15 非寿险精算选讲

（2）经营因素 （3）社会因素
（4）法律因素
1.2 分类变量举例
车辆保险的分类变量：
(1)车辆使用性质，如分为营业车辆、非营业车 辆；
（2）车辆种类：客车、货车、拖拉机、特种车 和挂车；
（3）投保方式：代理业务、直接业务、电话销 售和网络销售等；
（4）承保数量：承保数量<=5台,5台< 承保车辆数<=20台,20台<承保车辆数 <=50台,承保车辆数>50台. (5)指定驾驶人:指定一名驾驶人,指定两 名驾驶人,未指定驾驶人. (6)驾驶人年龄: 年龄<25岁,25岁<=年龄 <30岁,30岁<=年龄<40岁,40岁<=年龄 <60岁,年龄>=60岁. (7)驾驶人性别:男,女. (8)驾驶人驾龄:驾龄<=1年,1年<驾龄 <=3年,驾龄>3年.
<=10000公里,10000公里<年平均行驶 里程数<=30000公里,30000公里<平均 年行驶里程数<=50000公里,平均年行 驶里程数>50000公里.
1.3 风险分类与其他定价因素的关系 保险定价是一个复杂过程，而风险分 类仅仅是保险定价过程中的一个环节。 因此，在风险分类的过程中，必须综 合考虑风险单位、经验费率系统、市 场营销和承保等各个方面的情况。
第十五章 非寿险精算选讲
15.1 基本概念与模型 15.2 车辆保险
15.1 基本概念与模型
一、基本概念 1.非寿险精算 保险精算学大致上可以分为寿险精算学和非寿险 精算学两大部分。我们已经学习了寿险精算学的 基础知识，它是建立在完整的生命表基础上的对 人的生存与死亡风险进行保障的精算数学方法， 其核心内容可以概括为死亡和生存给付的精算 现值的计算方法、寿险产品定价和准备金评估。
2. 损失金额（索赔额）模型 常用的损失金额模型有： 指数分布（见概率统计教科书），可以刻画 某类保险保单的年总索赔额的分布情况，如

来自百度文库
0, x 0,
F (x) 1 0.3e0.00001x , x 0.
可以用来刻画医疗事故保险每个保单 的年索赔额模型，因为在很多年份没 有索赔发生，所以这个模型的主要概 率（0.7）集中在零点，剩下的概率0.3 分布在正实数中。
本例事实上采用了直接计算两个损失 分布的卷积的方法，从而得到累积损 失分布。一般而言，卷积的运算相对 复杂， 当保单组合较大时，进行卷积
运算是不现实的。计算累积损失分布 的一些简单方法中正态近似法最为盛 行。当正态近似法不奏效时，可利用 适当变换，如NP变换等。对于集体风 险模型，当损失次数分布为泊松分布、 二项分布、几何分布或负二项
，
的威布尔分布，则其分布
函数和密度函数分别为：
F (x) 1 e x , f (x) x e 1 x ,
0, 0, x 0.
E( X ) 1/ ( 1 1).
3. 累积损失模型 累积损失直观地说就是损失金额按损 失次数相加而得到的总和。但这里考 虑的问题具有随机性，需要得到相应 的累积损失模型，这是由损失次数分 布和损失金额分布合成的复杂分布。
而仅以赔款为基础，也可以包括直接理赔费
用。赔款可以是已付的、已报案的或预测的
最终赔款，相应地，索赔次数也可以是已付 的、已报案的或预测的最终索赔次数。
8.纯保费：是指保险公司对每一风险单位的平 均赔款金额，可以表示为么个风险单位与索
赔频率与索赔强度的乘积。保费是纯保费加 上费用和利润附加所得。
9.赔付率：是赔款与保费之比。 10.分类费率：是对个体风险进行分类的基础 上所厘定的费率。
中，保险的标的一般是相应风险造成 的损失。然而，各种非寿险险种对应 的损失的分布规律并不像寿险中的生 命表那样业已阐明，需要利用概率论 和数理统计的随机不确定性方法加以 探索和近似表述，这是非寿险精算与 寿险精算的显著区别，也是非寿险精 算相对较难的主要原因。非寿险精算 的主要任务是建立风险损失的分布规 律模型，通过费率厘定来制定保险保
分布时，还可以用Panjer迭代计算累积 损失分布。
15.2 车辆保险 车辆保险属于非寿险的财产保险险种， 它的保险标的自然是车辆损失（车损） 和第三方人身伤害及财产损失。除此之 外，还可有附加的标的，如全车盗抢、 玻璃单独破碎、车身划痕、冰雪灾害、 地陷、增加新设备损失等等。
车辆保险是我国财产保险业务中占比 最大的保险险种，是保险公司的重点 发展领域。产品制度和费率制度是制 约车辆保险业发展的两个主要因素。 车辆保险的费率制度一般实行分类费 率。同时也结合经验费率。以下我们 分别结合车辆保险介绍分类费率和经 验费率。 一、分类费率 1. 分类变量
Var( X
)

