吉林大学自动控制原理第3章

0 (I1 I2
I3)
电流的正负用右旋关系判定。
n
B l
dl
0
Ik
k 1
真空中的安培环路定律
物理意义：在真空的磁场中，沿任意闭合回路 B
的线积分，等于真空中磁导率乘以穿过该回路所
限定面积上的自由电流代数和。
例3-3如图所示一无限长同轴电缆的截面，芯线通有
均匀分布的电流I，外皮通有量值相同但方向相反的
H
V
BdV
f
We g
|qk 常数
f
Wm g
|k 常数
f
We g
S
(en
1 R
)dS
A I
4
S
[ez
(
1 R
)]dS
I
4
S
(ez
eR R2
)dS
er eR
A I
4
S
(ez
er r2
)dS
I 4 r2
S (ez er )dS
er
r r
xex
yey r
zez
r sin cosex r sin siney r cosez
r
Ax
0 Iy 4 r3
12 M12 I2
M12
12 I2
2对1的互感
M12 M 21
互感与导线形状、尺寸、周围媒质和导线材料 的磁导率有关。
3.7 .3 聂以曼公式
A1
0 I1 4
dl1 R l1
21 21
l2
A1
• dl2
0 I1 4
l2
dl2 • dl1 R l1
M21
21 I1
M12
0 4
l2
M lim mi V 0 V
物理意义：媒质中每单位体积内所有分子磁矩的矢 量和。
媒质磁化形成宏观附加电流——磁化电流
I
磁化电流如何计算?
媒质中的磁化电流
I
2
dV
1
S l
dl
3
1,3对穿过S面的电流无贡献，2因与 l 交链，只一次穿过S
面，故对电流有贡献。
穿过dl边长的磁化电流（N为单位体积内的分子数）
2 (z L)2
B
0I 2
e
zL ]
2 (z L)2
作业：3-1-1；3-1-2；3-1-3.
3-2 安培环路定律
3.2 .1 真空中的安培环路定律
B dl l
l
0I 2
e
dl
B
I
d
dl
0I cos dl
l 2
0I d
l 2
0I
2
2
0 d 0I
I1
I3
I2
B l
dl
电流，试求各部分的磁感应强度。
n
B
R1
R2
R3
B • dl l
0
Ik
k 1
R1
B
2
0 I
2 R12
B
0I 2 R12
R1 R2
B 2 0I
B
0 I 2
B
R1
R2
R3
R2 R3 B 2 0I
B 2 0I
I =I
R32 R32
I
2
R22
2
R32
B
R22 R22
2 r
2 r
2 r
B1n B2n
1源自文库
I
2 r
cos
1
I
2 r
cos
2
I
2 r
cos
1(I I ) 2I
I 2 1 I 2 1
I 21 I 2 1
3-7 电感
3.7 .1 自感
自感系数：L
L
自感磁链 L ：与电流交链的磁通
在各向同性的线性媒质中，有：
L LI L 与
I
L L 成正比。 I
=0IIRRR3322 32R222 2 2 R32 R22
R3 B 2 0 B 0
3.2 .2 媒质的磁化
分子所有电子磁效应的总和等效为环形电流 （也称分子电流、束缚电流、安培电流）
电子的自旋运动
电子
m SI
定义：分子磁矩 m IS
磁力矩
T mB
电子的轨道运动
媒质的磁化
m
B
定义磁化强度矢量
S P 2 B2
1
en
B1n B2n
或 1H1n 2H2n
B1
l 0 矢量式 (B1 B2) • en 0
折射定律
tan 1 1 tan 2 2
3-4 磁矢位·恒定磁场的边值问题
3.4 .1 磁矢位
• B=0 •（ A） 0
B= A
A 称为磁矢位或矢量磁位。 A 为求 B 提供了一种方法，下面介绍 A 的求解。
H m
• ( A) • A A •
m • • m 0
均匀媒质
0
2m 0
磁位的拉普拉斯方程
磁位的衔接条件：
m1 m2
1
m1
n
2
m2
n
2m 0 和上面衔接条件构成 m 的边值问题。
3-6 镜像法（参见静电场电荷镜像问题自学）
H2t H1t
I sin I sin I sin
Jx dV V R
Ay 4
J y dV V R
Az 4
Jz dV V R
写成矢量形式 A J dV
4 V R
