球的密堆积和
实验二十四 等径圆球的密堆积
实验二十四等径圆球的密堆积一、实验目的1. 通过等径圆球的堆积来模拟金属单质中原子的堆积，了解金属单质的若干典型结构型式，加深对金属结构的了解。
2. 掌握A1、A2、A3型堆积的特点；3. 掌握A1和A3型堆积中，每个晶胞中摊到的金属原子数、正四面体空隙数和正八面体空隙数及其分布情况；4. 计算A1、A2、A3型堆积中，原子体积的空间占有率；5. 计算A4型堆积(金刚石结构)中，C原子体积的空间占有率。
二、实验原理固体可分为晶体、非晶体和准晶体三大类。
固态物质是否为晶体，一般可由X射线衍射法予以鉴定。
晶体内部质点在三维空间周期性重复有序排列，使其具有各自特別的晶体结构与形状。
晶体按其内部结构可分为七大晶系和14种晶格类型。
晶体结构与组成粒子排列的紧密程度，会影响其熔点、密度、延展性等性质。
以立方晶系为例，简单立方、体心立方和面心立方晶格的排列方式、粒子的配位數（每原子邻接之原子数）、单位晶胞中所含粒子粒及填充紧密度均不相同。
晶体结构中，单层晶格点排列的情形可如图1所示。
每一个代表晶格点的圆球配位数为4，晶格点间的空隙较大，这种排列方式称为四方堆积。
图中第二列粒子排列在第一列相邻两个粒子的空隙间，排列较紧密，每一圆球的配位数为6，这种排列方式称为最密堆积。
最密堆积依层与层排列的差异又分为两种。
如图34-2(B)为ABAB…二层重复叠排，则为六方最密堆积。
如图34-2(C)为ABCABC…三层重复叠排，則为立方最密堆积或称为面心立方。
至于离子晶体，一般是较大的离子（通常为阴离子，以r- 表示）以最密堆积的形式排列，然后半径较小的离子（通常为阳离子，以r+ 表示）依离子半径比（r+/r-）安置于较大大离子的空隙间，如四面体空隙、八面体空隙或立方体空隙中，使阳离子与阴离子间的吸引力最大、排斥力最小。
以NaCl 为例，氯离子以面心立方晶形排列，钠离子位于八面体空隙。
本实验以圆球代表晶体结构中各晶格点的原子、分子或离子，通过小棍堆叠成各式晶体模型，观察其立体形状及填充紧密度。
等径圆球密堆积与非等径圆球密堆积的区别
等径圆球密堆积与非等径圆球密堆积的区别
山东省邹平县长山中学256206 吴贵智
在金属晶体、离子晶体和分子晶体的结构中，由于金属键、离子键和分子间作用力均没有方向性，使得晶体中的每一个原子或分子都能吸引尽可能多的其他原子或分子于周围，并以密堆积的方式降低体系的能量，使晶体结构变得比较稳定。
根据组成晶体的原子或分子的大小将密堆积的方式分为等径圆球密堆积和非等径圆球密堆积。
等径圆球密堆积：在金属晶体中，金属原子中的电子分布呈球对称，且金属键没有方向性，又由于金属原子的大小相等，所以金属原子按照等径圆球的密堆积。
首先，等径圆球在一列上呈直线排列，在同一平面上，每个圆球于周围的六个圆球紧密接触，形成密置层。
密置层与密置层的圆球之间平行的错开，使每个圆球的球心恰好对应另一层相邻三个球所围成的空隙的中心，并使两层紧密接触，形成密置双层。
在密置双层的基础上，根据堆积第三层时出现不同的排列方式，将堆积方式分为“…ABAB…”和“…ABCABC…”两种形式。
其中“…ABAB…”是在密置双层的基础上，隔层圆球的球心相对应，例如金属镁；而“…ABCABC…”则是相邻三层圆球的球心位置均不同，但此后都按照如此相邻的三层重复排列，例如金属铜。
非等径圆球密堆积：在离子晶体中，离子中的电子分布基本上也是球对称的，由于离子间存在无方向性的静电作用，每个离子周围都会尽可能多地吸引带相反电荷的离子，使体系的能量最低。
但由于阴、阳离子的半径不相同，在排列时，半径大的离子先按一定方式做等径圆球的密堆积，半径小的离子再填充到半径大的离子所形成的空隙中。
例如，NaCl晶体中，由于氯离子的半径大于钠离子的半径，氯离子先按等径圆球的密堆积，然后钠离子再填充到氯离子所构成的空隙中。
矿石的晶体化学分析——球体的最紧密堆积
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟矿石的晶体化学分析——球体的最紧密堆积在晶体结构中，质点之间趋于尽可能地相互靠近，形成最紧密堆积，以达到内能最小，而使晶体处于最稳定状态。
