须相同，即行数和列数相等。
2. 对于每个元素a(ij)和b(ij)来说，它们必须满足：a(ij) = b(ij)，即对应位置的元素相等。
3. 存在一个非零矩阵C，使得AC=CB成立。
这意味着存在一
个矩阵C，使得矩阵A乘以矩阵C的结果等于矩阵B乘以矩
阵C的结果。
注意，矩阵的合同性是一种等价关系，即满足以下三个性质：
1. 自反性：矩阵A合同于自身，即A ~ A。
2. 对称性：如果矩阵A合同于矩阵B，则矩阵B也合同于矩
阵A，即如果A ~ B，则B ~ A。
3. 传递性：如果矩阵A合同于矩阵B，且矩阵B合同于矩阵C，则矩阵A也合同于矩阵C，即如果A ~ B且B ~ C，则A
~ C。
判断两个矩阵相似的条件
判断两个矩阵相似的条件矩阵是现代数学研究的基础之一，它在线性代数、微积分、物理学、工程学等领域中发挥着重要的角色。
在矩阵运算中，相似矩阵是一个非常重要的概念。
本文将围绕“判断两个矩阵相似的条件”进行讲解。
一、什么是相似矩阵？相似矩阵是指一个矩阵经过线性变换后得到的形式不变的矩阵，在线性代数中有着广泛的应用。
例如，一些计算问题，例如求解线性方程组、特征值和特征向量，都可以通过相似变换将矩阵化为更容易求解的形式。
二、判断两个矩阵相似的条件1. 维数相同两个矩阵相似必须要求它们的维数相同，也就是它们具有相同的行数和列数。
2. 矩阵A和B的特征多项式相同在线性代数中，特征多项式是一个方阵特征值的一个函数。
如果矩阵 A 和 B 的特征多项式相同，那么它们就有着相同的本质性质，即它们具有相同的特征值和特征向量，如果这两个矩阵的特征值相同，则它们就是相似的。
3. 矩阵A和B的Jordan标准型矩阵相同任何一个矩阵A可以通过初等变换、相似变换化为Jordan标准型（简称Jordan型）。
设相似矩阵为 $P^{-1}AP=B$，则 $P^{-1}$ 一定可以写成若干个初等矩阵的乘积，即 $P^{-1}=E_1E_2\cdots E_k$ 。
如果A和B的Jordan标准型矩阵相同，那么它们就是相似的。
三、相似矩阵的性质如果矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 两个相似矩阵，则它们具有以下性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值和特征向量；2. 相似矩阵的行列式相等；3. 相似矩阵的秩相等；4. 相似矩阵的迹相等；5. 相似矩阵具有相同的正则型矩阵。
相似矩阵在数学中有着广泛的应用，如矩阵的特征值分解主要就是将矩阵转化为对角矩阵，然后进行计算，从而达到更加轻松方便的计算效果。
同时，相似矩阵也是计算机图形学和图像处理一些重要算法的基础，如PCA算法等等。
通过以上几个步骤，我们就可以判断两个矩阵是否相似，并且为接下来的计算和问题解决奠定基础。
矩阵的判定条件汇总
关于矩阵正定的若干判别方法数学学院数学与应用数学（师范）专业2010级赵明尖指导教师吴春摘要:矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,研究矩阵的正定性一直都是矩阵分析领域中非常热门的课题。
本文主要讨论了矩阵的定义、性质以及正定性。
全文一共分为两章,第一章,主要阐述矩阵的正定性的定义以及性质；第二章,主要讨论了正定性矩阵的定义判别法和定理判别法。
关键词:正定矩阵；定义；性质；判定Abstract: The positive definiteness of matrix is an important concept in theory of the matrix, Studying positive definiteness of the matrix is always a very popular topic in the area of analysis of the matrix. We mainly discuss the definition, property and positive definiteness of matrix in this paper .The text is divided into two chapters, and the first chapter, we mainly expound the definition and property of the positive definiteness of the matrix; the second chapter, we mainly discuss discriminating method of the definition and the theorem of the positive definiteness of matrix.Key words: positive definiteness of the matrix；definition；property；discrimination1 引言代数学是数学中的一个重要分支，矩阵是高等代数中的重要组成部分，而正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位。
M矩阵判定定理及证明
M矩阵判定定理及证明-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANM 矩阵的性质、判定定理及证明一、M 矩阵背景介绍：1、M 矩阵是计算数学中应用极其广泛的矩阵类 。
M 矩阵是L 矩阵的一种，M 矩阵要求它自身的逆矩阵为一个非负矩阵。
2、首先，L 矩阵的定义为：若A 一个n*n 的方阵，若0>ii a 而≤ij a (i ≠j)，则称A 为L 矩阵。
3、关于M-矩阵的一篇最早的论文发表于1887年，Stieltje 证明了一个具有非正非对角元的，非奇异对称对角占优矩阵的逆是一个非负矩阵。
之后，1937年Ostrowski 提出M 矩阵的定义为：具有非正非对角元，且逆是非负矩阵。
近年来，国内外的许多数学工作者对M 矩阵判定方法的研究都极为重视，并开展了深入的研究工作，给出了许多判定方法。
但就目前的研究成果来看，所提出的M 矩阵的判定方法仅是、且仅能对M 矩阵作整体判定，这对高阶矩阵来说，在计算上较为困难，判定方法难以实现，因而现有M 矩阵的判定方法存在着相当大的局限性。
二、M 矩阵的概念定义1 设n n ij a A ⨯=)(，且0≤ij a ，j i ≠，01≥-A ，称A 为M 矩阵。
定义2 设n n ij a A ⨯=)(，且0≥ij a ，若1-A 为M 矩阵，则称A 为逆M 矩阵。
引理1 如果n n ij a A ⨯=)(，且0≤ij a ，j i ≠，A 为M 矩阵的充要条件是A 可做三角分解，R L A •=,其中L 为下三角阵，R 为上三角阵，L 和R 的主对角元都是正值。
三、M 矩阵的判定定理与证明定理1 若n n ij a A ⨯=)(为M 矩阵，则R L A ⨯=，其中下三角阵L 和上三角阵R 的主对角线元素为正，且其余元素为非正值。
证明 若A 为M 阵，则当j i ≠，0≤ij a ；j i =，0>ij a 。
由引理1，A 可做三角分解R L A •=。
正规矩阵的性质及判定资料
正规矩阵的性质及判定彭志平,何偲钰,邓泽,刘熠*（内江师范学院 数学与信息科学学院,四川 内江 641112）摘 要：根据正规矩阵在数系当中的应用,为了更好的学习和掌握正规矩阵的性质,于是利用伴随矩阵以及全转置矩阵与正规矩阵的关系得到了正规矩阵的一些性质与等价条件,其中由于伴随矩阵与正规矩阵的特殊联系又得到了高次混合伴随阵为正规矩阵的充分条件,为进一步了解正规矩阵奠定了基础.关键词：正规矩阵；伴随矩阵；全转置矩阵；高次混合伴随阵中图分类号：O151.2 文献标识码：A 文章编号:1671-1785(2011)10-0007-04 0 引言酉空间是欧氏空间在复数域上的自然类比. 在一般教材[1,2] 中均介绍了酉空间、酉矩阵和Hermite 矩阵的概念,以及它们的相关性质. 而对正规矩阵均没有提及．正规矩阵是在讨论矩阵的酉等价时产生的一类矩阵[3],它在矩阵分析中占有重要的位置,并且它还推广了酉矩阵、实对称矩阵和Hermite 矩阵．近年来, 许多学者对正规矩阵的一些性质与一些等价条件做了一系列的研究, 主要集中文献[4-7].在欧氏空间中, (R)n M ∈A ,A 是正规矩阵,如果T T AA =A A . 对于实正规矩阵的研究,包[6]给出了实正规矩阵的充要条件是11nnik jk ki kj k k a a a a ===∑∑. 而在酉空间中,为了讨论矩阵的酉等价,得到了复正规矩阵的概念,即：A 是复正规矩阵,如果T T A A =A A , 其中()n M C ∈A 且TA 为A 的共轭转置矩阵. 本文在上述文献的基础上,主要从伴随矩阵, 全转置矩阵以及高次混合伴随阵来进一步研究复正规矩阵的性质以及等价条件. 