15经典.4经典.2公式法分解因式1(平方差公式)经典.ppt
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平方差公式课件PPT
$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab - 2bc$
$(a-b+c)^2 = a^2 - b^2 + c^2 + 2(ab)c$
平方差公式的其他变种形式
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ $(a-b)^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
平方差公式课件
目录
CONTENTS
• 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的推导过程 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用举例 • 平方差公式的变种 • 总结与回顾
01 平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
总结词
平方差公式是数学中一个重要的恒等 式，用于表示两个数的平方差与这两 个数之间的关系。
$(a+b+c)^3 = (a+b+c)(a^2 - ab + b^2 - ac + bc - c^2)$
06 总结与回顾
本节课的重点回顾
01
02
03
04
平方差公式的形式和结 构
平方差公式的推导过程
平方差公式的应用范围 和条件
平方差公式的代数表示 和几何意义
本节课的难点解析
01
02
03
04
如何理解和记忆平方差公式的 形式和结构
目标
证明该公式成立
证明的步骤
01
02
03
步骤1
展开左侧，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2 + ab - ab$
步骤2
合并同类项，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$
公式法分解因式ppt
总结词
完全平方公式是一种常见的因式分解方法，适用于形如$a^2 + 2ab + b^2$的式子。
公式
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
完全平方公式法
平方差公式法
总结词
平方差公式是一种基本的因式分解方法，适用于形如$a^2 - b^2$的式子。
提取公因式法是因式分解中常用的一种方法，适用于有公因式的式子。
详细描述
利用三角恒等变换，将式子化为一个单项式的倍数形式，从而得到因式分解的结果。
方法描述
三角公式法
04
公式法分解因式的案例分析
请输入您的内容
公式法分解因式的案例分析
05
公式法分解因式的注意事项与技巧
确认公式是否正确
在使用公式法分解因式时，首先需要确认所使用的公式是否正确，避免使用错误的公式导致结果错误。
THANKS
感谢观看
2023-10-27
公式法分解因式ppt
目录
contents
引言公式法分解因式的基本原理公式法分解因式的具体方法公式法分解因式的案例分析公式法分解因式的注意事项与技巧总结与展望
01
引言
分解因式的定义与重要性
分解因式的重要性
1. 便于化简：通过分解因式，可以将一个复杂的多项式简化为易于计算的基本因子乘积，有助于进一步化简。
在使用公式法分解因式时，需要了解公式的变形，包括平方差公式的逆运算、立方和公式的逆运算等，以便更好地运用公式解决各种问题。
了解公式的变形
掌握公式的运用方法
在使用公式法分解因式时，需要掌握公式的运用方法，包括如何使用公式进行因式分解、如何使用公式进行计算等。
因式分解——平方差公式PPT教学课件
(2)1 6a4 1
(3)2b2 8
试一试：举一个要同时用两种方 法进行因式分解的多项式。
2020/12/10
10
1、把下列各式分解因式：
（1）a-a5
（2）2(x-y)-
1 2
a2(x-y)
2、计算：25×1012－992×25
3、在实数范围内分解因式：
①x2-3
②3x2-5
2020/12/10
)(2x-
31y)
2020/12/10
2
问题：你学了什么方法进行分解 因式？ 提公因式法
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5)
2020/12/10
14.3因式分解 ——平方差公式
2020/12/10
人教新课标
1
问题: 什么叫多项式的因式分解?
