空间一点在轴上的射影
柱坐标与球坐标系
离组成的，即(r，φ，θ).注意求坐标的顺序为①到原点的距离r；②与z轴
正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.
2.柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中 的一部分建立起来的，空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表 示，(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在空间直角坐标 系中的竖坐标.
解答
(2)已知点 N 的柱坐标为(2，2π，3)，求它的直角坐标.
x＝ρcos θ，
解 由变换公式y＝ρsin θ，
得 x＝2cos π2＝0，y＝2sin 2π＝2，
z＝z，
故点N的直角坐标为(0,2,3).
解答
类型二 球坐标与直角坐标的互化
例 2 (1)已知点 P 的球坐标为4，34π，π4，求它的直角坐标；
柱坐标与球坐标系
学习目标
1.了解柱坐标系、球坐标系的特征. 2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系，并掌握坐标间 的互化公式. 3.能利用柱坐标、球坐标与空间坐标的转化解决相关问题.
思考
要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？ 答案 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离.
其到原点距离为 2 3－02＋2－02＋3－02＝ 25＝5.
12345
解析 答案
5 5.已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，φ，θ)，则tan φ＝__3___， tan θ＝__2__.
解析 如图所示，
tan φ＝
x2＋y2 z＝
35，tan
θ＝yx＝2.
12345
解析 答案
1.空间点的坐标的确定
解 由变换公式y＝ρsin θ，
z＝z， 得 x＝4cos π3＝2，y＝4sin π3＝2 3，z＝8. ∴点 P 的直角坐标为(2,2 3，8).
《向量在轴上的射影》课件
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投影长度
投影长度等于原向量长度 与它在轴上投影角度的正 弦值的乘积。
投影方向
投影方向与原向量在该轴 上的方向一致。
向量在轴上射影的计算方法
计算方法一
利用向量的点乘和叉乘运算，通 过计算原向量与给定轴向量的点 乘和叉乘，得到射影向量的坐标
。
计算方法二
利用向量的模长和夹角，通过计算 原向量在给定轴上的夹角和模长， 得到射影向量的模长和夹角。
向量的模
总结词
衡量向量的大小
详细描述
向量的模表示为$|overset{longrightarrow}{AB}|$，表示向量的大小或长度。 计算公式为$|overset{longrightarrow}{AB}| = sqrt{x^2 + y^2}$，其中x和y 是向量的坐标分量。
向量的表示方法
总结词
计算方法三
利用向量的投影矩阵，通过构造投 影矩阵，将原向量投影到给定轴上 ，得到射影向量的坐标。
CHAPTER
03
向量射影的性质
射影的长度
总结词
射影的长度等于向量在轴上的投影长 度。
详细描述
向量在轴上的射影长度等于向量与轴 的夹角的余弦值乘以向量的模长。这 个性质在计算射影长度时非常有用， 尤其是在解决物理和工程问题时。
射影的方向
总结词
射影的方向与轴的夹角等于向量与轴 的夹角。
详细描述
射影的方向与轴的夹角等于向量与轴 的夹角，这个性质决定了射影的方向 。在二维空间中，射影的方向可以通 过改变向量与轴的夹角来改变。
射影的平行与垂直
总结词
射影与原向量平行当且仅当向量与轴垂直；射影与原向量垂 直当且仅当向量与轴平行。
22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--1.3.1 空间直角坐标系
第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
课标要求
素养要求
1.在平面直角坐标系的基础上,了
解空间直角坐标系,感受建立空间
课 直角坐标系的必要性.
1.数学运算——会求空间中点的坐
标 2.会用空间直角坐标系刻画点的 标.
1
2
1
(
2
1
4
+ )
= ( + ) + ( − )
=
1
4
1
+
4
=
1
4
1
4
=
1
1
+
4
2
1
+
2
1
2
+ × 2 + × 3
+
3
,
2
1 1 3
所以点 的坐标为 ( , , ) .
4 2 2
1
+
2
4. 已知 {, , } 是空间的一个基底, { + , − , } 是空间的另外一个基底,
2, = 3, , 分别为 , 的中点,建立空间直角坐标系 ,则线段
1 1 3
( , , )
的中点 的坐标为_______________.
4 2 2
[解析] 令 轴, 轴, 轴正方向上的单位向量分别为 , , ,
因为 = + =
别以 , , 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、
坐标轴
轴、 轴，它们都叫做①__________________这时我们就建立了一个空间
射影几何学
在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。
通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。
通过同一无穷远点的所有直线平行。
德国数学家克莱因（图）在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群对几何学进行分类在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。
由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。
平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。
这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。
射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。
交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。
在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。
在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。
这两个图形叫做对偶图形。
在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。
这两个命题叫做对偶命题。
这就是射影几何学所特有的对偶原则。
在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。
同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。
研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。
如果就几何学内容的多少来说，射影几何学；仿射几何学；欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。
比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。
数学射影定理公式
数学射影定理公式数学射影定理是解析几何中的基本定理之一，它描述了一个点在一个几何体上的射影位置。
射影是一种将一个高维空间中的对象映射到一个低维空间中的技术，它在计算机图形学、计算机视觉和几何学中有广泛的应用。
射影定理的公式可以简单表示为：P' = P / Pz，其中P'表示点的射影位置，P表示点的三维坐标，Pz表示点在Z轴上的坐标。
这个公式可以用来计算点在三维空间中的射影位置，即将点投影到二维平面上。
在几何学中，射影定理主要用于计算点在投影平面上的坐标。
例如，我们可以使用射影定理来计算三维物体在投影平面上的阴影位置，从而实现逼真的渲染效果。
此外，在计算机视觉中，射影定理也可以用于计算相机在三维空间中的位置和姿态。
射影定理还有一些重要的性质。
首先，如果一个点在投影平面上的射影位置为P'，那么该点的任意倍数在投影平面上的射影位置也为P'。
其次，如果两个点在三维空间中的连线与投影平面平行，那么它们在投影平面上的连线也与投影平面平行。
射影定理的应用不仅限于几何学和计算机图形学领域，它还可以用于计算机视觉中的物体识别和姿态估计。
例如，当我们在图像中检测到一个物体时，我们可以使用射影定理来计算该物体在三维空间中的位置和姿态，进而实现对物体的准确定位和识别。
射影定理的公式简洁明了，但在应用中需要注意一些细节。
首先，由于射影定理涉及到除法运算，因此需要确保点的Z坐标不为零，否则会导致除零错误。
其次，射影定理只能用于计算点在投影平面上的射影位置，而不能用于计算点在其他平面上的射影位置。
数学射影定理公式是解析几何中的重要工具，它可以用于计算点在三维空间中的射影位置。
射影定理在计算机图形学、计算机视觉和几何学等领域有着广泛的应用，对于实现逼真的渲染效果和准确定位物体位置具有重要意义。
在应用射影定理时，需要注意除零错误和射影平面的选择，以确保计算结果的准确性和可靠性。
通过深入理解和灵活应用射影定理，我们可以在相关领域取得更好的研究和应用成果。
空间一点在轴上的射影
u 上的投影等于向量的模乘以 向量 AB 在轴 轴与向量的夹角的余弦： Pr ju AB | AB | cos
证
A
A
B
B
Pr ju AB Pr ju AB
B
u u
| AB | cos
定理1的说明：
(1) 0 , 射影为正； 2
( 2) , 射影为负； 2 ( 3) , 射影为零； 2
解 a 4m 3n p 4( 3i 5 j 8k ) 3( 2i 4 j 7k ) (5i j 4k ) 13i 7 j 15k ,
在 x 轴上的投影为a x 13 ,
M
O e
M
u
则向量 OM 称为向量 r OM在u轴上的分向量 .
设 OM e , 则称 为 向量 r 在轴 u上的射影.
记为 Pr ju r 或 (r )u
由此定义，设 a (a x , a y , az ), 则 a x Pr j x a , a y Pr j y a , az Pr jz a .
