2012版数学一轮精品复习学案：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

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高三一轮充要与必要条件的复习学案

命题及其关系,充分条件,必要条件一．知识梳理：1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题．其中的语句叫真命题，的语句叫2．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题否命题逆否命题(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的，q是p的；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的5．充分条件、必要条件、充要条件的判断(1)定义法若p q，但q p，则p是q的充分而不必要条件；若q p，但p q，则p是q的必要而不充分条件；若p q且q p，则p是q的充要条件；若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合法首先建立与p，q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}；q：B＝{x|q(x)}．若A⊆B，则p是q的；若B⊆A，则p是q的；若A B，则p是q的充分而不必要条件；若B A，则p是q的必要而不充分条件；若A B，则p是q的充要条件；若A B，B A，则p是q的既不充分也不必要条件．题型一四种命题及真假判断例1 (1)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题： p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ，p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4(2)已知命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是 ( )A ．否命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m >1”是真命题B ．逆命题“若m ≤1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题(1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是 ( )A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3(2)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是 ( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数题型二充要条件的判定【例2】►指出下列命题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A ＝∠B ，q ：sin A ＝sin B ；(2)对于实数x 、y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6；(3)非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B ；(4)已知x 、y ∈R ，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0.(1)(2012·福建)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12 B ．x ＝－1 C ．x ＝5 D ．x ＝0(2)设集合A ＝{x ∈R|x －2>0}，B ＝{x ∈R|x <0}，C ＝{x ∈R|x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件题型三充分条件与必要条件的应用例3 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是 ( ) A ．a <0 B ．0<a <12 C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1 (2)设p ：|4x －3|≤1，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎦⎤0，12B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞(1)若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．(2)已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为_______．(3)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．一、选择题1.下列命题中为真命题的是 ( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题2．若集合A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |(x ＋2)(x －a )<0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知向量a ＝(m 2，－9)，b ＝(1，－1)，则“m ＝－3”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.x 2<4的必要不充分条件是( )A.-2≤x ≤2B.-2<x<0C.0<x ≤2D.1<x<3 5.给出如下三个命题：①四个非零实数a ，b ，c ，d 依次成等比数列的充要条是ad ＝bc ；②设a ，b ∈R ，且ab ≠0，若a b ＜1，则b a ＞1；③若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中不正确命题的序号是( )．A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③6．(2012·天津)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．“λ<1”是“数列a n＝n2－2λn(n∈N+)是递增数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．(2013·海口模拟)已知集合A＝{x∈R|12＜2x＜8}，B＝{x∈R|－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是( )A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．－2＜m＜29.“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________．10.“x＝2”是“向量a＝(x＋2,1)与向量b＝(2,2－x)共线”的________条件．11.若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．12.若x<m－1或x>m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．13．(2012·南昌模拟)若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则m的最大值为__________．14.下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．正确的是________．15．(2013·江西南昌三中月考)已知命题p：x1、x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1＞0有解．若命题p是真命题，命题q为假命题，求实数a的取值范围．。

高三数学一轮复习精品学案1：1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件『基础知识梳理』1．命题及其关系（1）①命题：；常用小写的拉丁字母p ，q ，r ，s ，……表示命题．（2）四种命题的真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有② 的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性③ 关系．2．充分条件、必要条件与充要条件（1）一般地，如果已知④ ，那么就说：p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若⑤ ，则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．（2）从集合与集合之间的关系上看：已知{A x x =满足条件}p ，{B x x =满足条件}q ：若⑥ ，则p 是q 充分条件；若⑦ ，则p 是q 必要条件．——★ 参考答案 ★——①可以判断真假的语句；②相同；③没有；④p q ⇒；⑤p q ⇔；⑥A B ⊆；⑦B A ⊆；『核心考点讲练』题型一：命题之间的关系『典例1』（2014·陕西卷）原命题为“若，，则为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断是．『解析』∵112n n n n n a a a a a +++<⇔<，n N +∈，∴{}n a 为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若12n n n a a a ++，n N +∈，则{}n a 不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，∴命题的逆命题，逆否命题都是真12n n n a a a ++<n N +∈{}n a命题．『答案』真、真、真．『技巧点拔』理解命题及四种命题的真假性之间的关系，两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．题型二：充分条件和必要条件『典例2』（2014·北京卷）设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的条件．『解析』若，则，故不充分；若，则，而，故不必要．『答案』既不充分也不必要．『技巧点拔』判断充分条件或必要条件时可以举反例，从而确定之间的关系．『当堂演练』（2014·浙江卷）设四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC BD”的条件．『解答过程』『解析』四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”那么菱形的对角线垂直，即“四边形ABCD 为菱形”“AC ⊥BD”，但是“AC ⊥BD”推不出“四边形ABCD 为菱形”，例如对角线垂直的等腰梯形，或筝形四边形；∴四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD”的充分不必要条件．『答案』充分不必要．2,0-==b a 22b a <0,2=-=b a 22a b >b a <⊥⇒专题热点集训（时间：20分钟）1.（2012·湖南文）命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题是________.2．（南通市2013届一模）已知命题p :“正数a 的平方不等于0”,命题q :“若a 不是正数,则它的平方等于0”,则p 是q 的________.(从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空)3．（南京市、盐城市2015届一模）设向量(sin 2,cos )θθ=a ，(cos ,1)θ=b ，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .4．（南通市2015届一模）在平面直角坐标系xOy 中，“直线b x y +=，R b ∈与曲线21y x -=相切”的充要条件是“ ”．5.（2011·湖南理）设集合M={1,2}，N={a }2，则“a=1”是“M N ⊆”的_______.6．（无锡市2013届一模）已知P:|x -a|<4；q:(x -2)(3-x)>0,若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件,则a 的取值范围为________________.7．（南京市2015届三模）记不等式x 2＋x －6＜0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为．参考答案与解析1．【答案】由逆否命题的概念知，否定原命题的条件“4πα≠”做结论，否定原命题的结论“1tan ≠α”做条件.原命题的逆否命题是“若1tan ≠α则4πα≠”.2．【答案】否命题.3．【答案】必要不充分．4.【答案】2-=b ． 5．【答案】当a=1时，N={1}，可推出“M N ⊆”.当“M N ⊆”时，有22a 1a 2==或.得到21±=±=a a 或不能推出a=1.所以前者是后者的充分不必要条件.6．【答案】16a -≤≤．7．【答案】(－∞，－3]【命题立意】本题旨在考查不等式的求解，函数的定义域，充要条件的判定。

高考数学一轮复习 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件精品学案

2012版高三数学一轮精品复习学案：第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【高考目标导航】一、考纲点击 1、理解命题的概念；2、了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

二、热点、难点提示1、充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点；2、多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属于中、低档题目；有时也在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。

【考纲知识梳理】 1、命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

2、四种命题及其关系（1）四种命题命题表述形式原命题若p ，则q 逆命题若q ，则p 否命题若p ⌝，则q ⌝ 逆否命题若q ⌝，则p ⌝（3）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；注：否命题是命题的否定吗？答：不是。

命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。

3、充分条件与必要条件（1）“若p ，则q ”为真命题，记p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

（2）如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，记作p q ⇔，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件。

【要点名师透析】一、命题的关系与真假的判断 1、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。

（2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。

注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。

一轮复习配套讲义：第1篇第2讲命题及其关系、充分条件与必要条精品教案导学案

由 q：x2－2x＋1－m2≤0，
得 1－m≤x≤1＋m，
∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
| |x－1
1－
由 p：
3 ≤2，
解得－2≤x≤10，
∴p：P＝{x|－2≤x≤10}．
∵p 是 q 的充分而不必要条件，
∴P Q，∴Error!或Error!
即 m≥9 或 m＞9.∴m≥9.
故实数 m 的取值范围是[9，＋∞)．
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]
解析由 x2＋2x－3＞0，得 x＜－3 或 x＞1，由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，等价于 q 是 p 的充分不必要条件．故 a≥1. 答案 A
对应学生用书 P221
基础巩固题组 (建议用时：40 分钟)
一、选择题
p⇔q
p 是 q 的既不充分也不必要条件
p q且q p
辨析感悟
1．对四种命题的认识 π
(1)(2012·湖南卷改编)命题“α＝4，则 tan
π α＝1”的否命是“若 α＝4，则 tan
α≠1”．(×)
(2)若原命题“若 p，则 q”为真，则在这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数为 1 或 2.(×) (3)命题“若 x2－3x＋2＞0，则 x＞2 或 x＜1”的逆否命题是“若 1≤x≤2，则 x2－3x＋2≤0”．(√) 2．对充分条件、必要条件的理解 (4)给定两个命题 p，q.若 p 是 q 的充分不必要条件，则綈 p 是綈 q 的必要不充分条件．(√) (5)“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件是“x＝0”．(√)
1 (6)在△ABC 中，“A＝60°”是“cos A＝2”的充分不必要条件．(×) (7)(2013·浙江卷改编)已知函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)，则“f(x)是

