吉林大学自动控制原理第3章
自动控制原理第三章课后习题答案
3-1（1） )(2)(2.0t r t c= （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c=++ 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。
已知全部初始条件为零。
解：（1） 因为)(2)(2.0s R s sC =闭环传递函数ss R s C s 10)()()(==Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010)(≥=t t g单位阶跃响应c(t) 2/10)(s s C = 010)(≥=t t t c（2）)()()124.004.0(2s R s C s s =++ 124.004.0)()(2++=s s s R s C 闭环传递函数124.004.01)()()(2++==s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01)(2++=s s s C t e t g t 4sin 325)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16)3(61]16)3[(25)(22+++-=++=s s s s s s Ct e t e t c t t 4sin 434cos 1)(33----=3-2 温度计的传递函数为11+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。
若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解法一 依题意，温度计闭环传递函数11)(+=ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。
视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为Ts s s s G 1)(1)()(=Φ-Φ= ⎩⎨⎧==11v T K用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T Ke ss ︒===5.21010。
解法二 依题意，系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=，应有 1111)()(1)()()(+=+-=-==ΦTs TsTs s R s C s R s E s e C T s Ts Ts ss R s s e s e s ss ︒==⋅+=Φ=→→5.210101lim )()(lim 23-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为)1.536.1sin(5.1210)(2.1o tt et c +-=-试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp 和调节时间ｔs 。
《自动控制原理》课件第三章
h(t) 1
ent sin(
1 2
1 2nt arccos ) 1
1
1
2
e t
sin(dt
)
(3-13)
2) 无阻尼(ζ=0)二阶系统的单位阶跃响应
系统有两个共轭纯虚根s1=jωn，s2=－jωn 由式(3-10)可知系统的单位阶跃响应为
h(t)=1－cosωnt
(3-14)
这是一条平均值为1的正弦或余弦形式的等幅振荡，其振荡
2. 动态性能与稳态性能 稳定是控制系统能够运行的首要条件，因此只有当动态 过程收敛时，研究系统的动态性能才有意义。 1) 动态性能 通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能。 一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。如果 系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么系统在其 他形式函数的作用下，其动态性能也是令人满意的。 描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时 间t的变化状况的指标称为动态性能指标。为了便于分析和 比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态， 而且输出量及其各阶导数均为零。
令
T1
n (
1
2
, 1)
T2
n (
1
2
1)
由式(3-12)可得此时二阶系统的单位阶跃响应为
h(t) 1 et T1 et T2 T2 T1 1 T1 T2 1
(3-15)
