人大《统计学》第七章假设检验

服从标准正态分布，即：
x 0 z= ~ N ( 0,1) σ n
§2.1 总体均值的检验
根据检验统计量计算公式计算检验统计量样本值 z，当显著 水平为α 时，查 Z 分布表：
在双侧检验中，如果 z≥ Z1α，则拒绝原假设 H0 ；反之，则不能拒绝 2 原假设。 在左侧检验中，如果 z < Z1α，则拒绝原假设；反之，则不能拒绝原 假设。 在右侧检验中，如果 z > Z1α ，则拒绝原假设；反之，则不能拒绝原 假设。
§2.1 总体均值的检验
【例7．1】某车间用一台包装机包装成品食盐，已知袋装食 盐的净重服从正态分布，且当机器正常时，其均值为0.5公 斤，标准差为0.005公斤。某日开工后要检验包装机是否正 常运作，随机抽取了40袋，称得净重如下（单位：公斤）：
α 请检验机器是否处于正常运作状态？（ = 0.05）
z= x 0 n
σ
=
1507.625 1500 = 3.05 > 1.645 10 16
因此，拒绝原假设H0，即认为该种新技术显著提高灯泡的使 用寿命。
§2.1 总体均值的检验
§2．1．2．小样本情况下
σ １．正态总体， 已知 正态总体， x 0 采用统计量 z = 对样本均值进行检验 σ n
§1．1 假设检验的统计思想 假设检验的统计思想
统计思想： 统计思想：
小概率原理 反证法思想
主要表现： 主要表现：
１、主要理论依据是“小概率事件在现实中是不可能发生的” 这一概率思想。 ２、采用的逻辑推理方法是反证法。
§1．2 基本概念及检验步骤
1．原假设与备择假设
原假设: 原假设:待检验的假设,也称为零假设。 备择假设： 备择假设：原假设的对立面，否定原假设后可供选择的假设。 例：某种饮料包装上注明“净含量500ml”，是否可信？
§1．2 基本概念及检验步骤
4．接受域与拒绝域
接受域：使原假设不能被拒绝的统计量所在区域。 拒绝域：使原假设能够被拒绝的统计量所在区域。也称否定域。
这两个区域是互补的关系，即检验统计量的实际值必落入且只能 落入其中一个区域，它们之间的分界线即临界值 临界值。 临界值
H 对于不同形式的假设， 0 的接受域和拒绝域不同。
2
２．正态总体， 2 未知 正态总体， σ
检验统计量 t =
x 0 服从自由度为（ n 1）的 t 分布，由于σ 2未知，一般 σ n 用样本标准差 s 来代替总体标准差 σ ，即：
x 0 t= ~ t ( n 1) s n
§2.1 总体均值的检验
对于给定的显著性水平 α ，查 t 分布表： 在双侧检验中，当 t > tα /2 ( n 1) 时，拒绝原假设；反之，则不能拒绝
x 0 。 s n
由题中样本数据及已知条件得到： x = 1507.625 ， 0 = 1500 ， = 10.404 ， = 0.05 ， tα (15 ) = 1.753 s α 检验统计量 x 0 1507.625 1500 = = 2.932 > 1.753 t= s n 10.404 16 拒绝原假设 H 0 ，即认为该种新技术显著提高灯泡的使用寿命。
§2．2 总体比例的假设检验
检验未知的总体比例π 等于某一假设值 P0 设
H0 :π = P； H1 : π ≠ P0 0
H （或 H1 : π ≥ P0 ； 1 : π < P0 ）
检验统计量 z = σ
用样本比例 p 来代替π ，因此检验统计量调整为：
z= p P0 p (1 p ) n
p P0 逼近正态分布，因未知σ n
解：首先设立原假设与备择假设： H 0 : = 0 = 0.5 ； H1 : ≠ 0 由题中样本数据及已知条件得到： s x = 0.4983 ， 0 = 0.5 ， ≈ 0.00655 ， = 0.05 ，tα 2 ( 9 ) = 2.26 α
t = x 0 s n
=
0.4983 0.5 0.00655 10
§2.1 总体均值的检验
解：首先设立原假设与备择假设： H 0 : = 0 = 0.5 ； H 1 : ≠ 0 已知该总体服从正态分布及总体的标准差，故本题可以采用 Z 检验。 由题中样本数据及已知条件得到： x = 0.4989 ， 0 = 0.5 ， σ = 0.005 ， n = 40 ， α = 0.05 ， Z1α 2 = 1.96 本题属于双侧检验，根据正态分布，有：
总体服从二项分布，样本量 n足够大且满足
p 的抽样分布可用正态分布近似。 p 的数学期望为 E(p) =π ， p 的方差为 Var ( p ) = π (1 π ) ， n
np > 5 时，比例 n (1 p ) > 5
样本比例经标准化后的随机变量则服从标准正态分布，即
z= p π ~ N (0,1) π (1 π ) n