1 基本概念与引理定义1.1[1] 设矩阵U 是复数域上的n 阶方阵,若T T U U =UU =E ,则称U 为酉矩阵．定义1.2[2] 设矩阵A,B 是复数域上的n 阶方阵,如果存在酉矩阵U ,使得T B =U AU ,那么就称A 酉相似于B ．定义1. 3[4] 设矩阵()n M C ∈A ,如果TTA A =A A ,则称A 是正规矩阵.定义1.4[8] 设m n⨯ij A =(a ),若::⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭mnm11n 11a a B =a a 则称B 为A 的全转置矩阵,记作οB =A . 引理1.1[8] 设A ,B 为n 阶矩阵,则：(1) ()οοοA +B =A +B ; (2) ()()οTT οA =A ; (3) ()οοοAB =A B ;(4) ()()-1οο-1A =A ; (5) ()()ο**οA =A ; (6) ()οοA =A .设m n ⨯ij A =(a )是数域F 上的n 阶方阵,ij A 和ij M 分别为n 阶方阵A 的代数余子式和余子式且记为()*ij A =A ,()*ij A =M .引理1.2[9,10] 设A 和C 为n 阶方阵,其中o o ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭1-11C =-1,则 （1）()**A =C A C ;（2）C 为对称正交矩阵,且**C =C =C C ;(3) ()()****A =A ,即:两种伴随矩阵的运算可交换次序;若A 可逆,则: ()()*n-2***A =A =C AAC ;(4)()()*n-2***A =A =AA ,即* ** *A =A .引理1.3[11] 设m n ⨯ij A =(a )为复数域上的n 阶方阵()2n ≥, 则()n-2*AA, n>2* A ,n=2A ={.2 正规矩阵的性质性质2.1 若()n M C ∈A 是复正规矩阵,则T A 是复正规矩阵. 证明 因为A 是复正规矩阵,故TTA A =A A . 又因()TT T T A A=A A ,()TT TT AA=AA . 因此⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T AA =A A ⇒()TTT A A ()TT T=AA.所以T A 是复正规矩阵.性质2.2 设()n M C ∈A 是复正规矩阵,则k A 也是复正规矩阵,其中k C ∈. 证明 因为A 是复正规矩阵,故TT=A . 而()()2k k k ⋅=⋅⋅=⋅TTTA A ,()2k k k ⋅=⋅TTA A A A .故()()k k k k ⋅=⋅TTA A A A . 从而k A 也是复正规矩阵.性质2.3 设()n M C ∈A 是复矩阵. 则A 为正规矩当且仅当k A E +为正规矩阵,k C ∈,E 为n 阶单位矩阵.证明 因为()()()()2k k k k k k k T T T TA E A E A E A E AA A A E ++=++=+++,()()()()2k k k k k k k T TT TA E A E AE A E A A A A E ++=++=+++.由于A 是复正规矩阵, 故TTA A =A A . 因此()()()()k k k k TTA E A E A E A ++=++E . 从而k A E +为正规矩阵.反之,若k A E +为正规矩阵,则必有()()()()k k k k T ΤA E A E A E A E ++=++, 即22k k k k k k TTTTA A A A E AA A A E +++=+++.因此T TA A =AA ,故A 为正规矩性质2.4 若A 为复数域上的n 阶方阵,A 为正规矩阵当且仅当οA 为正规矩阵. 证明 若A 为正规矩阵,故TTA A =A A ,从而()()οοT T A A=A A . 由引理1(3) 知()()οοT T οοA A=AA .再由引理1.1 (2)有()()T TοοοοA A=A A , 因此οA 为正规矩阵.反之,上述过程可逆. 因此A 为正规矩阵当且仅当οA 为正规矩阵.性质2.5 若A ,B 为复数域上的n 阶方阵且A ,B 均为酉矩阵,则AB ,()οAB 为正规矩阵. 证明 因A ,B 为酉矩阵, 故TTA A =A A =E ,TTB B =B B =E , 其中,E 为n 阶单位矩阵. 所以,()()∙∙∙∙∙TT TT T AB AB =B A AB =B A AB =E .同理有()()∙∙∙TT T AB AB =AB B A =E . 因此AB 为正规矩阵. 由性质2.4可知()οAB 为正规矩阵. 性质2.6 设()n M C ∈A 是复正规矩阵,则n A ()N n ∈是复正规矩阵.证明 若2n =时,因为A 为n 阶正规矩阵,故TT=A . 由于()()∙∙∙∙∙∙∙∙∙TT2T T T T T T T T222A =A A ==A =A =A ,故2A 是正规矩阵.对于2n >的情况可以类似地证明. 故由n A ()n N ∈是复正规矩阵. 3 正规矩阵的等价条件定理3.1 若A 为复数域上的n 阶非奇异矩阵. A 为正规矩阵当且仅当-1A 为正规矩阵.证明 (必要性) 因A 为正规矩阵,故TTA A =A A . 又因为A 可逆,因此()()-1-1T TA A=A A ,即：()()-1-1T T -1-1AA =A A. 由A 可逆知：()()*T -1T TA A=A, 而()()()T **T T-1T TA A A==A A , 故()()-1TT -1A = A . 从而()()TT-1-1-1-1A A=A A ,即-1A 为正规矩阵.(充分性) 若-1A 为正规矩阵,则()()TT-1-1-1-1A A=AA ,即()()-1-1T TA A=A A . 因为A 可逆,故TTA A =A A . 因此A 为正规矩阵.定理3.2 若A , B 均为n 阶复矩阵且A 与B 酉相似. 则A 为正规矩阵当且仅当B 为正规矩阵.证明 若A 是正规矩阵,因A 酉相似于B ,则存在酉矩阵Q , 使得：TQ AQ =B . 又因为TTQ Q =QQ =E ,故T-1Q AQ =Q AQ =B . 因此TTT B =Q A Q ,于是有TTTTTBB =Q AQQ A Q =QAA Q .同理有：T T T T T B B =Q A QQ AQ =QA AQ . 又A 为n 阶复正规矩阵, 故T T A A =A A , 于是T TBB =B B . 因此B 是复正规矩阵.若B 为正规矩阵,同理可证A 为正规矩阵.定理3.3 若A 为复数域上的n 阶非奇异矩阵. 则A 为正规矩阵当且仅当*A 为正规矩阵.证明 必要性：因为A 为正规矩阵,则TTA A =A A . 由A 可逆知：*-1A =A A . 又()()()()∙∙∙∙∙∙∙TTTTT-1-1**-1-1-1-1A A =A A A A =A A A A=A A A A,而()()()∙∙∙∙∙TTTT-1**-1-1-1A A =A A A A =A A A . 由定理3.1知：()()TT-1-1-1-1A A =A A ,有()()∙∙TT****A A =A A ,故*A 为正规矩阵.充分性：因*A 是正规矩阵,故()()∙∙TT****A A =A A . 由于A 可逆,故*A 可逆. 故()()()∙∙∙T-1-1-1T**T *T *A A =A A A A =A A A A且()()()∙∙∙T-1-1-1T**T **TA =A A AA =A A A A .因此T T=A ,即A 为正规矩阵.推论3.1 若A 为复数域上的n 阶可逆矩阵. 则A 是正规的当且仅当⋅⋅⋅n **A 个 (2n ≥）也是正规的. 证明 就**A 进行证明,其他的可类似证明. 必要性： 由引理1.2（2）有()()∙∙∙Tn-2TT Tn-2n-2n-2****A A=AA AA =AAAA()()∙∙Tn-2TT Tn-2n-2n-2****A A =A A A A =AAA A .所以()()∙∙TT********A A =A A ,即：**A 是正规矩阵充分性: 由定理3.3可有**A 是正规矩阵等价于*A 为正规矩阵,即等价于A 为正规矩阵. 可类似证明***A ,… , ⋅⋅⋅****A 为正规矩阵.定理3.4 若A 为复数域上n 阶可逆正规矩阵. 则A 为正规矩阵当且仅当()**A 为正规矩阵.证明 必要性：因为A 为可逆正规矩阵,所以TTA A =A A . 由引理1.2及1.3有()()()∙∙TTn-2n-2****A A =C AAC C AAC⎛⎫∙∙ ⎪⎝⎭n-2n-2T T T T n-2n-2=A CAC A=A A CA C .同理有()()∙∙∙n-2T*T Tn-2***A A =AACA A C .