以上四种情况的单位阶跃响应曲线如图3-5所示，其横 坐标为无因次时间ωnt。由图3-5可见，在过阻尼和临界阻尼 响应曲线中，临界阻尼响应具有最短的上升时间，响应速度 最快； 在欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大， 上升时间越短，通常取ζ=0.4～0.8为宜，此时超调量适度， 调节时间较短； 若二阶系统具有相同的ζ和不同的ωn，则其 振荡特性相同，但响应速度不同，ωn越大，响应速度越快。
自动控制原理第三章
0.368/T 0.135/T 0.05/T
时输出称为脉冲（冲激）响应 函数，以h(t)标志。 t 1 T h( t ) C 脉冲 ( t ) e T
0
T
2T
3T
t
求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于 系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。
六. 二阶系统的时域分析
＝e
ts T
( 取5%或2%)
t s 3T ( 5% ) t s 4T ( 2% )
T反映了系统的 惯性。 T越小惯性越小， 响应快！ T越大，惯性越 大，响应慢。
2. 单位斜坡响应 [ r(t) = t ]
1 1 1 T T C ( s) 2 2 Ts 1 s s s s 1 T c( t ) t T Te t / T ( t 0)
1. 阶跃函数（位置函数） A r(t) 0 记为 1(t) t0 t0
f(t)
1
令 A 1 称单位阶跃函数， 1 s
R(s) L1(t)
0
t
2. 斜坡函数 （等速度函数）
At t 0 r (t ) 0 t0
A=1，称单位斜坡函数,记为 t· 1(t)
i t
i 1
n
y p (t) 是强迫响应， fi 由输入信号决定。 C
零输入响应是系统的输入为零时，系统的 初始状态所引起的响应。 零输入响应表示为：
y x (t) C xi e
i 1
n
i t
C xi 由初始状态决定。
两种分解方法的关系是：
y(t) Ci e y p (t) i 1 强迫响应
自动控制原理第3章 习题及解析
自动控制原理（上）习 题3-1 设系统的结构如图3-51所示，试分析参数b 对单位阶跃响应过渡过程的影响。
考察一阶系统未知参数对系统动态响应的影响。
解 由系统的方框图可得系统闭环响应传递函数为/(1)()()111K Ts Ks Kbs T Kb s Ts +Φ==++++ 根据输入信号写出输出函数表达式：111()()()()()11/()K Y s s R s K s T Kb s s s T bK =Φ⋅=⋅=-++++对上式进行拉式反变换有1()(1)t T bKy t K e-+=-当0b >时，系统响应速度变慢；当/0T K b -<<时，系统响应速度变快。
3-2 设用11Ts +描述温度计特性。
现用温度计测量盛在容器内的水温，发现1min 可指示96%的实际水温值。
如果容器水温以0.1/min C ︒的速度呈线性变化，试计算温度计的稳态指示误差。
考察一阶系统的稳态性能分析(I 型系统的，斜坡响应稳态误差)解 由开环传递函数推导出闭环传递函数，进一步得到时间响应函数为：()1t T r y t T e -⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中r T 为假设的实际水温，由题意得到：600.961Te-=-推出18.64T =，此时求输入为()0.1r t t =⋅时的稳态误差。
由一阶系统时间响应分析可知，单位斜坡响应的稳态误差为T ，所以稳态指示误差为：lim ()0.1 1.864t e t T →∞==3-3 已知一阶系统的传递函数()10/(0.21)G s s =+今欲采用图3-52所示负反馈的办法将过渡过程时间s t 减小为原来的1/10，并保证总的放大倍数不变，试选择H K 和0K 的值。
解 一阶系统的调节时间s t 与时间常数成正比，则根据要求可知总的传递函数为10()(0.2/101)s s Φ=+由图可知系统的闭环传递函数为000(10()()1()0.211010110()0.21110H HHHK G s K Y s R s K G s s K K K s s K ==++++==Φ++）比较系数有101011011010HHK K K ⎧=⎪+⎨⎪+=⎩ 解得00.9,10H K K ==3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为1.5()1012sin(1.6+53.1t y t e t -=-）试求系统的超调量%σ，峰值时间p t ，上升时间r t 和调节时间s t 。
自动控制原理第3章
● 微分方程的解 y1 (t) Y1 y1
Y1 A1et A2e0.2t sin(2.2271t)
A3e 0.2t cos(2.2271t)
● 运动是稳定的 ● 微分方程
y 1.4y 5.4y 5y u
● 传递函数
G1(s)
s3
1 1.4s2
5.4s
5
● 传递函数的极点
