贝努利(Bernoulli)-模型
概率论与数理统计(chapt1-6 n重贝努利试验)
设A:恰好4次命中，B:至少4次命中，C:至多4次命中
（1） P( A) P5( 4) C54 0.840.2 0.4096
（2） P( B) P5( 4) P5( 5)
C
4 5
0.840.2
C
5 5
0.85
0.7373
（3） P(C ) 1 P(C) 1 P5( 5)
1
C
5 5
n重贝努利（Bernoulli ）试验的例子 1.已知在指定时间内某十字路口的事故率为p，现在此 时间段内对经过的n 辆机动车进行观察 每辆车是否经过这个十字路口是相互独立的，而且观
察结果有且只有这是一个贝努利试验
2.某射手每次射击命中目标的概率都是 p，现对同一目 标独立射击 n 次，观察射击结果 此射手独立射击n次，每次射击命中目标的概率都 是p，所以这n次射击构成独立试验序列，每次射击
比如 s 3, a 1, b 1 则再赌3局必分胜负
P{甲赢} P{X 2} P{X 2} P{X 3}
C32
(1)2 2
1 2
C33
( 1 )3 2
1 2
又如 s 3, a 1, b 2
则再赌2局必分胜负
P{甲赢}
P{X
2} C22
( 1 )2 2
1 4
第一章 小 结
设事件A：10件中至少有两件次品，则
10
p( A) p10 (k) 1 p10 (0) p10 (1) k 2 1 0.9610 C110 0.04 0.969 0.0582
（2）设事件B：前 9 次中抽到 8 件正品一件次品； 事件C：第 10 次抽到次品，则所求概率为
P(BC) P(B)P(C)
0.1 0.4 0.7
不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式
不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。
这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。
下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。
二、典型例题：例1、若n 是自然数，求证.213121112222<++++n证明：.,,4,3,2,111)1(112n k k k k k k=--=-< ∴n n n ⋅-++⋅+⋅+<++++)1(13212111113121112222=)111()3121()2111(11n n --++-+-+=.212<-n注意：实际上，我们在证明213121112222<++++n的过程中，已经得到一个更强的结论n n1213121112222-<++++ ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。
例2、求证：.332113211211111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n证明：由,212221132111-=⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⨯k k （k 是大于2的自然数）得n⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++ 32113211211111 .3213211211121212121111132<-=--+=++++++<--n nn例3、若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a证：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++∵a , b , c , d ∈R + ∴1=+++++++++++++++>c b ad db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd d d c c b a b b a a m∴1 < m < 2 即原式成立。
贝努利家族简介
贝努利（Bernoulli）一译“伯努利”.瑞士的一个产生过11个数学家的家族.其中比较著名的有：雅科布·贝努利Jocob Bernoulli1654—1705青年时根据父亲的意愿学习神学，曾获巴塞尔大学文学硕士和神学硕士学位.同时怀着强烈的兴趣研习数学和天文学.1687年起任巴塞尔大学教授，在多方面作出重要贡献.首先发展了无穷小分析，和莱布尼茨共同获得微积分学中的不少成果，积分“integral”这一术语即由他首创.对无穷级数理论和常微分方程的积分法也有贡献.运用新的观念研究一系列曲线的性质，1690年提出悬连线问题，1694年讨论了后来由他的姓氏命名的“贝努利双扭线”，还研究了对数螺线.与其弟共同奠定了变分法的基础，提出并部分解决了等周问题和最速降落线问题.对概率论也有深入的研究，提出了大数法则的“贝努利定理”，建立了描述独立试验序列的“贝努利概型”.约翰·贝努里Johann Bernoulli1667—1748雅科布之弟.巴塞尔大学医学博士.历任荷兰格罗根大学和巴塞尔大学教授.曾被选为法兰西科学院院士和英国皇家学会会员.