第1课时建立一元二次方程模型导学案

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2022年人教版《一元二次方程(导学案)》精品学案

第二十一章一元二次方程——一元二次方程的相关概念一、新课导入1.导入课题：情景：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高?问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系）问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段AB表示雕像的高度，雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题）问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系式BC2=2AC）问题4：设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.（板书课题）2.学习目标：（1）会设未知数，列一元二次方程.(2)了解一元二次方程及其根的概念.（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.3.学习重、难点：重点：一元二次方程的一般形式及相关概念.难点：寻找等量关系.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第1页到第2页的问题1、问题2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方程.（4）自学参考提纲：①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x cm，则盒底的宽为(50-2x) cm，盒底的长为(100-2x) cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到.先去括号5000-100x-200x+4x2=3600移项合并同类项4x2-300x+1400=0系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场.设邀请x支队参赛，则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场.整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？本题的等量关系是什么？你列出的方程是x(x-1)=28.你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到.去括号x2-12x=28系数化为1(两边同乘以2) x2-x=562.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程.②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化：（1）总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据.（2）练习：根据下列问题列方程①一个圆的面积是2πｍ2，求半径.πr2=2π②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长的直角边的长.1x(x-3)=92③4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长x. 4x2=25④一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. x(x-2)=100⑤把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.x=(1-x)21.自学指导：（1）自学内容：教材第3页的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：观察方程①②③，从方程所含的未知数的个数及其次数等方面找出它们共同的特点.（4）自学参考提纲：①结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.②一元二次方程的一般形式是a x2+b x+c=0(a≠0)，为什么要规定a≠0？因为a=0时，未知数的最高次数小于2.③同桌之间相互说说方程①②③的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项各是什么.方程①x2+2x-4=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：2x 一次项系数：2常数项：-4方程②x2-75x+350=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-75x 一次项系数：-75 常数项：350方程③x2-x=56 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-x 一次项系数：-1常数项：-56④举例说明什么是一元二次方程的根.⑤自学例题，说说把一元二次方程化为一般形式，要经过哪些变形？去括号，移项，合并同类项.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时，是否注意了符号.②差异指导：提醒学生一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号.（2）生助生：生生互动交流、订正错误.4.强化:(1)交流总结：确定一元二次方程各项的系数时，若方程不是一般形式，要先经过去括号、移项、合并同类项等步骤把它化成一般形式，通常习惯把二次项系数化为正数，且各项系数均为整数且互质，在指出各项系数时，一定要带上各项前面的符号.(2)练习：①将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：5x2-1=4x；4x2=81；解：原式化为5x2-4x-1=0解：原式化为4x2-81=0二次项系数：5一次项系数：-4常数项：-1二次项系数：4一次项系数：0常数项：-81 4x（x+2）=25；(3x-2)(x+1)=8x-3.解：原式化为4x2+8x-25=0解：原式化为3x2-7x+1=0二次项系数：4一次项系数：8常数项：-25二次项系数：3一次项系数：-7常数项：1②若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≥0且m≠1.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有什么困惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生参与学习的情况，回答问题，小组互动情况以及存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:(1)注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.(2)教师创设情境，给出实例，学生积极主动探究，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.(3)增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.(4)对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（C）A. 3，5B. 3，0C. 3，-5D. 5，02.（10分）下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3， 4.解：－4，33.（20分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）3x2+1=6x；（2）4x2=81－5x；解：原式化为3x2-6x+1=0 解：原式化为4x2+5x-81=0二次项系数：3 二次项系数：4一次项系数：-6 一次项系数：5常数项：1 常数项：-81（3）x(x+5)=5x－10; （4）(3x－2)(x+1)=x(2x－1).解：原式化为x2+10=0 解：原式化为x2+2x-2=0二次项系数：1 二次项系数：1一次项系数：0 一次项系数：2常数项：10 常数项：-24.（30分）根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）一个长方形的长比宽多1cm,面积是132cm2,长方形的长和宽各是多少？解：设长方形的长为x cm，则宽为(x-1)cm，根据题意，得x(x-1)=132，整理，得x2-x-132=0.2的平方的长方形?解：设长方形的长为xx)m.根据题意，得xx)=0.06,整理，得50x2-25x+3=0.（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得x(x-1)=10整理，得x2-x-20=0二、综合应用（20分）5.（20分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，则x满足的方程是（B）A. x2+130x-1400=0B. x2+65x-350=0C. x2-130x-1400=0D. x2-65x-350=0三、拓展延伸（10分）6.（10分）如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另一个根.解：将2代入原方程中,得22-c=0，得c=4.将c=4代入原方程，得x2x=±2.即方程的另一个根为-2.角的平分线的性质（一）教学目标（一）教学知识点角平分线的画法、角平分线的性质1．（二）能力训练要求1．掌握角平分线的性质1 2．会用尺规作一个已知角的平分线．（三）情感与价值观要求在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．教学重点利用尺规作已知角的平分线．角平分线的性质1．教学难点角的平分线的性质1教学方法引导发现、讲练结合法．教具准备多媒体课件教学过程一．提出问题，创设情境问题：图中哪条线段的长可以表示点P 到直线l 的距离？导入新课，明确学习目标如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？二．合作交流探究新知探究1想一想：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？教师活动：播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC 的方法．学生活动：观看多媒体课件，讨论操作原理．[生1]要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ．[生2]∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．[生3]我们看看条件够不够．AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△ADC （SSS ）．所以∠CAD=∠CAB ．即射线AC 就是∠DAB 的平分线．[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．试一试：老师再提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．点拨：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）学生讨论结果总结：1．去掉“大于12MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．探究2：做一做1[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对． [师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．做一做2角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．操作：1．折出如图所示的折痕PD、PE．2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达明确概念的目的．[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．[生甲]噢，对，我知道了．[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．教师提出问题：你能叙述所画图形的性质吗？生回答后，教师进一步引导:观察操作得到的结论有时并不可靠，你能否用推理的方法验证你的结论呢？证一证：引导学生证明角平分线的性质 1，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明（一生板演）说一说: 引导学生结合图形从文字和符号的角度分别叙述问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：（出示）能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．学生通过讨论作出下列概括：∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．三、用一用:1、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．此例放到第二课时讲求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．巩固所学及时点拨四．丰收乐园学生充分交流、各抒己见教后反思：本节知识的应用主要存在以下问题：1、对距离把握不到位，点到直线的垂线段长才叫距离2、不会直接使用角平分线的性质，而是使用全等将性质再证一3、采用角平分线性质解题强调三个条件。