在 y 轴上的分向量为7 j .
Pr ju a Pr jua
补充例题 例 1 设 m 3i 5 j 8k ， n 2i 4 j 7 k ， p 5i j 4k ，求向量a 4m 3n p 在 x 轴 上的投影及在 y 轴上的分向量.
c
b
a
u
(4) 相等向量在同一轴上射影相等；
关于向量的射影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个） Pr j (a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
初中数学竞赛专题-第十九章 空间射影图的性质及应用
第十九章空间射影图的性质及应用【基础知识】空间中一点在某直线或在某平面上的射影,就是从该点向直线或平面所作垂线段的垂足．空间一条直线在一平面内的射影可能是一条直线,也可能为一点,因而空间两异面直线之间的距离,可以转化成两异面直线在某一平面的射影或是两条平行直线,或是一点与一条直线而求． 空间图形有如下一系列有趣的性质：性质1从空间一点向一个平面所引的斜线段中,斜线段相等其射影相等,斜线段较长的其射影也较长．反之亦真．性质2长度为l 的线段与其射影线段的长0l 有如下关系：0cos l l α=⋅．其中α为长度为l 的线段所在直线与射影线段所在直线的夹角．性质3长度为l 的线段在与其共面的两相互垂直的直线上的射影长1l ,2l 有如下关系式：22212l l l =+．注此式即为三角形中的勾股定理．性质4长度为l 的线段,与它在三条两两互相垂直的直线上的射影长1l ,2l ,3l 有如下关系式：2222123l l l l =++注长方体对角线长的公式是其特例．性质5长度为l 的线段AB 的两端点A ,B 分别属于一个角度为θ的二面角的两个半平面α与β,AB 与平面α所成的角为1θ,与平面β所成的角为2θ,点A ,B 到这个二面角的棱的距离分别为1l ,2l ,则 2112sin sin sin l l lθθθ==． 证明如图191-,设AC 垂直于二面角的棱,作AO β⊥于O ,则CO 为AC 在平面β上的射影,知ACO θ∠=又BO 为AB 在β上的射影,知2ABO θ∠=,于是 1sin sin AO AC l θθ=⋅=⋅,2sin sin AO AB l βθ=⋅=⋅故有112sin sin l lθθ=． 同理可得21sin sin l l θθ=．故2112sin sin sin l l lθθθ==．注若AB 与二面角的棱垂直时,上式即为三角形中的正弦定理．性质6设APB θ∠=()0πθ<<在平面M 的一侧,顶点M 在平面M 上,边PA ,PB 与平面M 所成的角分别为1θ,2θ（10θ≤,2π2θ<）,在平面M 上的射影分别为1PA ,2PA ,()110πA PB αα∠=<<,平面APB 与平面M 所成的二面角为π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,则1212cos sin sin cos cos cos θθθαθθ-⋅=⋅． 证明不妨设11AA BB <,PA a =,PB b =,过A 引11AC A B ∥,交1BB 于C ,则有222222111111111cos 22PA PB A B PA PB AC PA PB PA PB α+-+-==⋅⋅而222AC AB BC =-,2222cos AB a b ab θ=+-．21sin sin BC b a θθ=⋅-⋅,从而()()2222212cos sin sin AC a b ab b a θθθ=+---⋅()2221212cos cos 2cos sin sin a b ab θθθθθ=⋅+⋅--⋅．又11cos PA a θ=⋅,12cos PB b θ=⋅,由此印可证．性质7已知BAC ∠的两边与平面M 相交于B ,C 两点,点A 在平面M 内的射影为A ',且A ',B ,C 不共线．设直线AB 和AC 与平面M 所成的角分别为1θ,2θ,那么当且仅当1211sin sin cos 1cos cos BAC θθθθ⋅∠-⋅时,有cos BAC BA C '∠∠．证明如图192-,在Rt AA B '△中,222A A AB A B ''=-．图19-2A ′θ2θ1BCAM同理,222A A AC A C ''=-．在ABC △中,2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠．从而,在A BC '△中,2222cos cos 2A B A C BC AB AC BAC A A BA C A B A C A B A C '''+-⋅⋅∠-'∠==''''⋅⋅． 又1sin AA AB θ'=⋅,1cos A B AB θ'=⋅,2sin A A AC θ'=⋅,2cos A C AC θ'=⋅,从而 1211cos sin sin cos cos cos AB AC BAC AB AC BA C AB AC θθθθ⋅⋅∠-⋅⋅⋅'∠=⋅⋅⋅1212cos sin sin cos cos BAC θθθθ∠-⋅=⋅因此,有cos cos BAC BA C BAC BA C ''∠∠⇔∠∠1212cos sin sin cos cos sin BAC BACθθθθ∠-⋅⇔∠⋅()12121cos cos cos sin sin BACθθθθ⇔-⋅⋅∠⋅1212sin sin cos 1cos cos BAθθθθ⋅⇔∠-⋅．注（1）性质7中条件“A ',B ,C 不共线”可放宽为“A '与B ,C 都不重合”．（2）若已知BAC ∠的两边与平面M 相交于B ,C 两点,点A 在平面M 内的射影为A ',且A ',B ,C 不共线．令ABC α∠=, ACB β∠=,平面ABC 与平面M 所成二面角的大小为ϕ π02ϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,则当且仅当cos cot cot ϕαβ-⋅时,有BAC ∠BA C '∠．（此结论的证明可见《数学通报》2001年4期P22页）性质8在二面角的一个半平面上的任意多边形的面积S 与这个二面角度数π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的余弦之乘积,等于这个多边形在此二面角的另一个半平面上射影多边形的面积S '．即cos S S ϕ'=⋅．性质9设顶点P 在平面M 内,两边PA ,PB 分别与M 在同侧所成角为1θ,2θ,且()0πAPB θθ∠=<<的两边PA ,PB 在平面M 上的射线分别为1PA ,1PB ,1A PB α∠=,平面APB 与平面M 所成的二面角为π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,则12cos cos sin cos sin θθαϕθ⋅⋅=．证明由性质8,有11cos PA B PAB S S ϕ⋅△△=．于是,112121cos cos sin cos cos sin 2cos 1sin sin 2PA B PABPA PB S S PA PB θθαθθαϕθθ⋅⋅⋅⋅⋅⋅===⋅⋅△△． 由性质8并注意性质5,即得如下两个推论： 推论122212122sin sin 2sin sin cos sin sin θθθθθϕθ+-⋅⋅=．推论222212122tan tan 2tan tan cos tan sin θθθθαϕα+-⋅⋅=．性质10面积为S 的平面多边形与它在三个两两互相垂直的平面上的射影面积1S ,2S ,2S 有关系式：2222123S S S S =++．【典型例题与基本方法】例1如图193-,在ABC △中,P 、Q 、R 将其周长三等分,且P 、Q 在AB 边上,求证： 29PQR ABCS S >△△．图19-3A BCHL QRP（1988年全国高中联赛题）证明不妨设周长为1,设L 、H 分别为C 、R 在AB 上的射影．则 1212PQR ABCPQ RHS PQ AR S AB AC AB CL ⋅⋅==⋅⋅△△． 13PQ =,12AB <,23PQ AB ∴>． 111236AP AP BQ AB PQ ∴+=-<-=≤, 11113366AR AP =->-=,12AC <,116132AR AC ∴>=,212339PQR ABC S S >⋅=△△． 例2如图194-,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是BC 的中点,F 在1AA 上,且112A F FA =∶∶．求平面1B EF 与底面1111A B C D 所成的二面角．图19-4C 1GD 1E 1B 1A 1F ABCDE（1985年全国高中联赛题）解作111EE B C ⊥于1E ,设111FB A θ∠=,112EB E θ∠=,则11tan 3θ=,2tan 2θ=．易知111A B E ∠为FBE ∠在平面11A C 上的射影角,即11190A B E α∠==︒．由性质9的推论2,有222112223733tan 129ϕ⎛⎫+-⋅⋅ ⎪⎝⎭==,故平面1B EF与底面所成二面角为． 例3设11AA B B 为圆柱的轴截面,C 为底面圆周上一点,11AA =,4AB =,60BAC ∠=︒．求平面11A CB 与圆柱底面AB 所成的二面角．解如图195-,设11ACA θ∠=,12B CB θ∠=,11ACB θ∠=．由4AB =,60BAC ∠=︒,所以2AC =,BC =11AA =,故1A C =1B C =,则1cos θ2cos θ图19-5于是222111111cos 2AC B C A B AC B C θ+-=⋅,由此得sin θ=．