幂的运算概念
七年级下册数学幂的次方计算题
数学幂的次方计算是初中数学中的重要内容之一，下面将以七年级下册数学幂的次方计算题为例，详细介绍这一知识点。
一、概念解释幂的次方计算是指求一个数的几次幂的运算。
其中，幂是由底数和指数组成的，底数表示需要进行运算的数，指数表示幂的次数。
在数学中，我们通常使用符号"^"表示幂的次方运算。
例如，a^b表示a的b次幂。
在这个表达式中，a是底数，b是指数。
例如，2^3表示2的3次幂，计算方式为：2^3=2×2×2=8幂的次方计算题通常给定底数和指数，要求我们求解最终的结果。
下面以一些例题来详细介绍幂的次方计算的方法和技巧。
二、例题解析例题1：计算3^4的值。
解析：根据幂的定义，3^4=3×3×3×3=81、因此，3^4的值为81例题2：计算2^5的值。
解析：根据幂的定义，2^5=2×2×2×2×2=32、因此，2^5的值为32例题3：计算10^2的值。
解析：根据幂的定义，10^2=10×10=100。
因此，10^2的值为100。
例题4：计算5^3的值。
解析：根据幂的定义，5^3=5×5×5=125、因此，5^3的值为125例题5：计算6^4的值。
解析：根据幂的定义，6^4=6×6×6×6=1296、因此，6^4的值为1296通过以上例题可以看出，计算一个数的幂的结果，只需要将底数重复相乘指数次即可。
三、技巧总结1.任何数的0次幂都等于1、例如，a^0=12.任何数的1次幂都等于它本身。
例如，a^1=a。
3.任何数的负数次幂等于该数的倒数的正数次幂。
即，a^(-b)=1/a^b。
4.相同底数的幂相乘时，指数相加。
即，a^m×a^n=a^(m+n)。
5.相同底数的幂相除时，指数相减。
即，a^m/a^n=a^(m-n)。
6.幂的乘方时，指数相乘。
幂和对数的联系和区别知识点
幂和对数的联系和区别知识点幂和对数是数学中经常被用到的概念，它们在数学和各个领域中都有广泛的应用。
幂和对数之间存在着密切的联系和明显的区别，下面将详细介绍它们的知识点。
一、幂的概念及特性幂是数学中的一个基本运算符号，用来表示某个数自乘若干次的结果。
其中，底数表示要进行幂运算的数，指数表示幂运算的次数。
幂的基本形式为aⁿ，读作“a的n次幂”或“a的n次方”。
幂的特性有以下几点：1. 相同底数的幂相乘，指数相加：aⁿ × aᵐ= aⁿᵐ2. 幂的幂，指数相乘：(aⁿ)ᵐ= aⁿᵐ3. 幂的倒数，指数取负：a⁻ⁿ = 1/aⁿ4. 幂的零次方等于1：a⁰ = 1 （其中a ≠ 0）5. 幂的一次方等于自身：a¹ = a二、对数的概念及特性对数是幂运算的逆运算，用来描述一个数是以另一个数为底的幂的指数。
对数的基本形式为logₐb，读作“以 a 为底 b 的对数”。
对数的特性有以下几点：1. 对数的底数必须大于0且不等于1。
2. 对数中的真数必须是正数。
3. 对数函数的定义域是正实数集，值域是实数集。
4. 对数函数是一个递增函数，即当 b₁ > b₂时，logₐb₁> logₐb₂。
5. 对数函数满足以下等式：logₐ(m×n) = logₐm + logₐn，logₐ(m/n) =logₐm - logₐn，logₐ(m^p) = p × logₐm。
三、幂与对数的联系幂与对数是数学中的基本运算，它们之间存在以下联系：1. 幂和对数是互为逆运算的，即aⁿ = b 等价于n = logₐb。
2. 指数函数和对数函数是互为反函数的，即aⁿ = b 等价于logₐb = n。
3. 幂函数和对数函数的图像关于直线 y = x 对称。
四、幂与对数的区别幂和对数在数学中有明显的区别，主要体现在以下几个方面：1. 幂的运算结果是一个数，而对数是一个指数。
2. 幂的运算是底数自乘若干次，对数的运算是找到一个数是以特定底数的幂的指数。
幂的运算
第一节 指数运算（一）【知识要点】1．幂的有关概念一般地，几个相同因数相乘，即 ，可以记作na ．“na ”读作a 的n 次方，乘方的结果叫做幂.“na ”可读作a 的n 次幂．其中，a 叫做底数，n 叫做指数． 2．同底数幂的乘法：=⋅n ma a _______ 同底数幂的乘法及推广： _________________;=⋅=⋅⋅p n m pnma a a aa a3．幂的乘方：__________)(=nm a 多重乘方：[]pnm a )(=__________4. 积的乘方:________)(_;__________)(==nnabc ab 学习时对于法则的理解应注意如下的问题：（1）底数不同的幂相乘，不能应用法则，如3232323+≠•；(2) 不要忽视指数为1的因数，如5065+≠=•cc c c ；(3) 底数是和、差或其他形式的幂相乘，应把这些和或差看成一个整体，勿犯))(()()(332232y x y x y x y x ++=++这种错误； (4) 2a -和2)(a -不一样，它们互为相反数； (5) 互为相反数的相同偶次方相等，即n na a 22)(=-（n 为正整数）；互为相反数的相同奇次方仍互为相反数，即1212)(++-=-n n a a （n 为正整数）【典型例题】例1 计算 （1）（101）4·（101）3 （2）（2x -y ）3·（2x -y ）·（2x -y ）4（3）32)2(- （4）67])[(x -（5）932])([a a a ⋅- （6）nn n a ab b a )()(2+例2 计算 （1）31222)()(+-⋅n n a a（2）4332])[(])[(y x y x ++（3）25(2)(2)x y y x -- （4）53)2()2(x y y x --（5）mm m m m ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛2632435465（6）2222)2()2(n mn mn ⋅--例4 已知105,106a b==，求2310a b+的值.例5 已知n 是正整数，且9)(2=n x ，求nn x x 2223)(3)31(-的值.【初试锋芒】一 选择题1．下列4个式子中结果为1210的是（ ）A 、661010+ B 、21010)52(⨯ C 、6510)1052(⨯⨯⨯ D 、33)10(2．下列计算中，不正确的是（ ）A 、44423a a a =-B 、655222=+C 、655222=⋅D 、632x x x x =⋅⋅ 3．33+n y可以写成（ ）A 、13+n y B 、33y yn+ C 、13+⋅n y y D 、33y y n ⋅4．若2,3==n mx x，则n m x +的值为（ ）A 、5B 、6C 、8D 、9 5．若y x ≠，则下列不能成立的等式是（ ）A 、()()22x y y x -=- B 、()()33x y y x --=-C 、()()22y x y x --=+ D 、()()22y x y x +-=+6. 7a 等于（ ）A 、52)()(a a --B 、))((52a a --C 、)()(52a a --D 、6))((a a -- 7．在(1⋅-n x )=n m x +中，括号内应填的代数式是（ ）A 、1++n m xB 、1+m xC 、2+m xD 、2++n m x二．计算 （1）n n nb a a b a b )()()(122-⋅-⋅--（2）n m n m m m p p p p-+-+⋅+⋅11【大展身手】一. 计算： （1）()4232a bc - （2）()()223a aa ⋅-⋅-二. 解答题若327,232x y==，求23x y +值.三.随堂小测（1）22)()(a a a -⋅-⋅ （2）24(22)⨯（3）2232)2()2(n mn mn ⋅-- （4）32)(a a -⋅-（5）22101010000⋅+ （6）762)5.0(⨯-（7）64×（22）3（8）9)3()2()3(322234⨯⨯+第二节 指数运算（二）【知识要点】三大指数法则： nm nma a a +=⋅,()m n mna a=,()mmmab a b =⋅（n m ,都是正整数）三大指数法则逆用: n m nm a a a⋅=+, ()()mn m n n m a a a ==, ()m m m a b ab ⋅=1. 同底数幂的除法法则：mnm na a a -÷=（0a ≠，,m n 都是正整数，且m n >）2. 负整数指数幂1p pa a -=（0a ≠，p 为正整数） 任何不等于0的数的p -次幂（p 是正整数），等于这个数的p 次幂的倒数.而10-、30-都是无意义的，当0>a 时，pa -的值一定是正的；当0<a 时，pa-的值可能是正的也可能是负的；如：41)2(2=--，81)2(3-=--3. 零指数幂01a =（0a ≠）. 00没有意义.【典型例题】例1. 计算(1）56x x ÷ (3）15++÷n n a a(2）35)(a a ÷- (4）)1()1(3+÷+a a（5）)()(734x x -÷- （6）67)()(x y y x -÷-例2. 计算（1）24- （2）32-- (3）2)1(-- (4）0)14.3(-π例3. 计算： 451301222222----⎛⎫++⨯⨯+ ⎪⎝⎭例4．求值：（1）若的值求n mn m 231010,0223÷=+-.（2）已知的值求n m n m-==210,210,310.【初试锋芒】1. ÷a 2=a 3. 2. 若53-k =1，则k= .3．31-+（91）0= . 4．用小数表示-3.021×103-= .5．（-a 2）5÷（-a ）3= ，920÷2710÷37= .6．计算 （-a ）6÷（-a ）3的结果是（ ）A ．a 3B.-a 2C.-a 3D. a 27.下列计算正确的是（ ） A.（-0.2）0=0 B.（0.1）3-=10001 C.30÷31-=3 D.a 4÷a 4=a(a ≠0) 8.如果a m÷a x=am3，那么x 等于（ ）A ．3 B.-2m C.2m D.-3 9.设a ≠0，以下的运算结果：①（a 3）2· a 2=a 7；②a 3÷a 2-=a 5；③（-a ）3÷a 0=-a 3；④（-a ）2-÷a=a1-，其中正确的是（ ）A. ①②B. ①③C. ②④D. ②③ 10.计算下列各题：（1）（m-1）5÷（m-1）3； （2）（x-y ）10÷（y-x ）5÷（x-y ）；（3）（a m ）n ×（-a m3）n2÷(amn)5; (4) 21--（-32）2-+（23）0.【大展身手】1. 计算52()()x x -÷-=_______, 2. 10234x x x x ÷÷÷ =______.3. 若0(2)x -有意义,则x_________.4. 02(3)(0.2)π--+-=________.5. 2324[()()]()m n m n m n -⋅-÷- =_________. 6. 若5x-3y-2=0,则531010xy ÷=_________.7. 如果3,9mna a ==,则32m na -=________.8. 如果3147927381m m m +++⨯÷=,那么m=_________.9．若2,3==n mx x，则n m x -的值为（ ）A 、5B 、6C 、23D 、9 10．在(1⋅-n x)=n m x +中，括号内应填的代数式是（ ）A 、1++n m xB 、1+m xC 、2+m xD 、2++n m x11. 已知9999909911,99Q =, 证明：P=Q第三节 整式的乘法【知识要点】1．单项式与单项式相乘的法则： 2．单项式与多项式相乘的法则： 3．多项式与多项式相乘的法则：注意：(1).法则中的“每一项”的含义是不重不漏.在运算时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误，还要特别注意多项式中的常数项.(2). 在运算过程中，要根据去括号法则和多项式中每一项前面的性质符号来确定乘积中每一项的符号.(3). 单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，在未合并同类项之前，其积的项数与多项式中的项数相同，若乘积中有同类项时，一定要注意合并同类项！【典型例题】例1．计算．（1）)5(2232xy a ax -⋅ （2）2223)31(32mn n m -⋅例2．计算 )2()1103(32xy y x y x -⋅--例3．计算（1） )3)(32(-+a a （2）)32)(2(2---x x x例4．计算：()()()222322----+a a a a a例5．解方程：()()0536232=----x x x x例6. 已知ax 2+1与2x 2-3x+1的积中不含x 2项,那么a=•_____【初试锋芒】1.填空.(1)=⋅-)2()3(22n m mn _____ _ _ (2)=-⋅-23)52(54a a __________ 2.已知2,2-==+ab b a ，则()()b a 2121--= ． 3.