所以()**A 为正规矩阵.充分性：由()**A 为正规矩阵有()()()()∙∙TT********A A =A A , 即∙∙n-2n-2T TT Tn-2n-2AACA AC =AACA A C .因为A 为n 阶可逆矩阵,故0≠A 且0≠TA . 又C 可逆的,故有TTA A =A A ,即A 为正规矩阵.可类似证明()**A 为正规矩阵.推论3.2 若A 为复数域上n 阶可逆正规矩阵. 则A 为正规矩阵当且仅()**A 为正规矩阵.推论3.3 设A 为复数域上n 阶可逆矩阵,则A 为正规矩阵,当且仅当 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭m n ****A 个个(,N)m n Î是正规矩阵.证明 我们只证明2,1m n ==时的情形,其它情况可类似证.必要性：()()()()()⎛⎫⎛⎫∙∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T(n-2)(n-1)TT T****(n-2)(n-1)n-2n-2********A A =A A A A =A A CA A C . 因为A 正规,可知*A 正规,从而()()T T****A A=A A . 故()()()()⎛⎫⎛⎫∙∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T************A A =A A ,所以()***A 为正规矩阵.充分性：因为：()()()()⎛⎫∙ ⎪⎝⎭(n-2)(n-1)TT T**(n-2)(n-1)********A A =A A CA A C ,()()()()⎛⎫∙ ⎪⎝⎭(n-2)(n-1)TT T**(n-2)(n-1)********A A =A A C A A C ,由于()***A 为正规矩阵,所以：()()()()⎛⎫⎛⎫∙∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭TT************A A =A A ,即()()()()(n-2)(n-1)(n-2)(n-1)T TT T(n-2)(n-1)(n-2)(n-1)********AA CA AC =AA C AA C .又因为A 为n 阶可逆且n-1*A =A ,故*A 可逆,从而有()()T T****A A =A A ,即*A 正规,再由定理3.3有,A 正规.可类似证明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭n **m **A 个个为正规矩阵.定理3.5 设⎛⎫⎪⎝⎭12A 0A =0A 的矩阵.则1A , 2A 为n 阶正规矩阵当且仅当A 为正规矩阵. 证明必要性：⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭TTT1111TT2222A0A 0A A 0AA ==0A 0A 0A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭TTT 1111T T2222A 0A 0A A 0A A ==0A 0A 0A A . 又因为1A , 2A 为n 阶正规矩阵,可知：A 为正规矩阵. 充分性：A 为正规矩阵,所以TTA A =A A . 即⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T 1111TT2222A A 0A A 0=0A A 0A A , 故TT1111A A =A A ,TT2222A A =A A . 即是说：1A ,2A 为n 阶正规矩阵,故原命题成立.推论3.4设⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭123S A A 0 A = A 0 A ,其中i A 为方阵,()1,2,....,,i s s n =≤. 则A 为正规矩阵当且仅当i A ()1,2,....,i s =均为正规矩阵.参考文献[1] 张禾瑞,郝炳新．高等代数(第五版)[ M]．北京：高等教育出版社, 2007.[2] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数(第三版)[ M]．北京：高等教育出版社, 2003. 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关于正规矩阵的判定_陈惠汝
2009年 9 月 Journal of Science of Teachers′College and University Sep. 2009文章编号：1007-9831（2009）05-0087-03关于正规矩阵的判定陈惠汝，刘红超（黄冈师范学院 数学与信息科学学院，湖北 黄冈 438000）摘要：对角矩阵、Hermite 矩阵、反Hermite 矩阵、酉矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵都是正规矩阵，所以正规矩阵作为一个更为广泛的矩阵类，有必要对它的判定条件进一步研究．由正规矩阵的定义、矩阵对角化、特征值与特征向量、矩阵实部和虚部、矩阵分解、谱分解等方面给出了正规矩阵的一些判定条件．关键词：正规矩阵；Schur 定理；对角化；特征向量；谱分解中图分类号：O151.21 文献标识码：A定义1[1]71 设n n ij a ×=)(A 为一复矩阵，即n M ∈A ，若**AA A A =，则称A 为复正规矩阵，其中T A A *=.类似地，若n n ij a ×=)(A 为一实矩阵，即)(R n M ∈A ，若=A A T T AA ，则称A 为实正规矩阵.显然，对角矩阵，Hermite 矩阵（A A *=），反Hermite 矩阵（A A *−=），酉矩阵（1−=A A *）都是复正规矩阵；对称矩阵（A A =T ），反对称矩阵（A A −=T ），正交矩阵（1T −=A A ）都是实正规矩阵，所以正规矩阵是比以上几类矩阵范围更为广泛的矩阵类.定义2[1]78 21)(y y *是n C ∈y 的Euclid 长度. 本文分别从正规矩阵的定义、矩阵对角化及特征值特征向量、矩阵实部和虚部、矩阵分解及谱分解几个部分分析给出正规矩阵的充分必要条件.引理1 （Schur 定理）[1]57已知n M ∈A 有特征值n λλλ , , ,21L ，它们按任意规定的次序排列，那么存在一个酉矩阵n M ∈U ，使得()ij t ==T AU U *是具有对角元n i t i ii , ,2 ,1 ,L ==λ的上三角矩阵，即每个方阵A 酉等价于其对角元依次是A 的特征值的三角矩阵．此外，如果)(R n M ∈A ，且A 的所有特征值都是实数，那么，可选择U 为实正交矩阵.根据正规矩阵的定义，可以得出几个充分必要条件： 命题1 矩阵n M ∈A 是正规矩阵，当且仅当I A α+是正规矩阵，其中C ∈α是给定的，I 是单位矩阵. 命题2 矩阵n M ∈A 是正规矩阵，当且仅当对所有n C ∈y ，Ay 与y A *的Euclid 长度相同.证明 必要性．由Ay A y Ay Ay Ay ∗∗==*2)(，y AA y y A y A y A **==∗***2)(，又因为A 是正规矩阵，则**AA A A =，从而22y A Ay ∗=，y A Ay ∗=，即Ay 与y A *的Euclid 长度相同.充分性．因为Ay 与y A *的Euclid 长度相同，所以[][]21*21*)()(y A y A Ay Ay **=，即y AA y Ay A y ∗∗∗∗=，从而0)(=−∗∗∗y AA A A y ，由y 的任意性知0**=−AA A A ，则A 是正规矩阵. 证毕.命题3 已知矩阵n M ∈A 是正规矩阵，当且仅当对所有n C ∈y x ,有)()()()(**y A x A Ay Ax **=.证明 必要性．假设矩阵n M ∈A 是正规矩阵，则**AA A A =，===∗∗∗∗Ay A x y AA x Ay Ax )()(*)()(*y A x A ∗∗．收稿日期：2009-01-14作者简介：陈惠汝（1978-），女，湖北英山人，讲师，硕士，从事基础数学教学与研究．E-mail：chenhuiru@充分性．y AA x Ay Ax ∗∗=)()(*，)()(*y A x A ∗∗y AA x ∗∗．由)()()()(**y A x A Ay Ax **=，则知Ay A x y AA x ∗∗∗∗=，0)(=−∗∗∗y AA A A x ，由y x ,的任意性知∗∗−AA A A ，则A 是正规矩阵. 证毕.命题4 )(C n M ∈A 是正规矩阵的充分必要条件是0≥−∗∗A A AA .证明 必要性．若A 是正规矩阵，由定义知*AA A A *=，即0=−∗∗A A AA ，从而0≥−A A AA **． 