显然,90BAC α∠==︒,以此代入性质9中结论,得12cos cos sin cos sin θθαϕθ⋅⋅=从而30ϕ=︒． 故平面11A CB 与底面成30︒的二面角．【解题思维策略分析】1．射影——空间通往平面的桥梁 一些空间元素间的距离,或者线、面之间所成的角,常常可以通过射影的方式,把要求的数据通过它们在某一平面的影象而获得．例4设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 是面对角线1BC 上一动点,Q 是底面ABCD 上一动点,试求1D P PQ +的最小值．（1998年“希望杯”竞赛题）Q 1QCAB P 1PC 1D 1AC BQP D图19-6(b)(a)B 1D 1C 1A 1解由题设,知1D P PQ +最小时,点Q 必定是点P 在底面上的射影,如图19-6（a ）,1D P 与PQ 是在二面角11D BC C --的两个面内,为此将1BC C △绕1BC 旋转90︒,使1BC C △与对角面11ABC D 在同一个平面内,如图19-6（b ）．由PQ BC ⊥,故当1D ,P ,Q 共线且与1BC 垂直时,1D P PQ +最小,可求得()11111122221122D Q D P PQ =+=+-=+．故所求最小值为212+． 例5在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 是凸四边形,AC BD ⊥,且AC 与BD 的交点O 恰是顶点S 在底面上的射影,证明：O 点在四棱锥各侧面上的射影在同一圆周上． OPNMACDPMCB NOAQ (a)(b)S图19-7证明如图19-7（a ）,设K ,L ,M ,N 分别是O 点在侧面SAB ,SBC ,SCD ,SDA 上的射影．在侧面SCD 内,连CM 并延长交SD 于P 点．由OC SO ⊥及OC OD ⊥,得OC SD ⊥．因OM ⊥面SCD ,CM 是OC 在面SCD 内的射影,故SD CM ⊥．同理DM SC ⊥,因而M 是SCD △的垂心． 同理,K ,L ,M 分别是各相应侧面三角形的垂心．连PO ,由三垂线定理得OP SD ⊥．连AP ,同理得AP SD ⊥．从而AP 过SAD △的垂心N ． 同样地,分别在SAB △,SBC △内引棱SB 上的高AQ ,CQ ,它们分别过点K ,L ,且交SB 于Q 点． 在APC △中,PO AC ⊥,ON AP ⊥,OM PC ⊥,如图197- （b ）．设OA a =,OC b =,OP c =, 则2OA NA AP =⋅,2OP PN AP =⋅,从而2222PN OA a NA OP c ==,同理22CM b MP c =． 设OQ d =,类似可得22AK a KQ d =,22QL d LC b =． 点K ,L ,M 和N 分别在四面体AQCP 的棱AQ ,QC ,CP 和PA 上,且222222221AK QL CM PN a d b c KQ LC MP NH d b c a⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=． 由四面体中的梅涅劳斯定理,知K ,L ,M ,N 在同一平面（记为α）内．以SO 为直径作球,因为90SKO SLO SMO SNO ∠=∠=∠=∠=︒,所以K ,L ,M 和N 均在上述球面上．因此,K ,L ,M 和N 同在平面α与球面相交的圆周上．例6设有立方体ABCD A B C D ''''-（相对的面是ABCD 和A B C D '''',其中AA BB CC DD ''''∥∥∥）．点x 以恒速在正方形ABCD 的周界上按A 、B 、C 、D 的顺序运动,点y 以同样的恒速在正方形B C CB ''的周界上按B '、C '、C 、B 的顺序运动,点x 和y 分别从点A 和B '同时出发,求线段xy 的中点Z 的轨迹．（IMO 4-试题）解设棱AA '的中垂面变立方体于正方形0000A B C D ,并设1Z 为00A B 之中点,2Z 为00B C 之中点,3Z 为BD 之中点,如图198-．D 'C 'B'A'BX AZ 3Z 1'Z 2'B 0DX ′'Z 2Z 1ZC 0A 0D 0Y图19-8（i ）当点X 从点A 出发遍历线段AB ,点Y 从点B '出发以相同的速度遍历线段B C '',线段XY 的中点Z 则由线段AB '的中点1Z 出发到线段BC '的中点2Z ．设线段X Y ''表示线段XY 在平面0000A B C D 内的射影,则知线段XY 的中点Z 也是线段X Y ''的中点．因此中点Z 在平面0000A B C D 上,显然,线段12Z Z 是中点Z 的轨迹．（ii ）当点X 由点B 到C 遍历线段BC 时,则点Y 由点C '到C 遍历线段C C '．由于速度相同,所有在平面BCC '上的直线XY 都平行于线段BC ',且点X 和Y 同时到达点C ,因此线段2Z C 是线段XY 的中点Z 的轨迹．（iii ）同理,当点X 遍历线段CD ,同时点Y 遍历线段CB 时,则所有在平面ABC 上的直线XY 都平行于线段BD ,且点X 和Y 同时分别达到D 和B ,因此线段3Z C 是线段XY 的中点Z 的轨迹．（iv ）最后,当X 沿线段DA 返回点A ,同时点Y 沿线段BB '返回点B '时,则只要适当地交换正方体的棱就可知道位置与情况（i ）相同,因此线段XY 的中点Z 遍历线段31Z Z ．由于线段12Z Z 、2Z C 、3CZ 、31Z Z 和32Z Z 的长都等于一侧面的对角线之半,另外,线段12Z Z 在平面ABC 内的射影12Z Z ''平行于3Z C ,得线段123Z Z Z C ∥,因此四边形123Z Z CZ 是一个平行四边形,而且是菱形,其中一个角如3260Z CZ ∠=︒．2．灵活运用性质求解问题例7应当怎样放置长方体,才能使它在水平面的投影面积最大？（1962年莫斯科竞赛题）A D图19-9解长方体在水平面上的投影是六边形,设为ABCDEF 如图199-．因为长方体每个侧面在水平面上的投影都是平行四边形,所以ACE △的面积是整个长方体投影面积的一半,设ACE △是长方体内A C E '''△的投影,设ϕ为A C E '''△所在平面与水平面的夹角,则由性质8,知cos ACE A C E S S ϕ''=⋅△△．显然,要使得长方体的投影面积最大,应当ACE S △最大,因而必须有cos 1ϕ=,即0ϕ=︒,这表明,当长方体中的A C E '''△所在平面与水平面平行时,长方体的投影面积达到最大．因此,应当这样放置长方体,使得经过它的自同一个顶点出发的3条棱的另一端点A ',C ',E '的平面与水平面平行．例8如图1910-,四棱锥S ABCD -的底面为直角梯形,AB CD ∥,AB AD ⊥,侧面SAD 垂直于底面,设30ASB ∠=︒,45DCS ∠=︒．求当侧面SAD 与侧面SBC 所成的二面角为60︒时,求BSC ∠及ASD ∠的大小． 图19-10SA BCD解因侧面SAD ⊥底面ABCD ,AB CD ∥,AB AD ⊥,故AB ,CD 均垂直于侧面SAD ,则ASB ∠,CSD ∠分别为SB ,SC 与平面SAD 所成的角,于是130ASB θ∠==︒,2 45CSD θ∠==︒．已知60ϕ=︒,由性 质9的推论1,有2222sin 30sin 452sin30sin 45cos sin 60sin θθ︒+︒-︒⋅︒⋅︒=． 从而,23sin 3θθ=-,那(cos 3cos 0θθ-=． 于是1cos 0θ=,2cos θ=190θ=︒,2θ=． 又由性质6,当190θ=︒时,sin30sin 45cos cos30cos45α-︒⋅︒==︒⋅︒,则1πα=-；而当2θ=时,1cos α==,所以2α= 故90BSC ∠=︒,πASD ∠=-BSC ∠=ASD ∠= 例9如图1911-,平行四边形ABCD 的顶点A 在二面角MN αβ--的棱MN 上,点B ,C ,D 都在α上,且2AB AD =,45DAN ∠=︒,60BAD ∠=︒,求二面角MN αβ--的平面角ϕ的余弦值,使平行四边形ABCD 在半平面β上的射影是：（Ⅰ）菱形；（Ⅱ）矩形．图19-11N MA BC D αβ解由性质2,知AD ,BC 在平面β内的射影长度相等,AB ,CD 在β内的射影长度也相等,从而,平行四边形ABCD 在β内的射影也为平行四边形（或一线段）． 又由性质8,知其射影面的面积为cos ABCD S ϕ⋅． 设AD 与平面β所成的角为x ,则由性质5,知 sin 45sin sin AD AD x ϕ⋅︒=,即sin x ϕ=．其中用到AD 与MN 的夹角为45︒（从而D 到MN 的距离为sin45AD ⋅︒）．于是,设B ,C ,D 在平面β内的射影分别为B ',C ',D '时,则有AD AD '=．同理,AB AB '=． （Ⅰ）如果AB C D '''为菱形,则AB AD ''=,即AB AB ． 即()()222211sin 41sin 75sin 421cos150sin 2ϕϕϕ-=-︒⋅=--︒⋅．于是2sin 6θ=,故cos 2θ= （Ⅱ）如果A B C D ''''为矩形,则应有AB C D S AB AD '''''=⋅．于是cos ABCD S AB AD ϕ''⋅=⋅,即AB AD AB AD ϕ⋅⋅==⋅．进而有2221312cos 1sin 1sin 422ϕθϕ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=-⋅- ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．于是,令2sin t ϕ=,则((222120t t -++=．即211t ==,从而1cos 2θ=为所求．【模拟实战】习题A1．设AM 是ABC △边BC 上的中线,任作一条直线分别交AB 、AC 、AM 于P 、Q 、N ．