尽管对于具有共价键的晶体来说，原子的排列会受到化学键的方向性和饱和性的影响，但是，在具有离子键和金属键的晶体中，由于离子键和金属键没有方向性和饱和性，因而用球体最紧密堆积的观点来进行分析，还是合适的。
球体的最紧密堆积，有等大球体的最紧密堆积和不等大球体的最紧密堆积两种。
一、等大球体的最紧密堆积等大球体（单一质点）在一个平而内作最紧密排列时，只能构成一种形式（图1）。
这时每个球周围有6 个球围绕，并在球与球之间形成三角孔，其中一半三角孔的尖端指向下方（图1 的B 处），而另一半三角孔的尖端指向上方（图1 的C 处）。
图1 一层球的最紧密堆积继续堆积第二层球时，球只能置于第一层球的三角孔上才是最紧密的，即置于图2 的B 处（图2—a）或C 处（图2—b）。
但无论置于B 处或C 处，其结果是一样的，因为将图2—a 旋转180°与图2—b 完全相同。
所以说两层球作最紧密堆积的方式依然只有一种。
图2 两层球的最紧密堆积a—第二层球（虚线）置于尖端向下的三角孔上；b—第二层球（虑线）置于尖端向上的三角孔上再继续堆积第三层球时则有两种不同的方式。
第一种方是第三层球的中心与第一层球的中心相对，即第三层球重复了第一层球的位置；另一种方式是第三层球置于第一层和第二层重叠的三角孔之上，即第三层球与第一层球和第二层球的位置都不重复。
如果在上述第一种方式的基础上，使第四层球与第二层球重复，并按这种ABABAB……二层重复一次的规律连续堆积（图3—a），其结果是球在空间的分布与空间格子中六方格子一致（图3—b），故称之为六方最紧密堆积。
图3 六方最紧密堆积a—球堆积的方式；b—球中心的分布（与六方格子相。
典型离子晶体地各种堆积-填隙模型的堆积球和填隙球的半径比-概述说明以及解释
典型离子晶体地各种堆积-填隙模型的堆积球和填隙球的半径比-概述说明以及解释1.引言1.1 概述离子晶体在自然界中广泛存在，并且在许多领域中具有重要的应用价值。
研究离子晶体的结构堆积方式对于理解其物理化学性质以及开发新型功能材料具有重要意义。
在离子晶体的结构中，堆积模型是其中一种重要的研究对象。
堆积模型是指离子晶体中离子排列的方式和顺序。
通过研究和分析不同类型的离子堆积模型，可以了解离子晶体的几何构型、离子间距以及孔隙结构等重要特征。
在典型离子晶体中，常见的堆积模型包括六方最密堆积、立方最密堆积和体心立方堆积等。
填隙模型是一个与堆积模型密切相关的概念。
填隙模型描述了离子晶体中离子球和填隙球之间的相互作用关系。
填隙球指的是在堆积模型中离子之间形成的孔隙，而离子球则是指堆积模型中的离子。
通过研究填隙模型，可以进一步了解离子晶体中的空位、孔径大小以及离子的配位数等重要性质。
本文将重点研究填隙模型的堆积球和填隙球的半径比。
理论上，填隙球的半径与堆积球的半径之间存在一定的关系，这对于准确描述离子晶体的结构和性质非常重要。
通过实验和模拟方法，我们将探讨不同离子晶体中填隙球和堆积球的半径比的变化规律，以期揭示离子晶体材料中的微观结构和宏观性质之间的关联性。
本研究具有重要的理论和实践意义。
首先，对填隙模型的深入研究可以为离子晶体的结构设计和制备提供理论指导。
其次，填隙模型的研究可以为新型功能材料的开发和设计提供参考。
最后，对填隙球和堆积球半径比的研究有助于揭示离子晶体的结构特征与其性质之间的内在联系，为相关领域的进一步研究提供基础和支持。
由于离子晶体的复杂性和多样性，填隙模型的研究还存在一些挑战和尚未解决的问题。
未来的研究可以进一步探索不同离子晶体中填隙球和堆积球的半径比的影响因素，并寻求更精确的描述方法和模型。
希望本研究能够为离子晶体结构与性质的研究提供新的思路和方法，促进相关领域的进一步发展。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文按照以下结构进行展开：第二部分为正文，共分为两个小节。
典型晶体结构
一个球体积：4/3πr3=4/3π×( 2/4 a )3=
3 4/3π× 2 2/64 a =
2 /24 πa 3
立方最密堆积一个单胞中球的数目： 8×1/8+6×1/2= 4个 球体积= 4× 2/24 πa 3 = 2 /6 πa 3 空间利用率= 2 a 3 / a 3 2 / 6 74.05% 6
(3) 体心立方bcc
密排面和密排方向： 密排面为{110}，密排方向<111>
体心立方密排面
原子半径:
bcc的晶胞体积为a3，晶胞内含2个原子。 原子体积