一元二次方程(导学案)

21.1一元二次方程(1)学习目标：1.理解一元二次方程的概念，根据一元二次方程的一般式，确定各项系数;2.灵活应用一元二次方程的概念解决有关问题;3.理解一元二次方程的解的概念，并能解决相关问题 .学习重点：一元二次方程的相关概念及应用．学习难点：一元二次方程的相关概念及应用．【回顾旧知】问题：什么是一元一次方程？练习：1.下列方程是一元一次方程的有 .(填序号)(1)123-=+x x ； (2) x y x 25-=+； (3)0542=--x x ； (4)123=+x ； (5)()为常数m mx 02=+； (6)322=+y x . 2.若()031=++m x m 是一元一次方程,则m= .【探究新知】一．一元二次方程的定义和一般形式定义： . 一般形式： .【注】：例1：判断下列方程是不是一元二次方程，如果不是，请说明理由.（1）12-=x ；（2）01=+xy ；（3）3212=+x x ；（4）()1232-=+x x x x ；（5）()21x x x =+；（6）()为常数m x mx 012=++.【注意】： .练习：1.若关于x 的方程2232x x mx =+是一元二次方程，则m .2.若关于x 的方程()04222=-+--x x m m 是一元二次方程，则m = .例2：把方程()()12323=-+y y 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.练习: 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项、一次项和常数项.（1）()0122=--x x ；（2）()()()1313322-+=+x x x变式训练：已知一元二次方程()()01142=++-+c x b x 化成一般形式为02342=++x x ，若a,b,c 是直角三角形的三边长，试求a 的值.二．一元二次方程的解（根）定义: . 例3: 若关于x 的一元二次方程()045222=-+++m x x m 有一个根为0=x ，求m 的值.练习：1.方程01242=-+x x 的根为 ( )A. -2B. 2或 -6C. 6D. -2或62.若()0≠=c c x 是关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的根，则=+b c . 例4：若m 是方程012=-+x x 的根，(1)=--m m 222 ;(2)=-m m 1 ; (3)求2017223++m m 的值.练习：已知a 是方程0120182=+-x x 的一个根，求12018201722++-a a a 的值.【总结归纳】本节课主要学习了哪些内容？你有什么收获？还有哪些困惑？【当堂检测】1．已知方程：①;0322=-x ②;1112=-x ③;0131212=+-y y ④;022=++c y ay ⑤;5)3)(1(2+=-+x x x ⑥.02=-x x 其中是一元二次方程的有（只需填序号）．2．若方程2243x x mx =-+是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 .3．方程x x 212=-化成一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为；4．已知关于x 的方程01322=+-kx x 有一个根为2，则k 的值是．5．若a 是方程0152=+-x x 的一个根，求221aa +的值.。