(
2 1)2 (

2)
,

2
帕累托分布具有性质：
（1）帕累托分布总是右偏的，众数恒 为0. （2）帕累托分布乘以正数后，仍然是 帕累托分布，第二个参数乘以该正数。
（3）如果均值保持不变，当第一个参
数无限增大时，帕累托分布收敛到参 数为均值倒数的指数分布。
威布尔分布：设损失金额服从参数为
费，根据具体风险损失进行理赔额的厘定等。
各种非寿险精算的险种所对应的风险损失的分布 规律简称损失模型。在此，我们将风险损失看成 非负随机变量，如一辆轿车在一年内由风险事故 造成的车体受损次数是一随机变量，同时受损造 成的经济损失金额额度也是一个随机变量。再如 森林火灾次数和火灾经济损失金额额度都是随机 变量。利用概率论中随机变量的理论是可以给出 上述损失变量的概率分布规律的。
20000 20000 40000 0.10
概率
B 0.70 0.20 0.06 0.04 0.70 0.20 0.06 0.04 0.70 0.20 0.06 0.04
AB 0.42 0.12 0.036 0.024 0.21 0.06 0.018 0.012 0.07 0.02 0.006 0.004
0
2000 2000 0.60
0
20000 20000 0.60
2000 0
2000 0.30
2000 200
2200 0.30
2000 2000 4000 0.30
2000 20000 22000 0.30
20000 0
20000 0.10
20000 200
20200 0.10
20000 2000 22000 0.10
2.一些重要的随机变量及其分布的回 顾：泊松（Possion）分布、二项分布、 负二项分布、几何分布、指数分布、
对数正态分布、伽马分布、帕累托分 布、威布尔分布等；
3.一些随机变量重要统计数字特征回 顾：数学期望、方差、标准差、变异 系数、偏度系数。
4.费率厘定：根据保险标的的经验损 失数据和其他相关信息建立模型，并 对
需要对个体进行分类，将具有近似相 同期望损失成本的个体归为一组，而 后去厘定该组的费率，并假设厘定出 的费率适用于该组的全体成员。风险 分类在个体风险数量庞大且近似特征 较多的险种中十分有用，特别在汽车 保险和家庭财产保险领域有用。应注 意的是分类的类别数不能过大。 1.1 分类变量的选择 （1）精算因素
对数正态分布（见教科书）； 伽马分布（见教科书）； 帕累托分布：设损失金额服从参数为(, ) 的帕累托分布，则其分布函数和密度
函数分别为：
F ( x)

1

x


,
f
(x)