空间利用率
＝
单胞体积
4 æ 3 ö 2´ pç a÷ 3 è 4 ø a3
3
＝
3 ＝ p = 68.02% 8
空间利用率：68.02%
(4) 金刚石型堆积(A4) 在这种堆积方式中，等径圆球的排布与金刚石中 碳原子排布类似，所以称为金刚石型堆积。从金刚 石型堆积中可抽出面心立方晶胞，如下图所示
所以密堆积结构至少具有3m1点群对称性
其最低空间群对称性为P3m1和R3m1
密堆结构共有8个空间群：
P3m1, P3m1, P 6m2, P63 mc, P 63 mc m
R3m1, R3m1, Fm3m
能容纳3次旋转对称的点阵只有： 菱面体点阵 R 3层为周期密堆积结构的 六角点阵 H R点阵等价于cF（立方面 心）点阵
A
C A B
A
表示：方法一：四层：…ABAC ABAC… 五层：…ABCAB ABCAB… 六层： …ABCACB ABCACB ABCACB… …h c c h c c h c c h c c … 方法二 …ABABAC ABABAC ABABAC… …c h h h c h c h h h c h …
第二章 球的密堆积与结晶化学定律
近似地用球的紧密堆积来描述。
开普勒对固体结构的推测
冰的结构
A
A
B
最密堆积
(ccp)
二、空间利用率
3
π
2/24)a
1/8+6×1/2= 4
三、原子半径四、最密堆积中的空隙类型
1. 立方最密堆积中的空隙
2.六方最密堆积中的空隙
§2.2不等径球的密堆积1. 三配位
二、离子半径
1.离子的接触半径
2.离子的晶体半径
§2.3 结晶化学定律1、离子大小与晶体结构
2、离子的极化
极化对晶体结构的影响
§2.4 鲍林规则二、鲍林规则
Ca2+
Ca
Ti O
四面体和八面体分别公用顶点、棱和面的情况
46
中心阳离子间距越小，阳离子与阳离子间的静电斥
力越大，结构越不稳定。
SiO2，四面体以顶点连接SiS2，四面体以棱连接
配位多面体之间倾向于不公用几何元素。
5.第五规则（吝惜规则）。
总结均匀尺寸球的6种排列的规律
总结均匀尺寸球的6种排列的规律均匀尺寸的球体可以按照不同的方式排列，每种排列方式都遵循其特定的几何规律。
以下是六种常见的球体排列方式及其规律的总结：1.线性排列：●球体沿一直线排列。
●相邻两球中心的距离等于球的直径。
●这是最简单的排列方式，没有空隙。
2.方形排列：●球体在一个平面上沿正方形的格点排列。
●相邻球体中心的距离在水平和垂直方向上均等于球的直径。
●这种排列在两个方向上都是规律性的，但会在球体间留下空隙。
3.三角形排列：●球体在平面上沿等边三角形的格点排列。
●每三个相邻球体形成一个等边三角形。
●这种排列比方形排列更紧密，减少了空隙。
4.正四面体排列：●这是一种三维排列方式，球体排列成正四面体的结构。
●每四个球体形成一个正四面体，每个球体接触其他三个球体。
●这种排列是三维空间中最紧凑的排列之一。
5.立方体排列：●球体在三维空间中沿立方体的格点排列。
●每个球体在其六个面方向上各接触一个球体。
●这种排列在三维空间中是规则的，但与正四面体排列相比，有更多的空隙。
6.密堆积排列：●密堆积排列可以是面心立方（FCC）或六方密堆积（HCP）。
●在FCC排列中，每个球体被12个其他球体所包围，形成最密排列。
●在HCP排列中，球体同样形成紧密的结构，但排列方式略有不同。
●这两种排列都是三维空间中最紧密的排列方式，最大限度地减少了空间中的空隙。
这些排列方式在材料科学、化学和物理等领域有广泛的应用，比如在研究晶体结构、分子排列和材料打包等方面。
2-密堆积
S a a sin 60 3 a2 2
平行六面体的高：
h 2边长为a的四面体高
2 6 a 2 6 a
3
3
20
V晶胞
3 a2 2 6 a
2
3
2a3 8 2r3
V球
2
4
3
r3
(晶胞中有2个球)
V球 V晶胞 100% 74.05%
21
22
23
隙上方，其排列方式与第一层相同，但与第
二层错开，形成ABAB…堆积。这种堆积方式
可以从中划出一个六方单位来，所以称为六
方最密堆积（A3）。
9
三维等径圆球的堆积(A3)
能量较低 密置层
A B A B A
B
A
10
A3最密堆积形成的六方晶胞
A3最密堆积形成后, 从中可以划分 出什么晶胞? 六方晶胞.