判断下列变形过程，哪个是因式分解？
(1) (x-2)(x-2)=x2- 4
(2) x2- 4+3x=(x+2)(x-2)+3x
(3) 7m-7n-7=7(m-n-1)
(4)
4x2-
1 9y2
=(2x+
1 3y能Leabharlann (4) -x2 - y2 不能
2020/12/10
5
例1：把下列各式分解因式 (1)1 25b2 (2) x 2 y 2 z 2 (3) 4 m2 0.01n2 (4) 9 16a 2
9
(1) 1-25b2 =12-(5b)2 =(1+5b)(1-5b) (2) x2y2-z2 =(xy)2-z2 =(xy+z)(xy-z)
15.4.2_公式法--平方差公式
15.4.2 ----平方差公式
复习 1.计算：
(x2y)x (2y)
运用了什么知识？
复习
乘法公式
平方差公式：
(ab)a (b)a2b2
探究
Ⅰ.怎样将多项式 a2 b2 进行因式分
解？
(a b )a ( b ) a 2 b 2
整式乘法
a2b2(ab)a (b)
因式分解
归纳
因式分解方法
范例 例5.在实数范围内分解因式：
(1)x2 3
(2)54a2
巩固 5.在实数范围内分解因式：
(1)x2 6
(2)13 4 y2 9
小结
1.因式分解公式一： 平方差公式
2. 在实数范围内分解因式的意义
作业 1.分解因式：
(1)36b2 1 (2)16x2y2 b2 25
(3)0.49p2144(4)m2 7
巩固 3.分解因式：
(1)94x2 (2)x2y2 1 z2
4
范例 例2. 分解因式：
(1 )1(x 6y)29(xy)2 (2) 4 (2mn)2
25
把括号看作一个整体
巩固 4.把下列各式分解因式：
(1)(ab)2c2 (2)x (p)2(xq)2 (3)x (y)2(zm )2
• 例3.分解因式：
(1) x 4 y 4 ;
因式分解要分到 每个因式都不能
(2)a
3b
ab
.
分为止. 若有公因式，一定
要先提取公因式.
范例 例4.简便计算：
5652 4352
利用因式分解计算
巩固
4.计算：
(651)2 (341)2
2
2
探究 根据数的开方知识填空：
复习 1.计算：
(x2y)x (2y)
运用了什么知识？
复习
乘法公式
平方差公式：
(ab)a (b)a2b2
探究
Ⅰ.怎样将多项式 a2 b2 进行因式分
解？
(a b )a ( b ) a 2 b 2
整式乘法
a2b2(ab)a (b)
因式分解
归纳
因式分解方法
范例 例5.在实数范围内分解因式：
(1)x2 3
(2)54a2
巩固 5.在实数范围内分解因式：
(1)x2 6
(2)13 4 y2 9
小结
1.因式分解公式一： 平方差公式
2. 在实数范围内分解因式的意义
作业 1.分解因式：
(1)36b2 1 (2)16x2y2 b2 25
(3)0.49p2144(4)m2 7
巩固 3.分解因式：
(1)94x2 (2)x2y2 1 z2
4
范例 例2. 分解因式：
(1 )1(x 6y)29(xy)2 (2) 4 (2mn)2
25
把括号看作一个整体
巩固 4.把下列各式分解因式：
(1)(ab)2c2 (2)x (p)2(xq)2 (3)x (y)2(zm )2
• 例3.分解因式：
(1) x 4 y 4 ;
因式分解要分到 每个因式都不能
(2)a
3b
ab
.
分为止. 若有公因式，一定
要先提取公因式.