若12412)4()(x x mx k=⋅，适合的m 与k 的值应是（ ）A.3,3==k mB.8,3==k mC.3,8==k mD.8,8-==k m 4.下列运算正确的是（ ）A ．x x x x x x 4128)132)(4(232---=-+- B ．()()3322y xyx y x +=++C ．2161)14)(14(a a a -=--- D ．()()224222y xy x y x y x +-=--5．计算下列各题. （1）2223)23(32xy y x -⋅（2）32432)()(y x z xy -⋅-（3）322)(6)()3(c ab c a ab ⋅-⋅- （4）235)109()1031(⨯⋅⨯6．先化简再求值．（1）()),158(9622-----x x x x x x 其中1-=x（2）2))(()(x y x y x y x y --+++，其中21,2=-=y x ．【大展身手】1．))((c b a n m ++-展开后是（ ）A ．五项式B ．六项式C ．七项式D ．八项式 2．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为（ ） A ．-5 B ．5 C ．-2D ．23. 自我检测（1）22214.0⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅xy y x （2）()()()22273xy z x xy -⋅-⋅-（3）()()33222xy x xy y x ⋅--⋅ （4）()()()xy xy y y x -⋅-+-⋅223635（5）232(3)(21)x x x -+- （6）243(142)2x x x x --+-（7）()()b a y x 352-- （8）()()22yxy x y x ++-第四节 平方差公式【知识要点】平方差公式: ()()22b a b a b a -=-+两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.【典型例题】例1.计算系数变化:（1）)23)(23(b a b a -+ （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--b a b a 213213位置变化:（1）()()ab x x ab -+ （2）（21x+31y ）（31y －21x ）符号变化: （1）()()11--+-x x (2) ()()434322---x x指数变化:（1）)22)(22(22--+-x x （2）()()22225252b ab a --+-增项变化:（1）))((z y x z y x -+++ （2）)93)(93(22+++-x x x x增因式变化:（1）()()()1112+-+x x x （2）))()((2141221++-x x x例4.用平方差公式进行简便运算（1）397403⨯ （2） 2221000252248-例5.综合运用(1)()()()()111142+-++-x x x x ． (2)已知3,2722=-=-y x y x ，求x y +;【初试锋芒】1．在①()22242a a=；②2911311131x x x -=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-；③532)1()1()1(-=--m m m ；④322842++=⨯⨯b a b a 中，运算正确的是（ ）A.②①B.②③C.②④D.③④2．计算：2481632(21)(21)(21)(21)(21)(21)1+++++++3．解方程：()()()x x x x x 4393232-=+---．4．（2005·茂州市）已知⎪⎭⎫⎝⎛-=-+=22162),2)(2(a B a a A ，求A+B.5．观察下列算式：,483279,382457,281635,188132222222⨯==-⨯==-⨯==-⨯==-根据上式的特点,你能发现什么规律?请你用代数式将其表达出来.【大展身手】1．下列计算正确的是（ ）A ．()()()()2222425252525y x y x y x y x -=-=-+B ．22291)3()1()31)(31(a a a a +=+-=--+-C ．()()()()222249232332x y x y x y y x -=-=--- D ．()()8242-=-+x x x 2.在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()x y x y --+B ．3333()()a b a b -+C ． 2222()()c d d c -+ D ．()()m n m n ---3．计算()()b a b a -+22的结果是（ ） A ．224b a -B ．224a b -C ．222b a -D ．222a b -4．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）A ．()()a b a b -+-B ．(2)(2)x x ++C ．1133x y y x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．(2)(1)x x -+5．在下列各式中，运算结果是2236y x -的是（ ）A 、()()x y x y --+-66B 、()()x y x y -+-66C 、()()y x y x 94-+D 、()()x y x y ---666．在①()22293a a=；②()()22515115m m m -=++-；③()()()532111--=--a a a ；④626442++=⨯⨯n m n m中，运算正确的是（ ）A 、①②B 、②③C 、③④D 、②④ 7.已知02,622=-+=-y x y x ，求5--y x 的值第五节 完全平方公式【知识要点】1．完全平方公式：①()2222a b a ab b +=++；②()2222a b a ab b -=-+.2．完全平方公式相关变形及推广：① ()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+； ② ab b a b a 4)()(22=--+;③()()()222a b a b a b -+=--=-⎡⎤⎣⎦； ④()()()222a b a b a b --=-+=+⎡⎤⎣⎦；○5()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++【典型例题】例1．计算：（1）()23a b + （2）()23x y -+（3）210151⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x （4）221⎪⎭⎫ ⎝⎛+-cd（5） ()22x y z +- （6）)2)(2(4)2(2y x y x y x +---例2.简便计算（1）2199 （2）2102（3）899×901+1 （4）1232-124×122例3．已知()222116x m xy y -++是一个完全平方式，求m 的值．例4．已知()()227,4a b a b +=-=，求22a b +和ab 的值．例5.已知13a a +=，求221a a +和441a a+的值．【初试锋芒】1．（35x + ）2=22962525x xy y ++ 2．22()()a b a b -=+ 3．()222a b a b +=-+ =2()a b +-4．若7,12,a b ab +==则22a ab b -+= 5．下列等式不成立的是（ ）A 、()222396a b a ab b -=-+ B 、()()22a b c c a b +-=--C 、2221124x y x xy y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭D 、()()()2244x y x y x y x y +--=-6．下列各式中计算结果是222ab a b --的是（ ）A 、()2a b - B 、()2a b -- C 、()2a b -+ D 、()2a b + 7．要使等式()()22a b M a b -+=+成立，代数式M 应是（ ）A 、2abB 、4abC 、4ab -D 、2ab - 8．根据已知条件，求值：（1）已知x-y ＝９，x ·y ＝５，求x 2＋y 2的值.（2）已知a （a-1）＋（b-a 2）＝-７，求222b a +-ab 的值.【大展身手】1．下列运算中正确的是（ ）A 、22(2)(2)2a b a b a b +-=- B 、22(2)(2)4a b a b a b -+-=-- C 、22(2)(2)4a b a b a b ---=-- D 、224)2)(2(b a b a b a -=--+-2．212a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭运算结果是（ ）A 、2214a b +B 、2214a b -C 、2214a ab b ++D 、221124a ab b ++ 3．运算结果是24221m n mn -+的是（ ） A 、22(1)mn - B 、22(1)m n - C 、22(1)mn -- D 、22(1)mn +4．若224222)(n n m m M n m ++=+-，则M （ ） A 、0 B 、2m nC 、22m n -D 、24m n5．若249x Nx ++（N 为整数）是一个完全平方式，则N=（ ） A 、6，-6 B 、12C 、6D 、12，-126. (1)()234x y -- (2) 2)1(+-b a (3)210027. 已知110a a +=，求221a a +和21a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．第六节 整式的除法【知识要点】1．单项式除以单项式： 2．多项式除以单项式： 3．多项式除以多项式：点拨：1、单项式除以单项式的实质:转化为同底数幂的除法运算.单项式相除的结果仍然是单项式,其中字母少于或等于被除式的字母而结果为被除式、除式的次数之差.2、多项式除以单项式的实质：利用相应法则,转化为单项式除以单项式的运算.其结果的项数与多项式的项数相同,不要漏项;结果的次数小于或等于被除式的次数.注意：当多项式的某一项全部除掉后,该项的商为1,而不是0. 被除式=除式⨯商式+余式【典型例题】例1 计算(1)）（2336m m -÷ (2))3()69(22ab ab b a ÷-(3)-a 11÷(-a)6·(-a)5(4)[12(x+y)3(y-x)]3÷[4(x+y)2(x-y)]2(5)236274)31()9132(ab b a b a ÷- (6))1()1()1()1(335+÷+-+÷+a a a a例2.先化简再求值(1)已知52=-b a ,求代数式[])4()()(2)(222b b a b a b b a ÷---++的值.(2)化简求值:[4(xy-1)2-(xy+2)(2-xy)]÷14xy,其中x=-2, y=15例3.已知多项式14223--a a 除以一个多项式A,得到的商式为a 2,余式为1-a ,求这个多项式.例4.解方程2)32)(32()524(23=-+-÷+-a a a a a a【初试锋芒】一.选择题1.下列计算正确的是( )A.x 8÷x 4=x 2B.a 5÷a=a 5; C.y 3÷y=y 2; D.(-c)4÷(-c)2=-c 22.计算(-a 4)3÷[(-a)3]4的结果是( )A.-1B.1C.0D.-a 3.下列计算正确的是( ) A.2x 3b 2÷3xb=23x 2b; B.m 6n 6÷m 3n 4·2m 2n 2=12m C.12xy·a 3b÷(0.5a 2y)=14xa 2;D.(ax 2+x)÷x=ax4.计算(14a 2b 2-21ab 2)÷7ab 2等于( )A.2a 2-3 B.2a-3 C.2a 2-3b D.2a 2b-3 5.计算(-8m 4n+12m 3n 2-4m 2n 3)÷(-4m 2n)的结果等于( )A.2m 2n-3mn+n 2; B.2m 2-3mn 2+n 2; C.2m 2-3mn+n 2; D.2m 2-3mn+n6．（-２a ）3b 4÷（１２a 3b 2）的结果是（ ） Ａ.-32b 2 Ｂ.61b 2 Ｃ.-61b 2 Ｄ.-32ab 2二.填空题1.(-x)8÷(-x)5=________; (ab)7÷(-ab)2=________. 2.(-a)6·a 3÷a 2=_________; (x-y)7÷(y -x)3·(y -x)3=______. 3．（ ）÷（-４a 2）＝１２a 4-１６a 3＋４a 2. 4．（６a 2＋４a-１０ab ）÷（２a ）＝ . 5. 与单项式-3a 2b 的积是6a 3b 2-2a 2b 2+9a 2b 的多项式是_______.6. 