11
47
(4)六方ZnS晶胞图
48
六方ZnS
（1）六方晶系，简单六方晶胞 （2）Z=1 （3）Zn2+和S2- 六方最密堆积周期|AaBb|。 （4）配位数4：4。 （6）2s：0 0 0，2/3 1/3 1/2；
2Zn：0 0 5/8，2/3 1/3 1/8。
49
(5) CsCl型:
（1）立方晶系，简单立方晶胞。 （2）Z=1。 （3）Cs+，Cl-，离子键。 （4）配位数8：8。 （5） Cs+离子位于简单立方点阵的阵点上
3 30
A2型密堆积图片
31
金刚石型堆积（A4）
配位数为4，空间利用率为
34.01%，不是密堆积。这
种堆积方式的存在因为原
子间存在着有方向性的共
堆隙模型
堆隙模型与堆积填隙模型(1)晶体结构的密堆积原理密堆积结构是指在由无方向性的金属键,离子键和范德华力结合的晶体中,原子、分子或离子等微粒总是趋向于相互配位数高，能充分利用空间的堆积密度大的那些结构。
密堆积方式由于充分利用了空间，从而可使体系的势能尽可能降低。
结构稳定。
最常见的密堆积型式有：面心立方最密堆积（A1），六方最密堆积（A3）和体心立方密堆积（A2）。
（2）几种堆积方式及其空隙面心立方最密堆积（A1）和六方最密堆积（A3）最密堆积的结构可用等径球的密堆积来描述。
一层等径球的最密堆积只有一种,如图2－2b所示。
每个球与六个球相邻接,并形成六个三角形空隙.从密置层中可划出六方格子，每个格子分摊到一个圆球和两个三角形空隙。
第二层等径球的最密堆积也只有一种,即一个密置层中圆球的凸出部位正好处于另一个密置层的凹陷部位.如图2－3.显然密置单层中的一半的三角形空隙在密置双层中转化成正四面体空隙（被四个球包围），另一半三角形空隙转化成正八面体空隙（被八个球包围）。
密置双层保持六重对称性。
由两层六方格子构成一个平行图2－3六面体，每个平行六面体分摊到一个圆球、两个正四体空隙和一个八面体空隙。
第三层等径中球的密堆积有两种方式：一种是第三层中球的位置落在密置双层的正四面体空隙之上,其投影位置与第二层球的位置错开但与第一层球的位置相同,即ABAB……堆积.这种堆积称六方紧堆积.它仍保持密置双层的对称性；另一种第三层中球的位置落在密置双层正八面体空隙之上,其投影位置既与第二层错开又与第一层错开,这种方式称为ABCABC……堆积.这种堆积称为面心紧密堆积.所谓A1堆积就是重复ABC堆积，记作︱ABC︱。
在密置层的垂直方向上有两种空隙相间分布，即以正四面体空隙、正八面体空隙、正四面体空隙为一个单位重复分布。
从A1堆积中可划出一个立方面心晶胞。
所谓A3堆积就是重复AB堆积，记作︱AB︱。
在密置层的垂直方向上空隙的分布要么始终是正四面体空隙, 要么始终是正八面体空隙.。
球体密堆积空间利用率
球体的最密堆积空间利用率为74.05%。
在三维空间中，等径球体最密堆积的问题被称作开普勒猜想。
经过长期的科学研究与计算机辅助证明，已知规则的最密堆积结构—无论是面心立方（FCC）、体心立方（BCC）还是六方最密堆积（HCP）—它们的空间利用率都是相同的，即74.05%。
这一数值代表了在这些排列下，球体所占空间与总空间的体积比。
具体来看，球体的最密堆积具有以下特点：
1. 配位数为12：在最密堆积中，每个球周围有12个与之相邻的球。
2. 规则排列：为了达到最大的空间利用率，球体必须按照一定的规则排列，如FCC、BCC 和HCP等晶体结构。
3. 每层球嵌入邻层空穴中：在多层堆积时，每一层的球要嵌入到下一层的空穴中，这样可以保证每增加一层都会以最节省空间的方式添加球体。
总的来说，球体的最密堆积问题不仅是一个理论上的几何问题，它在材料科学、药物设计和许多其他领域都有广泛的应用。
了解和应用最密堆积原理可以帮助科学家和工程师设计出更加高效和紧凑的结构。
24维的球体堆积问题
24维的球体堆积问题球体堆积问题是一个经典的数学问题，也是一种有趣的几何问题。
在24维空间中，我们考虑如何将球体堆叠在一起，使它们互不重叠，并且充满整个空间。
我们来思考如何在二维平面中堆叠球体。
在二维平面中，我们可以将球体排成一行或一列，形成无限长的线。
这是最简单的情况。
在三维空间中，我们可以将球体堆叠成一列、一面或一体。