在微积分学、微分方程论、变分法、几何学和力学等方面都有贡献.首先将函数概念规定为由变量和常量组成的解析表达式.1696年提出最速降落线问题，与其兄雅科布一起奠定了变分法的基础.1715年给出空间坐标的定义，研究了多种特殊曲线.1742年出版《积分学教程》一书，系统的阐述了微积分学.尼古拉·贝努里Nicolaus Bernoulli1695—1726约翰·贝努里的长子，欧拉的挚友.1695年1月27日出生于巴塞尔，1725年与其弟丹尼尔同时被接纳为俄国彼得堡科学院的数学教授.1726年7月26日在彼得堡溺水而死.他虽然早逝，在数学上也有贡献.他提出了概率论中的“彼得堡悖论”，对三次曲线也有较深的研究.1713年还曾印行其伯父詹姆士·贝努里的级数讲义.丹尼尔·贝努里Daniel Bernoulli1700—1782约翰的次子.巴塞尔大学医学博士.1725~1733年去俄国彼得堡科学院任教，后回国任巴塞尔大学教授.英国皇家学会会员.在代数学、概率论和微分方程等方面都有重要成果.在概率论中引入正态分布误差理论，发表了第一个正态分布表.在研究弦振动问题时，首次利用三角级数求解偏微分方程.1738年导出理想流体定常运动方程，现被称为“贝努里方程”.著有《流体动力学》等.由于在数学和物理学方面的杰出成就，曾十次获得法兰西科学院的嘉奖.。
第五节 n重贝努利概型
4 4 16
0.218
例2、对同一目标进行射击，设每次射击的命 中率均为0.23，问至少需进行多少次射击， 才能使至少命中一次目标的概率不少于0.95？ 解：设需进行n次射击，才能使至少命中一次 目标的概率不少于0.95．
B={ n次射击至少命中一次目标 } 进行n次射击，可看成是一n重Bernoulli试验 A = { 命中目标 } P B 1 则有
Bernoulli 试验的例子 掷一枚硬币，只有“出现正面”与“出现反面” 两种结果，因此“掷一枚硬币”可看作是一次 Bernoulli试验． 掷一颗骰子，有六种结果．但如果我们只关心 “出现六 点”与“不出现六点”这两种情况， 故“掷一颗骰子”也可以看作是Bernoulli试验．
对同一目标进行一次射击，若只考虑“击中 目标”与“未击中目标”两种情况，则“同 一目标进行一次射击”是Bernoulli试验． 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数， 若只考虑“至少通过100辆车”与“至多通 过99辆车”这两种情况，这也是Bernoulli 试验．
A1 A2 An k An k 1 An
右边每一项都是n重贝努利试验的一个结果， 表示在某k次试验中发生，而在另外n-k次试 验中不发生，这种两两互不相容的事件共有 k Cn 个
由试验的独立性
P ( A1 A2 Ak Ak 1 A n ) P( A1 ) P ( A2 ) P ( Ak ) P ( Ak 1 ) P ( An ) p (1 - p)
⑵ 由于新药无效，则 P A 0 .25 此时若肯定新药，只有在试验中至少有4 人痊愈．因此
P 肯定新药
i C 10 0 .25 i 0 .75 10 i i4 10
概率论1.4贝努利公式
1、A、B相互独立， P( A) 0, P( B) 0, 则一定有 P( A B) （
A.
P( A) P( B)
）.
B. P( A) P( B)
C. 1 P( A) P( B)
D. 1 P( A) P( B)
2、甲乙两人独立破译密码，若他们各人译出的概率均 为0.25，则这份密码能破译的概率为( ). 3、若A、B相互独立， P( A) 0.5, P( B) 0.6, 则 P( A B) （ ）. A. 0.9 B. 0.7 C. 0.2 D.0.1 4、A、B为两个随机事件，若A，B之积为不可能事件， 则称 A. A与B 相容 B. A与B互不相容 C. A与B 互为独立 D. A与B为样本空间的一个划分
（2）家庭中有三个小孩。 解 情形（2）的样本空间为
Ω ={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男） （男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}
6 1 3 P( A) , P( B) , P( AB) 8 2 8
此种情形下，事件A、B是独立的。
定理
下列四组事件，有相同的独立性：
P( B)
贝叶斯公式 Bayes’ Theorem
设A1，A2，…, An构成完备事件组，且诸P（Ai）>0)
B为样本空间的任意事件，P（ B） >0 , 则有
P ( Ak | B )
P ( Ak ) P ( B | Ak )
P( A ) P( B | A )
i i i 1
n
证明
P ( Ak B ) P ( Ak B ) P( B)
（2）家庭中有三个小孩。
解 情形（1）的样本空间为 Ω ={（男男），（男女），（女男），（女女）}
货币效用函数辨析
货币效用函数辨析内容摘要：货币的边际效用递减理论源自于著名数学家Daniel Bernoulli（1738）为解决“圣彼得堡悖论”而提出的效用函数解决方案。
然而，王文辉在《圣彼得堡悖论新解与不确定性估值》中证明了Bernoulli的效用函数解决方案是不成立的，因此，货币的边际效用递减是颇值得怀疑的。
