频率域方法

系统开环传递函 数不包含积分环 节和微分环节
图5－20 系统开环幅相特性曲线
41
n
（2）当
G s
K i s 1
m
T s 1
i i 1
i 1 n
时，
系统开环传递函数 分子有一阶微分环 节，其开环幅相特 性曲线出现凹凸
图5－21 取m=1,n=3时 系统开环幅相特性曲线
第五章
频率域方法
1
第 5章
基本要求 5－1 频率特性
频域分析法
5－2 典型环节的频率特性 5－3 系统的开环频率特性 5－4 频率稳定判据 5－5 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系 5－6 开环频率特性与系统阶跃响应的关系
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2
基本要求
1. 正确理解频率特性的概念。
2. 熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性 曲线及对数频率特性曲线。
42
（3）当
K Gs s Ts 1
开环传递函数有 积分环节时，频 率趋于零时，幅 值趋于无穷大。
时，
图5－22 含有积分环节时 的开环幅相特性曲线
43
2.系统开环幅相的特点
① 当频率 ω → 0 时，其开环幅相特性完全由 比例环节和积分环节决定。 ② 当频率ω→∞ 时，若n>m，G(j ω)|=0 相角为(m-n)π/2。 ③ 若G(s) 中分子含有s因子环节，其G(jω) 曲线随 ω变化时发生弯曲。 ④ G(jω) 曲线与负实轴的交点，是一个关键 点。
46
开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与 相频特性均是已知的。将各环节的对数幅频与相频曲线 绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅频及相频。
47
例 5－ 2
G( s)
100( s 2) 1 1 1 10 (0.5s 1) s( s 1)(s 20) s s 1 0.05s 1
G( j ) G( s) s j 1 Tj 1
频率特性
G ( j ) G ( s) s j 1 Tj 1

1 (T ) 1
2
e
j tan1 (T )
10
三、频率特性的几种表示方法
1、幅频特性、相频特性、幅相特性
A( )e ， :0 A( ) ~ 为系统的幅频特性。 ( ) ~ 为系统的相频特性。
2 n
1.幅频特性、相频特性、幅相特性
A( )
2 n 2 ( n 2 ) 2 (2 n ) 2
1
2 1 2 n n 2 2
( ) t an1
2 n
1 G ( j ) e
j
2
相频特性是一常值
2
19
图5－6 积分环节的幅频、相频、幅相特性曲线
20
对数频率特性
图5－7
21
三、惯性环节（一阶系统）
传递函数 幅相特性
1 G(s) Ts 1
1 1 j tan1 T G( j ) e Tj 1 (T )2 1
3 i 1
1 2 3
3
A G j Gi ( j )
i 1
3
20lg Gi ( j ) 20lg Gi ( j )
i 1
40
1、开环幅相特性曲线
（1）当
K Gs 时， i 1 Ti s 1
对数相频特性:
( ) ~ (lg )
14
图5－4 对数坐标刻度图
15
注意
–纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的； 横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的 值，是不均匀的。 ——这种坐标系称为半对数坐标系。 –在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十 倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频 程的长度都是相等的。 –为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， 即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐 标分贝数的变化量。
22
图5－8 惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线
23
对数频率特性
L 20lg A 1 T 2 2 1
2 2
20lg T 1
G t an1 T
当 当
T 1,
L 0
T 1,
L 20lg T
3. 熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对 数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。
4. 熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅 频特性曲线求开环传递函数的方法。
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5. 熟练掌握乃奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据及其 它们的应用。
6. 熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。
16
5－2 典型环节的频率特性
一、比例环节（放大环节）
G ( j ) K K e
幅频特性 相频特性 对数幅相特性
j 0
A( ) K
( ) 0
L( ) 20 lg K
17
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图5－5 比例环节的频率特性曲线
18
二、积分环节
传递函数 幅相特性
1 G (s) s
G( s) s
j