一元二次方程导学案

一元二次方程1、一元二次方程的概念学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。

2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

重点：由实际问题列出一元二次方程和理解一元二次方程的概念。

难点：由实际问题列出一元二次方程。

准确认识一元二次方程的二次项系数以及一次项系数还有常数项。

导学流程：一、自学课本导图，走进一元二次方程分析：现设雕像下部高x 米，则可列方程去括号得 ①你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？二、探究新知1、自学课本25页问题1、问题2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题：2、一元二次方程的一般形式： ,其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。

三、自主探究：自主学习P25-26页例题，完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。

（1）8142=x （2）)2(5)1(3+=-x x x 四、【巩固练习】教材第27页练习五、归纳小结1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程中用了哪些数学方法？3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？六、作业（A ）1、判断下列方程是否是一元二次方程; （1）0233122=--x x （）（2）0522=+-y x ( ) (3) 02=++c bx ax （） (4)07142=+-xx ( )2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x 2－x =2；（2）7x －3=2x 2; （3）(2x －1)－3x (x －2)=0 （4）2x (x －1)=3(x ＋5)－4. 3、判断下列方程后面所给出的数，哪些是方程的解；（1）)()(1412+=+x x x ±1 ±2；（2）0822=-+x x ±2， ±4（B ）1、把方程p q nx mx nx mx -=++-22()0≠+n m 化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。

一元二次方程的运用导学案(第一课时）

一元二次方程的运用（一）设计人: 李华平授课班级: 九（13）班课型：新授审核人：【课标要求】1、能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。

2、能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。

【学习目标】1．经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤。

2．通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。

【重点】掌握运用方程解决实际问题的方法。

【难点】构建数学模型解决实际问题。

课前预习纲要请同学们回顾七年级列一元一次方程解决实际问题的步骤，想一想，与同桌共同完成下列各题：1．一个三位数，百位上是a，十位上是b，个位上是c，则这个三位数是（）．A．abc B．a+b+c C．100a+10b+c D．cba2．一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，•把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．设原来这个两位数的个位数字为x，则十位字为：。

；则列方程得：。

3、用22cm长的铁丝，折成一个面积为32cm2的矩形。

求这个矩形的长与宽。

设这个矩形的长为xcm，则宽为。

根据题意得方程：。

4、如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？若设每条道路的宽度为课堂学习探究纲要一、创设情境导入新课（1分钟）问题导入：1、填空：56=5×+ ；246=2×+4×+ ；2、若一个两位数，个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数为：。

二、明确学习目标（略30秒）三、预习检测：预习纲要四、自主探究合作释疑【自主学习】：请同学们结合课本31页，图2-2梯子下滑的问题所列的方程，选择适合你的解法求出梯子下滑的距离。

第二十二章一元二次方程导学案

第二十二章一元二次方程22.1一元二次方程第1课时一元二次方程的概念学习目标：1、正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，能将一元二次方程化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。

2、经历抽象出一元二次方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效工具。

3、培养分析问题和解决问题的能力，提高应用意识。

重点：一元二次方程的概念和一般形式难点：正确理解和掌握一般形式中的a ≠0 ，从实际问题中抽象出一元二次方程. 课前预习1：1、你还记得什么叫方程？什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？2、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗?3、一元二次方程的概念:方程的两边都是整式，只含有未知数（一元），并且未知数的是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

4、一元二次方程必须同时满足的三个条件: (1) (2) (3) 5、一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。

6、下列方程中是一元二次方程的有：_________(填序号)①（x-1）(2x+1)=3 ②22=+x y ③322=-x ④21=+aa7、一元二次方程5232+=x x 的一般式为_________________，其中二次项系数为_____，一次项系数为________，常数项为________。

8、若关于X 的方程0232=+-x ax是一元二次方程，则a 的取值范围___________。

此内容为课前预习导学提供学生课前展示，不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，.为每个学生都创造了数学活动中获得活动经验的机会。

课前预习2：一、复习导入:我们已经学习过的方程有一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程，请你分别举一个例子。

