含参一元二次不等式的解法及其应用
含参数的一元二次不等式的解法
02
形如$ax^{2} + bx + c > 0$或$ax^{2} + bx + c < 0$的不等式，其中$a \neq 0$。
通常表示为$ax^{2} + bx + c > 0$，其中$a \neq 0$，当$a < 0$时，不等式表示的为开口向下的抛物线在$x$轴上方（或下方）的部分。
研究意义
研究目的和意义
在国内外学者的研究中，一元二次不等式的解法已经得到了广泛的研究。对于不含参数的一元二次不等式，学者们已经提出了多种求解方法，如公式法、图解法等。而对于含参数的一元二次不等式，由于参数的出现使得问题变得更为复杂，因此相关的研究相对较少。目前，已有的研究主要集中在求解含参数的一元二次不等式的解集上，而对其求解方法、参数对解的影响等方面的研究尚不充分。因此，本文将深入研究含参数的一元二次不等式的解法，探讨参数对不等式解的影响，并总结出一套有效的求解策略。
未来，我们将进一步深入研究含参数的一元二次不等式问题，探讨更加高效的解法，并尝试将其应用于更广泛的领域。
我们计划利用现代数学方法和技术，对含参数的一元二次不等式问题进行深入研究，以期取得更加系统和全面的研究成果。
同时，我们也希望通过进一步的研究，能够为解决其他相关数学问题提供思路和方法上的借鉴。
工作展望
利用数轴法求解
方法比较和实例分析
04
直接求解法
直接根据一元二次不等式的解法公式，将参数代入公式进行计算。优点是简单易懂，但计算量较大，容易出现计算错误。
方法比较
分解因式法
将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式，再分别求解。优点是计算量较小，但需要一定的观察能力和分解因式技巧。
含参数的一元二次不等式的解法
2
方程
a a2 4 a a2 4 , x2 的两根 x1 2 2
a a2 4 a a2 4 或x 不等式的解集为 x / x 2 2
解题心得
你能说说解含参数的一元二次不等式按怎样的层次 进行分类讨论？
2ax 3a 0(a R)
2
（ 2）
ax (2a 2) x 4 0(a R)
2
误区警示：对于含有参数的不等式，在求解过程中，注意不 要忽视对其中的参数恰当的分类讨论，尤其是涉及形式上看似一 元二次不等式，而其中的二次项系数中又含有参数变量时，往往 需要针对这个系数是否为 0 进行分类讨论，并且如果对应的一元 二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参数时，还要 再次针对这两根的大小进行分类讨论.
f′(x)<0 得 x>2.故 f(x)的单调递增区间是(0，2)，单调递减 区间是(2，＋∞)． ② 当 a 0 时， ,令 f′(x)＞0 得 0<x<2; 令 f′(x)<0 得 x>2. 故 f(x)的增区间是(0，2)，减区间是(2，＋∞)．
1 1 1 ③当 0＜a＜ 时， ＞2，在区间(0，2)和 a，＋∞上，f′(x)＞0； a 2 1 在区间 2，a 上， f′ (x)＜ 0，故
a a 1 ④ 当 a 1 即 1 时 ，不等式的解集为 a 1 1 1 时，不等式的解集为 x / x 1 ⑤当 a 1 即 a a
●三个防范 (1)二次项系数中含有参数时， 参数的符号影响不等式的解集； 不要忘了二次项系数是否为零的情况． (2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根 的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类 讨论，分类要不重不漏． (3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．
含参一元二次不等式的解法与恒成立问题
含参一元二次不等式的解法与恒成立问题
一元二次不等式是几何、代数以及统计学等领域中使用最广泛的不等式之一，其解法和恒成立问题也是学习和研究的重要内容。
首先，要理解含参一元二次不等式的解法，我们需要对一元二次方程有所了解。
一元二次不等式也可以表示为一元二次方程形式，也可以将一元二次方程化为一元二次不等式形式。
一元二次方程有一般形式ax^2 + bx + c = 0,其中a,b,c均为实数，且a≠0，这个方程有两个实根，如果a,b,c满足一定条件，那么解得的方程式可以写作
x^2+px+q≥0,其中p为常数，q为常数。
在求解含参一元二次不等式的时候，要先化成一元二次方程的形式，然后根据首项系数是正还是负，分两种情况讨论，如果ax^2为正，那么此一元二次不等式在实数集上有解，只要保证满足一定条件即可；若ax^2为负，则含参一元二次不等式可以分离，而只要满足条件就必定存在解。
当求解不等式的恒成立问题时，一般的思路是先将不等式的非负部分和负部分分开，求解其左右两边的值，例如：若有ax^2+bx+c≥0，可先将其分解为ax^2+c≥0和bx≥0，然后求解其左右两边的值，根据不等式的性质，求解其两个值，确定其恒成立条件。
总之，一元二次不等式的解法及其恒成立问题是学习和研究中重要的内容，也是大家常用的不等式之一。