s1 1 s 2,3 0.2 j 2.2271
* 所有极点都具有负实部
● 在零初始状态下的单位阶跃响应
y(t) L
1
G1(s) s
L
1
0.2
s
0.1786 s 1
0.02143(s (s 0.2)2
0.2) 2.22712
r
1 s2
R(s)
L
r
1 s3
O
t
● 其他形式，单位正弦函数
r
O
t
r
sint
R(s) L
r
s2
2
3.2.2 典型输出响应
● 令 G(s) N(s) D(s)
● 单位冲激响应
Yim p (s)
N (s) D(s)
● 单位阶跃响应 1
Ystep (s) G(s) s
O
t
r(t) 1(t)
R(s) L r 1
s
● 单位冲激函数
r(t)
r (t)
O
t
R(s) L r 1
* 但在工程中经常使用一定宽度的脉冲函数来代替
r
自动控制原理 第三章
−
1 t T1
1 + e T1 / T2 − 1
−
, (t ≥ 0) (3 − 22)
36
过阻尼系统分析
衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。 衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对 值大的离虚轴远，衰减速度快， 值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚 轴近， 轴近，衰减速度慢 衰减项前的系数一个大， 衰减项前的系数一个大，一个小 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性， 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振 荡和超调， 荡和超调，但又不同于一阶系统 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响 大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的 影响小，有时甚至可以忽略不计。 影响小，有时甚至可以忽略不计。
1 R( s ) = s
输出： 输出：
1 1 C ( s) = Φ( s) R( s) = ⋅ Ts + 1 s
C (t ) = 1 − e
− t T
21
单位阶跃响应曲线
t
初始斜率： dh(t ) |t =0 = 1 dt T
22
性能指标
1. 平稳性σ%： 非周期、无振荡， 非周期、无振荡， σ% ＝0 2. 快速性ts：
此时s1, s2为 此时 一对实部为 正的共轭复 根，位于复 平面的右半 部。
34
2
⑥特征根分析—— ζ <−1 （负阻尼）
s1,2 = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1
此时s1,s2为 此时 两个正实根， 两个正实根， 且位于复平 面的正实轴 上。
35
二阶系统单位阶跃响应
1.过阻尼(ζ > 1) 二阶系统的单位阶跃响应 过阻尼
1 t
②单位斜坡函数 其数学表达式为： 其数学表达式为： t f ( t ) = t . 1( t ) = 0 其拉氏变换为： 其拉氏变换为：
《自动控制原理(第4版)》第3章
（2）单调上升的指数曲线； （3）当t=T时，y=0.632；
（4）曲线的初始斜率为1/T。
性能：
（1）超调量 不存在(0) 。
（2）ts=3T 或4T。
11
2、单位斜坡响应
t
y(t) (t T ) Te T t 0
y(t)的特点： （1）由动态分量和稳态分量两部分组成。 （2）输入与输出之间存在跟踪误差，且误差 值等于系统时
r
B eknkt k
cos
k 1
1 2nkt
r k 1
Ck knk Bk 1 2nkt
e knkt
sin
1 2nkt
37
y(t)分析： 1.闭环极点在s的左半平面上，则对应的动态分量，当时间趋于
无穷时都趋于0，系统输出等于稳态分量值。----系统是稳定的。 2.动态分量哀减的快慢，取决于闭环极点的大小，
间常数“T”。
12
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)
1
t
2
Tt
T
2
(1
t
eT
)
t0
2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t) Te T t 0
当 t 时， y() 0
13
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
n2
ss
n2
p1 s
p2
y t
1 2
1
2
e
1
2 1 nt
2 1
e
2 1 nt
《自动控制原理》第三章第4讲
∑ ∴c(t) =a0 + n1 a je− pjt j =1
n2
n2
∑ ∑ +
β e−ζlωlt l
cosωl
1−ζl2t +
γ
e−ζ lωl t
l
sin ωl