一个矩形的面积是3(x 2-y 2) , 如果它的一边长为( x+ y) , 则它的周长是______. 三.计算题 1．a 3÷a ·1a2.(16x 2y 3z+8x 3y 2z)÷8x 2y 2【大展身手】一.选择题1．下列计算错误的是（ ）Ａ.-６x 2y 3÷（２xy 2）＝-３xy Ｂ.（-xy 2）2÷（－x 2y ）＝-y 3Ｃ.（-２x 2y 2）3÷（-xy ）3＝-２x 3y 3Ｄ.-（-a 3b ）2÷（－a 2b 2）＝a 42．下列计算正确的是（ ）Ａ.（a 2＋b 2）÷（a ＋b ）＝a ＋b Ｂ.（a 2-b 2）÷（a-b ）＝a ＋b Ｃ.（a 2＋b 2）÷（a ＋b ）＝a-b Ｄ.（a 2-b 2）÷（-a 2b 2）＝a 43．一个多项式除以２x 2y ，其商为（４x 3y 2－６x 3y ＋２x 4y 2），则次多项式为（ ） Ａ.２xy-３x ＋x 2y Ｂ.８x 6y 2-１２x 6y ＋４x 8y 2Ｃ.２x-３xy ＋x 2y Ｄ.８x 5y 3-１２x 5y 2＋４x 6y 34．一个x 的四次三项式被一个x 的二次单项式整除，其商式为（ ）Ａ.二次三项式 Ｂ.三次三项式 Ｃ.二次二项式 Ｄ.三次二项式 5．已知８a 3b m÷２８a nb 2＝72b 2，那么m ，n 为（ ） Ａ.m ＝４，n ＝３ Ｂ.m ＝４，n ＝１ Ｃ.m ＝１，n ＝３ Ｄ.m ＝２，n ＝３第七节 整式综合检测一．填空题 (每空1分，共20分)1. 写出一个系数为-3，且只含有字母,a b 的四次单项式 2．=⨯⨯n 221010100 =⨯-3255 =-32)4(3．32)2(xy -= ._________2432=÷⋅a a a4．=-÷-24)2()2(b a b a .__________)31(92=-⋅y x xy 5．=-+)4)(4(x x =+--2)2(x6．232)(xy y x ÷=7．（2m-n ）2=(2m)2___________+n 2=___________________8．一个边长为a 的正方形边长增加2后，面积增加了9．写出右图所示的阴影部分面积：10．已知161)(22++=-nx x m x ，则n= 11.若2x =164，则3x = 12.若22(4)(3)0,x y x y +-+--=那么22x y -=13.代数式16-2()a b +的最大值是 ，当取最大值时，a 与b 的关系是二．选择题 （每题2分，共24分）1．下列各式中计算过程正确的是( )．A 、63332x xx x ==++ B 、3332x x x =⋅ C 、853053x xx x x ==⋅⋅++ D 、53232)(x x x x -=-=-⋅+ 2．计算)3(232x x -⋅的结果是( )．A 、56x -B 、56xC 、62x -D 、62x3．下列运算正确的是( )．A 、2222)2(4a a a =-B 、632)(a a a =⋅-C 、6328)2(x x -=-D 、x x x -=÷-2)(4．下列计算一定正确的是（ ）A 、6662a a a =⋅B 、10=bC 、36326)2(b a b a =D 、239)3()3(a a a -=÷-5.下面计算错误的是( )A.66a a a =⋅B.224c c c =÷C.2222x x x =+D.6328)2(y y = 6.下面计算正确的是 （ ）A 、a 4- a 4=a 0 B. a 2÷a -2=a 4 C. a 2÷a -2=a 0 D.a 4×a 6=a 247．下列运算正确的是（ ）A 、41)21(22+-=-x x x B 、2229)3(b a b a +=+ C 、22293)3(b ab a b a ++=+ D 、222)2)(2(y x y x y x -=-+8.计算()()x y x y +-22的结果是（ ）A 、x y -4B 、x y +4C 、224x y -D 、222x y - 9.计算20231-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛的结果是（ ） A 、34 B 、4- C 、34- D 、4110．若n ma a a a ++=+-2)5)(3(，则m 、n 的值分别为（ ）A 、5,3-B 、15,2-C 、15,2--D 、15,211．计算()3345)(a a a ---⋅的结果等于（ ） A 、0 B 、92a - C 、92a D 、18a12．多项式5322+-x x 与5342++-x x 的差是（ ） A 、1022+-x B 、x x 662- C 、1062+x D 、x x 622-- 三．计算下列各题（每题3分，共24分）（1）)3(2)32(y x y x +--（2）)36()32(2222xy y x y x y x --+（3）322)()(b b b -⋅ （4）045)3()21(2-++--π（5）)23(2222z y z xy y x -- （6）x x y x y x 2)645(2332÷+-（7）)3)(3()23(2y x y x y x +--- （8）)2)(2(2-+-x x x四.化简求值(每题6分,共12分)1. )2)(12()1()1)(1(2-++---+x x x x x ，其中x=32-2. []5.1,3,2))(()(2-==÷-++-y x x y x y x y x 其中．五．解答题 （20分）1．已知实数a,b 满足25)(,1)(22=-=+b a b a ，求ab b a ++22的值．(7分)2. 已知：a + a 1= 3 , 求221a a + 的值. (5分)a b a b有最小值?最小值是多少? (8分) 3．当a,b为何值时,多项式222610。
幂的运算方法归纳总结
幂的运算方法归纳总结幂运算是数学中常见的运算方法之一，通过将一个数称为底数，另一个数称为指数，进行计算得到结果。
在实际问题中，幂运算具有广泛的应用。
本文将归纳总结幂的运算方法，帮助读者更好地理解和应用幂运算。
1. 幂数的概念幂数是指幂运算中的底数，可以是任何实数或复数。
幂数对于幂运算结果的大小起着重要作用。
当幂数为正数时，指数增大幂的结果也会增大；当幂数为负数时，指数增大幂的结果会逐渐趋近于零或者变号；当幂数为零时，任何指数的幂都等于1。
2. 指数的概念指数是幂运算中表征幂数重复使用次数的数，可以是正整数、负整数、零或分数。
指数为正时，幂数的幂结果大于幂数本身；指数为负时，幂数的倒数的幂结果大于幂数本身；指数为零时，任何幂数的幂结果都等于1；指数为分数时，幂数的幂运算可以通过开方等方式进行计算。
3. 幂运算的基本性质幂运算具有一些基本性质，便于进行计算和推导。
(1) 幂运算的指数相加，即a^m * a^n = a^(m+n)。
这个性质适用于同一个底数不同指数的乘积运算。
(2) 幂运算的指数相减，即a^m / a^n = a^(m-n)。
这个性质适用于同一个底数不同指数的除法运算。
(3) 幂运算的幂次相乘，即(a^m)^n = a^(m*n)。
这个性质适用于同一个底数取幂后再次取幂的运算。
(4) 幂运算的指数为负时，即a^(-n) = 1 / a^n。
这个性质适用于幂数的倒数的幂运算。
4. 幂运算的特殊情况幂运算的特殊情况包括幂数为0和指数为0的情况。
(1) 幂数为0时，0的任何正整数次幂均等于0，0^0的结果没有定义。
(2) 指数为0时，任何数的0次幂均等于1，即a^0 = 1，其中a≠0。
5. 幂运算的计算方法在实际计算中，幂运算可以通过不同的方法进行计算。
(1) 对于正整数指数，可以使用连乘法进行计算。
例如，3^4 = 3 * 3 * 3 * 3。
(2) 对于负整数指数，可以使用幂数的倒数再进行连乘法计算。
幂的运算习题精选及答案
幂的运算习题精选及答案1、幂的运算幂是一种基本的数学概念，它表示一个数(底数)的多少次方(指数)。
比如2^3表示2的3次方，结果为8。
而2^4则表示2的4次方，结果为16。
在幂的运算中，要注意两个特殊的情况：0的0次方和负指数幂的计算。
当底数为0时，任何正指数的幂都为0，而0的0次方的结果则没有定义。
因此，在实际的计算中，应该特别注意这种情况，避免出现错误。
另外，负指数幂的计算也需要特别注意。
具体来说，对于一个正数a和一个非零整数n，a^-n等于1/(a^n)。
2、幂的运算习题精选现在给出一些幂的运算练习题，供大家进行练习。
每道题目后面都会附有答案和解析，供大家参考。
题目一：计算3^4。
答案：3^4=81。
解析：3^4表示3的4次方，根据幂的计算规则，我们可以得到3^4=3*3*3*3=81。
题目二：计算2^-3。
答案：2^-3=1/8。
解析：2^-3等于1/(2^3)，也就是1/8。
题目三：计算(-4)^3。
答案：(-4)^3=-64。
解析：(-4)^3表示-4的3次方，也就是-4*-4*-4，结果为-64。
题目四：计算7^0。
答案：7^0=1。
解析：任何数的0次方都等于1，因此7^0=1。
题目五：计算(-3)^-2。
答案：(-3)^-2=1/9。
解析：(-3)^-2等于1/((-3)^2)，也就是1/9。
3、总结通过对幂的基本概念和运算规则的介绍，以及相应的练习题的答案和解析的演示，我们可以掌握幂的基本运算技巧。
而在实际的计算过程中，我们还需要密切注意一些特殊情况的处理，这样才能保证计算结果的准确性。
幂的概念与运算
幂的概念与运算幂是数学中一个重要的概念，用于表示一个数的指数运算。
在数学中，幂是一种表示一个数乘以自身若干次的运算。
幂运算可以简化复杂的计算，使得大数的运算更加方便快捷。
一、幂的概念在数学中，幂数是指一个数自乘若干次的结果。
其中，底数表示进行幂运算的基准数，指数表示底数自乘的次数。
以幂的顶部为指数，底部为底数，幂用上下标的形式表示，如2的3次幂即为2³。
二、幂的运算规律对于幂的运算，有以下几个基本规律：1. 幂的乘法法则：相同底数的幂相乘，指数相加。
如a^m * a^n = a^(m+n)。
2. 幂的除法法则：相同底数的幂相除，指数相减。
如a^m / a^n = a^(m-n)。
3. 幂的乘方法则：幂的指数进行乘方，指数相乘。
如(a^m)^n =a^(m*n)。
4. 幂的零次和一次幂：任何数的零次幂都等于1，即a^0 = 1；任何数的一次幂都等于自身，即a^1 = a。
此外，幂运算还符合交换率和结合律。
具体来说，交换率表示幂的乘法在底数交换后结果不变，即a^m * b^n = b^n * a^m；结合律表示幂的乘法在进行括号运算后结果不变，即(a^m)^n = a^(m*n)。
三、幂的运算示例为了更好地理解幂的运算，以下是几个幂运算的示例：1. (2^3) * (2^2) = 2^(3+2) = 2^5 = 32。
首先计算指数相加，得到底数为2，指数为5的幂，结果为32。
2. (3^4) / (3^2) = 3^(4-2) = 3^2 = 9。
首先计算指数相减，得到底数为3，指数为2的幂，结果为9。
3. (4^2)^3 = 4^(2*3) = 4^6。
首先计算指数相乘，得到底数为4，指数为6的幂。
4. 2^0 = 1，即任何数的零次幂都等于1。
5. 5^1 = 5，即任何数的一次幂都等于自身。
通过上述示例，可以看出幂运算在处理复杂计算时具有简化和加速运算的优势。
幂的运算规律可以帮助我们更好地理解和应用幂运算。
指数与幂的运算与应用
指数与幂的运算与应用指数与幂是数学中非常重要的概念，其运算规则和应用广泛存在于数学、物理、经济学等领域。
本文将从定义、运算规则和应用三个方面来介绍指数与幂的相关知识。
一、指数与幂的定义指数是用来表示乘方运算的方式，幂则是指数运算的结果。
在数学中，指数是一个正整数，表示底数连乘的次数。
例如，表示底数a连乘n次，可以写成aⁿ，其中a为底数，n为指数，aⁿ表示a的n次方。
二、指数与幂的运算规则1. 相同底数相乘：当底数相同时，指数相加。
例如，aⁿ × aᵐ= aⁿ⁺ᵐ。
2. 相同底数相除：当底数相同时，指数相减。
例如，aⁿ ÷ aᵐ= aⁿ⁻ᵐ。
3. 倍数相乘：底数的倍数相乘，指数不变。
例如，(ak)ⁿ = aⁿᵏ。
4. 幂的乘方：幂的乘方，指数相乘。
例如，(aⁿ)ᵐ= aⁿᵐ。
5. 幂的除法：幂的除法，指数相除。
例如，(aⁿ)÷ᵐ= aⁿ⁄ᵐ。
6. 乘方的乘方：指数相乘。
例如，(aⁿ)ⁿ = aⁿⁿ = aⁿⁿ（n为自然数）。
三、指数与幂的应用1. 科学计数法：科学计数法是一种常见的应用之一，它用于表示非常大或非常小的数。
科学计数法将一个数表示为一个介于1和10之间的数字与10的幂的乘积。
例如，1.23 × 10⁵表示为12300。
2. 几何问题：指数与幂在几何问题中也有应用。
例如，正方体的体积公式为V = a³，其中a为正方体的边长。
这个公式中的指数就是幂运算的应用。
3. 市场增长：在经济学中，指数和幂广泛应用于描述市场的增长。
例如，年复合增长率（Compound Annual Growth Rate，CAGR）用指数和幂来计算公司或市场的增长速度。