要正确求解，首先要正确分离不等式，然后根据不等式的性质确定相应的恒成立条件。
含参数的一元二次不等式及其解法
3.2.2含参数的一元二次不等式及其解法一．自主学习以上结论是针对a>0的情形给出相应的解，a<0时请同学们自行分析。
解一元二次不等式的步骤：1：确定二次项系数符号（一般将二次系数化为正）;2:计算△,求相应一元二次方程的根(能用十字相乘法的则不需用公式）;3：根据二次函数的图像,写出不等式的解集二．自主探究在解关于含参数的一元二次不等式时，往往都要对参数进行分类讨论。
分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点。
下面举例说明解题时如何做到分类“不重不漏”。
【题型一】对根的大小讨论例1． 解关于x 的不等式0)1(2<+++a x a x .(a R ∈ ).对应练习：解关于的不等式2x a x a--<0 (a R ∈ ).【题型二】对所对应方程根的个数进行讨论例2、 解不等式02>+-a x x ，R a ∈对应练习：012<+-ax x【题型三】对首项系数a 的讨论例3、 2(1)10、x ax a x +-->解关于的不等式，R a ∈对应练习：（1）关于x 的不等式0122<+-ax ax ，R a ∈训练（2）：函数()f x =R ，则实数m 的取值范围.课堂小结：含参数的一元二次不等式需讨论一般分为1：对二次项系数进行讨论；2：对所对应方程根的个数进行讨论；3：对所对应方程根的大小进行讨论；注意：因不确定所以需要讨论，在讨论时需清楚在哪讨论；怎样讨论.讨论要不重不漏,通过讨论后化不确定为确定.三．巩固性练习及作业1．不等式x 2-ax-122a <0 (其中a<0)的解集为（ ）A.（-3a, 4a ）B.(4a , -3a)C.(-3, 4)D.(2a , 6a)2、22210x xx m -+->解关于的不等式32(1)10、x ax a x +-->解关于的不等式4.若不等式ax 2+bx+c>0 的解集为{x|-3<x<4}.，求不等式bx 2+2ax-c-3b<0的解集分析提示：给出了一元二次不等式的解集，则可知a 的符号和ax 2+bx+c=0的两根，由韦达定理可知a,b ，c 之间的关系。
含参数的一元二次不等式
1 1 1 即 a 1时，原不等式的解集为： {x | x 1} a a 1 1即 a 1 时，原不等式的解集为： a
1 1 a
即
1 {x |1 x } 0 a 1 时，原不等式的解集为： a
含参数的一元二次不等式的解法
综上所述， (1)当 a 0 时，原不等式的解集为 (2)当 a 0 时，原不等式的解集为
2
又不等式即为 (x-2a)(x-3a)>0
故只需比较两根2a与3a的大小.
x 解: 原不等式可化为： 2a ( x 3a) 0
相应方程 x 2a ( x 3a) 0 的两根为 x1 2a, x2 3a ∴(1)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 2a或x 3a
综上所述： a 0时，原不等式解集为：x | x 2a或x 3a
a 0时，原不等式解集为： | x 3a或x 2a x
(2)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 3a或x 2a
两根大小的讨论
例题讲解
含参数的一元二次不等式的解法
2 ∴(a)当 k 0 时,原不等式即为 2 x 0
解集为：x x 0
解集为：x x 2
2 x 2 8x 8 0 ∴(b)当 k 8时,原不等式即为
k 2 8k 0 即 k 0 或 k 8 （３)当
时,
k k 2 8k k k 2 8k x x 4 4
例3： 解不等式
2
x ax 4 0
2
解：∵ a 16 ∴ 当a 4,4即 0时
高中数学：含参 “一元二次不等式”的解法高中数学黄金解题模板
A．
B．
C．
D．
【答案】C
∵关于 的方程
存在三个不等实根，
∴方程
有两个根，且一正一负，且正根在区间
令
，
内．
则有
，解得
．
∴实数 的取值范围是
．选 C．
点睛：
解答本题时，根据所给函数的特征并利用换元的方法将问题化为方程根的问题处理，然后结合二次方程根
的分布情况再转化成不等式的 问题解决．对于本题中的
根的情况，还要根据数形结合根据两函
个，则有 1－ a2 <0，此时 a2 >1，而 0<b<1+a，故 a>1，
由不等式 a2 1 x2 2bx b2 <0 解得
2b 2ab x 2b 2ab , 即 b x b 1 要使该不等式的解集中的整数恰有 3 个，那么－
2 a2 1
2 a2 1
a 1
a 1
2020 年
数图象交点的个数来判断．
5．若“
”是“
”的充分而不必要条件，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
2020 年
B 中的不等式不能分解因式，故考虑判断式 4k 2 4(k 2 k) 4k ，
(1)当 k=0 时， 0, x R . (2)当 k＞0 时，△＜0，x R .