球体堆叠成一列就是像楼梯一样一层一层地堆叠，球体堆叠成一面就是球体排成一个矩形或正方形，球体堆叠成一体就是球体堆叠成一个正方体或长方体。
那么在二十四维空间中，我们可以将球体堆叠成怎样的形状呢？首先，二十四维空间是一个我们无法想象的抽象空间，但我们可以通过类比来思考。
我们可以把二十四维球体堆叠的问题简化为三维球体堆叠的问题。
在三维空间中，我们可以将球体堆叠成一个长方体，正方体或其他各种形状。
但我们想要一个更规则的堆叠方式，即球体堆叠成一个最接近球体自身形状的形状，这个形状被称为最密堆积。
对于一个二十四维球体，最密堆积形状就是一个二十四维球体本身。
但是，由于二十四维空间是我们无法想象的，所以我们无法直接将球体堆叠成最密堆积形状。
但我们可以利用一些数学工具和技巧来研究这个问题。
在二维和三维空间中，我们可以使用一些简单的数学方法来计算最密堆积球体的密度。
但是在二十四维空间中，计算最密堆积球体的密度变得更加复杂。
这是因为我们无法直接想象和可视化二十四维空间，所以我们需要使用更高级的数学工具。
在数学上，研究二十四维最密堆积球体的密度被称为二十四维球堆积问题。
这个问题涉及到高级数学领域，如几何、拓扑和图论等。
目前，对于二十四维球堆积问题，尚未找到一个确定的答案。
但是，已经有一些研究者通过计算和模拟得到了一些近似解。
总之，二十四维球堆积问题是一个有趣且复杂的数学问题。
尽管我们无法直接观察和可视化二十四维空间，但通过数学工具和技巧，我们可以研究和探索这个问题的解。
这个问题不仅仅是一个数学难题，也涉及到了物理学、几何学和拓扑学等多个学科领域。
六方最密堆积的计算
六方最密堆积的计算六方最密堆积是三维几何中的一种最密堆积结构，也被称为六方紧密堆积、六方密堆积或ABABAB堆积结构。
在六方最密堆积中，每个原子都被其周围最近的12个领域原子所包围。
本文将详细介绍六方最密堆积的计算过程。
首先，让我们来了解一些基本概念。
在六方最密堆积结构中，每个原子被认为是一个硬球。
这些硬球按照一定的规则堆积在一起，形成一个密密麻麻的结构。
在六方最密堆积中，每个硬球的最近邻是其上、下、前、后、左、右六个方向的硬球。
在进行计算之前，我们需要确定一个单位胞（unit cell），它是六方最密堆积结构的基本重复单元。
单位胞是一个矩形的六面体，有两个平行的底面，分别由两个不同的硬球构成，也就是一个双原子结构。
在六方最密堆积结构中，每个单位胞包含两个原子。
接下来，我们来计算单位胞的体积。
假设一个硬球的半径为r，那么单位胞的底面积为2*π*r^2，高度为2*r，所以单位胞的体积为2*π*r^2*2*r=4*π*r^3我们还需要计算单位胞中硬球的数目。
由于每个单位胞中有两个原子，所以单位胞中硬球的数目为2接下来，我们来计算六方最密堆积结构的密堆积比。
密堆积比定义为单位胞中硬球的体积与单位胞的总体积之比。
根据前面的计算，单位胞中硬球的体积为2*4*π*r^3=8*π*r^3，单位胞的总体积为4*π*r^3，所以密堆积比为(8*π*r^3)/(4*π*r^3)=2最后，我们可以将密堆积比与实际的密度进行比较。
密度定义为物体的质量与其体积之比。
假设每个硬球的质量为m，那么单位体积的质量为m/(4*π*r^3)。
由于单位体积的质量是密度的倒数，所以密度为(4*π*r^3)/m。
通过比较密堆积比和密度，我们可以得到以下关系：密堆积比=1/密度。
综上所述，计算六方最密堆积的步骤如下：1.确定单位胞的结构，即双原子结构。
2.计算单位胞的体积，即两个原子构成的立方体的体积。
3.计算单位胞中硬球的数目。
4.计算密堆积比，即单位胞中硬球的体积与单位胞的总体积之比。
高二化学六方堆积知识点
高二化学六方堆积知识点六方堆积（Closest Packed Structure, CPS）是固体中颇具代表性的结构，在高中化学中扮演着重要角色。
通过对六方堆积的深入学习，我们可以更好地理解物质的晶体结构和性质。
本文将从晶体结构的概念入手，逐步讲解六方堆积的形成、特点以及与其他晶体结构的对比。
晶体结构是指固体中离子、原子或分子有序排列的方式。
在晶体结构中，最紧密堆积结构是最简单也是最常见的一种。
六方堆积作为最密堆积结构的一种，可以通过两种不同类型的层来进行描述。