新人教版九年级数学上册：21章一元二次方程导学案

x新人教版九年级数学上册：21．1 一元二次方程（1）导学案学习内容：学习目标：了解一元二次方程的概念；一般式ax 2+bx+c=0（a ≠0）及其相关的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．学习重点：一元二次方程的概念及其一般形式，并用这些概念解决问题．学习难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．学习过程：（阅读教材第2 至3页，并完成预习内容。

）问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程_____________________________整理得_____________________________ ①问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。

如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程 _____________________________整理得_____________________________ ②问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。

根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为___________设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。

列方程____________________________化简整理得 ____________________________ ③请口答下面问题：（1）方程①②③中未知数的个数各是多少？___________ （2）它们最高次数分别是几次？___________方程①②③的共同特点是：这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____的方程.这样的方程叫做一元二次方程小结：一元二次方程的一般形式:____________________________ 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是____________，_____是二次项系数；bx 是__________,_____是一次项系数；_____是常数项。

新人教版九年级数学上册《21.1建立一元二次方程模型》导学案

新人教版九年级数学上册《21.1建立一元二次方程模型》导学案学习目标：1.理解一元二次方程的概念;2.掌握一元二次方程的一般形式，能分清一元二次方程的二次项及系数，一次项及系数，常数项。

学习重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。

学习难点：对一元二次方程一般形式的理解及其各项系数的确定。

一、温故互查:1、什么是一元一次方程？一元一次方程一般形式是什么？2、什么是一元一次方程解？二、设问导读：阅读下列问题：（1）某小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？（2）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。

（3）一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？（4）一个数比另一个数大3，且这两个数之积为10，求这两个数。

⑴x2=4 ⑵3x+2=5x+3⑶x32-x 1 ⑷ 3x 2+9x=3（x+1）(x-1) 2将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数和常数项。

3x(x-1)=5(x+2) （x+2）（x+3）=8四.巩固训练：1.把下列方程写成一般形式，指出其二次项系数，一次项系数和常数项。

① x 2+5x=6 ② 3x-4=x 2③（10-2x ）（6-2x ）=322.若一元二次方程2x 2+（k+8）x-（2k-3）=0的二次项系数、一次项系数，常数项之和为5，求k 的值。

应用一元二次方程第一课时导学案

丹东市第二十四中学 2.6 应用一元二次方程第一课时主备：曹玉辉I 副备：李春贺孙芬审核：2014年8月26日一、学习准备：列方程解应用题的步骤？二、学习目标：1.会列一元二次方程解相关的应用题，并能检查所得的结果是否正确、合理2.通过列一元二次方程解相关的应用题，培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生心身边生活，勇于思考、勇于探索的实践能力，进一步提高学生列方程解决问题的能力三、自学提示：1、自主学习：教师出示教材中的问题1，由学生尝试解答：x（x+10）=900；x2+10x-900=0；x1，x2=-5-（交流讨论：这两个根都符合题意吗，为什么？）这两个都是所列方程的解，但x2为负根应舍去，所以符合题意的解是x1=-5+•25.4，x+10≈35.4，因此绿地的宽和长应分别为25.4米和35.4米．2、合作探究用22cm长的铁丝，折成一个面积为30cm2的矩形，求这个矩形的长及宽。

（学生分析交流）根据题意可知，所折成的矩形周长为22cm，由矩形的对边相等，可得长+宽=22/2cm=11cm，若设这个矩形长为xcm，则宽为(22/2-x)cm，根据相等关系，长宽的积=长方形的面积，列出方程。

（小组展示各组的解答过程）解：设这个矩形的长为xcm,则宽为(22/2-x)cm，根据题意，得：x(22/2-x)=30整理得x2-11x+30=0，解得x1=5,x2=6，检验，由x1=5得，22/2-5=6与题设不符，舍去；由x2=6,得22/2-x=5。

答：这个矩形的长是6cm，宽是5cm。

四、学习小结：五、夯实基础：1、以墙为一边，再用长为13m的铁丝为另外三边，围成面积为20m2的长方形．已知长大于宽，则长方形的长、宽分别是（）A．5m、4m或9m、2m B．9m、2mC．10m、1.5m D．8m、2.5m或5m、4m2、若等腰直角三角形的面积为8，则斜边长为（）3、两个正方形的边长之和为25dm，面积之和为325dm2，•设一个小正方形的边长为x，则关于x的一元二次方程是( )大正方形的边长为（）六、能力提升：1.用16cm长的铁丝弯成一个矩形，用18cm•长的铁丝弯成一个有一条边长为5cm的等腰三角形，如果矩形的面积与等腰三角形的面积相等，求矩形的边长．2.为了培养孩子从小热爱动物的良好品德，学校决定一边靠校园20m的院墙，•另外三边用55m长的篱笆，围起一块面积为300m2的矩形场地，•组织生物小组学生喂养鸟、兔子等小动物．问这个场地的各边长是多少？布置作业：【评价反思】。