(3)当 k＜0 时， 0, x k k或x k k .
第三步 ，得出结论：
综上所述，k 的取值范围是： k 0或 1 k 0.
考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.
【变式演练 3】已知 a 0 ，解关于 x 的不等式 ax2 (a 2)x 2 0 ．
含参数一元二次不等式解法(精华)
含参数二次不等式的“分类讨论”解含参数的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0，通常要分类讨论．其步骤是考虑三个方面：①a ，它影响到解集的最后形式；②△，影响到不等式所对应的方程是否有解；③两根x 1，x 2的大小，影响到解集最后的次序．下面举例说明．一、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；方程一定有根例1解不等式06522>+-a ax x ，0≠a 分析此不等式()0245222>=--=∆a a a ，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故只需比较两根a 2与a 3的大小.解原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为a x a x 3,221==，(1)当0a >时，即23a a <，解集为{}a x a x x 23|<>或；(2)当0<a 时，即23a a >，解集为{}|23x x a x a ><或例2解关于x 的不等式x 2-2x+1-a 2≥0.解：(x-1)2-a 2≥0，(x-1-a)(x-1+a)≥0.其对应的根为1+a 与1﹣a.由(1+a)-(1﹣a)=2a，得①当a >0时，1+a >1-a，∴原不等式的解集为{x|x≥1+a 或x≤1-a}.②当a=0时，1+a =1-a，∴原不等式的解集为全体实数R.③当a <0时，1-a >1+a，∴原不等式的解集为{x|x≥1-a 或x≤1+a}.例3解不等式x 2－(a ＋1a )x ＋1＜0(a ≠0)．分析：此不等式可化为(x －a )(x －1a)＜0，故对应的方程必有两解，所以只要讨论两根的大小即可．解：原不等式可化为(x －a )(x －1a )＜0，令a ＝1a ，可得a ＝±1．⑴当a ＜1a ，即a ＜－1或0＜a ＜1时，故原不等式的解集为{x |a ＜x ＜1a }．⑵当a ＝1a ，即a ＝－1或a ＝1时，故原不等式的解集为∅．⑶当a ＞1a ，即－1＜a ＜0或a ＞1时，故原不等式的解集为{x |1a＜x ＜a }．二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；方程根的情况不确定例3解不等式042>++ax x 分析本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
高中数学一元二次含参不等式的解法探究
高中数学一元二次含参不等式的解法探究一元二次不等式是高中数学中的重要内容，也是一个比较难以掌握的部分。
而当一元二次不等式中含有参数时，更是让学生感到困惑和挑战。
在数学学习中，一元二次不等式的解法探究是非常重要的，下面我们就来探讨一下高中数学一元二次含参不等式的解法。
一、含参一元二次不等式的一般形式ax^2 + bx + c > 0 或者 ax^2 + bx + c < 0其中a、b、c是常数，x是未知数，不等式的解集也就是x的取值范围。
1. 代入法当一元二次不等式中含有参数时，一种比较简单的解法是采用代入法。
将参数用实数代入，然后对得到的一元二次不等式进行求解。
将得到的解与参数的取值范围相结合，得到最终的解集。
2. 讨论法3. 图像法一元二次函数的图像方法可以帮助我们更直观的理解含参不等式的解法。
我们可以根据一元二次函数的图像特征，结合参数的取值范围，来判断不等式的解集。
1. 例题一已知不等式(x-1)(3x-k) > 0，若k为正数，求x的取值范围。
解：我们根据不等式的性质得到x-1>0，3x-k>0或者x-1<0，3x-k<0。
然后我们可以推导出k>3x或者k<3x。
结合k为正数，可得k>0。
最终，x的取值范围为(1,k/3)。
通过以上应用实例，我们可以看到含参一元二次不等式的解法在实际应用中是非常有用的，能够帮助我们更好地理解和掌握不等式的解题方法。
四、总结含参一元二次不等式是高中数学中的一个重要内容，具有一定的难度。
解决含参一元二次不等式，我们可以采用代入法、讨论法和图像法等多种方法。
在应用实例中，我们可以根据不等式的性质和参数的取值范围来求解不等式，得到最终的解集。
通过不断练习和应用，我们可以更好地掌握含参一元二次不等式的解法，提高自己的数学解题能力。