l 1=l 1
1−ζl2t
高阶系统的阶跃响应总可以由简单函数项组成，即由一 阶、二阶系统的响应组成。
可见，c(t)不仅与 p j ,ζ l ,ωl （闭环极点）有关，而且与系数
C(s) = Φ(s) ⋅ 1 = 10
s+9
= 1 − 80 1 − 1 1
s 9 s(s + 1)(s + 10) s 81 s + 1 81 s + 10
近似：C(s)
=
s(s
1s 9 + 1)(
+1 1s
+ 1)
≈
1 s(s + 1)
=
1 s
−
s
1 +1
10
C(s) = Φ(s) ⋅ 1 = 10 s + 1.1 = 1 − 10 1 + 89 1 s 1.1 s(s + 1)(s + 10) s 99 s + 1 99 s + 10
− p1,− p2 虚轴近，系统的瞬态特性主要由 − p1,− p2 决定，呈二阶
系统的特性。反之，当 b << 1 时，表示− p3 离虚轴近，− p1,− p2
离虚轴远，系统的瞬态特性主要由− p3 决定，呈一阶系统的特性。
第二个因素是阻尼系数 ζ ，如下图所示：
c(t)
b= ∞ b=2
自动控制原理 第3章习题解答
1−ζ 2 = π
ζ
3
2π
tr
=
π −β ωd
=
3 3
=
23 9
π
；t p
=π ωd
=
π 3
=
3π 3
−ζ π
M p = e 1−ζ 2 ×100% = 16.3% ；
t
5% s
=3 ζω n
=
3s,
t
2% s
=4 ζω n
= 4s
3-6 系统结构图如题 3-6 图所示，试求当τ = 0 时，
系统的ζ 和ωn 之值，如要求ζ =0.7，试确定参数τ 。
s2
0.8
1+ K
s1 0.8(2 + K ) − (1 + K ) 0
0.8
s0 1+ K
Q 系统临界稳定
∴ 0.8(2 + K ) − (1 + K ) = 0
即K = 3 即系统的临界增益K = 3
由s 2行构成辅助多项式：0.8s 2 + (1 + K ) = 0
即0.8s 2 + 4 = 0 ∴ s1,2 = ± j 5 = ± j2.24 ∴系统的振荡频率为ωn = 2.24rad / s
= 150.5°
h(t) = 1 − 0.06e−5.76t + 1.07e−0.37t cos(1.27t + 150.5°)
3-4
已知根据主导极点 s1,2 确定的调整时间为 10.82s，考察这一时刻系统单位阶跃响应中
的指数项值 − 0.06e−5.76t |t=10.82 = −5.15 ×10−29 ，可见指数项值在 ts = 10.82 时已经衰减到 微不足道的程度。事实上，在峰值时间 t p = 2.48s ，指数项的值为 − 3.7 ×10−8 ，可见对
自动控制原理第3章
例1. 系统特征方程式为
s 6 s 12 s 11 s 6 0
4 3 2
例2. 系统特征方程式为
s 3 s 2 s s 5s 6 0
5 4 3 2
特殊情况:
1) 劳斯行列表中某一行左边第一个数为零,其余 不为零或没有. 例: 例:
s 4 3s 3 s 2 3S 1 0
-
1/s
k/(s+5)(s+1)
例:系统特征方程式:
2 s 3 T s 2 10 s 100 0 s
4
按稳定要求确定T的临界值.
六.系统的相对稳定性
§3-3 控制系统的稳态误差
一.误差及稳态误差的定义 系统的误差为 e(t)=被控量的希望值－被控量的实际值 常用的误差定义有两种
二.线性定常系统稳定的充分必要条件
线性定常系统微分方程为:
a0
d dt
n 1
n
n
c (t )
d a dt
1
n 1
c (t ) n 1
d a dt
2
n2 n2
c (t )
d a dt
3
n3 n3
c ( t ) ........
a
d dt
m m
c (t )
a
n
c (t )
第三章 控制系统的时域分析法
§3-1 引言
一. 典型输入信号 1、阶跃函数
r(t)
r (t ) {
0 A
t0 t0
A
t
2、斜坡函数
r(t) {
r(t)
0 At
t0 t0
斜率＝A
自动控制原理_第3章_7
17
[例3-24] 如图所示，
Gb (s)
E (s)
+
R( s )
-
G1 ( s )
G2 (s)
Y ( s)
K1 G1 ( s ) T1s 1
K2 G2 (s) s T2 s 1 在没有顺馈控制的情况下，系统为I型，
的无差度提高为2？
使系统 若加入顺馈控制，如何选取 Gb (s)，
3.11 减小和消除稳态误差的方法
当控制系统在输入信号或干扰信号作用下的
稳态误差不能满足设计要求时，要设法减小或消除 稳态误差。
1
3.11.1 增大开环放大倍数
1
减小输入信号作用下的稳态误差
知识要点回顾 0型系统的开环放大倍数 K K （静态位置误差系数） p
I型系统的开环放大倍数 K K （静态速度误差系数） v
减小和消除稳态误差的方法
增大开环放大倍数；
增加串联积分环节；
顺馈控制。
26
3
对于稳态误差为0或 的情形， 增大开环 放大倍数不能改变这种状况，但是可以延缓 趋向于