4. 银行利息：在金融领域，指数和幂用于计算复利利息。
复利是指将利息加到本金上，再计算下一周期的利息。
复利计算中的指数和幂运算是必不可少的。
5. 科学研究：指数和幂在科学研究中也经常使用，特别是在物理学和化学中。
指数与幂的基本概念与运算
指数与幂的基本概念与运算指数与幂是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，如代数、几何和物理等。
本文将介绍指数与幂的基本概念，并探讨它们的运算规则。
一、指数的概念指数是幂运算中的一个重要概念，表示一个数的重复乘法。
指数通常用小数字写在大数字的上方，如2²表示2的平方，2³表示2的立方。
其中，2称为底数，2²称为2的平方，2³称为2的立方。
在指数运算中，指数表示要将底数乘以自身的次数。
二、幂的概念幂是指数运算中的结果，表示一个数被自身乘以指数次后的值。
幂也可以表示为乘方或次方。
例如，2²=4，2³=8，4⁴=256。
这里，4的4次方等于256。
三、指数与幂的运算规则1. 同底数幂相乘：若两个幂的底数相同，则它们的指数相加。
例如，3² × 3³=3⁵。
2. 同底数幂相除：若两个幂的底数相同，则它们的指数相减。
例如，5⁴ ÷ 5²=5²。
3. 幂的乘法：若指数相同，则幂的结果为底数相乘后的指数。
例如，2³ × 4³=8³。
4. 幂的除法：若指数相同，则幂的结果为底数相除后的指数。
例如，6⁵ ÷ 2⁵=3⁵。
5. 幂的幂：若一个幂的底数为另一幂，则它们的指数相乘。
例如，(2³)²=2⁶。
6. 幂的倒数：一个幂的倒数等于底数的倒数的幂。
例如，(3²)⁻¹=1/3²。
四、指数与幂的应用指数与幂在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在科学计数法中，我们使用幂来表示非常大或非常小的数。
在物理学中，指数与幂可以表示速度、功率和能量等。
指数函数和对数函数是微积分中的基本函数。
此外，指数与幂也应用于金融领域，如复利计算和股票收益率的计算等。
总结：本文介绍了指数与幂的基本概念与运算规则。
指数表示重复乘法，幂表示数被自身乘以指数次后的值。
幂的运算的技巧
幂的运算的技巧幂的运算技巧是在数学中非常重要的一个概念。
幂运算是指我们将一个数称为底数，对其进行多次乘法运算的操作。
在幂运算中，底数表示被乘的数，指数表示乘法的次数，结果表示乘法的积。
在幂运算中，存在一些基本的运算规则和技巧，可以帮助我们简化计算，提高效率。
下面详细介绍一些常见的幂运算技巧。
1. 幂的乘法法则：a^m * a^n = a^(m+n)这个法则说明了两个相同底数的幂相乘的结果是将指数相加。
例如，2^3 * 2^4 = 2^(3+4) = 2^7 = 128。
2. 幂的除法法则：a^m / a^n = a^(m-n)这个法则说明了两个相同底数的幂相除的结果是将指数相减。
例如，2^7 / 2^4 = 2^(7-4) = 2^3 = 8。
3. 幂的零指数法则：a^0 = 1这个法则说明了任何数的零指数的幂等于1。
例如，2^0 = 1。
4. 幂的负指数法则：a^(-n) = 1 / a^n这个法则说明了一个数的负指数可以转化为其倒数的正指数。
例如，2^(-3) = 1 / 2^3 = 1/8。
5. 幂的乘方法则：(a^m)^n = a^(m*n)这个法则说明了一个指数数的幂的结果等于将两个指数相乘。
例如，(2^3)^4 = 2^(3*4) = 2^12 = 4096。
6. 幂的分布法则：a^(m+n) = a^m * a^n这个法则说明了一个幂的和等于将两个指数分别进行幂运算后相乘。
例如，2^(3+4) = 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128。
7. 幂的幂法则：(a^m)^n = a^(m*n)这个法则说明了一个幂的指数数再进行幂运算后的结果就是将两个指数相乘。
例如，(2^3)^4 = 2^(3*4) = 2^12 = 4096。
8. 幂的整数指数法则：(a*b)^n = a^n * b^n这个法则说明了两个数的乘积的指数等于将每一个因子的指数分别进行幂运算后相乘。
例如，(2*3)^4 = 2^4 * 3^4 = 16 * 81 = 1296。
幂的运算有趣讲解教案
幂的运算有趣讲解教案幂的运算是数学中非常基础和重要的概念，它在代数、几何、物理等各个领域都有着广泛的应用。
但是，对于很多学生来说，幂的运算可能是一个比较抽象和难以理解的概念。
因此，如何以有趣的方式来讲解幂的运算，让学生能够轻松理解并掌握这一概念，是每个数学教师都需要思考和努力的问题。
在本篇文章中，我们将尝试以有趣的方式来讲解幂的运算，设计一份有趣的教案，帮助学生更好地理解和掌握幂的运算。
一、教学目标。
1. 理解幂的定义和基本性质；2. 掌握幂的运算规则；3. 能够灵活运用幂的运算解决实际问题。
二、教学重点和难点。
1. 幂的定义和基本性质；2. 幂的运算规则；3. 幂运算在实际问题中的应用。
三、教学准备。
1. 教师准备一些有趣的幂的运算例题；2. 准备一些幂的运算的实际问题，如面积、体积等；3. 准备一些幂的运算的游戏或者小活动，以增加学生的学习兴趣。
四、教学过程。
1. 导入，通过一个有趣的故事或者问题引入幂的概念，激发学生的学习兴趣。
比如，可以通过一个关于超级英雄的故事来引入幂的概念，让学生在故事中感受到幂的力量。
2. 概念讲解，通过幂的定义和基本性质的讲解，让学生对幂有一个基本的了解。
可以通过一些图形或者实际问题来说明幂的概念，让学生能够形象地理解幂的含义。
3. 例题讲解，通过一些有趣的例题来讲解幂的运算规则，可以设计一些有趣的小游戏或者小活动来让学生参与到例题的讲解中，增加他们的学习兴趣。
4. 练习，让学生在课堂上进行一些幂的运算练习，可以设计一些有趣的小竞赛或者小游戏来增加学生的学习积极性。
5. 实际问题，通过一些有趣的实际问题来应用幂的运算，比如计算一个超级英雄的能力值、计算一个巨人的体积等，让学生在实际问题中感受到幂的应用和力量。
6. 总结，通过一个有趣的小结活动来总结本节课的内容，让学生在轻松愉快的氛围中巩固所学的知识。
五、教学反思。
通过以上的教学过程，我们可以发现，以有趣的方式来讲解幂的运算，能够有效地激发学生的学习兴趣，让他们能够更好地理解和掌握幂的概念。
幂的运算概念
幂的运算概念幂运算是数学中的一种运算方法，用于表示一个数的某个自然数次幂的值。
在幂运算中，底数表示被乘的数，指数表示乘的次数，结果称为幂。
幂运算的表达式通常形式为a^n，其中a为底数，n为指数。
要求指数必须是自然数或者0，而底数可以是任意实数。
幂运算具有以下几个重要的特点：1. 同底数幂相乘，指数相加：a^m * a^n = a^(m+n)这意味着，如果有多个同底数的幂相乘，可以将它们合并为一个幂，指数是所有指数的和。
2. 幂的乘幂，指数相乘：(a^m)^n = a^(m*n)这表示幂的乘幂可以进行合并，将指数相乘即可。
3. 幂的倒数，指数取相反数：a^(-n) = 1 / a^n这表示一个数的负指数的幂相当于该数的倒数的正指数幂。
4. 幂的乘法，底数不变，指数相加：a^m * b^m = (a * b)^m这表示拥有相同指数的两个幂相乘，可以将它们的底数相乘，指数保持不变。
5. 幂的除法，底数不变，指数相减：a^m / a^n = a^(m-n)这表示拥有相同底数的两个幂相除，可以将它们的指数相减，底数保持不变。
通过这些特性，可以更加方便地进行幂运算，并简化表达式。
幂运算在数学的各个领域中都有重要的应用，包括代数、几何、概率等。
在代数中，幂运算用于解决方程、求解多项式和指数函数等问题。
通过幂运算，可以简化复杂的代数表达式，化简方程和简化计算。
在几何中，幂运算用于计算圆的面积、体积和表面积等问题。
例如，圆的面积公式A=πr^2，其中r为半径，r^2表示半径的平方。
在概率中，幂运算用于计算概率的乘法规则和加法规则。
例如，如果事件A和事件B相互独立，则事件A和事件B同时发生的概率为P(A交B) = P(A) * P(B)。
幂运算还广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。
在物理学中，幂运算用于计算能量、功率和电阻等物理量。
在工程学中，幂运算用于计算电路中的电流、电压和功率。
在计算机科学中，幂运算用于计算复杂度、数据压缩和密码学等问题。
几次幂的运算所有公式
几次幂的运算所有公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：几次幂是数学中常见的一种运算方式，它表示将一个数连续乘以自身多次。
在数学中，几次幂是一种非常常见的运算形式，它可以用来表示很多自然现象和数学问题。
在实际运用中，几次幂的计算涉及到很多公式和规律，下面我们就来看一看几次幂的运算公式。
1. 幂的定义在数学中，一个数的幂是将这个数连乘多次得到的结果。
以一个数a的n次幂为例，可以表示为a^n，其中a称为底数，n称为指数。
当指数n为正整数时，a^n表示把底数a连续乘以自身n次的结果。
2. 幂的性质几次幂有很多重要的性质，其中最重要的是乘方的运算法则，即：a^m * a^n = a^(m+n)，这条性质表明，若两个底数相同的幂相乘，指数相加。
基于这个性质，我们可以推导出很多有用的公式。
3. 幂的运算公式(1) 幂的乘法公式：a^m * a^n = a^(m+n)这是乘方的运算法则。
当两个底数相同的幂相乘时，指数相加。
例如：2^3 * 2^4 = 2^(3+4) = 2^7 = 128当两个不同底数的各自的幂相乘时，可以合并为一个底数。
(5) 幂的零次幂：a^0 = 1任何数的零次幂都等于1。
当一个数的幂的指数为负数时，可以将其化为倒数。
在实际的幂运算中，我们可以根据不同的情况来运用以上公式和规律。
在运算过程中，要注意底数和指数的关系，特别是在指数是奇数和偶数时的特点。
当指数是偶数时，幂的结果一定是正数，无论底数是正数还是负数；当指数是奇数时，底数的正负决定了幂的正负性。
当底数是分数或负数时，也可以应用以上的运算公式和规律。
5. 总结几次幂是数学运算中非常重要的一部分，它在解决实际问题和数学推导中有着广泛的应用。
掌握好幂的运算公式和规律，可以帮助我们更快更准确地完成各种数学运算。
希望通过本文的介绍，读者们对几次幂的运算有了更加深入的了解。
【具体细节和深入推导可在其他数学资料中查找学习】。
第二篇示例：几次幂是数学中常见的运算形式，表示一个数被自身相乘的次数。
第04讲 幂的运算(一)-【暑假自学课】2023年新七年级数学暑假精品课(沪教版,上海专用)
第04讲 幂的运算（一）模块一：同底数幂的乘法1、幂的运算概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数．含义：na 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，na 表示有n 个a 连续相乘．例如：53表示33333⨯⨯⨯⨯，()53-表示()()()()()33333-⨯-⨯-⨯-⨯-，53-表示()33333-⨯⨯⨯⨯；527⎛⎫ ⎪⎝⎭表示2222277777⨯⨯⨯⨯，527表示222227⨯⨯⨯⨯．特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号．2、“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：[](3)3---=-；[](3)3-+-=．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号．（3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正．例如：()239-=，()3327-=-．特别地：当n 为奇数时，()nn aa -=-；而当n 为偶数时，()nnaa -=．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”．3、同底数幂相乘同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为：m n m n a a a +⋅=（m ，n 都是正整数）．【例1】1. 计算下列各式，结果用幂的形式表示：（1）5622⨯；（2）23a a a ⋅⋅；（3）24()()a b a b +⋅+；（4）235()()()x y x y x y -⋅-⋅-．【例2】2. 下列各式正确吗？不正确的请加以改正．（1）347()()x x x -⋅-=-；（2）246()()x x x --=-；（3）()()121mm m a a a ++--=；（4）5552b b b ⋅=；（5）4610b b b +=；（6）15052x x x =⋅；（7）5525x x x ⋅=；（8）33c c c ⋅=．3. 