线性方程组和矩阵 PPT

例如
①
x

x

y y

0, 2;
x y 0,
②

x

y

1,
x y 2;
x1 x2 0, ③ 2x1 2x2 0,
3 x1 3x2 0.
就是三个二元线性方程组 , 并且③ 是齐次方程组.
下面讨论这三个方程组的解 . 方程组① : 因其系数行列式
这样看来 , 对于线性方程组需要讨论以下问题 : (1) 它是否有解? (2) 在有解时它的解是否惟一 ? (3) 如果有多个解, 如何求出它的所有解?
对于未知数的个数与方程的个数相等的齐次线性 方程组 , 这里先将一个结论告知大家 , 等到后面我们 会进一步地详细说(证)明 .
系数行列式 D 不等于 0 时 ，齐次线性方程只有零解 .
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表:
这个数表反映 了四城市间交
成都 1 0 0 1
通联接情况.
拉萨

0
1
0
0

3、 电路是电子元件的神经系统 . 参数的计算是电路
设计的重要环节. 其依据来自两个方面，一是客观需要， 二是物理定律.
USB 扩展版 ( 图1.2 ) 中有输入和输出终端的电路.
用

v1 i1

am1 x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
的解取决于

系数 常数项
aij i, j 1,2, bi i 1,2,
, n(m ) , ,m
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
1 D
1 2 0 , 知其有惟一解 x y 1 ; 方程组 ②: 显然
11
不存在数 x 和 y 使 x y 1 和 x y 2 同时成立 , 故方程组
②无解 ; 方程组 ③ : 设 s 为任一数 , 那么 x1 x2 s 是 ③ 的解 , 从而方程组③ 有无限多个解.

这个数表反映 了学生的早餐 情况.
2、某航空公司在Ａ，Ｂ，Ｃ， Ｄ四城市之间的航线图
青岛
广州
成都
拉萨
为了方便，常用下面的表表示
其中 表示有航班.
到站
为了便于计算,把表中的
广州 青岛 成都 拉萨
改成１,空白地方填上 0（变 定性为定量）就得到一个数
广州 0
发站
青岛

1
1 0
1 1
0 0
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1

a21 x1 a22 x2
a2n xn b2
( 1)

am1 x1 am2 x2 amn xn bm
其中 aij 是第 i 个方程的第 j 个未知数的系数, bi 是 第 i 个方程的常数项, i 1 , 2 , , m ; j 1 , 2 , , n ,
系数行列式 D 等于 0 时 ，齐次线性方程有非零解 .
以上两条结论均是充分且必要条件.
二、矩阵概念的引入
1、某班级同学早餐情况
姓名 周月驰 张曼羽 陈木扁
馒头 4 0 4
包子 2 0 9
鸡蛋 2 0 8
稀饭 1 0 6
为了方便，常用下面的数表表示
4 2 2 1

0 4
0 9
0 8
0 6

记录输
入电
压和
输入电流
(
电压
v
以V
为单位，
电流
i
以
A
为单位)
,
用

v2 i2

记录
输出电压和输出电流.
. i1 . 输入终端v1
电路
i2
.
输出终端 v2 .
若

v2 i2


A
v1 i1

对于这个四端网络我们称矩阵 A
为转移矩阵.
下图给出了一个梯形网络 . 左边的电路称为串联电路， 电阻为 R1 ( 单位：) ；右边的电路是并联电路，电阻为 R2 .
利用欧姆定理和楚列斯基定律，可以得到串联电路和并联
电路的转移矩阵分别为

1 0

R1 1

和
1 1 R2
10 .
i1
v1

R1
串联电路
i2 i2
v2

梯形网络
R2
并联电路
i3
v3

4、线性方程组
a11 x1 a12 x2

a21 x1 a22 x2
(2)
am1 x1 am2 x2 amn xn 0,
叫做 n 元齐次线性方程组 .
n 元线性方程组往往简称为线性方程组或方程组.
对于 n 元齐次线性方程组(2) , x1 x2 xn 0
一定是它的解, 这个解叫做齐次线性方程组 (2) 的 零解
如果一组不全为零的数是 (2) 的解 , 则它叫做齐次线性 方程组(2) 的非零解 . 齐次方程组 (2) 一定有零解 , 但不一 定有非零解 .
7、记住伴随矩阵的基本性质 A A AA A E
二、难点 矩阵的乘法及其运算律. (教材第 31、33 页)
三、应用 矩阵乘法可表示变量间的线性变换 .
《线性代数》同济六版
第 2 章 矩阵及其运算
第一节 线性方程组和矩阵
课件制作：黄 明
2018年9月
一、线性方程组
设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组
当 AB 有意义时 , BA 不一定有意义.

②
AB

O
？
AO ,
or
BO .
③ 无消去律 AB=AC ？ B C
6、几个特殊矩阵
① 零矩阵 O (见教材第 26 页) ② 对角矩阵 Λ diag(1, 2,, n ) (见教材第 28 页) ③ 单位矩阵 E (见教材第 28 页) ④ 对称矩阵 A AT (见教材第 37 页)
本次课(§1~ §2 )的要点
一、内容
1、矩阵是一张数表.
2、矩阵与线性变换的一一对应 .
3、矩阵的线性运算
① ②
加法 数乘
: :
对应元素相加. 每个元素倍乘 .
4、矩阵的乘法 (重点)
① 可乘条件 : 左列 = 右行
② 乘法的要领.
5、矩阵乘法的三大特征
① 无交换律 ; AB？= BA
当常数项 b1 , b2 , , bm 不全为零时 , 线性方程组 (1) 叫做 n 元非齐次线性方程组 , 当b1 , b2 , , bm 全为零时 , (1) 式成为
a11x1 a12 x2 a1n xn 0,
a21x1 a22 x2 a2n xn 0,