2015届高考数学(理)一轮讲义：第6讲三角函数经典精讲精品讲义

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2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第六章第一节不等关系与不等式文

【金版学案】2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第六章第一节不等关系与不等式文近三年广东高考中对本章考点考查的情况(续上表)本章内容主要包括两个内容：不等式、推理与证明．不等式主要包括：不等式的基本性质、一元二次不等式的解法、基本不等式的应用、简单的线性规划问题、不等式简单应用．推理与证明主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明，其中合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小．广东高考在这一章的命题上呈现以下特点：1．考查题型以选择题、填空题为主，偶以解答题形式出现，但多数是解答题中的一部分，如与数列、函数、解析几何等结合考查，分值约占10%左右，既有中、低档题，也会有高档题出现．2．重点考查不等式解法、不等式应用、线性规划以及不等式与其他知识的结合，另在推理与证明中将会重点考查．3．对合情推理与演绎推理及证明方法的考查，主要放在解答题中，注重知识交汇处的命题．预计高考中对本章内容的考查仍将以不等式的解法、基本不等式应用、线性规划为重点，将推理与证明和其他知识相融合，更加注重应用与能力的考查．本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此在复习过程中应注意：1．复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据．2．不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作适当了解，但要控制量和度．3．解(证)某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来．4.注意重要不等式和常用思想方法在解题、证题中的作用．在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习．解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式(组)，以快速、准确求解．加强分类讨论思想的复习．在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论．复习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理地分类，做到不重不漏．加强函数与方程思想在不等式中的应用训练．不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化．如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法．在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个已知条件向要证结论转化的过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视．5．强化不等式的应用．高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键．因此，在复习时应加强这方面的训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力．如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误．6．利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：“一正、二定、三相等”．7．要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数、方程的区别与联系．对于类比型问题可以说是创新要求的体现，最常见的是二维问题与三维问题的类比，同结构问题的类比(比如圆锥曲线内的类比问题、数列内的类比问题等)，较少对照不同结构的类比问题．关于归纳、猜想、证明是考得比较多、比较成熟的题型了，在复习备考中要把握考试的特点，注重落实．归纳、演绎和类比推理在数学思维中所占的分量非常重，事实上，在高考中归纳、猜想、证明以及类比、证明这一类题目是常考常新的．推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等，对学生的知识与能力要求较高，是对学生思维品质和逻辑推理能力、表述能力的全面考查，可以弥补选择题与填空题等客观题的不足，是提高区分度、增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型，并且经常作为压轴题出现．第一节不等关系与不等式了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.知识梳理一、不等式的概念在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“<”，“>”，“≤”，“≥”，“≠”连接两个数式或代数式以表示它们之间的不等的关系的式子，叫做不等式．二、实数运算性质与大小顺序关系1．a >b ⇔a －b >0.2.a ＝b ⇔a －b ＝0.3.a <b ⇔a －b <0. 它是比较两实数大小的依据，也是作差比较法的依据．三、不等式的基本性质双向性：1．定理1(对称性)：a >b ⇔b <a . 单向性：2．定理2(传递性)：a >b ，b >c ⇒a >c .3．定理3(同加性)：a >b ，c 为整式或实数⇔a ＋c >b ＋c . 4．定理3推论(叠加性)：⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d . 5．定理4(可乘性)： ⎭⎬⎫a >b c >0⇒ac >bc ；⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc . 6．定理4推论1(叠乘性)：⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd . 7．定理4推论2(可乘方性)：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *且n >1)．8．定理5(可开方性)：a >b >0⇒n a ＞nb (n ∈N *且n >1)．四、不等式性质成立的条件例如，重要结论：a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b ，不能弱化条件得a ＞b ⇒1a ＜1b .五、正确处理带等号的情况如由a ＞b ，b ≥c 或a ≥b ，b ＞c 均可得出a ＞c ；而由a ≥b ，b ≥c 可能有a ＞c ，也可能有a ≥c ，当且仅当a ＝b 且b ＝c 时，才会有a ＝c .注意：不等式的性质从形式上可分两类：一类是“⇒”型；另一类是“⇔”型．要注意二者的区别．基础自测1．已知a ＜0，b ＜－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＞a b ＞ab 2B.a b 2＞a b ＞aC.a b ＞ab 2＞a D.a b ＞a ＞a b 2解析：特殊值法，取a ＝－1，b ＝－2，验证知a b ＞ab 2＞a 成立．也可用作差比较法．答案：C2．(2012·广东两校联考)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列各式中最大的是( ) A ．－1 B ．log 2bC ．log 2a ＋log 2b ＋1D ．log 2(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)解析：特殊值法．取a ＝13，b ＝23，则log 2b ＝log 223＝1－log 23>1－log 24＝－1；log 2b －(log 2a ＋log 2b ＋1)＝－1－log 213＝－1＋log 23>0；计算可知，b >a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3，∴log 2b >log 2(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)．故选B. 答案：B3．已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是________． ①ab＞1 ②a 2＞b 2 ③lg(a －b )＞0 ④⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12 b解析：令a ＝2，b ＝－1，则a ＞b ，a b ＝－2，故ab＞1不成立；令a ＝1，b ＝－2，则a 2＝1，b 2＝4，故a 2＞b 2不成立；当a －b 在区间(0,1)内时，lg(a －b )＜0；f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上是减函数，∵a ＞b ，∴f (a )＜f (b )，即⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12b.故④正确．答案：④4．a >b >0，m >0，n >0，则b a ，a b ，b ＋m a ＋m ，a ＋nb ＋n 由大到小的顺序是____________．解析：取特殊值．如a ＝2，b ＝1，m ＝n ＝1，则b a ＝12，ab ＝2，b ＋m a ＋m ＝23，a ＋n b ＋n＝32.∴a b >a ＋n b ＋n >b ＋m a ＋m >b a. 答案：a b >a ＋n b ＋n >b ＋m a ＋m >b a1．(2013·北京卷)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：当a >b 时，a 3>b 3成立．A 项中对c ＝0不成立．B 项取a ＝1，b ＝－1，则1a <1b不成立；C 项取a ＝1，b ＝－2，则a 2>b 2不成立．答案：D2．(2012·大纲全国卷)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x解析：x=ln π>ln e ＝1，y=log 52<log 55＝12，z ＝e －12＝1e >14＝12，1e＜1.综上可得，y＜z ＜x .故选D.答案：D1．(2013·江门一模)若x ＞0，y ＞0，则x ＋y ＞1是x 2＋y 2＞1的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：先看充分性，可取x ＝y ＝23，使x ＋y ＞1成立，而x 2＋y 2＞1不能成立，故充分性不能成立；若x 2＋y 2＞1，因为x ＞0，y ＞0，所以(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ＞x 2＋y 2＞1， ∴x ＋y ＞1成立，故必要性成立．综上所述，x＋y＞1是x2＋y2＞1的必要不充分条件．答案：B2．(2013·北京西城区期末)已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2②2a>2b－1③a－b>a－b④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式为________．解析：由a>b>0可得a2>b2，①成立；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数；∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；∵a>b>0，∴a>b，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)>0，∴a－b>a－b，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立．答案：①②③。