(x ) 1
.
其中，x与两个参数均大于零。 E( X ) , 1, 1
的索赔数，通常用总索赔次数与风险单位数的比 值进行估计。如汽车保单组合在2010年有5000 个车年的风险单位数，而在该年发生的索赔次数 为800次，则在2010年每个风险单位的索赔频率 就是800/5000=16%. 7.索赔强度：是指一个风险单位每次索赔的金 额，通常用赔款总额与索赔次数之比进行估计。 在计算索赔强度时，可以不包括各种理赔费用，
累积损失模型主要有两种表现形式： 个体风险模型，集体风险模型。在个 体风险模型中，假设保单组合包含n份 保单，每份保单相互独立，其中第i份
保单在保险期间的损失金额是一个随 机变量X_i,则整个保单组合在保险期间
的累积损失S可表示为：S=X_1+X_2+….+X_n. 在集体风险模型中，将整个保单组合视为一个整 体，考虑其在保险期间发生的累积损失。该模型 假设保单组合在保险期间的损失次数是一个随机 变量N， 而第i次损失的金额是另一个随机变量 X_i, 其中每次的损失金额X_i独立同分布,则整个 保单组合的累积损失可以表示为： S=X_1+X_2+…+X_N. 通常将其分布称为复合
它的特点是基于人的生存规律，这一 规律已经由生命表表出，因此，它的 理论和方法十分成熟。
非寿险精算学泛指寿险精算以外的其 他保险的精算问题研究，这些保险包 括财产保险、医疗保险、健康保险、 人身意外伤害保险、社会保险等。在 财产保险中又包括房屋建筑物保险、 车辆保险、火灾保险、海上保险、航 空保险等等。在上述非寿险的保险
(9)投保年度:首年投保,续保. (10)车型:奥迪A4,奥拓,大众桑塔纳,东风 本田,尼桑等 (11)行驶区域:中国境内,本省内或单程 500公里以内. (12)防盗装置: 有GPS防盗装置,无GPS 防盗装置。
(13)装卸货物: 化工易燃易爆品,建筑材 料,其他. (14)年行驶里程数:平均年行驶里程数
其未来的保险成本进行预测。费率由 纯保费、费用附加和利润附加三部分
构成。 5.风险单位：是对风险进行度量的基本 单位，也是费率厘定的基本单位。不同 险种有不同的风险单位。以汽车保险为
例一个风险单位通常指“一个车年”， 为
一辆汽车提供一年期的保险的汽车保险 单就是一个风险单位，而为5辆汽车提供
年期保险的汽车保险单就是2.5个风险单位。 6.索赔频率：是指在一定时期内每个风险单位
分布， 相应的复合分布的名称采用损 失次数分布的名称，如，当损失次数
的分布为泊松分布时，相应的复合分布称为 复合泊松分布；当损失次数分布为负二项分 布时，相应的复合分布称为复合负二项分布。 复合分布的表达一般比较复杂，涉及大量计 算，其已超出本科生课程讨论范围。 在此，仅仅以简单的例题来说明累积损失分 布的计算问题。 例 假设某保险公司签发了两份保单A和B,每
11.经验费率：是根据个体风险的历史索赔经 验
所厘定的费用。包括信度模型和奖惩 系统。
二. 损失模型 损失模型又可以称为索赔模型，因为保 险损失发生实际上等价于索赔发生。损 失模型即是损失随机变量的分布。通常 将损失模型分为损失次数（索赔次数） 模型和损失金额（索赔额）模型以及累 积损失模型三种。
累积损失的分布
累积损失 0 200
2000 2200 4000 20000 20200 22000 40000
概率 0.420 0.120 0.246 0.060 0.018 0.094 0.020 0.018 0.004
累积概率 0.420 0.540 0.786 0.846 0.864 0.958 0.978 0.996 1.000
1. 损失次数模型
根据各类风险事故发生的特点可以分类建立相应 的损失次数模型，常见的有： 稀有事件模型，即泊松分布； 在损失发生一定次数r的情况下还有可能发生k次 的概率模型，负二项分布； 在n个保单中有k次损失发生的概率模型，二项分 布； 两类保单中一类保单发生损失k次时另一类保单
才发生一次损失的概率模型，几何分 布。
份
保单可能发生的损失金额及相应的概
率如下表所示，试求保险公司在这两 份保单上的累积损失及其相应概率。
A
损失额
概率
0
0.60
2000
0.30
20000
0.10
损失额 0
200 2000 20000
B 概率 0.70 0.20 0.06 0.04
累积损失
A
B
A+B
A
0
0
0
0.60
0
200
200
0.60
分类变量是指个体风险的一些基本风 险特征，根据这些特征，可以将风险
集合区分为若干风险子集，属于同一个 风险子集的个体风险具有近似相同的潜 在损失。分类变量可以是数量的，也可 以是属性指标。在汽车保险中，可根据 投保人的性别、驾驶年龄、汽车的行驶 区域、车辆类型、使用性质等对投保人 进行分类。 当估计个体费率的有效数据不足时，就