二次函数五种必考题型

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专题05二次函数中的平移、旋转、对称(五大题型)解析版

专题05二次函数中的平移、旋转、对称（五大题型）通用的解题思路：1.二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.3.二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。

4.二次函数图象的翻折与旋转y=a(x-h)²+k绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-k a、h、k 均变号沿x 轴翻折y=-a(x-h)²-k a、k 变号，h 不变沿y 轴翻折y=a(x+h)²+ka、h 不变，h 变号题型一：二次函数中的平移问题1．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21(0)y ax bx a a=+-<与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）．（2）当B 的纵坐标为3时，求a 的值；（3）已知点11(,2P a-，(2,2)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，请结合函数图象求出a 的取值范围．【分析】（1）令0x =，求出点A 坐标根据平移得出结论；（2）将B 的纵坐标为3代入求出即可；（3）由对称轴为直线1x =得出212y ax ax a =--，当2y =时，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，结合图象得出结论；【解答】解：（1）在21(0)y ax bx a a =+-<中，令0x =，则1y a =-，∴1(0,)A a-，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，则1(2,)B a-．（2）B 的纵坐标为3，∴13a-=，∴13a =-．（3）由题意得：抛物线的对称轴为直线1x =，2b a ∴=-，∴212y ax ax a=--，当2y =时，2122ax ax a=--，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，当|1|2a a a -+≤时，结合函数图象可得12a ≤-，抛物线与PQ 恰有一个公共点，综上所述，a 的取值范围为12a ≤-．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．2．（2024•平原县模拟）已知抛物线212:23C y ax ax a =++-．（1）写出抛物线1C 的对称轴：．（2）将抛物线1C 平移，使其顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，且抛物线2C 经过点(2,2)A --和点B （点B 在点A 的左侧），若ABO ∆的面积为4，求点B 的坐标．（3）在（2）的条件下，直线1:2l y kx =-与抛物线2C 交于点M ，N ，分别过点M ，N 的两条直线2l ，3l 交于点P ，且2l ，3l 与y 轴不平行，当直线2l ，3l 与抛物线2C 均只有一个公共点时，请说明点P 在一条定直线上．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案．（2）根据抛物线2C 的顶点坐标在原点上可设其解析式为2y ax =，然后将点A 的坐标代入求得2C 的解析式，于是可设B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，利用4ABO OBN OAM ABNM S S S S ∆∆∆=--=梯形可求得t 的值，于是可求得点B 的坐标．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立抛物线与直线1l 的方程可得出12x x k +=-，124x x =-．再利用直线2l 、直线3l 分别与抛物线相切可求得直线2l 、直线3l 的解析式，再联立组成方程组可求得交点P 的纵坐标为一定值，于是可说明点P 在一条定直线上．【解答】解：（1）抛物线1C 的对称轴为：212ax a=-=-．故答案为：1x =-．故答案为：1x =-．（2）抛物线1C 平移到顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，∴可设抛物线2C 的解析式为：2y ax = 点(2,2)A --有抛物线2C 上，22(2)a ∴-=⋅-，解得：12a =-．∴抛物线2C 的解析式为：212y x =-．点B 在抛物线2C 上，且在点A 的左侧，∴设点B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，如图，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为点M 、N ．ABO OBN OAM ABNMS S S S ∆∆∆=-- 梯形2211111()()22(2)(2)22222t t t t =⨯-⨯-⨯⨯-⨯+⨯--32311122424t t t t =--++++212t t =+，又4ABO S ∆=，∴2142t t +=，解得：13t +=±，4(2t t ∴=-=不合题意，舍去），则2211(4)822t -=-⨯-=-，(4,8)B ∴--．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组：2122y xy kx ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，整理得：2240x kx +-=，122x x k ∴+=-，124x x =-．设过点M 的直线解析式为y mx n =+，联立得方程组212y xy mx n⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，整理得2220x mx n ++=．①过点M 的直线与抛物线只有一个公共点，∴△2480m n =-=，∴212n m =．∴由①式可得：221112202x mx m ++⨯=，解得：1m x =-．∴2112n x =．∴过M 点的直线2l 的解析式为21112y x x x =-+．用以上同样的方法可以求得：过N 点的直线3l 的解析式为22212y x x x =-+，联立上两式可得方程组2112221212y x x x y x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得1212212x x x y x x +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，12x x k +=- ，124x x =-．∴(,2)2k P -∴点P 在定直线2y =上．（如图）【点评】本题考查了抛物线的对称轴、求二次函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点，解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路．3．（2024•和平区一模）已知抛物线21(y ax bx a =+-，b 为常数．0)a ≠经过(2,3)，(1,0)两个点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）抛物线的顶点为；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法即可求解；（Ⅱ）根据抛物线的顶点式即可求得；（Ⅲ）利用平移的规律即可求得．【解答】解：（1）抛物线21y ax bx =+-经过(2,3)，(1,0)两个点，∴421310a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为21y x =-；（Ⅱ）抛物线21y x =-，∴抛物线的顶点为(0,1)-，故答案为：(0,1)-；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线2(1)12y x =---，即2(1)3y x =--．故答案为：2(1)3y x =--．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．4．（2024•礼县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，且过点(1,2)B -，(3,0)C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求ABC ∆的面积；（3）将抛物线向左平移(0)m m >个单位，当抛物线经过点B 时，求m的值．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出点A 的坐标，然后切成直线BC 的解析式，求出点D 的坐标，再根据ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+求出ABC ∆的面积；（3）由（1）解析式求出对称轴，再求出点B 关于对称轴的对称点B '，求出BB '的长度即可；【解答】解：（1）把(1,2)B -，(3,0)C 代入23y ax bx =++，则933032a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为211322y x x =-++；（2）抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，(0,3)A ∴，设直线BC 的解析式为y kx n =+，把(1,2)B -，(3,0)C 代入y kx n =+得230k n k n -+=⎧⎨+=⎩，解得1232k n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BC 的解析式为1322y x =-+，设BC 交y 于点D，如图：则点D 的坐标为3(0,)2，33322AD ∴=-=，113()(31)3222ABC ABD ACD C B S S S AD x x ∆∆∆∴=+=-=⨯⨯+=，（3）211322y x x =-++ ，∴对称轴为直线122b x a =-=，令B 点关于对称轴的对称点为B '，(2,2)B ∴'，3BB ∴'=，抛物线向左平移(0)m m >个单位经过点B ，3m ∴=．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、三角形面积等知识，关键是掌握二次函数的性质和平移的性质．5．（2024•珠海校级一模）已知抛物线223y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）化成顶点是即可求解；（2）根据平移的规律得到2(1)4y x m =-+-+，把原点代入即可求得m 的值．【解答】解：（1）2223(1)4y x x x =+-=+- ，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)--．（2）该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，得到的新抛物线对应的函数表达式为2(1)4y x m =+--，新抛物线经过原点，20(01)4m ∴=+--，解得3m =或1m =-（舍去），3m ∴=，故m 的值为3．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求得平移后的抛物线的解析式是解题的关键．6．（2024•关岭县一模）如图，二次函数212y x bx c =++与x 轴有两个交点，其中一个交点为(1,0)A -，且图象过点(1,2)B ，过A ，B 两点作直线AB ．（1）求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；（2）将二次函数212y x bx c =++向左平移1个单位，得函数2y =；函数2y 与坐标轴的交点坐标为；（3）在（2）的条件下，将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后与函数2y 的图象有唯一交点，求n 的值．【分析】（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式即可求出b 、c 值，再转化为顶点式即可；（2）根据抛物线平移规则“左加右减”得到2y 解析式，令20y =求出与x 轴的交点坐标即可；（3）利用待定系数法求出直线AB 解析式，再根据直线平移法则“上加下减”得到直线平移后解析式，联立消去y ，根据判别式为0解出n 值即可．【解答】解：（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式得：2022b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得11b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为2219212()48y x x x =+-=+-．∴抛物线解析式为：21192()48y x =+-．（2）将二次函数1y 向左平移1个单位，得函数22592()48y x =+-，令20y =，则2592(048x +-=，解得112x =-，22x =-，∴平移后的抛物线与x 轴的交点坐标为1(2-，0)(2-，0)．故答案为：22592()48y x =+-，1(2-，0)(2-，0)．（3）设直线AB 的解析式为y kx b =+，将(1,0)A -，点(1,2)B 代入得：02k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 解析式为：1y x =+．将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后的解析式为1y x n =+-，与函数2y 联立消去y 得：2592(148x x n +-=+-，整理得：22410x x n +++=，直线AB 与抛物线有唯一交点，△1642(1))0n =-⨯+=，解得1n =．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握函数的平移法则是解答本题的关键．7．（2024•温州模拟）如图，直线122y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线2y x mx =-+经过点A ．（1）求点B 的坐标和抛物线的函数表达式．（2）若抛物线向左平移n 个单位后经过点B ，求n 的值．【分析】（1）由题意可得点A 、B 的坐标，利用待定系数法求解二次函数的表达式即可解答；（2）根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线的表达式，再代入B 的坐标求解即可．【解答】解：（1）令0x =，则1222y x =-+=，(0,2)B ∴，令0y =，则1202y x =-+=，解得4x =，(4,0)A ∴，抛物线2y x mx =-+经过点A ，1640m ∴-+=，解得4m =，∴二次函数的表达式为24y x x =-+；（2）224(2)4y x x x =-+=--+ ，∴抛物线向左平移n 个单位后得到2(2)4y x n =--++，经过点(0,2)B ，22(2)4n ∴=--++，解得2n =±，故n 的值为2-2+【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解答的关键．8．（2024•巴东县模拟）已知二次函数2y ax bx c =++图象经过(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -三点．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数2y ax bx c =++图象平移使其经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，求平移后的二次函数的解析式．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式．【解答】解：（1）把(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -代入2y ax bx c =++，得：4239366a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴该二次函数的解析式为223y x x =-+；（2）若将该二次函数2y ax bx c =++图象平移后经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，设平移后的二次函数的解析式为2(4)y x k =-+，将点(5,0)D 代入2(4)y x k =-+，得2(54)0k -+=，解得，1k =-．∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为22(4)1815y x x x =--=-+．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键．9．（2024•郑州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y x m =+经过点A ，判断点B 是否在直线y x m =+上，并说明理由；（3）平移抛物线2y x bx c =-++使其顶点仍在直线y x m =+上，若平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为n ，求n 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）利用待定系数法求得直线y x m =+的解析式，然后代入点B 判断即可；（3）设平移后的抛物线为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +，根据题意得出2221511()24n p q p p p =-++=-++=-++，得出n 的最大值．【解答】解：（1）抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ，∴12421b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得21b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：221y x x =-++；（2）点B 不在直线y x m =+上，理由：直线y x m =+经过点A ，12m ∴+=，1m ∴=，1y x ∴=+，把2x =代入1y x =+得，3y =，∴点(2,1)B 不在直线y x m =+上；（3）∴平移抛物线221y x x =-++，使其顶点仍在直线1y x =+上，设平移后的抛物线的解析式为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +，顶点仍在直线1y x =+上，11p q ∴+=+，p q ∴=，抛物线2()1y x p q =--++与y 轴的交点的纵坐标为21n p q =-++，2221511(24n p q p p p ∴=-++=-++=-++，∴当12p =-时，n 有最大值为54．54n ∴ ．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．10．（2024•鞍山模拟）已知抛物线2246y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）将二次函数的解析式改写成顶点式即可．（2）将抛物线与x 轴的交点平移到原点即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，2222462(21)82(1)8y x x x x x =+-=++-=+-，所以抛物线的顶点坐标为(1,8)--．（2）令0y =得，22460x x +-=，解得11x =，23x =-．又因为将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，所以30m -+=，解得3m =．故m 的值为3．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟知利用配方法求二次函数解析式的顶点式及二次函数的图象与性质是解题的关键．11．（2023•原平市模拟）（1）计算：3211()(5)|2|3--+---⨯-；（2）观察表格，完成相应任务：x3-2-1-012221A x x =+-21-2-1-①72(1)2(1)1B x x =-+--721-2-②2任务一：补全表格；任务二：观察表格不难发现，当x m =时代数式A 的值与当1x m =+时代数式B 的值相等，我们称这种现象为代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1：换个角度来看，将代数式A ，B 变形，得到(A =③2)2-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象④（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式P =⑤．【分析】（1）先算乘方，负整数指数幂，绝对值，再算乘法，最后算加减法即可求解；（2）①把1x =分别代入代数式A ，B 即可求得；②根据代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1，即可得出二次函数A 、B 平移的规律是向右平移1个单位，据此即可得出代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3的P 的代数式．【解答】解：（1）原式19(5)2=-+--⨯19(10)=-+--1910=-++18=；（2）任务一：将1x =代入2212A x x =+-=；代入2(1)2(1)11B x x =-+--=-，故答案为：①2，②1-；任务二：将代数式A ，B 变形，得到2(1)2A x =+-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象向右平移1个单位（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式22(13)2(2)2P x x =+--=--．故答案为：①2；②1-；③1x +；④向右平移1个单位；⑤2(2)2P x =--．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，理解题意，能够准确地列出解析式，并进行求解即可．12．