2015届高三数学一轮课件：第3章第6节简单的三角恒等变换

2．用 sin α，cos α 表示 tan
α 2
tan
α2＝1＋sincoαs
α＝1－sincoαs
α .
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应用二倍角公式的变形求值的注意问题
(1)已知 sin α，cos α 的值求 tanα2时，应优先采用 tanα2＝
(2)f(x)＝12sin
2x＋
3 2 cos
2x＝sin2x＋π3，所以最小正周期为
T
＝22π＝π，振幅 A＝1.
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(3)由于 y＝ 3cos x＋sin x＝2cosx－π6，向左平移 m(m>0)个单位长度后得到函数 y＝2cosx＋m－π6的图象．由于该图象关于 y 轴对称，所以 m－π6＝kπ(k∈Z，m>0)，于是 m＝kπ＋π6(k∈Z， m>0)，故当 k＝0 时，m 取得最小值π6.
(k
∈
Z)
，
即
x
＝
kπ
＋
5π 12
(k
∈
Z)
，
所
以
所
求
x
的集合为
xx＝kπ＋51π2，k∈Z
.
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规律方法 2 1.三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；

2015高考数学一轮精品课件：4.3 三角函数的图象与性质

三角函数的定义域与值域
【例 1】函数 y=lg sin 2x+ 9- 2 的定义域为
.
关闭

π < < π + ,k∈Z,
sin2 > 0,
2
依题意有
解得
即函数的定义域为
2
9- ≥ 0,
-3 ≤ ≤ 3,
关闭
π
π
-3 ≤
≤ x<<-- ,或
,或0<x<
0 < πx .<
-3
4
×
×
单调递减,所以
1

1

π
≤ ,
2
≥ π,
解得
5
≤ω≤ .
4
2A
关闭
解析
考点一
考点三
考点四
答案
思想方法第十八页，编辑于星期五：十三点五分。
4.3
第四章
三角函数的图象与性质
考纲探究突破
巩固提升
三角函数的周期性、奇偶性和对称性
【例 3】下列命题中正确的是
.(写出所有正确命题的序号)
考点一
考点三
考点四
思想方法
第十七页，编辑于星期五：十三点五分。
三角函数的图象与性质
4.3
第四章
考纲要求
梳理自测
探究突破
探究突破
巩固提升
π
π
,π
2
举一反三 2 已知 ω>0,函数 f(x)=sin + 4 在
单调递减,则 ω
关闭
的取值范围是( )
π
函数 f(x)=sin + 的图象可看作是由函数 f(x)=sin x 的图象先向左

2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第三章第六节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的应用理