在学习过程中，我们还需要多总结经验，勤加练习，多探索多思考，在老师的指导下加深对含参一元二次不等式的理解，从而更好地解决各种数学问题。
浅谈含参量一元二次不等式的解法
、
ａ ＜ Ｏ 时， 不等式的解集为｛ ｘ ｌ ｘ ＜ｌ ｌ ＿ 或ｘ ＞ ｌ｝
Ｉ ａ Ｊ
含参量不等式 的解法 ， 要求分 类讨论 ， 讨论 的标 准一是根
据 两 根 的 大小 ， 二是 根据 开 口方 向 。
分析 ： 此不等式二次项为负 ， 首先应将 系数化 为正 ， 其次解
根据 ａ ＜ Ｏ判断两根大 ｘ １ ＞ ｘ ２ ， ａ ｘ ％ｂ ｘ ＋ ｃ ＝ Ｏ （ ａ ＃Ｏ ）
由不等式的解法得解 集为 ：
ｘ ∈ （ 争， 一 ）
点评 ： 本题无需分类讨论 ， 因为题 目已经告 知 ａ ＜ Ｏ ， 从而很 容易判断两根 一 ａ＞ ａ．
１ ３ ／
（ 上接 第 ６页） 所选取 的研究对象是在 国外 留学 的中国学生 ， 在
查结果可 以为教师今后的教学提供更好 的参考 。 只有更理解 自 己的学生 ， 才能因材施教 ， 提高教 学质量 。
参考文献 ：
异乡求学 的孤独感很可能促使 他们更加偏好 小组合作 的学 习 方式。笔者选取的对象是在 国内独立学 院的学生 ， 研究个体 的 差异导致了研究结果 的差异 。同时 ， 时代的变迁也是造成这种
当ａ ＝ ｌ 时， 不等式的解集为 ｘ ∈ ； 当ａ ＜ ｌ 时， 不等式的解集 为｛ ｘ ｌ ａ ＜ ｘ ＜ ｌ ｝ ． 变式 ： 解关于 Ｘ的不等式 （ ｘ — ａ ） （ ａ ２ － ｘ ） ＜ Ｏ ．
ａ ＝ Ｏ时 ， 不等式 的解集为 ｛ ｘ ｌ ｘ ＞ １） ；
，
１
ａ ＝ Ｏ时 ， ａ ２ ＝ ａ ， 不等式的解集为｛ ｘ ｌ ｘ ￣ａ ｌ ；
、
参数出现在 一次项 ｘ的系数 ｂ或 常数 ｃ位置
高中数学一元二次含参不等式的解法探究
高中数学一元二次含参不等式的解法探究一元二次不等式是高中数学中一个非常重要的知识点，而含参的一元二次不等式更是需要同学们格外注重。
因为含参的一元二次不等式在现实中有着广泛应用，例如通过解决含参的一元二次不等式，可以优化设计制造成本、确定工艺参数、调节运动规律等等问题。
所以，解决含参的一元二次不等式，对提高数学水平和现实生活都是非常有益的。
解决含参的一元二次不等式，可以从以下四个方面入手。
1. 方程法含参的一元二次不等式可以理解为是变量 $x$ 的一元二次函数，而求解含参一元二次不等式，就是为了知道这个函数图像 $y=ax^{2}+bx+c\left( a,b,c\in R \right)$ 在数轴上的位置关系，因此，使用方程法求解含参一元二次不等式是非常直接和简单的。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式的两边同时移项，将不等式转换为相等式，得到一个含参二次方程；2）解出方程，得到二次函数图像的根；3）分别把这些根代入原不等式中，求出参数的取值范围。
例如要求 $\left( 1-\sqrt{x} \right)\left( 1+qx \right)<0$ (其中 $q>0$)，我们可以按以下步骤来解决：3）分别将这些解代回原不等式中，得出 $x>1/q^2$ 或 $x<0$。
因为 $q>0$，所以$x>1/q^2$，也就是说，当 $x\in \left( 0,\frac{1}{q^2}\right)$ 时，原不等式成立。
2. 图像法尽管用方程法可以得到含参一元二次不等式的解，但这种方法需要解出二次方程，不太方便。
另一种方法是通过函数图像，观察函数的零点和拐点，直接得出不等式的解。
这种方法叫做图像法。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式写成一元二次函数的形式，并确定函数的最高次幂系数 $a$，括号里的内容作为变量 $x$，同时限制 $x$ 的取值范围，画出函数的图像。
含参数的一元二次不等式的解法
课堂总结：
（1）会求解含有参数的一元二次不等 式，一般讨论的顺序是：①讨论二次项系数 ②判断二次不等式相对应方程的两根的大 小 （2）能够熟练应用分类讨论及数形结合的 数学思想。
分析： 3x 2 -19 x+6 0
（3x-1)(x-6) 0
1 相对应方程（3x-1)(x-6)=0的根x1 = ,x2 =6 3
1 不等式的解集（ , 6） 3
含参数的一元二次不等式的解法
专题一 例1
解不等式x +(a-1)x-a>0(a>0)
2
解析：原不等式等价于 （x 1)( x a) 0
若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为 的值为(
A.－1415
（2）二次项含有参数 D.－17