（2024•南山区校级模拟）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数2(||1)y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：【观察探究】：方程2(||1)1x --=-的解为：；【问题解决】：若方程2(||1)x a --=有四个实数根，分别为1x 、2x 、3x 、4x ．①a 的取值范围是；②计算1234x x x x +++=；【拓展延伸】：①将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；②观察平移后的图象，当123y时，直接写出自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数21(|21)3y x =---+的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）观察探究：①由图象可知，当函数值为1-时，直线1y =-与图象交点的横坐标就是方程2(||1)1x --=-的解．故答案为：2x =-或0x =或2x =．（2）问题解决：①若方程2(|1)x a --=有四个实数根，由图象可知a 的取值范围是10a -<<．故答案为：10a -<<．②由图象可知：四个根是两对互为相反数．所以12340x x x x +++=．故答案为：0．（3）拓展延伸：①将函数2(||1)y x =--的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象，②当123y 时，自变量x 的取值范围是04x ．故答案为：04x．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．13．（2023•花山区一模）已知抛物线2y x ax b =++的顶点坐标为(1,2)．（1）求a ，b 的值；（2）将抛物线2y x ax b =++向下平移m 个单位得到抛物线1C ，存在点(,1)c 在1C 上，求m 的取值范围；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，直线(2)y n n =>与抛物线2y x ax b =++相交于A 、B （点A 在点B 的左侧），与2C 相交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），求AD BC -的值．【分析】（1）根据对称轴公式以及当1x =时2y =，用待定系数法求函数解析式；（2）根据（1）可知抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，再由平移性质得出抛物线1C 解析式，然后把点(,1)c 代入抛物线1C ，再根据方程有解得出m 的取值范围；（3）先求出抛物线2C 解析式，再求出A ，B ，C ，D 坐标，然后求值即可．【解答】解：（1）由题意得，1212aa b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得23a b =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）知，抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，将其向下平移m 个单位得到抛物线1C ，∴抛物线1C 的解析式为2(1)2y x m =-+-，存在点(,1)c 在1C 上，2(1)21c m ∴-+-=，即2(1)1c m -=-有实数根，10m ∴- ，解得1m，m ∴的取值范围为1m；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，2(13)2k ∴-+=，解得2k =-，∴抛物线2C 的解析式为2(3)2y x =--，把(2)y n n =>代入到2(1)2y x =-+中，得2(1)2n x =-+，解得1x =1x =(1A ∴-，)n ，(1B +)n ，把(2)y n n =>代入到2(3)2y x =--中，得2(3)2n x =--，解得3x =或3x =+(3C ∴)n ，(3D +，)n ，(3(12AD ∴=+--=+，(1(32BC =+--=-+，(2(24AD BC ∴-=+--+=．【点评】本题考查二次函数的几何变换，二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式，直线和抛物线交点，关键对平移性质的应用．14．（2023•环翠区一模）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)．（1）求此抛物线的解析式；（2）当自变量x 满足13x -时，求函数值y 的取值范围；（3）将此抛物线沿x 轴平移m 个单位长度后，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，求m 的值．【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）先求出1x =-及3x =时的函数值，结合函数的性质得到答案；（3）设此抛物线沿x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)2y x m l =---，利用二次函数的性质，当25m +>，此时5x =时，5y =，即(52)215m ---=，设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)21y x m =-+-，利用二次函数的性质得到2m l -<，此时1x =时，5y =，即(12)215m ---=，然后分别解关于m 的方程即可．【解答】解：（1）抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)，∴103b c c ++=⎧⎨=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴此抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）当1x =-时，1438y =++=，当3x =时，91230y =-+=，2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴函数图象的顶点坐标为(2,1)-，∴当13x -时，y 的取值范围是18y - ；（3）设此抛物线x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =--21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，25m ∴+>，即3m >，此时5x =时，5y =，即(52)m --215-=，解得13m =+，23m =-（舍去）；设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =-+21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，21m ∴-<，即1m >，此时1x =时，5y =，即2(12)15m ---=，解得11m =-+，21m =--（舍去），综上所述，m 的值为3+1+【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，也考查了二次函数的性质．15．（2023•南宁一模）如图1，抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)．（1）求c 的值及抛物线1y 的顶点坐标；（2）当132x - 时，求1y 的最大值与最小值的和；（3）如图2，将抛物线1y 向右平移m 个单位(0)m >，再向上平移2m 个单位得到新的抛物线2y ，点N 为抛物线1y 与2y 的交点．设点N 到x 轴的距离为n ，求n 关于m 的函数关系式，并直接写出当n 随m 的增大而减小时，m 的取值范围．【分析】（1）把(1,3)代入抛物线解析式求得c 的值；根据抛物线解析式可以直接得到顶点坐标；（2）根据抛物线的性质知：当0x =时，1y 有最大值为4，当3x =-时，1y 有最小值为5-．然后求1y 的最大值与最小值的和；（3）根据平移的性质“左加右减，上加下减”即可得出抛物线2y 的函数解析式；然后根据抛物线的性质分两种情况进行解答：当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．【解答】解：（1）抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)，∴当0x =时，2113y c =-+=，解得4c =．∴214y x =-+．顶点坐标为(0,4)；（2）10-< ，∴抛物线开口向下．当0x =时，1y 有最大值为4．当3x =-时，21(3)45y =--+=-．当12x =时，21115()424y =-+=．∴当3x =-时，1y 有最小值为5-．∴最大值与最小值的和为4(5)1+-=-；（3）由题意知，新抛物线2y 的顶点为(,42)m m +，∴22()42y x m m =--++．当12y y =时，22()424x m m x --++=-+，化简得：2220mx m m -+=．又0m > ，∴112x m =-．∴2211(1)4(2)424y m m =--+=--+．当21(2)404m --+=时，解得12m =-；26m =， 104-<，∴抛物线开口向下．当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．∴综上所述2213,06413,64m m m n m m m ⎧-++<⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩ （或21|(2)4|)4n m =--+．当26m <<时，n 随m 的增大而减小．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的图象与性质以及二次函数最值的求法．难度偏大．16．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，顶点为A ，与x 轴分别交于点B 和点C （点B 在点C 的左边），与y 轴交于点D ，其中点C 的坐标为(3,0)．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E ，联结DE ．①如果//DE AC ，求四边形ACDE 的面积；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，当DQE CDQ ∠=∠时，求点Q的坐标．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）①依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质和平行线的性质求得点E ，F 坐标，再利用四边形ACDE 的面积DFC EFCA S S ∆=+平行四边形解答即可；②依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理求得点E 坐标和线段DE ，再利用等腰三角形的判定与性质求得线段FQ ，则结论可求．【解答】解：（1）抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，经过点(3,0)C ，∴229330b a a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为243y x x =-+；（2）①2243(2)1y x x x =-+=-- ，(2,1)A ∴-．设抛物线的对称轴交x 轴于点G ，1AG ∴=．令0x =，则3y =，(0,3)D ∴，3OD ∴=．令0y =，则2430x x -+=，解得：1x =或3x =，(1,0)B ∴．如果//DE AC ，需将抛物线向左平移，设DE 交x 轴于点F ，平移后的抛物线对称轴交x 轴于点H ，如图，点C 的坐标为(3,0)，3OC ∴=．由题意：45ACB ∠=︒，//DE AC ，45DFC ACB ∴∠=∠=︒．3OF OD ∴==，(3,0)F ∴-，由题意：1EH =，1FH EH ∴==，(4,1)E ∴--．//AE x 轴，//DE AC ，∴四边形EFCA 为平行四边形，2(4)6AE =--= ，616EFCA S ∴=⨯=平行四边形．1163922DFC S FC OD ∆=⨯⋅=⨯⨯= ，∴四边形ACDE 的面积6915DFC EFCA S S ∆=+=+=平行四边形；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，DQE CDQ ∠=∠，如图，当点Q 在x 轴的下方时，设平移后的抛物线的对称轴交x 轴于F ，由题意：1EF =．3OD OC == ，45ODC OCD ∴∠=∠=︒，45FCE OCD ∴∠=∠=︒，1CF EF ∴==，(4,1)E ∴-．CD ==，CE ==DE CD CE ∴=+=DQE CDQ ∠=∠ ，EQ DE ∴==1QF EF EQ ∴=+=，(4,1)Q ∴-；当点Q 在x 轴的上方时，此时为点Q '，DQ E CDQ ∠'=∠' ，EQ DE ∴'==，1Q F EQ EF ∴'='-=，(4Q ∴'，1)-．综上，当DQE CDQ ∠=∠时，点Q 的坐标为(4,1)--或(4，1)-．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．17．（2023•下城区校级模拟）如图已知二次函数2(y x bx c b =++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A -，点(0,4)C -，顶点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的表达式及点M 的坐标：（2）若将该二次函数图象向上平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围；（3）若E 为y 轴上且位于点C 下方的一点，P 为直线AC 上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，即可求解；（2）求出平移后的抛物线的顶点(1,5)m -，再求出直线AC 的解析式4y x =-，当顶点在直线AC 上时，2m =，当M 点在AB 上时，4m =，则24m <<；（3）设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，分三种情况讨论：当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，Q 点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，Q 点横坐标为2；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，Q点横坐标为3【解答】解：（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，∴4931c b c =-⎧⎨++=-⎩，解得24b c =-⎧⎨=-⎩，224y x x ∴=--，2224(1)5y x x x =--=-- ，∴顶点(1,5)M -；（2）由题可得平移后的函数解析式为2(1)5y x m =--+，∴抛物线的顶点为(1,5)m -，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∴431b k b =-⎧⎨+=-⎩，解得14k b =⎧⎨=-⎩，4y x ∴=-，当顶点在直线AC 上时，53m -=-，2m ∴=，//AB x 轴，(1,1)B ∴--，当M 点在AB 上时，51m -=-，4m ∴=，24m ∴<<；（3）存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，理由如下：设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，点E 在点C 下方，4t ∴<-，Q点在第四象限，01q ∴<<，①当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，∴22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，解得334q p t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩（舍)或116p q t =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，∴22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，解得222q p t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为2，不符合题意；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，∴222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，解得332p q t ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-+⎪⎩（舍)或332p q t ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=--⎪⎩，Q ∴点横坐标为3-综上所述：Q 点横坐标为1或3-【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．18．（2023•即墨区一模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为243y x x =-+．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0,3)A ，(1,0)B ，．求该二次函数的解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）当函数值6y <时，自变量x 的取值范围：；（3）如图1，将函数243(0)y x x x =-+<的图象向右平移4个单位长度，与243(4)y x x x =-+ 的图象组成一个新的函数图象，记为L ．若点(3,)P m 在L 上，求m 的值；（4）如图2，在（3）的条件下，点A 的坐标为(2,0)，在L 上是否存在点Q ，使得9OAQ S ∆=．若存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；（2）求出6y =时，对应的x 值，再结合图象写出x 的取值范围即可；（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)3y x =--，根据题意可知3x =时，P 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上，再求m 的值即可；（4）分两种情况讨论：当Q 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上时，设2(,1233)Q t t t -+，由212(1233)92OAQ S t t ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,41)Q m m m -+，由212(41)92OAQ S m m ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可．【解答】解：（1）(2,1)C -，故答案为：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）243y x x =-+ ，∴当2436x x -+=时，解得2x =2x =-∴当6y <时，22x <<+，故答案为：22x -<<+；（3）2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)1y x =--，当3x =时，点P 在抛物线2(6)1y x =--的部分上，8m ∴=；（4）存在点Q ，使得9OAQ S ∆=，理由如下：当Q 点在抛物线2(6)1y x =--的部分上时，设2(,1235)Q t t t -+，212(1235)92OAQ S t t ∆∴=⨯⨯-+=，解得6t =+6t =，4t ∴<，6t ∴=-(6Q ∴-，9)；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,43)Q m m m -+，212(43)92OAQ S m m ∆∴=⨯⨯-+=，解得2m =+或2m =-4m ，2m ∴=+，2Q ∴，9)；综上所述：Q 点坐标为(6，9)或2+，9)．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．19．（2023•武侯区模拟）定义：将二次函数l 的图象沿x 轴向右平移t ，再沿x 轴翻折，得到新函数l '的图象，则称函数l '是函数l 的“t 值衍生抛物线”．已知2:23l y x x =--．（1）当2t =-时，①求衍生抛物线l '的函数解析式；②如图1，函数l 与l '的图象交于(M ，)n ，(,N m -两点，连接MN ．点P 为抛物线l '上一点，且位于线段MN 上方，过点P 作//PQ y 轴，交MN 于点Q ，交抛物线l 于点G ，求QNG S ∆与PNG S ∆存在的数量关系．（2）当2t =时，如图2，函数l 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．函数l '与x 轴交于D ，E 两点，与y 轴交于点F ．点K 在抛物线l '上，且EFK OCA ∠=∠．请直接写出点K 的横坐标．【分析】（1）①利用抛物线的性质和衍生抛物线的定义解答即可；②利用待定系数法求得直线MN 的解析式，设2(,23)P m m m --+，则得到(,2)Q m m -，2(,23)G m m m --，利用m 的代数式分别表示出PQ ，QG 的长，再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论；（2）利用函数解析式求得点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标，进而得出线段OA ，OC ，OD ，OE ，AC ，OF 的长，设直线FK 的解析式为5y kx =-，设直线FK 交x 轴于点M ，过点M 作MN EF ⊥于点N ，用k 的代数式表示出线段OM ．FM ，ME 的长，利用EFK OCA ∠=∠，得到sin sin EFK OCA ∠=∠，列出关于k 的方程，解方程求得k 值，将直线FK 的解析式与衍生抛物线l '的函数解析式联立即可得出结论．。