第六节函数y ＝Asinx知识梳理一、三角函数图象的作法1．几何法(利用三角函数线)．2．描点法：五点作图法(正、余弦曲线)，三点二线作图法(正切曲线)．(1)正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 的图象的作图方法(用五点法)：先取横坐标分别为0，π2，π，3π2，2π的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．再将一个周期内的图象向左右平移2k π(k ∈N *)个单位长度，即得函数的整个图象．(2)正切函数的图象：作正切曲线常用三点二线作图法．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象：1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象． 2．了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．3．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题．图象与x 轴的交点：正弦函数为________，k ∈Z ，余弦函数为________，k ∈Z ，正切函数为________ ，k ∈Z .答案：2.(2)(k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 (k π，0)二、三角函数图象的对称轴与对称中心正弦曲线y ＝sin x 的对称轴为x ＝________(k ∈Z )，对称中心为________(k ∈Z )；余弦曲线y ＝cos x 的对称轴为x ＝________(k ∈Z )；对称中心为________，(k ∈Z )；正切曲线y ＝tan x 的对称中心为________(k ∈Z )．其中，正弦函数与余弦函数在对称轴与曲线交点处有最大(小)值．答案：k π＋π2 (k π，0) k π ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0三、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的画法1．五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的简图．设X ＝ωx ＋φ，由X 取0，π2，π，3π2，2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图．2．正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (其中A >0，ω>0)的一些结论：最大值是A ＋B ，最小值是B －A ，周期是T ＝2πω，频率是f ＝ω2π，相位是ωx ＋φ，初相是φ(即当x ＝0时的相位)；其图象的对称轴是直线ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，凡是该图象与直线y ＝B 的交点都是该图象的对称中心．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系．3．利用图象变换作三角函数的图象．三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等，重点掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的作法．(1)________或叫做沿y 轴的伸缩变换：由y ＝sin x 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长(当|A |＞1)或缩短(当0＜|A |＜1)到原来的________倍，得到y ＝A sin x 的图象．(2)________或叫做沿x 轴的伸缩变换：由y ＝sin x 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长(0＜|ω|＜1)或缩短(|ω|＞1)到原来的________倍，得到y ＝sin ωx 的图象．(3)________或叫做左右平移：由y ＝sin x 的图象上所有的点向左(当φ＞0)或向右(当φ＜0)平行移动________个单位长度，得到y ＝sin(x ＋φ)的图象．(4)上下平移：由y ＝sin x 的图象上所有的点向上(当B ＞0)或向下(当B ＜0)平行移动______个单位长度，得到y ＝sin x ＋B 的图象．4．由y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象求其解析式．给出图象确定解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)的题型，一般从寻找“五点”中的第一零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．答案：3.(1)振幅变换 |A | (2)周期变换 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1ω (3)相位变换 |φ| (4)|B |基础自测1．(2013·唐山模拟)函数y ＝sin 3x 的图象可以由函数y ＝cos 3x 的图象( )A ．向左平移π3个单位得到B ．向右平移π3个单位得到C ．向左平移π6个单位得到D ．向右平移π6个单位得到解析：因为sin 3x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－3x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π2＝ cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.所以函数y ＝cos 3x 的图象向右平移π6个单位即可得到函数y ＝sin 3x 的图象，故选D.答案：D2．(2013·聊城模拟)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的部分图象可能是( )解析：因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以当2x －π3＝0，即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有D. 答案：D3．(2012·广东金山中学综合测试)如果函数y ＝3cos(2x ＋θ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，那么|θ|的最小值是________．解析：对称中心的横坐标满足2x ＋θ＝k π＋π2(k ∈Z )，当x ＝4π3时，解得θ＝k π－13π6，当k ＝2时，|θ|最小，最小值为π6. 答案：π64．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)＝______.解析：由图可知A ＝2，T 4＝712π－π3＝π4，ω＝2,2×7π12＋φ＝2k π＋3π2，φ＝2k π＋π3， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2k π＋π3(k ∈Z )， ∴f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π3＝62. 答案：621.(2013·四川卷)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3解析：34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 答案：A2. 已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值．解析：(1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω＞0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1⇒12≤22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤22⇒1≤22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12≤1＋22，故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.1．(2013·广州二模)若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：因为函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫ω×π6＋π6＝0，∴ω×π6＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即ω＝6k ＋2，k ∈Z . 再由ω为正整数可得ω的最小值为2，故选B. 答案：B2．(2012·长春调研)函数y ＝sin(ωx ＋φ)ω＞0，且|φ|＜π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22C.32D.6＋24解析：因为函数的最大值为1，最小值为－1，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，又函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时原式为y ＝sin(2x ＋φ)．又由函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1，代入可得φ＝π6，因此函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令x ＝0，可得y ＝12.答案：A。

高考数学一轮总复习三角函数解三角形第6节函数y=sin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用

解析:由题图可知 T=

所以

||

- = (T 为 f(x)的最小正周期),即 T=π,

=π,即ω=±2,又ω>0,故 f(x)=2cos(2x+ ).

点( ,0)可看作“五点法”中的第二个点,故 2× + = ,得 =- ,

则 f(x)=2cos(2x-),所以 f()=2cos(2×-)=- .

t=+2kπ或 t= +2kπ,k∈Z,

由题图可知,ωx2+ -(ωx1+ )= -= ,

即ω(x2-x1)= ,所以ω=4.

因为 f( )=sin( + )=0,所以 + =2kπ,k∈Z,即 =- +2kπ,

[课程标准要求]
1.了解函数y=Asin(ωx+ )的物理意义,能画出y=Asin(ωx+ )
的图象,了解参数A,ω, 对函数图象变化的影响.2.会用三角函
数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的
重要函数模型.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.y=Asin(ωx+ )的有关概念
√

D.0,,,,

解析:令x 依次等于 0,,π, ,2π,得 x 依次为 0,π,2π,3π,4π.
故选 C.