解含参数的一元二次不等式的步骤： （1）二次项系数为参数时，应讨论是等于 0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化 为二次项系数为正的形式。 (2)因式分解，求出相对应方程的根， 不能确定根的大小时，应讨论方程两 根的大小关系，从而确定解集。
-a
1 (-a)
-a
(1)-a<1（2） -a=1 (3)-a>1
专题二
例2
解不等式ax +(a-1)x-1>0(a R)
2
二次项含有参数应如何求解？
考点 例 1
含参数的一元二次不等式
1 1 x 则 }, a＋b （1）一是二次项系数为常数 ,参 2 3 ) 数在一次项或常数项 {x
解一元二次不等式的步骤
(1)化成标准形式 ax +bx+c>0 a>0) 或ax +bx+c<0(
（2）判别式△与0的关系， 求出相应方程的实根X1,X2; （能因式分解的不用判别式△ ） (3)画图对应函数的简图，写出不等式的解集.
含参一元二次不等式方程组的解法
含参一元二次不等式方程组的解法
一元二次不等式方程组是一组同时包含含有变量的二次不等式的方程。
解决这种方程组需要确定变量的取值范围，使得方程组中的不等式都成立。
解决步骤
以下是解决含参一元二次不等式方程组的一般步骤：
1.通过观察，并利用一元二次方程解法，得到每个不等式的解集。
将解集表示为一个或多个范围。
2.确定每个变量的取值范围，使得方程组中的每个不等式都得到满足。
这涉及比较解集并取交集。
3.给出变量的取值范围，作为最终的解。
以下是一个示例问题的解决步骤：
示例
解决方程组：
x^2 - 5x + 6 ≥ 0
2x^2 + 3x - 2.0
1.对于第一个不等式，我们可以通过分解因式得到 `(x - 2)(x - 3) ≥ 0`。
因此，解集可以表示为 `x ∈ (-∞。
2] ∪ [3.+∞)`。
2.对于第二个不等式，我们可以使用一元二次方程解法，得到解集为 `x ∈ (-∞。
-2) ∪ (1/2.+∞)`。
3.确定变量 `x` 的取值范围，我们取两个不等式解的交集，得
到最终解为 `x ∈ (1/2.2] ∪ [3.+∞)`。
因此，方程组的解为 `x ∈ (1/2.2] ∪ [3.+∞)`。
总结
解决含参一元二次不等式方程组的步骤包括找到每个不等式的解集，确定变量的取值范围，并求解交集。
通过这些步骤，可以得到方程组的最终解。
一元二次不等式解法以及应用专题
一元二次不等式一元二次不等式：含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式不等式题型一、解一元二次不等式1.一元二次不等式的解法（大于取两边，小于取中间）(1)通过对不等式的变形，使不等式右边为0，左边二次项系数为正 (2)对不等式的左边进行因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式;(3)求出相应一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实数根; (4)画出对应的二次函数的简图 (5)根据图象写出不等式的解集，例1. 02532<--x x 263-2≤+x x 091242>+-x x 01062>-+-x x 02322>--x x 0532>+-x x题型二、含参数的一元二次不等式及其解法—1.解含参数的不等式时，应对参数进行讨论(1)以二次项系数是否为0进行讨论，以确定不等式是否为元二次不等式(2)转化为标准形式(即右边为0，左边二次项的系数为正数)后，再对判别式与0的大小作为分类标准进行讨论;(3)如果判别式大于0，但对应方程的两实根的大小还不能确定，此时，再以两实数根大小为分类标准进行讨论2.含参数的不等式的解题步骤(1)将二次项系数转化为正数(2)判断对应的二次方程是否有根(如果可以直接分解因式，此步可省去)…(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异实根，要分析两根的大小)注意1.当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0这决定了不等式是否为二次不等式2.含参数的一元二次不等式的讨论顺序为:(1)二次项系数;(2)判别式;(3)若有实数根，两实数根的大小顺序3.对参数的讨论还应注意以下几个方面:(1)对参数分类时，要目标明确，讨论时要不重不漏;(2)最后结果要分类回答，切不可取并集，解集为空集时，也是其中一类，不要随便丢掉4.并不是所有含有参数的不等式都要进行分类讨论例1. ;例2.解关于x 的不等式：05622<--a ax x例3. 解关于x 的不等式：0)(322>++-a x a a x变式练习：1.解关于x 的不等式：x x a 2)1(2≥+2. 