新人教版一元二次方程导学案

21.1一元二次方程（第1课时）一、学习目标1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。

二、学习重点、难点重点：建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。

难点：在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项。

三、学习过程（一）知识准备：（1) 多项式3x 2y-2x-1是次项式,其中最高次项是,二次项系数为,一次项系数为,常数项为。

（2）叫方程,我们学过的方程类型有。

（3）解下列方程或方程组： ①1)1(2-=+x x ②⎩⎨⎧=+=-42y x y x ③211=-x（二）新课学习：1.自学教材P25——27，回答以下问题。

（1）一元二次方程的定义：等号两边都是，只含有个求知数（一元），并且求知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程。

（2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： (a ≠0)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式。

其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项。

【注意】①方程ax 2+bx +c =0只有当a ≠0时才叫一元二次方程，如果a =0，b ≠0时就是方程了。

所以在一般形式中，必须包含a ≠0这个条件。

②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号。

2．新课应用: 1、下列方程是一元二次方程的是有：（1），（2）(x+1)(x-1)=0，（3），（4）01122=-+xx ，（5），（6）05322=-+y x2、参照教材P 26例题，解答：①一元二次方程15242+-=x x x 化为一般形式是：；其二次项是：；一次项是：；常数项是：.②把方程()()11212=+-y y 化为一般形式为：；其二次项系数是；一次项系数是；常数项是. 3、若033)3(2=++--nx xm n 是关于x 的一元二次方程，则（）.A m ≠0，n=3B m ≠3，n=4C m ≠0，n=4D m ≠3，n ≠0 4、已知：关于x 的方程()()021122=-++-x k x k .（1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程. （2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程.四、达标过关测试1.下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（）.A.()()12132+=+x x B.02112=-+x x C.02=++c bx ax D.1222-=+x x x2．一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为：，二次项系数为： ___，一次项系数为： ____，常数项为： _____.3．关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ,当m ________时为一元一次方程；当m___________时为一元二次方程.4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为．5．如图所示，在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（）A ．213014000x x +-= B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --= D ．0350652=+-x x21.1一元二次方程（第2课时）---- 一元二次方程的根一、学习目标1、会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。

九年级数学上册第1课时一元二次方程导学案(1) 新人教版

第1课时一元二次方程（1）教材内容1．本单元教学的主要内容．一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题． 3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需15课时，具体分配如下：22．1 一元二次方程2课时22．2 降次──解一元二次方程8课时22．3 实际问题与一元二次方程3课时《一元二次方程》小结与复习2课时、能够学习难点一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排判断下其中的二次项系数、一次项系数及常数项．x（四、自主总。