本文对传统效用理论进行了更深入的分析和阐述，得到了一个效用函数族，并且首次提出了“效用阈限漂移”现象。
进而通过理论和实验两方面证明了货币的边际效用并非是单调递减的，而且效用函数与人们的风险偏好没有任何关系，从而纠正了微观金融经济学基础理论中长期存在的误区，为新的研究开辟了方向。
关键词：边际效用，效用函数，风险偏好，风险厌恶1.传统效用及效用函数理论回顾1.1贝努利与圣彼得堡悖论――最初的肇始著名数学家丹尼尔.贝努利（Bernoulli, D. 1738）于1738年提出了货币的边际效用递减理论，其目的在于解决“圣彼得堡悖论”。
“圣彼得堡悖论”来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏。
设定掷币掷出正面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金2元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金4元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。
如果第n次投掷成功，得奖金2n元，游戏结束。
由于各个结果之间是相互独立的，因此游戏的期望收益为所有可能结果的得奖期望值之和：1111 ()2482 2482n nE=⨯+⨯+⨯++⨯+这是无数个1求和，等于无穷大。
由于游戏的次数没有限制，该游戏的数学期望值是无限的。
问题是人们对于参加这样一个理论上收益的数学期望无穷大的‘游戏’会支付多少费用呢？试验表明，大多数人只准备支付几元参加这一游戏。
人们对参与这种游戏所愿支付的有限费用与其无穷数学期望之间的矛盾就构成了所谓的“圣彼得堡悖论”。
贝努利对于这个问题给出一种解决办法，他认为人们真正关心的是货币的效用而非它的价值量；而且额外货币增加提供的额外效用，会随着奖励的价值量的增加而减少，即后来广为流传的“货币边际效用递减律”。
贝努利方程的另一种求解法
9(μΜ 9y
)
=
9(μN 9x
)
收稿日期 : 2010- 06 - 271修回 : 2010 - 09- 15 作者简介 : 杨显中 ( 1963 - ) ,男 ,重庆人 ,副教授 ,学士 ,主要从事概率与数理统计、常微分方程研究
第 12期 杨显中 ,王学荣 : 贝努利方程的另一种求解法
第 10 卷第 12期 Vo l. 10, No. 12
宜宾 学 院 学报 Jou rnal of Yibin Un iversity
2010年 12月 Dec. , 2010
贝利方程的另一种求解法
杨显中 ,王学荣
(四川化工职业技术学院 ,四川泸州 646005)
摘要 : 贝努利方程通常用常数变易法或变量替换法求解 ,这两种方法虽然简单 ,但较繁琐 . 通过积分因子 方式 ,可将贝努 利方程化为全微 分方程 ,从而达 到化难为易的目的. 关键词 : 全微分方程 ;积分因子 ;贝努利方程 中图分类号 : O175122 文献标志码 : A 文章编号 : 1671- 5365 (2010) 12- 0042- 02
(2)
为全微分方程 , 则称 μ( x, y)为方程 ( 2) 的一个积分因子.
可以证明 , 只要方程有解 ,则 必有积分因 子存在 ,但积 分因子不唯一 [1 ].
如全微分方程
ydx -
xdy = 0,易知
1 x2
,
1 y2
等
都是其积分
因子 .
下面介绍积分因子的求解法 .
由定理 1知 ,方程 ( 2) 是全微分方程 ,则必须满足 :
由此例可看出 , 如果一 个 微分方 程是 全微 分方 程 ,则 很容易求出其 通解 . 因 此 , 能否 将一 个非全 微分 方程 化为
函数的趣事
把每条曲线看作一个变量，进而在每条曲线上所用时间便 是曲线的函数，这就是泛 函。类似于微积分求最大最小值
的办法，把微积分推广到一般函数空间去，这就是【变分
法】。不过变分法真正成为一门理论还要属于约翰的弟子 欧拉和法国的拉格 朗日。贝努力家族对数学最大的贡献还
不是在数学本身，而是发现了欧拉。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
» 复变函数论里的欧拉公式e^ix=cosx+isinx
» 分式里的欧拉公式：a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(bc)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)
» 三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆 半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距 离，则： d^2=R^2-2Rr