这两种层分别是ABAB型层和ABCABC型层，具体如下：1. ABAB型层在ABAB型层中，凡是位于奇数层的球与其相邻层的球不重叠，而位于偶数层的球则与其相邻层的球也不重叠。
这种层的堆积方式让球堆积得更加紧密，减小了各层之间的间隙。
六方堆积结构可以看作是ABAB型层堆积而成。
2. ABCABC型层在ABCABC型层中，每一层都存在着与其相邻层的球不重叠的情况。
这种层的堆积方式同样具有紧密性，且相对于ABAB型层，ABCABC型层中的间隙更小。
六方堆积结构可以看作是ABCABC型层堆积而成。
六方堆积结构具有以下几个特点：1. 最紧密堆积六方堆积是最密堆积结构，每一个球周围都与六个相邻球相接触，最大限度地减小了空隙。
2. 最稳定的晶体结构六方堆积是最稳定的晶体结构之一，因为通过最大限度地相接触，系统的总能量最低。
3. 单位胞六方堆积结构的单位胞是一个具有六个原子的棱柱体，对应于元素的密排序列。
4. 堆积方向六方堆积的堆积方向可以分为垂直于六方堆积层面和沿着六方堆积层面两个方向。
在垂直于层面方向上，每两个相邻层之间的距离是相等的。
与六方堆积相对的是立方堆积（Cubic Closest Packed Structure, CCP），它也是最密堆积结构的一种。
相比于六方堆积，立方堆积的顶层和底层相同，层间距更大。
六方堆积和立方堆积是晶体结构中最常见的两种堆积方式。
球的密堆积和
金属原子堆积在一起，形成金属晶体。金属原 子最外层价电子脱离核的束缚，在晶体中自由运动， 形成“自由电子”，留下的金属正离子都是满壳层电 子结构，电子云呈球状分布，所以在金属结构模型 中，人们把金属正离子近似为等径圆球。
一．等径球密堆积
等径圆球平铺成最密的一层只有一种形式， 即每个球都和六个球相切；
三、金属单质结构
金属元素中具有面心立方，密集六方和体心立 方三种典型结构的金属占了绝大多数。许多金属中 存在多种结构转变现象，这说明三种结构之间能量 差异不大。 碱金属一般具有体心立方结构（A2），但在低 温时可转变为密堆六方。碱土金属大多是密堆六方 结构（A3）。过渡金属d壳层电子半满以上的，一 般是面心立方（A1），d壳层未半满的，大多是体 心立方结构（A2）。
4r = 3a, a = V晶胞 = a =
3
4 3
r
64 3 3
r3
4 3 8 3 体心立方晶胞含2个球 V球 = 2 × πr = πr 3 3 V球 8πr 3 / 3 = = 68.02% 3 空间占有率 V晶胞 16r / 3 3
2.最密堆积中的空隙(A1,A3)
密置双层 球数:八面体空隙数:四面体空隙数 = 2N:1N:2N =2:1:2 密置3层 球数:八面体空隙数:四面体空隙数 =3N:2N:4N= 3:2:4 密置4层 球数:八面体空隙数:四面体空隙数 =4N:3N:6N= 4:3:6 …. 密置n层 球数:八面体空隙数:四面体空隙数 =nN:(n-1)N:(2nN-2)= 1:1:2
（2）六方最密堆积 A3 ：
按照ABABAB……最密堆积，重复周期为2层，按垂 直方向可取出六方晶胞，简称为 hcp（Hexagoal Closet packing）---A3。
1.4密堆积、配位数
密堆积、 §4 密堆积、配位数
1.配位数 1.配位数 一个粒子周围最近邻的粒子数称为配位数。 一个粒子周围最近邻的粒子数称为配位数。 最近邻的粒子数称为配位数 它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密， 它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密， 配位数越大，结合能越低，晶体结构越稳定。 配位数越大，结合能越低，晶体结构越稳定。 2.密堆积 2.密堆积 如果晶体由完全相同的一种粒子组成， 如果晶体由完全相同的一种粒子组成，而粒子被看作小圆 球，则这些全同的小圆球最紧密的堆积称为密堆积。 则这些全同的小圆球最紧密的堆积称为密堆积。 密堆积 密堆积特点：结合能低，晶体结构稳定；配位数最大为 。 密堆积特点：结合能低，晶体结构稳定；配位数最大为12。
3
2 π = 6
典型的晶体结构 结构 晶胞中的 原子个数 配位数 最近邻距离
fcc
bcc
CsCl
4 2
Cs+ 1 Cl- 1