的进程。
4
[例3-23] 单位反馈系统的开环传递函数为
K G( s) (0.1s 1)(0.5s 1)
在 K 10 和 K 100 两种情况下， 分别求输入
信号为 r (t ) 1(t )
10
PID控制器
R( s )
E (s)
Kp
KI s
+ +
U ( s)
-
G0 (s)
Y ( s)
KD s
KD s Kp s KI KI Gc ( s ) K p KDs s s
自动控制原理课后答案第3章
第3章 控制系统的时域分析【基本要求】1. 掌握时域响应的基本概念，正确理解系统时域响应的五种主要性能指标；2. 掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标和结构参数；3. 掌握二阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其欠阻尼情况下的性能指标和结构参数；4. 掌握稳定性的定义以及线性定常系统稳定的充要条件，熟练应用劳斯判据判定系统稳定性；5. 正确理解稳态误差的定义，并掌握系统稳态误差、扰动稳态误差的计算方法。
微分方程和传递函数是控制系统的常用数学模型，在确定了控制系统的数学模型后，就可以对已知的控制系统进行性能分析，从而得出改进系统性能的方法。
对于线性定常系统，常用的分析方法有时域分析法、根轨迹分析法和频域分析法。
本章研究时域分析方法，包括简单系统的动态性能和稳态性能分析、稳定性分析、稳态误差分析以及高阶系统运动特性的近似分析等。
根轨迹分析法和频域分析法将分别在本书的第四章和第五章进行学习。
这里先引入时域分析法的基本概念。
所谓控制系统时域分析方法，就是给控制系统施加一个特定的输入信号，通过分析控制系统的输出响应对系统的性能进行分析。
由于系统的输出变量一般是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，这种分析方法被称为时域分析法。
当然，不同的方法有不同的特点和适用范围，但比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。
3.1 系统的时域响应及其性能指标为了对控制系统的性能进行评价，需要首先研究系统在典型输入信号作用下的时域响应过程及其性能指标。
下面先介绍常用的典型输入信号。
3.1.1 典型输入信号由于系统的动态响应既取决于系统本身的结构和参数，又与其输入信号的形式和大小有关，而控制系统的实际输入信号往往是未知的。
为了便于对系统进行分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行评价和比较，需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。
自动控制原理 第三章课后答案
3-1设温度计需要在一分钟内指示出响应值的98%，并且假设温度计为一阶系统，求时间常数T 。
如果将温度计放在澡盆内，澡盆的温度以10C/min 的速度线性变化。
求温度计的误差。
解：c(t)=c(∞)98%t=4T=1 min r(t)=10te(t)=r(t)-c(t)c(t)=10(t-T+e )-t/T =10(T-e )-t/T =10T =2.5T=0.253-2电路系统如图所示，其中F C k R k R μ5.2,200,20110=Ω=Ω=。
设系统初始状态为零，试求：系统的单位阶跃响应8)()(1=t u t u c c 以及时的1t 值；解:R 1Cs+1R 1/R 0G (s )= u c (t)=K(1–e t T -)KTs +1=T=R 1C=0.5 K=R 1/R 0=10=10(1–e -2t )8=10(1–e -2t)0.8=1–e-2te -2t =0.2 t=0.8g(t)=e -t/T T Kt 1=0.8=4u c (t)=K(t-T+T e -t/T )=4R(s)=1s 2R(s)=1R(s)=1s 3T 2=K(s s+1/T+T s 2-1s 3-T 2)=1.2Ts 1s 3K +1U c (s)= -0.5t+0.25-0.25e -2t )12t 2u c (t)=10(3-3已知单位反馈系统的开环传递函数为)5(4)(+=s s s G 试求该系统的单位阶跃响应。
解:C(s)=s 2+5s+4R(s)4s(s+1)(s+4)C(s)=4R(s)=s1s+41+1/3s =4/3s +1-c(t)=1+ 4e 13-4t -t 3-e3-4已知单位负反馈系统的开环传递函数为 )1(1)(+=s s s G 试求该系统的上升时间r t 。
、峰值时间p t 、超调量%σ和调整时间s t 。
