椭圆和双曲线的离心率的求值与范围问题

椭圆和双曲线的离心率的求值及围求解问题

【重点知识温馨提示】

1.e ＝c a

＝

1－

b2a2(0

＝1＋

b2

a2

(e>1) 2.确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，c 的方程或不等式，进而得到关于e 的方程或不等式， 3.

【典例解析】

例1.(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△

ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )

A. 5 B ．2 C. 3 D. 2

例2.【2016高考新课标3文数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：

22

22

1(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则

C 的离心率为（ ）

（A ）

13

（B ）

12

（C ）

23

（D ）

3

4

例3 (2015·)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线

l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45

，则

椭圆E 的离心率的取值围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，

32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1

例4.(2014·)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C

相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．

【跟踪练习】

1. (2015·)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b

c

x 的对称点Q 在椭圆上，

则椭圆的离心率是________．

2. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2

n

2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，

若c 是a 、m 的等比中项，n 2

是2m 2

与c 2

的等差中项， 则椭圆的离心率是( ) A.

33 B.22 C.14 D.1

2

3.已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P

使

a sin ∠PF 1F 2＝c

sin ∠PF 2F 1

，则椭圆的离心率的取值围为______．

4.过双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条

渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →

，则此双曲线的离心率为( ) A. 2

B. 3 C ．2

D. 5

5.(2015·)过双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C

于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．

6.(2015·)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )

A ．对任意的a ，b ，e 1

B ．当a >b 时，e 1e 2

C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2

D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a

7、（2016年高考）已知双曲线E ：2

2x a

–22y b =1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，

AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______．

8（2015年高考）过双曲线C ：22

221x y a a

-=0,0a b >>（）

的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 .

9、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双

曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，

则该双曲线的离心率是（）

10、（东营市、潍坊市2016届高三高三三模）已知1F 、2F 为椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的

左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距长为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为A 、B ，若1ABF ∆为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）

A 1

B 1-

C ．

1

2

D ．

1

3

11、（市2016届高三上学期期末）已知抛物线2

y =-的焦点到双曲线

()

2222

10,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为5，则该双曲线的离心率为

A.

3

B.

3

D.

39

12、（莱芜市2016届高三上学期期末）已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左焦点是

(),0F c -，

离心率为e ，过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆222

x y c y +=在轴右侧交于点P ，若P 在抛物线2

2y cx =上，则2

e =

B.

1

2

1

13，（市2016届高三上学期期末）设点F 是抛物线()2

:20x py p τ=>的焦点，1F 是双曲

线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的右焦点，若线段1FF 的中点P 恰为抛物线τ与双曲线C 的

渐近线在第一象限的交点，则双曲线C 的离心率e 的值为

C.

98

1,4、（市2016高三3月模拟）已知点12,F F 为双曲线()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的左，

右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足21212,120PF F F F F P =∠=，则双曲线的离