12
2a 2 3a 2 3a 2
8
8
典型的晶体结构 结构 晶胞中的 原子个数 配位数 最近邻距离
金刚石 ZnS
8
4
3a 4
NaCl
Na+ 4
6
Cl- 4
a 2
六角密积是复式晶格， 六角密积是复式晶格，其布拉维晶格是简单六角晶格。 基元由两个原子组成，一个位于( 基元由两个原子组成，一个位于(000)，另一个原子位 ) 2 1 1 2 1 1 即: r = a + b + c 于 ， 3 3 2 3 3 2
不等径球最密堆积计算
不等径球最密堆积计算不等径球最密堆积是一种常见的几何问题，指的是将不等径的球体以最紧密的方式堆积在一起。
在这种堆积方式下，球体之间没有空隙，形成了一个紧密的结构。
本文将介绍不等径球最密堆积的计算方法和相关应用。
不等径球最密堆积的计算方法有多种，其中最常见的是通过计算球体之间的最短距离来确定最紧密的堆积方式。
这种方法可以分为两个步骤：首先确定球体的堆积顺序，然后计算每个球体的位置。
在确定堆积顺序时，通常会选择最大的球体作为第一个放置的球体，然后依次放置较小的球体。
在计算位置时，需要考虑球体之间的最短距离，确保没有空隙产生。
不等径球最密堆积的计算方法可以通过计算机模拟来实现。
通过编写相应的算法，可以模拟球体之间的相互作用，计算出最紧密的堆积方式。
这种方法可以避免人工计算的繁琐和可能的错误，提高计算的准确性和效率。
不等径球最密堆积在工程和科学研究中有着广泛的应用。
在工程领域，不等径球最密堆积可以用于设计颗粒材料的堆积方式。
例如，在建筑领域，通过不等径球最密堆积可以确定砂土颗粒的最佳堆积方式，以提高土壤的稳定性和承载能力。
在制药和化工领域，不等径球最密堆积可以用于设计颗粒的包覆方式，以实现药物的缓释和保护。
在科学研究中，不等径球最密堆积可以用于研究颗粒的堆积行为和力学特性。
通过模拟和实验，可以探究不等径球最密堆积的形成机制和力学性质。
这对于了解颗粒材料的力学行为，以及开发新的材料具有重要意义。
不等径球最密堆积的计算方法还可以拓展到其他几何问题的研究中。
例如，可以通过不等径球最密堆积的计算方法来研究球体的包装问题，即如何将一组球体放置在一个有限的空间中，使得空间利用率最大化。
这种问题在物流和仓储领域有着重要的应用，可以提高货物的装载效率和存储密度。
不等径球最密堆积是一种常见的几何问题，通过计算球体之间的最短距离来确定最紧密的堆积方式。
这种计算方法可以通过计算机模拟来实现，并在工程和科学研究中有着广泛的应用。
《基础化学》密堆积结构
• 金属键无方向性，每个原子的电子分布呈球形，自由 电子胶合作用，使圆球密堆积，单质金属原子的半径 相等。
• 一维密置列 直线点阵参数：a=2R
等径圆球堆积
二维密置层
•
密堆积层
• 配位数：
6
• 点阵型式： 六方单位
• 法线方向对称性： 6
• 面积利用率：
图2：等径圆球的密置层
球的面积 100 %
A4 空间利用率的计算
8r 3a 8r a
3
V atoms 4 r 3 8 32 r 3
3
3
V cell a 3 ( 8 r ) 3 512 r 3
3
33
Po V atoms
3 34 .01 %
V cell
16
小结: 几种典型的金属单质晶体结构
A1型堆积中的密置层与晶胞的体对角线垂直，其晶面 指标为（111）。晶胞中球的配位数为12，球的半径r与晶胞 参数a的关系为 4 r 2 a
a
(c) 配位情况
（d）晶胞参数与圆球半径的关系
A1 空间利用率的计算
4r
2a 4r a
2 2r
2
V
4 r 3 4 16 r 3
atoms
3
V atoms 4 r 3 2 8 r 3
3
3
V cell a 3 ( 4 r ) 3 64 r 3
3
33
Po V atoms V cell
3
68 .02 % 8
A4 金刚石型结构
A4中原子以四面体键相连. 晶胞中虽然都是同种原子， 但所处的环境不同(球棍图中用两色颜色来区分). 一个浅 蓝色球与一个深蓝色球共同构成一个结构基元.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2）六方最密堆积 A3 ：
按照ABABAB……最密堆积，重复周期为2层，按垂 直方向可取出六方晶胞，简称为 hcp（Hexagoal Closet packing）---A3。