1s(s+1)G(s)=t p =d ωπ 3.140.866= =3.63t s = ζ3ωn=6t s = ζ4ωn =8解:C(s)=s 2+s+1R(s)12= 1ωn 2ωn ζ=1ζ=0.5=1ωn =0.866d ω= ωn 2 ζ1-=60o -1ζ=tg β21-ζt r =d ωπβ-= 3.14-3.14/30.866=2.42σ%=100%e -ζζπ1-2=16%e -1.83-6已知系统的单位阶跃响应为t te et c 10602.12.01)(---+= ，试求：（1）系统的闭环传递函数；（2）系统的阻尼比ζ和无阻尼自然震荡频率n ω；解:s+60+C(s)=0.21s 1.2s +10-s(s+60)(s+10)=600=s 2+70s+600C(s)R(s)600R(s)=s 12=600ωn2ωn ζ=70ζ=1.43=24.5ωn3-7设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图所示，如果该系统为单位负反馈系统，试确定其开环传递函数。
自动控制原理第三章课后习题答案(免费)
自动控制原理第三章课后习题答案（免费）3-1 判别下列系统的能控性与能观性。
系统中a,b,c,d 的取值对能控性与能观性是否有关，若有关其取值条件如何？（1）系统如图所示。
题3-1（1）图 系统模拟结构图解: 状态变量:11223123434x ax u x bx x x x cx x x dx =+=-=+-=+输出变量: 3y x =由此写出状态空间:0001000011000010(0010)a b x x u c d Y x⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 223333[1,0,0,0],[,0,1,0],[,0,,1],[,0,,]T T T B AB a A B a a c A B a a ac c a c d ==-=--=-++---判断能控型:()2323221000001001c a a a U BABA BA B a c a ac c a c d ⎛⎫-- ⎪⎪== ⎪--++ ⎪ ⎪---⎝⎭4c rankU ≠,所以系统不完全能控,讨论系统能控性:判断能观性:022322222001011000C CA c U CA a c b c c CA a ac c b bc c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪== ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭04rankU ≠,所以系统不能观.（2）系统如图所示。
题3-1（2）图 系统模拟结构图解: 状态变量:()1211101[,]1c x a b x ux c d y xa b U B AB c d -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+⎛⎫== ⎪--⎝⎭若0,a b c d b ----≠则2c rankU =,系统能控.010C U CA a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭若0b ≠,则02rankU =,系统能观.（3）系统如下式：1122331122311021010000200000x x x a ux x b x x y c d x y x ∙∙∙⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-+⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭解:系统如下:1231122311021010000200000x x x a u x b x y c d x y x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭若0,0a b ≠≠,系统能控.若0,0c d ≠≠,系统能观.3-2 时不变系统：311113111111x x u y x ∙-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪-⎝⎭试用两种方法判别其能控性与能观性。
吉林大学自动控制原理第3章
sin ;
B 0
对比P11例1-5电偶极子的场：
1 p • er
40 r 2
E
p
4 0 r 3
(2 cos er
sin e
)
可写成：
A
0 4
m er r2
B
0m 4 r3
(2
cos er
sin e
)
例3-8空气中有一长度为l、截面积为S，位于z轴上的
短铜线，如图所示。电流密度 J 沿 ez方向。设电流时 均匀分布的，求离铜线较远处（r>>l）的 B 。
3.3 .3 分界面上的衔接条件
1 2
l H • dl I
P
2 H2
H1t l1 H2t l1 K l1 H1t H2t K
1
l1 en
H1
l2 0
或 B1t B2t K
1 2
矢量式 (H1 H2)en K
分界面上无自由面电流 K 0
H1t H2t
1 2
S B • dS 0
12 M12 I2
M12