充分性．若0≥−A A AA **，即A A AA ∗∗−半正定，由0)(tr =−∗∗A A AA ，从而0=−∗∗A A AA ，即A 是正规矩阵. 证毕.从正规矩阵的对角化，特征向量方面分析可给出如下充分必要条件：定理1[2]58 n 阶复方阵A 是正规矩阵的充分必要条件是A 与对角矩阵酉相似，即存在n 阶酉矩阵U ，使得=AU U *) , , ,(diag 21n λλλL ，其中n λλλ , , ,21L 是A 的n 个特征值．定理2[3]148设)(R n M ∈A ，A 为正规矩阵的充分必要条件是存在实正交矩阵n n ×∈R Q ，使得 AQ Q T ⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=k A A 0000001L O O M M O O L )(R n M ∈， 其中n k ≤，每个j A 是实11×矩阵或形如⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=j j j j j αββαA 22×∈R ．推论1 设n λλλ , , ,21L 为n 阶复矩阵)(ij a =A 的特征值，则A 是复正规矩阵的充分必要条件是 2121,∑∑===n i i n j i ij a λ)(tr *AA =.推论2 n 阶复矩阵A 是正规矩阵的充分必要条件是*AA 的全部特征值为22221 , , ,n λλλL ，其中i λ为A 的特征值.推论1，2的证明必要性由定理2可得，充分性由引理1的Schur 定理可得．推论3 矩阵n M ∈A 是正规矩阵，当且仅当A 的每个特征向量也是*A 的一个特征向量．证明 必要性．由定理1，存在n 阶酉矩阵U ，使得=AU U *) , , ,(diag 21n λλλL ，其中n λλλ , , ,21L 是A 的n 个特征值．则) , , ,(diag 21n λλλL =∗U A U *．把U 按列分块) , , ,(21n U U U L =U ，从而有i i i U AU λ=，i i i U U A λ=∗（n i , ,2 ,1L =），即A 与*A 有相同的特征向量．充分性显然． 证毕. 推论4 矩阵n M ∈A 是正规矩阵的充分必要条件是，A 有n 个相互正交的单位向量作为它的特征向量．证明 由定理1可知命题成立． 证毕. 推论5 矩阵n M ∈A 是给定的矩阵，则A 是正规矩阵，当且仅当存在次数至多为1−n 的多项式)(λf ，)(λg ，使得)(*ΑA f =，)(*A A g =．证明 必要性．因为A 是复正规矩阵，故由定理1知存在酉矩阵U ，使得*U U A ) , , ,(diag 21n λλλL =. 不妨设s λλλ , , ,21L 为所有彼此不同的根，当然s λλλ , , ,21L 也彼此不同，令)())(()()())(()()(1111111s i i i i i i s i i s i ig λλλλλλλλλλ−−−−−−−−=+−+−=∑L L L L ，易验证A U U A *==∗) , , ,(diag )(21n g λλλL .充分性显然成立． 证毕. 命题5[3]145 矩阵n M ∈A 是正规矩阵的充分必要条件是，存在由A 的n 个特征向量组成的标准正交基． 命题6 矩阵n M ∈A 是正规矩阵，当且仅当它与一个具有互异特征值的正规矩阵可交换．从正规矩阵的实部和虚部分析可得：命题7 定义)(5.0)(*A A A +=H 为n M ∈A 的Hermite 部分，而)(5.0)(*A A A −=S 为A 的斜Hermite 部分，那么A 是正规矩阵当且仅当)(A H 与)(A S 可交换.证明 必要性．由定义[]22**)(25.0)(5.0)(5.0)()(∗∗∗−+−=−+=A A A AA A A A A A A A S H ，第5期 陈惠汝，等：关于正规矩阵的判定 89 =)()(A A H S []22**)(25.0)(5.0)(5.0∗∗∗−−+=+−A A A AA A A A A A ．若A 是正规矩阵，由定义知*AA A A *=，可知[])()()(25.0)()(22A A A A A A H S S H =−=∗. 充分性显然成立． 证毕. 命题8[4]148 矩阵)(C n M ∈A ，设21)(A A A *=，则A 是正规矩阵的充分必要条件是+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=2*22A A A 2*i 2⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−A A 命题9[4]148 *2AA B =设，A A C *=2，则A 是正规矩阵的充分必要条件是C B ，与A 的实部2*A A +可交换.从正规矩阵的分解谱分解分析有：定理3[5]127 设n 阶复矩阵A 有r 个相异的特征值r λλλ , , ,21L ，则A 为正规矩阵的充分必要条件是存在r 个矩阵r E E E , , ,21L ，使得j r j j E A ∑==1λ，*2j j j E E E ==，0=k j E E （k j ≠），I E =∑=rj j 1；n j =)(rank E ，且满足上述性质的j E 是唯一的．命题10[4]148 )(C n M ∈A 是正规矩阵的充分必要条件是对任意自然数k ，存在正规矩阵B ，使得k B A =. 命题11[4]148 )(C n M ∈A 是正规矩阵的充分必要条件是，A 可分解为UH HU A ==，U 为酉矩阵，H 为半正定Hermite 矩阵. 命题12[4]148 矩阵n M ∈A 是正规矩阵，当且仅当酉等价于A 的每一个矩阵都是正规矩阵. 命题13[6]31 设n n ij a ×=)(A 是实正规矩阵的充分必要条件是∑∑===nk kj ki n k jk ik a a a a 11（n j i , ,2 ,1 ,L =）.参考文献：[1] Horn R A ．矩阵分析[M]．杨奇，译．北京：机械工业出版社，2005．[2] 罗家洪．矩阵分析引论[M]．广州：华南理工大学出版社，1993．[3] 陈景良，陈向晖．特殊矩阵[M]．北京：清华大学出版社，2000．[4] 李润英，刘文浩．论正规矩阵的充分必要条件[J]．烟台师范学院学报，2002，18（2）：148．[5] 王朝瑞，史荣昌．矩阵分析[M]．北京：北京理工大学出版社，1989．[6] 包霞．关于实正规矩阵[J]．西北民族学院学报，1999，20（3）：31．The determining conditions of normal matricesCHEN Hui-ru ，LIU Hong-chao（School of Mathematics and Information Science ，Huanggang Normal University ，Huanggang 438000，China ）Abstract ：Diagonal matrix ，hermite matrix ，skew-Hermitian matrix ，unitary matrix ，symmetric matrix ，skew-symmetric matrix ，orthogonal matrix are normal matrices ．Normal matrices so formal as a wider range of matrices ，it is necessary to determine the conditions for its further study ．The determining conditions of normal matrices was disussed in aspects of definition ，matrix diagonalization ，eigenvalue and eigenvector ，matrix realand and imaginary parts ，matrix decomposition and prover vector.Key words ：normal matrices ；Schur theorem ；diagonalization ；eigenvector ；proper vector。
正定矩阵的判定、性质及其应用.
学校代码：10722 学号：1006024112分类号：O151.21 密级：公开题目：正定矩阵的判定、性质及其应用Discussion on Determinant,Positive and Application ofPositive Definite Matrix作者姓名：专业名称：学科门类：指导老师：提交论文日期： 2014年5月成绩评定:I咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）摘要在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。