新人教版九年级数学上册第21章第1课时一元二次方程导学案

新人教版九年级数学上册第1课时一元二次方程学案一、学习目标1．理解一元二次方程的概念；2．知道一元二次方程的一般形式，会把一个一元二次方程化为一般形式；3．会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项；4．理解一元二次方程根的概念．二、知识回顾1．多项式3x2y-2x-1是三次二项式，其中最高次项是3x2y ，二次项系数为0 ，一次项系数为-2 ，常数项是-1 ．2．含有未知数的等式叫方程，我们学过的方程类型有：一元一次方程、二元一次方程、分式方程等．三、新知讲解1．一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程．概念解读：（1）等号两边都是整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2．三个条件缺一不可.2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项．概念解读：（1）“a≠0”是一元二次方程一般形式的重要组成部分. 如果明确了ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件；（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，各项的系数包括它前面的符号．3．一元二次方程的根的概念使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.．概念解读：（1）一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解；（2）可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解．四、典例探究1．根据定义判断一个方程是否是一元二次方程【例1】（2015•浠水县校级模拟）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2+2x﹣y=3 B． C．（3x2﹣1）2﹣3=0 D．x2﹣8=x总结：一元二次方程必须满足四个条件：是整式方程；含有一个未知数；未知数的最高次数是2；二次项系数不为0.练1（2015•科左中旗校级一模）关于x的方程：（a﹣1）+x+a2﹣1=0，求当a= 时，方程是一元二次方程；当a= 时，方程是一元一次方程．2．把一元二次方程化成一般形式（写出其二次项系数、一次项系数和常数项）【例2】（2014秋•忠县校级期末）一元二次方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1的一般形式是；它的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．总结：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）（2）在一般形式中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数和常数项．练2将方程x(x-1)=5(x-2)化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数．练3（2014•东西湖区校级模拟）将一元二次方程4x2+5x=81化成一般式后，如果二次项系数是4，则一次项系数和常数项分别是（）A．5，81 B．5，﹣81 C．﹣5，81 D．5x，﹣813．根据一元二次方程的根求参数【例3】（2015•临淄区校级模拟）若0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，则m的值为（）A．1 B．0 C．1或2 D．2总结：使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解.可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解.已知一元二次方程的一个解，将这个解直接代入原方程，原方程仍然成立，由此可求解原方程中的字母参数.若二次项系数含有字母参数，求出的字母参数值要保证二次项系数不为0.这一步容易被忽略，谨记.练4（2014•绵阳模拟）若关于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2﹣1=0的一根是0，则a= ．练5（2015•绵阳）关于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣2= ．五、课后小测一、选择题1．（2015春•莒县期中）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．ax2+bx+c=0 B．x+y=2 C．x2+3y﹣5=0 D．x2﹣1=02．（2014•泗县校级模拟）方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2014秋•沈丘县校级期末）要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（）A．a≠0 B．a≠3C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠04．（2015•石河子校级模拟）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（）A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，25．（2015•石河子校级模拟）关于x的方程（3m2+1）x2+2mx﹣1=0的一个根是1，则m的值是（）A．0 B．﹣ C． D．0或，6．（2014•祁阳县校级模拟）已知x=3是关于方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，则关于y的方程y2﹣12=a的解是（）A． B．﹣C．± D．以上答案都不对7．（2014秋•南昌期末）关于x的方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一个根为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2二、填空题8．（2015•东西湖区校级模拟）已知（m﹣2）x2﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．9．（2014秋•西昌市校级期中）方程2x2﹣1=的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．10．（2015•厦门校级质检）若m是方程x2﹣2x=2的一个根，则2m2﹣4m+2010的值是．三、解答题11．把方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）5x2=3x；（2）（﹣1）x+x2﹣3=0；（3）（7x﹣1）2﹣3=0；（4）（﹣1）（+1）=0；（5）（6m﹣5）（2m+1）=m2．12．（2015春•亳州校级期中）已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，（1）求m的值；（2）求方程的解．13．（2015春•嵊州市校级月考）已知，下列关于x的一元二次方程（1）x2﹣1=0 （2）x2+x﹣2=0 （3）x2+2x﹣3=0 …（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0（1）求出方程（1）、方程（2）、方程（3）的根，并猜测方程（n）的根．（2）请指出上述几个方程的根有什么共同特点，写出一条即可．14．关于y的方程my2﹣ny﹣p=0（m≠0）中的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和为多少．典例探究答案：【例1】【解析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解：A、方程含有两个未知数，故选项错误；B、不是整式方程，故选项错误；C、含未知数的项的最高次数是4，故选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故选项正确．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．练1．【解析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义进行解答．解：依题意得，a2+1=2且a﹣1≠0，解得 a=﹣1．即当a=﹣1时，方程是一元二次方程．当a2+1=0或a﹣1=0即a=1时，方程是一元一次方程．故答案是：﹣1；1．点评：本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．【例2】【解析】将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．解：一元二次方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1的一般形式是5x2+8x﹣2=0；它的二次项系数是5，一次项系数是8，常数项是﹣2．故答案为：5x2+8x﹣2=0，5，8，﹣2点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在解题过程中容易忽视的地方．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c 是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．练2．【解析】将一元二次方程化为一般形式，主要包括几个步骤：去括号、移项、合并同类项．去括号，得x2-x=5x－10.移项、合并同类项，得x2-6x＋10=0．其中二次项系数是1，一次项系数为-6，常数项为10．练3．