12 I2
2对1的互感
M12 M 21
互感与导线形状、尺寸、周围媒质和导线材料 的磁导率有关。
3.7 .3 聂以曼公式
A1
0 I1 4
dl1 R l1
21 21
l2
A1
• dl2
0 I1 4
l2
dl2 • dl1 R l1
M21
21 I1
M12
0 4
l2
m
B • dS A• dS
S
S
A• dl
l
A 沿任一闭合路径 l 的环量，等于穿过以此路径
自动控制原理 第三章(四)
s 3 + 2s 2 + s + 2 = 0
解 劳斯阵列表为
s3 s2 s1 s0
1 2
e
1 2
2
由于e的上下两个系数(2和2)符号相同，则说明有一对虚 根存在。上述特征方程可因式分解为
(s 2 1)(s 2) 0
(2) 若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均为 零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对 称的根。在这种情况下可做如下处理： a. 利用第k－1行的系数构成辅助多项式，它的次数总是 偶数的；
一、稳定性的概念 稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。考 虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，若将它稍微倾斜， 外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来状态。 而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持 平衡，所以在受到任何极微小的扰动后，它就会倾倒，如果 没有外力作用，就再也不能回到原来的状态了。
(a) 稳定的 (b) 不稳定的 图3-31 圆锥体的稳定性
f A
图3-18 不稳定系统
A'
d
A
图3-17
f
摆运动示意图
c
f
A 图3-19 小范围稳定系统
根据上述讨论，可以将系统的稳定性定义为，系统在受 到外作用力后，偏离了正常工作点，而当外作用力消失后， 系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。 瞬态响应项不外乎表现为衰减、临界和发散这三种情况 之一，它是决定系统稳定性的关键。由于输入量只影响到稳 态响应项，并且两者具有相同的特性，即如果输入量r(t)是 有界的： | r(t)|<∞， t ≥0 则稳态响应项也必定是有界的。这说明对于系统稳定性 的讨论可以归结为，系统在任何一个有界输入的作用下，其 输出是否有界的问题。 一个稳定的系统定义为，在有界输入的作用下，其输出 响应也是有界的。这叫做有界输入有界输出稳定，又简称为 BIBO稳定。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 r
2 r
2 r
B1n B2n
1
I
2 r
cos
1
I
2 r
cos
2
I
2 r
cos
1(I I ) 2I
I 2 1 I 2 1
I 21 I 2 1
3-7 电感
3.7 .1 自感
自感系数：L
L
自感磁链 L ：与电流交链的磁通
在各向同性的线性媒质中，有：
L LI L 与
I
L L 成正比。 I
S
dS
0 IS 4 r2
sin
sin
Ay
0 Ix 4 r3
dS 0IS sin cos
S
4 r2
Az 0
由于
ez er cos e sin
故
Ar 0
A 0
A
0 IS 4 r2
sin
B
A
er
1
r sin
[
( A
sin )] e
1 r
r
(rA )
Br
0 IS 2 r3
cos ;
B
0 IS 4 r3
2 (z L)2
B
0I 2
e
zL ]
2 (z L)2
作业：3-1-1；3-1-2；3-1-3.
3-2 安培环路定律
3.2 .1 真空中的安培环路定律
B dl l
l
0I 2
e
dl
B
I
d
dl
0I cos dl
l 2
0I d
l 2
0I
2
2
0 d 0I
I1
I3
I2
B l
dl
M lim mi V 0 V
物理意义：媒质中每单位体积内所有分子磁矩的矢 量和。
媒质磁化形成宏观附加电流——磁化电流
I
磁化电流如何计算?
媒质中的磁化电流
I
2
dV
1
S l
dl
3
1,3对穿过S面的电流无贡献，2因与 l 交链，只一次穿过S
面，故对电流有贡献。
穿过dl边长的磁化电流（N为单位体积内的分子数）
d
mA
mB
A•
n
s r
l
H • dl 0 AnBsA
m
H • dl I AlBmA
I
•
H • dl kI ArBmA
B
A、B两点磁压与积分路径有关。
J=0的区域，通过适当选择积分路径，
满足
H • dl AnBsA
0 ，则可利用磁位求解。
3.5 .2 磁位的边值问题
•B 0
B H
m
B • dS A• dS
S
S
A• dl
l