范例 例4.简便计算：
5652 4352
利用因式分解计算
巩固
4.计算：
(651)2 (341)2
2
2
探究 根据数的开方知识填空：
平方差公式因式分解课件
平方差公式的证明
以几何解释和代数推导的方式，详细介绍平方差公式的证明，并提供一些实例来巩固理解。
平方差公式的应用
展示平方差公式在解决实际数学问题中的应用，包括面积计算、数列求和和方程式的变形等。
因式分解实例1：4x^2 - 9y^2
通过实际例子演示如何应用平方差公式进行因式分解，帮助学生更好地理解 和掌握这一概念。
平方差公式的探究
发掘更深层次的平方差公式相关概念，讨论剩余和约分等概念，并展示它们 是如何相互影响的。
平方差公式的历史背景
介绍平方差公式的历史渊源和相关数学家，帮助学生了解数学知识的发展和演变。
平方差公式在实际生活中的应用
探索平方差公式在实际生活中的实际应用，如建筑设计、物理力学和经济分析等领域。
平方差公式因式分解ppt 课件
本课件将带您了解平方差公式因式分解的概念、应用和推广。深入浅出，轻 松掌握这一数学难题，让您的数学技巧更上一层楼！
平方差公式介绍
通过直观的示意图，了解平方差公式是什么，并掌握其重要性以及在因式分解中的作用。
பைடு நூலகம்
什么是因式分解？
深入分析因式分解的定义，展示因式分解在数学中的重要性，以及为什么它 是数学解决难题的基础。
因式分解实例5：9a^2 - 16b^2
最后一个实例将帮助学生巩固平方差公式因式分解的知识，并解决更具挑战 性的方程式问题。
平方差公式的推广
探讨平方差公式的推广应用，如立方差公式和高次幂差公式，并帮助学生扩 展他们的数学思维。
平方差公式的变形1：(a+b)^3
了解如何将平方差公式应用于(a+b)^ 3的展开，并解决更复杂的代数问题。
平方差公式的变形2：(a+b)^4
平方差公式ppt
将平方差公式应用于求导过程 中
在积分中的应用
将平方差公式应用于积分过程 中
在级数中的应用
将平方差公式应用于级数展开 式中
05
平方差公式的练习题
基础练习题
总结词：巩固基础
详细描述：通过简单的题目，熟悉平方差公式的应用，如两数之和与两数差的乘 积等于两数平方的差等。
举例：$(5+3)(5-3)=5^{2}-3^{2};(10+4)(10-4)=10^{2}-4^{2}$
利用数论知识证明
总结词
数论与代数的结合
详细描述
利用数论知识证明平方差公式的方法是通过引入整数 a 和 b，将等式左边表示成 (a + b)(a - b) 的形式，然后利用整数的性质展开括号并化简，从而证明等式成立 。
03
平方差公式的应用
在代数中的应用
1 2
求解一元二次方程
当未知数的最高次数为2时，可以使用平方差公 式求解方程。
在数论中的应用
整数的平方差
两个整数的平方差可以用平方差公式表示，这个公式在整数的因数分解和分 拆问题中有重要应用。
同余方程
在数论中，平方差公式可以用于求解一些同余方程，如ax^2+by^2=c(a,b,c 为整数)的解的求解方法中就涉及平方差公式的应用。
04
平方差公式的扩展
一般的化简形式
01
02
03
代数表达式
将一个数用代数表达式表 示出来
变量替换
将一个变量替换成另一个 变量
移项
将一个数移到等号左边或 右边
与其他数学公式的结合
与和差公式的结合
将和差公式与平方差公式 结合使用
与平方法则的结合
将平方法则与平方差公式 结合使用
在积分中的应用
将平方差公式应用于积分过程 中
在级数中的应用
将平方差公式应用于级数展开 式中
05
平方差公式的练习题
基础练习题
总结词：巩固基础
详细描述：通过简单的题目，熟悉平方差公式的应用，如两数之和与两数差的乘 积等于两数平方的差等。
举例：$(5+3)(5-3)=5^{2}-3^{2};(10+4)(10-4)=10^{2}-4^{2}$
利用数论知识证明
总结词
数论与代数的结合
详细描述
利用数论知识证明平方差公式的方法是通过引入整数 a 和 b，将等式左边表示成 (a + b)(a - b) 的形式，然后利用整数的性质展开括号并化简，从而证明等式成立 。
03
平方差公式的应用
在代数中的应用
1 2
求解一元二次方程
当未知数的最高次数为2时，可以使用平方差公 式求解方程。
在数论中的应用
整数的平方差
两个整数的平方差可以用平方差公式表示，这个公式在整数的因数分解和分 拆问题中有重要应用。
同余方程
在数论中，平方差公式可以用于求解一些同余方程，如ax^2+by^2=c(a,b,c 为整数)的解的求解方法中就涉及平方差公式的应用。
04
平方差公式的扩展
一般的化简形式
01
02
03
代数表达式
将一个数用代数表达式表 示出来
变量替换
将一个变量替换成另一个 变量
移项
将一个数移到等号左边或 右边
与其他数学公式的结合
与和差公式的结合
将和差公式与平方差公式 结合使用
与平方法则的结合
将平方法则与平方差公式 结合使用
15.4.2 因式分解(平方差公式)
(3) m2 - 0.01n2; (4) 4x2-9.