3.(必修第一册 P239 练习 T2 改编)为了得到函数 y=sin(x-)的图象,只要把

《高考风向标》高考数学一轮复习第六章第6讲三角函数的求值、化简与证明课件理

点评：认清二次问题是解决问题的关键，例如： sinα＋cosα 是“一次”，则 sinαcosα 是“二次”； 1＋k是“一次”，则 2k＋1 是“二次”等．
【互动探究】 3．求证：sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα＝sinβ. 证明：sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα ＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα ＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ. 故等式成立．
sin70°1－
3sin50°
cos50°
＝sin70°cos50°c－os503°sin50°＝221cos50°－co2s35s0i°n50°sin70° ＝2sin30°cos50°－cocso5s03°0°sin50°sin70°＝－2sicno2s05°0s°in70° ＝－2sicno2s05°0c°os20°＝－cossin5400°°＝－cocso5s05°0°＝－1.
＝cos22x－xsin22xsin2x＝
cosx·sin2x x
＝tan2x.
cos2·cosx
cos2·cosx
使用升次公式的一个技巧为 1＋sin2α＋cos2α＝ (1＋cos2α)＋sin2α＝2cos2α＋2sinαcosα＝2cosα(cosα＋sinα).
【互动探究】
2．若 tanx＝ 2，求2cossi2n2xx－＋scionsxx－1的值．
解题思路：首先要使角要统一，所以分母使用二倍角公式．解析：原式＝sinx＋1－2sin22x－s1in2sxinx－1＋2sin22x＋1 ＝2sin2xcos2x－2sinx22x2xsin2xcos2x＋2sin22x

2015届高考数学(理)一轮专题复习特训：三角函数(人教A版)

2015届高考数学（理）一轮专题复习特训：三角函数一、选择题错误！未指定书签。

1．（山东省德州市平原一中2014届高三9月月考数学（理）试题）点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B2错误！未指定书签。

．（山东师大附中2014届高三第一次模拟考试数学试题）已知tan 2x =,则2sin 1x += （）A ．0B ．95C ．43D ．53【答案】B 3．（山东省德州市平原一中2014届高三9月月考数学（理）试题）如果sinx+cosx=15,且0<x<π,那么tanx 的值是（）A ．-43B ．-43或-34C ．-34D ．43或-34【答案】（） A ．4错误！未指定书签。

．（山东省德州市平原一中2014届高三9月月考数学（理）试题）sin(1920)-的值为（）A ．B ．12-CD ．12【答案】A错误！未指定书签。

5．（山东省烟台市莱州一中2014届高三10月阶段测试数学试题（理））点P 从(1,0)出发,沿单位圆221x y +=逆时针方向运动23π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为（）A ．12⎛- ⎝⎭B ．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛- ⎝⎭D ．12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】（） A ．6错误！未指定书签。

．（山东省烟台市莱州一中2014届高三10月阶段测试数学试题（理））已知3sin cos ,cos sin 842ππααααα=<<-且，则的值是（）A ．12B ．12-C ．14-D ．12±【答案】 B ．7错误！未指定书签。

．（山东省桓台第二中学2014届高三第二次阶段性测试数学试题）已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则tan α= （） A ．-1 B．2-C．2D ．1 【答案】A错误！未指定书签。

2015高考数学一轮总复习课件：3.1 三角函数的概念

题型分类 ·典例研析
题型1 ·终边相同的角
例 1.(1)已知 cos θ·sin θ<0，那么角 θ 是( ) A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第二或第四象限角 D. 第一或第四象限角
(2)如果点 P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角 θ 是第________象限角．
第十五页，编辑于星期五：十二点三十二分。
解析: (3)错误．角度和弧度不能混合使用．解析: (4)错误．根据任意角的概念可知顺时针转过的角为负角，故本题应为－60．
解析:(5)错误．终边相同的角不一定相等，它们之间可以相差 360°的整数倍．
第十六页，编辑于星期五：十二点三十二分。
2、 (教材改编)sin 390°等于(
第十八页，编辑于星期五：十二点三十二分。
4、若 sin α<0 且 tan α>0，则 α 是第____象限角．
解析：
设 P(x，y)为 α 终边上一点，由三角函数的定义可知 y<0， x<0，故 α 为第三象限角．
5、(2013·北京模拟)已知角α的终边经过点(－1，1)，则 sin α的值是____．
(3)终边相同的角所有与角α终边相同的角(包括α在内)，可构成一个集合 _{β__|β__＝__α_＋__k__·3__6_0_°_，__k_∈__Z__}___或__{_β_|_β__＝__α_＋__2_k_π__，_k__∈_Z__}______．
第十页，编辑于星期五：十二点三十二分。
2. 弧度的定义及公式
第二象限．∴角 θ 是第二或第四象限角．选 C
(2)∵点 P(sin θcos θ，2cos θ) 位于第三象限，