A 沿任一闭合路径 l 的环量，等于穿过以此路径
为周界的任一曲面的磁通量。
3.4 .2 磁矢位的边值问题
1 2
P
2 A2
1
l1
A1
l2 0
m
A• dl
l
l2 0
m
A• dl 0
l
A1t A2t
1 2
S P 2 B2
• A 0
( y
1 )
x2 y2 z2
ex
0 Il 4
(x2
1 2y 2
y2 z2 )3/2
ex
0 Il 4 r2
y r
同理
ey
Az x
ey
0 Il 4 r2
x r
B
A
0 Il 4 r2
(ex
y r
ey
x) r
0Il 4 r2
x2 y2 r e
0 Il 4 r2
sin
e
磁矢位环流的物理意义：
H J
B H
A J
B= A A ( • A) 2 A
( • A) 2 A J
令 •A0
2A J
A 满足矢量泊松方程。
直角坐标系中
2 Ax J x
2 Ay J y
2 Az J z
对比静电场
2
(r ) 1 (r)dV
40 V R
可得
Ax 4
3.3 .1 磁通连续性原理
m
B • dS
S
S B • dS 0 S B • dS V • BdV 0
•B 0
3.3 .2 恒定磁场的基本方程
S B • dS 0 l H • dl I l H • dl S H • dS S J • dS
H J •B 0
各向同性线性媒质 B H
S
(en
1 R
)dS
A I
4
S
[ez
(
1 R
)]dS
I
4
S
(ez
eR R2
)dS
er eR
A I
4
S
(ez
er r2
)dS
I 4 r2
S (ez er )dS
er
r r
xex
yey r
zez
r sin cosex r sin siney r cosez
r
Ax
0 Iy 4 r3
第三章 恒定磁场
吉林大学电子科学与工程学院
恒定磁场：恒定电流产生的不随时间变化的磁场。
3-1 磁感应强度
3.1.1 安培力定律
l I df dl I
dl R l
闭合回路 l 对闭合电流回路 l 的作用力
F 0
4
l
Idl (I dl eR )
l
R2
安培力定律
3.1.2 磁感应强度
F
z
P
oJ y
x
A 0
4
V
J dV R
（J
I S
ez）
0ez l/2 Idl （ dV dl）
4 r l/2
S
0 Il 4 r
ez
可见
A
Az
0 Il 4 r
其中 r x2 y2 z2
A
ex
(
Az y
Ay z
)
ey
(
Ax z
Az x
)
ez
(
Ay x
Ax ) y
ex
Az y
ex
0 Il 4
H m
• ( A) • A A •
m • • m 0
均匀媒质
0
2m 0
磁位的拉普拉斯方程
磁位的衔接条件：
m1 m2
1
m1
n
2
m2
n
2m 0 和上面衔接条件构成 m 的边值问题。
3-6 镜像法（参见静电场电荷镜像问题自学）
H2t H1t
I sin I sin I sin
Im)
B • dl l
0 (I
M • dl )
l
( B M ) • dl I
l 0
令
B M H H 为磁场强度
0
l H • dl I
一般情况
l H • dl Ik
一般形式的安培环路定律。
物理意义：磁场强度沿任一闭合路径的线积分等于穿 过该回路所包围面积的自由电流（不包括磁化电流） 的代数和。
Jx dV V R
Ay 4
J y dV V R
Az 4
Jz dV V R
写成矢量形式 A J dV
4 V R
A Idl
4 l R
A
4
S
KdS R
例3-7应用磁矢位分析真空中磁偶极子的磁场。
z r
R
o
rIdl
x
由于 R r
A
Idl
A
4 l R
y
由
1 dl
lR
电流，试求各部分的磁感应强度。
n
B
R1
R2
R3
B • dl l
0
Ik
k 1
R1
B
2
0 I
2 R12
B
0I 2 R12
R1 R2
B 2 0I
B
0 I 2
B
R1
R2
R3
R2 R3 B 2 0I
B 2 0I
I =I
R32 R32
I
2
R22
2
R32
B
R22 R22
dl
Idl 受的力为 qvnsdlB sin
I
其中一个电荷受的力为
qvnsdlBsin / nSdl qvBsin
F qv B 洛伦兹力
例3-1计算真空中载电流I的长为2L的长直细导线在导
线外任一点所引起的磁感应强度。
z
z • P(, z)
B 0 4
I dl eR l R2
L dl R Lo
dIm INdV INa • dl Nm• dl M • dl
穿过S面的磁化电流
Im
S Jm • dS
M • dl
l
物理意义：媒质内通过任意面S的磁化电流是磁化强 度沿面周界的线积分。
由斯托克斯定理，可得：
Im
S Jm • dS
M • dS
S
Jm M
物理意义：媒质内任意点的磁化电流密度是该点磁化 强度的旋度。
导线内部，仅与部分电流相交链的磁
通——内磁通
I
Li
i I
完全在导线外部闭合的磁通——外磁通
BI
Lo
o I
总自感=内自感+外自感：L Li Lo