(1) 1-25b2 = 12-(5b)2 = (1+5b) (1-5b) (2) x2y2-z2 = (xy)2- z2 = (xy+z) (xy-z) (3) m2- 0.01n2 = m2- (0.1n)2 =(m+0.1n)(m-0.1n) (4) -9+4x2 = (2x)2 - 32 = (2x +3) (2x-3)
（１）(x+p)2-(x-q)2;
（２）16(a-b)2-9(a+b)2.
练习2 把下列各式因式分解：
(1) (m+n)2 - n2 (2) (2x-y)2 - (x+2y)2 (3) (a+b+c)2 - (a-b+c)2
例题3 把下列各式因式分解：
（１） a3b - ab （２） x4 - y4
三维课堂 P74 第十四课时
把下列各式因式分解： （1）x2-4 =(x+2)(x-2) (2) 9-y2 =(3+y)(3-y) (3) 1-a2b2 =(1+ab)(1-ab) (4) 4x2-y2 =(2x+y)(2x-y).
把下列各式因式分解：
（1）36-m2 ＝（6+m) (6-m) (2) 4x2-9y2 = (2x+3y) (2x-3y)
P168页 练习 ：1
(3)a2-１１６
x2
=(a+
1 4
x)(a-
1 4
x)
(4) 0.81b2-16c2 = (0.9b + 4c) (0.9b - 4c)
例题2 把下列各式因式分解：
平方差公式因式分解 ppt课件
ppt课件
8
随堂演练
1、下列哪些多项式可以用平方差公式 分解因式？
(1) 4x2+y2；
(2) 4x2-(-y)2；
(3) -4x2-y2；
(4) -4x2+y2；
(5) a2-4；
(6) a2+32.
ppt课件
9
2、把下列各式分解因式:
(1) 36-25x2 (2) 16a2-9b2 解：(1) 36-25x2 =62-(5x)2
解: R2- r2
= (R+r)(R-r)cm2 当R=8.45，r=3.45时, 原式=(8.45+3.45) ×(8.45-3.45) ×3.14
=186.83cm2
ppt课件
18
=(a2+b2)(a+b)(a-b)
(2) (m2-3)2–1= (m2-3-1)(m2-3+1)
=(m2-4)(m2-2) =(m+2)(m-2)(m2-2)
(3) 9(m+n)2-(m-n)2
ppt课件
14
Hale Waihona Puke 固练习 1.把下列各式分解因式：(1)(m - a)2 - (n + b)2
(2)49(a - b)2 -16(a + b)2
=(6+5x)(6-5x)
(2) 16a2-9b2 =(4a)2-(3b)2 =(4a+3b)(4a-3b)
ppt课件
10
3、把多项式9(a+b)2-4(a-b)2分解因式.
解：9(a+b)2-4(a-b)2 =[3(a+b)]2-[2(ab=)[]32(a+b)+2(a-b)] [3(a+b)-2(a-b)]
《公式法》因式分解PPT课件(第1课时)
(1)( + ) −( − )
解： (1)( + ) −( − )
= ( + )
− ( − )
多项式
= + + ( − ) + − ( − )
=( + + − )( + − + )
=( + )( + )
＝4×100×7=2800.
连接中考
( −)( −)
（2020•河北）若
则 =
= × × ，
.
解析：方程两边都乘以，
得 − − = × × ，
∴ + − + − = × × ，
）
平方差公
式因式分
解的步骤
一找 二套 三彻底
解： 4x2+8x+11
=4(x2+2x)+11
=4(x2+2x+1-1)+11
=4(x+1)2-4+11
=4(x+1)2+7
∵4(x+1)2≥0，
∴4(x+1)2+7>0
即4x2+8x+11>0，所以小刚说得对.
课堂小结
公式
− = ( + )( − )
公式法
分解因式
（平方差公式
答：剩余部分的面积为36 cm2.