计算下列各式，结果用幂的形式表示．（1）()()()332a a a --⋅--；（2）()()23x y y x --；（3）()()()212222m m x y x y x y -+---．【例4】4. 如果2111m n n x x x -+⋅=，且145m n y y y --⋅=，试求m 、n 的值．模块二：幂的乘方1、幂的乘方定义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘．2、幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．即()m n mn a a =（m 、n 都是正整数）【例5】5. 计算下列各式，结果用幂的形式表示．（1）()42a -；（2）24()a -；（3）2()n n a ；（4）()832；（5）()432⎡⎤-⎣⎦；（6）()33b -；（7）()43x -；（8）323()()x y x y ⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦．6. 计算：（1）()()684393x x -；（2）()()432332a a a a - ；（3）()2122n n n a a a +++；（4）()()()3834222632x x x x x ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦．【例7】7. 已知23m n a a ==，，求23m n a +的值．【例8】8. 比较大小：（1）比较下列一组数的大小：在552，443，334，225；（2）比较下列一组数的大小：31416181279，，；（3）比较下列一组数的大小：4488，5366，6244．模块三：积的乘方1、积的乘方定义：积的乘方指的是乘积形式的乘方．2、积的乘方法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：()nn n ab a b =（n 是正整数）3、积的乘方的逆用：()n n n a b ab =．例9】9. 计算：（1）()333m n -；【（2）43213a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）()32242a b --；（4）541103⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭．【例10】10. 计算：（1）342()a b -；（2）3532()4x y ；（3）23[()]a b -+．【例11】11. 计算：（1）32332()()y y y ⋅⋅；（2）2323[()]a a a -⋅⋅-；（3）()()3222632x y x y ⎡⎤⎡⎤---+-⎣⎦⎢⎥⎣⎦．【例12】12. 已知：1123326x x x ++-⋅=，求x 的值．（2022秋·上海·七年级上海市建平中学西校校考期中）13. 计算202120223223⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的结果是（ ）A. 32-B. 23-C. 202232⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 202223⎛⎫- ⎪⎝⎭（2022秋·上海长宁·七年级上海市娄山中学校考阶段练习）14. 下列运算正确的是（ ）．A. 5510x x x +=B. ()4312x x --=C. 333(2)8xy x y -=- D. ()527()x x x-⋅-=（2022秋·上海·七年级校考模拟）15. 已知5a ＝3，5b ＝2，5c ＝12，则a 、b 、c 之间满足数量关系（ ）A. a ＋2b ＝cB. 4a ＋6b ＝cC. a ＋2b ＝12cD. 3a ＋2b ＝12c（2022秋·上海·七年级校考模拟）16. 已知3a x =，2b x =，那么a b x +的值是（ ）A. 5B. 6C. 8D. 9（2022秋·上海·七年级校考模拟）17. 代数式()322a 的计算结果是（）A. 62a B. 56a C. 58a D. 68a （2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）18. 在下列运算中，计算正确的是（ ）A. 628a a += B. 1628a a a-= C. 628a a a⋅= D. ()268aa =（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）19. 下列计算中，正确的是（ ）A. 336a a a += B. 326a a a ⋅= C. ()239a a = D. ()326a a -=-（2022秋·上海·七年级校联考期末）20. 下列计算正确的是（ ）A. 235x x x += B. 235x x x ⋅=C. 236x x x ⋅= D. ()325x x =（2022秋·上海虹口·七年级校考期中）21. 计算：()22xy -=_______________．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）22. 计算：()()()529a a a -⋅-⋅-=________．（2022秋·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校联考期末）23. 已知4m n m n x x x +-⋅=，则m =___________（2022秋·上海金山·七年级校联考期末）24. 已知103n =，且104m =，则210m n +=___________．（2022秋·上海·七年级校考期中）25. （1） ()322⎡⎤-=⎣⎦____________（结果用幂的形式表示）；（2）()523-=______________．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）26. 若2m a =，3n a =，则3m n a +=________．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）27. 计算：2322332a b a ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________；（2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）28. 计算()()2200320030.045⎡⎤⨯-=⎣⎦__________．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）29. 计算：()()23634423a a a -⋅--．（2022秋·上海·七年级校考模拟）30. 已知36452,n n n n x x x x =+⋅求的值（2022秋·上海·七年级校考模拟）31. 计算：5763234()2()x x x x x ⋅+⋅-+32. （﹣12）2015•（﹣2）2016的计算结果是（ ）A. 2B. ﹣2C. 4D. ﹣433. 下列运算中，错误的个数是（ ）（1）224a a a ＋＝；（2）236a a a ⋅＝；（3）2n n n a a a ⋅＝；（4）()448a a a --⋅＝ A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个34. 计算：3232xy ⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________．35. 计算：200520062332⎛⎫⎛⎫-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=________．36. ()()()()7256a a a a a ⋅-⋅-⋅-⋅-．37. 计算：()()23223xy xy ---÷第04讲 幂的运算（一）模块一：同底数幂的乘法1、幂的运算概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数．含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘．例如：53表示33333⨯⨯⨯⨯，()53-表示()()()()()33333-⨯-⨯-⨯-⨯-，53-表示()33333-⨯⨯⨯⨯；527⎛⎫ ⎪⎝⎭表示2222277777⨯⨯⨯⨯，527表示222227⨯⨯⨯⨯． 特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号．2、“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：[](3)3---=-；[](3)3-+-=．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号．（3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正．例如：()239-=，()3327-=-．特别地：当n 为奇数时，()nn a a -=-；而当n 为偶数时，()nn a a -=．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”．3、同底数幂相乘同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为：m n m n a a a +⋅=（m ，n 都是正整数）．【例1】【1题答案】【答案】（1）112 （2）6a （3）()6a b + （4）()10x y -【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（2）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（3）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（4）根据同底数幂的乘法法则计算即可．【小问1详解】解：5622⨯562+=112=；【小问2详解】解：23a a a ⋅⋅123a ++=6a =；【小问3详解】解：24()()a b a b +⋅+24()a b +=+6()a b =+；【小问4详解】解：235()()()x y x y x y -⋅-⋅-235()x y ++=-10()x y =-【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握底数不变，指数相加是解题的关键．【例2】【2题答案】【答案】（1）正确； （2）不正确，正确为：()()4626x x x x --=-=--（3）不正确，正确为：()()()12121m m m m a a a a +++--=-=-（4）不正确，正确为：5510b b b ⋅=（5）不正确，不能计算（6）不正确，正确为：5510x x x ⋅=（7）不正确，正确为：5510x x x ⋅=（8）不正确，正确为：34c c c ⋅=【解析】【分析】根据同底数幂相乘的法则进行判断即可．【小问1详解】()()34347()()x x x x x -⋅-=-⋅-=-，故（1）正确【小问2详解】不正确，正确为：()()4626x x x x --=-=--【小问3详解】不正确，正确为：()()()12121m m m m a a a a +++--=-=-【小问4详解】不正确，正确为：5510b b b ⋅=【小问5详解】不正确，他们不是同类项，不能合并【小问6详解】不正确，正确为：5510x x x ⋅=【小问7详解】不正确，正确为：5510x x x ⋅=【小问8详解】不正确，正确为：34c c c ⋅=【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，正确理解同底数幂的乘法法则是解题的关键．【例3】 【3题答案】【答案】（1）8a（2）()5y x -（3）()232m x y +-【解析】【分析】（1）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可；（2）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可；（3）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可。
初中数学幂的运算讲解教案
初中数学幂的运算讲解教案教学目标：1. 理解幂的定义和性质；2. 掌握幂的运算规则；3. 能够运用幂的运算解决实际问题。
教学重点：1. 幂的定义和性质；2. 幂的运算规则。