二次函数的图象与性质大题(五大题型)—2024年中考数学(全国通用)解析版

二次函数的图象与性质大题（五大题型）通用的解题思路：题型一．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．题型二．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．题型三．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．题型四．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．题型五．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．题型一．二次函数的性质（共3小题）1．（2024•石景山区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x h =．（1）若抛物线经过点(2,0)，求h 的值；（2）若对于11x h =−，22x h =，都有12y y >，求h 的取值范围；（3）若对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，直接写出h 的取值范围．【分析】（1）根据对称轴2bx a=−进行计算，得2b h =，再把(2,0)代入2(0)y x bx b =−+≠，即可作答．（2）因为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上的点，所以把11x h =−，22x h =分别代入，得出对应的1y ，2y ，再根据12y y >联立式子化简，计算即可作答；（3）根据121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，得出当221h −<−<−或者211h −<+<−，即可作答．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x h =， 22b bh ∴=−=−，即2b h =，∴抛物线22y x hx =−+，把(2,0)代入22y x hx =−+，得0422h =−+⨯，解得1h =；（2）由（1）知抛物线22y x hx =−+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，221(1)2(1)1y h h h h ∴=−−+−=−，22(2)220y h h h =−+⨯=，对于11x h =−，22x h =，都有12y y >， 210h ∴−>，解得1h >或1h <−；（3）1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，且1(2,)h y −关于直线x h =的对称点为1(2,)h y +，1(1,)h y +关于直线x h =的对称点为1(1,)h y −，∴当221h −<−<−时，存在12y y <，解得01h <<，当221h −<+<−时，存在12y y <，解得43h −<<−，当211h −<+<−时，存在12y y <，解得32h −<<−，当211h −<−<−时，存在12y y <，解得10h −<<，综上，满足h 的取值范围为41h −<<且0h ≠．【点评】本题考查了二次函数的图象性质、增减性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 2．（2024•鹿城区校级一模）已知二次函数223y x tx =−++．（1）若它的图象经过点(1,3)，求该函数的对称轴．（2）若04x ……时，y 的最小值为1，求出t 的值．（3）如果(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，则12x x +是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）把(1,3)代入解析式求出12t =，再根据对称轴公式求出对称轴；（2）根据抛物线开口向下，以及0x =时3y =，由函数的性质可知，当4x =时，y 的最小值为1，然后求t 即可；（3）(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出1m t −=，再令2232x tx mx a −++=+，并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出122x x +=−．【解答】解：（1）将(1,3)代入二次函数223y x tx =−++，得3123t =−++，解得12t =， ∴对称轴直线为21122t x t =−==−⨯；（2）当0x =时，3y =，抛物线开口向下，对称轴为直线x t =， ∴当x t =时，y 有最大值，04x ……时，y 的最小值为1，∴当4x =时，16831y t =−++=，解得74t =；（3）12x x +是定值，理由：(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上， 212m mx t m −+∴===−， 1m t ∴−=，令2232x tx mx a −++=+，整理得：22()30x m t x a +−+−=，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点， 1x ∴，2x 是方程22()30x m t x a +−+−=的两个根，122()2()21m t x x m t −∴+=−=−−=−是定值．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，关键是掌握二次函数的性质． 3．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,)A t −，(,)B m p ．（1）若0t =，①求此抛物线的对称轴；②当p t <时，直接写出m 的取值范围；（2）若0t <，点(,)C n q 在该抛物线上，m n <且5513m n +<−，请比较p ，q 的大小，并说明理由．【分析】（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，将其代入函数解析式中解得1a =−，则函数解析式为抛物线的解析式为22y x x =−−+，再根据求对称轴的公式2bx a=−即可求解； ②令0y =，求出抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，由题意可得0p <，则点B 在x 轴的下方，以此即可解答；（2）将点A 坐标代入函数解析式，通过0t <可得a 的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B ，C 到对称轴的距离大小关系求解．【解答】解：（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,0)A −， 42(2)20a a ∴+++=，1a ∴=−，∴抛物线的解析式为22y x x =−−+， ∴抛物线的对称轴为直线112(1)2x −=−=−⨯−；②令0y =，则220x x −−+=，解得：11x =，22x =−，∴抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，点(2,0)A −，(,)B m p ，且0p <， ∴点(,)B m p 在x 轴的下方，2m ∴<−或1m >．（2）p q <，理由如下：将(2,)t −代入2(2)2y ax a x =−++得42(2)266t a a a =+++=+，0t <， 660a ∴+<， 1a ∴<−，∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线(2)1122a x a a −+=−=+， 1a <−，110a∴−<<， 1111222a ∴−<+<， m n <且5513m n +<−，∴1312102m n +<−<−， ∴点(,)B m p 到对称轴的距离大于点(,)C n q 到对称轴的距离，p q ∴<．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．题型二．二次函数图象与系数的关系（共8小题）4．（2023•南京）已知二次函数223(y ax ax a =−+为常数，0)a ≠．（1）若0a <，求证：该函数的图象与x 轴有两个公共点．（2）若1a =−，求证：当10x −<<时，0y >．（3）若该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<，则a 的取值范围是．【分析】（1）证明240b ac −>即可解决问题．（2）将1a =−代入函数解析式，进行证明即可．（3）对0a >和0a <进行分类讨论即可．【解答】证明：（1）因为22(2)43412a a a a −−⨯⨯=−，又因为0a <，所以40a <，30a −<，所以24124(3)0a a a a −=−>，所以该函数的图象与x 轴有两个公共点．（2）将1a =−代入函数解析式得，2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，开口向下．则当10x −<<时，y 随x 的增大而增大，又因为当1x =−时，0y =，所以0y >．（3）因为抛物线的对称轴为直线212ax a−=−=，且过定点(0,3)，又因为该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<，所以当0a >时，230a a −+<，解得3a >，故3a >．当0a <时，230a a ++<，解得1a <−，故1a <−．综上所述，3a >或1a <−．故答案为：3a >或1a <−．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．5．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上．（1）求抛物线的顶点(,0)m ；（2）若12y y <，求m 的取值范围；（3）若点0(x ，0)y 在抛物线上，若存在010x −<<，使102y y y <<成立，求m 的取值范围．【分析】（1）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，可直接得到答案；（2）由12y y <，得到221296m m m m −+<−+，解不等式即可；（3）由题意可知012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线222()y x mx m x m =−+=−． ∴抛物线的顶点坐标为(,0)m ．故答案为：(,0)m ；（2）点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上，且12y y <， 221296m m m m ∴−+<−+，2m ∴<；（3）点0(x ，0)y 在抛物线上，存在010x −<<，使102y y y <<成立， ∴012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解得302m <<．【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．6．（2024•北京一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −．（1）求该抛物线的对称轴（用含有a 的代数式表示）；（2）点(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −为该抛物线上的三个点，若存在实数t ，使得m n p >>，求a 的取值范围．【分析】（1）将点(2,3)a −代入抛物线23y ax bx =++中，然后根据二次函数的对称轴公式代入数值，即可得出答案；（2）分类讨论当0a >和0a <，利用数形结合以及二次函数的性质就可以得出a 的取值范围．【解答】解（1）抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −， ∴把(2,3)a −代入23y ax bx =++得2(2)233a a ab ⨯−−+=，22b a ∴=，2223y ax a x ∴=++，∴抛物线的对称轴222a x a a=−=−，答：抛物线的对称轴为：x a =−；（2）①当0a >时，抛物线开口方向向上，对称轴0x a =−<，在x 轴的负半轴上，所以越靠近对称轴函数值越小， ∴当0t <时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时p m n >>与题干m n p >>相矛盾，故舍去， ∴当0t >时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时m n <与题干m n p >>相矛盾，故舍去；②当0a <时，抛物线开口方向向下，对称轴0x a =−>，在x 轴的正半轴上，所以越靠近对称轴函数值越大， ∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴同侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+， .m n p >>，∴此时02a t <−<−，即20t a −<<，2t ∴>，∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，p m n ∴>>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，∴当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴同侧时， (2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，答：a 的取值范围为20(2)t a t −<<>．7．（2024•张家口一模）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式2y x bx c =++，通过输入不同的b ，c 的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象．（1）若输入2b =，3c =−，得到如图①所示的图象，求顶点C 的坐标及抛物线与x 轴的交点A ，B 的坐标；（2）已知点(1,10)P −，(4,0)Q ．①若输入b ，c 的值后，得到如图②的图象恰好经过P ，Q 两点，求出b ，c 的值；②淇淇输入b ，嘉嘉输入1c =−，若得到二次函数的图象与线段PQ 有公共点，求淇淇输入b 的取值范围．【分析】（1）将2b =，3c =−，代入函数解析式，进行求解即可；（2）①待定系数法进行求解即可；②将1c =−代入解析式，得到抛物线必过点(0,1)−，求出1x =−和4x =的函数值，根据抛物线与线段PQ 有公共点，列出不等式进行求解即可．【解答】解：（1）2y x bx c =++，解：当2b =，3c =−时，2223(1)4y x x x =+−=+−， ∴顶点C 的坐标为：(1,4)−−；当0y =时，2230x x +−=，即(3)(1)0x x +−=，解得：13x =−，21x =， (3,0)A ∴−，(1,0)B ；（2）①抛物线恰好经过P ，Q则：1101640b c b c −+=⎧⎨++=⎩，解得：54b c =−⎧⎨=⎩；②当1c =−时，21y x bx =+−，当0x =时，1y =−， ∴抛物线过(0,1)−，当1x =−时，11y b b =−−=−，当点(1,)b −−在点P 上方，或与点P 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：10b −…，解得：10b −…；当4x =时，1641415y b b =+−=+，当点(4,154)b +在点Q 上方，或与点Q 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：1540b +…，154b ≥−；综上：10b −…或154b ≥−．【点评】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．8．（2024•浙江模拟）设二次函数24(y ax ax c a =−+，c 均为常数，0)a ≠，已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：（1）判断m ，n 的大小关系，并说明理由；（2）若328m n −=，求p 的值；（3）若在m ，n ，p 这三个数中，只有一个数是负数，求a 的取值范围．【分析】（1）根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线2x =，据此可解决问题．（2）根据（1）中发现的关系，可求出m 的值，据此即可解决问题．（3）根据m 和n 相等，所以三个数中的负数只能为p ，据此可解决问题．【解答】解：（1）m n =．因为二次函数的解析式为24y ax c =+，所以抛物线的对称轴为直线422ax a−=−=，又因为1522−+=，所以点(1,)m −与(5,)n 关于抛物线的对称轴对称，故m n =．（2）因为m n =，328m n −=，所以8m =．将(0,3)和(1,8)−代入函数解析式得：348c a a c =⎧⎨++=⎩，解得13a c =⎧⎨=⎩所以二次函数的解析式为243y x x =−+．将2x =代入函数解析式得，224231p =−⨯+=−．（3）由（1）知，m n =，所以m ，n ，p 中只能p 为负数．将(0,3)代入函数解析式得，3c =，所以二次函数解析式为243y ax ax =−+．将1x =−代入函数解析式得，53m a =+．将2x =代入函数解析式得，43p a =−+．则430530a a −+<⎧⎨+≥⎩，解得34a >，所以a 的取值范围是34a >．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．9．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +．（1）若13y y =，求抛物线的对称轴；（2）若231y y y <<，求m 的取值范围．【分析】（1）利用对称轴意义即可求解；（2m 的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +，13y y =， ∴该抛物线的对称轴为：直线22m m x −++=，即直线1x =；（2）当0m >时，可知点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +从左至右分布， 231y y y <<，∴232232m m m m m m ++⎧−<⎪⎪⎨−++⎪−>⎪⎩，解得12m <<；当0m <时，3m m m ∴<−<−+，21y y ∴>，不合题意，综上，m 的取值范围是12m <<．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，且0)a ≠经过(2,4)A −−和(3,1)B 两点．（1）求b 和c 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若该抛物线开口向下，且经过(23,)C m n −，(72,)D m n −两点，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；（3）已知点(6,5)M −，(2,5)N ，若该抛物线与线段MN 恰有一个公共点时，结合函数图象，求a 的取值范围．【分析】（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，即可求解；（2）先求出对称轴为：直线2x =，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解；（3）分0a >时，0a <时，结合图象即可求解．【解答】解：（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，得：424931a b c a b c −+=−⎧⎨++=⎩，解得：162b a c a =−⎧⎨=−−⎩；（2）抛物线经过(23,)C m n −，2,)m n −两点， ∴抛物线的对称轴为：直线237222m mx −+−==，抛物线开口向下，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，32k ∴−…，即5k …；（3）①当0a >时，6x =−，5y …，即2(6)(1)(6)625a a a ⨯−+−⨯−−−…，解得：1336a …，抛物线不经过点N ，如图①，抛物线与线段MN 只有一个交点，结合图象可知：1336a …；②当0a <时，若抛物线的顶点在线段MN 上时，则2244(62)(1)544ac b a a a a a−−−−−==，解得：11a =−，2125a =−，当11a =−时，111112222(1)a −=−=⨯−，此时，定点横坐标满足116222a−−……，符合题意；当11a =−时，如图②，抛物线与线段MN 只有一个交点，如图③，当2125a =−时，11111312222()25a −=−=⨯−，此时顶点横坐标不满足116222a−−……，不符合题意，舍去；若抛物线与线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N 时，把(2,5)N 代入2(1)62y ax a x a =+−−−，得：252(1)262a a a =⨯+−⨯−−，解得：54a =−，当54a =−时，如图④，抛物线和线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N ，结合图象可知：54a <−时，抛物线与线段MN 有一个交点，综上所述：a 的取值范围为：1336a …或1a =−或54a <−．【点评】本题考查二次函数的性质和图象，根据题意画出图象，分类讨论是解题的关键．11．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)，1(6,)y 在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上．（1）当13y =时，求抛物线的对称轴；（2）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(1,1)−−，当自变量x 的值满足12x −……时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围；（3）当0a >时，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上．若21y y c <<，请直接写出m 的取值范围．【分析】（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；（2）把(0,3)，(1,1)−−代入抛物线解析式得出a ，b 的关系，然后求出对称轴，再分0a >和0a <，由函数的增减性求出a 的取值范围；（3）先画出函数图象，再根据21y y c <<确定m 的取值范围．【解答】解：（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点， 0632x +∴==， ∴抛物线的对称轴为直线3x =；（2）2(0)y ax bx c a =++≠过(0,3)，(1,1)−−，3c ∴=，31a b −+=−， 4b a =+，∴对称轴为直线422b a x a a+=−=−，①当0a >时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴412a a+−−…，解得4a …，04a ∴<…；②当0a <时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴422a a+−…，解得45a −…， ∴405a −<…，综上：a 的取值范围是405a −<… 或04a <…；（3）点(0,3)在抛物线2y ax bx c =++上，3c ∴=，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上， ∴对称轴为直线422m mx m −+==−， ①如图所示：21y y c <<，6m ∴<且06232m +−>=， 56m ∴<<；②如图所示：21y y c <<，46m ∴−>， 10m ∴>，综上所述，m 的取值范围为56m <<或10m >．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．题型三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题）12．（2024•保山一模）如图，抛物线2y ax bx c =++过(2,0)A −，(3,0)B ，(0,6)C 三点；点P 是第一象限内抛物线上的动点，点P 的横坐标是m ，且132m <<．（1）试求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN x ⊥轴并交BC 于点N ，作PM y ⊥轴并交抛物线的对称轴于点M ，若12PM PN =，求m 的值．【分析】（1）将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式即可解决问题．（2）用m 表示出PM 和PN ，建立关于m 的方程即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式得，4209306a b c a b c c −+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得116a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以抛物线的表达式为26y x x =−++．（2）将x m =代入抛物线得表达式得，26y m m =−++，所以点P 的坐标为2(,6)m m m −++．令直线BC 的函数解析式为y px q =+，则306p q q +=⎧⎨=⎩，解得26p q =−⎧⎨=⎩，所以直线BC 的函数解析式为26y x =−+．因为132m <<，且抛物线的对称轴为直线12x =，所以12PM m =−．又因为点N 坐标为(,26)m m −+，所以226(26)3PN m m m m m =−++−−+=−+．因为12PM PN =，所以211(3)22m m m −=−+，解得m =，又因为132m <<，所以m =．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．13．（2024•东营区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线28y x =−+与抛物线2y x bx c =−++交于A ，B 两点，点B 在x 轴上，点A 在y 轴上．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点C 是直线AB 上方抛物线上一点，过点C 分别作x 轴，y 轴的平行线，交直线AB 于点D ，E ．当38DE AB =时，求点C 的坐标．【分析】（1）根据一次函数解析式求出A ，B 两点坐标，再将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式即可解决问题．（2）根据AOB ECD ∆∆∽得到CD 与OB 的关系，建立方程即可解决问题．【解答】解：（1）令0x =得，8y =，所以点A 的坐标为(0,8)；令0y =得，4x =，所以点B 的坐标为(4,0)；将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式得，81640c b c =⎧⎨−++=⎩，解得28b c =⎧⎨=⎩，所以抛物线的函数表达式为228y x x =−++．（2）因为//CD x 轴，//CE y 轴，所以AOB ECD ∆∆∽，则CD DEOB AB=．因为38DE AB =，4OB =，所以32CD =．令点C 坐标为2(,28)m m m −++，则点D 坐标为21(2m m −，228)m m −++所以2211()222CD m m m m m =−−=−+，则213222m m −+=，解得1m =或3．当1m =时，2289m m −++=；当3m =时，2285m m −++=；所以点C 的坐标为(1,9)或(3,5)．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．14．（2024•南关区校级二模）已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点(0,3)A −，(3,0)B ．点P 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）当23x −<<时，求y 的取值范围；（3）当抛物线2y x bx c =++上P 、A 两点之间部分的最大值与最小值的差为34时，求m 的值；（4）点M 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为1m −．过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，分别连结PM ，PN ，QM ，当PQM ∆与PNM ∆的面积相等时，直接写出m 的值．【分析】（1）依据题意，将A 、B 两点代入解析式求出b ，c 即可得解；（2）依据题意，结合（1）所求解析式，再配方可得抛物线的最值，进而由23x −<<可以判断得解；（3）依据题意，分类讨论计算可以得解；（4）分别写出P 、Q 、M 、N 的坐标，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，所以Q 到PM 的距离等于N 到PM 的距离，可得m 的值．【解答】解：（1）由题意，将(0,3)A −，(3,0)B 代入解析式2y x bx c =++得，3c =−，930b c ++=，2b ∴=−，3c =−，∴抛物线的解析式为223y x x =−−；（2）由题意，抛物线2223(1)4y x x x =−−=−−，∴抛物线223y x x =−−开口向上，当1x =时，y 有最小值为4−，当2x =−时，5y =；当3x =时，0y =， ∴当23x −<<时，45y −<…；（3）由题意得，2(,23)P m m m −−，(0,3)A −，①当0m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为3−， 2323(3)4m m ∴−−−−=，解得：1m =−②当02m ……时，P 、A 两点之间部分的最大值为3−，最小值为223m m −−或4−，显然最小值是4−时不合题意， ∴最小值为223m m −−， 233(23)4m m ∴−−−−=，解得：32m =或12m =， 32m =时，P 、A 两点之间部分的最小值为4−，故舍去， ③当2m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为4−， 2323(4)4m m ∴−−−−=，解得：1m =+，12+<，故舍去，综上，满足题意得m 的值为：1或12；（4）由题意得，2(1,4)M m m −−，(1,0)N m −，2(0,23)Q m m −−，设PM y kx b =+，代入P 、M 两点， 2223(1)4mk b m m m k b m ⎧+=−−⎨−+=−⎩，解得：1k =−，23b m m =−−，23PM y x m m =−+−−，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，Q ∴到23PM y x m m =−+−−的距离与N 到23PM y x m m =−+−−的距离相等，Q 到23PM y x m m =−+−−的距离=，N 到23PMy x m m =−+−−的距离=， 2|||4|m m ∴−=−+，当2m <−时，24m m −=−，解得：m =，当20m −……时，24m m −=−，解得：m =，当02m <…时，24m m =−，解得：m =当2m <时，24m m =−，解得：m =综上，满足题意得m ．【点评】本题考查了二次函数，关键是注意分类讨论．题型四．抛物线与x 轴的交点（共14小题）15．（2024•秦淮区校级模拟）已知函数2(2)2(y mx m x m =−−−为常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）不论m ．（3）在22x −……的范围中，y 的最大值是2，直接写出m 的值．【分析】（1）分两种情况讨论，利用判别式证明即可；（2）当1x =时，0y =，当0x =时，2y =−，即可得到定点坐标；（3）利用抛物线过两个定点，得到函数y 随x 增大而增大，代入解析式求出m 值即可．【解答】解：（1）①当0m =时，函数解析式为22y x =−，此一次函数与x 轴有交点； ②当0m ≠时，函数解析式为2(2)2y mx m x =−−−，令0y =，则有2(2)20mx m x −−−=，△2222(2)4(2)44844(2)0m m m m m m m m =−−⨯−=−++=++=+…． ∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）222(2)222()22y mx m x mx mx x m x x x =−−−=−+−=−+−，当1x =时，0y =，当0x =时，2y =−，∴不论m 为何值，该函数的图象经过的定点坐标是(1,0)．(0,2)−故答案为：(1,0)，(0,2)−，（3）若0m =，函数22y x =−，y 随x 增大而增大，当2x =时，2y =，与题干条件符；当0m ≠时，函数2(2)2y mx m x =−−−是二次函数，①当0m >时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，当22x −……的范围中时，y 随x 的增大而增大， ∴当2x =时，2y =，即242(2)2m m =−−−，解得0m =（舍去）．②当0m <时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，其增减性依旧是y 随x 的增大而增大和①相同．综上分析，0m =．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．16．（2024•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，B 点的坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)C −，点D 为抛物线的顶点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求ABD ∆的面积【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出点A 和点D 坐标，再根据||2D ABD AB y S ∆⋅=解析求解即可．【解答】解：（1）将(3,0)B ，(0,3)C −代入2y x bx c =++得0933b c c =++⎧⎨=−⎩，解得23b c =−⎧⎨=−⎩，∴二次函数的解析式为：223y x x =−−；（2）将223y x x =−−配方得顶点式2(1)4y x =−−， ∴顶点(1,4)D −，在223y x x =−−中，当2230y x x =−−=时，解得1x =−或3x =， (1,0)A ∴−，4AB ∴=， ∴||44822D ABD AB y S ∆⋅⨯===．【点评】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．17．（2024•安阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，且与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)．直线2y kx =+分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，交抛物线2y ax bx c =++于点C ，D （点C 在点D 的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线2y kx =+上方抛物线上的任意一点，当2k =时，求PCD ∆面积的最大值；（3）若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点，结合函数图象请直接写出k 的取值范围．【分析】（1）根据题意直接求出二次函数解析式即可；（2）求出直线与抛物线的交点C ，D 坐标，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，设点P坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<，则点(,22)H m m +，求出PH ，由三角形的面积公式求出关于m 的函数解析式，再根据函数的性质求最值；（3）分0k >和0k <两种情况讨论即可．【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，1a ∴=−，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)， ∴抛物线的解析式为2(1)(4)34y x x x x =−+−=−++；（2）当2k =时，联立方程组22234y x y x x =+⎧⎨=−++⎩，解得10x y =−⎧⎨=⎩或26x y =⎧⎨=⎩， (1,0)C ∴−，(2,6)D ，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，如图，设点P 坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<， ∴点(,22)H m m +，2234(22)2PH m m m m m ∴=−++−+=−++，221331273(2)()22228PCD S PH m m m ∆∴=⨯=−++=−−+， 302−<，12m −<<， ∴当12m =时，S 有最大值，最大值为278． PCD ∴∆面积的最大值为278；（3）令0x =，则2y =， ∴点B 坐标为(0,2)，令0y =，则20kx +=，解得2x k=−，∴点A 坐标为2(k−，0)，若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点，当0k >时，如图所示，则21k−<−，解得02k <<；当0k <时，如图所示：则24k−>，解得102k −<<；综上所述，k 的取值范围为02k <<或102k −<<．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．18．（2024•西湖区校级模拟）已知21()y ax a b x b =+++和22()(y bx a b x a a b =+++≠且0)ab ≠是同一直角坐标系中的两条抛物线．（1）当1a =，3b =−时，求抛物线21()y ax a b x b =+++的顶点坐标；（2）判断这两条抛物线与x 轴的交点的总个数，并说明理由；（3）如果对于抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…．当20y …时，求自变量x 的取值范围．【分析】（1）把a ，b 的值代入配方找顶点即可解题；（2）分别令10y =，20y =，解方程求出方程的解，然后根据条件确定交点的个数即可解题；（3）现根据题意得到0a <，且24()224ab a b a b a−+=+，然后得到30b a =−>，借助图象求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）当1a =，3b =−时，2221()23(1)4y ax a b x b x x x =+++=−−=−−， ∴顶点坐标为(1,4)−；（2）3个，理由为：令10y =，则2()0ax a b x b +++=，即()(1)0ax b x ++=，解得：1bx a=−，21x =−，令20y =，则2()0bx a b x a +++=，即()(1)0bx a x ++=，解得：1ax b=−，21x =−，又a b ≠且0ab ≠，∴两条抛物线与x 轴的交点总个数为3个；（3）抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…，0a ∴<，且24()224ab a b a b a−+=+，整理得：30b a =−>，∴22()y bx a b x a =+++的开口向上，且抛物线与x 轴交点的横坐标为113x =，21x =−，如图所示，借助图象可知当13x …或1x −…时，20y …．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握配方法求顶点坐标，二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键．19．（2024•三元区一模）抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0)A ，(3,0)B ，与y 轴正半轴相交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 是抛物线上不同的两点． ①当1x ，2x 满足什么数量关系时，12y y =； ②若12122()x x x x +=−，求12y y −的最小值．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①若12y y =，则M 、N 关于抛物线对称轴对称，即可求解；②22121122121212(43)(43)()()4()y y x x x x x x x x x x −=−+−−+=+−+−，而12122()x x x x +=−，得到12y y −的函数表达式，进而求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：12()()y a x x x x =−−，即2(1)(3)(43)y a x x a x x =−−=−+，即33a =，解得：1a =，故抛物线的表达式为：243y x x =−+；（2）如图，。

