极限部分练习题答案
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《极限部分练习题》参考答案
1. 4
2lim
4
16
--→x x x
解1 ()()(
)(
)()()
8
4244x 4
8
422
lim 42
lim
4424
3442434
16
4
16
++++-++++-=--→→x x x x x x x x x x x x x
()()()()
8
4216x 416lim
4424
316
+++-+-=→x x x x x x 4
1
8888448
424lim
4424
316=++++=
++++=→x x x x x .
解2 (
)()
41
2212
1lim 222lim 42
lim
41644
4
16
4
16
=+=+=+--=--→→→x x x x x x x x x . 【注】解1中是分子、分母同乘分子24-x 的共轭根式84244243+++x x x ，解2中是分子、分母同乘分母4-x 的共轭根式
4+x ，显然解2比解1简单.
2. 求a 的值，使得41
1lim =⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∞→x
x x a
解 a a
a x
x a
a x
x x
x e x a x a x a ---∞→--∞→∞→=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛-+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1lim 1lim 1lim Θ，4
1=∴-a e ，
即4=a
e ,取对数得2ln 24ln ==a . 3. ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞
→x x x x x sin 11sin
lim 解 101sin 1lim 11sin
lim sin 1lim 1sin lim sin 11sin lim =+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→∞→∞→∞→x x x
x x x x x x x x x x x x x x .
【注】解题中求极限x
x x 1sin lim ∞→时应用了第一个重要极限，而求极限x x x sin 1
lim ∞→时则应用了
无穷小量的性质（无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量）.
4. 当∞→n 时，n 1sin
2
与k n
1
等价，则=k ？ 解 Θ当∞→n 时k n n 1~1sin 2，111sin lim
2=∴∞→k n n n ，而111sin lim 11sin lim 11sin lim =⎪
⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→∞→k
n k
n k k n n n n n n n ，2=∴k .
5. x
x x x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+∞→1212lim 解1 e e e x x x x x x x x x x x
x x x
x x x x x ==⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---∞→∞→--∞→∞→∞→21212122
122122
1
2211lim 211lim 211211lim 211211lim 1212lim . 解2 ⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→∞→∞→21
21212211221lim 1221lim 1212lim x x x x x x x x
x x
x
e e x x x x x =⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+
=∞→-∞
→11221lim 1221lim 2
1
2
12. 6. ⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-
∞
→22211311211lim n n Λ 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-
∞
→22211311211lim n n Λ⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→n n n 1111311311211211lim Λ 2
1121lim 1134322321lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-⋅⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n n Λ. 7. 设()3222
+-=+x x x f ，则()[]=2f f ？
解 在()3222
+-=+x x x f 中令0=x ，得()32=f ，从而()[]()32f f f =；再在
()3222+-=+x x x f 中令1=x ，得()23=f ，即()[]22=f f .
8. x
x
x 3sin 11lim
0--→
解1 (
)(
)
(
)
()
x
x x
x x x x x x x x x -+=-+-+--=--→→→113sin lim
113sin 1111lim 3sin 11lim
000 ()()
616111131lim 3sin 3lim 11313sin 3lim 000=⨯=-+⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⋅=→→→x x x x x x x x x . 解2 注意，当0→x 时，x x 3~3sin ，且()2
~
1111x
x x ---+=--，所以当0→x 时，