数学复习：第一章第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件本节主要包括2个知识点:1。

命题及其关系;2。

充分条件与必要条件。

突破点（一）命题及其关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系。

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”命题的真假判断[例1] 下列命题中为真命题的是（ )A ．若1x＝错误!,则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝错误!D ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] 取x ＝－1，排除B ；取x ＝y ＝－1，排除C;取x ＝－2，y ＝－1，排除D.［答案] A［方法技巧] 判断命题真假的思路方法（1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构,即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p ，则q ”的形式，然后联系其他相关的知识,经过逻辑推理或列举反例来判定．（2）一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p ，则q ”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“p ”经过逻辑推理，得出“q ”，则可判定“若p ,则q ”是真命题；②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．四种命题的关系将条件与结论互换即得逆命题,将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．[例2] (1)命题“若a>b，则a－1〉b－1"的否命题是（）A．若a〉b，则a－1≤b－1B．若a>b,则a－1〈b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a<b，则a－1<b－1(2）给出命题：若函数y＝f(x）是幂函数,则函数y＝f（x）的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( ）A．3 B．2 C．1 D．0［解析］(1)根据否命题的定义可知，命题“若a〉b，则a－1〉b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1"．(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f（x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x）是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．［答案］（1)C (2)C[方法技巧］1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项（1）对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p,则q”形式．（2)若命题有大前提，需保留大前提．2．判断四种命题真假的方法(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断．（2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．1．[考点一]下列命题中为真命题的是( )A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点C．互相包含的两个集合相等D．空集是任何集合的真子集解析：选C A中，当m＝0时，是一元一次方程，故是假命题；B中，当Δ＝4＋4a<0，即a〈－1时，抛物线与x轴无交点，故是假命题;C是真命题；D中，空集不是本身的真子集，故是假命题．2．［考点二］命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0"的逆否命题是（）A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0,x，y∈R，则x2＋y2≠0解析：选D 将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0,其否定是x≠0或y≠0.故原命题的逆否命题是“若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0"．3．［考点二]命题“若△ABC有一个内角为错误!，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题( ）A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题解析:选D 原命题显然为真命题，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一个内角为错误!”，它是真命题．故选D.4．[考点二］有下列四个命题：①“若xy＝1，则x,y互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解"的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B"的逆否命题．其中为真命题的是________(填写所有真命题的序号）．解析：①“若xy＝1,则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y 互为倒数,则xy＝1”，显然是真命题；②“面积相等的三角形全等"的否命题是“若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等”，显然是真命题；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解"是真命题，故其逆否命题是真命题；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题是假命题，所以其逆否命题是假命题．故真命题为①②③.答案：①②③突破点(二) 充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的概念2.Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件A＝B考点贯通抓高考命题的“形"与“神”充分条件与必要条件的判断［例1] (1)p x y满足x＞1且y ＞1，q:实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2）（2016·天津高考)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y｜"的( ）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件［解析］(1)∵错误!∴x＋y＞2,即p⇒q.而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3＞2，但不满足x＞1且y＞1，即q⇒/ p．故p是q的充分不必要条件．(2）当x＝1，y＝－2时，x＞y,但x＞｜y|不成立；若x＞|y|，因为｜y|≥y，所以x＞y。

高三数学一轮复习优质教案6：1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件教学设计

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件一、必记个知识点1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．二、必明2个易误区1．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B ⇒/A)；与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/B)两者的不同．三、必会2个方法1．判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A B 时，则p 是q 的充分不必要条件；②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若B A 时，则p 是q 的必要不充分条件；③若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件．(3)等价转化法：p 是q 的什么条件等价于⌝q 是⌝p 的什么条件．2．转化与化归思想由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．考点一命题及其相互关系1.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4『解析』选C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．考点二充分必要条件的判定『典例』 (1)(2013·山东高考)给定两个命题p ，q .若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』 (1)由q ⇒⌝p 且⌝p ⇒/ q 可得p ⇒⌝q 且⌝q ⇒/p ，所以p 是⌝q 的充分而不必要条件．(2)由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．『答案』 (1)A (2)A『针对训练』下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ；(2)p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0.解：(1)若A ＝B ，则sin A ＝sin B ，即p ⇒q .又若sin A ＝sin B ，则2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b .故A ＝B ，即q ⇒p .所以p 是q 的充要条件．(2)p ：{x ||x |＝x }＝{x |x ≥0}＝A ，q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0，或x ≤－1}＝B ，∵A B ，∴p 是q 的充分不必要条件．考点三充分必要条件的应用『典例』已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围．『解』 (1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3. 综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．课后作业『试一试』1．(2013·福建高考)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选A “x ＝2且y ＝－1”满足方程x ＋y －1＝0，故“x ＝2且y ＝－1”可推出“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”；但方程x ＋y －1＝0有无数多个解，故“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”不能推出“x ＝2且y ＝－1”，故“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的充分不必要条件．2．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为：____________________. 『解析』原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°，结论：∠A 、∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A 、∠B 不都是锐角”．『答案』“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A 、∠B 不都是锐角”『练一练』1．(2014·济南模拟)设x ∈R ，则“x 2－3x >0”是“x >4”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选B 由x 2－3x >0得x >3或x <0，此时得不出x >4，但当x >4时，不等式x 2－3x >0恒成立，所以正确选项为B.2．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是________．『解析』原命题与其逆否命题为等价命题．『答案』若b ∈M ，则a ∉M做一做1．(2013·安徽高考)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选B 由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或0，因为“x ＝12或0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．(2013·九江一模)命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( )A ．“若x <y ，则x 2<y 2”B ．“若x >y ，则x 2>y 2”C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2”D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”『解析』选C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．3．(2014·福建质检)已知向量a ＝(m 2,4)，b ＝(1,1)，则“m ＝－2”是“a ∥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选A 依题意，当m ＝－2时，a ＝(4,4)，b ＝(1,1)，所以a ＝4b ，a ∥b ，即由m ＝－2可以推出a ∥b ；当a ∥b 时，m 2＝4，得m ＝±2，所以不能推得m ＝－2，即“m ＝－2”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．4．(2013·聊城期末)设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则A B 是(∁U A )∪B ＝U 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选A 如图所示，A B ⇒(∁U A )∪B ＝U ；但(∁U A )∪B ＝U ⇒/A B ，如A ＝B ，因此A B 是(∁U A )∪B ＝U 的充分不必要条件．5．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是________．『答案』若a ≤b ，则a －1≤b －1 6.创新题已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．『解析』A ＝{x |x <4}，由题意得A B 结合数轴易得a >4.『答案』(4，＋∞)『课下提升考能』1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选B M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以NM ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．(2013·潍坊模拟)命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题『解析』选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 3．(2013·乌鲁木齐质检)“a >0”是“a 2＋a ≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选A a >0⇒a 2＋a ≥0；反之a 2＋a ≥0⇒a ≥0或a ≤－1，不能推出a >0，选A.。

1.2命题及其关系充分条件与必要条件

解答：(1)∵x2＋x＋1＝
，∴命题为真命题．
(2)真命题．
(3)∵α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0， ∴sin(α＋β)＝sin α＋sinβ，∴命题为真命题． (4)∵x＝y＝10时，3x－2y＝10，∴命题为真命题． (5)∵a＝0，b＝1时，ax＋b＝1≠0，∴a＝0，b＝1时，ax＋b＝0无解， ∴命题为假命题．
是s的必要条件．
现有下列命题：
①s是q的充要条件；②p是q的充分条件，而不是必要条件；③r是q的必要条
件，而不是充分条件；④綈p是綈s的必要条件，而不是充分条件；⑤r是s的充分条件，而不是必要条件．则正确命题的序号是( A．①④⑤ ) C．②③⑤ ，则s⇔q；p D．②④⑤ q；又p s，
B．①②④
1.3
逻辑联结词全称量词与存在量词
（了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义/理解全称量词与存在量词的意义/能正确地对含有一个量词的命题进行否定）
1．命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词． 2．用来判断复合命题的真假的真值表
真假假假
3. 全称量词与存在量词 (1) 常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、 “所有的”等． (2)常见的存在量词有：“存在一个”、“ 至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等． (3)全称量词用符号“ ∀ ”表示；存在量词用符号“∃”表示．
) B．綈p：∀x∈R，sin x≥1 D．綈p：∀x∈R，sin x>1
解析：命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题．答案：C
2．设p、q是两个命题，则复合命题“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是(
A．p、q中至少有一个为真 C．p、q中有且只有一个为真答案：C B．p、q中至少有一个为假 D．p为真、q为假

2012届高考数学(文)一轮复习课件2命题及其关系充分条件与必要条件(人教A版)

题､否命题､逆否命题这四个命题中真命题的个数可能是0个､2 个､ 4个 .
2019/4/12
【典例2】分别写出下列命题的逆命题､否命题､逆否命题､命题
的否定,并判断它们的真假: (1)若q≤1,则方程x2+2x+q=0有实根; (2)若xy=0,则x=0或y=0; (3)若x2+y2=0,则x、y全为0.
2019/4/12
(2)m>2时,取m=3,此时方程为x2-3x+6=0无实根,即m>2不能推出
x1>1且x2>1.
由(1)(2)知m>2是方程的两根都大于1的必要不充分条件.
答案:B
2019/4/12
3.(2010·陕西)对于数列{an},“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递
2019/4/12
[探究] 是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件?
如果存在,求出p的取值范围.
[分析] “4x+p<0”是条件,“x2-x-2>0”是结论,先解出这两个不
等式,再探求符合条件的p的范围.
2019/4/12
[解]x 2 x 2 0的解是x 2或x 1,由4x p 0得 p p x .要想使x 时x 2或x 1成立, 必须有 4 4 p p ≤ 1, 即p≥4, 所以当p≥4时, ≤ 1 x 1 4 4 2 2 x x 2 0, 所以p≥4时“ , 4x p 0”是“x x 2 0” 的充分条件.
2019/4/12
[反思感悟] 本题用集合的包含关系去理解更容易解答,注意结合
数轴确定p的范围.