课堂检测
能力提升题
已知 = + ， = + ， ≠ ，则
+ + 的值为
16
.
解析：将 = + ， = + 相减，
因式分解公式法ppt课件PPT课件
D. -(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1 第6页/共140)页原式=2（3+b)(3-b)
2)原式=(x²+1)(x+1)(x-
完全平方公式
ab 2 a2 2abb2
ab 2 a2 2abb2
第7页/共40页
现在我们把这个公式反过来
感谢您的观看。
第40页/共40页
=(2x)²- (mn)²
第4页/共40=页（2x+mn)(2xmn)
例2.把下列各式因解式： 分解
1)( x + z )²- ( y + 4z.原)²式=[(x+y+z)+(x-y-z)]
×[(x+y+z)- (x-y-
2)4解(：a + b)²- 25(az)-] c)²
1.原式=[(x+z)+(y+z)][(x+z=)-2 x ( 2 y + 2 z)
5、把 1 x2 3xy 9 y分2 解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
B、
1 2
x
3y
2
6、把
4 9
x2
y2
4 3
xy（分解因A 式得）
A、
2 3
x
y
2
B、
第19页/共40页
4 3
x
2
y
7、如果100x2+kxy+y2可以分解为
（10x-y)2,那么k的值是（ B ）
第28页/共40页
10.（2010·眉山中考）把代数mx式2 6mx 9m 下列结果中正确的是（ ）
公式法平方差公式ppt课件
= xm (x2-1)
=xm(x+1)(x-1)
典例精析 例3 计算下列各题： (1)1012－992
(2) 53.52×4－46.52×4
解：（1）原式＝(101＋99)×(101－99) ＝400
（2）原式＝4×(53.52－46.52)
＝4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5) ＝4×100×7 =2800
(4+a2)(2+a)(2-a)
5.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
考考你
1.求证：992-1能被100整除.
2.求证：当n为自然数时，代数式： （n+7）2-（n-5）2能被24整除.
小 结:
1.因式分解的步骤是首先如有公因式提取公因式,然 后考虑用公式. 2.因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分 解为止. 3.计算中应用因式分解,能使计算简便.
回顾与思考
1、什么叫因式分解？因式分解与整式乘法有什么关系？
2、判断下列各式是因式分解的有 （2） （1）(x+2)(x-2)=x2-4 (2) x2-4 =(x+2)(x-2) (3) x2-4 +3x= (x+2)(x-2)+3x
比一比
和老师比一比，看谁算的又快又准确！
322-312
682-672
根据多项式的特点，确定能代表公式中的a，b的数（或整 式）；
二“写”：
将多项式的两项写成两数（或两个整式）的平方；
三“分”：
将多项式分解成两个数（或两个整式）的和与两个数（或两 个整式）的差的乘积的形式；
四“化”： 因式分解的结果能化简的要化简.
中考数学复习 公式法因式分解(一)平方差公式课件
大显身手(dàxiǎn shēn shǒu)
（1） m2 9n2
（2） 0.25a2121b2
（3） 9x2 4y2 预习检测
（4） y 2 25 x 2
12/11/2021
4
第七页，共二十七页。
合作 展示 (hézuò)
12/11/2021
第八页，共二十七页。
寻找 不同 (xúnzhǎo)
知识 拓展 (zhī shi)
如果一个正整数能表示为两个连续(liánxù)偶数的平 方差，那么就称这个数为“神秘数”。
422 、02 1、24222 206242
因此，4，12，20都是神秘数。 28是神秘数吗？
神秘数都是4的倍数吗？请说明理由。
12/11/2021
相信你能行！
第二十四页，共二十七页。
（1）
（2）
16xa2229b52 ((4 5a x3 )b (5)(4a x)3b)
（3）(mn)2 n2 m(m2n)
（4）4x2 16 4(x2)(x2)
简便 计算： (jiǎnbiàn)
（5）252652135225
1300000 12/11/2021
第十七页，共二十七页。
把下列(xiàliè)各式分解因式
知识 拓展 (zhī shi)
英国(yīnɡ ɡuó)数学家狄摩根在青年时代,曾有人问 他:“今年多大年龄？”狄摩根想了想说： “今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差是 141，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗？” 假设狄摩根的年龄为x岁，他弟弟的年龄为 y
岁，你能算出他们的年龄吗？
12/11/2021
12/11/2021
第二十页，共二十七页。
1.选择题： (1)下列各式能用平方差公式分解(fēnjiě)因式的是（ ）
因式分解-平方差公式36页PPT
因式分解-平方差公式
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
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小明选用多项式4x3-xy2，取x=10,y=10时。用 上述方法产生的密码是什么?