2015届高考数学(理)一轮讲义：第6讲三角函数经典精讲课后练习

第6讲三角函数经典精讲主讲教师：王春辉北京数学特级教师题一：函数2()22sin f x x x -,(02x π≤≤)则函数f (x )的最小值为（）A ．1B ．-2C D ．题二：设函数f （x ）=|sin x |+cos2x ，若62x ππ-≤≤，则函数f （x ）的最小值是．题三：已知α、β为锐角，且2sin cos sin 1sin cos sin 1=-+⋅-+βββααα，则βαtan tan =题四：已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析表达式．题五：设函数22()cos()2cos ,32xf x x x π=++∈R . (1) 求()f x 的值域;(2) 记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,若()1f B =,1b =,c =求a 的值.题六：已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈ (1)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值; (2)若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,求0cos 2x 的值.题七：已知关于实数x 的不等式22(tan 1)(tan 1)||22x θθ+--≤， x 2－3(tan θ＋1)x ＋2(3tan θ＋1)≤0的解集分别为M ，N ，且M ∩N ＝∅，则这样的θ存在吗？若存在，求出θ的取值范围．题八：在(0,2π)内，使sin α >cos α成立的α的取值范围为( )． A.⎝⎛⎭⎫π4，π2 ∪⎝⎛⎭⎫π，54π B ．⎝⎛⎭⎫π4，π C.⎝⎛⎭⎫π4，54π D ．⎝⎛⎭⎫π4，π ∪ ⎝⎛⎭⎫54π，32π题九：将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移3π个单位，则所得函数图象对应的解析式为题十：先作函数y ＝sin x 的图象关于y 轴的对称图象，再将所得图象向左平移π4个单位，所得图象的函数解析式是________．题十一：已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos(α＋β)的值．题十二：若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为( )． A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6题十三：在△ABC 中，2AB AC AB AC ⋅=-=，(1)求：AB 2+AC 2的值； (1) 当△ABC 的面积最大时求A 的大小。

2015年高考数学一轮总复习精品课件：第三章+三角函数、解三角形 3.1 任意角和弧度制及任意角的三

2
4
2
2

关闭
∴π- 是第一或第三象限的角.
2
B
解析
考点一
考点二
考点三
误区警示
答案
答案
第十五页，编辑于星期五：十一点十一分。
16
探究突破
方法提炼
1.对与角 α 终边相同的角的一般形式 α+k·360°的理解.
(1)k∈Z;
(2)α 是任意角;
(3)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角
方法求解,

若角 α 终边上任意一点 P(x,y),|OP|=r,则 sinα= ,cosα= ,tanα= .

正解:P(4,y)是角 θ 终边上的一点,

由三角函数的定义知 sinθ=
,
16+2
又因为
2 5

2 5
sinθ=- ,则
=- ,解得
5
5
2
16+
y=-8.
4
梳理自测
1.任意角
(1)角的分类
任意角可按旋转方向分为
正角、负角
、
零角 .
(2)象限角
第一象限
角的集合

α 2k < < 2 + ,k∈Z
2
第二象限
角的集合
2π + < < 2 + π,∈Z
第三象限
角的集合
2π + π < < 2π +
第四象限
角的集合