(通用版)高考数学一轮复习1.2命题及其关系、充分条件与必要条件讲义理

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系四种命题间的相互关系四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3．充分条件、必要条件的判定⇐充分条件与必要条件的定义从集合角度理解若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必 p 成立的对象的集合为 A，q 成立的对象要条件的集合为 Bp 是 q 的充分不必要条件p⇒q 且 q⇒/ pA 是 B 的真子集p 是 q 的必要不充分条件p⇒/ q 且 q⇒ pp 是 q 的充要条件p⇔qB 是 A 的真子集 A＝B集合与充要条件的关系⇐p 是 q 的既不充分也不必要条件p⇒/ q 且 q ⇒/ pA，B 互不包含否命题对题设和结论都进行否定．在判断充分、必要条件的时候，一定要从 p 能否推出 q，q 能否推出 p 两方面去判断：对于 q⇒p，要能够证明，而对于 p⇒/ q，只需举一反例即可．小可以推大，大不可以推小，如 x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围)⇒/ x>2(小范围)． [熟记常用结论]1．充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”． (2)传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要)条件，则 p 是 r 的充分(必要)条件，即“p⇒q 且 q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q 且 q⇐r”⇒“p⇐r”)． 2．利用互为逆否命题“同真、同假”的特点，可得： (1)p⇒q 等价于綈 q⇒綈 p； (2)q⇒/ p 等价于綈 p ⇒/ 綈 q.[小题查验基础] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)“x2＋2x－8＜0”是命题．( ) (2)一个命题非真即假．( ) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为 0 或 2 或 4.( ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 二、选填题 1．已知命题 p：若 x≥a2＋b2，则 x≥2ab，则下列说法正确的是( ) A．命题 p 的逆命题是“若 x＜a2＋b2，则 x＜2ab” B．命题 p 的逆命题是“若 x＜2ab，则 x＜a2＋b2” C．命题 p 的否命题是“若 x＜a2＋b2，则 x＜2ab” D．命题 p 的否命题是“若 x≥a2＋b2，则 x＜2ab” 解析：选 C　命题 p 的逆命题是“若 x≥2ab，则 x≥a2＋b2”，故 A、B 都错误；命题 p 的否命题是“若 x＜ a2＋b2，则 x＜2ab”，故 C 正确，D 错误． 2．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 A　因为 cos 2α＝cos2α－sin2α＝0，所以 sin α＝±cos α，所以“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．故选 A.3．原命题“设 a，b，c∈R，若 a>b，则 ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．0 B．1C．2D．4解析：选 C　当 c＝0 时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设 a，b，c∈R，若 ac2>bc2，则 a>b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有 2 个．4．(2019·青岛模拟)命题“若 a，b 都是偶数，则 ab 是偶数”的逆否命题为______________________．答案：若 ab 不是偶数，则 a，b 不都是偶数5．“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：x(x－1)＝0⇒x＝0 或 x＝1，即 x(x－1)＝0 不一定有 x＝1 成立；但 x＝1 能推出 x(x－1)＝0 成立．故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．答案：必要不充分考点一[基础自学过关] 命题及其关系[题组练透]1．命题“若 x2＋y2＝0(x，y∈R)，则 x＝y＝0”的逆否命题是( )A．若 x≠y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2＝0B．若 x＝y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0C．若 x≠0 且 y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0D．若 x≠0 或 y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0解析：选 D　x2＋y2＝0 的否定为 x2＋y2≠0；x＝y＝0 的否定为 x≠0 或 y≠0.故“若 x2＋y2＝0(x，y∈R)，则 x＝y＝0”的逆否命题为“若 x≠0 或 y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0”．2．有以下命题：①“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若 m≤1，则 x2－2x＋m＝0 有实数解”的逆否命题；④“若 A∩B＝B，则 A⊆B”的逆否命题．其中真命题为( )A．①② B．②③C．④D．①②③解析：选 D　①“若 x，y 互为倒数，则 xy＝1”是真命题；②“面积不相等的两个三角形一定不全等”，是真命题；③若 m≤1，则 Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由 A∩B＝B，得 B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题．故选 D.3．给出命题：若函数 y＝f(x)是幂函数，则函数 y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A．3B．2C．1D．0解析：选 C　易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．[名师微点]1．由原命题写出其他 3 种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．[提醒]　(1)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断命题真假的 2 种方法(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．(2)间接判断：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假．考点二[师生共研过关] 充分条件、必要条件的判定[典例精析]| | (1)(2018·天津高考)设 x∈R，则“ x－12＜1”是“x3＜1”的( ) 2A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2018·北京高考)设 a，b，c，d 是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(3)“a＝0”是“函数 f(x)＝sin x－1x＋a 为奇函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件| | | | [解析]　(1)由 x－12＜12，得 0＜x＜1，则 0＜x3＜1，即“ x－12＜1”⇒“x3＜1”； 2| | 由 x3＜1，得 x＜1，当 x≤0 时， x－12≥1， 2| | 即“x3＜1”⇒/ “ x－12＜1”． 2| | 所以“ x－12＜1”是“x3＜1”的充分而不必要条件． 2(2)a，b，c，d 是非零实数，若 a＜0，d＜0，b>0，c>0，且 ad＝bc，则 a，b，c，d 不成等比数列(可以假设 a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若 a，b，c，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知 ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的必要而不充分条件．(3)f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当 a＝0 时，f(x)＝sin x－1x，f(－x)＝sin(－x)－－1x＝－sin x( ) ＋1x＝－ sin x－1x ＝－f(x)，故 f(x)为奇函数；反之，当 f(x)＝sin x－1x＋a 为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0，又 f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－－1x＋a＋sin x－1x＋ a＝2a，故 a＝0，所以“a＝0”是“函数 f(x)＝sin x－1x＋a 为奇函数”的充要条件，故选 C.[答案]　(1)A　(2)B　(3)C[解题技法]充分、必要条件的判断 3 种方法利用定义判直接判断“若 p，则 q”“若 q，则 p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结断论是什么从集合的角利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，度判断即可解决充分必要性的问题利用等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假[过关训练]1．(2018·衡阳模拟)对于函数 y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 B　若 y＝f(x)为奇函数，则 y＝|f(x)|的图象关于 y 轴对称，反过来不成立，因为当 y＝f(x)为偶函数时，y＝|f(x)|的图象也关于 y 轴对称．故选 B.2．(2018·北京高考)设 a，b 均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 C　由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即 a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.又 a，b 均为单位向量，所以 a2＝b2＝1，所以 a·b＝0，能推出 a⊥b.由 a⊥b 得|a－3b|＝ 10，|3a＋b|＝ 10，能推出|a－3b|＝|3a＋b|，所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．3．设 a，b 是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 D　a>b 不能推出 a2>b2，例如 a＝－1，b＝－2；a2>b2 也不能推出 a>b，例如 a＝－2，b＝1.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．考点三[师生共研过关] 充分条件、必要条件的探求与应用[典例精析](1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥9B．a≤9C．a≥10D．a≤10(2)已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若 x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 m 的取值范围为________．[解析]　(1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”⇔“∀x∈[1,3]，x2≤a”⇔9≤a.则 a≥10 是命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．(2)由 x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．∵x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 S⊆P，∴Error!解得 0≤m≤3，故 0≤m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条件．[答案]　(1)C　(2)[0,3][变式发散] 1．(变条件)本例(2)中条件“若 x∈P 是 x∈S 的必要条件”变为“綈 P 是綈 S 的必要不充分条件”，其他条件不变．求实数 m 的取值范围．解：由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}．∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件，∴P 是 S 的充分不必要条件，∴P⇒S 且 S⇒/ P. ∴[－2,10]⇐[1－m,1＋m]．∴Error!或Error!∴m≥9，则 m 的取值范围是[9，＋∞)．2．(变设问)本例(2)条件不变，问是否存在实数 m，使 x∈P 是 x∈S 的充要条件？并说明理由．解：由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}．若 x∈P 是 x∈S 的充要条件，则 P＝S，∴Error!∴Error!这样的 m 不存在．[解题技法]根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[过关训练]1．使 a>0，b>0 成立的一个必要不充分条件是( )A．a＋b>0B．a－b>0C．ab>1 D.ab>1 解析：选 A　因为 a>0，b>0⇒a＋b>0，反之不成立，而由 a>0，b>0 不能推出 a－b>0，ab>1，ab>1，故选 A.2．已知命题 p：x2＋2x－3>0；命题 q：x>a，且綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，则 a 的取值范围是( )A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[－1，＋∞)D．(－∞，－3]解析：选 A　由 x2＋2x－3>0，得 x＜－3 或 x>1，由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，等价于 q 是 p 的充分不必要条件，故 a≥1.故选 A.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．命题“若 a>b，则 a＋c>b＋c”的否命题是( )A．若 a≤b，则 a＋c≤b＋c　B．若 a＋c≤b＋c，则 a≤bC．若 a＋c>b＋c，则 a>bD．若 a>b，则 a＋c≤b＋c解析：选 A　“若 p，则 q”的否命题是“若綈 p，则綈 q”，所以原命题的否命题是“若 a≤b，则 a＋c≤b＋c”，故选 A.2．命题“若 α＝π，则 tan α＝1”的逆否命题是( ) 4A．若 α≠π，则 tan α≠1 4B．若 α＝π，则 tan α≠1 4C．若 tan α≠1，则 α≠π 4D．若 tan α≠1，则 α＝π 4解析：选 C　以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若 α＝π，则 tan α＝ 41”的逆否命题是“若 tan α≠1，则 α≠π”． 43．有下列几个命题：①“若 a>b，则1a>1b”的否命题； ②“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；③“若 x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是( )A．① B．①②C．②③D．①②③解析：选 C　①原命题的否命题为“若 a≤b，则1a≤1b”，假命题；②原命题的逆命题为“若 x，y 互为相反数，则 x＋y＝0”，真命题；③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．所以真命题的序号是②③.4．设 A，B 是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 C　由 A∩B＝A 可得 A⊆B，由 A⊆B 可得 A∩B＝A.所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.5．(2019·西城区模拟)设平面向量 a，b，c 均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 B　由 b＝c，得 b－c＝0，得 a·(b－c)＝0；反之不成立．故“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的必要不充分条件．6．(2019·抚州七校联考)A，B，C 三个学生参加了一次考试，A，B 的得分均为 70 分，C 的得分为 65分．已知命题 p：若及格分低于 70 分，则 A，B，C 都没有及格．则下列四个命题中为 p 的逆否命题的是( )A．若及格分不低于 70 分，则 A，B，C 都及格B．若 A，B，C 都及格，则及格分不低于 70 分C．若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分D．若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分高于 70 分解析：选 C　根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题 p 的逆否命题是若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分．故选 C.7．(2019·湘东五校联考)“不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A．m>14 C．m>0B．0＜m＜1 D．m>1解析：选 C　若不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立，则 Δ＝(－1)2－4m＜0，解得 m>1，因此当不等式 4x2－x＋m>0 在 R 上恒成立时，必有 m>0，但当 m>0 时，不一定推出不等式在 R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是 m>0.8．(2019·安阳模拟)设 p：f(x)＝ex＋2x2＋mx＋1 在[0，＋∞)上单调递增，q：m＋5≥0，则 p 是 q 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A　函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，只需f′(x)＝e x＋4x＋m≥0在[0，＋∞)上恒成立，又因为f′(x)＝e x＋4x＋m在[0，＋∞)上单调递增，所以f′(0)＝1＋m≥0，即m≥－1，故p是q的充分不必要条件．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A　∵α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”⇒“l∥α”，反之不成立，∴α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的充分不必要条件．故选A.”的( )2．(2019·太原模拟)“m＝2”是“函数y＝|cos mx|(m∈R)的最小正周期为π2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A　∵当函数y＝|cos mx|(m∈R)的最小正周期为π时，m＝±2，∴“m＝2”是“函数y＝|cos mx|(m2”的充分不必要条件．∈R)的最小正周期为π23．“单调函数不是周期函数”的逆否命题是_______________________________．解析：原命题可改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”，故其逆否命题是“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，简化为“周期函数不是单调函数”．答案：周期函数不是单调函数(二)素养专练——学会更学通4．[逻辑推理]若命题A的逆命题为B，命题A的否命题为C，则B是C的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．都不对解析：选C　根据题意，设命题A为“若p，则q”，则命题B为“若q，则p”，命题C为“若綈p，则綈q”，显然，B与C是互为逆否命题．故选C.5．[逻辑推理]若a，b都是正整数，则a＋b>ab成立的充要条件是( )A．a＝b＝1 B．a，b至少有一个为1C．a＝b＝2 D．a>1且b>1解析：选B　∵a＋b>ab，∴(a－1)(b－1)＜1.∵a，b∈N*，∴(a－1)(b－1)∈N，∴(a－1)(b－1)＝0，∴a＝1或b＝1.故选B.6．[数学运算]圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是( )A．k≤－22或k≥22B．k≤－22C．k≥2D．k≤－22或k>2≤1，即k2＋1解析：选B　若直线与圆有公共点，则圆心(0,0)到直线kx－y－3＝0的距离d＝|－3|k2＋1≥3，∴k2＋1≥9，即k2≥8，∴k≥22或k≤－22，∴圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是k≤－22，故选B.7．[数学运算]方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根的充要条件是( )A．a＜0 B．a＜－1C．－1＜a＜0 D．a>－1解析：选B　∵方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根，∴Error!解得a＜－1.故选B.8．[数学抽象]能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析：设f(x)＝sin x，则f(x)在[0，π2]上是增函数，在[π2，2]上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x∈(0,2]时，f(x)>f(0)＝sin 0＝0，故f(x)＝sin x满足条件f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]上不一直都是增函数．答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)。