事实上，正定矩阵是代数中一类非常重要的矩阵，它在不等式证明、极值求解、特征值求解、系统稳定性判定中都有着非常重要的应用。
本文首先介绍了实对称矩阵的定义，然后给出了判定正定矩阵的7条定理，接着总结归纳了正定矩阵的相关性质，最后通过举例说明了正定矩阵在证明不等式、判断函数极值等方面的应用。
关键词：实对称；正定矩阵；判定；性质正定矩阵的判定、性质及其应用AbstractWe have studied the concept of quadratic form and the definition of positive-definite matrix is introduced.In fact,positive definite matrix is a kind of very important matrix in algebra, it can be applied to the value of extreme and eigenvalue,the prove of inequality and stability analysis of system.This paper firstly introduced the definition of real symmetric matrices,and 7 theorems are given to determine positive definite matrix,then the related properties of positive definite matrix were summarized, the positive definite matrix in the application of proving inequality,function extreme and so on were illustrated finally.Keywords:properties,determinant,real symmetric, positive-definite matrix.咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）目录摘要 (I)Abstract (II)目录 (III)引言 (1)1 正定矩阵的定义 (1)1.1 正定二次型的定义 (1)1.2正定矩阵的定义 (1)2正定矩阵的判定 (2)3 正定矩阵的性质 (6)4 正定矩阵的应用 (6)4.1正定矩阵在证明不等式中的应用 (6)4.2 正定矩阵在数学分析中的应用 (7)4.3正定矩阵的其他应用 (8)小结 (9)参考文献 (10)谢辞 (11)正定矩阵的判定、性质及其应用引言在数学学科的研究中具有极其重要的地位的是矩阵，它不仅仅是数学研究的一个分支和高等代数的主要研究对象，而且还是理科研究中不可缺少的具有最实用价值的工具，如系数矩阵和增广矩阵的很多性质都是由线性方程组的部分性质所反映的。
正定矩阵的判定
正定矩阵的判定摘 要：鉴于正定矩阵的重要性及其应用的广泛性，本文给出了正定矩阵判定的若干等价条件并逐条予以证明，并辅助典型例题。
关键词：正定矩阵；正交矩阵；判定；特征值；正定二次型The Determination Of The Positive Definite MatrixName:Zheng Shasha Student Number:200640501443Abstract : In view of the importance and the wide range of applications of positive definite matrix, this paper gives several equivalent conditions of the of the determintion positive definite matrix, also proves them one by one , and assist some typical examples.Key words : Positive definite matrix; Orthogonal matrix; determinant; Characteristic value; Positive definite quadratic form一、利用定义（一）n 阶实对称矩阵A 称为正定矩阵，如果对于任意的n 维实非零列向量X ，都有T X AX 0>。
正定的实对称矩阵A 简称为正定矩阵，记作0A >。
例1 设A 是正定矩阵，P 是非奇异实方阵，则TP AP 也是正定矩阵。
证明：因为A 是实对称阵，故TP AP 显然也是实对称阵，又对任何实的非零列向量X ，由于PX ≠0(P 是非奇阵),故()T T X P AP X 0>,即TP AP 是正定阵。
1．实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的n 维实非零列向量X =12x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭≠0, 二次型'X AX 是正定二次型。
矩阵的合同,等价与相似
矩阵的合同，等价与相似一、矩阵的合同，等价与相似的定义、性质及判定条件（一）矩阵的等价：1、定义：若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。
2、性质：（1）反身性：即A A ≅.（2）对称性：若A B ≅，则B A ≅（3）传递性：即若A B ≅，B C ≅，则A C ≅（4） 若A 为m n ⨯矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使得000rm nI PAQ B ⨯⎛⎫==⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵. （5） 设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅当且仅当()()r A r B =3、判定：矩阵等价的充要条件：两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B PAQ =由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件： （1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =.（二）矩阵的合同： 1、定义：两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。
2、性质：（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同. 因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.（4） 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同. （5） 复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形： 22212r f y y y =++3、判定定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵. (2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =（三）矩阵的相似 1、定义：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。
关于矩阵等价 合同 相似以及可对角化的性质和判别条件的总结
6.对于实对称矩阵A、B，A B A与B合同，反之不成立
A B A和B具有相同的特征值 A与B合同
矩阵A与B等价、合同、相似的判别条件
矩阵A与B等价
可逆矩阵PQ,使得B PAQ r( A) r(B),且A与B为同型矩阵
故矩阵A与B等价 r( A) r(B)，反之不一定成立
r( A) r(B) A 与 B 同号 矩阵A与B合同 A与B具有相同的特征值 A与B的正、负特征值个数分别相等， 即正特征值个数相等，负特征值个数相等
可逆矩阵C，使得CT AC B
xT
Ax与xT
Bx有相同的正负惯性指数
1.矩阵A与B合同 A与B的特征值中，正特征值个数相等，负特征值个数相等
r A r B
A B
A有n个线性无关的特征向量
2.n阶矩阵A可对角化
对于A的每个特征值i ,其重数ki
A有n个不同的特征值
n
r iE
A
A为实对称矩阵
0
A
a11a22
ann
aii 0,i 1, 2, , n.