• 作为他心算能力的一个例证，孔多塞(N.C.deCondorcet)谈到，欧拉的两个 学生对一个复杂的收敛级数(就变量的一个特定值)做前17项的求和，结果 只是在第50位上相差一个单位数。为了判定哪个对，欧拉使整个心算了一 遍，人们肯定他的答案是正确的。这种能力现在帮助了欧拉，使他少受失 明之苦。但即使如此，他失明17年间有一个成就也是令人难以置信的。这 就是月球运行的理论－－唯一的一个使牛顿都感到头疼的问题－－在欧拉 手里第一次得到透彻的研究。整个复杂的分析过程完全是在他的头脑中进 行的。 欧拉回到圣彼得堡五年后，又一场灾难落到他的头上。在1771 年的大火中，他的房子及全部家具都烧掉了。只是靠了瑞士仆人彼得．格 里姆的英勇，欧拉才幸免于难。格里姆冒着生命危险把有病的盲主人从大 火中数了出来。藏书烧了，多亏奥尔洛夫伯爵，欧拉的全部手稿得以保全。 叶卡捷琳娜女皇立即补偿了欧拉的全部损失，他很快又投入了工作。 1776年(即他69岁时)欧拉遭受了更大的损失，他的妻子死了。第二年，他 再次结婚。第二个妻子，萨洛姆．艾比格尔，格塞尔(SalomeAbigailGsell) 是第一个妻子的异母姊妹。他的最大不幸是恢复左眼视力手术的失败(可 能是由于外科医师的疏忽)，那本来是唯一有点儿希望的眼睛。手术是"成 功的"，欧拉高兴了一阵子。但是不久感染就开始了，经过一段他描述为" 可怕的"痛苦之后，他又重新坠入了黑暗之中。 回过头来浏览一下欧 拉浩繁的著作。初看起来，我们可能倾向于认为任何有才华的人都能差不 多像欧拉一样容易地做出它的大部分。可是比照数学在今天的情况做一番 考察，很快就会纠正我们的错误想法。考虑到现在供我们使用的方法的力 量，那么目前数学各种理论一团乱麻般的状态就丝毫不比欧拉面对的更为 复杂。对今天的欧拉式人物来说，数学是已经成熟的。欧拉在他那个时代， 运用分析方法的力量奠定基础，整理有价值的东西，从而系统化和统一了 被局部成果和孤立法则弄乱了的广大领域。直到今天，大学里数学课教的 许多东西实际上还是欧拉留下的。例如，以一般的二次方程所作的三维空 间中圆锥曲线和二次曲面的表述就是欧拉所留下的。还有年金问题及由此 派生的各种问题(保险费，养老金等等)也是由欧拉的研究而成为现在"投资 数学理论"学生所熟悉的这种样子的。
一、 贝努里概型和二项分布
下面给出正式求解过程： 解：设X为300台设备同时发生故障的台数， X~B(n,p)，n=300, p=0.01 设需配备N个维修人员， 所求的是满足 P(X>N) < 0.01的最小的N. P(X>N) =
k C300 (0.01) k (0.99)300−k ∑+1 k =N n大,p小,np=3, 用λ =np=3 的泊松近似 k −3 ∞ 3e ≈ ∑ k = N +1 k! 300
P( X =k )=C (0.8) (0.把观察一个灯泡的使用 2) , k = 0,1,2,3
k 3 k
3− k
时数看作一次试验, P(X ≤1) =P(X=0)+P(X=1) “使用到1000小时已坏” 视为“成功”.每次试验, )3+3(0.8)(0.2)2 =(0.2 “成功”的概率为0.8
泊松分布的图形特点：X~P( ) λ
请看演示
泊松分布
二、二项分布与泊松分布 历史上，泊松分布是作为二项分布的近 似，于1837年由法国数学家泊松引入的 . 近数十年来，泊松分布日益显示 其重要性,成为概率论中最重要的几 个分布之一. 在实际中，许多随机现象服从或近 似服从泊松分布.
我们把在每次试验中出现概率很小的事 件称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等
n −k
=e
−λ
λ
k
k!
, k =0,1,2,LL,
等式右端给出的概率分布，是又一种重要 的离散型分布： 泊松分布
一、泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
P ( X = k ) =e
−λ
λ
k
用数学归纳法证明不等式举例
第17页/共39页
【自主解答】 当n＝1时，1＋1 1＋1＋1 2＋3×11＋1>2a4， 则2264>2a4， ∴a<26. 又a∈N*， ∴取a＝25.
第18页/共39页
下面用数学归纳法证明n＋1 1＋n＋1 2＋…＋3n1＋1>2254.
(1)n＝1时，已证．
(2)假设当n＝k时(k≥1，k∈N*)，
(1)当n＝2时，S22＝1＋
1 2
＋
1 3
＋
1 4
＝
25 12
>1＋
22，
即n＝2时命题成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即S2k＝1＋
1 2
＋
1 3
＋…＋21k>1＋2k.
第5页/共39页
当n＝k＋1时， S2k＋1＝1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋…＋2k1＋1 >1＋2k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k1＋1 >1＋2k＋2k＋2k 2k＝1＋2k＋12＝1＋k＋2 1. 故当n＝k＋1时，命题也成立． 由(1)、(2)知，对n∈N*，n≥2，S2n>1＋n2都成立．
不等式1<an<1－1 a成立．
第15页/共39页
(2)假设n＝k(k≥1 ，k∈N*)时，命题成立，即1<ak<1－1 a. 当n＝k＋1时，由递推公知，知 ak＋1＝a1k＋a>(1－a)＋a＝1， 同时，ak＋1＝a1k＋a<1＋a＝11－－aa2<1－1 a， 因此当n＝k＋1时，1<ak＋1<1－1 a，命题也成立． 综合(1)、(2)可知，对一切正整数n，有1<an<1－1 a.