2012高考数学文北师大版一轮复习课后练习2命题及其关系、充分条件与必要条件

2012届高考（文科）数学一轮复习课时作业2命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是( ) A ．若a ∉M ，则b ∉M B ．若b ∉M ，则a ∈M C ．若a ∉M ，则b ∈MD ．若b ∈M ，则a ∉M解析：因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．故选D.答案：D2．（2011年陕西高考文1）设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则||||a b =”的逆命题是（）A ．若a b ≠-，则||||a b ≠B ．若a b =-，则||||a b ≠C ．若||||a b ≠，则a b ≠-D ．若||||a b =，则a b =-解析：原命题的条件是a b =-，作为逆命题的结论；原命题的结论是||||a b =，作为逆命题的条件，即得逆命题“若||||a b =，则a b =-”，故选D ．若a >－3，则a >－6是真命题，则它的逆否命题也是真命题，它的否命题是：若a ≤－3，则a ≤－6，是假命题，它的逆命题是：若a >－6，则a >－3，是假命题．答案：D3．(2011年湖北八校联考)“a ＝－1”是“直线a 2x －y ＋6＝0与直线4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B4．已知p ：x 2－x <0，那么命题p 的一个必要不充分条件是( ) A ．0<x <1 B ．－1<x <1 C.12<x <23D.12<x <2解析：由x 2－x <0得0<x <1.答案：B5．(2010年海口模拟)已知集合A ＝{x ∈R |12<2x <8}，B ＝{x ∈R |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m >2D ．－2<m <2解析：A ＝{x ∈R |12<2x <8}＝{x |－1<x <3}∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ∴A B∴m ＋1>3，即m >2. 答案：C6． “函数y ＝(a －1)x ＋b 在区间(－∞，＋∞)上是减函数”是“函数y ＝a x －1(a >0且a ≠1)在区间(－∞，＋∞)上是减函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：函数y ＝(a －1)x ＋b 在区间(－∞，＋∞)上是减函数的充要条件是a <1，函数y ＝a x－1(a >0且a ≠1)在区间(－∞，＋∞)上是减函数的充要条件是0<a <1，从而易知选B.答案：B 二、填空题7．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________．解析：x ∉[2,5]且x ∉{x |x <1或x >4}是真命题．由⎩⎨⎧x <2或x >5，1≤x ≤4得1≤x <2. 答案：[1,2)8．(2011年蚌埠市包集中学)设有两个命题： ①不等式2004x ＋4>m >2x －x 2对一切实数x 恒成立；②函数f (x )＝－(7－2m )x 是R 上的减函数．使这两个命题都是真命题的充要条件，用m 可表示为________．解析：由命题①得4≥m >1＝(2x －x 2)min ，由命题②得7－2m >1，即3>m ，从而可得．答案：1<m <3 9．给出下列命题：①原命题为真，它的否命题为假； ②原命题为真，它的逆命题不一定为真； ③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；⑤“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ”的逆命题．其中真命题是________．(把你认为正确命题的序号都填在横线上)解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．又因为不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，由⎩⎨⎧ m >0Δ＝4(m ＋1)2－4m (m ＋3)<0⇒⎩⎨⎧m >0m >1⇒m >1. 故⑤正确．答案：②③⑤ 三、解答题10．(2010年山东济宁模拟)已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m >0，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：p ：x ∈[－2,10]，q ：x ∈[1－m,1＋m ]，m >0，∴[－2,10][1－m,1＋m ]． ∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10.∴m ≥9.11．求证：关于x 的方程ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝0有一根为1的充要条件是a ＋b ＝－(c ＋d )．证明：充分性： ∵a ＋b ＝－(c ＋d )，∴a ＋b ＋c ＋d ＝0，∴a ×13＋b ×12＋c ×1＋d ＝0成立，故x ＝1是方程ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝0的一个根．必要性：关于x 的方程ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝0有一个根为1， ∴a ＋b ＋c ＋d ＝0， ∴a ＋b ＝－(c ＋d )成立．12．(2010年潍坊模拟)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －(3a ＋1)<0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a <0}．(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，A ＝{x |2<x <52}，B ＝{x |12<x <94}，∁U B ＝{x |x ≤12或x ≥94}，(∁U B )∩A ＝{x |94≤x <52}．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B ，由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a <x <a 2＋2}，当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，⎩⎨⎧a ≤2a 2＋2≥3a ＋1，解得13<a ≤3－52；当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝Ø，符合题意；当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}．⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，解得－12≤a <13；综上，a ∈[－12，3－52]．。

一轮复习课时训练§1.2：命题及其关系、充分条件与必要条件

第一章§2：命题及其关系、充分条件与必要条件(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间40分钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是A．3 B．2 C．1 D．02．已知P＝{x|xx－2<0，x∈R}，Q＝{x|x>x2，x∈R}，则“x∈P”是“x∈Q”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．不充分也不必要条件3．设m、n是平面α内的两条不同直线，l1、l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l24．下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；③在△ABC中“若A＝B，则△ABC是等腰三角形”的逆否命题；④“若向量a∥b，则a＋b＝0”的逆命题．其中真命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．35．有限集合S中元素的个数记作card(s)，若A，B都是有限集合，给出下列命题：①A∩B＝∅的充要条件是card(A＋B)＝card(A)＋card(B)②A⊆B的充要条件是card(A)≤card(B)③A＝B的充要条件是card(A)＝card(B)其中正确的个数是A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．“α＝π6”是“cos2α＝12”的________条件． 7．命题“若c ＞0，则y ＝x 2＋x －c 的图象与x 轴有两个交点”的否命题是__________．8．设p ：log a x ＜0，q ：(12)1-x ＞1，则p 是q 的充分不必要条件时，a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分16分，（1）小问8分，（2）小问8分））命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为Φ；命题乙：函数y ＝(2a 2－a)x 为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．10．（本小题满分16分）求证：△ABC 是等边三角形的充要条件是a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac.(a ，b ，c 是△ABC 的三条边)参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：当f(x)是幂函数时，f(x)＝x α，而x ＞0时，f(x)＝x α＞0，∴原命题为真命题．同时逆否命题为真．原命题的逆命题是：若函数y ＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y ＝f(x)是幂函数．当y ＝f(x)＝x ＋1时，f(x)图象不过第四象限，但f(x)不是幂函数，因此逆命题为假，则否命题也为假．答案：C2．解析：由已知P ＝{x|0<x<2}，Q ＝{x|0<x<1}，则“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要不充分条件．答案：C3．解析：∵m ∥l 1且n ∥l 2时l 1∥α，l 2∥α.又l 1与l 2是平面β内的两条相交直线，∴α∥β，而当α∥β时，不一定推出m ∥l 1且n ∥l 2，故B 项正确．答案：B4．解析：对于①，当x ，y 互为相反数时，x ＋y ＝0显然成立，即逆命题为真命题，∴否命题为真命题．对于②，若x 2＋x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－2，∴逆命题为假，∴否命题为假．对于③，原命题显然为真，∴逆否命题为真．对于④，当a ＋b ＝0时，a ＝－b ，从而a ∥b ，∴逆命题为真．故真命题有3个．答案：D5．解析：①显然正确，对②是A ⊆B 时一定有card(A)≤card(B)，但当card(A)≤card(B)时A ⊆B 不一定成立，如A ＝{1}，B ＝{2,3}，对③当card(A)＝card(B)时A ＝B 不一定成立，如A ＝{1}，B ＝{2}．因此只有①正确．答案：B二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：当α＝π6时，cos2α＝cos π3＝12；当α＝－π6时，cos2α＝cos(－π3)＝12. 即当cos2α＝12时，α除π6外还可以取其他的值．故α＝π6是cos2α＝12的充分不必要条件．答案：充分不必要7．解析：把条件、结论都否定就可得到否命题．答案：若c ≤0，则y ＝x 2＋x －c 的图象与x 轴最多有一个交点8．解析：由已知q ：x ＜1.当a ＞1时，p ：0＜x ＜1，符合条件．当0＜a ＜1时，p ：x ＞1，不符合条件．答案：(1，＋∞)三、解答题：本大题共2小题，共36分．9. （本小题满分16分，（1）小问8分，（2）小问8分））解：甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即a>13，或a<－1，乙命题为真时，2a 2－a>1，即a>1，或a<－12. (1)甲、乙至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为a<－12，或a>13； ∴甲、乙至少有一个是真命题时a 的取值范围是{a|a<－12，或a>13}． (2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：当甲真乙假时，13<a ≤1；当甲假乙真时，－1≤a<－12. ∴甲、乙中有且只有一个真命题时a 的取值集合为{a|13<a ≤1，或－1≤a<－12}． 10. （本小题满分16分）证明：(必要性)∵△ABC 是等边三角形，且a ，b ，c 是其三边，∴a ＝b ＝c ，∴a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac.(充分性)由a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac ，得12(a －b)2＋12(b －c)2＋12(a －c)2＝0，(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2＝0， ∴a ＝b ＝c ，∵a ，b ，c 是△ABC 的三边，∴△ABC 是等边三角形．∴△ABC 是等边三角形的充要条件是a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac.。