A Idl
4 l R
A
4
S
KdS R
例3-7应用磁矢位分析真空中磁偶极子的磁场。
z r
R
o
rIdl
x
由于 R r
A
Idl
A
4 l R
y
由
1 dl
lR
H J
B H
A J
B= A A ( • A) 2 A
( • A) 2 A J
令 •A0
2A J
A 满足矢量泊松方程。
直角坐标系中
2 Ax J x
2 Ay J y
2 Az J z
对比静电场
2
(r ) 1 (r)dV
40 V R
可得
Ax 4
dl
Idl 受的力为 qvnsdlB sin
I
其中一个电荷受的力为
qvnsdlBsin / nSdl qvBsin
F qv B 洛伦兹力
例3-1计算真空中载电流I的长为2L的长直细导线在导
线外任一点所引起的磁感应强度。
z
z • P(, z)
B 0 4
I dl eR l R2
L dl R Lo
3.3 .1 磁通连续性原理
m
B • dS
S
S B • dS 0 S B • dS V • BdV 0
•B 0
3.3 .2 恒定磁场的基本方程
S B • dS 0 l H • dl I l H • dl S H • dS S J • dS
H J •B 0
各向同性线性媒质 B H
导线内部，仅与部分电流相交链的磁
通——内磁通
I
Li
i I
完全在导线外部闭合的磁通——外磁通
BI
Lo
o I
总自感=内自感+外自感：L Li Lo
3.7 .2 互感
I1
I1产生的与回路2交链的磁链：
12
21 M 21I1
21
M 21
21 I1
1对2的互感
I 2 I 2 产生的与回路1交链的磁链：
3.3 .3 分界面上的衔接条件
1 2
l H • dl I
P
2 H2
H1t l1 H2t l1 K l1 H1t H2t K
1
l1 en
H1
l2 0
或 B1t B2t K
1 2
矢量式 (H1 H2)en K
分界面上无自由面电流 K 0
H1t H2t
1 2
S B • dS 0
dl2 • dl1 R l1
若匝数为N1，N2
：M 21
M12
N1 N 2 0 4
l2
dl2 • dl1 R l1
聂以曼公式
3-8 磁场能量与力（参考静电场相关内容自学）
We
1 CU 2 2
We
1 2
n
qkk
k 1
1
We 2
D
V
EdV
Wm
1 2
LI
2
Wm
1 2
n k 1
Ikk
Wm
1 2
( y
1 )
x2 y2 z2
ex
0 Il 4
(x2
1 2y 2
y2 z2 )3/2
ex
0 Il 4 r2
y r
同理
ey
Az x
ey
0 Il 4 r2
x r
B
A
0 Il 4 r2
(ex
y r
ey
x) r
0Il 4 r2
x2 y2 r e
0 Il 4 r2
sin
e
磁矢位环流的物理意义：
sin ;
B 0
对比P11例1-5电偶极子的场：
1 p • er
40 r 2
E
p
4 0 r 3
(2 cos er
sin e
)
可写成：
A
0 4
m er r2
B
0m 4 r3
(2
cos er
sin e
)
例3-8空气中有一长度为l、截面积为S，位于z轴上的
短铜线，如图所示。电流密度 J 沿 ez方向。设电流时 均匀分布的，求离铜线较远处（r>>l）的 B 。
m
B • dS A• dS
S
S
A• dl
l
A 沿任一闭合路径 l 的环量，等于穿过以此路径
为周界的任一曲面的磁通量。
3.4 .2 磁矢位的边值问题
1 2
P
2 A2
1
l1
A1
l2 0
m
A• dl
l
l2 0
m
A• dl 0
l
A1t A2t
1 2
S P 2 B2
• A 0
1
en
B1
S A• dS V • AdV 0
l 0
A2n A1n
A1 A2
(H1 H2)en K
HB
B A
(1
1
A1
1
2
A2 ) en
K
或
1
1
(
A1 )t
1
2
(
A2 )t
K
对于平行平面磁场（磁力线平行于分界面，如例3-
9），A 仅有 z 分量，且与 无关。
A
1
e (
Az
其中 Idl Idzez
R 2 (z z)2
I dl eR
Idzez
eR