Ａ3型堆积可抽出六方晶胞，晶胞中心两个球的分数坐标 为（0，0，0，）、（2/3、1/3、1/2），密置层的晶面坐标为 （001）。
a
4r
V晶胞 = a 3 = (2 2r ) 3 = 16 2r 3 4 3 πr 3 4 3 16 3 V球 = 4 × πr = πr 3 3 V球 16πr 3 / 3 = = 74.05% 3 V晶胞 16 2r
立方最密堆积虽晶胞大小不同，每个晶胞中含球数不 同。但计算得到空间占有率相同。
体心立方堆积（bcp）: 体对角线长为 晶胞体积
正八面体空隙
正四面体空隙
第二种放法，将第三层球放在第一层未被覆 盖的空隙上，形成C层，以后堆积按 ABCABC……重复下去，这种堆积称为立方最 密堆积。 这两种堆积，每个球在同一层与6个球相切， 上下层各与3个球接触，配位数均为12。
密置三层
（1）立方最密堆积 A1 ：
按ABCABC……最密堆积，重复周期为3层，若将某 一平面层取为晶胞的（111）面，则可以从ABCABC堆积 中取出立方面心晶胞，简称ccp（Cubic Closest packing）--A1。
（4）金刚石堆积 A4 ：
二. 密堆与空隙
1.空间占有率
等径球两种最密堆积具有相同的堆积密度，晶胞中圆 球体积与晶胞体积之比称空间占有率，六方最密堆积 （hcp）与立方最密堆积（ccp）空间占有率均为74.05％。
立方最密堆积（ccp）: 设圆半径为r，晶胞棱长为a 晶胞面对角线长 4r = 2a, a = 2 2r 晶胞体积 每个球体积为 4个球体积 空间占有率
密置单层Biblioteka 第二层球堆上去，为了保持最密堆积，应放在 第一层的空隙上。每个球周围有6个空隙，只可能 有3个空隙被第二层球占用；
密置双层
正八面体空隙(a) 和正四面体空隙(b)
第三层球有2种放法： 第一种是每个球正对第一层：若第一层为A， 第二层为B，以后的堆积按ABAB……重复下去， 这样形成的堆积称六方最密堆积。
a
六 方 晶 胞
1 b 3
b
2 a 3
六方晶胞中的圆球位置
（3）立方体心堆积 A2 ：
有些金属单质采取体心立方密堆形式。采用这种堆积 形式，每个金属原子最近邻有8个金属原子，次近邻有6个 金属原子，不是最密堆积。这种现象说明金属正离子并不 是完全象个圆球，在成键过程中，原子会发生形变，圆球 模型又是一种近似。体心立方密堆积可简写为bcp（Body Cubic Packing），符号记为A2。
三、金属单质结构
金属元素中具有面心立方，密集六方和体心立 方三种典型结构的金属占了绝大多数。许多金属中 存在多种结构转变现象，这说明三种结构之间能量 差异不大。 碱金属一般具有体心立方结构（A2），但在低 温时可转变为密堆六方。碱土金属大多是密堆六方 结构（A3）。过渡金属d壳层电子半满以上的，一 般是面心立方（A1），d壳层未半满的，大多是体 心立方结构（A2）。
4r = 3a, a = V晶胞 = a =
3
4 3
r
64 3 3
r3
4 3 8 3 体心立方晶胞含2个球 V球 = 2 × πr = πr 3 3 V球 8πr 3 / 3 = = 68.02% 3 空间占有率 V晶胞 16r / 3 3
2.最密堆积中的空隙(A1,A3)
密置双层 球数:八面体空隙数:四面体空隙数 = 2N:1N:2N =2:1:2 密置3层 球数:八面体空隙数:四面体空隙数 =3N:2N:4N= 3:2:4 密置4层 球数:八面体空隙数:四面体空隙数 =4N:3N:6N= 4:3:6 …. 密置n层 球数:八面体空隙数:四面体空隙数 =nN:(n-1)N:(2nN-2)= 1:1:2
金属的晶体构型（无色为复杂构型或无晶体结构）
第九章作业
7， 8， 9， 10， 11， 16， 17，19
9-2 球的密堆积和 金属单质的结构
金属原子堆积在一起，形成金属晶体。金属原 子最外层价电子脱离核的束缚，在晶体中自由运动， 形成“自由电子”，留下的金属正离子都是满壳层电 子结构，电子云呈球状分布，所以在金属结构模型 中，人们把金属正离子近似为等径圆球。
一．等径球密堆积
等径圆球平铺成最密的一层只有一种形式， 即每个球都和六个球相切；