(完整)七年级-相交线与平行线讲义含辅助线

第七章平面图形的认识(二)

一、平行线

1、同位角、内错角、同旁内角的定义

两条线（a,b）被第三条（c）直线所截，在截线的同旁，被截两直

线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角(corresponding angles)

如图：∠1与∠8，∠2与∠7，∠3与∠6，∠4与∠5均为同位角。

两条线（a,b）被第三条（c）直线所截，两个角分别在截线的两侧，

且在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。如图：

∠1与∠6，∠2与∠5均为同位角。

两条线（a,b）被第三条（c）直线所截，两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角（interior angles of thesame side）。如图：∠1与∠5，∠2与∠6均为同位角。

2、平行线的性质

（1）两直线平行,同位角相等。

（2）两直线平行,内错角相等。

（3）两直线平行,同旁内角互补。

3、平行线的判定

（1）同位角相等,两直线平行。

（2）内错角相等,两直线平行。

（3）同旁内角互补,两直线平行。 （4）平行于同一直线的两直线平行。 （5）垂直于同一直线的两直线平行。

ZU 型辅助线的添加

题型一、“U ”型中辅助线 请安题号把图重新编号 已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠BED=360°-（∠B+∠D ）。 证明：过点E 作EF ∥AB ，则∠B+∠1=180°（ ）。

∵AB ∥CD （已知）， 又∵EF ∥AB （已作），

∴EF ∥CD （ ）。

∴∠D+∠2=180°（ ）。 ∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（ ）。 又∵∠BED=∠1+∠2，

∴∠B+∠D+∠BED=360°（ ）。

∴∠BED==360°-（∠B+∠D ）（ ）。

变式.已知：如图,AB ∥CD,求∠BAE ＋∠AEF ＋∠EFC ＋∠FCD 的度数.

A

B

C

E

F

第3题

题型二、“Z”型中辅助线

如图所示，AB∥ED，∠B＝48°,∠D＝42°, 证明：BC⊥CD。（选择一种辅助线）变式1 已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。求证：∠BFE=∠FEC。

变式2已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B。

“平行线间的折线问题”题型小结

1.原题的难点在于平行线间没有截线或截线不明显

2.添加辅助线的目的是构造截线或构造新的平行线

3.处理平行线间折线的问题，过所有折点作平行线是一种通法

4. 加截线（连结两点、延长线段相交）构造三角形，应用三角形内角和定理，也是一种“转化”的数学思想

1：如图，AB//CD//EF ，那么=∠+∠+∠CEF ACE BAC （A ）︒180 （B ）︒270 （C ）︒360 （D ）︒540

E F

2：如图，AB//CD ，那么AEC C A ∠∠∠与、有什么关系？

D

E

3.已知：AB//CD ，AEC C A ∠∠∠与、又有什么样的关系呢？

D

4. 再次改变点E 的位置试说当AB//CD 时，AEC C A ∠∠∠与、有什么关

E

5.已知：如图，AB//CD ，︒=∠120A ，︒=∠75AED 。求D ∠

C

6、已知：如图（1），ACD EBA ∠=∠3，CD EB //，︒=∠28ACD ，求A ∠2

1

C

（1）

7,已知：图中EB//CD ，︒=∠1501，︒=∠1102，求BAC ∠的度数

E

A

B

8、已知：图中AB//ED ，21∠=∠，43∠=∠，BF 、DF 交于点F ，︒=∠44ABC ， ︒=∠56CDE 。求F ∠的度数

E

D

1、如果将题变为如下图：

AB//CD

B

E

D

此时A ∠、AEF ∠、EFC ∠和C ∠的关系又如何？你能找出其中的规律吗？

2、将题变为如下图：AB//CD

A B

E

F

D

C

此时A

∠、AEF

∠和D

∠的关系又如何？你能找出其中的规律吗？

∠、EFD

1、完成下列推理说明：

如图，已知AB∥DE，且有∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∵AB∥DE（已知）

∴∠1＝（__________________________）

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4(已知)

∴∠2＝（等量代换）

∴BC∥EF（___________________________）

2.如图，已知∠1+∠2=180°∠3=∠B，则∠EDG与∠DGB相等吗？下面是王冠同学的部分推导过程，请你帮他在括号内填上推导依据或内容。

解:∵∠1+∠2=180°（已知）

∠1+∠DFE =180°

∴∠2=

∴EF∥AB

（）

∴∠3=

∵∠3=∠B(已知)

∴∠B=∠ADE ( )

∴DE∥BC（）

∴∠EDG=∠DGB （ ）

3、如图，已知1∠=∠B ，CD 是△ABC 的角平分线，求证：425∠=∠.请在下面

横线上填出推理的依据：

证明：

∵ 1∠=∠B ，（已知）

∴ DE ∥BC ． （ ） ∴ 32∠=∠． （ ） ∵ CD 是△ABC 的角平分线，（ ） ∴ 43∠=∠． （ ） ∴ 24∠=∠． （ ） ∵ 425∠+∠=∠，（ ） ∴ 425∠=∠． （ ）