1．贝努利(Bernoulli)不等式
贝努利-欧拉梁与铁木辛柯梁的对比研究
贝努利-欧拉梁与铁木辛柯梁的对比研究摘要：本文介绍了贝努里-欧拉（Bernoulli-Euler）梁和铁木辛柯（Timoshenko）梁理论，讨论了它们的基本假设，运用Mathematica软件推导了两者的运动方程，分析了贝努里-欧拉梁和铁木辛柯梁的不同之处，并通过一个简单的算例，运用ANSYS有限元分析软件计算了细长梁和短梁分别用贝努里-欧拉梁理论和铁木辛柯梁理论时的挠度，对两者的不同之处进行对比与分析。
关键词：贝努里-欧拉梁；铁木辛柯梁；Mathematica；ANSYSComparative Study on Theories of Bernoulli-Euler beamand Timoshenko beamAbstract: This article firstly introduces the theories of Bernoulli-Euler beam and Timoshenko beam, and their basic assumptions. Then motion equation of the two beams is derived by the software of Mathematica. Last analyzing the difference between Bernoulli-Euler beam and Timoshenko beam by an example which calculates the deflection of the slender beam and short beam with the theories of Bernoulli-Euler beam and the Timoshenko beam by the finite element analysis software of ANSYS, the difference between the two beams is also compared and analyzed.Key words：Bernoulli-Euler beam; Timoshenko beam; Mathematica; ANSYS1引言现今应用中的梁理论主要有：（1）精确的弹性方程；（2）Bernoulli-Euler-梁理论；（3）Timoshenko 梁理论。
贝努里概型
概率论
一般地，有如下的定理： 定理1 (贝努里定理)设一次试验中事件A发生的概率
为p，(0<p<1),则n重贝努里试验中，事件A恰好发生 k次的概率Pn (k)为
k Pn ( k ) = Cn p k q n −k ,( k = 0,1,..., n )
n
n
此式刚好是二项式(p+q)n 的展开式中的第 的亦称为二项概率公式。
例1 有一批棉花种子，出苗率为0.67，现每穴播六 有一批棉花种子，出苗率为 ， 求解下列问题： 粒，求解下列问题： (1) 恰有 粒种子出苗的概率； 恰有k粒种子出苗的概率 粒种子出苗的概率； (2) 至少有一粒出苗的概率； 至少有一粒出苗的概率； (3) 要保证出苗率为 要保证出苗率为98% ，应每穴至少播几粒？ 应每穴至少播几粒？ 解 恰有 粒种子出苗的概率为 恰有k粒种子出苗的概率为
4 = C3 0.630.42 + C5 0.640.4 + 0.65 =0.6826 5
在三局两胜赛制中，甲获胜的概率为 P3(2)+P3(3)
2 = C3 0.620.4 + 0.63 =0.648
甲应选择五局三胜制。
贝努里（ §1.6 贝努里（Bernoulli)概型 概型
概率论
则事件A、 相互独立 相互独立。 若P(AB) = P(A)P(B) ，则事件 、B相互独立。 在重复试验中，每次试验结果互不影响， 如果 在重复试验中，每次试验结果互不影响，也就 是说各次试验结果发生的概率互不影响， 是说各次试验结果发生的概率互不影响，称这类试验 是独立的。 是独立的。如： (1) 一枚硬币抛 n 次； (2) 一次抛 n 枚硬币； 枚硬币； (3)有放回地抽样：10件产品中有 件次品，从中任 有放回地抽样： 件产品中有 件次品， 件产品中有3件次品 有放回地抽样 取一件，取后放回，连取三次。 取一件，取后放回，连取三次。 1. n重独立性试验 若E可以在相同的条件下重复进 重独立性试验 可以在相同的条件下重复进 各次试验的结果相互独立， 行 n 次，各次试验的结果相互独立，则称这 n 次试验 是独立的， 重独立试验（独立试验序列） 是独立的，或称 n 重独立试验（独立试验序列）。
微积分创立和发展的人物
微积分创立和发展的人物微积分是数学中的重要分支，它的创立和发展历程离不开众多杰出的数学家的贡献。
以下是一些重要人物的简介。
1. 狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet，1805-1859）狄利克雷是19世纪初微积分分析的开拓者之一。
他创立了函数论，并深入研究了傅里叶级数的收敛性、调和函数的性质、无穷级数、特殊函数等问题。
他的工作对微积分的发展产生了重要影响。
2. 欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）欧拉是18世纪欧洲著名的数学家，创立了微积分中的许多重要概念和方法。
他发展了微积分中的符号表示，如微分符号“dy/dx”、“∫”等，还研究了无穷级数、复变函数、数论、力学等领域的问题。