第一轮复习--命题及其关系、充分条件与必要条件

命题及其关系、充分条件与必要条件1．了解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．一、基础知识A ．命题1．命题可以判断真假的陈述句，叫做命题．注：（1）数学命题的表达形式有：语言、符号、式子等．（2）判断一个语句是否是命题，一看“陈述句”，二看“可判断真假”仅此两点．例如，①今天天气不错；②两直线平行，内错角相等；③213x +=；④若a b =，c d =，则a c b d +=+．以上四个句子中，①虽是陈述句，但不能判断其真假．“天气不错”的标准不明确．②是陈述句，且能判断正确，因此是命题．对于③，当1x =时，为真；当1x ≠时，为假．这句话虽是陈述句，但无真假可言，因此不是命题. ④显然是命题．2．假命题、真命题真命题：可以判断为真的命题，即当题设成立时，结论一定成立，叫做真命题．假命题：可以判断为假的命题，即当题设成立时，结论不一定成立或一定不成立，叫做假命题．注:判断一个命题的真假时，如果说一个命题是真命题，那么必须证明它的正确性；而判断一个命题是假命题时，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．延伸阅读: 开句、命题函数、开句的取真集（内容不要求掌握）（1）开句、命题函数形如“213x +=”、“32x +>”等单独的方程、不等式语句，都不是命题，因为它们也对也不对，即无真假可言．这些语句在数理逻辑上叫做开句．开句又叫做命题函数，意思是当变元（这里的x ）取不同的个体的时候，就得到不同的命题．开句常记作()P x 、()Q y ，其中变元,x y 是在一定范围里变化.当x 取某个个体a 时，开句()P x 就变成了命题()P a （与开句相对，有的书上把命题叫做句）．如：对于“32x +>”而言，当1x >-时，为真；当1x ≤-时，为假．（2）开句的取真集对于开句，最为关心的是，哪些个体使句子为真，哪些个体使句子为假．例如，对于“32x +>”而言，“”时为真，“”时为假.使开句()P x 取真的x 的范围叫做的取真集，记作{|()}x P x ．对开句来说，取真集为{|32}{|1}x x x x +>=>-．解方程，解不等式，本质上是找开句的取真集．（3）将命题函数()P x 变成命题命题函数()P x 变成命题的方法有两个．方法一：将命题函数()P x 中的x 用特殊个体a 代入，从而得到对特殊个体a 进行判断的命题，这种命题叫做单称命题()P a ．例如“张三是共产党员”，其中“张三”是被判断的个体，“是共产党员”是谓词，“是”是判断词．再如，命题函数():32P x x +>，对x 赋值1,3-，可得到命题(1)P 和(3)P -，即(1):132P +>，和(3):(3)32P --+>．当然(1)P 是真命题，(3)P -是假命题．方法二：利用量词来限制个体的范围例如：命题函数():32P x x +>，前面添加量词“所有的”或“有”，得到命题“所有的实数x 都有32x +>”或“有实数x 使32x +>” ．前者是假命题，后者是真命题．3．命题的形式若p ，则q ．其中p 叫做命题的条件（或题设），q 叫命题的结论．注：绝大多数命题都能写成上述形式，但有些则不能，如特称命题．B ．四种命题及其关系1．四种命题及其关系（1）四种命题是指原命题、原命题的逆命题、否命题、逆否命题.（2）设原命题为：“若p ，则q ”，则原命题的逆命题、否命题、逆否命题分别定义如下：逆命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件，其形式：“若q ，则p ”．否命题：条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，其形式：“若p ⌝，则q ⌝”．逆否命题：条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，其形式：“若q ⌝，则p ⌝”．延伸阅读：偏逆命题（内容不要求掌握）当命题的条件和结论都是一个简单命题时，只要将它们进行交换就得到了原命题的逆命题.如上面例子．当命题的条件和结论不只是一个简单命题时，将命题条件和结论中的简单命题任意进行交换位置，就可以得到多个原命题的逆命题. 如命题“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”，命题条件有两个：“A ：垂直于弦”、“B ：过圆心”；结论也有两个：“C ：平分这条弦”、“D ：平分弦所对的两条弧”.其形式即为：A B C D ∧→∧，该命题的所有偏逆命题有：A CB D ∧→∧：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧；A DBC ∧→∧：垂直于弦且平分弦所对弧的直线经过圆心并且平分这条弦；B C A D ∧→∧：平分弦的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧；B D AC ∧→∧：平分弦所对的弧直径垂直平分这条弦．2．四种命题的真假关系（1）四种命题间的三种基本关系：互逆、互否、互为逆否关系．（2）具有互逆关系的命题：原命题与其逆命题、原命题的否命题与原命题的逆否命题．具有互否关系的命题：原命题与其否命题、原命题的逆命题与原命题的逆否命题．具有互为逆否关系的命题：原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与原命题的否命题．（3）等价命题：同真同假的两命题称为等价命题．具有互为逆否关系的两个命题等价．注：同真同假的含义：其中任何一个命题的真与假必然导致另一命题的真与假．（4）不等价关系：两命题的真假性没有关系．互逆命题、互否命题不等价．C．充分条件与必要条件记命题“若p，则q”为“q p→”，若命题“若p，则q”为真，则进一步记作“p q≠>．⇒”，为假时，则记作p q1．基本概念（1）若p q⇒，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．（2）若p q<≠，则称p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充⇒，且p q分条件．（3）若p q⇐，则称p是q的充要条件，这时，q也是p的充要条⇒，且p q件．（4）若p q<≠，则称p是q的不充分不必要条件，这时，q也是p ≠>，且p q的不充分不必要条件．注：（1）在判断中，要完整地叙述条件类型.比如：“充分不必要条件”不能只说成“充分条件”．（2）叙述充要条件的等价语句：“当且仅当”、“必须且只须”、“若且仅若”等．其中，“当、必须、若”表达的是条件的充分性，而“仅当、只须、仅若”表达的是条件的必要性．2．对“充分条件”与“必要条件”的理解（1）从定义本身去理解充分条件：要使结论q成立，只要具备条件p就足够了．事实上，式子p q⇒已经表明，条件p成立时，结论q一定成立，就是说，要使结论q成立，只要具备条件p 就足够了．必要条件：当条件q成立时，结论p不一定成立，但条件q不成立时，结论p一定不成立.依题意，条件为q、结论为p．一方面，虽然命题“p q→”却未必为真，因此，当条件q成立时，结论p不一→”为真，但其逆命题“q p定成立．另一方面，命题“p q⌝⇒⌝，据此可知，条件q不成立→”为真，从而其逆否命题“q p⌝→⌝”也真，即q p时，结论p一定不成立．（2）利用开关电路图理解“充分条件”与“必要条件”视“开关A 的闭合”为条件p ，“灯泡B 亮”为结论q ，则图①中，条件p 是结论q 的条件．充分不必要条件（,p q p q ⇒<≠）图②中，条件p 是结论q 的条件．必要不充分条件（,p q p q ≠>⇐）图③中，条件p 是结论q 的条件．充要条件（,p q p q ⇒⇐）图④中，条件p 是结论q 的条件．不充分不必要条件（,p q p q ≠><≠）（3）从集合间的包含关系理解“充分条件”与“必要条件”设条件p 对应集合A ，条件q 对应集合B ，即:{|()}p A x p x =，:{|()}q B x q x =． ①若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，若A B ≠⊂，则p 是q 的充分不必要条件．事实上，若有x A ∈，∵A B ⊆，可得x B ∈，即p q ⇒，∴p 是q 的充分条件．若有x A ∈，∵A B ≠⊂，可得x B ∈，p q ⇒且p q <≠，∴p 是q 的充分不必要条件． ②若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，若B A ≠⊂，则p 是q 的必要不充分条件．事实上，若有x A ∈，∵A B ⊆，可得x B ∈，即p q ⇒，∴q 是p 的必要条件．若有x A ∈，∵A B ≠⊂，可得x B ∈，p q ⇒且p q <≠，∴p 是q 的必要不充分条件． ③若A B =，则p 与q 互为充要条件．事实上，若有x A ∈，∵A B =，可得x B ∈，即p q ⇒，若有x B ∈，∵A B =，可得x A ∈，即q p ⇒，∴p 、q 互为充要条件．④若A B ⊄且B A ⊄，则p 是q 的既不充分条件也不必要条件．事实上，若有x A ∈，∵A B ⊄，可得x B ∉，即p q ≠>，同理p q <≠，p 是q 的既不充分也不必要条件．二、基本思想方法等价转化的思想示例已知1:|1|23x p --≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：由1|1|23x --≤得，{|210}A x x =-≤≤．由22210(0)x x m m -+-≤>得，{|11,0}B x m x m m =-≤≤+>． ∵q p ⇒，∴B A ⊆．结合数轴有12,110,0.m m m -≥⎧⎪+≤⎨⎪>⎩解得03m <≤．①②③④点评与警示：本题利用等价转化思想，把p q⇒，进一步转化为B是A的子集，然后利用数轴⌝⇒⌝转化为q p列出不等关系．A．命题的判断、命题的真假判断例判断下列语句哪些是命题？若是命题，是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的真子集；命题；假命题．（2）三角函数是单调函数吗？疑问句，不是命题．（3）空间里垂直于同一条直线的两条直线互相平行；命题；假命题．（4）3x<；开句，不是命题．（5）若x∈R，则2-+>；命题；真命题（∵二次三项式221x x210∆=-<，-+的判别式70x x在x∈R条件下，始终有2210-+>）．x x（6）若整数a是素数，则a是奇数；命题；假命题（∵2a=时，由条件推不出结论）．（72-．命题；假命题．点评与警示：构成命题的条件有两个，一个是陈述句，另一个是能判断真假．B．命题的形式例把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．（1）周长相等的两个三角形面积相等；（2）偶数能被2整除；（3）奇函数的图象关于原点对称；（4）同弧所对的圆周角不相等；（5）菱形对角线互相平分；（6）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；（7）负数的立方是负数；（8）对顶角相等．解：（1）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形面积相等．假命题．（2）若一个数是偶数，则它能被2整除．真命题．（3）若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称．真命题．（4）若两个圆周角是同弧所对的圆周角，则它们不相等．假命题．（5）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相平分．真命题．（6）若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行．真命题．（7）若一个数是负数，则这个数的立方是负数．真命题.（8）若两个角是对顶角，则这两个角相等．真命题．选填②C．四种命题的概念例把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.（1）当2x =时，2320x x -+=；（2）对顶角相等；（3）等底等高的两三角形全等；（4）两边及夹角对应相等的两三角形全等．解：（1）原命题：若2x =，则2320x x -+=．逆命题：若2320x x -+=，则2x =．否命题：若2x ≠，则2320x x -+≠．逆否命题：若2320x x -+≠，则2x ≠．（2）原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等. 逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．（3）原命题：若两个三角形的对应高和底分别相等，则这两个三角形全等.逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应高和底分别相等.否命题：若两个三角形的对应高和底不都相等，则这两个三角形不全等.逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应高和底不都相等．（4）原命题：若两个三角形对应两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等．逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应两边和夹角分别相等．否命题：若两三角形的应边两对及夹角不都相等，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应两边及夹角不都相等．点评与警示：正确叙述正面术语的否定形式，如“都”的否定应为“不都”而非“都不”．D ．四种命题之间的关系例写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．（1）垂直于平面α内无数条直线的直线l 垂直于平面α；（2）若0q <，则方程20x x q ++=有实根；（3）若220x y +=，则0x y ==；（4）菱形对角线垂直且相等．解：（1）原命题：若直线l 垂直于平面α内无数条直线，则直线l 垂直于平面α．假命题.逆命题：若直线l 垂直于平面α，则直线l 垂直于平面α内无数条直线．真命题.否命题：若直线l 不垂直于平面α内无数条直线，则直线l 不垂直于平面α．真命题．逆否命题：若直线l 不垂直于平面α，则直线l 不垂直于平面α内无数条直线．假命题．（2）逆命题：若方程20x x q ++=有实根，则0q <．假命题．否命题：若0q ≥，则方程20x x q ++=无实根．假命题．逆否命题：若方程20x x q ++=无实根，则0q ≥．假命题．（3）逆命题：若0x y ==，则220x y +=．真命题．否命题：若220x y +≠，则,x y 中至少有一个不为0．真命题．逆否命题：若,x y 中至少有一个不为0，则220x y +≠．真命题．（4）逆命题：对角线垂直且相等的四边形是菱形．假命题．否命题：不是菱形的四边形的对角线不垂直或不相等．假命题．逆否命题：对角线不垂直或不相等的四边形不是菱形．假命题．E ．利用等价命题证明例证明：若220x y +=，则0x y ==.分析：将“若220x y +=，则0x y ==”视作原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若,x y 中至少有一个不为0，则220x y +≠”为真命题．证明：若,x y 中至少有一个不为0，不妨设0x ≠，则20x >，∴220x y +>，即220x y +≠.因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．F ．充要条件的判定例指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？（1）:2p a b +=，:q 直线0x y +=与圆22()()2x a y b -+-=相切．（2）:||p x x =，2:0q x x +≥．（3）设,l m 均为直线，α为平面，其中l α⊄，m α⊂，://p l α，://q l m ．（4）设,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，:q αβ<，:tan tan q αβ<．（5）ABC △中，内角,A B 对边的长分别为,a b ，:p a b >， :sin sin q A B >．解：（1）充分不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）必要不充分条件；（4）充要条件；（5）充要条件． G ．由充分条件、必要条件求参数取值范围已知条件321:022n n p +-≤-，条件22:q x x a a +<-，且p ⌝是q ⌝的一个充分不必要条件，则a 的取值范围是A ．1[2,]2--B ．1{,2}2C ．[1,2]-D ．1(2,][2,)2-+∞ 解：不等式321022n n +-≤-等价于3(21)(22)0,220,x x x +⎧--≤⎪⎨-≠⎪⎩即1228x ≤<，解得31x -≤<，∴条件p 对应的取值集合[3,2)M =-．由22x x a a +<-，得()[(1)]0x a x a +--<．当1a a -<-，即12a >时，解集为(,1)a a --，这时条件q 对应的取值集合(,1)N a a =--；当1a a -=-，即12a =时，解集为∅，这时N =∅；当1a a ->-，即12a <时，解集为(1,)N a a =--． ∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件，从而条件q 对应的取值集合N 是条件p 对应的取值集合M 的真子集．当12a >时，(,1)N a a =--，由N M ，得3,11,a a -≤-⎧⎨≥-⎩解得122a <≤；当12a =时，N =∅，显然有N M ；当12a <时，(1,)N a a =--，由N M ，得31,1,a a -≤-⎧⎨≥-⎩解得112a -≤<．综上，a 的取值范围是[1,2]-．答案：C ．H ．错解剖析写出命题“若a b =，c d =，则a c b d +=+”的否命题和逆否命题．否命题是：．逆否命题是：．错解：否命题：已知,,,a b c d 是实数，若a 与b ，c 与d 都不相等，则a c b d +≠+．逆否命题：已知,,,a b c d 是实数，若a c b d +≠+，则a 与b ，c 与d 都不相等．错因分析：事件“a b =，c d =”的正确否定应为：①a 与b 、c 与d 不都相等；②a b ≠或c d ≠．正解：否命题：已知,,,a b c d 是实数，若a b =，c d =中至少有一个不成立，则a c b d +≠+．逆否命题：已知,,,a b c d 是实数，若a c b d +≠+，则a b =，c d =中至少有一个不成立．M ．方法规律探究四种条件的判定方法.（1）定义推断法：分别去判断p q ⇒和q p ⇒是否成立，然后形成结论．（2）原、逆命题推断法：原真逆假⇔条件为：充分不必要；原假逆真⇔条件为：必要不充分；原真逆真⇔条件条件为：充要；原假逆假⇔条件为：不充分不必要.（3）逆否命题判别法：判断命题p q ⌝→⌝的真假，改为判断其逆否命题q p →的真假．（4）集合推断法：具体内容见前面．（5）传递法：即123n p p p p ⇒⇒⇒⇒，得1n p p ⇒．一、选择题1．下列语句不是命题的有①230x -=；②与一条直线相交的两直线平行吗？③315+=；④536x ->．A ．①③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④解：①开句，不是命题．②疑问句，不是命题．③陈述句，并能判断为假，是命题，假命题．④开句，不是命题．答案：C ．2．若,M N 是两个集合，则下列命题中的真命题是A ．如果M N ⊆，那么M N M =B ．如果M N N =，那么M N ⊆C ．如果M N ⊆，那么M N M =D ．如果M N N =，那么N M ⊆ 答案：A ．3．有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题；②“若a b >，则22a b >”的逆否命题；③“若3x ≤-，则260x x +->”的否命题；④“若b a 是无理数，则,a b 是无理数”的逆命题；其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：①逆命题为：,x y 互为相反数，则0x y +=．真命题．②逆否命题为：若22a b ≤，则a b ≤．假命题．③否命题为：若3x >-，则260x x +-≤．假命题（∵26032x x x +-≤⇔-≤≤，332x x >-≠⇒-≤≤）． ④逆命题为：若,a b 是无理数，则b a 是无理数．假命题（∵a =b 时，2b a =不是无理数）．答案：B ．二、判断题4．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．（1）等边三角形的三个内角相等；（2）当0a >时，函数y ax b =+的值随x 值的增加而增加．解：（1）若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．真命题．（2）当0a >时，若x 的值增加，则函数y ax b =+的值也增加，真命题．5．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假.（1）矩形的对角线相等；（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（3）能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；（4）实数的平方是非负数．解：（1）若一个四边形式矩形，则其对角线相等.真命题．（2）若一个点在线段的垂直平分线上，则它到线段两端点距离相等.真命题．（3）若一个能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除.真命题．（4）若一个为实数，则这个数的平方为非负数．真命题．6.给出以下命题，判断p 是q 的什么条件？（1）:p A B =，:sin sin q A B =；（2）:2p x >且3y >，:5q x y +>；（3）:p 正方形，:q 菱形；（4）:p a b >，11:q a b<．解：（1）充分不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）充分不必要条件；（4）不充分不必要条件．二、解答题7．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的否命题与和逆否命题．（1）ac bc a b >⇒>；（2）当14m >-时，210mx x -+=无实根．解：（1）若ac bc >，则a b >．否命题：若ac bc ≤，则ca b ≤．逆否命题：若a b ≤，则ac bc ≤．（2）若14m >-，则方程210mx x -+=无实根．否命题：若14m ≤-，则方程210mx x -+=有实根．逆否命题：若方程210mx x -+=有实根，则14m ≤-． 8．有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题；②“若a b >，则22a b >”的逆否命题；③“若3x ≤-，则260x x +->”的否命题；④“若b a 是无理数，则,a b 是无理数”的逆命题；其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：①逆命题为：,x y 互为相反数，则0x y +=．真命题．②逆否命题为：若22a b ≤，则a b ≤．假命题．③否命题为：若3x >-，则260x x +-≤．假命题（∵26032x x x +-≤⇔-≤≤，332x x >-≠⇒-≤≤）． ④逆命题为：若,a b 是无理数，则b a 是无理数．假命题（∵a =b 时，2b a =不是无理数）．答案：B ．9．写出下列命题“若0m ≤且0n ≤，则0m n +≤”的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：若0m n +≤，则0m ≤且0n ≤．假命题．否命题：若0m >或0n >，则0m n +>．假命题．逆否命题：若0m n +>，则0m >或0n >．真命题．10．求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等．分析：将“若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等”视为原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若一个三角形两条边所对的角相等，则这两条边相等”为真命题．证明：若一个三角形两条边所对的角相等，则这两条边相等．因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．11．证明：若222430a b a b -+--≠，则1a b -≠．word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载分析：将“若222430a b a b -+--≠，则1a b -≠”视为原命题.要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若1a b -=，则222430a b a b -+--=”为真命题．证明：若1a b -=，则1a b =+，∴2222243(1)2(1)432122430a b a b b b b b b b b -+--=+-++--=+++--=，即222430a b a b -+--=．因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题.12．已知奇函数()f x 是定义在R 上的增函数，,a b ∈R ，若()()0f a f b +≥，求证：0a b +≥．分析：将“若()()0f a f b +≥，则0a b +≥”视为原命题．要证原命题为真命题，去证它的逆否命题“若0a b +<，则()()0f a f b +<”为真命题．证明：“若0a b +<，a b <-.∵()f x 为R 上的增函数，∴()()f a f b <-，又知()f x 为奇函数，∴()()f a f b <-，即()()0f a f b +<．因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．。