5.矩阵A与B相似：即可逆矩阵P，使得B P1AP.
r A r B
A、B具有相同的特征多B具有许多相同的性质
A、B具有相同的特征值 AB
tr A tr B,即： aii bii
A1 B1、AT B、A* B、f ( A) f (B)，其中f (x)为关于x的多项式
矩阵A与B的相似问题一般只对实对称矩阵而言，
即矩阵A与B均为实对称矩阵。
实对称矩阵A与B相似 A与B具有相同的特征值
此外还可以根据A与B相似的必要条件进行判别
A
Ann
是
否
是
A是否为实对称矩阵
二阶矩阵半负定矩阵的判定条件
二阶矩阵半负定矩阵的判定条件二阶矩阵半负定矩阵的判定条件是：矩阵的主对角线元素非负，且行列式非正。
进一步讨论：
一个矩阵是半负定矩阵，意味着它的所有特征值都小于等于零。
对于二阶矩阵，我们可以通过判定矩阵的主对角线元素和行列式的符号来确定它是否是半负定矩阵。
首先，考虑一个二阶矩阵A，表示为：
A = [a b]
[c d]
其中a、b、c和d是矩阵的元素。
根据特征值的定义，我们可以得到矩阵A的特征值λ1和λ2的表达式：
λ1 + λ2 = a + d
λ1 * λ2 = ad - bc
根据半负定矩阵的定义，我们知道λ1和λ2都小于等于零。
因此，我们可以得到以下条件：
a + d ≤ 0
ad - bc ≤ 0
这两个条件可以进一步简化为：
a + d ≥ 0
ad - bc ≥ 0
这意味着矩阵A的主对角线元素之和必须非负，且行列式必须非正。
举个例子来说明这个判定条件。
考虑以下二阶矩阵：
A = [1 -2]
[-2 4]
主对角线元素之和为1+4=5，行列式为1*4-(-2)*(-2)=0。
由于主对
角线元素之和大于零，而行列式等于零，所以这个矩阵不是半负定矩阵。
另一个例子是以下二阶矩阵：
B = [2 -1]
[-1 2]
主对角线元素之和为2+2=4，行列式为2*2-(-1)*(-1)=3。
由于主对
角线元素之和大于零，而行列式大于零，所以这个矩阵也不是半负定
矩阵。
综上所述，二阶矩阵是半负定矩阵的判定条件是：矩阵的主对角线
元素非负，且行列式非正。
判断两个矩阵相似的条件
判断两个矩阵相似的条件在线性代数中，矩阵是一种十分重要的数学工具，它可以用来描述线性变换以及解决线性方程组等问题。
在矩阵的应用中，矩阵相似是一个十分重要的概念。
矩阵相似可以用来表示两个矩阵在某种意义下是相同的，这对于矩阵的应用有着重要的意义。
本文将介绍判断两个矩阵相似的条件，帮助读者更好地理解矩阵相似的概念。
一、矩阵相似的定义矩阵相似是指两个矩阵在某种意义下是相同的。
具体来说，设A 和B是两个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A和B相似。
其中，P-1是P的逆矩阵。
从上述定义可以看出，矩阵相似是一种等价关系，即它满足自反性、对称性和传递性。
也就是说，任何一个矩阵都与自身相似；如果A与B相似，则B也与A相似；如果A与B相似，B与C相似，则A 与C相似。
二、判断矩阵相似的条件判断两个矩阵是否相似，需要找到它们之间的联系。
下面将介绍几个常用的判断矩阵相似的条件。
1. 特征值相同设A和B是两个n阶矩阵，如果它们的特征值相同，则A与B相似。
特别地，如果A与B都是对角矩阵，则它们相似当且仅当它们的对角元素相同。
这个条件可以通过矩阵的特征值和特征向量来证明。
如果A与B的特征值相同，那么它们的特征向量也一定相同。
设A的特征向量为x1,x2,...,xn，对应的特征值为λ，那么有Ax1=λx1,Ax2=λx2,...,Axn=λxn。
由于P是可逆矩阵，所以P-1存在，将Ax1=λx1两边同时左乘P-1，得到P-1Ax1=λP-1x1，即B(P-1x1)=λ(P-1x1)。
同理可得，B(P-1x2)=λ(P-1x2),...,B(P-1xn)=λ(P-1xn)。
因此，P-1是B的特征向量矩阵，对应的特征值为λ。
由此可见，如果两个矩阵的特征值相同，那么它们是相似的。
2. 秩相同设A和B是两个n阶矩阵，如果它们的秩相同，则A与B相似。
这个条件可以通过矩阵的初等变换来证明。
由于初等变换不改变矩阵的秩，所以如果A与B的秩相同，那么它们是相似的。
正定矩阵的性质和判定方法及应用
内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10级学号102093113指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩内容提要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵,其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质,尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．关键词：二次型正定矩阵判定方法应用AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics，but also a main research object，at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra。
At the same time，the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory。
The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly。
矩阵的判定条件
关于矩阵正定的若干判别方法数学学院数学与应用数学（师范）专业 2010级赵明尖指导教师吴春摘要:矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,研究矩阵的正定性一直都是矩阵分析领域中非常热门的课题。
本文主要讨论了矩阵的定义、性质以及正定性。
全文一共分为两章,第一章,主要阐述矩阵的正定性的定义以及性质；第二章,主要讨论了正定性矩阵的定义判别法和定理判别法。
关键词:正定矩阵；定义；性质；判定Abstract: The positive definiteness of matrix is an important concept in theory of the matrix, Studying positive definiteness of the matrix is always a very popular topic in the area of analysis of the matrix. We mainly discuss the definition, property and positive definiteness of matrix in this paper .The text is divided into two chapters, and the first chapter, we mainly expound the definition and property of the positive definiteness of the matrix; the second chapter, we mainly discuss discriminating method of the definition and the theorem of the positive definiteness of matrix.Key words: positive definiteness of the matrix；definition；property；discrimination1 引言代数学是数学中的一个重要分支，矩阵是高等代数中的重要组成部分，而正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位。
