模糊数学08

模糊线性规划 解：求 X 中年轻人的最高者实际上是求两个模糊集 A =“年轻人”与 G =“高个子”的交集。由
X f(x)/cm x1 172 x2 180 x3 165 x4 174 x5 168
得模糊目标
对称性模糊判决
所以 X 中年轻人的最高者是 x4 。
模糊线性规划 多约束和多目标情况：
若约束条件不知一个，源自文库约束为
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x j 0 ( j 1,2,, n)
min f CX AX b x0
(1)
矩阵表达形式
模糊线性规划 二、模糊线性规划问题
例如：某工厂将用 A1, A2 两种原料生产 B1, B2, B3 三 种产品，每吨产品的利润分别为 2, 3, 1万元，每吨产 品需用原料及现有原料数如下表所示
原料
B1
2 1
B2
1 3
B3
2 2
现有原料数 7 11
A1/t
A2/t
求使总利润最大的生产方案。
7 2 x1 x 2 2 x 3 x 4 x 5 11 x1 3 x 2 2 x 3 x , x , x 0 1 2 3
这时
c (2, 3, 1, 0, 0)
2 1 2 1 0 A 1 3 2 0 1
7 b 11
D( x ) 0.4 A( x ) 0.6G ( x )
0.6 0.48 0.2 0.31 0.54 x1 x2 x3 x4 x5 由最大隶属原则，应该买x1.
模糊线性规划 实例
采区巷道布置是矿井开拓中的重要内容，其目的就是建立完善 的矿井生产系统，实现采区合理集中生产，改善技术经济指标.因此， 合理地选择最优巷道布置方案，对于矿井生产具有十分重要的意义. 根据煤矿开采的特点和采区在矿井生产的作用，在选择最优巷道布 置方案时，要求达到下列标准： (1)生产集中程度高； (2)采煤机械化程度高； (3)采区生产系统十分完善； (4)安全生产可靠性好； (5)煤炭损失率低； (6)巷道掘进费用尽可能低. 上述问题,实际上就是一个模糊约束下的条件极值问题，我们可 以把(1)～(5)作为模糊约束，而把(6)作为目标函数. 设某矿井的采区巷道布置有六种方案可供选择，即
x6
较高 高 较高 高 很低 63.6 0
C1 :生产集中程度高 C 2 :采煤机械化程度高 C3 :采区生产系统完善 C4 :安全生产可靠度高 C5 :煤炭损失率低
G： 巷道掘进费用(万元)
解答略，留作练习
模糊线性规划 二、模糊线性规划问题
普通线性规划的一般形式为 min f c1 x1 c2 x 2 cn x n 目标函数 约束条件
相应地有 X 中一个模糊子集与之对应， 其隶属函数为
n 1 Di ( x ) f j ( a ij x j ) 1 j 1 di 1 n a ij x j bi j 1 0 当
a
j 1 n
n
ij
x j bi
1.将语言真值(评价结果)转化为各模糊约束集的隶属度 2. 目标函数f(x)模糊化 f ( x) m M f ( x) 或者G ( x) G( x ) max f min f max f min f 3.定义模糊判决： 对称型： D( x ) A( x ) G ( x ). 加权型： D( x ) aA( x ) bG ( x ). 4. 由最大隶属原则求出x*, 则x*为模糊条件极大值点。
目标也有多个，如 可以采用 和
模糊线性规划 一、模糊约束条件下的极值问题
例：某人想买一件大衣，提出如下标准：式样一般， 质量好，尺寸较合身，价格尽量便宜，设有5件大衣X ＝{x1,x2,x3,x4,x5}供选择，经调查结果如表
大衣 式样 质量 尺寸 价格 x1 过时 好 合身 40 x2 较陈旧 较好 较合身 80 x3 时髦 好 合身 100 x4 较新 较差 合身 85 X5 一般 一般 较合身 75
A1 A2 A3
G
其中模糊目标 G ( x)
M f ( x) max f min f
总约束集 A A1 A2 A3 {0,0.7,0.5,0.4,0.6} 模糊目标集 G {1,0.33,0,0.25,0.5} 约束与目标对等时，用对称型模糊判决
D( x ) A( x ) G ( x )
模糊数学
第8章 综合分析
§ 8.1 综合函数与例子
§ 8.1 综合函数与例子
§ 8.1 综合函数与例子
§ 8.1 综合函数与例子
§ 8.2 综合函数的性质
§ 8.2 综合函数的性质
§ 8.2 综合函数的性质