二次函数中常见的几种综合题型

二次函数中常见的几种综合题型二次函数常见的几类综合题型一、求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(5,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$ 轴交于点 $C(0,5)$。

1) 求直线 $BC$ 与抛物线的解析式；2) 若点 $M$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上的一个动点，过点 $M$ 作 $MN\parallel y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$，求$MN$ 的最大值；3) 在 (2) 的条件下，$MN$ 取得最大值时，若点 $P$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上任意一点，以 $BC$ 为边作平行四边形 $CBPQ$，设平行四边形 $CBPQ$ 的面积为 $S_1$，$\triangle ABN$ 的面积为 $S_2$，且 $S_1=6S_2$，求点$P$ 的坐标。

2.对称轴为直线 $x=-1$ 的抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$、$B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$。

1) 求点 $B$ 的坐标；2) 已知 $a=1$，$C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点。

①若点 $P$ 在抛物线上，且 $S_{\trianglePOC}=4S_{\triangle BOC}$，求点 $P$ 的坐标；②设点 $Q$ 是线段 $AC$ 上的动点，作 $QD\perp x$ 轴交抛物线于点 $D$，求线段 $QD$ 长度的最大值。

二、求三角形周长及面积的最值问题3.已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(-3,a-b+c)$，$B(1,a+b+c)$，$C(c,a+3c-b)$ 三点，其顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，$l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$。

1) 求该抛物线的解析式；2) 若点 $P$ 是该抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，求$\triangle PBC$ 周长的最小值；3) 如图 (2)，若 $E$ 是线段 $AD$ 上的一个动点（$E$ 与$A$、$D$ 不重合），过点 $E$ 作平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $F$，交 $x$ 轴于点 $G$，设点 $E$ 的横坐标为 $m$，$\triangle ADF$ 的面积为 $S$。

2024中考备考热点05 二次函数的图象及简单应用(8大题型+满分技巧+限时分层检测)

热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。

此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。

只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。

考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线；对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。

1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。

二次函数基础典型经典题型(全面超好)

二次函数基础典型经典题型(全面超好)二次函数精讲基础题型一认识二次函数1、y=mx m2+3m+2是二次函数，则m 的值为（） A 、0，-3 B 、0，3 C 、0 D 、-32、关于二次函数y=ax 2+b ，命题正确的是（）A 、若a>0,则y 随x 增大而增大B 、x>0时y 随x 增大而增大。

C 、若x>0时，y 随x 增大而增大D 、若a>0则y 有最大值。

二简单作图1在一个坐标系内做出2x y =，12+=xy ，12-=xy ，2)1(-=x y ，2)1(+=x y 你发现了什么结论2同样的在同一个坐标系内做出2x y -=，22x y -=，12--=x y ，12+-=xy 2)1(--=x y ，2)1(+-=x y 的图像，你又发现了什么结论，并且与上一题的图像比较的话，你又有什么样新的发现3 已知抛物线y xx =-+123522，五点法作图。

2、已知y=ax 2+bx+c 中a<0，b>0，c<0 ，△<0，画出函数的大致图象。

三，二次函数的三种表达形式，求解析式 1求二次函数解析式：（1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）；（2）顶点M （-1，2），且过N （2，1）；（3）与x 轴交于A （-1，0），B （2，0），并经过点M （1，2）。

2 抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线x +=20，且在x 轴上截取长度为22的线段，求解析式。

3、根据下列条件求关于x的二次函数的解析式=-1，且图象过（0，7）（1）当x=3时，y最小值（2）图象过点（0，-2）（1，2）且对称轴为直3线x=2（3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）（4）当x=1时，y=0;x=0时,y= -2，x=2 时，y=3（5）抛物线顶点坐标为（-1，-2）且通过点（1，10）三图像与a,b,c的符号之间的关系1、二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线，其开口方向由_________来确定。

常考二次函数综合题整理(全)

常考二次函数综合题整理题型一最短路径问题1、如图，抛物线y=﹣12x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．【变式】如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；题型二最大面积（线段最长）问题2、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？并求出这个最大值．3、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH△x轴于点H，与BC交于点M，连接PC，求线段PM的最大值.【变式】如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图，过点P作PE△y轴于点E，连接AE．求△PAE面积S的最大值；题型三存在点构成等腰三角形问题4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.5、如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A （1，0），B （3，0），交y 轴于点C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）直线x=m 分别交直线BC 和抛物线于点M ，N ，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出m 的值．【变式】已知二次函数y=ax 2+bx ﹣3a 经过点A （﹣1，0）、C （0，3），与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,2C -，点A 的坐标是()2,0，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线1x =-.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在第二象限内，且14PE OD =，求PBE ∆的面积．（3）在（2）的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的下方，是否存在点M ，使BDM ∆是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题型四存在点构成直角三角形问题6、如图，抛物线2y ax bx 4=+-经过()A 3,0-，()B 5,4-两点，与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC ．()1求抛物线的表达式；()2求证：AB 平分CAO ∠；()3抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得ABM V 是以AB 为直角边的直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．●题型四存在点构成等腰直角三角形问题7、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE△x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．●题型四存在点构成平行四边形问题8、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．()B-，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.0,5（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标.【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．9、如图，已知抛物线y=12x2+bx+c与直线AB：y=12x+12相交于点A（1，0）和B（t，52），直线AB交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）设点M是抛物线对称轴上一点，点N在抛物线上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由．10、如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．11、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使△BQC=△BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．12、如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于△ACB 的2倍时，请直接写出点M的坐标【变式】如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE△BC 于E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；（3）如图2，设AB 的中点为F ，连接CD ，CF ，是否存在点D ，使得△CDE 中有一个角与△CFO 相等？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题型七存在点使三角形相似问题13、如图，以D 为顶点的抛物线y=﹣x 2+bx+c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14、如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣12x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【变式】抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（32，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求△ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE△AC，当△DCE 与△AOC相似时，求点D的坐标．【变式】如图，抛物线y=12x2+bx+c与直线y=12x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ△PA交y轴于点Q，问：是否存在点P 使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型七二次函数与圆结合问题15、如图，△E的圆心E（3，0），半径为5，△E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与△E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．16、如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上，并过点B（0，1），直线n：y=﹣x+与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E（﹣7，7）．（1）求抛物线m的解析式；（2）P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；（3）抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．【变式】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B （点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP△x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.。

二次函数的考试常见题型

⼆次函数的考试常见题型⼆次函数的考试常见题型1.已知⼆次函数y=x2+4x．(1)⽤配⽅法把函数化为y=a(x-h)2+k(其中a，h，k都是常数且a≠0)的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标(2)求函数图象与x轴的交点坐标．2.⼆次函数y=12(x-4)2+5的图象的开⼝⽅向、对称轴、顶点坐标分别是？3.已知⼀抛物线与x轴的交点是A(-2，0)、B(1，0)，且经过点C(2，8)．(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点坐标．题型⼆、抛物线的平移1.(⽢肃兰州中考题)已知函数y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式是？2.(上海中考题)在直⾓坐标平⾯内，⼆次函数图象的顶点为A(1，-4)，且过点B(3，0)(1)求该⼆次函数的解析式．(2)将该⼆次函数图象向右平移⼏个单位长度，可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另⼀个交点的坐标．3.抛物线y=12x2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得的抛物线表达式是？4.函数y=-2(x-1)2-1的图象可以由函数y=-2(x+2)2+3的图象先向____平移_____个单位长度，再向____平移_____个单位长度⽽得到.5.已知⼆次函数y=x2-bx+1(-1≤b≤1)，当b从-1逐渐变化到1的过程中,它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线移动⽅向的描述中，正确的是( )A.先往左上⽅移动，再往左下⽅移动B.先往左下⽅移动，再往左上⽅移动C.先往右上⽅移动，再往右下⽅移动题型三、⼆次函数图象的画法1.(⼴东梅州中考题)已知⼆次函数图象的顶点是(-1，2)，且过点（0，32）(1)求⼆次函数的表达式，并在图中画出它的图象；(2)求证：对任意实数m，点M(m，-m2)都不在这个⼆次函数的图象上．2. (安徽中考题)抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点，(1)求出m的值并画出这条抛物线．。

专题二次函数与一元二次方程(5个考点)(题型专练+易错精练)