3
3
3
1 10π
1
π

2015年高考数学(人教A版_理)一轮复习配套讲义：第8篇_第6讲_双曲线

第6讲双曲线[最新考纲]1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想.知识梳理1．双曲线的定义平面内动点P 与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a＜2c )，则点P 的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b a x y ＝±a b x离心率 e ＝c a ，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长a ，b ，c 的关系 c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)辨析感悟1．对双曲线定义的认识(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×)(2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)2．对双曲线的标准方程和几何性质的理解(3)方程x 2m －y 2n ＝1(mn ＜0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(×)(4)(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为y ＝±12x .(×)(5)(2013·陕西卷改编)双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于9.(√)(6)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(×)[感悟·提升]1．一点提醒双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的差”，常数必须小于|F 1F 2|且大于零，如(1)中应为双曲线的一支；如(2)中应为两条射线．2．二个防范一是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，而双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±a b x ⎝ ⎛⎭⎪⎫即x ＝±b a y ，应注意其区别与联系，如(4)；二是直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点，如(6)．考点一双曲线的定义及应用【例1】 (1)若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距离是 ( )． A ．4 B ．12 C ．4或12 D ．6(2)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△ PQF 的周长为________．解析 (1)由题意知c ＝4＋12＝4，设双曲线的左焦点为F 1(－4,0)，右焦点为F 2(4,0)，且|PF 2|＝8.当P 点在双曲线右支上时，|PF 1|－|PF 2|＝4，解得|PF 1|＝12；当P 点在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝4，解得|PF 1|＝4，所以|PF 1|＝4或12，即P 到它的左焦点的距离为4或12.(2)由x 29－y 216＝1得a ＝3，b ＝4，c ＝5.∴|PQ |＝4b ＝16>2a .又∵A (5,0)在线段PQ 上，∴P ，Q 在双曲线的右支上，且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知⎩⎪⎨⎪⎧ |PF |－|P A |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6，∴|PF |＋|QF |＝28. ∴△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.答案 (1)C (2)44规律方法 (1)双曲线定义的集合语言：P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a,0＜2a ＜|F 1F 2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．【训练1】 (1)(2014·大连模拟)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝( )．A ．1B ．17C ．1或17D ．以上答案均不对 (2)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为 ( )．A ．5B ．5＋4 3C ．7D ．9解析 (1)由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.(2)如图所示，设双曲线的右焦点为E ，则E (4,0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF |－|PE |＝4，则|PF |＋|P A |＝4＋|PE |＋|P A |.由图可得，当A ，P 、E 三点共线时，(|PE |＋|P A |)min ＝|AE |＝5，从而|PF |＋|P A |的最小值为9.答案 (1)B (2)D考点二求双曲线的标准方程【例2】 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程为________．解析 (1)椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7.又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.(2)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.答案 (1)x 24－y 23＝1 (2)y 22－x 24＝1规律方法求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.【训练2】根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)．(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，∴c ＝13.∴b 2＝c 2－a 2＝25.∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)．∴⎩⎨⎧ 9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.考点三双曲线的几何性质【例3】 (1)(2013·湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．(2)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )．A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ＋4y ＝0解析 (1)因为PF 1⊥PF 2，∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝32|F 1F 2|＝3c .由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即3c －c ＝2a ，所以离心率e ＝c a ＝3＋1.(2)设PF 1的中点为M ，由|PF 2|＝|F 1F 2|，故F 2M ⊥PF 1，即|F 2M |＝2a ，在直角三角形F 1F 2M 中，|F 1M |＝(2c )2－(2a )2＝2b ，故|PF 1|＝4b ，根据双曲线的定义4b －2c ＝2a ，即2b －a ＝c ，即(2b －a )2＝a 2＋b 2，即3b 2－4ab ＝0，即3b ＝4a ，故双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，即y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0. 答案 (1)3＋1 (2)C规律方法在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a ，b ，c 的齐次关系式，将b 用a ，e 表示，令两边同除以a 或a 2化为e 的关系式，进而求解．(2)求曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.【训练3】 (1)设点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，若|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是________．(2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，则该双曲线的离心率为________．解析 (1)由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以4|PF 2|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝23a ，|PF 1|＝83a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 83a ≥c ＋a ，23a ≥c －a ，整理得53a ≥c ，所以c a ≤53，即e ≤53，又e ＞1，所以1＜e ≤53.(2)当焦点在x 轴上时，b a ＝23，即c 2－a 2a 2＝49，所以e 2＝139，解得e ＝133；当焦点在y 轴上时，b a ＝32，即c 2－a 2a 2＝94，所以e 2＝134，解得e ＝132，即双曲线的离心率为132或133.答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53 (2)132或1331．双曲线的很多问题与椭圆有相似之处，在学习中要注意应用类比的方法，但一定要把握好它们的区别和联系．2．双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要熟练掌握以下两个部分：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程．如果已知渐近线方程为ax±by＝0时，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法．3．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点)，“四线”(两条对称轴、两近线)，“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系．教你审题8——运用双曲线的标准方程及其性质【典例】如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左，右焦点，BC x 轴交于点M .则C 的离心率是 ( )．A.233B.62 C. 2 D. 3[审题] 一审：求出直线F 1B 的方程．二审：求出点P 、Q 的坐标及PQ 中点坐标．三审：求出PQ 的垂直平分线方程，令y ＝0得M 点的坐标．四审：由|MF 2|＝|F 1F 2|建立关系式，求出离心率．解析依题意，知直线F 1B 的方程为y ＝bc x ＋b ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b c x ＋b ，x a －yb ＝0，得点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b c x ＋b ，x a ＋y b ＝0，得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－acc ＋a ，bc c ＋a ，所以PQ 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2cb 2，c 2b .所以PQ 的垂直平分线方程为y －c 2b ＝－c b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2c b 2.令y ＝0，得x ＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2，所以c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＝3c .所以a 2＝2b 2＝2c 2－2a 2，即3a 2＝2c 2.所以e ＝62.故选B.答案 B[反思感悟] 求解双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a ，c 的关系．对于本例的求解，给出的条件较多，对基础知识的考查较为全面，如双曲线的焦点、虚轴、渐近线及垂直平分线等，但都为直接、连贯的条件，直接根据已知条件就可以求解本题．【自主体验】(2013·山东卷)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )． A.316 B.38 C.233D.433 解析抛物线C 1：y ＝12p x 2的标准方程为x 2＝2py ，其焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2；双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点F ′为(2,0)，其渐近线方程为y ＝±33x .由y ′＝1p x ，所以1p x ＝33，得x ＝33p ，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，p 6.由点F ，F ′，M 三点共线可求p ＝433.答案 D基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·郑州二模)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )． A ．4 2 B ．8 3 C ．24 D ．48解析由⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，可解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10可得△PF 1F 2是直角三角形，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24. 答案 C2．(2013·湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )．A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析 ∵0＜θ＜π4，∴sin θ＜cos θ.由双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1知实轴长为2sin θ，虚轴长为2cos θ，焦距为2，离心率为1sin θ.由双曲线C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1知实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2，离心率为1cos θ. 答案 D3．(2014·日照二模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与圆x 2＋y 2－10x ＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为( )． A.x 25－y 220＝1 B.x 225－y 220＝1 C.x 220－y 25＝1 D.x 220－y 225＝1 解析由题意知圆心坐标为(5,0)，即c ＝5，又e ＝ca ＝5，∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1. 答案 A4．双曲线x 2－y2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )．A ．m ＞12 B ．m ≥1 C ．m ＞1 D ．m ＞2 解析在双曲线x 2－y 2m ＝1中，a ＝1，b ＝m ，则c ＝1＋m ，离心率e ＝ca ＝1＋m1＞2，解得m ＞1. 答案 C5．(2014·成都模拟)已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (其中c 为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为( )．A.32B.52C.352D.52解析不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0.则焦点到渐近线的距离为|bc |b 2＋a 2＝53c ，即b ＝53c ，从而b 2＝59c 2＝c 2－a 2，所以49c 2＝a 2，即e 2＝94，所以离心率e ＝32. 答案 A 二、填空题6．(2014·青岛一模)已知双曲线x 2－ky 2＝1的一个焦点是(5，0)，则其离心率为________．解析由已知，得a ＝1，c ＝ 5.∴e ＝ca ＝ 5. 答案57．(2014·广州一模)已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．解析由题意得c ＝13，所以9＋a ＝c 2＝13，所以a ＝4.即双曲线方程为x 29－y24＝1，所以双曲线的渐近线为2x ±3y ＝0. 答案 2x ±3y ＝08．(2014·武汉诊断)已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y 2n －x 2m ＝1的焦距等于4，则n ＝________.解析因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y 轴，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1，所以椭圆方程为y 2n ＋x 2＝1，且n ＞0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．答案 5 三、解答题9．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5. 设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， ∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25，又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4， ∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知：c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线半实、虚轴长分别为m ，n ，则⎩⎨⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m .解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213， ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·焦作二模)直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)左右两支分别交于M 、N 两点，F 是双曲线C 的右焦点，O 是坐标原点，若|FO |＝|MO |，则双曲线的离心率等于( )．A.3＋ 2B.3＋1C.2＋1 D ．2 2解析由题意知|MO |＝|NO |＝|FO |，∴△MFN 为直角三角形，且∠MFN ＝90°，取左焦点为F 0，连接NF 0，MF 0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF 0为平行四边形．又∵∠MFN ＝90°，∴四边形NFMF 0为矩形，∴|MN |＝|F 0F |＝2c ，又∵直线MN 的倾斜角为60°，即∠NOF ＝60°， ∴∠NMF ＝30°，∴|NF |＝|MF 0|＝c ，|MF |＝3c ，由双曲线定义知|MF |－|MF 0|＝3c －c ＝2a ， ∴e ＝ca ＝3＋1. 答案 B2．(2014·临沂联考)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )． A ．(1,2) B ．(2，2) C ．(3，2) D ．(2,3)解析由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF <π4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a 2，取点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |<|EF |就能使∠AEF <π4，即b 2a <a ＋c ，即b 2<a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2<0，即e 2－e －2<0，即－1<e <2.又e >1，故1<e <2. 答案 A 二、填空题3.如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则(1)双曲线的离心率e ＝________；(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝________.解析 (1)由△B 2OF 2的面积可得a b 2＋c 2＝bc ，∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52，∴e ＝1＋52.(2)设∠B 2F 1O ＝θ，则sin θ＝b b 2＋c 2，cos θ＝c b 2＋c 2，S 1S 2＝2bc4a 2sin θcos θ＝2bc 4a 2bc b 2＋c2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52.答案 (1)1＋52 (2)2＋52 三、解答题4．(2014·湛江二模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解 (1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，∴a ＝b ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1. (2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程，得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ， ∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，c 2，代入双曲线方程，得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，②又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0， ∵e ＞1，∴e ＝ 2.∴双曲线的离心率为 2.。