解关于x 的不等式：01)1(2<++-x a ax~题型三、三个“二次”的应用方法规律：给出了一元二次不等式的解集，则可知a 的符号和02=++c bx ax 的两实根，由根与系数的关系可知a ，b ，c 之间的关系(1) 如果不等式02>++c bx ax 的解集为{}e x d x <<，则说明a ＜0，ex d x ==21,分别为方程2=++c bx ax 的两根；若解集为{}e x d x x ><或，则说明a>0,e x d x==21,分别为02=++c bx ax 的两根(2) 如果不等式的解集为02<++c bx ax {}e x d x <<，则说明a>0，e x d x ==21,分别为02=++c bx ax 的两根，若解集为{}ex d x x ><或，则说明a<0,e x d x ==21,分别为02=++c bx ax 的两根例1. 已知不等式{}21022><>+-x x x bx ax 或的解集为，求a,b 的值*例2. 若不等式{}的解集。
含参数的一元二次不等式的解法课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 一元二次不等式的概念和性质 • 含参数的一元二次不等式 • 含参数一元二次不等式的解法实例 • 课程总结与展望
01 引言
课程背景
01
一元二次不等式是中学数学的重要内容，也是高等 数学的基础。
02
含参数的一元二次不等式在解决实际问题中具有广 泛的应用。
解集为$1 < x < a$。当$a < 1$时，解集为 $a < x < 1$。
实例三：求解含参数的一元二次不等式
要点一
题目
要点二
解答
求解不等式$x^2 + (a - 3)x + a > 0$
首先，将不等式化为标准形式。然后，对参数$a$进行分 类讨论。当$a = 1$时，不等式变为$(x + 2)^2 > 0$，解 集为全体实数除了$-2$。当$a < 1$时，利用因式分解法 $(x + a)(x + 2) > 0$，解集为全体实数除了$-a$和$-2$。 当$a > 1$时，解集为全体实数。
它包含一个未知数 x 的最高次数为2的不等式。
一元二次不等式的解法
01
解一元二次不等式的基本步骤是：首先求出不等式的根， 然后根据不等式的符号确定解集。
02
对于形如 ax^2 + bx + c > 0 的不等式，如果 a > 0，则解集为 两根之外的所有实数；如果 a < 0，则解集为两根之间的所有实数
两个实根。最后，根据二次函数的性质，判断不等式的解集为两根之间的区间。
实例二：求解含参数的一元二次不等式
含参的一元二次不等式的解法
含参的一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的二次函数的不等式，其中a, b, c是实数，且a ≠ 0。
解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似，但是需要注意的是，不等式的解是满足不等式条件的解集。
下面将介绍一元二次不等式的解法，包括图像法、开方法、配方法、代数法等。
一、图像法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以首先绘制二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并找出函数图像在x轴上方（或下方）的区间。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以绘制出y = x^2 - 4x + 3的图像。
首先，找到抛物线的顶点，顶点就是不等式解的中心点。
顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为y = f(-b/(2a))。
在这个例子中，a = 1，b = -4，c = 3，所以顶点的横坐标为x = -(-4)/(2*1) = 2，纵坐标为y = f(-4/(2*1)) = f(2) = 2^2 - 4*2 + 3= -1。
然后，可以找到函数图像在x轴上方的区间，即函数图像在x < 1和x > 3时，都在x轴上方。
根据图像可知，在x < 1和x > 3时，x^2 - 4x + 3 > 0。
所以，不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解为x < 1或x > 3。
二、开方法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以考虑将不等式转化为以x为未知数的一元二次方程，并求解方程的根，在不等式的根之间的区间满足不等式。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以通过因式分解或配方法得到方程(x - 1)(x - 3) > 0。
根据求解一元二次方程的方法，可以得到方程的两个根为x = 1和x = 3。
高中数学一元二次含参不等式的解法探究