左侧检验
右侧检验
如果需要判断参数是否偏大（偏小）的情况，则采取左侧 需要判断参数是否偏大（偏小） 需要判断参数是否偏大 （右侧）检验。
§1．2 基本概念及检验步骤
5．假设检验的具体步骤
（1）建立假设。 （2）确定检验统计量，并确定该统计量的分布情况， 然后依据样本信息计算该检验统计量的实际值。 （3）设定检验的显著性水平，并确定临界值。 （4）将检验统计量的实际值与临界值进行比较，做出 是否拒绝原假设的决策。
分类： 分类：
参数假设检验，简称参数检验； 非参数检验或者自由分布检验。
第七章
假设检验
§1
假设检验基本问题
§2 一个总体参数的检验 §3 二个总体参数的检验
§1 假设检验基本问题
§1.1 假设检验的统计思想 §1.2 基本概念及检验步骤 §1.3 关于 p 值 §1.4 两类错误 §1.5 假设的建立问题
§2 一个总体参数的检验
§2.1 总体均值的检验 §2.2 总体比例的假设检验 §2.3 正态总体的方差检验
§2.1 总体均值的检验
§2．1．1．大样本情况下 样本均值 x 的抽样分布均为正态分布，其数学期望为总体 均值 ，方差为 σ 2 n ，其中σ 2 为总体方差。 检验统计量
z= x 0 σ n
§1．5 假设的建立问题
实践中一般采取“原假设处于被保护地位 原假设处于被保护地位”的原则， 原假设处于被保护地位 即将没有充分理由便不能拒绝的命题作为原假设，其对 立面作为备择假设。
一般将已有的、固有的、经验的命题作为原假设，将想 要证明成立的命题作为备择假设，这样做可以有效减小 犯第一类错误的概率。
H1 : ≠ 500ml 该假设可以表达为： H 0 : = 500ml 其中，字母 H表示假设，下标0表示原假设，下标1表示备择假 设。
§1．2 基本概念及检验步骤
零假设与备择假设并不一定完全对称。 假设的形式： 假设的形式： 双侧检验：H 0 : = 0 H1 : ≠ 0 单侧检验 左侧检验： H 0 : = 0 H1 : < 0 （或者 H 0 : ≥0 ；H 1 : < 0 ） 右侧检验：H 0 : = 0 H1 : > 0 （或者 H 0 : ≤0 ； H1 : > 0 ）
n = 200 ，p =
z =
157 α = 0.785 ， = 0.05 ， Z1α 2 = 1.96 200
§1．4 两类错误
进行假设检验时会犯两种错误：
①零假设正确却被拒绝，称之为“第I类错误”； ②零假设不正确却没有被拒绝，称之为“第II类错误”。
§1．4 两类错误
犯第I类错误的概率记为 α ，即前面提到的显著性水平。 犯第II类错误的概率记为 β 。 在一定样本容量下,减少 α 会引起 β 增大,减少 β 会引起 α 的增大。 假设检验中人们普遍执行同一准则： 首先控制弃真错误（ 错误）。 首先控制弃真错误（α 错误）。
≈ 0.821 < tα 2 ( 9 ) = 2.26
因此，不能拒绝原假设H 0 ，即不能认为包装机器运作不正常。
§2.1 总体均值的检验
【例7．4】（续例7.2）若没有灯泡寿命标准差的经验数据， 试检验判断该种新技术是否显著提高灯泡的使用寿命。 （ α = 0.05 ）
解：首先确定原假设与备择假设不变，但检验统计量换为 t =
原假设。 在左侧检验中，当 t < tα ( n 1) 时，拒绝原假设；反之，则不能拒绝 原假设。 在右侧检验中，当 t > tα ( n 1) 时，拒绝原假设；反之，则不能拒绝 原假设。
§2.1 总体均值的检验
【例7．3】（续例7.1）若其它条件不变，但抽查样本量减 为10，且事先并不知道机器正常时的标准差信息。试检验机 器是否处于正常运作状态？（α = 0.05 ）
§2.1 总体均值的检验
§2．1．3．选择统计量的总结 ． ． ．
如何选择检验统计量
大样本（
σ
σ
σ
σ
§2.1 总体均值的检验
§2．1．4．计算机实现结果
例：SPSS
SPSS软件中对原始数据（样本数据）是否服从正态分布、方 差是否已知并没有太多的条件限制，对于均值检验采用的统 计量均为t统计量。
§2．2 总体比例的假设检验
§1．2 基本概念及检验步骤
双侧检验的接受域为检验统计量分布曲线上两临界值之 双侧检验 间的区域，而拒绝域分别位于两端；
如果是只需判断有无显著差异 只需判断有无显著差异的情况，则采用双侧检验。 只需判断有无显著差异
§1．2 基本概念及检验步骤
左侧检验的拒绝域位于接受域的左侧； 左侧检验 右侧检验的拒绝域位于接受域的右侧。 右侧检验
§1．2 基Leabharlann 概念及检验步骤2．检验统计量
检验使用的统计量称为检验统计量 检验统计量的构造形式为：
检验统计量=