3. 勒贝格（Henri Lebesgue，1875-1941）勒贝格是20世纪著名的数学家，他对实变函数理论的发展作出了杰出贡献。
他提出勒贝格积分的概念，将微积分中的Riemann积分推广为更一般的形式。
勒贝格积分也为测度论和概率论的发展奠定了基础。
4. 约翰·贝努利（Johann Bernoulli，1667-1748）贝努利兄弟是17世纪微积分学的创始人之一。
约翰·贝努利的主要成就在于开拓了微积分的新领域，提出了微分方程的概念，还发现了一些微积分中的重要定理，如极值定理、积分中值定理等。
5. 纳皮尔（Richard Courant, 1888-1972）纳皮尔是20世纪微积分的发展推动者之一。
他是数学教育改革的倡导者，主张将微积分的学习与应用紧密结合。
他还创立了数学物理学研究所，并对微分方程、变分法、偏微分方程等方向做出了杰出贡献。
6. 韦尔斯（J. Willard Gibbs，1839-1903）韦尔斯是美国19世纪末微积分的开创者之一，他在热力学和物理化学的研究中发展了微积分的几何形式。
他将矢量分析与微积分相结合，创立了统计力学，并成为了世界著名的物理学家。
基于Simulink的平坦瑞利衰落信道的建模与性能分析
基于Simulink的平坦瑞利衰落信道的建模与性能分析作者：陈凯曹海燕汤丽梅来源：《无线互联科技》2014年第05期摘要：该文利用Simulink建立了平坦瑞利衰落信道仿真模型，分别给出无信道编码和有信道编码两种情况下的建模仿真与性能。
信道编码采用卷积码，译码算法采用Viterbi译码。
仿真结果表明：在无信道编码情况下，由于深度衰落的影响，平坦瑞利衰落信道的误码性能与信噪比成线性关系，这与理论分析结果相一致。
而基于卷积码的平坦瑞利衰落信道的性能在高信噪比有明显改善，但低信噪比改善有限。
同时，仿真中给出不同的约束长度的卷积码，仿真表明卷积码的约束长度越长性能越好。
关键词：瑞利衰落信道；卷积码；维特比译码；误码性能在无线通信信道环境中，电磁波经过反射折射散射等多条路径传播到达接收机后，总信号的强度服从瑞利分布[1]。
同时由于接收机的移动及其他原因，信号强度和相位等特性又在起伏变化，这种无线电信号传播环境的统计模型称为瑞利衰落。
瑞利衰落能有效描述存在能够大量散射无线电信号的障碍物的无线传播环境。
若传播环境中存在足够多的散射，则冲激信号到达接收机后表现为大量统计独立的随机变量的叠加，根据中心极限定理，则这一无线信道的冲激响应将是一个高斯过程。
如果这一散射信道中不存在主要的信号分量，通常这一条件是指不存在直射信号（LoS），则这一过程的均值为0，且相位服从0到2π的均匀分布[2]。
即，信道响应的包络服从瑞利分布。
设随机变量R，于是其概率密度函数为：其中，。
其概率密度分布曲线如图1所示。
Simulink是MATLAB最重要的组件之一，它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析的集成环境。
Simulink具有适应面广、结构和流程清晰及仿真精细、贴近实际、效率高、灵活等优点。
基于以上优点，Simulink已被广泛应用于控制理论和数字信号处理的复杂仿真和设计[4]。
同时，有大量的第三方软件和硬件可应用于或被要求应用于Simulink。
第六讲行为决策
三、心理帐户与行为决策
心理帐户是指人们将经济结果（其他资源）在心理 上分门别类的预算、编码、开支或储存。
由于心理帐户具有不可替代性，因此，在不同心理 帐户的支配下，行为决策也不同。
比如：意外之财容易被花费。
四、衡量能力与行为决策
在理性假设下的传统经济学认为，当两样物品有着相似 的质量，其中一件物品某一项指标更占优势，人们会认为 这件物品的价值更高(“优势原则”)。但是奚教授认为，人 们在现实生活中做决策的时候，并不是、也不可能通过逐 个比较来估计某件商品的真实价值，而是用某种容易评价 的线索来进行决策的，这就是“衡量能力”概念的形象表 述。
概括而言，“预期理论”有三个基本理论观点： (1)面临“获得”，人们倾向于“风险规避”； (2)面临“损失”．人们倾向于“追求风险”； (3)获得和损失是相对于“参照点”而言的。
推论1 如果改变人们在评价事物时候所使用的参照点，可以改变人们的风
险偏好，进而可以改变人们的行为决策。
假定一家公司面临两个投资决策的选择： 投资方案A 肯定盈利200万 投资方案B 50％的可能盈利300万，50％的可能盈利100万
有两个选择： A 、30％的可能性获得2000元 B 、70％的可能性获得1000元
这两个选择的期望值分别是600和700。那么根据期望值理论， 人们会选择B而不是A。这个理论重要假设：认为人们都是风险中立 的，即人们只考虑一个选择的期望值，而不考虑风险的大小。人们 是根据期望效益最大化的原则进行决策。
用价值论的有影响的代表人物。 庞巴维克的观点为： (1) 人的欲望及其满足是一切经济活动的出发点。 (2) 物品能满足人的欲望的这种性质就是物品的效用。
6、我们认为：
效用是指商品与服务有使人的欲望与需要得到满足的能力， 它表示在特定时期内消费一定数量商品时所获得的满足程度。
几种重要的概率分布性质
1 贝努里分布它的概率分布为：P{X=1}=p，P{X=0}=1-p它也称两点分布或（0-1）分布。
它描述一次贝努里实验中，成功或失败的概率。
2 二项分布P{X=k}=Cnkpk(1-p)n-k, k=0,1,…,n它描述n次贝努里实验中事件A出现k次概率。
3 几何分布P{X=k}=p(1-p)k-1, k=1,2, …它描述在k次贝努里实验中首次出现成功的概率。