专题5.3 二次函数与一元二次方程（5个考点）【考点1 二次函数与x 轴交点问题】【考点2 图象法确定一元二次方程的根】【考点3已知函数值y 求x 的取值范围】【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】【考点5二次函数综合】【考点1 二次函数与x 轴交点问题】1．在平面直角坐标系中，二次函数24y ax ax c =-+（0a ¹）的图象与x 轴的一个交点的横坐标为1-，则另一个交点的横坐标为（）A ．5B ．3C ．3-D ．5-2．抛物线y=x 2+6x+8与x 轴交点坐标（）A ．（0，8）B ．（0，-8）C ．（0，6）D ．（-2，0），（-4，0）3．二次函数256y x x =--与坐标轴的交点个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4．如图，二次函数2y x mx n =-++的图象与x 轴的一个交点坐标为(5,0)，那么关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的解为（）A ．15x =，21x =B ．15x =，21x =-C ．15x =，25x =-D ．5x =5．已知二次函数22y x x m =--+的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解为（）A ．3或1B ．3-或1C ．3或3-D ．3-或1-6．若抛物线224y x x =-与x 轴分别交于A 、B 两点，A 、B 两点间的距离是．7．若二次函数22y x x b +=-的图象与坐标轴有两个公共点，则b 满足的条件是．【考点2 图象法确定一元二次方程的根】8．根据下列表格对应值：x3.24 3.253.262ax bx c++0.020.01-0.03-判断关于x 的方程20ax bx c ++=的一个解的范围是（）A ． 3.24x < B ．3.24 3.25x <<C ．3.25 3.26x <<D ． 3.26x >9．观察下列表格，一元二次方程x 2﹣x ＝1.1的一个解x 所在的范围是（） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x 2﹣x0.110.240.390.560.750.961.191.441.71A ．1.5＜x ＜1.6B ．1.6＜x ＜1.7C ．1.7＜x ＜1.8D ．1.8＜x ＜1.910．下表是一组二次函数 y =ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的对应值：那么下列选项中可能是方程 20ax bx c ++=的近似根的是（）x 1.21.31.4 1.5 1.6y0.36-0.01-0.360.751.16A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.511．小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数2210y x x =+-的图象．由图象可知，方程22100x x +-=有两个根，一个在5-和4-之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（）x4.1- 4.2- 4.3- 4.4-y1.39-0.76-0.11-0.56A ． 4.12-B ． 4.23-C ． 4.32-D ． 4.43-12．根据下列表格，判断出方程28910x x +-=的一个近似解（结果精确到0.01）是（）x1.5- 1.4- 1.3- 1.2- 1.1-2891x x +- 3.52.080.820.28- 1.22-A ． 1.45-B ． 1.35-C ． 1.25-D ． 1.15-13．下列表格是二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程20ax bx c ++=（0,,,a a b c ¹为常数）的一个解x 的范围是（）x1.5-00.51.52y ax bx c=++ 1.25-2- 1.25- 1.75A ．2 1.5x -<<-B ． 1.50x -<<C ．00.5x <<D ．0.5 1.5x <<【考点3已知函数值y 求X 的取值范围】14．已知函数222y x x =--的图象如图所示，根据图象提供的信息，可得1y £时，x 的取值范围是（）A ．3x ³-B ．31x -££C ．13x -££D ．1x £-或3x ³15．已知一次函数()10y kx m k =+¹和二次函数()220y ax bx c a =++¹部分自变量和相应的函数值如表，当21y y >时，自变量x 的取值范围是( )x×××1-0245×××1y ×××01356×××2y ×××1-059×××A ．12x -<<B ．45x <<C ．1x <-或5x >D ．1x <-或4x >16．已知关于x 的一元二次方程2x mx n 0++=的两个实数根分别为1x a =，2x b =（a b <），则二次函数2y x mx n =++中，当y 0<时，x 的取值范围是（）A ．x a<B ．x b>C ．a x b<<D ．x a <或x b>17．已知二次函数222y x x -=-，当1y >时，则x 的取值范围为（）A ．13x -<<B ．31x -<<C ．1x <-或3x >D ．3x <-或1x >18．如图，对于抛物线2y ax bx =+，若当x <3时，y 随x 的增大而减小；当x >3时，y 的值随x 的增大而增大，则使y <0的x 的取值范围为．19．如图，已知点()4,P m 在抛物线223y x x =--上，当y m >时，x 的取值范围是．20．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 分别交坐标轴于A （-2，0）、B （6，0）、C （0，4），则0≤ax 2+bx+c<4的解是．21．函数y =-x 3+x 的部分图像如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是．【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】22．如图是二次函数()210y ax bx c a =++¹和一次函数()20y mx n m =+¹的图象，当12y y <时，x 的取值范围是．23．如图，抛物线21(2)1y x =--与直线21y x =--交于(1,0)A 、(4,3)B 两点，则当21y y >时，x 的取值范围为．24．直线11y x =+与抛物线223y x =-+的图象如图，当12y y >时，x 的取值范围为25．如图，抛物线21y ax =与直线2y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则12y y £，x 的取值范围是．26．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与直线y kx m =+交于()31A --，，()03B ，两点．则关于x 的不等式2ax bx c kx m ++£+的解集是．27．二次函数21y ax bx c =++的图象与一次函数2y kx b =+的图象如图所示，当21y y >时，根据图象写出x 的取值范围．28．如图，直线y ＝px +q （p ≠0）与抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）交于A （﹣2，m ），B （1，n ）两点，则关于x 的不等式ax 2+bx +c ≤px +q 的解集是．29．如图，直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （−1，p ），B （5，q ）两点，则关于x 的不等式mx+n<a 2x +bx+c 解集是．【考点5二次函数综合】30．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的图象经过点()0,3A -，()1,0B ．(1)求该抛物线的解析式；(2)结合函数图象，直接写出3y <-时，x 的取值范围．31．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于O （O 为坐标原点）、A 两点，且二次函数的最小值为2-，点()1,M m 是其对称轴上一点，点B 在y 轴上，1OB =．(1)求二次函数的解析式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P ，连接PA ，PB ，求PAB V 面积的最大值；(3)在二次函数图象上是否存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．32．如图，二次函数22y ax ax c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴正半轴交于点C ，且3OA OC ==．(1)求二次函数及直线AC 的解析式．(2)P 是拋物线上一点，且在x 轴上方，若45ABP Ð=°，求点P 的坐标．33．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2112y x bx =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且线段OA OB =．（注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2bx a=-）(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M ，使AM CM -的值最大，求点M 的坐标．34．将抛物线2(0)y ax a =¹向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k =-+．抛物线H 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．已知(3,0)A -，点P是抛物线H 上的一个动点．(1)求抛物线H 的表达式；(2)如图，点M 是抛物线H 的对称轴L 上的一个动点，是否存在点M ，使得以点A ，M ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，说明理由．35．如图，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线334y x =+经过A 、C 两点，点D 是第二象限内抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式；(2)连接AD 、CD ，求ACD V 面积的最大值；(3)若点D 关于直线BC 的对称点D ¢恰好落在直线AC 上，求点D 的坐标.1．A【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与x 轴交点的对称性等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．【详解】解：Q 二次函数24y ax ax c =-+（0a ¹）的对称轴为4222-=-=-=b a x a a，且图象与x 轴的一个交点的横坐标为1-，\由抛物线上点的对称性可知，图象与x 轴的另一个交点的横坐标为5，故选：A ．2．D【分析】把y=0代入函数解析式得到x 2+6x+8=0，解方程即可．【详解】解：把y=0代入函数解析式得x 2+6x+8=0，解得 x 1=-2，x 2=-4，∴抛物线y=x 2+6x+8与x 轴交点坐标为（-2,0），（-4,0）．故选：D【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求抛物线与x 轴交点坐标就是求当y=0时自变量的取值．3．C【分析】先计算=0x 的函数值得到抛物线与y 轴的交点坐标，再解方程2560x x --=得抛物线与x 轴的交点坐标，从而可判断抛物线与坐标轴的交点坐标．【详解】解：当=0x 时，2566y x x =--=-，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)-，当=0y 时，2560x x --=，解得121,6x x =-=，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0),(6,0)-，∴二次函数256y x x =--与坐标轴有3个交点．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标及解一元二次方程，抛物线与x 的的交点纵坐标为0，与y 轴的交点横坐标为0．4．B【分析】此题考查的是求二次函数图象与x 轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图象的对称性和二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．根据图象可知二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图象的对称性求出图象与x 轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论．【详解】解：由图象可知：二次函数2y x mx n =-++图象的对称轴为直线2x =，∵图象与x 轴的一个交点为(5,0)，∴图象与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，∴关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的两实数根是125,1x x ==-故选B ．5．B【分析】根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与x 轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到另一个交点，从而可以得到关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解．【详解】解：由图象可知，该函数的对称轴是直线212(1)x -=-=-´-，与x 轴的一个交点是(3,0)-，则该函数与x 轴的另一个交点是(1,0)，即当0y =时，220x x m --+=时，13x =-，21x =，故关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解为13x =-，21x =，故选：B ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．6．2【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，熟悉掌握交点的运算方法是解题的关键．0y =代入224y x x =-求出两个交点后，即可得到两点间的距离．【详解】解：、把0y =代入224y x x =-得：2240x x -=解得：2x =或0，∴202AB =-=，故答案为：2．7．1-或0【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．由题意知，分①二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点；②二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可．【详解】解：∵二次函数22y x x b +=-的图象与坐标轴有两个公共点，∴分①二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点；②二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解；①当二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点时，()2240b D =--=，解得1b =-；②当二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，0b =，∴()222y x x x x +==+，与x 轴有2个公共点，为()20-，或()00，，综上所述，b 的值为1-或0，故答案为：1-或0．8．B【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的根的联系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据上表可知当20ax bx c ++=时，x 的取值范围为：3.24 3.25x <<，即可．【详解】由上表可知当20ax bx c ++=，关于x 的方程的一个解的范围为：3.24 3.25x <<，故选：B ．9．B【分析】利用表中数据可判断方程解的范围为1.6＜x ＜1.7．【详解】解：因为x =1.6时，x 2-x =0.96，x =1.7时，x 2-x =1.19，所以一元二次方程x 2﹣x =1.1的一个解的范围为1.6＜x ＜1.7．故选：B ．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．10．B【分析】本题考查了抛物线法求方程的近似根，采用零距离比较法，与零的距离越小，越近似看成方程的根，得到所求方程的近似根即可．【详解】观察图表的，得0.01-与零的距离最小，方程 20ax bx c ++=的近似根的是： 1.3x =故选B ．11．C【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，当y 等于0时得到的x 值即为方程22100x x +-=的解．分析题干中的表格，取y 值最接近0时x 的值作为方程的近似解．【详解】解：由表格可知，当 4.3x =-时，0.110y =-<，当 4.4x =-时，0.560y =>，则方程的一个根在 4.3-和 4.4-之间， 4.3x =-时的y 值比 4.4x =-时更接近0，\方程的一个近似根为： 4.32-．故选：C ．12．C【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据方程28910x x +-=的一个根是函数2891y x x =+-的图象与x 轴的一个交点的横坐标，再找到表格中2891x x +-的值最接近0的数即可，掌握二次函数的图象与x 轴的交点与一元二次方程的关系是解题关键．【详解】解：方程28910x x +-=的一个根是函数2891y x x =+-的图象与x 轴的一个交点的横坐标，即关于函数2891y x x =+-，0y =时，x 的取值，由表格可知：当 1.2x =-时，函数y 的值最接近0，\方程的近似解是 1.25-，故选：C ．13．D【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，根据表格找到y 由负变为正时，自变量的取值范围即可得到答案．【详解】解：由表格中的数据可知，当0.5x =时， 1.250y =-<，当 1.5x =时， 1.750y =>，∴方程20ax bx c ++=（0,,,a a b c ¹为常数）的一个解x 的范围是0.5 1.5x <<，故选D ．14．C【分析】令y=1，求解出x 的两个值，则在这两个值所包含的范围内的x 均符合题意要求.【详解】解：令y=1，则2221x x --=，解得x=-1或3，则由图像可知当13x -££时，可使得1y £，故选择C.【点睛】本题结合一元二次方程考查了二次函数的知识.15．D【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5),−1<x<4时,y 1>y 2,从而得到当y 2>y 1时，自变量x 的取值范围.【详解】∵当x=0时,y 1=y 2=0;当x=4时,y 1=y 2=5；∴直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5)，而−1<x<4时, y 1>y 2，∴当y 2>y 1时，自变量x 的取值范围是x<−1或x>4.故选D.【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握其性质定义.16．C【分析】根据抛物线方程画出该抛物线的大体图象，根据图象直接回答问题．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的两个实数根分别为x 1=a ，x 2=b （a ＜b ），∴二次函数y=x 2+mx+n 与x 轴的交点坐标分别是（a ，0）、（b ，0）（a ＜b ），且抛物线的开口方向向上，∴该二次函数的图象如图所示：根据图示知，符合条件的x 的取值范围是：a ＜x ＜b ；故选C ．【点睛】考查了抛物线与x 轴的交点问题．解题时，采用的是“数形结合”的数学思想．17．C【分析】先求出当1y =时，对应的x 的值，然后根据二次函数的性质即可解答．【详解】解：根据题意可得：当1y =时，即2221x x --=，解得：1231x x ==-，，∵10a =>，∴图象开口向上，∵1y >，∴1x <-或3x >故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键．18．06x <<【分析】求出抛物线与x 轴的交点坐标即可解决问题．【详解】解：由题意对称轴x =3，抛物线经过（0，0）和（6，0），观察图象可知：使y ＜0的x 的取值范围为0＜x ＜6．故答案为：0＜x ＜6．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．2x <-或4x >【分析】先将4x =代入223y x x =--求出m 的值，再令y m =，解一元二次方程，结合二次函数图象即可得出x 的取值范围．【详解】解：Q 点()4,P m 在抛物线223y x x =--上，\242435m --=´=，令5y m ==，则2235x x --=，即2280x x --=，解得12x =-，24x =，Q 抛物线开口向上，\当y m >即>5y 时，x 的取值范围是2x <-或4x >．故答案为：2x <-或4x >．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，根据交点确定不等式的解集等，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合的思想．20．-2≤x ＜0或4＜x≤6【分析】根据点A 、B 的坐标确定出对称轴，再求出点C 的对称点的坐标，然后写出即可．【详解】解：∵A （-2，0）、B （6，0），∴对称轴为直线x=262-+=2，∴点C 的对称点的坐标为（4，4），∴0≤ax 2+bx+c ＜4的解集为-2≤x ＜0或4＜x≤6．故答案为：-2≤x ＜0或4＜x≤6．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，难点在于求出对称轴并得到C 点的对称点的坐标．21．x ＜-1或0＜x ＜1【分析】根据y =0时，对应x 的值，再求函数值y ＞0时，对应x 的取值范围．【详解】解：y =0时，即-x 3+x =0，∴-x (x 2-1)=0，∴-x (x +1) (x -1)=0，解得x =0或x =-1或x =1，∴函数y =-x 3+x 的部分图像与x 轴的交点坐标为（-1，0），（0，0），（1，0），故当函数值y ＞0时，对应x 的取值范围上是：x ＜-1，0＜x ＜1．故答案为：x ＜-1或0＜x ＜1．【点睛】本题考查了函数值与对应自变量取值范围的关系，需要形数结合解题．22．2<<1x -【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，使得21y y >的自变量x 的取值范围就是直线()20y mx n m =+¹落在二次函数()210y ax bx c a =++¹的图象上方的部分对应的自变量x 的取值范围．【详解】根据图象可得出：当21y y >时，x 的取值范围是：2<<1x -．故答案为：2<<1x -．23．14x <<【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数函数值比较，解决的办法是首先求出交点坐标，然后根据图象找到上方部分，即可解答．【详解】解：抛物线21(2)1y x =--与直线21y x =--交点为(1A ，0)(4B ，3)，由图象知，当21y y >时，x 的取值范围14x <<，故答案为：14x <<．24．2x <-或x >1##x >1或2x <-【分析】根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵直线11y x =+与抛物线223y x =-+的图象交点的横坐标分别为2,1-，∴当12y y >时，x 的取值范围为：2x <-或1x >，故答案为：2x <-或1x >．【点睛】本题考查了根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．25．21x -££【分析】直接观察图象，即可求解．【详解】解：观察图象得：当21x -££时，12y y £，∴12y y £时，x 的取值范围是21x -££．故答案为：21x -££【点睛】本题考查了根据交点求一元二次方程的解，数形结合，理解方程的解为两函数图象的交点的横坐标是解题的关键．26．3x £-或0x ³##0x ³或3x £-【分析】根据图象，写出抛物线在直线下方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵抛物线y =ax 2+bx +c 与直线y kx m =+交于()31A --，、()03B ，，∴不等式2ax bx c kx m ++£+的解集是3x £-或0x ³，故答案为：3x £-或0x ³．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象下方时，自变量x 的取值范围．27．2<<1x -【分析】利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标得出21y y >时，x 的取值范围．【详解】解：当21y y >时，即一次函数2y kx b =+的图象在二次函数21y ax bx c =++的图象的上面，可得x 的取值范围是：2<<1x -．故答案为：2<<1x -．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解题的关键是正确利用函数的图象得出正确信息．28．x ≤﹣2或x ≥1##x ≥1或x ≤﹣2【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式ax2+bx+c≤px+q 的解集．【详解】解：由图象可得点A 左侧与点B 右侧抛物线在直线下方，∴x ≤﹣2或x ≥1时，ax 2+bx +c ≤px +q ，故答案为：x ≤﹣2或x ≥1．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．29．-1＜x ＜5【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 的解集．【详解】解：∵直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （-1，p ），B （5，q ）两点，∴关于x 的不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 解集是-1＜x ＜5故答案为：-1＜x ＜5．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．30．(1)223y x x =+-(2)20x -<<【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系.（1）根据待定系数法即可求得；（2）令=3y -求出x 的值，即可求解.【详解】（1）解：将点(0,3),(1,0)A B -代入2y x bx c =++得：301c b c -=ìí=++î，解得：2,3b c =ìí=-î223y x x \=+-.（2）令=3y -即2233x x +-=-，解得：120,2x x ==-，Q 抛物线开口向上，\3y <-时，20x -<<。

自己总结很经典二次函数各种题型分类总结

二次函数题型分类总结题型 1、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为 0，且二次函数的表达式一定为整式）1、以下函数中，是二次函数的是.①y=x 2－ 4x+1； ② y=2x 2；③y=2x 2+4x ； ④ y=－ 3x ；⑤y=－ 2x －1 ； ⑥ y=mx 2+nx+p ； ⑦ y =(4,x) ； ⑧y=－ 5x 。

s=5t 2+2t ，则 t ＝ 4 秒时，该物体所经过的行程 2、在必定条件下，若物体运动的行程 s （米）与时间 t （秒）的关系式为为。

3、若函数 y=(m 2 +2m － 7)x 2+4x+5 是对于 x 的二次函数，则 m 的取值范围为。

4、若函数 y=(m － 2)x m－ 2m 的值为。

+5x+1 是对于 x 的二次函数，则5、已知函数 y=(m － 1)xm 21+5x － 3 是二次函数，求m 的值。

题型 2、二次函数的对称轴、极点、最值4ac-b 2（技法：假如分析式为极点式y=a(x － h)2+k ，则最值为 k ；假如分析式为一般式y=ax 2+bx+c 则最值为 4a1．抛物线 y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则 m 的值为。

2．抛物 y=x 2+bx+c 线的极点坐标为（ 1，3），则 b ＝， c ＝.3．抛物线 y ＝ x 2＋ 3x 的极点在 ()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若抛物线 y ＝ ax 2－ 6x 经过点 (2， 0)，则抛物线极点到坐标原点的距离为 ()A. 13B. 10C.15D. 145．若直线 y ＝ ax ＋ b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ ax 2＋ bx ＋ c( ) A.张口向上，对称轴是 y 轴 B.张口向下，对称轴是 y 轴C.张口向下，对称轴平行于y 轴D.张口向上，对称轴平行于 y 轴6．已知抛物线 y ＝x 2＋ (m －1)x －1的极点的横坐标是2，则 m 的值是 _.47．抛物线 y=x 2+2x －3 的对称轴是。