高三数学一轮复习精品学案7：§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1.命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,可写成“若p,则q”的形式.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其关系注意:原命题与其逆否命题的真假性相同,原命题的否命题与原命题的逆命题的真假性也相同.3.充分、必要条件的概念4.充分、必要条件与集合之间的包含关系5.常用的数学方法与思想集合法、转化化归思想.基础自测1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”).(1)语句“2a+1>0”是命题.()(2)语句“2016≥2015”是真命题.()(3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”.()(4)已知集合A,B,则A∪B=A∩B的充要条件是A=B.()2.设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(a-2i)(1+i)在复平面内对应的点为M,则“a=12”是“点M在第四象限”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知命题p:实数m满足m2-7am+12a2<0(a>0),命题q:实数m满足方程x 2m−1+y22−m=1表示焦点在y轴上的椭圆,且非q是非p的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.考点1四种命题及其真假的判定典例1分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.(1)矩形的对角线相等;(2)若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根;(3)若x2+y2=0,则实数x,y全为零.方法提炼四种命题形式的变换及真假判断(1)(改)原命题改写成“若p,则q”形式,然后再写出其他命题.(2)(查)检查有大前提时,在改写其他命题时大前提不变,含有“且”与“或”时其否定要对应改成“或”与“且”.(3)若说明命题为真命题,必须证明;而说明命题为假命题,则只需举出一个反例即可.变式训练已知m∈R,“函数y=2x+m-1有零点”是“函数y=log m x在(0,+∞)上为减函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点2充分条件与必要条件的判定典例2设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件变式训练已知m∈R,“函数y=2x+m-1有零点”是“函数y=log m x在(0,+∞)上为减函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点3充分条件与必要条件的应用典例3已知命题p:-2≤x≤10,命题q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且¬ p是¬ q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.规律方法应用充分条件、必要条件求参数时的两点注意(1)充分条件与必要条件主要应用于求参数的取值范围.对于条件或结论含有参数的命题,可先将其转化为最简形式,分别求出其真时对应的不等式(组),再利用韦恩图或数轴的直观性列出方程或不等式,即可求出参数的值或取值范围.(2)当从原命题入手较难时可转化为其逆否命题求解.变式训练对于任意实数x,规定『x』表示不大于x的最大整数,则不等式4『x』2-12『x』+5<0成立的充分不必要条件是()A.x∈(12,52)B.x∈(12,3)C.x∈『1,2』D.x∈『1,3)判断充分必要条件的常用方法探究1.定义法:若p⇒q为真,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.典例1已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么s是q的什么条件?r是q的什么条件?p是q的什么条件?2.等价命题判断法:利用原命题与其逆否命题等价,当原命题不太好求解时,可利用其等价命题来求解.典例2判断命题:“如果方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根,则a≤1”的真假.3.直观图象判断法:利用韦恩图(或数轴)判断.图(1)表示p是q的充分不必要条件;图(2)表示p是q的必要不充分条件;图(3)表示p是q的充要条件;图(4)与图(5)表示p是q的既不充分又不必要条件.典例3已知命题p:x=1或x=2,命题q:x-1=√3−x,则p是q的什么条件?1.已知p:|x+1|>3,q:x>a,且p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是()A.(-∞,2』B.『2,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,4』2.设p:函数f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)上单调递增,q:函数g(x)=x2-4x+3m的最小值大于0,则p是q的_______条件.(填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”)——★参考答案★——知识梳理3.①充分不必要条件②必要不充分条件③充要条件④既不充分也不必要条件4.①A是B②B是A③A=B1. (1)×(2)√(3)×(4)√2. C『解析』由交集运算及子集的概念知,若A∩B=A,则A⊆B,若A⊆B,则A∩B=A,故为充要条件.3. A『解析』z=(a-2i)(1+i)=(a+2)+(a-2)i,a=12时,z=52−32i对应的点在第四象限,反之当点M在第四象限时,有{a+2>0,a-2<0,解得−2<a<2,因此“a=12”是“点M在第四象限”的充分不必要条件.4.[13,3 8 ]『解析』由m2−7am+12a2<0(a>0)⇒3a<m<4a,即命题p:3a<m<4a;由实数m满足方程x2m−1+y22−m=1表示焦点在y轴上的椭圆,可知2−m>m−1>0⇒1<m<32,即命题q:1<m<32.又因为非q是非p的充分不必要条件等价于p为q的充分不必要条件,因此应有{3a≥1,4a≤32,解得13≤a≤38,故实数a的取值范围是[13,38].考点1四种命题及其真假的判定典例1解对于(1),要从矩形的对角线的性质去着手;对于(2),要从方程根的存在性去判断;而对于(3),要从实数的平方不小于0的角度去着手.(1)逆命题:对角线相等的四边形是矩形.假命题.否命题:有一些矩形的对角线不相等.假命题.逆否命题:对角线不相等的四边形不是矩形.真命题.(2)逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1.假命题.否命题:若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根.假命题.逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1.真命题.(3)逆命题:若实数x,y全为零,则x2+y2=0.真命题.否命题:若x2+y2≠0,则实数x,y不全为零.真命题.逆否命题:若实数x,y不全为零,则x2+y2≠0.真命题.变式训练B『解析』当m∈R,“函数y=2x+m-1有零点”时,必有m-1<0,解得m<1.而“函数y=log m x在(0,+∞)上为减函数”时必有0<m<1,因此m∈R,“函数y=2x+m-1有零点”是“函数y=log m x在(0,+∞)上为减函数”的必要不充分条件,即选项B正确.考点2充分条件与必要条件的判定典例2A『解析』由|x-2|<1得1<x<3;由x2+x-2>0得x<-2或x>1,故“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分不必要条件.变式训练B『解析』当m∈R,“函数y=2x+m-1有零点”时,必有m-1<0,解得m<1.而“函数y=log m x在(0,+∞)上为减函数”时必有0<m<1,因此m∈R,“函数y=2x+m-1有零点”是“函数y=log m x在(0,+∞)上为减函数”的必要不充分条件,即选项B正确.考点3充分条件与必要条件的应用典例3解先将命题q的不等式化简,得到1-m≤x≤1+m,再将p, q求出,利用数轴列不等式组求解或转化为其等价命题求解.解法1:由命题q:x2-2x+1-m2≤0,得1-m≤x≤1+m,∴¬ q:A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}.∵命题p:-2≤x≤10,∴p:B={x|x>10或x<-2}.∵¬ p是¬ q的必要不充分条件,∴A⊆B,∴即m≥9或m>9,∴m≥9,∴实数m的取值范围是『9,+∞).解法2:∵¬ p是¬ q的必要不充分条件,∴p是q的充分不必要条件.由q:x2-2x+1-m2≤0,m>0,得1-m≤x≤1+m,∴q:Q={x|1-m≤x≤1+m},p:P={x|-2≤x≤10}.∵p是q的充分不必要条件,∴P⊆Q,∴即m≥9或m>9,∴m≥9,∴实数m的取值范围是『9,+∞).变式训练C『解析』由4『x』2-12『x』+5<0,可得12<『x』<52,又由于『x』表示不大于x的最大整数,所以1≤『x』≤2,则可得x∈『1,3),对比选项知x∈『1,2』为不等式成立的一个充分不必要条件.判断充分必要条件的常用方法探究典例1解p,q都是r的必要条件可表示为r⇒p,r⇒q,s是r的充分条件可表示为s⇒r,q是s 的充分条件,可表示为q⇒s.由传递性可知s⇔q,故s是q的充要条件,由传递性可知q⇔r,故r是q的充要条件;由传递性可知p是q的必要条件.s是q的充要条件,r是q的充要条件,p是q的必要条件.典例2原命题的等价命题为“如果a>1,则方程ax2+2x+1=0没有负实根”,因为a>1时,Δ=4-4a<0,所以方程ax2+2x+1=0没有负实根,即原命题的逆否命题为真,典例3p是q的必要不充分条件『解析』q:x-1=√3−x⇒q:x=2,由韦恩图易知p是q的必要不充分条件.针对训练1.B『解析』∵|x+1|>3,∴x+1>3或x+1<-3,∴p:A={x|x>2或x<-4},q:B={x|x>a}.∵p是q的必要不充分条件,∴B⊆A,∴a≥2.2.必要不充分『解析』若函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,;则f'(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即3x2+4x+m≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即Δ1=16-12m≤0,即m≥43若函数g(x)的最小值大于0,.则Δ2=16−12m<0,即m>43则p成立时q不一定成立,q成立时p一定成立,故p是q的必要不充分条件.。