几何分布有一个重要的性质-----后无效性：在前n次实验未出现成功的条件下，再经过m次实验（即在n+m次实验中）首次出现成功的概率，等于恰好需要进行m次实验出现首次成功的无条件概率。
用式子表达：P{X=n+m | X>n}=P{X=m} (试证明之）这种与过去历史无关的性质称为马尔可夫特性。
几何分布在我们下面讲的排队论中是非常重要。
它可以描述某一任务（或顾客）的服务持续时间。
4 泊松分布（Poisson）P{X = k} = λk e-λ/ k!k=0,1,2,…泊松分布是最重要的离散型概率分布之一，它作为表述随机现象的一种形式，在计算机性能评价中扮演了重要的角色。
5 指数分布它是一种连续型的概率分布，它的概率密度：f（x）=λe-λx x≥0f（x）=0 x<0它的分布函数：F（x）=1-e-λx x≥0指数分布的一个有用的性质是它的数学期望等于标准差：μx = σx = 1/λ在连续型随机变量中，只有指数分布具有无后效性。
即：若随机变量ζ服从指数分布，对任意的 s>0 ,t>0 ，有P{ζ>s+t|ζ>s}=P{ζ>t}在离散型随机变量中，只有几何分布具有无后效性。
这两种分布可以分别用来描绘离散等待时间和连续等待时间。
在排队理论和随机Petri网中，指数分布是很重要的。
在实际系统模型中，一般都要假定任务（或顾客）的到来是泊松分布的。
实践也证明：这种假设是有效。
6 k-爱尔朗分布f(x)=(λkx)n-1λke-λkx /(n-1)! x≥0f(x)=0 x<0k-爱尔朗分布的数学特征为：E[X]=1/λ;Var[X]=1/kλ2如果k个随机变量Xi，i=1，2，…,k,分别服从指数分布，那么随机变量X=X1+X2+ …+Xk服从爱尔朗分布。
证明不等式的基本方法----放缩法
证明不等式的基本方法----放缩法放缩法证明不等式案例分析徐州市第一中学王雪内容摘要,1、放缩法是证明不等式的常用方法。
放缩具有一定的技巧性,对学生知识和能力的要求都较高。
因此,本节选择了三个例题,重点使学生体会放缩法的基本思想,而不在于掌握各类问题的放缩技巧。
2、证明不等式难度大而且有些枯燥,如何提高学生的兴趣,吸引学生的注意力呢,可以从书后的链接入手,从贝努利不等式引出利用放缩法证明不等式。
3、本章是不等式选讲,书中的内容不宜挖的过于深入,可以着手处理学生比较熟悉的不等式类型,数列的,分式的等,。
关键词,贝努利不等式,放缩,添项,删项,基本不等式教学目标:(1)认识到利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法;(2)了解贝努利不等式与放缩法;(3)通过放缩法培养学生的思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力。
教材分析:1、放缩法是证明不等式的常用方法。
放缩具有一定的技巧性，对学生知识和能力的要求都较高。
因此，本节选择了三个例题，重点使学生体会放缩法的基本思想，而不在于掌握各类问题的放缩技巧。
2、证明不等式难度大而且有些枯燥，如何提高学生的兴趣，吸引学生的注意力呢,可以从书后的链接入手，从贝努利不等式引出利用放缩法证明不等式。
3、本身是不等式选讲，书中的内容不宜挖的过于深入，可以着手处理学生比较熟悉的不等式类型(数列的，分式的等)。
教学建议放缩时应注意应注意以下几点:(1)如果要证明左边小于右边，那么只能将左边放大(不能缩小)，或者将右边缩小(不能放大);如果要证明左边大于右边，那么只能将左边缩小(不能放大)，或者将右边放大(不能缩小)。
(2)放缩后所得的不等式必须是正确的。
如果放缩后的不等式不能够成立，那么表明放得太大或缩得太小了，需要修正。
(3)放缩后的式子应是易于化简、估计或求和的。
(4)放手让学生去做，去讨论，出现问题，解决问题，加深记忆。
教学过程:一、引入练习(教师)前面我们学习了一些证明不等式的方法，下面请大家动手完成这两个练习。
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3 贝努利模型应用及实验操作过程
• (1)双方各出3人，n=3 P(系队胜)= P3 (2)+ P3 (3)= P3 (2 ≤X ≤ 3) = (0.4)2(0.6)+ (0.4)3=0.3520 • (2)双方各出5人， n=5 P(系队胜)= P5(3)+ P5(4)+P5(5)=P5 (3 ≤X ≤ 5)=0.3174 P( )= • (3)双方各出7人， n=7 P(系队胜)= P7(4)+ P7(5)+P7(6)+P7(7) =P7 (4 ≤X ≤ 7)=0. 2898 • 以上计算表明双方各出3人对系队有利。由于校队比系队 实力强又假定每队队员的水平平均， 即使校队个别队员出 现失误， 但场次越多其他队员越有机会扭转局面。
4 贝努利模型思考题
• 思考题1：用平台模型进行计算，当n较大而概率p较小时， 思考题1 计算机运行较慢，而且可能出现错误（溢出错误和舍入误 差）。这时我们应该怎么办？ • 解： 解：可以通过泊松分布 泊松分布来对二项分布进行检验 测试检验 检验。 发现很接近，n越大和P越小，近似程度越好。
4 贝努利模型思考题
5 思考题补充