二次函数综合题型归纳总结

二次函数综合题型归纳总结
二次函数综合题型归纳总结
一、一元二次函数的性质及极值问题
1、一元二次函数关于y轴对称，关于原点对称，函数图象关于y轴对称；
2、一元二次函数若a>0，则函数在原点处取极小值，且在x轴上两端取极大值；若a<0，则函数在原点处取极大值，且在x轴上两端取极小值；
3、一元二次函数的极值点处的x坐标= -b/2a;
4、一元二次函数的极值点处的y坐标= f(-b/2a) = a(-b/2a)2+b(-b/2a)+c;
二、一元二次函数的根的解法
1、利用因式分解法解一元二次函数;
2、利用二元一次方程的解法解一元二次函数;
三、给定函数的两个极值点求函数图象
1、利用极值点求函数的a、b、c的值；
2、利用求得的a、b、c值构造一元二次函数，即可画出函数图象；。

二次函数几种题基本题型及答案

二次函数二次函数求解析式【类型一：万能型】【1】已知二次函数的图像如图所示，求其函数解析式. 解：利用两点式,设y=a （x+1）（x-3）再把（0,3）带入，解得a=-1 所以y=-x 2+2x+3【2】（2011武汉）抛物线23y ax bx =++经过点(3,0)A -，(1,0)B -两点.求抛物线的解析式；解：把A,B 两点带入，解二元一次方程组得，a=1，b=4，所以y=x 2+4x+3【3】（2008年黄石）如图，已知抛物线与x 轴交于点(20)A -，，(40)B ，，与y 轴交于点(08)C ，．求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标；解：利用两点式,设y=a （x+2）（x-4）再把（0,8）带入，解得a=-1所以y=-x 2+2x+8【类型二：顶点式】【4】已知二次函数在3-=x 处有最大值1，且其图像经过)8,2(-，求此二次函数的解析式. 解：利用顶点式，设y=a （x+3）2+1，在把（2，-8）代入，解得a=-925，所以y=-925（x+3）2+1（一般式：y=-925x 2-5425x-56255】已知二次函数的图像交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -,且函数有最大值2，求此函数的解析式.解：利用顶点式，先通过A,B 两点求出对称轴x=1/2,设y=a （x-1/2）2+2，在把（3，0）代入，解得a=-825，所以y=-825（x-1/2）2+2（一般式：y=-825x 2+825x+4825，本题也可以用两点式）【6】已知抛物线的对称轴为1=x ，经过点)0,2(A 、)11,5(B ，求函数解析式. 解：利用顶点式，设y=a （x-1）2+k ，代入A,B 两点，解二元一次方程组得，a=1115，k=-1115，所以y=1115（x-1）2-1115【7】已知二次函数的顶点坐标为(1,4)，二次函数与x 轴的两交点为,A B ，且4AB =，求二次函数的解析式.解：利用顶点式，设y=a （x-1）2+4，然后利用对称轴x=1及4AB =求出两交点为（-1，0），（3,0），选择一点代入解得a=-1，所以y=-（x-1）2+4.（本题也可以用两点式）【8】已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图像的顶点P 的横坐标是4,图像交x 轴于点(,0)A m 和点B ，且4m >，那么AB 的长是（ C ）（另一点横坐标为8-m ，AB=m-（8-m ）=2m-8.） A. 4m + B. m C. 28m - D.82m - 【9】（2011广东中山）已知抛物线212y x x c =++与x 轴有两个不同的交点．抛物线212y x x c =++与x 轴两交点的距离为2，求c 的值．解：本题运用韦达定理，设两根为x 1，x 2,x 1+x 2=-2, x 1x 2=2c,|x 1-x 2|=2, 列方程整理后得4-8c=4，c=0.（本题也可以直接用交点距离公式|x 1-x 2【类型三：综合求解析式】【10】（ 2011重庆江津）已知双曲线xk y =与抛物线2y ax bx c =++交于 (2,3)A ，(,2)B m ，(3,)C n -三点，求双曲线与抛物线的解析式;解：先利用双曲线解析式求出k=6，m=3，n=-2，在把三点分别代入抛物线解析式，成立一个三元一次方程组，解方程得 a=13-，b=23，c=3，所以y=13-x 2+23x+3 【11】（2011湖南湘潭市）直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过,A B 两点的抛物线交x 轴于另一点(3,0)C ，求抛物线的解析式;解：先利用直线解析式求出A （-1,0），B （0,3），设抛物线为y=a （x+1）（x-3），代入C 点，解得a=-1，所以y=-x 2+2x+3【12】（2011四川凉山州）抛物线与x 轴交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，且12x x <，与y 轴交于点()0,4C -，其中12x x ，是方程24120x x --=的两个根，求抛物线的解析式；解：解方程得x 1=-2，x 2=6，设抛物线为y=a （x+2）（x-6）代入C 点，解得a=1/3,所以y=13x 2-43x-4 【13】（2009年天水）如下图，在平面直角坐标系中，二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于,A B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为(3,0)，OB OC =，3OC OA =，求这个二次函数的表达式．解：由B 点坐标和OB,OC,OA 三条线段的关系得出A （-1,0），C （0，-3）设抛物线为y=a （x+1）（x-3），在代入C 点，解得a=1，所以y=x 2-2x-3【14】（2007武汉）如图①，在平面直角坐标系中，Rt △AOB ≅Rt △CDA ，且(1,0)A -、(0,2)B ，抛物线22y ax ax =+-经过点C ,求抛物线的解析式；解：由两三角形全等得出C （-3,1），再把C 点代入，解得a=1/2, 所以y=12 x 2+12x-2【15】（2008年大连）如图，直线y x m =+和抛物线2y x bx c =++都经过(1,0),(3,2)A B . （1）求m 的值和抛物线的解析式；（2）求不等式2x bx c x m ++>+的解集.解:（1）在A,B 中选择一点代入直线解析式，解得m=-1 把A,B 两点代入抛物线，解二元一次方程组得 b=-3,c=2,所以y=x 2-3x+2（2）利用图像的性质可以解得x<1或x>3.【16】（2011广东肇庆）已知抛物线2243m mx x y -+=（m >0）与x 轴交于A 、B 两点．（1）求证：抛物线的对称轴在y 轴的左侧；（2）若3211=-OA OB （O 是坐标原点），求抛物线的解析式；解：（1）对称轴x=-1/2m<0,所以…（2）设x 1，x 2为两点的横坐标，一直x 1x 2=234m -<0, 令x 1<0，x 2>0，由3211=-OA OB >0，得OA>OB,又有（1）中的结论，可知OA=- x 1，OB= x 2，代入3211=-OA OB通分，化简，然后利用韦达定理代入解得m=2 所以y=x 2+2x-3【17】已知一次函数2y x =的图象与反比例函数ky x =的图象交于M 、N 两点，且MN =（1）求反比例函数的解析式；（2）若抛物线2y ax bx c =++经过M 、N 两点，证明此抛物线与x 轴必有两个交点；（3）设⑵中的抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，若tan tan 3CAB CBA ∠+∠=，求此抛物线的解析式．（定义：在直角三角形中，θ的对边为a ，邻边为b ，则tan abθ=）解：（1）先由两图像关于原点对称易知,设M 为（x ，2x ），那么k=2x 2，又由两点距离公式得x 2+4x 2=5，所以k=2.即2y x=（2）由（1）可求得两点为（1,2）（-1,-2），代入抛物线解析式得：22a b ca b c=++⎧⎨-=-+⎩ 两式相减得b=2，代入上式，得c=-a 所以y=ax 2+2x-a ，∆=4+4a 2>0,所以必有两交点. （3）由（2）知y=ax 2+2x-a ，且C （0，-a ）设A （x 1，0），B （x 2，0），又x 1x 2=-1，则x 1<0,x 2>0211212tan tan 3a a x x CAB CBA a a x x x x -∠+∠=+=⋅==--即4+4a 2=9，所以a =±，所以22y x x =+-或者22y x x =++【目标二：二次函数的平移】【18】将抛物线221x y =向上平移4个单位会得到哪条抛物线？向下平移2.5个单位呢？解：1、2142y x =+ 2、21 2.52y x =-【19】（2008年烟台）如图，抛物线1L ：223y x x =--+交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于M 点．将抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C ，D 两点，求抛物线2L 对应的函数表达式。

二次函数与一元二次方程(五大类型)(题型专练)(原卷版)

专题07 二次函数与一元二次方程（五大类型）【题型1：二次函数与x轴交点问题】【题型2: 图像法确定一元二次方程的根】【题型3：已知函数值y求X的取值范围】【题型4：二次函数与不等式的关系】【题型5:二次函数综合】【题型1：二次函数与x轴交点问题】1．（2023•南充模拟）针对抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴公共点的情况，下列说法正确的是（）A．有两个公共点B．有一个公共点C．一定有公共点D．可能无公共点2.（2023•许昌二模）若抛物线y＝x2+4x+c与x轴没有交点，则c的值可以是（）A．﹣4B．0C．4D．83.（2023•南充模拟）针对抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴公共点的情况，下列说法正确的是（）A．有两个公共点B．有一个公共点C．一定有公共点D．可能无公共点4．（2023春•梅江区校级月考）二次函数y＝x2﹣2x﹣1与x轴交点个数情况为（）A．有两个不同的交点B．只有一个交点C．没有交点D．无法确定5．（2022秋•集贤县期末）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为（）A．m＝0或B．C．m＝1或D．m＝1或m＝06．（2022秋•阜宁县期末）抛物线y＝x2﹣bx﹣1与x轴交点的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．以上都不对7．（2022秋•新城区期末）二次函数y＝x2﹣2x+1的图象与x轴的交点个数是（）A．0个B．1个C．2个D．不能确定8．（2023•三江县校级一模）若二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝﹣2，x2＝3B．x1＝﹣1，x2＝3C．x1＝0，x2＝3D．x1＝1，x2＝3【题型2: 图像法确定一元二次方程的根】9．（2022秋•林州市期末）根据如表中代数式ax2+bx的取值情况，可知方程ax2+bx ﹣6＝0的根是（）x……﹣3﹣2﹣10123……ax2+bx……12620026……A．x1＝0，x2＝1B．x2＝﹣1，x1＝2C．x1＝﹣2，x2＝3D．x1＝﹣3，x2＝4 10.（2023•澄城县一模）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（2，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝﹣1，x2＝2B．x1＝﹣2，x2＝1C．x1＝1，x2＝2D．x1＝﹣1，x2＝﹣211.（2022秋•宛城区期末）根据下表中代数式ax2+bx的取值情况，可知方程ax2+bx﹣6＝0的根是（）x…﹣3﹣2﹣10123…ax2+bx…12620026…A．x1＝0，x2＝1B．x1＝﹣1，x2＝2C．x1＝﹣2，x2＝3D．x1＝﹣3，x2＝4【题型3：已知函数值y求X的取值范围】12．（2022秋•长春期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＞﹣3B．﹣3＜x＜1C．x＜﹣3或x＞1D．x＜1 13．（2022秋•合肥月考）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5B．x＞5C．x＜﹣1且x＞5D．x＜﹣1或x＞5 14．（2022•泸县校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集是（）A．x≤2B．x≤0C．﹣3≤x≤0D．x≤﹣3或x≥0 15．（2022秋•萧山区月考）已知抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝3，则关于x的不等式x2+bx＜﹣8的取值范围是（）A．1＜x＜5B．2＜x＜4C．0＜x＜6D．﹣1＜x＜7 16．（2022秋•泰山区校级月考）二次函数y＝a2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．x＞﹣3B．x＜1C．﹣3＜x＜1D．x＜﹣3或x＞1 17.（2023•泸县校级一模）二次函数y＝x2﹣2x﹣3．若y＞﹣3，则自变量x的取值范围是（）A．x＜0或x＞2B．x＜1或x＞3C．0＜x＜2D．1＜x＜3 18．（2022秋•金东区期末）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c经过点A（0，2）、B （4，2），则不等式﹣3x2+bx+c＜2的解集是．【题型4：二次函数与不等式的关系】19.（2022秋•同江市期末）如图，已知y1＝ax2+bx+c（a≠0）与y2＝kx+b（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（﹣4，3）两点，则y1＞y2的x的取值范围是（）A．x＜﹣4B．﹣4＜x＜﹣1C．x＞﹣1D．x＜﹣4或x＞﹣120.（2023•娄底模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（）A．x＞﹣1B．x＜3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3或x＞1 21．（2022秋•保定期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点．则关，于x的不等式ax2+bx+c≤kx+m的解集是．22．（2022秋•番禺区校级期末）如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝x2﹣3x+2都经过点A（1，0）和B（3，2），则不等式x﹣1＞x2﹣3x+2的解集是．23．（2022秋•市中区期末）如图，已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣1，3），B（4，2）．如图所示，则能使y1＜y2成立的x的取值范围是．【题型5:二次函数综合】24．（2022秋•武城县月考）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c恰好经过x轴上A，B两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．25．（2021秋•天津期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）求△ABC的面积；（3）点P是抛物线对称轴1上的一个动点，当P A+PC的值最小时，求点P 的坐标．26．（2022秋•青龙县月考）如图，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）的图象交直线l：y＝x+1于A，B两点，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AD，BD，求△ADB的面积；（3）若抛物线的对称轴上存在一动点E，使EA+ED的值最小，求点E的坐标．27．（2022秋•黔东南州月考）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在上点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，求出点P坐标若不存在，请说明理由．28．（2022秋•越秀区校级月考）抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于A，B两点（A 在B的左侧），与y轴交于点C，点M是抛物线在x轴上方部分一动点，过点M作直线MH⊥y轴于H．（1）如图1，当HM＝3时，求△ABM的面积；（2）如图2，若△MCO是以CO为底的等腰三角形，求点M的坐标．29．（2022秋•平桂区期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+5的图象经过点（1，8），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A（﹣1，0），M为抛物线的顶点．（1）求二次函数的解析式；（2）求△MCB的面积；（3）在坐标轴上是否存在点N，使得△BCN为直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．30．（2022秋•萧山区期中）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m2﹣2．（1）若m＝2，则该抛物线的对称轴为；若A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）两点在该二次函数图象上，则y1与y2的大小关系为；（2）若该函数图象的顶点到x轴的距离等于2，试求m的值；（3）若抛物线在1≤x≤3时，对应的函数有最大值3，求m的值．31．（2022秋•汉川市期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x 轴交于O，A两点，过点A的直线与y轴交于点C，交抛物线于点D．（1）直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图1，点B是直线AC上方第一象限内抛物线上的动点，连接AB和BD，求△ABD面积的最大值；（3）如图2，若点M在抛物线上，点N在x轴上，当以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．。

二次函数常见题型总结

二次函数常见题型总结题型一：二次函数解析式的求法1．抛物线过（－1，－22），（0，－8），（2，8）三点，求二次函数的解析式。

2．已知抛物线经过点)0,1(，且顶点为)1,2(-，求抛物线的解析式。

3．已知二次函数的图像关于直线x=3对称，最小值是0，与y 轴交于（0，1）点，求这个二次函数。

4．二次函数的图像经过点（－1，0），（3，0），且最大值是3，求二次函数的解析式。

5．已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的两交点的横坐标分别是-1和3，与y 轴交点的纵坐标是-32；（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标。