求证：AB AP 、AMAN 、AC AQ 成等差数列．（1978年辽宁省竞赛题）2．已知三角形123P P P 和其内的任意一点,设直线1PP 、2P P 、3P P 交三角形的对边于1Q 、2Q 、3Q ．证明：在比值11PP PQ 、22P P PQ 、33P P PQ 中,至少有一个不大于2,也至少有一个不小于2． （IMO 3-试题）3．已知OAB △中90AOB ∠<︒,从OAB △中任一点(0)M ≠分别作OA 、OB 的垂线MP ,MQ ．设H 为OPQ △的垂心,当点M 遍历线段AB 时,点H 的轨迹是什么？（IMO 7-试题）4．长方体A C '中,5AB =,4BC =,6B B '=,且E 是AA '的中点,求异面直线BE 与A C ''间的距离． 5．正三棱柱111ABC A B C -,的侧面的三条对角线1AB 、1BC 、1CA 中,若11AB BC ⊥,求证： 11AC AB ⊥．（1985年北京市高一竞赛题） 6．棱长为12的正方体,被过A 、E 、F 三点的平面α所截,若9BE DF ==,求正方体被平面α所截的截面面积．（1979年辽宁省竞赛题）7．线段AB ,CD 夹在两个平行平面α与β之间,AC α⊂,BD β⊂,AB α⊥,5AC BD ==,12AB =,13CD =,E ,F 分别分AB ,CD 为12∶．求线段EF 的长．8．过ABC △的两个顶点A ,B 分别作平面ABC 的同一侧垂线AD ,BE ,得到正三角形CDE ,设1AD =,2BE =,3DE =．求平面CDE 与平面ABC 所成的二面角．9．在正三棱柱11ABC A B C -1中,1AB AA =,试确定1BB 上的点E ,使平面1A EC 与平面111A B C 所成的二面角为45︒．10．正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为3,点P ,Q ,R 分别是棱1AA ,1BB ,11C D 上的点,且11A P =,12B Q =,11C R =．设平面PQR 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）为α,求α．习题B1．已知四面体ABCD 四个侧面的面积相等．求证：此四面体的三对对棱的长度相等．2．在三棱锥S ABC -中,SA ⊥面ABC ,AB BC ⊥,点E 为SC 的中点,D 为AC 上的点,且DE SC ⊥．又SA AB =．SB BC =,求以BD 为棱,以BDE 和BDC 为面的二面角的大小．3．已知正四棱锥P ABCD -的侧面与底面所成的二面角的大小为α,相邻两个侧面所成二面角的大小为β求证：2cos cos βα=-．第十九章 空间射影图的性质及应用习题A1．设B ,M ,C ,P ,N ,Q 在过A 与PQ 平行的直线上的射影即证．2．分别设A ,B ,C ,P 在对边上的射影即证．3．设P ,A 在OB 所在直线上的射影为K ,D ,设Q ,B 在OA 所在直线上射影为T ,C ,所求轨迹为线段CD ．4．5．找1C B ,1A C 在面11ABB A 内的射影．6．利用性质8,求得截面面积为7．过D 作平面α的垂线交α于H ,由αβ∥,AB α⊥,得DH AB ∥．连AH ,HC ,在Rt DHC △中,12DH =,13,DC DH HC =⊥,从而5,5,60HC AH HCA ==∠=︒．显然E 在α上的射影为A ,F 在α上的射影为CH 的三等分点P ,即1533CP CH ==．利用余弦定理,求得AP =,故EF 8．设1DCA θ∠=,2ECB θ∠=,DCE θ∠=,所求二面角为ϕ．由11sin 3θ=,22sin 3θ=及θ=60︒,由性质9的推论1,求得24sin 9ϕ=．故平面CDE 与平面ABC 所成的二面角为2arcsin 3． 9．由题设知11EA B ∠,11CA C ∠分别是1A C ,1A E 与底面111A B C 所成的角,111B AC ∠为1EAC ∠在平面111A B C 上的射影．设111EA B θ∠=,112CAC θ∠=,111B AC α∠=,令1EB ∶1BB k =,则111111tan EB EB k A B BB θ===,2tan 1θ=,显然α=60︒．由性质9的推论2,有222tan 45(1)/k k ︒=+-⎝⎭,即24410k k -+=,亦即12k =,从而1BE EB =．故当点E 为1BB 的中点时,平面1A EC 与平面111A B C 所成的二面角为45︒．10．过R 作平面ABCD 的垂线,则垂足R '在线段CD 内,且1CR '=． 由于AR B '△是PRQ △在平面ABCD 上的射影,又可求得21922ABR S AB '==△,PQ =,PR =,QR =,等腰PQR △底边上的高为,有PQR S =△9cos 2α=α=为所求． 习题B1．设二面角A DC B --,A DB C --,A BC D --的大小分别为,,αβγ,而二面角C AB D --,B AC D --,C AD B --的大小分别为,,x y z ．由性质8,有 cos cos cos BCD ACD ADB ABC S S S S αβγ=⋅+⋅+⋅△△△△．结合题目条件,有cos cos cos 1αβγ++=．同理可证如下等式：cos cos cos x y γ++=1,cos cos cos 1x z β++=,cos cos cos 1y z α++=．注意到,,αβγ,x ,y ,z 都属于区间(0,π),由上述等式可得cos cos x α=,cos cos y β=,cos cos z γ=,从而,,x y z αβγ===．利用z γ=,过A 作面BCD 的垂线AE ,过E 作,EF AC F ⊥为垂足,则AFE γ∠=．类似地作出BGH z ∠=．由于13A BCD BCD V AE S -=⋅△,13B ACD ACD V BH S -=⋅△．结合A BCD B ACD V V --=,以及BCD ACD S S =△△,可知AE BH =,而sin AE AF γ=⋅,sin BH BG z =⋅,z γ=,故AF BG =．再利用12ABC S AF BC =⋅△,12BCD S BG AD =⋅△,ABC BAD S S =△△,可得BC AD =．类似可证AB CD =,AC BD =．2．由题设条件知E 为SC 的中点,SB BC =,可知BE SC ⊥．结合DE SC ⊥,可知SC ⊥面BDE ．这表明BDE △是BDC △在平面BDE 上的射影．设所求的二面角的度数为α,则由性质8,有BDE S =△cos BDC S α⋅△．由SC ⊥面BDE 及SE EC =,可知S BDE C BDE V V --=,即13C BDE BDE V SE S -=⋅△．注意到SA ⊥面ABC ,E 为SC的中点,可知点E 到面BCD 的高等于12SA ．于是1122E BCD BDC V SA S -=⋅⋅△,而C BDE E BCD V V --=,所以1136BDE BDC SE S SA S ⋅=⋅⋅△,故cos 2BDE BDC S SA SA S SE SC α===△△． 由条件SA ⊥面ABC ,故SA BC ⊥．结合BC AB ⊥,可知BC ⊥面SAB ,从而BC AB ⊥,于是2SC SB ==2(2)2SA SA =,故1cos 2α=,即α=30︒． 3．过P 作PO ⊥面ABCD ,过C 作CF DP ⊥,设正方形ABCD 的边长为a ,侧棱长PB b =．注意到CPF △与APF △中,PC PA =,PF 公用,FPA CPF ∠=∠,则CPF △≌APF △．又CF PD ⊥,可知AF DP ⊥,则AFC β∠=,从而22222cos 12AF CF AC a AF CF CF β+-==-⋅． 又22cos 42OCD PCD PCD S a a S S b CFα===⋅△△△． 又在PCD △中,有2211222a b CF a b ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭知224a b a CF -=．于是2222224cos 44b a b a b a β-=1-=--,2222cos 4a b a α--=-,故2cos cos βα=-．。
解析几何全册课件(吕林根版)
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当
或
除这些情况外，现分别按下面两种情况证明．
中有一个为零向量时，
显然成立，
1)
2)
和
平行．可以找到数
使得
这只需按
与
同向或相反，取
或
和
不平行．如图，
是以
向量为边的三角形，按相似比为
可得出相似
且
3)
由相似三角形对应边成比例的关系，可以得出
而
故
例1设AM是三角形ABC的中线，求证:
定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
（2）结合律：
（3）
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O
A1
A2
A3
A4
An-1
An
这种求和的方法叫做多边形法则
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向量减法
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A
B
C
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例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
证
方向角与方向余弦的坐标表示式