高中数学一元二次含参不等式的解法探究一元二次含参不等式是高中数学中的重要内容，它是不等式与二次方程相结合的一种类型。
在解题过程中，我们需要探究其解法，并且理解不等式和二次方程之间的关系。
本文将从一元二次含参不等式的基本概念、解法以及应用案例进行探讨。
一、一元二次含参不等式的基本概念我们来了解一下一元二次含参不等式的基本概念。
一元二次含参不等式是指含有未知数的一元二次不等式以及参数的不等式。
具体形式为：ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0。
其中a、b、c为常数，x为未知数。
在解一元二次含参不等式时，我们需要将参数视为已知数进行讨论，然后对不等式进行分类讨论。
通常情况下，我们会通过化简或者配方法将一元二次含参不等式转化为一元二次方程，然后分析方程的解，从而得到不等式的解集。
1. 定义法对于不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以将其转化为关于参数a、b、c的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0。
然后分析方程的解的情况，得出参数a、b、c的取值范围，从而得到原不等式的解集。
2. 图像法另一种解法是通过一元二次含参不等式的图像进行分析。
我们可以将不等式对应的二次函数的图像进行绘制，并结合函数的性质进行讨论。
3. 实例分析除了通过定义法和图像法进行分析外，我们还可以通过实例分析的方法进行解题。
通过设定具体的参数值，将不等式转化为一元二次方程，然后讨论方程的解的情况。
通过对实例的分析，我们可以得出参数的取值范围，进而得到不等式的解集。
一元二次含参不等式在高中数学中有着广泛的应用。
在物理、经济学等领域中，经常会遇到一元二次含参不等式的应用问题。
在物理学中，当我们研究抛体运动、弹簧振动等问题时，经常会遇到一元二次含参不等式的解决。
通过对不等式的解进行分析，可以得出相关物理模型的性质和特点。
高中数学一元二次含参不等式的解法探究
高中数学一元二次含参不等式的解法探究一元二次含参不等式在高中数学中是一个比较重要的知识点，需要掌握不同的解法。
本文将从多个角度探究解这类不等式的方法。
1. 常规解法对于一元二次含参不等式，我们可以根据不等式的特点，采用常规解法进行求解。
例如，对于不等式 $a x^2 + b x + c > 0$，我们可以先求出其二次函数的零点：$$\Delta = b^2 - 4 a c$$当 $\Delta > 0$ 时，即二次函数的图像与 $x$ 轴有两个交点，此时函数的值在两个交点之间为负，其他部分为正。
因此，我们可以根据 $\Delta$ 的值来判断原不等式的解集。
2. 代数方法此外，还有一种比较常用的代数方法，即将一元二次不等式并成一个完全平方。
例如，对于不等式 $x^2 - 4x + m > 0$，我们可以将其转化为 $(x-2)^2 + (m-4) > 0$ 的形式。
然后根据完全平方的非负性，可以得到原不等式的解集为：$$\begin{cases}(m - 4)k > 0 & 如果 k > 0 \\(m - 4)k < 0 & 如果 k < 0\end{cases}$$其中，$k$ 表示 $(x-2)$ 取值。
3. 图像解法另外，还可以通过观察一元二次含参不等式的图像，来判断其解集。
$$ x_1 = \frac{p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}，x_2 = \frac{p + \sqrt{p^2 -4q}}{2}$$因此，当 $p^2 - 4q < 0$ 时，二次函数的图像与 $x$ 轴没有交点，此时原不等式的解集为 $(-\infty, +\infty)$。
当 $p^2 - 4q = 0$ 时，二次函数的图像与 $x$ 轴有一个交点，此时原不等式的解集为 $\{x | x = \frac{p}{2}\}$。
当 $p^2 - 4q > 0$ 时，二次函数的图像与 $x$ 轴有两个交点，此时原不等式的解集为 $(x_1, x_2)$ 或 $(x_2, x_1)$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
当 1 a 2 时 ,f(x )在 (0 ， a 1 )和 ( 1 ， )为增 (a 函 1 ,1 )上 数 为 ;， 减 在 当 a2时 ,f(x)在 (0， )为增. 函数
( 2* 0 辽 1 ) 已 0 f 宁 ( x ) 知 ( a 1 ) lx n a 2 1 x ,讨 f( x ) 单 论 . 调
2 a
2 a
( 2* 0 辽 1 ) 已 1 f 宁 ( x ) 知 lx n a 2 x ( 2 a ) x ,讨 f( x ) 单 论 . 调