题型二：二次函数的概念、解析式1．下列函数中，是二次函数的为（）A ．21y x =+ ；B ．22(2)y x x =--； C ．22y x=； D ．2(1)y x x =+ ． 2．已知二次函数的图像开口向上，且与y 轴的负半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式是______．3．抛物线c bx x y ++=2经过点)3,0(和)0,1(-，那么抛物线的解析式是． 4．一条抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的左侧，请写出一个符合条件的抛物线的解析式．（只需写一个）题型三：二次函数的平移1．抛物线23x y -=向左平移2个单位后得到的抛物线为（）（A ）232+-=x y ；（B ）232--=x y ；（C ）2)2(3+-=x y ；（D ）2)2(3--=x y ．2．在直角坐标平面上，将函数2y x =的图象向上平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（）A ．22y x =-B ．2(2)y x =-C ．22y x =+D ．2(2)y x =+ 3．将抛物线22y x =向上平移2个单位后所得抛物线的解析式是（） A ．222+=x y ；B ．2)2(2+=x y ；C ．2)2(2-=x y ；D ．222-=x y ．4．将二次函数22+=x y 的图像沿y 轴方向向下平移3个单位,则所得图像的函数解析式是_________________.5．将抛物线22(1)3y x =-+向左平移1个单位后，所得抛物线的解析式是____________． 6. 把二次函数221x y =的图像向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得图像的解析式为： .7. 抛物线y ＝22(1)3x -++向左平移1个单位,再向下平移5个单位,得到的抛物线解析式为10. 把抛物线()216+=x y 平移后得到抛物线26x y = ，平移的方法可以是（）.（A ）沿y 轴向上平移1个单位；（B ）沿y 轴向下平移1个单位；（C ）沿x 轴向左平移1个单位；（D ）沿x 轴向右平移1个单位.题型四：二次函数与坐标轴的交点 1．二次函数2322-=x y 的图像与y 轴的交点坐标是． 2. 函数322++-=x x y 的图像与y 轴的公共点坐标是．3．已知抛物线m x m x y ++-=)1(2与y 轴交于点)3,0(-P ，则=m ． 4．若二次函数k x x y +-=32的图像与x 轴有公共点,则实数k 的取值范围是__________.题型五：二次函数的对称轴、顶点坐标1．二次函数562-+=x x y 的图像的对称轴是直线． 2．二次函数122--=x x y 图像的对称轴是直线（）（A ）1=x （B ）2=x （C ）1-=x （D ）2-=x 3．抛物线1422-+-=x x y 的对称轴是直线． 4．抛物线23y x =+的顶点坐标是__________．5．二次函数322+=x y 图象的顶点坐标是 . 6．抛物线142+-=x x y 的顶点坐标为． 7．下列抛物线中，顶点在第一象限内的是 ( ) （A ）2)1(21-=x y ；（B ）3212+=x y ；（C ）3)1(212++=x y ；（D ）3)1(212+-=x y .【练习一】一、选择题1、二次函数()213y x =--+图象的顶点坐标是（）Ａ．()13-，Ｂ．()13，Ｃ．()13--，Ｄ．()13-，2、已知函数22y x =的图象是抛物线，现在同一坐标系中，将该抛物线分别向上、向左平移2个单位，那么所得到的新抛物线的解析式是（）．Ａ．22(2)2y x =++Ｂ．22(2)2y x =+-Ｃ．22(2)2y x =--Ｄ． 22(2)2y x =-+3、二次函数2365y x x =--+的最大值为（）A ．8B ．-8C ．2D ．-44、若二次函数c x x y +-=62的图像过321,23(),,2(),,1(Y C Y B Y A +-）,则321,,y y y 的大小关系是 ( )A 、321y y y >>B 、231y y y >>C 、312y y y >>D 、213y y y >> 5、如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x=-D ．212y x =二、填空 1、若把二次函数化为的形式，其中,m k 为常数，则m k +=.2、二次函数的图像与x 轴的交点坐标是 ,与y 轴的交点坐标为3、抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为．4、请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式．①过点(31)，；②当0x >时，y 随x 的增大而减小；③当自变量的值为2时，函数值小于2．三、解答题：1、已知二次函数y= 2x 2-4x-6.（1）用配方法将y = 2x 2 -4x -6化成y = a (x - h) 2 +k 的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）当x 取何值时，y 随x 的增大而减少？（4）当x 取何值是，0,0 y y =，y<0，（5）当04x 时，求y 的取值范围；（6）求函数图像与两坐标轴交点所围成的三角形的面积。

与二次函数有关的常见题型

与二次函数有关的常见题型形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫二次函数，其图像是一条抛物线，内容相当广泛，是中考的必考内容。

常与一次函数、反比例函数、方程、不等式图、多边形等知识相结合，成为综合性较强、难度较大的压轴题。

因此深刻理解二次函数及其图像的性质，掌握二次函数解析式的几种求法、二次函数与一元二次方程的关系以及抛物线的平移是相当重要的，现举例将二次函数有关的常见题型归纳如下，供大家参考。

类型一：关于二次函数图像的平移问题。

例1、将抛物线y=x2-2x+3向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线，解析式是。

点评：抛物线的平移，其实质是顶点的平移，因此先把抛物线配成顶点式y=a（x-h）2+k，再按顶点横坐标“左移加右移减”，顶点纵坐标“上移加下移减”的规则进行。

解：y=x2-2x+3=（x-1）2+2，∴平移后的抛物线解析式为：y=（x-2）2-1=x2-4x+3。

类型二：根据二次函数的图像，确定系数间的关系、顶点坐标、对称轴等问题。

例2、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示。

给出以下结论：①a+b+c0，其中正确结论的序号是（）。

A、③④B、②③C、①④D、①②③点评：由已知抛物线在坐标系中的位置，判断与系数a、b、c有关的代数式值等有关的问题，应从五个方面进行思考：①开口方向，②与y轴交点的大致位置，③对称轴与y轴的相对位置，④与x轴交点的个数，⑤自变量取特殊值时对应的函数值的符号。

答案为B。

类型三：二次函数图像与坐标轴的交点问题。

例3、函数y=kx2-6x+3（k≠0）的图像与x轴有交点，则k的取值范围是。

点评：函数y=ax2+bx+c与x轴的交点个数，由判别式“△=b2-4a c”来确定。

当△>0时，抛物线与x轴有两个交点；当△=0时，抛物线与x轴有且仅有一个交点；当△<0时，抛物线与x轴无交点。

解：由△=（-b）2-4×3k=36-12k≥0得k≤3，∴k的取值范围是k≤3且k≠0。

九年级数学二次函数必考题型

九年级数学二次函数必考题型
二次函数是中学数学的重要内容之一，是中考的必考题型之一。

它涵盖了函数、方程、不等式和几何等多方面的知识，具有综合性强、灵活多变的特点。

下面将介绍一些二次函数的必考题型，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

一、基本概念题
1. 什么是二次函数？它的一般表达式是什么？
2. 二次函数的图像是什么形状？它有怎样的对称性？
3. 二次函数的最大值、最小值有什么特点？它们与自变量的取值范围有何关系？
二、图像性质题
1. 如何根据给定的自变量和对应的函数值，画出二次函数的图像？
2. 二次函数的图像与x轴、y轴有什么交点？它们的位置对函数性质有何影响？
3. 二次函数的图像在哪个区间内单调递增或单调递减？它有怎样的最值？
三、综合应用题
1. 如何利用二次函数求最大利润或最小成本的问题？需要用到哪些知识点？
2. 二次函数与一元二次方程有何关系？如何利用它们的关系解题？
3. 如何利用二次函数的图像解决不等式的问题？需要用到哪些知识点？
以上这些题型是中考中二次函数的必考题型，同学们在复习时要注意掌握这些题型的解题方法和技巧。

同时，同学们还要注意二次函数与其他知识点的联系，如一元二次方程、不等式、三角函数等，这些知识点在解题中经常需要综合运用。

同学们在解题时要注意细心观察，灵活运用所学知识，善于发现规律和总结经验，这样才能更好地解决二次函数问题。

专题01二次函数(重点)(解析版)

专题01二次函数（重点）一、单选题1．观察：①26y x =；②235y x =-+；③2200400y x x =+；④32y x x =-；⑤213y x x=-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有（）个．A ．2B ．3C ．4D ．52．对于y =ax 2+bx +c ，有以下四种说法，其中正确的是（）A ．当b =0时，二次函数是y =ax 2+c B ．当c =0时，二次函数是y =ax 2+bx C ．当a =0时，一次函数是y =bx +c D ．以上说法都不对【答案】D【分析】根据二次函数的定义和一次函数的定义判断即可．【解析】A.当b =0，a ≠0时．二次函数是y =ax 2+c ，故此选项错误；B.当c =0，a ≠0时，二次函数是y =ax 2+bx ，故此选项错误；C.当a =0，b ≠0时．一次函数是y =bx +c ，故此选项错误；D.以上说法都不对，故此选项正确．故选D ．【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的定义，注意二次函数y =ax 2+bx +c 的二次项系数0a ≠，一次函数y kx b =+的一次项系数0k ≠．3．下列关于二次函数()2435y x =--的说法，正确的是（）A ．对称轴是直线3x =-B ．当3x =时有最小值5-C ．顶点坐标是()3,5D ．当3x >时，y 随x 的增大而减少【答案】B【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解析】解：由二次函数()2435y x =--可知对称轴是直线3x =，故选项A 错误，不符合题意；由二次函数()2435y x =--可知开口向上，当3x =时有最小值5-，故选项B 正确，符合题意；由二次函数()2435y x =--可知顶点坐标为（3，-5），故选项C 错误，不符合题意；由二次函数()2435y x =--可知顶点坐标为（3，-5），对称轴是直线3x =，当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，故选项D 错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性．4．抛物线y ＝x 2+x +2，点（2，a ），（﹣1，b ），（3，c ），则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．c ＞a ＞b B ．b ＞a ＞c C ．a ＞b ＞c D ．无法比较大小c a b \>>；故选：A ．【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．5．一次函数y =ax +b 与二次函数y =a 2x +bx +c 在同一坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点(1，0)……求证这个二次函数的图象关于直线2x =对称，根据现有信息，题中的二次函数一定不具有的性质是（）A ．过点(3，0)B ．顶点是(-2，2)C ．在x 轴上截得的线段的长是2D ．与y 轴的交点是(0，3)【答案】B【分析】由题目条件可知该二次函数图象对称轴为x =2，可求得抛物线与x 轴的另一交点，则可判断A 、C ；由抛物线顶点的横坐标应为对称轴，即可判断B ；把x =0代入可求得y =c ，由c 的值有可能为3，故可判断D 正确．【解析】解：由题可知抛物线与x 轴的一交点坐标为(1，0)，抛物线对称轴为x =2，∴抛物线与x 轴的另一交点坐标为(3，0)，∴在x 轴上截得的线段长是3-1=2，∴A 、C 正确，不符合题意；∵该二次函数图象对称轴为x =2，∴顶点横坐标应为2，∴B 一定不正确，符合题意；把x =0代入可求得y =c ，∴当c =3时，抛物线与y 轴的交点坐标为(0，3)，∴D 有可能正确，不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．掌握函数图象上的点关于对称轴的对称点一定也在二次函数的图象上是解题关键．7．小明在研究抛物线()21y x h h =---+（h 为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（）A ．无论x 取何实数，y 的值都小于0B ．该抛物线的顶点始终在直线1y x =-上C ．当12x -<<时，y 随x 的增大而增大，则2h ≥D ．该抛物线上有两点()11,A x y ，()22,B x y ，若12x x <，122x x h +<，则12y y >8．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如表：t 01234567…h8141820201814…下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝92；③点（9，0）在该抛物线上；④足球被踢出5s ～7s 时，距离地面的高度逐渐下降．其中正确的结论是（）A ．②③B ．①②③C ．①②③④D ．②③④【答案】C【分析】由题意，抛物线经过（0，0），（9，0），所以可以假设抛物线的解析式为h ＝at （t ﹣9），把（1，8）代入可得a ＝﹣1，可得h ＝﹣t 2+9t ＝﹣（t ﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．【解析】解：由题意，抛物线的解析式为h ＝at （t ﹣9），把（1，8）代入可得a ＝﹣1，∴h ＝﹣t 2+9t ＝﹣（t ﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m ＞20m ，故①正确，∴抛物线的对称轴t ＝4.5，故②正确，∵t ＝9时，h ＝0，∴点（9，0）在该抛物线上，故③正确，∵当t ＝5时，h ＝20，当t ＝7时，h ＝14，∴足球被踢出5s ～7s 时，距离地面的高度逐渐下降，故④正确．∴正确的有①②③④，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．9．设直线x ＝1是抛物线2y ax =+bx +c （a ，b ，c 是实数，且a ＜0）的对称轴，下列结论正确的是（）A ．若m ＞1，则（m ﹣1）a +b ＞0B ．若m ＞1，则（m ﹣1）a +b ＜0C ．若m ＜1，则（m +1）a +b ＞0D ．若m ＜1，则（m +1）a +b ＜0【答案】C【分析】利用二次函数对称轴以及a ＜0，求出b 与a 的关系式，再综合利用a 、m 的取值范围进行判断即可．10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：①当x1＞x2+2时，S1＞S2；②当x1＜2﹣x2时，S1＜S2；③当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2；④当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】Aa>，结合二次函数的图象【分析】判定一个命题正确与否，只要举出一个反例便可确定，因此，不妨设0与性质逐项判定即可得出结论．【解析】解：不妨假设a＞0．①如图1中，P1，P2满足x1＞x2+2，∵P1P2∥AB，∴S1＝S2，故①错误；②当x1＝﹣2，x2＝﹣1，满足x1＜2﹣x2，则S1＞S2，故②错误；③∵|x 1﹣2|＞|x 2﹣2|＞1，∴P 1，P 2在x 轴的上方，且P 1离x 轴的距离比P 2离x 轴的距离大，∴S 1＞S 2，故③正确；④如图2中，P 1，P 2满足|x 1﹣2|＞|x 2+2|＞1，但是S 1＝S 2，故④错误；故选：A ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题11．已知二次函数y ＝1﹣5x ＋3x 2，则二次项系数a ＝___，一次项系数b ＝___，常数项c ＝___．【答案】 3 -5 1【分析】形如：()20y ax bx c a =++≠这样的函数是二次函数，其中二次项系数为,a 一次项系数为,b 常数项为,c 根据定义逐一作答即可．【解析】解：二次函数y ＝1﹣5x +3x 2，则二次项系数a ＝3，一次项系数b ＝﹣5，常数项c ＝1，故答案为：3，﹣5，1．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．12．若2(1)m my m x -=+是关于x 的二次函数，则m =_____【答案】2【分析】利用二次函数定义可得22m m -=，且10m +≠，再解即可．【解析】解：由题意得：得22m m -=，且10m +≠，解得：2m =，故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是掌握二次函数的定义：形如2(0y ax bx c a =++≠，a 、b 、c 为常数）的函数叫做二次函数．13．已知抛物线()21y x =+向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为____．【答案】()211y x =-+【分析】根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．【解析】解：抛物线()21y x =+向右平移2个单位，得到()()22121y x x =+-=-，再向上平移1个单位，得到()211y x =-+，故答案为：()211y x =-+．【点睛】本题考查二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键．14．已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为()0m ,，则代数式2332022m m -++的值为______．【答案】2019【分析】先将点（m ，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．【解析】解：将（m ，0）代入函数解析式得，m 2-m -1=0，∴m 2-m =1，∴-3m 2+3m +2022=-3（m 2-m ）+2022=-3+2022=2019．故答案为：2019．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m ，0）代入函数解析式得到有关m 的代数式的值．15．已知二次函数222(0)y x kx k k k =-+-> ，当 x ＜1 时，y 随 x 的增大而减小，则 k 的最小整数值为_____．【答案】1【分析】根据题意，先求得二次函数的对称轴x k =，根据题意即可求得k 的最小整数解16．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为(1,1)、(1,3)、(3,3)．若抛物线2y ax =的图象与正方形ABCD 有公共点，则a 的取值范围是_________．17．若点M (﹣1，y 1)，N (1，y 2)，P (72，y 3)都在抛物线y ＝﹣ax 2+4ax +a 2+1（a ＞0）上，则y 1，y 2，y 3大小关系是（用＜号连接）_________．18．如图，在抛物线24y ax =-（a >0）上有两点P 、Q ，点P 的坐标为（4m ，y 1），点Q 的坐标为（m ，y 2）（m >0），点M 在y 轴上，M 的坐标为（0，-1）．（1）用含a 、m 的代数式表示12y y -=____．（2）连接PM ，QM ，小磊发现：当直线PM 与直线QM 关于直线y =1-对称时，12y y -为定值d ，则d =_____．三、解答题19．已知函数y =（m 2-2）x 2+（m ）x +8．（1）若这个函数是一次函数，求m 的值；（2）若这个函数是二次函数，求m 的取值范围.20．已知：抛物线2621y x x =--+求：（1）求抛物线2621y x x =--+的顶点坐标（2）写出当y 随x 的增大而增大时，自变量x 的取值范围（3）当2x >时，直接写出y 的取值范围．【答案】（1）(3,30)- ；（2）3x £-；（3）5y <【分析】（1）把二次函数配方成顶点式，进而即可求解；（2）根据抛物线的开口方向和对称轴，即可求解；（3）根据2x >时，当y 随x 的增大而减小，即可求解．【解析】解：（1）∵()22621330y x x x =--+=-++，∴抛物线2621y x x =--+的顶点坐标为（-3，30）；（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x =-3，∴当y 随x 的增大而增大时，自变量x 的取值范围：x ≤-3；（3）∵2x >时，当y 随x 的增大而减小，∴226221y <--´+，即：5y <．【点睛】本题考查了二次函数的性质，求出二次函数图像的顶点坐标和对称轴方程是解题的关键．21．如图，已知二次函数()20y ax a =≠与一次函数2y kx =-的图象相交于()1,1A --，B 两点．（1）求a ，k 的值；（2）求点B 的坐标；（3）求AOB S V ．【答案】（1）1a =-，1k =-；（2）(24)B -；（3）3【分析】（1）将点(1,1)A --代入二次函数()20y ax a =≠与一次函数2y kx =-即可求得,a k 的值；（2）联立二次函数与一次函数的解析式即可求得点B 的坐标；（3）设直线AB 与y 轴的交点为C ,根据一次函数解析式求得点C 的坐标，进而根据ABO AOC BOC S S S =+△△△即可求得AOB S V ．【解析】（1）Q 二次函数()20y ax a =≠与一次函数2y kx =-的图象相交于()1,1A --，则21(1)a -=´-，解得1a =-12k -=--，解得1k =-\二次函数解析式为：2y x =-一次函数解析式为：2y x =--（2）由题意可知，已知二次函数()20y ax a =≠与一次函数2y kx =-的图象相交于()1,1A --，B 两点联立22y x y x ì=-í=--î由2y x =--，令0x =，解得(0,2)C \-22．如图，已知抛物线25y x mx =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(5，0)．(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标．(2)点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA +PC 的值最小时，求点P 的坐标．【答案】(1)m =4，顶点坐标为(2，9)(2)P (2，3)【分析】（1）将点(5，0)，代入25y x mx =-++，得其解析式，从而求出m 的值及抛物线的顶点坐标；（2）利用“将军饮马”思路，点A 关于抛物线对称轴l 对称的点是点B ，进而解决问题．（1）将点（5，0）代入y =﹣x 2+mx +5得，0=﹣25+5m +5，m =4，∴抛物线解析式为y =﹣x 2+4x +5y =﹣x 2+4x +5=﹣（x ﹣2）2+9，∴抛物线的顶点坐标为（2，9）；（2）如下图，点A 与点B 是关于直线l 成轴对称，根据其性质有，PA +PC =PC +PB ，当点C 、点P 、点B 共线时，PC +PB =BC 为最小值，即为PA +PC 的最小值，由抛物线解析式为()224529y x x x =-++=--+，可得点C 坐标为（0，5），点B 坐标为(5，0)，对称轴l 为x =2，设直线BC 的解释为y =kx +b ，将点C (0，5)，点B (5，0)，代入y =kx +b 得，055k b b =+ìí=î，解得15k b =-ìí=î，∴直线BC 的解析式为y =﹣x +5，联立方程，52y x x =-+ìí=î，解得23x y =ìí=î，∴当PA +PC 的值最小时，点P 的坐标为(2，3)．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质和最短路径问题，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．23．已知二次函数()222y mx m x =-++．(1)求证：二次函数的图象必过点()1,0Q ；(2)若点()()12,3,M m y N m y +,在函数图象上，2130y y =+，求该函数的表达式；(3)若该函数图象与x 轴有两个交点()()12,0,,0A x B x ，求证：()21220x x -->．24．某服装厂生产A品种服装，每件成本为73元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．(1)当0＜x≤200时，y与x的函数关系式为．(2)零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（0＜x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w 最大？最大值是多少？(3)政府为服装厂制定优惠政策：当一次性批发服装件数满足0＜x≤200时，决定每件服装给与a元的补贴（0＜a＜13），若此条件下可获得的最大利润为2560元，请求出a的值，写出详细过程．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2=-+的图像与x轴交于点A(2-，0)、B(4，0)，与y轴y ax x c交于点C ．(1)求a 和c 的值；(2)若点D （不与点C 重合）在该二次函数的图像上，且ABD ABC S S =△△，求点D 的坐标；(3)若点P 是该二次函数图像上位于x 轴上方的一点，且BPA BPC S S =V V ，直接写出点P 的坐标．则点A 和C 到BP 的距离不相等∴BPA BPC S S ≠V V ，综上所述，点P 的坐标为（﹣6，20）．【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的距离，一次函数，解题的关键是分类讨论思想的应用．26．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为A (4，3)，与y 轴相交于点B (0，﹣5)，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点．(1)求抛物线的表达式；(2)写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；(3)设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标．故点P 、Q 的坐标分别为(2,1)、(4,1)；综上，P 、Q 的坐标分别为(6,1)P 或(2,1)，(4,5)Q 或(4,3)-或(4,1)．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．27．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，定义()11,P x y ，()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为()1212,d P Q x x y y =-+-．二次函数234y x x =-+的图象如图所示．(1)点A 为图象与y 轴的交点，点()1,B b -在该二次函数的图象上，求(),d A B 的值．(2)点C 是二次函数()2340y x x x =-+≥图象上的一点，记点C 的横坐标为m ．①求(),d O C 的最小值及对应的点C 的坐标．②当1t m t ££+时，(),d O C 的最大值为p ，最小值为q ，若34p q -=，求t 的值．。

