2012版数学一轮精品复习学案：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

2012版高三数学一轮精品复习学案：第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

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一、考纲点击

1、理解命题的概念；

2、了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；

3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

二、热点、难点提示

1、充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点；

2、多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属于中、低档题目；有时也在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。

【考纲知识梳理】

1、命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

2、四种命题及其关系

（1）四种命题

（3）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；

注：否命题是命题的否定吗？答：不是。命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。

3、充分条件与必要条件

（1）“若p ，则q ”为真命题，记p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

（2）如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，记作p q ⇔，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件。

【要点名师透析】

一、命题的关系与真假的判断 1、相关

（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。

（2）四种命题的关系的应用

掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。

注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。 2、例题解析

〖例1〗设原命题是“已知p 、q 、m 、n 是实数，若p=q ，m=n ，则p ＋m=q ＋n ”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

解：逆命题：“已知p 、q 、m 、n ∈R ，若p ＋m=q ＋n ，则p=q ，m=n(假)．

原命题：“已知p 、q 、m 、n ∈R ，若p ≠q ，m ≠n ，则p ＋m ≠q ＋n ”(假)

逆否命题：“已知p 、q 、m 、n ∈R ，若p ＋m ≠q ＋n ，则p ≠q 或m ≠n ”(真) 注，否命题“若p ≠q ，m ≠n ”应理解为“p ≠q 或m ≠n ”

即是指：①p ≠q ，但m=n ，②p=q 但m ≠n ，而不含p ≠q 且m ≠n ．因为原命题中的条

件：“若p=q ，m=n ．”应理解为“若p=q 且m=n ，”而这一语句的否定应该是“p ≠q 或m ≠n ”．

〖例2〗以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．

①接于圆的四边形的对角互补；

②已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d ；

分析：首先应当把原命题改写成“若p 则q ”形式，再设法构造其余的三种形式命题． 解析：对①：原命题：“若四边形接于圆，则它的对角互补”； 逆命题：“若四边形对角互补，则它必接于某圆”； 否命题：“若四边形不接于圆，则它的对角不互补”； 逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不接于圆”．

对②：原命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d ”，其中“已知a 、b 、c 、d 是实数”是大前提，“a ＝b ，c ＝d ”是条件，“a ＋c ＝b ＋d ”是结论．所以：

逆命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d ”；

否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a ＋c ≠b ＋d ”(注意“a ＝b ，c ＝d ”的否定是“a ≠b 或c ≠d ”只需要至少有一个不等即可)；

逆否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d 则a ≠b 或c ≠d ”．

逆否命题还可以写成：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d 则a ＝b ，c ＝d 两个等式至少有一个不成立”

说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．

二、充分条件与必要条件的判定 1、相关

（1）利用定义判断

①若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；

注：“p 是q 的充分条件”是指有p 就有q ，但无p 也可能有q ．如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要)条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要)条件．

②若q p ⇒，则p 是q 的必要条件；

注：ⅰ “q 是p 的必要条件”是指有q 才能有p ，但有q 未必有p ．如，一个偶数未必能被6整除(q ：为偶数，p ：能被6整除)．

ⅱ

③若p q ⇒且q p ⇒，p 是q 的充要条件； ④

⑤p 是q 的必要而不充分条件．

⑥

（2）利用集合判断

记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则： 若,A B ⊆则p 是q 的充分条件; 若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； 若,A B p q ⊇则是的必要条件； 若B A ，则p 是q 的必要不充分条件； 若A=B ，则p 是q 的充要条件；

注：p 与q 之间的关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆。 2、例题解析 〖例1〗 “2

1

=m ”是“直线03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件

C ．必要而不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

答案：B ； 解析：当1

2

m =

时两直线斜率乘积为1-从而可得两直线垂直,当2m =-时两直线一条斜率为0一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此1

2

m =

是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件。 注：对于两条直线垂直的充要条件①12,k k 都存在时12.1k k =-②12,k k 中有一个不存在另一个为零对于②这种情况多数考生容易忽略。

〖例2〗已知p ：x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则p 是q 的[ ]

A ．充分但不必要条件

B ．必要但不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

分析：利用韦达定理转换．

解析：∵x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根， ∴x 1，x 2的值分别为1，－6， ∴x 1＋x 2＝1－6＝－5．