2
图5－15
31
六、一阶微分环节
G( s) s 1
G ( j ) j 1 ( ) 1 e
2
j tan1
图5－16
32
七、二阶微分环节
s s G(s) 2 1 n n
一、奈奎斯特稳定判据
M 1 s Gs N1 s
M 2 s H s N 2 s
图5－17 反馈控制系统
50
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开环传递函数
闭环传递函数
M 1 s M 2 s Gs H s N1 s N 2 s
11
G( j ) G( j ) G( j ) j ( ) =
图5－2
RC网络的幅频特
性和相频特性
12
图5－3 RC网络 的幅相特性曲线
13
2。对数频率特性
• 对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包 括对数幅频和对数相频两条曲线
对数幅频特性：
L( ) 20lg A( ) ~ (lg )
1 n
2
27
谐振频率
m n 1 2
2
图5－11
谐振峰值
Am ( m ) 1 2 1 2
28
图5－12 振荡环节的幅相特性
图5－13 振荡环节的对数幅 频渐进特性
29
2.对数频率特性
30
五、微分环节
G( j ) j e
8
二、频率特性的定义
线性定常系统，在正弦信号作用下， 输出的稳态分量与输入的复数比，称为系 统的频率特性（即为幅相频率特性，简 称复相特性）。
频率特性表达式为
(s) |s j ( j) | ( j) | e
j ( j )
9
例子
以RC网络为例
• 其传递函数
1 G(s) Ts 1
2
2 2 n
33
图5－17 二阶微分环节的对数频率特性
( ) G ( j ) t an1
2 n
1 n
2
34
八、一阶不稳定环节
1 1 j ( tan1 (T )) G( j ) e Tj 1 (T )2 1
五个基本环节
1 2 3
10
1 s 1 s 1 1 0.05 s 1
4 5
(0.5s 1)
48
绘制开环系统的波特图
一般规则：
– 将写成典型环节之积； – 找出各环节的转角频率； – 画出各环节的渐近线； – 在转角频率处修正渐近线得各环节曲线； – 将各环节曲线相加即得波特图。
49
5－4 频率稳定判据
1 G(s) Ts 1
图5－18
35
非最小相位环节
• 定义：传递函数中有右极点、右零点的环节 （或系统），称为非最小相位环节（或系 统）。 • 由图5－18看出，一阶不稳定环节的幅频与 惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一 样。相位的绝对值大，故一阶不稳定环节又
称非最小相位环节。
36
九、延迟环节
延迟环节输入输出关系为 c t r t
C s s G s e Rs
A 1
G j
L 0
37
38
5－3 系统的开环频率特性
• 一、开环幅相特性曲线 • 设系统开环传递函数由若干典型环节串联
2
j j 2 G ( j ) 2 1 1 2 j 2 n n n n
A( ) G ( j ) 1 n
2 2
5
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输出
Ci B D C ( s) s j s j i 1 s si
n
拉氏反变换得 c(t )
C e
i 1 i
n
si t
( De Be
j t
jt
)
ct (t ) cs (t )
其中
Ar D (s) 2 ( s j ) s j 2 s j [ ( j ) ] Ar ( j ) 2 ( j ) Ar e 2j 2
系统开环对数幅频等于各环节的对数幅 频之和，相频等于各环节相频之和。
45
例5－1
系统开环传递函数
10 G( s) (0.1s 1)(s 1)
• 绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。
解：
10 1 1 G( s) 10 (0.1s 1)(s 1) 0.1s 1 s 1
6
同理
B
cs (t )
( j )
2
Ar e
j [ ( j ) ] 2

将B、D代入（5－5）则
( j )
2
( j ) Ar cos( t ( j ) ) 2 ( j) Ar sin(t ( j))
44
二、开环对数频率特性曲线的绘制
系统开环对数幅频与对数相频表达式为
L 20lg G( j ) 20lg Gi ( j ) 20lg Gi ( j )
i 1 i 1 4 4
1 2 3 4
G s G1 s G2 s G3 s
开环频率特性
j ( Gi ( j )) G j Gi ( j ) e i1 i 1
3
3
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系统开环幅频与相频分别为
L 20lg G ( j )
Ar (e
j [ t ( j ) ] 2

e
j [ t ( j ) ] 2

Ac sin(t )
（5－6）
7
• 式中
Ac ( j ) Ar
( j )
从式（5－6）看出，线性定常系统， 在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输 入同频率的正弦信号。
24
图5－9 惯性环节的对数频率特性曲线
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四、振荡环节（二阶系统）
传递函数
G( s ) 2 2 s 2 n s n
2 n
2 n
频率特性 G ( j ) 2 ( j ) 2 2 n j n


2 ( n 2 ) j 2 n
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7. 理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的定 性关系。
8. 理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的 概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与 比较。
4
5－ 1
频率特性
一、控制系统在正弦信号作用下的 稳态输出
输入信号： 其拉氏变换式
r (t ) Ar sint
A R( s) 2 2 s