教学难点：1. 幂的运算规则的应用；2. 解决实际问题。
教学准备：1. 教学PPT；2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入幂的概念，展示幂的例子，如2^3、3^4等；2. 引导学生思考幂的意义，即底数乘以自身的次数。
二、幂的定义和性质（15分钟）1. 给出幂的定义：幂是指底数乘以自身的次数，记作am，其中a是底数，m是正整数；2. 引导学生理解幂的性质，如am+n=am*an，am*bn=ambn等；3. 举例说明幂的性质，并进行练习。
三、幂的运算规则（15分钟）1. 介绍幂的运算规则，包括加法、减法、乘法和除法；2. 引导学生理解幂的运算规则，如a^m + a^n = a^(m+n)，a^m * a^n = a^(m+n)等；3. 举例说明幂的运算规则，并进行练习。
四、幂的运算应用（15分钟）1. 引导学生运用幂的运算规则解决实际问题，如计算幂的和、差、积、商等；2. 举例说明幂的运算应用，并进行练习。
五、总结和作业（5分钟）1. 总结幂的定义、性质和运算规则；2. 布置作业，要求学生运用幂的运算规则解决实际问题。
教学反思：本节课通过导入、讲解、练习和应用等环节，让学生掌握了幂的定义、性质和运算规则。
在教学过程中，要注意引导学生理解幂的概念和性质，并通过举例和练习让学生熟练掌握幂的运算规则。
同时，也要注重培养学生的推理能力和解决问题的能力。
在作业布置方面，要注重难度的适当，让学生能够在实践中巩固所学知识。
幂的运算与指数运算的关系
幂的运算与指数运算的关系幂的运算与指数运算是数学中非常重要的概念，两者之间有着密切的关系。
在本文中，我们将探讨幂的运算与指数运算的关系，并详细解释它们之间的相互作用。
首先，让我们来了解一下幂的运算。
在数学中，幂是指将一个数（称为底数）自乘若干次来得到的结果。
幂数（或指数）表示了底数自乘的次数。
例如，3的2次幂（记作3^2）表示3自乘两次，即3^2 = 3 × 3 = 9。
同样地，4的3次幂（记作4^3）表示4自乘三次，即4^3 = 4 × 4 × 4 = 64。
我们可以看到，幂数告诉我们底数需要自乘的次数。
而指数运算是指利用指数的规则对幂进行运算的过程。
指数运算可以进行加法、减法、乘法和除法。
以下是一些指数运算的规则：1. 幂的乘法规则：a的m次幂乘以a的n次幂等于a的m+n次幂。
即a^m × a^n = a^(m+n)。
例如，2的3次幂乘以2的4次幂等于2的7次幂，即2^3 × 2^4 = 2^7。
2. 幂的除法规则：a的m次幂除以a的n次幂等于a的m-n次幂。
即a^m ÷ a^n = a^(m-n)。
例如，5的6次幂除以5的3次幂等于5的3次幂，即5^6 ÷ 5^3 = 5^3。
3. 幂的幂规则：将a的m次幂的幂作为底数，幂数为n，等于a的m×n次幂。
即(a^m)^n = a^(m×n)。
例如，(3^2)^3等于3的2×3次幂，即(3^2)^3 = 3^(2×3)。
通过这些规则，我们可以在幂的运算中使用指数运算来简化计算过程。
指数运算的规则为我们提供了更方便、快捷的方法来处理幂。
此外，幂的运算与指数运算在实际问题中也有重要的应用。
在科学和工程领域中，我们经常需要对数据进行指数运算和幂运算。
通过运用指数和幂的概念，我们可以更好地理解和分析实际问题，并找到解决问题的方法。
总而言之，幂的运算与指数运算是数学中不可或缺的概念。
幂的运算
第一节 指数运算（一）【知识要点】1．幂的有关概念一般地，几个相同因数相乘，即 ，可以记作na ．“na ”读作a 的n 次方，乘方的结果叫做幂.“na ”可读作a 的n 次幂．其中，a 叫做底数，n 叫做指数． 2．同底数幂的乘法：=⋅n ma a _______ 同底数幂的乘法及推广： _________________;=⋅=⋅⋅p n m pnma a a aa a ΛΛ3．幂的乘方：__________)(=nm a 多重乘方：[]pnm a )(=__________4. 积的乘方:________)(_;__________)(==nnabc ab 学习时对于法则的理解应注意如下的问题：（1）底数不同的幂相乘，不能应用法则，如3232323+≠•；(2) 不要忽视指数为1的因数，如5065+≠=•cc c c ；(3) 底数是和、差或其他形式的幂相乘，应把这些和或差看成一个整体，勿犯))(()()(332232y x y x y x y x ++=++这种错误； (4) 2a -和2)(a -不一样，它们互为相反数； (5) 互为相反数的相同偶次方相等，即n na a 22)(=-（n 为正整数）；互为相反数的相同奇次方仍互为相反数，即1212)(++-=-n n a a （n 为正整数）【典型例题】例1 计算 （1）（101）4·（101）3 （2）（2x-y ）3·（2x-y ）·（2x-y ）4（3）32)2(- （4）67])[(x -（5）932])([a a a ⋅- （6）nn n a ab b a )()(2+例2 计算 （1）31222)()(+-⋅n n a a（2）4332])[(])[(y x y x ++（3）25(2)(2)x y y x -- （4）53)2()2(x y y x --（5）mm m m m ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛2632435465（6）2222)2()2(n mn mn ⋅--例4 已知105,106a b==，求2310a b+的值.例5 已知n 是正整数，且9)(2=n x ，求nn x x 2223)(3)31(-的值.【初试锋芒】一 选择题1．下列4个式子中结果为1210的是（ ）A 、661010+ B 、21010)52(⨯ C 、6510)1052(⨯⨯⨯ D 、33)10(2．下列计算中，不正确的是（ ）A 、44423a a a =-B 、655222=+C 、655222=⋅D 、632x x x x =⋅⋅ 3．33+n y可以写成（ ）A 、13+n y B 、33y yn+ C 、13+⋅n y y D 、33y y n ⋅4．若2,3==n mx x，则n m x +的值为（ ）A 、5B 、6C 、8D 、9 5．若y x ≠，则下列不能成立的等式是（ ）A 、()()22x y y x -=- B 、()()33x y y x --=-C 、()()22y x y x --=+ D 、()()22y x y x +-=+6. 7a 等于（ ）A 、52)()(a a --B 、))((52a a --C 、)()(52a a --D 、6))((a a -- 7．在(1⋅-n x )=n m x +中，括号内应填的代数式是（ ）A 、1++n m xB 、1+m xC 、2+m xD 、2++n m x二．计算 （1）n n nb a a b a b )()()(122-⋅-⋅--（2）n m n m m m p p p p-+-+⋅+⋅11【大展身手】一. 计算： （1）()4232a bc - （2）()()223a aa ⋅-⋅-二. 解答题若327,232x y==，求23x y +值.三.随堂小测（1）22)()(a a a -⋅-⋅ （2）24(22)⨯（3）2232)2()2(n mn mn ⋅-- （4）32)(a a -⋅-（5）22101010000⋅+ （6）762)5.0(⨯-（7）64×（22）3（8）9)3()2()3(322234⨯⨯+第二节 指数运算（二）【知识要点】三大指数法则： nm n m a a a +=⋅,()m n mna a=,()mm m ab a b =⋅（n m ,都是正整数）三大指数法则逆用: n m nm a a a⋅=+, ()()mn m n n m a a a ==, ()m m m a b ab ⋅=1. 同底数幂的除法法则：mnm na a a -÷=（0a ≠，,m n 都是正整数，且m n >）2. 负整数指数幂1p p a a-=（0a ≠，p 为正整数） 任何不等于0的数的p -次幂（p 是正整数），等于这个数的p 次幂的倒数.而10-、30-都是无意义的，当0>a 时，pa -的值一定是正的；当0<a 时，pa-的值可能是正的也可能是负的；如：41)2(2=--，81)2(3-=--3. 零指数幂01a =（0a ≠）. 00没有意义.【典型例题】例1. 计算(1）56x x ÷ (3）15++÷n n a a(2）35)(a a ÷- (4）)1()1(3+÷+a a（5）)()(734x x -÷- （6）67)()(x y y x -÷-例2. 计算（1）24- （2）32-- (3）2)1(-- (4）0)14.3(-π例3. 计算： 451301222222----⎛⎫++⨯⨯+ ⎪⎝⎭例4．求值：（1）若的值求n mn m 231010,0223÷=+-.（2）已知的值求n m n m-==210,210,310.【初试锋芒】1. ÷a 2=a 3. 2. 若53-k =1，则k= .3．31-+（91）0= . 4．用小数表示-3.021×103-= .5．（-a 2）5÷（-a ）3= ，920÷2710÷37= .6．计算 （-a ）6÷（-a ）3的结果是（ ）A ．a 3 B.-a 2 C.-a 3 D. a 27.下列计算正确的是（ ） A.（-0.2）0=0 B.（0.1）3-=10001 C.30÷31-=3 D.a 4÷a 4=a(a ≠0) 8.如果a m÷a x=am3，那么x 等于（ ）A ．3 B.-2m C.2m D.-3 9.设a ≠0，以下的运算结果：①（a 3）2· a 2=a 7；②a 3÷a 2-=a 5；③（-a ）3÷a 0=-a 3；④（-a ）2-÷a=a1-，其中正确的是（ ）A. ①②B. ①③C. ②④D. ②③ 10.计算下列各题：（1）（m-1）5÷（m-1）3； （2）（x-y ）10÷（y-x ）5÷（x-y ）；（3）（a m ）n ×（-a m3）n2÷(amn)5; (4) 21--（-32）2-+（23）0.【大展身手】1. 计算52()()x x -÷-=_______, 2. 10234x x x x ÷÷÷ =______.3. 若0(2)x -有意义,则x_________.4. 02(3)(0.2)π--+-=________.5. 2324[()()]()m n m n m n -⋅-÷- =_________. 6. 若5x-3y-2=0,则531010xy ÷=_________.7. 如果3,9mna a ==,则32m na -=________.8. 如果3147927381m m m +++⨯÷=,那么m=_________.9．若2,3==n mx x，则n m x -的值为（ ）A 、5B 、6C 、23D 、9 10．在(1⋅-n x)=n m x +中，括号内应填的代数式是（ ）A 、1++n m xB 、1+m xC 、2+m xD 、2++n m x11. 已知9999909911,99Q =, 证明：P=Q第三节 整式的乘法【知识要点】1．单项式与单项式相乘的法则： 2．单项式与多项式相乘的法则： 3．多项式与多项式相乘的法则：注意：(1).法则中的“每一项”的含义是不重不漏.在运算时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误，还要特别注意多项式中的常数项.(2). 在运算过程中，要根据去括号法则和多项式中每一项前面的性质符号来确定乘积中每一项的符号.(3). 单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，在未合并同类项之前，其积的项数与多项式中的项数相同，若乘积中有同类项时，一定要注意合并同类项！【典型例题】例1．计算．（1）)5(2232xy a ax -⋅ （2）2223)31(32mn n m -⋅例2．计算 )2()1103(32xy y x y x -⋅--例3．计算（1） )3)(32(-+a a （2）)32)(2(2---x x x例4．计算：()()()222322----+a a a a a例5．解方程：()()0536232=----x x x x例6. 已知ax 2+1与2x 2-3x+1的积中不含x 2项,那么a=•_____【初试锋芒】1.填空.(1)=⋅-)2()3(22n m mn _____ _ _ (2)=-⋅-23)52(54a a __________ 2.已知2,2-==+ab b a ，则()()b a 2121--= ． 3.若12412)4()(x x mx k=⋅，适合的m 与k 的值应是（ ）A.3,3==k mB.8,3==k mC.3,8==k mD.8,8-==k m 4.下列运算正确的是（ ）A ．x x x x x x 4128)132)(4(232---=-+- B ．()()3322y xyx y x +=++C ．2161)14)(14(a a a -=--- D ．