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32-112=58、×找1，规5律2-32=8×2，
（1） 72-52=8_×_3_______， （2） 92-72=_8_×_4______ （3）（ 11 ）2-92=8×5;… 请归纳上述各式所反映的一般规律，并
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21
作业:
(1)49x2-16 (2) 16x4 - 16y4
(3) x3y-xy
(4)ax2-9ay2
(5)49x2-16n2
(6)(2m+5n)2-(3m-2n)2
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分解因式 25(x+m)2-16(x+n)2
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23
加以说明理由。
（2n+1)2-(2n-1)2=8n
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选做题：
1、分解因式：a b c2 a b c2
2、计算： 25 × 2652－1352 × 25
3、1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整 4、已除知? x+y=7,x-y=5,求代数式 x2-y2-2y+2x的值.
(2)(x+式：
分解因式，必须 进行到每一个多 项式都不能再分 解为止。
①x4-y4 ②a3b-ab
解： ①x4-y4 =（x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y)
②a3b-ab=ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1)
平方差公式
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1
1、什么叫因式分解？因式分解与整式乘法有 什么关系？
2、判断下列各式是因式分解的有 （2）
（1）(x+2)(x-2)=x2-4 (2) x2-4 =(x+2)(x-2)
(3) x2-4 +3x= (x+2)(x-2)+3x 3、你能将a2-b2进行因式分解吗？
(a+b)(a-b)= a2-b2. 反过来， a2-b2 =(a+b)(a-b)
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2
=
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3
下列各式能否用平方差公式分解？如果 能分解，分解成什么？如不能说明理由。
①x2+y2 ② x2-y2 =(x+y)(x-y) ③ -x2+y2 =y2-x2=(y+x)(y-x) ④ -x2-y2
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4
分解因式：
(1)4x2-9
注意：公式
a2-b2=(a+b)(a-b)中的a、 b可以是一个数、一个 单项式也可以是一个 多项式。
5、若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
6、英国数学家狄摩根在青年时代,曾有人问他:“今年 多大年龄？”狄摩根想了想说：“今年，我的年龄 和我弟弟年龄的平方差是141，你能算出我的年龄 和我弟弟的年龄吗？”假设狄摩根的年龄为x岁，他 弟弟的年龄为 y岁，你能算出他们的年龄吗？
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b
a2-b2 = (a+b) (a-b)
a
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16、（浙江省中考）在日常生活中如上网等都 需要密码，有一种因式分解法产生的密码方便 记忆又不易破译。 例如用多项式x4-y4因式分解的结果 （x-y)(x+y)(x2+y2)来设置密码，当取x=9,y=9 时，可得一个六位数的密码“018162”。你知 道这是怎么来的吗?
(4)(2m+n)2-(3m-n)2
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9
分解因式： (5)9(x-y)2-16(x+y)2
(6)ax2-4ay2
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10
利用因式分解计算： 1002-992+982-972+962-952+… +22-12 解：原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97） +… +(2+1)(2-1) =100+99+98+97 +… +2+1 =5050
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2、分解因式：
xm+2-xm
解：xm+2-xm =xmx2-xm =xm(x2-1) =xm(x+1)(x-1)
注意：若有公因式则先 提公因式。然后再看能 否用公式法。
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分解因式： (1)25x2-16n2
(2)625m2-36n2
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8
分解因式： (3)-49x2+16n2
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小结:
1.因式分解的步骤是首先提取公因式,然后考 虑用公式.