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非零向量 的方向角：
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
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由图分析可知
向量的方向余弦
方向余弦通常用来表示向量的方向.
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当 时，
向量方向余弦的坐标表示式
线为
的连
的中点
对边
一组
设四面体
证
e
e
e
AP
e
AD
e
AC
《向量在轴上的射影》课件
05
向量在轴上的射影的注意事项
射影的局限性
射影的长度可能与向量的长度 不同
射影的方向可能与向量的方向 不同
射影的位置可能与向量的位置 不同
射影的大小可能与向量的大小 不同
射影的误差分析
误差来源：测量误差、计算误差、系统误差等 误差影响：影响射影的准确性和可靠性 误差控制：选择合适的测量工具、提高计算精度、优化系统设计等 误差分析方法：统计分析、误差传播分析、误差敏感性分析等
向量在轴上的射影角度计算
向量在轴上的射影：向量在轴上的投影 向量在轴上的射影角度：向量在轴上的投影与向量之间的夹角 向量在轴上的射影角度计算公式：向量在轴上的投影长度与向量长度的比值 向量在轴上的射影角度计算示例：向量(1,2,3)在x轴上的射影角度计算
向量在轴上的射影坐标计算
向量在轴上的射影：向量在轴 上的投影
射影的适用范围
向量在轴上的 射影适用于二 维和三维空间
射影的长度与 向量的长度成 正比
射影的方向与 向量的方向相 同
射影的位置与 向量的位置有 关，但与向量 的长度无关
射影的精度要求
确保向量与轴的夹角在允许范围内 确保向量的长度在允许范围内 确保射影点的位置在允许范围内 确保射影点的坐标在允许范围内
射影的性质
射影是向量在轴上的投影，与 向量的长度和方向有关
射影的长度等于向量的长度乘 以向量与轴的夹角的余弦值
射影的方向与向量的方向相同， 与轴的方向垂直
射影的长度和方向与向量的长 度和方向无关，只与向量与轴 的夹角有关
射影的几何意义
向量的射影是向 量在轴上的投影
射影的长度等于 向量在轴上的分 量
工程中的向量射影
机械工程：用 于计算力矩、
第三章空间向量与立体几何导学案(20210902135541)
实数入与向量a的积是一个向量，记作2a,其长度和方向规定如下:学习目标：㈠知识目标：1•空间向量；2•相等的向量；3•空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：1•理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2•会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3•能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.㈢情感目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物.学习重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律.学习难点：应用向量解决立体几何问题.学习方式：讨论式.学习过程：I .复习［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量.向量的表示方法有:［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下.［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：(1) 1副=丨川a|(2) 当心0时，2与a同向；当；＜0时，2与a反向；当后0时，2= 0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a+ b= b+ a加法结合律：(a+ b) + c= a+( b+ c)数乘分配律：2a+ b) = ?a+ b［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用.请同学们认真阅读课本P26〜P27内容。
n.学习新课［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量. 例如空间的一个平移就是一个向量•那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的•空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示.因此我们说空间任意两个向量是共面的［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？第三章空间向量与立体几何3•实数与向量的积:3.1空间①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB .•向量的加法:2•向量的减法:三肃形沬则乎行四边形;去刚［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：0［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律. ［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：（a + b ） + c =a + （b + c ）; ⑶数乘分配律：2（a + b ）=入a+入b［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广.川.巩固练习课本P 92练习IV .小结：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平一 一 一 —— —— 1——⑵ AB AD AA';⑶ AB AD 严1OB OA AB =a+b ,的几何体，叫做 平行六面体•记作ABCD —A B C'.D'OP)a ( R)AB OB OA （指向被减向量），平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱. 解：（见课本P 27）A 1A 2 A 2A 3 A 3A 4 A n 1 A n A A n因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量. ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量•即：A l A 2 A 2 A 3 A 3 A 4A n 1A nAnA⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立. 因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则. 例1已知平行六面体 ABCD A' B'C'D'（如图），化简下列向 量表达式，并标出化简结果的向量: ⑴ AB BC ;移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度” 的平移包含平面的平移.关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法.V .课后作业预习课本P 92〜P 96，预习提纲： ⑴怎样的向量叫做共线向量？ ⑵两个向量共线的充要条件是什么？ ⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？ ⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？ ⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p 与不共线向量a 、b 共面的充要条件是什么？ ⑺空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是什么？，空间说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之 和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所 BAD AA').⑷丄(AB3说明：平行四边形ABCD平移向量a到A B C'的'迹所形成空间向量及其运算（2）M P XM A 或对空间任一点 o ,有oP oM X M A①一、 学习目标：1 •理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 2 •掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式.二、 学习重、难点：共线、共面定理及其应用. 三、 学习过程： （一） 复习回顾：空间向量的概念及表示； （二） 新课学习： 1.共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或 平行向量。
空间直角坐标系
o
4
x
图2 3 1
空间直角坐标系
从空间某一个定点O引三条互相垂直且 有相同单位长度的数轴这样就建立了 空间直角 , , 坐标系 O xyz.O叫做坐标原点 x轴、y轴、z轴叫 做坐标轴, 这三条坐标轴每两条确 定一个 坐标平 面 , 分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面.