经典二次函数常考题型

二次函数常考题型二题型一，二次函数的对称性问题★★☆1、若二次函数，当x 取，（≠）时，函数值相等，则当x 取+时，函数值为（）（A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右侧部分与x 轴交点的坐标是（A ）（21，0）（B ）（1，0）（C ）（2，0）（D ）（3，0） 3、已知抛物线2(1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB 的长度为（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．44、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则的取值范围是（） A.14<<-x B. 13<<-x C. 4-<x 或1>xD.3-<x 或1>x5二次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1。

6一元二次方程的两根为1x ，2x ，且214x x +=，点(38)A -，在抛物线2y ax bx c =++上，则点A 关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为．8抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是x=2，且过点（3,0），则a+b+c=题型二，二次函数的增减性★★1、已知函数215322y x x =---，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且-3< x 1< x 2<x 3，则对应的函数值的大小关系是（）A ．y 3>y 2>y 1B ．y 1>y 3>y 2C ．y 2<y 3<y 1D ．y 3<y 2<y 1y Ox-1 -2 1 2 -3 3 -112 -2y–1 1 3Oxy2小明从右边的二次函数2y ax bx c =++图象中，观察得出了下面的五条信息： ①0a <，②0c =，③函数的最小值为3-，④当0x <时，0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >．你认为其中正确的个数为（）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．53、若123135(,),(1,),(,)43A yB yC y --的为二次函数245y x x =--+的图像上的三点，则y 1,y 2,y 大小关系为（）A. y 1<y 2<y 3 B. y 3<y 2<y 1 C. y 3<y 1<y 2 D. y 2<y 1<y 34、从y=x 2的图象可看出，当－3≤ｘ≤－1时，ｙ的取值范围是A 、ｙ≤0或9≥y B 、0≤ｙ≤9 C 、0≤ｙ≤1 D 、1≤ｙ≤95、小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)，(－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为（）A.y 1>y 2>y 3B.y 2>y 3>y 1C.y 3>y 1>y 2D.y 3>y 2>y 1 题型三。

二次函数易考查经典题型

二次函数全章高频考点专项训练一：求二次函数及反比例函数的表达式的方法求二次函数及反比例函数的表达式是解决二次函数及反比例函数的重要保证，求表达式时，一般都选用待定系数法，根据不同条件，设出恰当的表达式，往往会起到事半功倍的效果。

训练角度一：巧求二次函数表达式的方法类型一：一般式已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1）．求这个二次函数的解析式．类型二：顶点式已知抛物线的顶点坐标为（4，-1），与y轴交于点（0，3）,求这条抛物线的解析式。

类型三：两点式抛物线与x 轴交于 A(1,0),B(-3,0) 两点，与y 轴交于点C(0,3),求此抛物线的解析式.训练角度二：巧求反比例函数表达式的方法类型一：已知坐标求反比例函数的表达式已知与x成正比例,与x成反比例,若的图像经过点(1、2),,则y与x的函数表达式类型二：已知面积求反比例函数的表达式类型三：利用根与系数的关系求反比例函数的表达式专项训练二：巧解反比例函数中的面积问题许多反比例函数问题都是与三角形，四边形等图形的面积联系在一起的，其中常见的有，已知反比例函数的表达式，数函数图像围成的某一图形的面积；或已知某一图形的面积，求符合条件的反比例函数的表达式等题型。

训练角度一：已知面积求反比例函数的表达式训练角度二：已知反比例函数的表达式求图形的面积训练角度三：利用点的坐标及面积公式求面积如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，4），点B的横坐标为-4．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积．训练角度四：利用对称性解决反比例函数中的面积问题如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线表达式分为y=与y=-。

现用四条钢条固定这四条曲线。

已知OF=OH=2米，这种钢条加工成矩形成品按面积计算，每平方米15元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱？专项训练三：建立坐标系，利用二次函数解决实际问题建立坐标系解决实际问题时，要注意数形结合思想的运用，依据徒刑特弟妹构建恰当的平面直角坐标系，选择恰当的二次函数表达式进行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的，常见的类型有：拱桥问题，运动型抛物线问题，荡秋千问题等训练角度一：拱桥（隧道）问题有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距水面4m.(1)如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的关系式。

二次函数五种必考题型

解函数题目，我们一般都会采用“数形结合”的方式，初中的二次函数只考5种题型!吃透这五种题型，举一反三，便再无难题可言!“二次函数”必考5题：面积类、周长类、等腰三角形、平行四边形以及综合类。

期中考的最多的就是面积类、周长类，因为这两类的考题还能够涉及到几何部分。

那么这5类题要怎么去解答呢?当然是各有“套路”了。

接下来，我将给大家解析这5道必考题的题型，帮助大家更好的学习函数知识，考取理想分数!面积类1. 如图，已知抛物线经过点A(-1,0)、B(3,0)、C ( 0, 3)三点.(1)求抛物线的解析式.( 2 ) 点M 是线段BC 上的点 ( 不与B,C 重合) , 过M 作MN//y 轴交抛物线于N, 若点M 的横坐标为m, 请用m 的代数式表示MN 的长.(3)在(2)的条件下，连接NB、NC,是否存在m,使△BNC 的面积最大?若存在，求m 的值；若不存在，说明理由，考点：二次函数综合题解：(1)设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x-3),则：a(0+1)(0-3)=3,α=-1;∴抛物线的解析式：y=- (x+1)(x-3)=-x²+2x+3. (2)设直线BC的解析式为：y=kx+b,则有：解;故直线BC的解析式：y=-x+3.已知点M的横坐标为m,MV//y,则M(m,-m+3)、N (m,-m²+2m+3);(3)如图；∵S ∠BNC=S △MNc+S △MB=MN(OD+DB)=MN ·OB,∴S ∠BNc=(-m²+3m)∴当m= 时，△BNC 的面积最大，最大值平行四边形类3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+mx+n经过点A (3,0)、B(0,-3), 点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x轴的垂线交抛物线于点M, 设点P 的横坐标为t.(1)分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式.(2)若点P 在第四象限，连接AM、BM, 当线段PM 最长时，求△ABM的面积.(3)是否存在这样的点P, 使得以点P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题；解一元二次方程一因式分解法；待定系粉法求一次函数解柜式，待定系数法求一次函数解板式，二解：(1)把A(3,0)B(0,-3)代入y=x²+mx +n,得解,所以抛物线的解析式是y=x²-2x-3. 设直线AB的解析式是y=kx+b,把A(3,0)B(0,-,解得所以直线AB的解析式是y-x-3;(2)设点P的坐标是(t,t-3),则M(t,t2-2t - 3),因为p在第四象限，所以PM=(t- 3)-(t2-2t-3)=-t2+3t,当(3)存在，理由如下：∵·PM//OB,∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，①当P在第四象限：PM=OB=3,PM最长时只有，所以不可能有PM=3.②当P在第一象限：PM=OB=3,(t²-2t-3)- (t-3)=3, 解得, (舍去),所以P点的横坐标是;③当P在第三象限：PM=OB=3,t2- ( 舍去 ) ,,所以P点的横坐标是所以P点的横坐标是A2-2M"A3PP′X解：(1)∵抛物线经过点B(0,4) . =4 .,∴∵顶点在直线x=上，∴-∴所求函数关系式为(2)在Rt△ABO中，OA=3,OB=4,∴AB= √0A²+0B²=5,∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5,∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),当x=5时，=4,当x=2时，4=0’∴点C和点D都在所求抛物线上；(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,贝, 解得：(4)∵MN//BD,∴△OMV△OBD,即设对称轴交x 于点F,则··S∠PN=×NF ·PF=x(-t),α=-<0. ∴抛物线开口向下，S 存在最大值.∴ 当,S 取最大值是此时，点M 的坐标为(0,个 B)5 X= 2CM P:得··等腰 7.如图，点A 在x 轴上，O 转120°至OB 的位置， (1)求点B 的坐标；(2)求经过点A 、O 、B 的抛(3)在此抛物线的对称轴上 O 、B 为顶点的三角形是等腰标；若不存在，说明理由. 三角形类A=4,将线段OA 绕点O 顺时针旋物线的解析式； ,是否存在点P,使得以点P 、三角形?若存在，求点P 的坐VA解：(1)如图，过B 点作BC ⊥x轴，垂足为C,则∠BCO=90°,∵∠AOB=120°,∴∠BOC=60°, 又∵OA=OB =4,∴OC=OB =×4=2,∴点B 的坐标为(-2,-2 √ 3);(2)∵抛物线过原点O 和点A 、B,∴可设抛物线解析式为y=ax²+bx,将A(4,0),B(- 2,- 2 √ 3)代入，得解,∴此抛物线的解析式为y=-□n(3)存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为(2,y),①若OB=OP,则2²+y²=4²,解得y=±2√3,当y=2 √3时，在Rt△POD中，∠PDO=90°,∴∠POD=60°,∵∠POB=ZPOD+∠AOB=60°+120°=180°,即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2√3不符合题意，舍去，∴点P的坐标为(2,-2 √3)②若OB=PB,则4²+y+2√3²=42,解得y=-2 √3,③若OP=BP,则2²+(yl²=4²+y 解得y=-2 √3,故点P的坐标为(2,-2 √3)综上所述，符合条件的点P只2 √√3),个+2 √312,,有一个，其坐标为(2,- VD A10.如图，已知抛物线 B (5,0),另一个交点 (1)求直线BC 与抛物 (2)若点M 是抛物线作MN//y 轴交直线BC (3)在(2)的条件下，在x 轴下方图象上任意 CBPQ,设平行四边形C S ₂,且S ₁=6S ₂,求点P综合类y=x²+bx+c 的图象与x 轴的一个交点为为A ,且与y 轴交于点C (0,5) . 线的解析式；在x 轴下方图象上的一动点，过点M于点N ,求MN 的最大值；MN 取得最大值时，若点P 是抛物线一点，以BC 为边作平行四边形 BPQ 的面积为S ₁,△ABN 的面积为的坐标 .解：(1)设直线BC 的解析式为y =mx+n , 将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入，, 解得,所以直线BC 的解析式为y =-x +5;将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入y=x²+bx +c,, 解得,所以抛物线的解析式为y=x² -6x+5;( 2 ) 设 M ( x , x ² - 6 x + 5 ) ( 1 < x < 5 ) , 则 N ( x , - x + 5 ) , ∵MN=(-x+5)- (x²-6x+5)=-x²+5x=- (x-)2+ 254yA B X∵BC⊥BD,∠OBC=45°,∴∠EBD=45°,∴△EBD为等腰直角三角形，BE= √2BD=6,∵B(5,0),∴E(-1,0),设直线PQ的解析式为y=-x+t,将E(- 1,0)代入，得1+t=0,解得t=- 1∴直线PQ的解析式为y=-x-1.,∴点P的坐标为P₁(2,-3)(与点D重合)或P₂(3,一个 yC 91QE OABXP(D) %5。

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