()()224222y xy x y x y x +-=--5．计算下列各题. （1）2223)23(32xy y x -⋅（2）32432)()(y x z xy -⋅-（3）322)(6)()3(c ab c a ab ⋅-⋅- （4）235)109()1031(⨯⋅⨯6．先化简再求值．（1）()),158(9622-----x x x x x x 其中1-=x（2）2))(()(x y x y x y x y --+++，其中21,2=-=y x ．【大展身手】1．))((c b a n m ++-展开后是（ ）A ．五项式B ．六项式C ．七项式D ．八项式 2．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为（ ） A ．-5 B ．5 C ．-2D ．23. 自我检测（1）22214.0⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅xy y x （2）()()()22273xy z x xy -⋅-⋅-（3）()()33222xy x xy y x ⋅--⋅ （4）()()()xy xy y y x -⋅-+-⋅223635（5）232(3)(21)x x x -+- （6）243(142)2x x x x --+-（7）()()b a y x 352-- （8）()()22yxy x y x ++-第四节 平方差公式【知识要点】平方差公式: ()()22b a b a b a -=-+两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.【典型例题】例1.计算系数变化:（1）)23)(23(b a b a -+ （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--b a b a 213213位置变化:（1）()()ab x x ab -+ （2）（21x+31y ）（31y －21x ）符号变化: （1）()()11--+-x x (2) ()()434322---x x指数变化:（1）)22)(22(22--+-x x （2）()()22225252b ab a --+-增项变化:（1）))((z y x z y x -+++ （2）)93)(93(22+++-x x x x增因式变化:（1）()()()1112+-+x x x （2）))()((2141221++-x x x例4.用平方差公式进行简便运算（1）397403⨯ （2） 2221000252248-例5.综合运用(1)()()()()111142+-++-x x x x ． (2)已知3,2722=-=-y x y x ，求x y +;【初试锋芒】1．在①()22242a a=；②2911311131x x x -=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-；③532)1()1()1(-=--m m m ；④322842++=⨯⨯b a b a 中，运算正确的是（ ）A.②①B.②③C.②④D.③④2．计算：2481632(21)(21)(21)(21)(21)(21)1+++++++3．解方程：()()()x x x x x 4393232-=+---．4．（2005·茂州市）已知⎪⎭⎫⎝⎛-=-+=22162),2)(2(a B a a A ，求A+B.5．观察下列算式：Λ,483279,382457,281635,188132222222⨯==-⨯==-⨯==-⨯==-根据上式的特点,你能发现什么规律?请你用代数式将其表达出来.【大展身手】1．下列计算正确的是（ ）A ．()()()()2222425252525y x y x y x y x -=-=-+B ．22291)3()1()31)(31(a a a a +=+-=--+-C ．()()()()222249232332x y x y x y y x -=-=--- D ．()()8242-=-+x x x 2.在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()x y x y --+B ．3333()()a b a b -+C ． 2222()()c d d c -+ D ．()()m n m n ---3．计算()()b a b a -+22的结果是（ ） A ．224b a -B ．224a b -C ．222b a -D ．222a b -4．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）A ．()()a b a b -+-B ．(2)(2)x x ++C ．1133x y y x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．(2)(1)x x -+5．在下列各式中，运算结果是2236y x -的是（ ）A 、()()x y x y --+-66B 、()()x y x y -+-66C 、()()y x y x 94-+D 、()()x y x y ---666．在①()22293a a=；②()()22515115m m m -=++-；③()()()532111--=--a a a ；④626442++=⨯⨯n m n m中，运算正确的是（ ）A 、①②B 、②③C 、③④D 、②④ 7.已知02,622=-+=-y x y x ，求5--y x 的值第五节 完全平方公式【知识要点】1．完全平方公式：①()2222a b a ab b +=++；②()2222a b a ab b -=-+.2．完全平方公式相关变形及推广：① ()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+； ② ab b a b a 4)()(22=--+;③()()()222a b a b a b -+=--=-⎡⎤⎣⎦； ④()()()222a b a b a b --=-+=+⎡⎤⎣⎦；○5()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++ 【典型例题】例1．计算：（1）()23a b + （2）()23x y -+（3）210151⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x （4）221⎪⎭⎫ ⎝⎛+-cd（5） ()22x y z +- （6）)2)(2(4)2(2y x y x y x +---例2.简便计算（1）2199 （2）2102（3）899×901+1 （4）1232-124×122例3．已知()222116x m xy y -++是一个完全平方式，求m 的值．例4．已知()()227,4a b a b +=-=，求22a b +和ab 的值．例5.已知13a a +=，求221a a +和441a a+的值．【初试锋芒】1．（35x + ）2=22962525x xy y ++ 2．22()()a b a b -=+ 3．()222a b a b +=-+ =2()a b +-4．若7,12,a b ab +==则22a ab b -+= 5．下列等式不成立的是（ ）A 、()222396a b a ab b -=-+ B 、()()22a b c c a b +-=--C 、2221124x y x xy y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭D 、()()()2244x y x y x y x y +--=-6．下列各式中计算结果是222ab a b --的是（ ）A 、()2a b - B 、()2a b -- C 、()2a b -+ D 、()2a b + 7．要使等式()()22a b M a b -+=+成立，代数式M 应是（ ）A 、2abB 、4abC 、4ab -D 、2ab - 8．根据已知条件，求值：（1）已知x-y ＝９，x ·y ＝５，求x 2＋y 2的值.（2）已知a （a-1）＋（b-a 2）＝-７，求222b a +-ab 的值.【大展身手】1．下列运算中正确的是（ ）A 、22(2)(2)2a b a b a b +-=- B 、22(2)(2)4a b a b a b -+-=-- C 、22(2)(2)4a b a b a b ---=-- D 、224)2)(2(b a b a b a -=--+-2．212a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭运算结果是（ ）A 、2214a b +B 、2214a b -C 、2214a ab b ++D 、221124a ab b ++ 3．运算结果是24221m n mn -+的是（ ） A 、22(1)mn - B 、22(1)m n - C 、22(1)mn -- D 、22(1)mn +4．若224222)(n n m m M n m ++=+-，则M （ ） A 、0 B 、2m nC 、22m n -D 、24m n5．若249x Nx ++（N 为整数）是一个完全平方式，则N=（ ） A 、6，-6 B 、12C 、6D 、12，-126. (1)()234x y -- (2) 2)1(+-b a (3)210027. 已知110a a +=，求221a a +和21a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．第六节 整式的除法【知识要点】1．单项式除以单项式： 2．多项式除以单项式： 3．多项式除以多项式：点拨：1、单项式除以单项式的实质:转化为同底数幂的除法运算.单项式相除的结果仍然是单项式,其中字母少于或等于被除式的字母而结果为被除式、除式的次数之差.2、多项式除以单项式的实质：利用相应法则,转化为单项式除以单项式的运算.其结果的项数与多项式的项数相同,不要漏项;结果的次数小于或等于被除式的次数.注意：当多项式的某一项全部除掉后,该项的商为1,而不是0. 被除式=除式⨯商式+余式【典型例题】例1 计算(1)）（2336m m -÷ (2))3()69(22ab ab b a ÷-(3)-a 11÷(-a)6·(-a)5(4)[12(x+y)3(y-x)]3÷[4(x+y)2(x-y)]2(5)236274)31()9132(ab b a b a ÷- (6))1()1()1()1(335+÷+-+÷+a a a a例2.先化简再求值(1)已知52=-b a ,求代数式[])4()()(2)(222b b a b a b b a ÷---++的值.(2)化简求值:[4(xy-1)2-(xy+2)(2-xy)]÷14xy,其中x=-2, y=15例3.已知多项式14223--a a 除以一个多项式A,得到的商式为a 2,余式为1-a ,求这个多项式.例4.解方程2)32)(32()524(23=-+-÷+-a a a a a a【初试锋芒】一.选择题1.下列计算正确的是( )A.x 8÷x 4=x 2B.a 5÷a=a 5; C.y 3÷y=y 2; D.(-c)4÷(-c)2=-c 22.计算(-a 4)3÷[(-a)3]4的结果是( )A.-1B.1C.0D.-a 3.下列计算正确的是( ) A.2x 3b 2÷3xb=23x 2b; B.m 6n 6÷m 3n 4·2m 2n 2=12m C.12xy ·a 3b ÷(0.5a 2y)=14xa 2;D.(ax 2+x)÷x=ax4.计算(14a 2b 2-21ab 2)÷7ab 2等于( )A.2a 2-3 B.2a-3 C.2a 2-3b D.2a 2b-3 5.计算(-8m 4n+12m 3n 2-4m 2n 3)÷(-4m 2n)的结果等于( )A.2m 2n-3mn+n 2; B.2m 2-3mn 2+n 2; C.2m 2-3mn+n 2; D.2m 2-3mn+n6．（-２a ）3b 4÷（１２a 3b 2）的结果是（ ） Ａ.-32b 2 Ｂ.61b 2 Ｃ.-61b 2 Ｄ.-32ab 2二.填空题1.(-x)8÷(-x)5=________; (ab)7÷(-ab)2=________. 2.(-a)6·a 3÷a 2=_________; (x-y)7÷(y-x)3·(y-x)3=______. 3．（ ）÷（-４a 2）＝１２a 4-１６a 3＋４a 2. 4．（６a 2＋４a-１０ab ）÷（２a ）＝ . 5. 与单项式-3a 2b 的积是6a 3b 2-2a 2b 2+9a 2b 的多项式是_______.6. 一个矩形的面积是3(x 2-y 2) , 如果它的一边长为( x+ y) , 则它的周长是______. 三.计算题 1．a 3÷a ·1a2.(16x 2y 3z+8x 3y 2z)÷8x 2y 2【大展身手】一.选择题1．下列计算错误的是（ ）Ａ.-６x 2y 3÷（２xy 2）＝-３xy Ｂ.