综合函数的例子
§ 8.2 综合函数的性质
§ 8.2 综合函数的性质
0 2 3 1 0 0 0 c T ( B) b A 7 2 1 2 1 0 11 1 3 2 0 1
它有一个现成可行基
B p 4 , p5
，
实施初等行变换进行换基得
13 0 0 1.8 0.5 0.8 T ( B ) 2 1 0 0.8 0.6 0.2 3 0 1 0.4 0.2 0.4
模糊线性规划 实例
经过对六种方案进行审议，评价后，将其结果 列于表1
方案 评价项目
x1
较低 高 一级 较低 高 59.4 0
x2
高 较高 较低 一般 较高 69.1 0
x3
较高 较高 较低 较低 一般 78.8 0
x4
很高 高 很高 高 一般 34.5 0
x5
较高 很高 高 一般 一般 44.2 0
(1)
模糊线性规划，其模型为 目标函数 min f c1 x1 c2 x2 cn xn ~ a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 ~b a x a x a x 21 1 22 2 2n n 2 (2) 约束条件 ~b a x a x a x m1 1 m 2 2 mn n m x 0 ( j 1,2 n) j
因此，使总利润最大的生产方案是：生产 2t B1, 3t B2, 不生产 B3，最大利润为13万元。
二、模糊线性规划问题
普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的， 但在一些实际问题中，约束条件可能带有弹性， 目标函数可能不是单一的，可以借助模糊集的方 法来处理. 模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化，引 入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，它 的最优解称为原问题的模糊最优解.
模糊线性规划 一、模糊约束条件下的极值问题
例：设 X＝{x1,x2,x3,x4,x5} 为5个人的集合，X 中每个人 的身高为
X f(x)/cm x1 172 x2 180 x3 165 x4 174 x5 168
已知
表示 X 中“年轻人”的模糊集，求 X 中年轻人的 最高者。
模糊线性规划 该类问题的解题过程：
13 0 0 1.8 0.5 0.8 T ( B ) 2 1 0 0.8 0.6 0.2 3 0 1 0.4 0.2 0.4
由于检验数中没有正数，因此有最优解。 最优解为
x1 2, x 2 3, x 3 0
最优值为
f f 13
模糊线性规划 二、模糊线性规划问题
解：设普通线性规划的一般形式为 目标函数
max f 2 x1 3 x2 x3
约束条件
2 x1 x 2 2 x 3 7 x1 3 x 2 2 x 3 11 x ,x ,x 0 1 2 3

解：引进松弛变量 x 4 , x 5 , 将其化成标准形式 min f 2 x1 3 x 2 x3
由
c (2, 3, 1, 0, 0)
2 1 2 1 0 A 1 3 2 0 1
其单纯形表为
7 b 11
0 2 3 1 0 0 0 c T ( B) b A 7 2 1 2 1 0 11 1 3 2 0 1
普通线性规划的一般形式为 f c1 x1 c2 x 2 cn x n 目标函数 min a x a x a x b 约束条件
11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x j 0 ( j 1,2,, n)
问他应该购买哪一件大衣？
解：将式样，质量，尺寸化为三个模糊约束 A1,A2,A3,价格化为模糊目标G： 将表中的评价结果转化为各模糊约束集的隶属度
大衣 x1 0 1 1 1 x2 0.7 0.8 0.8 0.33 x3 0.5 1 1 0 x4 0.8 0.4 1 0.25 x5 1 0.6 0.8 0.5
n
当 bi a ij x j bi d i
j 1
当
a
j 1
ij
x j bi
对于 X 中的模糊集
0 0.33 0 0.25 0.5 x1 x2 x3 x4 x5
由最大隶属原则，应该买 x5.
大衣 式样 质量 尺寸 价格
x1 过时 好 合身 40
x2 较陈旧 较好 较合身 80
x3 时髦 好 合身 100
x4 较新 较差 合身 85
X5 一般 一般 较合身 75
加权模型
如果要求价格更便宜，则放松约束，令a=0.4, b=0.6 加权型判决为
（2）
当 d i 0 时， ai j x j bi , 当 d i 0,
n
a
j 1
n
j 1
ij
x j 取 (bi d i , bi d i ) 内某一值。
设 X x | x R n , x 0 ，对于每个约束条件 n ~ aij x j bi
j 1
§ 8.2 综合函数的性质
§ 8.2 综合函数的性质
§ 8.3 综合函数的生成
§ 8.3 综合函数的生成
§ 8.3 综合函数的生成
§ 8.3 综合函数的生成
§ 8.4 模糊线性规划

将线性规划的约束条件或目标函数模糊 化，引入隶属函数，从而导出一个新的 线性规划问题，其最优解称为原问题的 模糊最优解。
对于模糊线性规划
min f c1 x1 c2 x2 cn xn
~ a x a x a x 11 1 12 2 1n n b1 ~ a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 ~ am1 x1 am 2 x2 amn xn bm x 0 ( j 1,2 n) j
min f CX ~ AX b x0
矩阵表达形式
为了体现这个近似小于等于，我们引入伸缩指标 di ,
模型又可写成
min f c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn [b1 , d1 ] a21 x1 a22 x2 a2 n xn [b2 , d 2 ] am1 x1 am 2 x2 amn xn [bm , d m ] x 0 ( j 1,2 n) j