通常, 将空间直角坐标系画在 纸上时, x轴与y轴、
借助平面直角坐标系, 我们就可以用坐标 来表示平面上任意一点的位置 .那么, 怎样 用坐标来表示空间任意一点的位置呢 ?
2. 3 空间直角坐标系
学习目标
• 1 通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性； • 2 了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的 位置； • 3感受类比思想在探索新知识过程中的作用。
x
P R
z
Ax, y, z
o
z
y
ห้องสมุดไป่ตู้Q y
x
图2 3 2
的坐标依次为x, y, z, 我们将有序数对 x, y, z 叫做
点 A 的坐标 图2 3 2, 记为Ax, y, z .
P, Q, R称为点A在三条坐标轴上的射影 .
在空间直角坐标系中让右手拇指指向 轴的正方 , x 向, 食指指向y 轴的正方向 若中指指向z 轴的正方 , 向, 则称这个坐标系为 右手直角坐标系.本书建立 的坐标系都是右手直角 坐标系.
z
3
P4,5,3
5
在地面上建立直角坐标 xOy, 系 则地面任一点的位置只 需两个 坐标 x, y 就可确定.为了确定不 在地面内的物体 如电灯) 的位 ( 置, 需要用到第三个数表 示 物 体离地面的高度 , 即需要第三 个坐标 z.
710向量在轴上的射影(教案).docx
向量在抽/的射影一.概念1、两向量的交角-》―》―》―》―》―》设a,b是两个非零矢量，自空间任意点0作OA = a,OB = b ,则称由射线0A和OB—►—> —> —>构成的角度在0到兀之间的角叫做矢量Q与/?的夹角。
记做/(a,b) °-> ―>―》―A规定：同向，/(«,/?) =0d,b 反向，上(a,b) = /r结论：①05 Z(a,b) S龙②Z(^5)的大小与点O的选择无关。
&仏可二-&仏帀注：有向角2、射影(1)点在轴上的射影设已知空间一点A与一轴1,过A作垂直于轴1平面a ,则称这个平面与轴1的交点A 为点A在轴1上的射影。
记射影/A = A ,（2）向量在轴上的射彫—> T —>设向量4〃的始点A和终点B在轴1上的射彫分别为A\B\则称向量A'B'为向量A3T ">在轴1上的射影矢量，记射影矢^iAB = ABT T即若射影/△ = /!',摄影W = B ,则射影矢量iAB = AB（ t] T T _> T 在轴1上取定标架]0, e \则有摄影是两/ = A B =兀£，称x为矢量AB在轴1上的射影，记射影t AB = xeAB=（射影eAB）e所以射彫矢呆二、射影性质—>射跖AB=ABcos&, e = ZQ,AB) —> —> —> ―> 射影/(a+ b)=射影y +射影』 3、—> —> ―>o;i;j;k\,矢量ci = X i + Y 丿・+Zk,试证明：射影la = X ,射影 ja = Y,射影=T ->解：设O P = a,-则d 在处标轴上的射影即为OP 在处标轴上的射影，设点P 在x 轴,y 轴,z 轴上的射影分别为A, B, C,-> -> T T则有 O P = OA+ OB+ OC乂 6P =；=X i+Yi+zi・・・ OA = xl 9OB = Y^,OC = zl—> —> —> 2、 设在直角坐标系因此，射影矢量la=OA = X i ,射影矢量~ja=OB = Y j ,—►―>—►射影矢量1 a = 0C = Z k ,—»—»—> 所以射影la = X ,射影｝a = Y ,射影。
§6矢量在轴上的投影(射影)
§6 矢量在轴上的投影（射影）一 空间两矢量的夹角：设有两矢量a 、b 交于点s (若a 、b 不相交，可将其中一个矢量平移使之相交)，将其中一矢量绕s 点在两向量所决定的平面内旋转，使它的正方向与另一向量的正方向重合，这样得到的旋转角度ϕ(限定0ϕπ<<)称为a 、b 间的夹角，记作,a b ϕ<>=.(图1.17) 若a 、b 平行，当它们指向相同时，规定它们之间的夹角为0ϕ=；当它们的指向相反时，规定它们的夹角为ϕπ=.类似地，可规定矢量与数轴间的夹角.将向量平行移动到与数轴相交，然后将矢量绕交点在矢量与数轴所决定的平面内旋转，使矢量的正方向与数轴的正方向重合， 这样得到的旋转角度(0)ϕϕπ≤≤称为矢量与数轴的夹角.(图1.18)二 空间点在轴上的投影：设已知点A 及轴u ，过点A 作轴u 的垂直平面π，则平面π与轴u 的交点叫做点A 在轴u 上的投影.(图1.19)三 矢量在轴上的投影：定义1 设矢量AB 的始点A 与终点B 在轴u 的投影分别为A '、/B ， 那么轴u 上的有向线段A B ''的值A B ''叫做矢量AB 在轴u 上的投影， 记作u prj AB A B ''=， 轴u 称为投影轴.(图1.20) 这里，A B ''的值''A B 是这样的一个数：(1)、''''||||A B A B =即， 数A B ''的绝对值等于向量A B ''的模.(2)、当A B ''的方向与轴u 的正向一致时，0A B ''>；当A B ''的方向与u 轴的正向相反时，0A B ''<.四 投影定理：定理1 矢量AB 在轴u 上的投影等于矢量的模||AB 乘以轴u 与矢量AB 的夹角ϕ的余弦.即prj AB AB u =cos ϕ, (1.6-1)(图1.21)证 过矢量AB 的始点A 引轴'u ，且轴'u 与轴u 平行且具有相同的正方向，那未轴u 与向量AB 的夹角等于轴'u 与向量的夹角，而且有u u prj AB prj AB '=prj AB AB AB u '=''=cos ϕ故 prj AB AB u =cos ϕ 由上式可知：矢量AB 在轴u 上的投影是一个数值，而不是矢量. 当非零矢量AB 与投影轴u 成锐角时， 向量AB 的投影为正.定理2 对于任何矢量,a b 都有()u u u prj a b prj a prj b +=+. (1.6-2)证 取,AB a BC b ==，那么AC a b =+，设''',,A B C 分别是,,A B C 在轴l 上的投影，那么显然有''''''AC A B B C =+，因为'''''',,l l l AC prj AC A B prj AB B C prj BC === 所以 u u u prj AC prj AB prj BC =+， 即 ()u u u prj a b prj a prj b +=+.类似地可证下面的定理：定理3 对于任何矢量a 与任何实数λ有u u prj a prj a λλ=. (1.6-3)。
向量在轴上的射影
z
R(0,0, z)
r
o x P( x,0,0)
• M(x, y,z)
y
Q(0, y,0)
N
r
o
x P( x,0,0)
• M(x, y,z)
空间一点在轴上的射影
•A
A
l
设已知空间的一点 A 与一轴 l ， 通过 A 作垂直于轴 l 的平面 ，称该平面与轴l 的
交点 A' 叫做点 A 在轴 l 上的射影.
P37
1
《解析几何》
－Chapter 1
§6 向量在轴上的射影
Contents
空间一点在轴上的射影 空间一向量在轴上的射影 向量的射影定理
r
在三个坐标轴上的分向量：
OP xi , OQ yj, OR zk.
只考虑 r 与 x 轴的关系，有
r在 x 轴上的分向量 OP xi ,
且 x r cos.
空间一点在轴上的射影
定义 1.6.1 设向量 AB 的始点 A 与终点 B 在轴 l 上的射影分别为点 A' 和
B
'
，那么向量
A
'
B
'
叫做向量
AB
在轴
l
上的射影向量，记做射影
向量 l
AB
.