Idzez
R R
R e (z z)ez
Idl eR
Idz
R
e
B
e
0I 4
L
dz
L [ 2 (z z)2 ]3/2
e
0I 4
(z z)
2[ 2 (z z)2 ]1/2
|LL
e
0 I 4
[
L
zL
z
P
oJ y
x
A 0
4
V
J dV R
（J
I S
ez）
0ez l/2 Idl （ dV dl）
4 r l/2
S
0 Il 4 r
ez
可见
A
Az
0 Il 4 r
其中 r x2 y2 z2
A
ex
(
Az y
Ay z
)
ey
(
Ax z
Az x
)
ez
(
Ay x
Ax ) y
ex
Az y
ex
0 Il 4
)
e
Az
e
Az
A1 A2
1 A1 1 A2 K
1 n 2 n
A 的衔接条件与 2 A J 构成 A 的边值问题。
作业：例3-9； 3-4-1 ；3-4-2；3-4-3。
3-5 磁位
3.5 .1 磁位
H J J 0 的区域
满足 H 0
H m
UmAB
B
H • dl
A
mB mA
第三章 恒定磁场
吉林大学电子科学与工程学院
恒定磁场：恒定电流产生的不随时间变化的磁场。
3-1 磁感应强度
3.1.1 安培力定律
l I df dl I
dl R l
闭合回路 l 对闭合电流回路 l 的作用力
F 0
4
l
Idl (I dl eR )
l
R2
安培力定律
3.1.2 磁感应强度
F
Idl ( 0
l
4
l
I
dl R2
eR
)
B dB 0
4
I dl eR l R2
毕奥-沙伐尔定律
其中：dB
0 4
I dl eR R2
B(x, y, z) 0
4
V
J
(x,
y, z) R2
eR
dV
B(x, y, z) 0
4
S
K
(
x,
y, z) R2
eR
dS
F l Idl B
S q v
d
mA
mB
A•
n
s r
l
H • dl 0 AnBsA
m
H • dl I AlBmA
I
•
H • dl kI ArBmA
B
A、B两点磁压与积分路径有关。
J=0的区域，通过适当选择积分路径，
满足
H • dl AnBsA
0 ，则可利用磁位求解。
3.5 .2 磁位的边值问题
•B 0
B H
Im)
B • dl l
0 (I
M • dl )
l
( B M ) • dl I
l 0
令
B M H H 为磁场强度
0
l H • dl I
一般情况
l H • dl Ik
一般形式的安培环路定律。
物理意义：磁场强度沿任一闭合路径的线积分等于穿 过该回路所包围面积的自由电流（不包括磁化电流） 的代数和。
磁化强度的衔接条件
12
M2
l1
en
M l
• dl
Im
M1t l1 M 2t l1 Kml1
M1t M 2t Km
M1 l2 0
(M1 M2 )en Km
注意：磁化电流的方向！
注意：磁化电流与自由电流在产生磁场方面是等效的！
3.2 .3 一般形式的安培环路定律
B • dl l
0 (I
dIm INdV INa • dl Nm• dl M • dl
穿过S面的磁化电流
Im
S Jm • dS
M • dl
l
物理意义：媒质内通过任意面S的磁化电流是磁化强 度沿面周界的线积分。
由斯托克斯定理，可得：
Im
S Jm • dS
M • dS
S
Jm M
物理意义：媒质内任意点的磁化电流密度是该点磁化 强度的旋度。
S
dS
0 IS 4 r2
sin
sin
Ay
0 Ix 4 r3
dS 0IS sin cos
S
4 r2
Az 0
由于
ez er cos e sin
故
Ar 0
A 0
A
0 IS 4 r2
sin
B
A
er
1
r sin
[
( A
sin )] e
1 r
r
(rA )
Br
0 IS 2 r3
cos ;
B
0 IS 4 r3
注意： H • dl 与 Im 无关，并不意味 H 与 Im 无关。 l
各向同性媒质有 M mH
m为磁化率。
代入
B M H
0
B 0(H M ) 0(1 m)H 0rH H
0 为真空的磁导率。r 为相对磁导率。 为磁导率。
作业：3-2-1；3-2-2
3-3 恒定磁场基本方程·分界面上的衔接条件