解：定义域为0，（）
f '( x ) 1 2 a 2 x a 2 a 2 ( 2 x a ) x 1 ( a 1 ) 2 x x ( 1 )
所以 f'(x ) 0 ， ,得 x (0 令 , (a 1 )) 2 a
(a1) 2a
(a 1) 2a
令 f'(x)0,得 x ( (a1),)
0
2a
综上所述，
当 a0时f， (x)在 (0, )上为增 ; 函数 当 a1时 ,f(x)在 (0, )上为减 ; 函数
当 1 a 0 时 ,f(x )在 (0 , (a 1 ))上为增 ( (a 函 1 ),)上 数为 ， . 减 在
当 对a应 0时 方， 程原 x的 1不 根 1,x2等 ： ( a2式 ,1]解 [a2集 , )为1
2 a
当a0时，
(1)当 1a 2时， a 即 2,原不等式 [1,a 2解 ] 集 1 a2 为 (1)
(2)当 12时， 2即 a0,原不等[2 式 ,1]解集为 (2)
a
a
2 1
a
(3)当 1a 2时， a即 2,原不等x 式 |x 解 1 集 1 (为 3)
x
x
x
当 a 0 时 f'(x ， )2 x 1 0 ，f所 (x )在 (0 , 以 )上 为 . 增函数 x
当 a0时f'(， x)0 ，所 f(x)在 以 (0,) 上为.增函数
当a 0时，令 f'(x)0 ，0 得 x1 a
令 f'(x)0，x得 1 a
1
1
2
a
0
综上所述， 当 a0时f， (x)在 (0, )上为增 ; 函数
2
当 a 1 时 ,解( 集 ,1 a )为 (a ,)
2
当 a1 时 ,解( 集 ,1 ) 为 (1,)
2
22
例 2、解关 x的于 不等式：
a2 x(a2)x20 (aR)
解：a当 0时，原不等2 式 x2可 0(化 aR 为 ),解集 为 ， 1
当a0时，原不等式 (ax等 2)(x价 1)于 0
1、先看能否因式分解，能因式分解则讨论根的大小; 2、不能因式分解，则讨论△，分△＞0 ，△ =0， △ ＜ 0; 3、若二次项系数含参数a，则要先讨论a＞0，a=0,a＜0,
再讨论根或△。
a10
( 2* 0 辽 ) 0 已 f 9 宁 ( x ) 知 1 x 2 a ( a x 1 ) lx n ( a 1 )讨 ,f( x ) 单 论 . 调 2
我演讲的题目是：“克服职业倦怠，点亮教学生涯”
克服职业倦怠，首先点亮第一盏明灯——学会享受 克服职业倦怠，让我们点亮第二盏明灯——学会抛弃 克服职业倦怠，让我们点亮第三盏明灯——学会当闲人
含参数的一元二次不等式 的解法及其应用
例 1、解关 x的于 不等式：
x2xa(a1)0 (aR)
解：原不等式(x等 a)价 (x于 a1)0
当 a0 时 f(x ， )在 (0 ,1)上为 ,在 增 (1,)函 上 数 为 . 减函数
a
a
解：定义域为0，（）
f'(x)xaa1x2axa1 (x1a)x(1)
x
x
x
当 a11时， a即 2,令 f'( x ) 0 ， 0 x 得 1 或 x a 101 a1
令 f'(x ) 0 ， 1 得 x a 1
当 a11时， 1a 即 2,令 f'( x ) 0 ， 0 x 得 a 1 或 x 1 0 a1 1
例 2、解关 x的于 不等式： a2 x(a2)x20 (aR)
综上所述，
当 a0时 ,解集 (为 ,1]
当 a0时，(解 , 1]集 [2, 为 ) a
当 a2,解集 [1,为 2] a
当 2a0,解集 [2,为 1] a
当 a 2 ,解x 集 |x 1 为
解关x于 的不等式： (1) 2x2ax20 (aR) (2 )a2 x2 x a 0 (a R )
解：定义域为0，（）
f'(x)a 1 2 a x2 a2 xa 1
x
x
当a0时， 有 f'(x)0，所 f(x)以 在 (0, )上为增 . 函数
当a1时, 有 f'(x)0,所f以 (x)在 (0, )上为减函数
当 1 a 0 时 f'( x ) ， 0 ,得 x 2 令 ( a 1 ) 0 2 a
令 f'(x ) 0 ， a 得 1 x 1
01
当 a 1 1 时 a 2 ， ,令 f'( x ) 即 ( x 1 ) 2 0 ，x 且 1 处 0 ,所 仅 为 f( x ) 在 以 ( 0 在 ， ) 上为 .
x
综上所述， 当 a 2 时 ,f(x )在 (0 ， 1 )和 (a 1 ， )为增 (1 ,a 函 1 )上 数 为 ;， 减 在 函
对应方程x1的 a根 ,x2 ： 1a
当 a1a时， a1,即 原不等(式 , a)的 (1a 解 ,) 集为 2
当 a1a时， a1即 ,原不等式 (,1 的 a)(a 解 ,) 集为 2
当 a1a时， a1即 ,原不等式 (, 1的 )(1,解 )集为
2
22
综上所述，
当 a 1 时 ,解( 集 ,a ) (1 为 a ,)