如果在轴上取与轴同方向的单位向量 e ，那么有
射影向量 l
AB
A'
B
'
xe
.
A
A e
x
叫做向量
AB
在轴
l
上的射影，记做
射影 l
AB
，即
射影 l
AB
x
.
射影几何是研究图形的射影性质
射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。
一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。
射影几何的发展简况十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。
这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。
这门几何学就是射影几何学。
基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。
早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。
在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。
在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。
那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。
在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。
这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。
射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。
在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。
稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。
笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。
1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。
他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。
数学竞赛专题讲座十一、截面、射影、折叠和展开
数学竞赛专题讲座⼗⼀、截⾯、射影、折叠和展开⼗⼀、截⾯、射影、折叠和展开知识、⽅法、技能截⾯、射影、折叠和展开是⽴体⼏何中的⼏个典型问题，体现空间问题和平⾯问题互相转化的数学思想⽅法―化归思想⽅法．I ．截⾯1．截⾯⽤⼀个平⾯去截⼏何体时，平⾯和⼏何体的交线围成的图形，叫做⼏何体的截⾯．2．使⾯作法（1）连线法； (2)平⾏线法； (3)相交线法．3．截⾯⾯积的求法(l)割补法：将截⾯割补成若⼲个三⾓形或特殊的多边形，然后求出这些⾯积的和或差；(2)⾯积射影定理：cos S S α=?射截，其中α是截⾯与射影平⾯所成的⼆⾯⾓．4．平⾏于锥体底⾯的截⾯S 原、V 原为原锥体底⾯积、体积，h 是锥体的⾼，S 原、V 原、h 截为截得的锥体底⾯积、孰⾼．（1）22S h S h =原截截，（2）33V h V h =原截截． II ．射影1. 射影由空间⼀点向平⾯（直线）引垂线段，把垂⾜点叫做这点在平⾯（直线）上的正射影，简称射影．空间图形中⼀切点在平⾯上射影的集合，叫做这个空间图形在这个平⾯上的射影．2.⾯积射影定理在⼆⾯⾓的⼀个半平⾯上的任意多边形的⾯积S 与这个⼆⾯⾓的度数α的余弦的乘积，等于这个多边形在⼆⾯⾓的另⼀半平⾯上射影多边形的⾯积'S ，即'cos S S α=?． III ．折叠与展开1．折叠将⼀个平⾯图形沿着该平⾯内的某条直线折叠成⼀个空间图形，称为平⾯图形的折叠．2．展开⼀个⼏何体如果按照某种规则展开到⼀个平⾯，则称其⼏何体为可展⼏何体．3．折叠与展开的⽅法要准确画出原来的图形和折叠或展开后的图形，对照平⾯图形与⽴体图形元素的位置关系、⼤⼩、形状，确定哪些是不变量，哪些是变量．不变量是解题的基础．赛题精讲I.截⾯例1. (1989年联赛题) 已知正三棱锥S-ABC 的⾼3PO =，底⾯边长为6．过A 点向它所对的侧⾯作垂线，垂⾜为'O ，在'AO 上取点P ，使'8AP PO=．求经过点P 且平⾏于底⾯的截⾯的⾯积．【解】如图，平⾯SAO 交BC 于D ，则SO ⊥AD ，BC ⊥平⾯ADS ，所以AO ′在平⾯ADS 上．设AO ′∩SO=P ′，∠SDA=α，在△SOD 中，tan αα=60°．⼜AP ’=AO/sin α=4,AO ’=ADsin α=9/2．AP=8AO ′/（8+1）=4=AP ′故P 与P ′重合，PO=APcos α=2．设所求截⾯⾯积为S 1，则S 1/S △ABC =（SP/SO ）2=1/9．．例2.如图所⽰，三棱锥V —ABC 中，VA ⊥底⾯ABC ，∠ABC ＝90°.(1)求证：V 、A 、B 、C 四点在同⼀球⾯上.(2)过球⼼作⼀平⾯与底⾯内直线AB 垂直.求证：此平⾯截三棱锥所得的截⾯是矩形.证明.(1)取VC 的中点M ，∵VA ⊥底⾯ABC ，∠ABC ＝90°，∴BC ⊥VB ，在Rt △VBC 中，M 为斜边 VC 的中点.∴MB ＝MC ＝MV ，同理在Rt △VAC 中，MA ＝MV ＝MC ，∴MV ＝MC ＝MA ＝MB ，∴V 、A 、B 、C 四点在同⼀圆⾯上，M是球⼼.(2)取AC ，AB ，VB 的中点分别为N 、P 、Q ，连结NP 、PQ 、QM 、MN .则MNPQ 就是垂直于AB 的三棱锥V —ABC 的截⾯，易证PQMN 是平⾏四边形，⼜VA ⊥BC ，PQ ∥VA ，NP ∥BC ，∴QP ⊥PN ，故截⾯MNPQ 是矩形.例3.如图所⽰,在棱长为a 的正⽅体AC 1中求,(1)过BD 1所作的最⼩截⾯⾯积;(2)过BD 1所作截⾯周长最⼩时的截⾯⾯积.分析.这是⼀道有关⽴体⼏何最值问题的题⽬,⽐较综合,我们可对本题作简单分析:证明：(1)设经过BD 1的截⾯为BMD 1N ,因为正⽅体相对侧⾯平⾏,故BMD 1N 是平⾏四边形,这样S 截=2S △BMD 1显然欲使S截最⼩,只需S △BMD 1最⼩,⽽BD 1为定值,故只需M 到BD 1的距离最⼩,M 可在AA 1上移动,所以这个问题可转化为求异⾯直线AA 1与BD 1之间的距离,⽽求异⾯直线间的距离⼜可化为线⾯间的距离(AA 1与⾯BB 1D 1D 间的距离)(2)沿侧棱将侧⾯AD 1与侧⾯AB 1展开如图所⽰,D 1M +的最⼩值就是侧⾯展开图中的D1B ,设D 1B 与AA 1交于M ,⾯为全等的正⽅形，故M 为AA1的中点,同理N 为CC 1的中点此时MB ∥ND 1为所求截⾯. II.射影例4.如图1，⼀间民房的屋顶有三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法的屋顶⾯积分别为P 1、P 2、P 3，若屋顶斜⾯与⽔平⾯所成的⾓都是α,则（）A ． P 3＞P 2＞P 1B ．P 3＞P 2＝P 1 C ．P 3＝P 2＞P 1 D ．P 3＝P 2＝P 1图1 分析：设这间民房的地⾯⾯积为S 0，则有αααcos P cos P cos P S 3210===，所以 P 3＝P 2＝P 1，故选D.【评析】本题要从屋顶的实际情景中透过⽇常⽣活中常见的现象，抽象出斜⾯在⽔平⾯上的射影的本质特征，反映了数学来源于社会现实，⼜为社会实践服务的基本事实.例5.如图2，E 、F 分别为正⽅体的⾯ADD 1A 1和⾯BCC 1B 1的中⼼，则四边形BFD 1E 在该正⽅体的⾯上的射影可能是_________.①②③（要求：把可能的图的序号都．填上）分析从俯视、正视和侧视三种⽅式观察平⾏四边形BFD 1E 在正⽅体各个⾯上的投影，可知图②③正确.例6.正四⾯体ABCD 的棱长为1，棱AB//平⾯α，则正四⾯体上的所有点在平⾯α内的射影构成的图形⾯积的取值范围是_________.分析如图3，设正四⾯体ABCD 在平⾯α上的射影构成的图形⾯积为S ，因为AB//平⾯α，从运动的观点看，当CD//平⾯α时，射影⾯积最⼤，此时射影图形为对⾓线长是1的正⽅形，⾯积最⼤值为21；若CD 或其延长线与平⾯α相交时，则当CD ⊥平⾯α时，射影⾯积为最⼩，最⼩值为42（证明略），所以]21,42[∈S . 例7．如图4，在⼀⾯南北⽅向的长⽅形墙ABHG 上⽤AC=3m ，BC=4m ，AB=5m 的⾓钢焊接成⼀个简易的遮阳棚（将AB 放在墙上）。