2.因式分解进行到每一个因式不能再分解为 止.
3.计算中应用因式分解,可使计算简便.
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将一个正方形的一角剪去一个小 正方形，观察剪剩下的部分，你能在 只能剪一刀的情况下，将剩余部分重 新拼接成一个特殊四边形吗？
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32-112=58、×找1，规5律2-32=8×2，
（1） 72-52=8_×_3_______， （2） 92-72=_8_×_4______ （3）（ 11 ）2-92=8×5;… 请归纳上述各式所反映的一般规律，并
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作业:
(1)49x2-16 (2) 16x4 - 16y4
(3) x3y-xy
(4)ax2-9ay2
(5)49x2-16n2
(6)(2m+5n)2-(3m-2n)2
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分解因式 25(x+m)2-16(x+n)2
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加以说明理由。
（2n+1)2-(2n-1)2=8n
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选做题：
1、分解因式：a b c2 a b c2
2、计算： 25 × 2652－1352 × 25
3、1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整 4、已除知? x+y=7,x-y=5,求代数式 x2-y2-2y+2x的值.
(2)(x+式：
分解因式，必须 进行到每一个多 项式都不能再分 解为止。
①x4-y4 ②a3b-ab
解： ①x4-y4 =（x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y)
②a3b-ab=ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1)
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1、什么叫因式分解？因式分解与整式乘法有 什么关系？
2、判断下列各式是因式分解的有 （2）
（1）(x+2)(x-2)=x2-4 (2) x2-4 =(x+2)(x-2)
(3) x2-4 +3x= (x+2)(x-2)+3x 3、你能将a2-b2进行因式分解吗？
(a+b)(a-b)= a2-b2. 反过来， a2-b2 =(a+b)(a-b)
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下列各式能否用平方差公式分解？如果 能分解，分解成什么？如不能说明理由。
①x2+y2 ② x2-y2 =(x+y)(x-y) ③ -x2+y2 =y2-x2=(y+x)(y-x) ④ -x2-y2
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分解因式：
(1)4x2-9
注意：公式
a2-b2=(a+b)(a-b)中的a、 b可以是一个数、一个 单项式也可以是一个 多项式。
5、若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
6、英国数学家狄摩根在青年时代,曾有人问他:“今年 多大年龄？”狄摩根想了想说：“今年，我的年龄 和我弟弟年龄的平方差是141，你能算出我的年龄 和我弟弟的年龄吗？”假设狄摩根的年龄为x岁，他 弟弟的年龄为 y岁，你能算出他们的年龄吗？
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b
a2-b2 = (a+b) (a-b)
a
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16、（浙江省中考）在日常生活中如上网等都 需要密码，有一种因式分解法产生的密码方便 记忆又不易破译。 例如用多项式x4-y4因式分解的结果 （x-y)(x+y)(x2+y2)来设置密码，当取x=9,y=9 时，可得一个六位数的密码“018162”。你知 道这是怎么来的吗?
(4)(2m+n)2-(3m-n)2
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分解因式： (5)9(x-y)2-16(x+y)2
(6)ax2-4ay2
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利用因式分解计算： 1002-992+982-972+962-952+… +22-12 解：原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97） +… +(2+1)(2-1) =100+99+98+97 +… +2+1 =5050
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2、分解因式：
xm+2-xm
解：xm+2-xm =xmx2-xm =xm(x2-1) =xm(x+1)(x-1)
注意：若有公因式则先 提公因式。然后再看能 否用公式法。
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分解因式： (1)25x2-16n2
(2)625m2-36n2
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分解因式： (3)-49x2+16n2
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11
小结:
1.因式分解的步骤是首先提取公因式,然后考 虑用公式.
2.因式分解进行到每一个因式不能再分解为 止.
3.计算中应用因式分解,可使计算简便.
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将一个正方形的一角剪去一个小 正方形，观察剪剩下的部分，你能在 只能剪一刀的情况下，将剩余部分重 新拼接成一个特殊四边形吗？