【高考风向标】高考数学一轮复习第六章第6讲三角函数的求值、化简与证明课件文

设 φ(t)＝t＋4t ，由(1)知 t∈[1， 2]， ∴φ′(t)＝1－t42<0，即函数 φ(t)在区间[1， 2]上是减函数，其最小值为 φ( 2)＝ 2＋ 42＝3 2. 即 x＝π4时，函数 f(x)的最小值为 3 2. 【失误与防范】认清二次函数问题是解决问题的关键，例如：若 sinα＋cosα 是“一次”，则 sinαcosα 是“二次”；若 1＋k是“一次”，则 2k＋1 是“二次”等．
∵x∈0，2π，∴x＋π4∈π4，34π. ∴ 2sinx＋π4∈[1， 2]． ∴sinx＋cosx 的取值范围是[1， 2]． (2)设 t＝sinx＋cosx，则 t2＝(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx,2sinxcosx＝t2－1. 则 f(x)＝2ssiinnxxc＋oscxo＋sx5＝t2＋t 4＝t＋4t .
＝－2sicno2s05°0s°in70°＝－2sicno2s05°0c°os20°
＝－cossin5400°°＝－cocso5s05°0°＝－1.
切化弦和边角统一都是基本方法．关于三角形中的三角函数问题，边角的统一是问题的切入点，等式右边的分子分母均为 a，b，c 的二次齐次式，所以考虑使用余弦定理．
易错、易混、易漏 11．三角函数中的二次函数问题，忽视了自变量范围的研究例题：已知函数 f(x)＝2ssiinnxxc＋oscxo＋sx5，x∈0，2π.
(1)求 sinx＋cosx 的取值范围； (2)求函数 f(x)的最小值．
正解：(1)sinx＋cosx＝
2
22sinx＋
2
2
cosx
＝ 2cos4πsinx＋sinπ4cosx＝ 2sinx＋π4.
2．三角公式的三大作用 (1)三角函数式的化简． (2)三角函数式的求值． (3)三角函数式的证明． 3．求三角函数最值的常用方法 (1)配方法． (2)化为一个角的三角函数． (3)数形结合法． (4)换元法． (5)基本不等式法等．