浅析射影几何及其应用
浅析射影几何及其应用湖北省黄冈中学一、概述射影几何是欧几里得几何学的一个重要分支，研究的是在射影变换中图形所具有的性质。
在高等数学中，射影几何的定义是根据克莱因的变换群理论与奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯（1970-1868）的齐次坐标理论，这一部分已经涉及了群论和解析几何,但是这两位数学家对于射影几何的发展作出的巨大贡献是令人钦佩的。
在本次综合性学习中小组成员对于射影几何的纯几何内容进行了探究,对以下专题进行了研究:1、射影几何的基本概念及交比不变性2、笛沙格定理（早期射影几何中最重要的定理之一）3、对偶原理4、二次曲线在射影几何上的应用5、布列安桑定理和帕斯卡定理6、二次曲线蝴蝶定理二、研究过程1、射影几何的基本概念及交比不变性射影几何虽然不属于高考内容，射影几何与较为容易的中学几何具有更加抽象、难以理解的特点,但是射影几何所研究的图形的性质是极具有吸引力的，可以说是中学几何的一个延伸。
射影几何所研究的对象是图形的位置关系,和在射影变换下图形的性质。
射影，顾名思义,就是在光源(可以是平行光源或者是点光源)，图形保持的性质。
在生活中，路灯下人的影子会被拉长，矩形和圆在光源照射下会出现平行四边形和椭圆的影子，图形的形状和大小发生了变化。
然而，在这种变换中图形之间的有些位置关系没有变，比如，相切的椭圆和直线在变换之后仍相切。
此外,射影几何最重要的概念之一——交比也不会发生改变。
在中学的几何中,我们认为两条平行的直线是不相交的。
但是在射影几何中,我们可以规定一簇平行直线相交于平面上一个无穷远点，而通过这个点的所有直线是一簇有确定方向的平行直线。
一条直线有且只有一个无穷远点,平面上方向不同的直线经过不同的无穷远点。
所有这样的无穷远点构成了一条无穷远直线，同样在三维空间中可类似地定义出无穷远平面，这样就扩充了两个公理：1、过两点有且只有一条直线2、两条直线有且只有一个交点这两条公理对普通点（即非无穷远点）和无穷远点均成立。
向量在轴上的射影的辨析
向量在轴上的射影的辨析上海市宜山路655弄4号121室陈振宣向量在轴上的射影是向量加减运算化归为实数运算的理论基础.对此各种版本的书上存在两种完全不同的定义，因而产生了一些混乱，造成了广大师生的困惑.一、问题呈现下面以人教社的两种教材为例做些讨论，并从此引出澄清混乱的办法，请专家与广大师生讨论指正.《普通高中课程标准实验教科书（B版）》数学4必修（以下简称课标本）P115：3.向量在轴上的正射影已知向量和轴(图1).作过点分别作轴的垂线，垂足分别为则向量叫做向量在轴上的正射影（简称射影），该射影在轴上的坐标，称做在轴上的数量或在轴的方向上的数量.在轴上正射影的坐标记作向量的方向与轴的正向所成的角为则由三角中的余弦定义有图1图2例1 已知轴（图2）：(1)向量，在上的正射影；(2)向量在上的正射影.解：(1).(2).上述向量在轴上的正射影的定义是向量，但例1中求在上的射影，无论写法还是结果却都是数量，这样是否自相矛盾？《全日制普通高级中学教科书（试验本）数学必修第一册（下）》（以下简称大纲本）P136页:如图3，，，过点B作垂直于直线，垂足为，则叫做向量在方向上的投影，当为锐角时（图3（1）），它是正值；当为钝角时（图3（2）），它是负值；当时（图3（3）），它是0.当时，它是；当时，它是.图3该书虽未给向量在轴上的射影下定义，但上述“叫做向量在方向上的投影”,已隐含向量在轴上的投影是数量.可见课标本与大纲本的定义是完全不同的.高里德凡著《矢算概论》P17-P18对此的表述如下：10.矢量的分量及射影可以区别正负方向的无限直线称为轴.例如在解析几何中，直线及是轴,因为在它们上面具有正负方向.A点在S轴上的射影是自A点至射影轴S所作垂线的垂足(图4).如果A点位于射影轴上，那么，它的射影与其本身重合.矢量在S轴上的分量是矢量，它由矢量的两端A及B在S轴上的射影所构成（图5a）.用表示矢量的分量：.矢量在S轴的射影是带有正号或负号的分量的模.究为正号或负号，那就决定于矢量的分量的方向与S轴的方向一致或者不一致.为与矢量的分量区别，矢量的射影用表示：或.如果在射影轴上，取自左至右为正方向，那么在图5a中，矢量的射影是正：.而在图5b中，矢量的射影是负：.由射影的定义可知，它们是数量.补助定理设是轴的正方向的单位矢量，那么任意矢量在S轴上的分量等于这矢量的射影乘轴的单位矢量.这本书明确提出：“矢量在S轴的射影是带有正号或者负号的分量的模”，并断言“由射影的定义可知它们是数量”.这与向量在轴上的射影是向量之说是完全不同的.华罗庚的《高等数学引论》第一卷第一分册对向量在坐标上的射影并未下过定义，但有一段如下的说明(P40)：以下所讨论的矢量仅指自由矢量，一个自由矢量的长度是.方向由决定.显然各是矢量在轴上的投影的长度，而是矢量与轴所成的角度，称（）为矢量的方向余弦.”由“各是矢量在轴上的投影的长度”，可知正是在轴上的射影的数量，是在轴上的分向量的数量，它们是数量不是向量.其他国外教材的翻译之作更加混乱，这里不再一一列举了.二、问题辨析造成这样混乱的原因，窃以为是忽视轴上的向量（即一维向量）的数量这一核心概念所致。
射影定理的推广及应用
射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。
一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。
下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。
一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。
（证明略）二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
（证明略）２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。
（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。
（证明略）三、应用例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。
（证明略）例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分，求ＤＣ。
分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８(解略)例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。
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A
C
a1
B
a2
C
A
u
B
关于向量的射影定理（3）
Pr ju a Pr jua
补充例题 例 1 设 m 3i 5 j 8k ， n 2i 4 j 7 k ， p 5i j 4k ，求向量a 4m 3n p 在 x 轴 上的投影及在 y 轴上的分向量.
§1.6 向量在轴上的射影
空间一点在轴上的射影
A
u
A
过点 A 作轴 u的垂 直平面，交点 A 即为 点 A 在轴 u上的射影 .
空间一向量在轴上的射影
已知向量的起点 O, 终点 M 在轴 u 上的射影为 M ,
M
O e
M
u
则向量 OM 称为向量 r OM在u轴上的分向量 .
设 OM e , 则称 为 向量 r 在轴 u上的射影.
记为 Pr ju r 或 (r )u
由此定义，设 a (a x , a y , az ), 则 a x Pr j x a , a y Pr j y a , az Pr jz a .
关于向量的射影定理（1）
u 上的投影等于向量的模乘以 向量 AB 在轴 轴与向量的夹角的余弦： Pr ju AB | AB | cos
解 a 4m 3n p 4( 3i 5 j 8k ) 3( 2i 4 j 7k ) (5i j 4k ) 13i 7 j 15k ,
在 x 轴上的投影为a x 13 ,
证
A
A
B
B
Pr ju AB Pr ju AB
B
u u
| AB | cos
定理1的说明：
(1) 0 , 射影为正； 2
( 2) , 射影为负； 2 ( 3) , 射影为零； 2
c
b
auLeabharlann (4) 相等向量在同一轴上射影相等；
关于向量的射影定理（2）
在 y 轴上的分向量为7 j .