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2012版数学一轮精品复习学案：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件2012版高三数学一轮精品复习学案：第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【高考目标导航】一、考纲点击1、理解命题的概念；2、了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

【考纲知识梳理】1、命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

2、四种命题及其关系（1）四种命题（3）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；注：否命题是命题的否定吗？答：不是。

命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。

3、充分条件与必要条件（1）“若p，则q”为真命题，记p q⇒，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。

（2）如果既有p q⇔，则p是q的充要条件，q也是p的充⇒，记作p q⇒，又有q p要条件。

【要点名师透析】一、命题的关系与真假的判断1、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。

注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。

2、例题解析〖例1〗设原命题是“已知p、q、m、n是实数，若p=q，m=n，则p＋m=q＋n”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．解：逆命题：“已知p、q、m、n∈R，若p＋m=q＋n，则p=q，m=n(假)．原命题：“已知p、q、m、n∈R，若p≠q，m≠n，则p＋m≠q＋n”(假)逆否命题：“已知p、q、m、n∈R，若p＋m≠q＋n，则p≠q或m≠n”(真)注，否命题“若p≠q，m≠n”应理解为“p≠q或m≠n”即是指：①p≠q，但m=n，②p=q但m≠n，而不含p≠q且m≠n．因为原命题中的条件：“若p=q，m=n．”应理解为“若p=q且m=n，”而这一语句的否定应该是“p≠q或m≠n”．〖例2〗以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．①内接于圆的四边形的对角互补；②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；分析：首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题．解析：对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．对②：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c＝b＋d”是结论．所以：逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”；否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”(注意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可)；逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a≠b或c≠d”．逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a＝b，c＝d 两个等式至少有一个不成立”说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．二、充分条件与必要条件的判定 1、相关链接（1）利用定义判断①若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；注：“p 是q 的充分条件”是指有p 就有q ，但无p 也可能有q ．如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要)条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要)条件．②若q p ⇒，则p 是q 的必要条件；注：ⅰ “q 是p 的必要条件”是指有q 才能有p ，但有q 未必有p ．如，一个偶数未必能被6整除(q ：为偶数，p ：能被6整除)．ⅱ③若p q ⇒且q p ⇒，p 是q 的充要条件； ④⑤p 是q 的必要而不充分条件．⑥（2）利用集合判断记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则：若,A B ⊆则p 是q 的充分条件; 若AB ，则p 是q 的充分不必要条件；若,A B p q ⊇则是的必要条件；若BA ，则p 是q 的必要不充分条件；若A=B ，则p 是q 的充要条件；注：p 与q 之间的关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆。

福建省2012届高考数学一轮经典例题充分条件与必要条件理

福建省2012届高考数学一轮经典例题充分条件与必要条件理例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的[ ] A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析利用韦达定理转换．解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1，x2的值分别为1，－6，∴x1＋x2＝1－6＝－5．因此选A．说明：判断命题为假命题可以通过举反例．例2 p是q的充要条件的是[ ] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解分析逐个验证命题是否等价．解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；对B．p q但q p，p是q的充分非必要条件；对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件；⇒⇒⇔D p q q p p q p q D对．且，即，是的充要条件．选．说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解．例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的[ ] A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件分析通过B、C作为桥梁联系A、D．解∵A是B的充分条件，∴A B①∵D是C成立的必要条件，∴C D②⇔C B C B∵是成立的充要条件，∴③由①③得A C④由②④得A D ．∴D 是A 成立的必要条件．选B ．说明：要注意利用推出符号的传递性．例4 设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的[ ] A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件分析先解不等式再判定．解解不等式|x －2|＜3得－1＜x ＜5．∵0＜x ＜5－1＜x ＜5，但－1＜x ＜50＜x ＜5∴甲是乙的充分不必要条件，选A ．说明：一般情况下，如果条件甲为x ∈A ，条件乙为x ∈B ．当且仅当时，甲为乙的充分条件；当且仅当时，甲为乙的必要条件；A B A B ⊆⊇当且仅当A ＝B 时，甲为乙的充要条件．例5 设A 、B 、C 三个集合，为使A (B ∪C)，条件A B 是[ ] A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件分析可以结合图形分析．请同学们自己画图．∴A (B ∪C)．但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时，显然A (B ∪C)，但A B 不成立，综上所述：“A B ”“A (B ∪C)”，而“A (B ∪C)”“A B ”．即“A B ”是“A (B ∪C)”的充分条件(不必要)．选A ．说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．例6 给出下列各组条件：(1)p ：ab ＝0，q ：a 2＋b 2＝0；(2)p ：xy ≥0，q ：|x|＋|y|＝|x ＋y|；(3)p ：m ＞0，q ：方程x 2－x －m ＝0有实根；(4)p ：|x －1|＞2，q ：x ＜－1．其中p 是q 的充要条件的有[ ] A ．1组 B ．2组C ．3组D ．4组分析使用方程理论和不等式性质．解 (1)p 是q 的必要条件(2)p 是q 充要条件(3)p 是q 的充分条件(4)p 是q 的必要条件．选A ．说明：ab ＝0指其中至少有一个为零，而a 2＋b 2＝0指两个都为零．例＞＞是＞＞的条件．7x 3x 3x x x 12112⎧⎨⎩+⎧⎨⎩x 269分析将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系．解＞且＞＋＞且＞，但当取＝，＝时，＞＞成立，而＞＞不成立＝与＞矛盾，所以填“充分不必要”．x 3x 3x x 6x x 9x 10x 2(x 2x 3)1212121222⇒+⎧⎨⎩⎧⎨⎩x x x x x x 1212126933说明：＞＞－＞－＞x 3x 3 x 30x 301212⎧⎨⎩⇔⎧⎨⎩ ⇔⎧⎨⎩⇔⎧⎨⎩(x 3)(x 3)0(x 3)(x 3)0x x 6x x 3(x x )901212121212－＋－＞－－＞＋＞－＋＋＞这一等价变形方法有时会用得上．例8 已知真命题“a ≥b c ＞d ”和“a ＜be ≤f ”，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的________条件．分析 ∵a ≥b c ＞d(原命题)，∴c ≤d a ＜b(逆否命题)．而a ＜b e ≤f ，∴c ≤d e ≤f 即c ≤d 是e ≤f 的充分条件．答填写“充分”．说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法．例9 ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是[ ]A ．0＜a ≤1B ．a ＜1C ．a ≤1D ．0＜a ≤1或a ＜0分析此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之．当a ＝1时，方程有负根x ＝－1，当a ＝0时，x ＝－．故排除、、选．12A B D C 解常规方法：当＝时，＝－． a 0x 12当a ≠0时1a 0ax 2x 10021a 0a 12．＞，则＋＋＝至少有一个负实根＜－＜＜≤．⇔---⇔-⇔24422aa2a 0ax 2x 100221a 21a 1a 02．＜，则＋＋＝至少有一个负实根＜＞－＞－＞＜．⇔-+-⇔⇔⇔2442aa综上所述a ≤1．即ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1．说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法．例10 已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s ，r ，p 分别是q 的什么条件？分析画出关系图1－21，观察求解．解 s 是q 的充要条件；(s r q ，q s)r 是q 的充要条件；(r q ，q s r)p 是q 的必要条件；(q s r p)说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系．例11 关于x 的不等式|x |x 3(a 1)x 2(3a 1)0A B A B 1a 3a 12－≤与－＋＋＋≤的解集依次为与，问“”是“≤≤或＝－”的充要条件吗？()()a a +-⊆121222分析化简A 和B ，结合数轴，构造不等式(组)，求出a ．解 A ＝{x|2a ≤x ≤a 2＋1}，B ＝{x|(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}当≤＋即≥时，23a 1a 13B ＝{x|2≤x ≤3a ＋1}．A B 2a 2a +13a +11a 323a 1a 2⊆⇔⎧⎨⎩⇔≥≤≤≤当＞＋即＜时，13B ＝{x|3a ＋1≤x ≤2}A B 2a 3a +1a +12a 1A B a 11a 3A B 1a 3a 12⊆⇔⎧⎨⎩⇔⊆⇔⊆≥≤＝－．综上所述：＝－或≤≤．∴“”是“≤≤或＝－”的充要条件．说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关．在解题时要理清思路，表达准确，推理无误．例＞，＞是＜的必要条件还是充分条件，还是充12 x y xy 011x y要条件？分析将充要条件和不等式同解变形相联系．解．当＜时，可得－＜即＜ 1001111x y x y y x xy- 则－＞＜或－＜＞，即＜＜或＞＞，y x 0xy 0y x 0xy 0 x y xy 0x 0⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩y xy 故＜不能推得＞且＞有可能得到＜＜，即＞且＞并非＜的必要条件．11011x y x y xy x yx y xy 0()x y xy 0⎧⎨⎩2x y xy 0x y x 0y 0x y x 0y 0x y xy 0．当＞且＞则分成两种情况讨论：＞＞＞或＞＜＜不论哪一种情况均可化为＜．∴＞且＞是＜的充分条件．⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎩⎪1111x yx y说明：分类讨论要做到不重不漏．例13 设α，β是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析a ＞2且b ＞1是两根α，β均大于1的什么条件？分析把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要搞清楚条件与结论分别指什么．然后再验证是还是还是．p q p q q p p q ⇒⇒⇔解据韦达定理得：＝α＋β，＝αβ，判定的条件是：＞＞结论是：α＞β＞还要注意条件中，，需要满足大前提Δ＝－≥ a b p q (p a b a 4b 0)2a b 2111⎧⎨⎩⎧⎨⎩(1)1a2b1由α＞β＞得＝α＋β＞，＝αβ＞，1⎧⎨⎩∴q p．上述讨论可知：a＞2，b＞1是α＞1，β＞1的必要但不充分条件．说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用．例14 (1991年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么[ ] A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件．分析2：画图观察之．答：选A．说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便。

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