【解析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．解：一元二次方程4x2+5x=81化成一般式为4x2+5x﹣81=0，二次项系数，一次项系数，常数项分别为4，5，﹣81，故选：B．点评：本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【例3】【解析】把方程的一个根0直接代入方程即可求出m的值．解：∵0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，∴（m﹣1）×0+5×0+m2﹣3m+2=0，即m2﹣3m+2=0，解方程得：m1=1（舍去），m2=2，∴m=2，故选：D．点评：本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是直接把方程的一根代入方程，此题比较简单，易于掌握．练4．【解析】将一根0代入方程，再依据一元二次方程的二次项系数不为零，问题可求．解：∵一根是0，∴（a+1）×（0）2+4×0+a2﹣1=0∴a2﹣1=0，即a=±1；∵a+1≠0，∴a≠﹣1；∴a=1．练5．【解析】先根据一元二次方程的解的定义得到4n﹣2n2﹣2=0，两边除以2n得n+=2，再利用完全平方公式变形得到原式=（n+）2﹣2，然后利用整体代入的方法计算．解：把m=2代入nm2﹣n2m﹣2=0得4n﹣2n2﹣2=0，所以n+=2，所以原式=（n+）2﹣2=（2）2﹣2=26．故答案为：26．点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式的变形能力．课后小测答案：一、选择题1．【解析】根据一元二次方程的定义进行判断．解：A、当a=0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项错误；B、该方程中含有2个未知数，且未知数的最高次数是1，它属于二元一次方程，故本选项错误；C、该方程中含有2个未知数，且未知数的最高次数是2，它属于二元二次方程，故本选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确．故选：D．点评：本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．【解析】直接根据一元二次方程的定义可得到在所给的方程中x2﹣2x﹣5=0，x2=0是一元二次方程．解：方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程是x2﹣2x﹣5=0，x2=0．故选：B．点评：本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．3．【解析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a﹣3≠0，a≠3．故选：B．点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．4．【解析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．解：由方程x（x+2）=5（x﹣2），得x2﹣3x+10=0，∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；故选A．点评：本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．5．【解析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．解：把1代入方程得3m2+1+2m﹣1=0，解得m=0或，故选：D．点评：本题的关键是把x的值代入原方程，得到一个关于待定系数的一元二次方程，然后求解．6．【解析】由于x=3是关于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，根据方程解的含义，把x=3代入原方程，即可解出a的值，然后再解出关于y的方程的解．解：∵x=3是关于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，∴3×32+2a×3﹣3a=0，解得：a=﹣9，则关于y的方程是y2﹣12=﹣9，解得y=．故选：C．点评：本题考查一元二次方程解的含义，解题的关键是确定方程中待定系数的值．7．【解析】分别把x=1、﹣2、﹣2代入（k+2）x2﹣kx﹣2=0中，利用一元二次方程的解，当k为任意值时，则对应的x的值一定为方程的解．解：A、当x=1时，k+2﹣k﹣2=0，所以方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一个根为1，所以A选项正确；B、当x=﹣1时，k+2+k﹣2=0，所以当k=0时，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一个根为﹣1，所以B选项错误；C、当x=2时，4k+8﹣2k﹣2=0，所以当k=﹣3时，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一个根为2，所以C选项错误；D、当x=﹣2时，4k+8+2k﹣2=0，所以当k=﹣1时，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一个根为﹣2，所以D选项错误．故选A．点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．二、填空题8．【解析】根据一元二次方程的定义得到m﹣2≠0，然后解不等式即可．解：根据题意得m﹣2≠0，所以m≠2．故答案为：m≠2．点评：本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．9．【解析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解：方程2x2﹣1=化成一般形式是2x2﹣﹣1=0，二次项系数是2，一次项系数是﹣，常数项是﹣1．点评：要确定一次项系数和常数项，首先要把法方程化成一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号10．【解析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣2m=2，再变形2m2﹣4m+2010得到2（m2﹣m）+2010，然后利用整体代入的方法计算．解：根据题意得m2﹣2m=2，所以2m2﹣4m+2010=2（m2﹣m）+2010=2×2+2010=2014．故答案为2014．点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．三、解答题11．【解析】各项方程整理后，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．解：（1）方程整理得：5x2﹣3x=0，二次项系数为5，一次项系数为﹣3，常数项为0；（2）x2+（﹣1）x﹣3=0，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，常数项为﹣3；（3）方程整理得：49x2﹣14x﹣2=0，二次项系数为49，一次项为﹣14，常数项为﹣2；（4）方程整理得：x2﹣1=0，二次项系数为，一次项系数为0，常数项为﹣1；（5）方程整理得：11m2﹣4m﹣5=0，二次项系数为11，一次项系数为﹣4，常数项为﹣5．点评：此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．12．【解析】（1）首先利用关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0得出m2﹣3m+2=0，进而得出即可；（2）分别将m的值代入原式求出即可．解：（1）∵关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，∴m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2，∴m的值为1或2；（2）当m=2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得出：x2+5x=0x（x+5）=0，解得：x1=0，x2=﹣5．当m=1时，5x=0，解得x=0．点评：此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解一元二次方程是解题关键．13．【解析】（1）利用因式分解法分别求出方程（1）、方程（2）、方程（3）的根，根据以上3个方程的根，可猜测方程（n）的根；（2）观察即可得出上述几个方程都有一个公共根是1．解：（1）（1）x2﹣1=0，（x+1）（x﹣1）=0，x+1=0，或x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=1；（2）x2+x﹣2=0，（x+2）（x﹣1）=0，x+2=0，或x﹣1=0，解得x1=﹣2，x2=1；（3）x2+2x﹣3=0，（x+3）（x﹣1）=0，x+3=0，或x﹣1=0，解得x1=﹣3，x2=1；…猜测方程（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0的根为x1=﹣n，x2=1；（2）上述几个方程都有一个公共根是1．点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的解法．14．【解析】令y=1，即可确定出方程的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和．解：令y=1，得到m﹣n﹣p=0，则方程my2﹣ny﹣p=0（m≠0）中的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和为0．点评：此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．。