• 假设每个飞机引擎在飞行中出故障的概率为1-p,而且各引 擎是否出故障是相互独立的,如果有至少50%的引擎能正常 运行,飞机能成功地飞行,问p至少为多大时，4引擎飞机比2 引擎飞机模型中，贝努利模型的表达式不准确写成Pn(k)，准确应 该为Pn{X=k}。且模型实验中缺少具体的实验建模过程。 • 原模型思考题1中，给出的用泊松分布X~B(n,p)检验贝努 利模型的方法是对的，但是参考检验数据不准确，一般当 n ≥100，p ≤0.1时，可以使用这种方法，并且泊松分布的 λ=np并不要求一定等于1，只要满足n、p的取值条件，就 可使用下式来检验。 P{X=m}= • 原模型中，思考题3的解答有误，修改内容如前。
= =
3 贝努利模型应用及实验操作过程
• 例1：西南交通大学校乒乓球队与该机械系乒乓球队举行 对抗赛。显然校队的实力比系队的实力强，假定当一个校 队队员与一个系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6。 现校系两队商量比赛方式，提出三种方案进行比赛：(1)双 方各出3人；(2)双方各出5人；(3)双方各出7人。三种方案 均以得胜人数多的一方胜利。试问对系队来说，哪一种方 案最有利？ • 解： 解：不管各队出多少人，每场比赛只有两个结果：校队队 员取胜，或系队队员取胜。设各场比赛结果相互影响不大， 可视为相互独立，从而问题就为多重贝努利概型。设A={ 系队队员胜校队队员},则P(A)=1-0.6=0.4,从而有
3 贝努利模型应用及实验操作过程
• 所以将以上的数据带入模型可得如下结果。 • 点击概率分布 概率分布结果（部分）为：
3 贝努利模型应用及实验操作过程
• 点击图表 图表结果（部分）为：
3 贝努利模型应用及实验操作过程
• 点击概率计算 概率计算结果为：
• 根据平台操作得出的结果可以做出如下解释：任意时刻， 有10台织布机（所有织布机的1/3）同时停开的可能性为 15.3015%。表明这一事件的发生机率较小。
• 思考题2：某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2， 思考题2 求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。 • • • • 解：本例为3重贝努利试验，即试验次数n=3； 解： p＝{灯泡可使用1000小时以上}=0.2； 成功的次数2 ≤X ≤ 3 概率计算 数据带入模型进行操作，点击概率计算 得：
4 贝努利模型思考题
• 思考题3：三门火炮向同一目标射击，设三门火炮击中目 思考题3 标的概率分别为0.3，0.6，0.8．若一门火炮击中目标，目 标被摧毁的概率为0.2；若两门火炮击中目标，目标被摧毁 的概率为0.6；若三门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为 0.9．试求目标被摧毁的概率。 • 解： 解：本题为多个1重贝努利试验的组合 多个1重贝努利试验的组合。设三门火炮分别 为a、b、c， 事件A、B、C分别为{火炮a/b/c击中目标}， 则P(A)=0.3、P(B)=0.6、P(C)=0.8。由于此题中火炮击中目 标不一定摧毁目标，且每种情况摧毁的概率不同，故需分 三种情况讨论，设Mi为{目标被i门火炮击中并摧毁}，则 P{目标被摧毁}=P(M1)+P(M2)+P(M3)
4 贝努利模型思考题
• (1)目标被一门火炮击中摧毁 P(M1)=[P(A)P( )P( )+P( )P(B)P( )+P( )P( )P(C)]*0.2 =0.0664 • (2)目标被两门火炮击中摧毁 P(M2)=[P(A)P(B)P( )+P(A)P( )P(C)+P( )P(B)P(C)]*0.6 =0.2808 • (3)目标被三门火炮击中摧毁 P(M2)=[P(A)P(B)P(C)]*0.9=0.1296 • P{目标被摧毁}=P(M1)+P(M2)+P(M3) =0.4768
2 贝努利模型建模过程
• 设试验的结果只有两个 结果只有两个即A或 ，且P(A)=p，P( )=1-p=q， 独立地重复进行n次试验，在n重贝努利概型中事件A恰恰 出现K次的概率常称为二项概率，通常与实际情况相符， 这个概率常称为二项概率 二项概率，记为Pn {X=K}。 Pn{X=K} = ，k=0,1,…,n. (0<p<1) • 则有 Pn{A至少发生i次} = A至少发生i Pn{A至多发生i次} = A至多发生i
3 贝努利模型应用及实验操作过程
• 例2：某织布车间有30台自动织布机，由于检修、上纱等 各种工艺上的原因，每台布机时常停车。设各台布机的停 或开相互独立，且每台布机在任一时刻停车的概率为1/3， 试求在任一指定的时刻里有10台布机停开的概率。 • 解： 解：本例为30重贝努利试验，即试验次数n为30次； • p＝{每台布机在任一时刻停车}=1/3，但并不能说明所有 的布机每一时刻都有1/3台数停开。 • 成功的次数X=10
贝努利（Bernoulli ） 模型
目录
贝努利模型概述 贝努利模型建模过程 贝努利模型应用及实验操作过程 贝努利模型思考题 思考题补充 贝努利模型完善
1 贝努利模型概述
• 为纪念瑞士科学家雅各布·贝努利 雅各布·贝努利而命名。对随机实验中 某事件是否发生，试验的可能结果只有两个，这种只有两 个可能结果的实验称为贝努利试验 贝努利试验。 • n重贝努利试验 重贝努利试验：重复进行n次独立的贝努利试验，重复是 指各次试验的条件是相同的，它意味着各次试验中事件发 生的概率保持不变。独立是指是指各次试验的结果不互相 影响。基于n重贝努利试验建立的模型，即为贝努利模型 贝努利模型。 相互独立的事件上，如投硬币，新生儿性别等。 • 模型应用于相互独立
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