正定矩阵的判定
正定矩阵的判定摘 要：鉴于正定矩阵的重要性及其应用的广泛性，本文给出了正定矩阵判定的若干等价条件并逐条予以证明，并辅助典型例题。
关键词：正定矩阵；正交矩阵；判定；特征值；正定二次型The Determination Of The Positive Definite MatrixName:Zheng Shasha Student Number:200640501443Abstract : In view of the importance and the wide range of applications of positive definite matrix, this paper gives several equivalent conditions of the of the determintion positive definite matrix, also proves them one by one , and assist some typical examples.Key words : Positive definite matrix; Orthogonal matrix; determinant; Characteristic value; Positive definite quadratic form一、利用定义（一）n 阶实对称矩阵A 称为正定矩阵，如果对于任意的n 维实非零列向量X ，都有T X AX 0>。
正定的实对称矩阵A 简称为正定矩阵，记作0A >。
例1 设A 是正定矩阵，P 是非奇异实方阵，则TP AP 也是正定矩阵。
证明：因为A 是实对称阵，故TP AP 显然也是实对称阵，又对任何实的非零列向量X ，由于PX ≠0(P 是非奇阵),故()T T X P AP X 0>,即TP AP 是正定阵。
1．实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的n 维实非零列向量X =12x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭≠0, 二次型'X AX 是正定二次型。
矩阵不可逆的判定条件
矩阵不可逆的判定条件矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在矩阵运算中，有一个重要的概念是可逆矩阵。
可逆矩阵是指存在逆矩阵的矩阵，即矩阵A存在逆矩阵B，使得A乘以B等于单位矩阵。
然而，并非所有的矩阵都是可逆的，有一些特定的条件需要满足才能判断矩阵是否不可逆。
在线性代数中，一个矩阵是不可逆的条件是其行列式的值为0。
行列式是矩阵的一个重要的数值特征，可以通过对矩阵的元素进行一系列的运算得到。
如果一个矩阵的行列式等于0，那么这个矩阵就是不可逆的。
那么，如何判断一个矩阵的行列式是否为0呢？一个简单的方法是使用高斯消元法。
高斯消元法是一种求解线性方程组的常用方法，它可以将一个矩阵转化为行阶梯形矩阵，从而得到矩阵的行列式的值。
如果行列式的值为0，那么这个矩阵就是不可逆的。
另外一个判断矩阵不可逆的方法是使用矩阵的秩。
矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
如果一个矩阵的秩小于它的维数，那么这个矩阵就是不可逆的。
这是因为可逆矩阵的秩等于它的维数。
除了行列式和秩，还有一个方法可以判断矩阵的可逆性，那就是使用矩阵的特征值。
特征值是矩阵的一个重要的数值特征，可以通过解矩阵的特征方程得到。
如果一个矩阵的所有特征值都不为0，那么这个矩阵就是可逆的。
反之，如果存在特征值为0，那么这个矩阵就是不可逆的。
判断一个矩阵是否不可逆可以通过行列式、秩和特征值这些数值特征来进行。
当矩阵的行列式为0，秩小于维数或存在特征值为0时，这个矩阵就是不可逆的。
不可逆矩阵在线性代数中有着重要的作用。
在求解线性方程组时，如果系数矩阵是不可逆的，那么这个线性方程组就没有唯一解。
此外，在矩阵的运算中，可逆矩阵可以用来求解矩阵的逆、解线性方程组等。
因此，判断矩阵是否可逆对于线性代数的学习和应用都是至关重要的。
总结一下，判断一个矩阵是否不可逆可以通过行列式、秩和特征值等数值特征来进行。
不可逆矩阵在线性代数中有着重要的作用，它会影响到线性方程组的解的存在性以及矩阵的运算等。
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关于矩阵正定的若干判别方法数学学院数学与应用数学（师范）专业 2010级赵明尖指导教师吴春摘要:矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,研究矩阵的正定性一直都是矩阵分析领域中非常热门的课题。
本文主要讨论了矩阵的定义、性质以及正定性。
全文一共分为两章,第一章,主要阐述矩阵的正定性的定义以及性质；第二章,主要讨论了正定性矩阵的定义判别法和定理判别法。
关键词:正定矩阵；定义；性质；判定Abstract: The positive definiteness of matrix is an important concept in theory of the matrix, Studying positive definiteness of the matrix is always a very popular topic in the area of analysis of the matrix. We mainly discuss the definition, property and positive definiteness of matrix in this paper .The text is divided into two chapters, and the first chapter, we mainly expound the definition and property of the positive definiteness of the matrix; the second chapter, we mainly discuss discriminating method of the definition and the theorem of the positive definiteness of matrix.Key words: positive definiteness of the matrix；definition；property；discrimination1 引言代数学是数学中的一个重要分支，矩阵是高等代数中的重要组成部分，而正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位。
而且正定矩阵部分的应用非常广泛，n阶实正定矩阵在正定理论中占有非常重要的地位。
正定矩阵在物理学，概率论以及优化控制论中都得到了重要的应用，另外在数值计算科学中也经常用到正定矩阵的知识。
比如线性方程组的高斯-塞德尔迭代法就是在方程组的系数是正定矩阵的情况下对任意初始向量是收敛的。
但是随着数学本身及应用矩阵的其他学科或领域（数学规划，现代控制等）的发展，普通矩阵越来越不能满足其应用需要，于是正定矩阵引起了国内外学者的广泛关注并做出了许多重要的研究工作，本文在前人研究的基础上对正定矩阵的性质及判定做了进一步的讨论研究，获得了一些相应的结论。
通过对矩阵正定判定的研究，归纳与总结了正定矩阵的性质及判定，补充并完善了部分定理的条件与结论。
本文提供解决正定矩阵判定问题的几种方法。
让学者在学习判断矩阵的正定性时，能够深入探讨其基本性质对于其他科研领域的研究有着重要的作用。