2022年初中数学精品导学案《第课时一元二次方程》导学案

第二章一元二次方程2.1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程学习目标：1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．【预习案】二、自学探究：理解一元二次方程的概念，并会把一元二次方程化为一般形式。

自学教材，答复：〔1〕如果设未铺地毯区域的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为m，宽为为m. 根据题意，可得方程〔2〕试再找出(10、11、12、13、14以外)其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：；如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为、、、，根据题意可得方程：〔3〕根据图2-2，由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m，如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙m，梯子顶端距地面的垂直距离为m，根据题意，可得方程：【探究案】探究点1：一元二次方程的概念1．一元二次方程的一般形式是〔〕〔1〕提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠0 就成了一元一次方程了)〔2〕方程中a x2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称各是什么？〔3〕强调：一元二次方程的一般形式中“＝〞的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“＝〞的右边必须整理成0．探究点2：一元二次方程解决生活中的应用根据以下问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：⑴4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;⑵一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；⑶把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x。

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第1课时1.1建立一元二次方程模型导学案
九年级上主备人：罗圭班级学生姓名时间：2013.9.1
教学目标：
1.理解一元二次方程的概念;
2.掌握一元二次方程的一般形式，能分清一元二次方程的二次项及系数，一次
项及系数，常数项。

教学重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。

教学难点：对一元二次方程一般形式的理解及其各项系数的确定。

学习过程
一练习反馈
（1）某小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？
（2）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。

（3）一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？
（4）一个数比另一个数大3，且这两个数之积为10，求这两个数。

：问题1.如何设出未知数列出方程？
问题2. 这四个方程是不是一元一次方程？为什么？回顾一元一次方程满足什么条件？
问题3.请你给出这四个方程的名字，这样的方程具有什么共同特点（即判断该方程的依据）？回答下面的问题：
1.一元一次方程的定义：
其一般形式是：
2.一元二次方程的定义：
3.一元二次方程的一般形式是
其中二次项是二次项系数是一次项是一次项系数是常数项是
二.自学讨论：p2-4
思考课本动脑筋中的两个问题，建立一元二次方程模型
1.问题一、设人行道的宽度为xm，则草坪的边长为依题意可列方程
2.问题二、设经过t秒小明和小亮相遇，问题中的等量关系是
依题意可列方程
以上两个方程化成一般形式分别是
三．交流提升
下列方程哪些是一元二次方程？说明理由。

⑴ x 2=4 ⑵ 3x+2=5x+3
⑶x
32-x 1 ⑷ 3x 2+9x=3（x+1）(x-1)
2将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数和常数项。

3x(x-1)=5(x+2) （x+2）（x+3）=8
3. 关于x 的方程（m-3）x 2+nx+m=0在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？
四.课堂小结：
（1）一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 是常数，且a ≠0．）
（2）判定是不是一元二次方程要看三点：
（1）只有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；（3）整式方程。

注意：
方程ax 2+bx+c=0不一定是一元二次方程，只有当a ≠0时才是一元二次方程。

五．抽测达标
1.把下列方程写成一般形式，指出其二次项系数，一次项系数和常数项。

① x 2+5x=6 ② 3x-4=x 2
③（10-2x ）（6-2x ）=32
2.若一元二次方程2x 2+（k+8）x-（2k-3）=0的二次项系数、一次项系数，常数项之和为5，求k 的值。

六．课后反思（我的收获及我的疑惑）。