含参一元二次不等式的解法及其应用

对应方程x1的 a根 ,x2 ： 1a
当 a1a时， a1,即 原不等(式 , a)的 (1a 解 ,) 集为 2
当 a1a时， a1即 ,原不等式 (,1 的 a)(a 解 ,) 集为 2
当 a1a时， a1即 ,原不等式 (, 1的 )(1,解 )集为
2
22
综上所述，
当 a 1 时 ,解( 集 ,a ) (1 为 a ,)
解：定义域为0，（）
f'(x)a 1 2 a x2 a2 xa 1
x
x
当a0时， 有 f'(x)0，所 f(x)以 在 (0, )上为增 . 函数
当a1时, 有 f'(x)0,所f以 (x)在 (0, )上为减函数
当 1 a 0 时 f'( x ) ， 0 ,得 x 2 令 ( a 1 ) 0 2 a
x
x
x
当 a 0 时 f'(x ， )2 x 1 0 ，f所 (x )在 (0 , 以 )上 为 . 增函数 x
当 a0时f'(， x)0 ，所 f(x)在 以 (0,) 上为.增函数
当a 0时，令 f'(x)0 ，0 得 x1 a
令 f'(x)0，x得 1 a
1
1
2
a
0
综上所述， 当 a0时f， (x)在 (0, )上为增 ; 函数
当 1 a 2 时 ,f(x )在 (0 ， a 1 )和 ( 1 ， )为增 (a 函 1 ,1 )上 数 为 ;， 减 在 当 a2时 ,f(x)在 (0， )为增. 函数
( 2* 0 辽 1 ) 已 0 f 宁 ( x ) 知 ( a 1 ) lx n a 2 1 x ,讨 f( x ) 单 论 . 调
所以 f'(x ) 0 ， ,得 x (0 令 , (a 1 )) 2 a
(a1) 2a
(a 1) 2a
令 f'(x)0,得 x ( (a1),)
0
2a
综上所述，
当 a0时f， (x)在 (0, )上为增 ; 函数 当 a1时 ,f(x)在 (0, )上为减 ; 函数
当 1 a 0 时 ,f(x )在 (0 , (a 1 ))上为增 ( (a 函 1 ),)上 数为 ， . 减 在
我演讲的题目是：“克服职业倦怠，点亮教学生涯”
克服职业倦怠，首先点亮第一盏明灯——学会享受 克服职业倦怠，让我们点亮第二盏明灯——学会抛弃 克服职业倦怠，让我们点亮第三盏明灯——学会当闲人
含参数的一元二次不等式 的解法及其应用
例 1、解关 x的于 不等式：
x2xa(a1)0 (aR)
解：原不等式(x等 a)价 (x于 a1)0
令 f'(x ) 0 ， a 得 1 x 1
01
当 a 1 1 时 a 2 ， ,令 f'( x ) 即 ( x 1 ) 2 0 ，x 且 1 处 0 ,所 仅 为 f( x ) 在 以 ( 0 在 ， ) 上为 .
x
综上所述， 当 a 2 时 ,f(x )在 (0 ， 1 )和 (a 1 ， )为增 (1 ,a 函 1 )上 数 为 ;， 减 在 函
例 2、解关 x的于 不等式： a2 x(a2)x20 (aR)
综上所述，
当 a0时 ,解集 (为 ,1]
当 a0时，(解 , 1]集 [2, 为 ) a
当 a2,解集 [1,为 2] a
当 2a0,解集 [2,为 1] a
当 a 2 ,解x 集 |x 1 为
解关x于 的不等式： (1) 2x2ax20 (aR) (2 )a2 x2 x a 0 (a R )
1、先看能否因式分解，能因式分解则讨论根的大小; 2、不能因式分解，则讨论△，分△＞0 ，△ =0， △ ＜ 0; 3、若二次项系数含参数a，则要先讨论a＞0，a=0,a＜0,
再讨论根或△。
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a10
( 2* 0 辽 ) 0 已 f 9 宁 ( x ) 知 1 x 2 a ( a x 1 ) lx n ( a 1 )讨 ,f( x ) 单 论 . 调 2
当 a0 时 f(x ， )在 (0 ,1)上为 ,在 增 (1,)函 上 数 为 . 减函数
a
a
2 a
2 a
( 2* 0 辽 1 ) 已 1 f 宁 ( x ) 知 lx n a 2 x ( 2 a ) x ,讨 f( x ) 单 论 . 调
解：定义域为0，（）
f '( x ) 1 2 a 2 x a 2 a 2 ( 2 x a ) x 1 ( a 1 ) 2 x x ( 1 )
2
当 a 1 时 ,解( 集 ,1 a )为 (a ,)
2
当 a1 时 ,解( 集 ,1 ) 为 (1,)
2
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例 2、解关 x的于 不等式：
a2 x(a2)x20 (aR)
解：a当 0时，原不等2 式 x2可 0(化 aR 为 ),解集 为 ， 1
当a0时，原不等式 (ax等 2)(x价 1)于 0
解：定义域为0，（）
f'(x)xaa1x2axa1 (x1a)x(1)
x
x
x
当 a11时， a即 2,令 f'( x ) 0 ， 0 x 得 1 或 x a 101 a1
令 f'(x ) 0 ， 1 得 x a 1
当 a11时， 1a 即 2,令 f'( x ) 0 ， 0 x 得 a 1 或 x 1 0 a1 1
当 对a应 0时 方， 程原 x的 1不 根 1,x2等 ： ( a2式 ,1]解 [a2集 , )为1
2 a
当a0时，
(1)当 1a 2时， a 即 2,原不等式 [1,a 2解 ] 集 1 a2 为 (1)
(2)当 12时， 2即 a0,原不等[2 式 ,1]解集为 (2)
a
a
2 1
a
(3)当 1a 2时， a即 2,原不等x 式 |x 解 1 集 1 (为 3)