2015年高考数学三角函数解析-精品PPT

涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.
例1．若sin2x>cos2x，则x的取值范围是（ D）
（A）{x|2kπ－3π/4＜x＜2kπ＋π/4，k∈Z}（B） {x|2kπ＋π/4＜x＜2kπ＋5π/4，k∈Z} （C） {x|kπ－π/4＜x＜kπ＋π/4，k∈Z } （D） {x|kπ＋π/4＜x＜kπ＋3π/4，k∈Z} 解：由 sin2x>cos2x 得 cos2x － sin2x ＜ 0, 即 cos2x ＜0,所以：π/2＋kπ＜2x＜3π/2＋kπ,选D. 另解：数形结合法：由已知得|sinx|>|cosx|，画出y=|sinx|和y=|cosx|的图象，从图象中可知选D.
f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，所以选B. 也可由f(x＋2)＝－f(x)，得到周期T＝4，所以
f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
例3．七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相
邻，那么不同的排法的种数是（B）
（A）1440 （B）3600 （C）4320 （D）4800
3.已知 sin m 3 ,cos 4 2m ( ),
m5
m5 2
则tan 等于 __D____ .
2
A. m 3 B. | m 3 | C. 1 D.5 9m 9m 3
4．抛物线 y=ax2的准线方程是 y=2,
则a的值为___B___. (2003江苏.2)
A. 1 B. 1 C.8 D. 8
（）B
( A) 4 3 3 10
(B) 4 3 3 10
(C) 4 3 3 10
(D) 4 3 3 10
四、数学选择题的解题思路
要想确保在有限的时间内，对10多条选择题作出有效的抉择，明晰解题思路是十分必要的。一般说来，数学选择题有着特定的解题思路，具体概括如下：

高中数学竞赛辅导讲义第六章三角函数【讲义】

÷ö 0 ø
=
2.
若α+β< p ，则 x<0，由 0<α< p -β< p 得 cosα>cos( p -β)=sinβ>0,
2
2
2
2
所以 cosa >1。又 0<sinα<sin( p -β)=cosβ，所以 cos b >1，
sin b
2
sin a
所以
ççèæ
cosa sin b
÷÷øö x
+
,
0）均为其对称
中心，值域为[-1，1]。这里 k∈Z.
定理 4 余弦函数的性质，根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。单调
区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。
最小正周期为 2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线 x=kπ 均为其对称
轴，点 çæ kp
2
çæ è
a 2
÷ö ø
tana =
2
tançæ è
a 2
÷ö ø
.
1
-
tan
2
çæ è
a 2
÷ö ø
定理 11 辅助角公式：如果 a, b 是实数且 a2+b2 ¹ 0，则取始边在 x 轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，则 sinβ= b ,cosβ
a2 + b2
= a ，对任意的角α.
第六章三角函数
一、基础知识
定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。

2015高考数学一轮课件：5-6正弦定理和余弦定理

第二十八页，编辑于星期五：十Байду номын сангаас点二十一分。
考点二利用余弦定理解三角形
【例2】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且
ccoossCB＝－2ab＋c.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC的面积．
思维启迪：由
cosB cosC
＝－
b 2a＋c
，利用余弦定理转化为边的关系
又∵a<b，∴B有两个．
答案：B
第十七页，编辑于星期五：十三点二十一分。
4．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a ＝2，B＝6π，c＝2 3，则b＝__________.
第十八页，编辑于星期五：十三点二十一分。
解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋12－ 2×2×2 3× 23＝4，所以b＝2.
AC＝3
2× 3
22＝2
3.
2
答案：B
第十三页，编辑于星期五：十三点二十一分。
2．在△ABC中，a＝ 3，b＝1，c＝2，则A等于( ) A．30° B．45° C．60° D．75°
第十四页，编辑于星期五：十三点二十一分。
解析：∵cosA＝b2＋2cb2c－a2＝12＋ ×41－ ×32＝12，又∵0°<A<180°，∴A＝60°. 答案：C
第三十八页，编辑于星期五：十三点二十一分。
通关训练3 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b， c.已知A＝4π，bsinπ4＋C－csin4π＋B＝a.
(1)求证：B－C＝2π； (2)若a＝ 2，求△ABC的面积．
第三十九页，编辑于星期五：十三点二十一分。

2015高考数学一轮课件：第3篇第6讲正弦定理和余弦定理

(2)在△ABC 中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，则△ABC
的形状是( )．
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
第十六页，编辑于星期五：十三点四十五分。
解析 (1)由 2c2＝2a2＋2b2＋ab，得 a2＋b2－c2＝－12ab，所以 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝－212abab＝－14＜0，所以 90°＜C＜180°，即△ABC 为钝角三角形． (2)由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，得 b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]，即 b2sin Acos B＝a2cos Asin B，即 sin2 Bsin Acos B＝sin2 Acos Asin B，
2．判断三角形形状的两种途径一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
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考点一利用正弦、余弦定理解三角形
【例 1】 (1)(2013·湖南卷)在锐角△ABC 中，角 A，B 所对的边
长分别为 a，
( )．
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
诊断基础知识
突破高频考点
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解析 (1)由正弦定理，得si2n 630°＝s2in 2C，
解得：sin C＝ 22，又 c＜a，所以 C＜60°，所以 C＝45°.
(2)∵sin C＝2 3sin B，由正弦定理，得 c＝2 3b，

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