（-xy 2）2÷（－x 2y ）＝-y 3Ｃ.（-２x 2y 2）3÷（-xy ）3＝-２x 3y 3Ｄ.-（-a 3b ）2÷（－a 2b 2）＝a 42．下列计算正确的是（ ）Ａ.（a 2＋b 2）÷（a ＋b ）＝a ＋b Ｂ.（a 2-b 2）÷（a-b ）＝a ＋b Ｃ.（a 2＋b 2）÷（a ＋b ）＝a-b Ｄ.（a 2-b 2）÷（-a 2b 2）＝a 43．一个多项式除以２x 2y ，其商为（４x 3y 2－６x 3y ＋２x 4y 2），则次多项式为（ ） Ａ.２xy-３x ＋x 2y Ｂ.８x 6y 2-１２x 6y ＋４x 8y 2Ｃ.２x-３xy ＋x 2y Ｄ.８x 5y 3-１２x 5y 2＋４x 6y 34．一个x 的四次三项式被一个x 的二次单项式整除，其商式为（ ）Ａ.二次三项式 Ｂ.三次三项式 Ｃ.二次二项式 Ｄ.三次二项式 5．已知８a 3b m÷２８a nb 2＝72b 2，那么m ，n 为（ ） Ａ.m ＝４，n ＝３ Ｂ.m ＝４，n ＝１ Ｃ.m ＝１，n ＝３ Ｄ.m ＝２，n ＝３第七节 整式综合检测一．填空题 (每空1分，共20分)1. 写出一个系数为-3，且只含有字母,a b 的四次单项式2．=⨯⨯n 221010100 =⨯-3255 =-32)4(3．32)2(xy -= ._________2432=÷⋅a a a4．=-÷-24)2()2(b a b a .__________)31(92=-⋅y x xy 5．=-+)4)(4(x x =+--2)2(x6．232)(xy y x ÷=7．（2m-n ）2=(2m)2___________+n 2=___________________8．一个边长为a 的正方形边长增加2后，面积增加了9．写出右图所示的阴影部分面积：10．已知161)(22++=-nx x m x ，则n= 11.若2x =164，则3x = 12.若22(4)(3)0,x y x y +-+--=那么22x y -=13.代数式16-2()a b +的最大值是 ，当取最大值时，a 与b 的关系是二．选择题 （每题2分，共24分）1．下列各式中计算过程正确的是( )．A 、63332x xx x ==++ B 、3332x x x =⋅ C 、853053x xx x x ==⋅⋅++ D 、53232)(x x x x -=-=-⋅+ 2．计算)3(232x x -⋅的结果是( )．A 、56x -B 、56xC 、62x -D 、62x3．下列运算正确的是( )．A 、2222)2(4a a a =-B 、632)(a a a =⋅-C 、6328)2(x x -=-D 、x x x -=÷-2)(4．下列计算一定正确的是（ ）A 、6662a a a =⋅B 、10=bC 、36326)2(b a b a =D 、239)3()3(a a a -=÷-5.下面计算错误的是( )A.66a a a =⋅B.224c c c =÷C.2222x x x =+D.6328)2(y y =6.下面计算正确的是 （ ）A 、a 4- a 4=a 0 B. a 2÷a -2=a 4 C. a 2÷a -2=a 0 D.a 4×a 6=a 247．下列运算正确的是（ ）A 、41)21(22+-=-x x x B 、2229)3(b a b a +=+ C 、22293)3(b ab a b a ++=+ D 、222)2)(2(y x y x y x -=-+8.计算()()x y x y +-22的结果是（ ）A 、x y -4B 、x y +4C 、224x y -D 、222x y - 9.计算20231-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛的结果是（ ） A 、34 B 、4- C 、34- D 、4110．若n ma a a a ++=+-2)5)(3(，则m 、n 的值分别为（ ）A 、5,3-B 、15,2-C 、15,2--D 、15,211．计算()3345)(a a a ---⋅的结果等于（ ） A 、0 B 、92a - C 、92a D 、18a12．多项式5322+-x x 与5342++-x x 的差是（ ） A 、1022+-x B 、x x 662- C 、1062+x D 、x x 622-- 三．计算下列各题（每题3分，共24分）（1）)3(2)32(y x y x +--（2）)36()32(2222xy y x y x y x --+（3）322)()(b b b -⋅ （4）045)3()21(2-++--π（5）)23(2222z y z xy y x -- （6）x x y x y x 2)645(2332÷+-（7）)3)(3()23(2y x y x y x +--- （8）)2)(2(2-+-x x x四.化简求值(每题6分,共12分)1. )2)(12()1()1)(1(2-++---+x x x x x ，其中x=32-2. []5.1,3,2))(()(2-==÷-++-y x x y x y x y x 其中．五．解答题 （20分）1．已知实数a,b 满足25)(,1)(22=-=+b a b a ，求ab b a ++22的值．(7分)2. 已知：a + a 1= 3 , 求221a a + 的值. (5分)3．当a,b 为何值时,多项式222610a b a b ++-+有最小值?最小值是多少? (8分)。
初一数学幂的运算 道客
初一数学幂的运算道客
幂是数学中的一种运算方法，表示将一个数相乘多次的结果。
比如，数学表达式5的3次幂可以写作5^3。
在这个表达式中，5是底数，3是指数。
数学幂的运算有以下几种规律：
1. 同底数相乘的幂：当底数相同时，指数相加。
例如，4的2次幂乘以4的3次幂等于4^(2+3)=4^5。
2. 幂的乘积的幂：在幂的乘积中，底数不变，指数相乘。
例如，(2的3次幂)*(2的4次幂)等于2^(3*4)=2^12。
3. 幂的幂：在幂的幂中，底数不变，指数相乘。
例如，(3的2次幂)^4等于3^(2*4)=3^8。
4. 幂的倒数：一个数的倒数的幂等于该数的相反数的幂。
例如，(5的3次幂)^-1等于(1/5)^3。
在进行幂的运算时，可以使用计算器或者数学公式来辅助计算。
幂的运算在数学中经常应用于代数、几何和物理等领域，是基础数学概念之一。
七年级下册数学幂的乘方
七年级下册数学幂的乘方
七年级下册数学教材中，关于幂和乘方的内容主要包括幂的概念、幂的运算规律以及乘方的定义和性质等。
首先，幂的概念指的是将一个数用另一个数连乘多次，其中第一个数称为底数，第二个数称为指数。
例如，a^n就表示将底数a连乘n次。
底数a是一个确定的数，指数n可以是任意整数，包括正整数、零和负整数。
在幂的运算规律方面，有以下几条：
1.相同底数的幂相乘时，底数不变，指数相加。
即a^m * a^n = a^(m+n)。
2.幂的乘方，指数相乘。
即(a^m)^n = a^(m*n)。
3.幂的除法，指数相减。
即a^m / a^n = a^(m-n)。
4.对于一个数的零次幂，结果为1。
即a^0 = 1。
5.对于任意非零数a，a的负整数幂的结果是1除以a的正整数幂。
即a^(-n) = 1 / a^n。
而乘方的定义是一种特殊的幂运算，表示一个数连乘自己若干次。
例如，a^3表示将底数a连乘3次，即a * a * a。
关于幂的乘方，在学习中可以通过练习题来巩固和应用。
同时，在实际问题中，幂和乘方的概念也被广泛应用，例如在科学计算、几何图形的面积和体积计算等方面都有重要作用。
幂的运算概念
幂的运算
要点一、同底数幂的乘法性质
（其中m，n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
要点诠释：
（1)同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数,也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质,即（m，n,p都是正整数).
（3）逆用公式:把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即（m，n都是正整数). 要点二、幂的乘方法则
(其中都是正整数)。
即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：
（1）公式的推广：（a≠0，m，n，p 均为正整数）
（2）逆用公式：根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题
要点三、积的乘方法则
(其中n是正整数)。
即积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
要点诠释：
（1)公式的推广：（n为正整数).
（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便。
如：
要点四、注意事项
(1)底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式。
(2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏。
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加。
（4）积的乘方运算时须注意,积的乘方要将每一个因式(特别是系数）都要乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简
洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.。
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幂的运算
概念：
求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数.
含义：
n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘.
例如：53表示33333⨯⨯⨯⨯，5(3)-表示(3)(3)(3)(3)(3)-⨯-⨯-⨯-⨯-，53-表
示(33333)-⨯⨯⨯⨯
52()7表示2222277777⨯⨯⨯⨯，527表示222227
⨯⨯⨯⨯ 特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.
“奇负偶正”口诀的应用：
口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：
⑴多重负号的化简:
这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：[](3)3---=-；[](3)3-+-=. ⑵有理数乘法:
当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，
例如：(3)(2)(6)36-⨯-⨯-=-，而(3)(2)(6)36-⨯-⨯+=.
⑶有理数乘方:
这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，
例如：2(3)9-=，3(3)27-=-.
特别地：当n 为奇数时，()n n a a -=-；而当n 为偶数时，()n n a a -=.
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不
为0的数的0次幂都是“1”.
⑴ 同底数幂相乘．
同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为： m n m n a a a +⋅=（,m n 都是正整数）．
⑵ 幂的乘方．
幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘．用式子表示为：
()n m mn a a =（,m n 都是正整数）．
⑶ 积的乘方．
积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．用式子表示为：
()n n n ab a b =（n 是正整数）．
⑷ 同底数幂相除．
同底数的幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为： m n m n a a a -÷= （0a ≠，m ，n 都是正整数） ⑸ 规定()010a a =≠；1
p p a a
-=（0a ≠，p 是正整数）． (6)一般地，一个大于10的数可以表示成a ×10n
的形式，其中1≤a ＜10，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。
0.000021可以表示成2.1×10-5。