2 定义与性质2.1定义定义 2.1[]1实二次型12(,,...,)n f x x x 称为正定的，如果对任意一组不全为零的实数12,,...,n c c c 都有12(c ,c ,...,c )0n f >。
定义 2.2[]2设n n A R ⨯∈，且A 是n 阶实对称矩阵即T A A =，若0n X R ≠∈，都有0T X AX >，则A 叫做正定矩阵。
定义2.3[]1在实二次型()n x x x f ,,,21 的规范形中，正平方项的个数p 称为()n x x x f ,,,21 的正惯性指数，负平方项的个数p r -称为()n x x x f ,,21的负惯性指数，它们的差()r p p r p -=--2称为()n x x x f ,,,21 的符号差。
2.2性质性质2.1 如果矩阵A 是正定矩阵，则必有： （1）0,1,2,......,ii a i n >=；（2）A 的元素的绝对值最大者必是主对角元； （3）1nn n A a A -≤,其中1n A -是A 的1n -阶顺序主子式； （4）1122...nn A a a a ≤,当且仅当A 为对角阵时等号成立。
注2.1 我们可以利用上述正定矩阵A 的性质判定某些实对称矩阵不是正定矩阵。
例如，对角元有非正数的对称矩阵必不是正定矩阵；只要有一个非对角元的绝对值不小于对称矩阵的最大者，则这个矩阵必不是正定矩阵；或若对于n 阶矩阵A 有：1122...nn A a a a >,则A 必不是正定正矩阵。
例2.1[]4判断二次型22211213223310824228f x x x x x x x x x =+++-+是否正定。
解 二次型f 对应的矩阵为33()ij A a ⨯==10412421412141⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 显然A 的元素绝对值最大者为2314a =,为非对角元，则A 为非正定矩阵，所以二次型也是非正定的。
3 正定矩阵的判定方法3.1 定义判定定义3.1[]8对于实对称矩阵A =()ij a （其中,,1,2,,ij a R i j n ∈=⋯ ）,若对于任意非零列向量X ，都有0T X AX >,则称A 是正定矩阵。
例3.1[]7设A 为正定矩阵，B 为n 阶实反对称矩阵，证明2A B -是正定矩阵。
分析 这是两个矩阵之差，要证明其正定性，用定义可证。
证明 因为A 是正定矩阵,所以T A A = ,且对任意n 维列向量0X ≠有0T X AX >,又B 是实反对称矩阵，即T B B =,从而222()()T A B A B A B -=--=-. 即2A B -是实对称矩阵，又对任意实n 维列向量0x ≠,有：2()()()()0T T T T T X A B X X A B B X X AX BX BX -=+=+>,故2A B -是正定矩阵。
例 3.2[]3 设A 是n 阶正定矩阵，B 是n m ⨯实矩阵，B 的秩为m ，证明 ：T B AB 是正定矩阵。
证明 因为()T T T T T B AB B A B B AB ==，故 T B AB 是实对称矩阵，其次，由于秩,,B m m n =≤故0BX =只有零解，因此，若任取非零实列向量X 必有0BX ≠，因A 是正定矩阵，故对任取的非零实列向量X ，必有 ()()()T T T X B AB X BX A BX = , 因此T B AB 是正定矩阵。
例 3.3[]5证明:A 是正定矩阵，则A *也是正定矩阵。
证明 由于A 正定，所以0A >，且对任意n 维向量0X ≠有0T X AX >.又1A A A *-=,从而对任意0,X ≠有（注意T A A =,且当0X ≠时10A X -≠）1111()()0T T T T T X A X X A A X A X A AA X A A X A A X *----===>,又因为有()111()()TT T A A A A A A A A *---*====,即A *实对称矩阵，故A *正定矩阵。
注 3.1 以上三个例子，是运用正定矩阵的定义来证明的。
还提供了利用实矩阵来构造正定矩阵的方法。
具体是，若A 不是方阵，也不对称时,,T T A A AA 是正定矩阵，若A 是方阵，但不对称，则T A A +是正定矩阵，同时，在证明的过程中，我们也看到了齐次线性方程组解的理论在正定二次型的理论中的应用。
3.2 定理判定定理3.1[]1 n 阶实对称矩阵A 正定当且仅当实二次型12(,,...,)T n f x x x X AX =的正惯性指数为n 。
证明 设实二次型()12,,...,n f x x x 经过非退化线性变换得2221122n na x a x a x ++⋯+. （3.1） 由于非退化实线性变换保持正定性不变，那么A 正定当且仅当（3.1）是正定的，由定义2知（3.1）正定当且仅当i a >0(n i ,,2,1 =)，因此正惯性指数为n 。
定理3.2[]1 实对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n d d d21正定的充分必要条件是 0i d >(n i ,,2,1 =)证明 由定理3.1得，实对称矩阵正定当且仅当二次型222121122(,,...,)...n n nf x x x d x d x d x =+++. 的正惯性指数为n ，因此0(1,2,...,)i d i n >=。
定理 3.3[]1 实对称矩阵A 是存在一实系数n n ⨯矩阵B ，使得T AB B A +正定，其T B 为B 的转置。
证明 因为()()()T T T T T T AB B A AB B A AB B A +=+=+,所以T AB B A +是n 阶实对称矩阵。
先证必要性若秩A n =,则1A -存在，令1B A -=,则111()()2T T T AB B A AA A A E AA E ---+=+=+=，由此可知T AB B A +正定。
再证充分性设T AB B A + 正定,,0n X R X ∀∈≠()()()0T T T T X AB B A X AX BX BX AX +=+>. （*） 由（*）式知0AX > ,这就是说，任意的0X ≠ ,都有0AX ≠ ,从而0AX =仅有零解，所以秩A n =。
定理 3.4[]1 实对称矩阵A 是正定的充要条件是二次型12(,,...,)n f x x x = T X A X 的系数矩阵A 的所有特征值都是正数，即大于零。
证明 由题意知，实对称矩阵A 可对角化为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a21， 其中1a ，,,2 a n a 恰好是A 的特征值，则二次型T X A X 的标准形为：1a 21x +2a 22x +…+n a 2n x ,而非退化实线性变换保持正定性不变，由222121122(,,...,)...n n nf x x x a x a x a x =+++正定，得0(1,2,...,)i a i n >=。
例 3.4[]5设A 为三阶实对称矩阵，且满足220A A +=，已知A 的秩2A =.则当k 为何值时，矩阵A kE +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵。
解 设t 为A 的一个特征值，对应的特征矩阵向量为X ，则AX tX =,则22,(X 0)A X t X =≠。
从而， 22(A 2A)X (t 2t)X +=+。
由条件220A A +=， 推知2(t 2t)0+=，又由于0X ≠，故有 2,0,t t =-= 于是故矩阵A 的全部特征值为122t t ==-，30t =.矩阵A kE +仍为实对称矩阵.则A kE +的全部特征值为2,2,k k k -+-+。