运算方法和运算器

第二章运算方法与运算器2.1.1 数值数据在机内的表示在选择计算机的数值数的表示方式时，需要考虑以下几个因素：(1)要表示的数的类型(小数、整数、实数和复数)；(2)可能遇到的数值范围；(3)数值精确度；(4)数据存储和处理所需要的硬件代价。

2.1.1.1 定点数与浮点数计算机处理的数值数据多数带有小数，小数点在计算机中通常有两种表示方法，一种是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上，称为定点表示法，简称定点数；另一种是小数点位置可以浮动，称为浮点表示法，简称浮点数。

1. 定点数表示法(fixed-point)所谓定点格式，即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。

在计算机中通常采用两种简单的约定：将小数点的位置固定在数据的最高位之前，或者是固定在最低位之后。

一般常称前者为定点小数，后者为定点整数。

定点小数是纯小数，约定的小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。

2. 浮点数表示法(floating-point number)与科学计数法相似。

2.1.1.2 数的机器码表示1. 原码表示法原码表示法是一种比较直观的表示方法，其符号位表示该数的符号，正用“0”表示，负用“1”表示；而数值部分仍保留着其真值的特征。

2. 补码表示法由于计算机的运算受一定字长的限制，属于有模运算，所以，在计算机中可以使用补码进行计算。

在定点小数机器中数最大不超过1，也就是负的小数对“1”的补码是等价的。

但实际上，负数的符号位还有一个“1”，要把它看成数的一部分，所以要对2求补码，也就是以2为模数。

3. 反码表示方法反码表示法中，符号的表示法与原码相同。

正数的反码与正数的原码形式相同；负数的反码符号位为1，数值部分通过将负数原码的数值部分各位取反(0变1，1变0)得到。

4. 移码表示法移码通常用于表示浮点数的阶码。

2.1.2 非数值数据在机内的表示计算机中数据的概念是广义的，机内除了有数值的信息之外，还有数字、字母、通用符号、控制符号等字符信息有逻辑信息、图形、图像、语音等信息，这些信息进入计算机都转变成0、1表示的编码，所以称为非数值数据。

2.1.2.1 字符的表示方法字符主要指数字、字母、通用符号、控制符号等，在机内它们都被变换成计算机能够识别的十进制编码形式。

这些字符编码方式有很多种，国际上广泛采用的是美国国家信息交换标准代码(AmericanStandard Code for Information Interchange)，简称ASCII 码。

2.1.2.2 汉字的表示方法1. 汉字的输入码目前，计算机一般是使用西文标准键盘输入的，为了能直接使用西文标准键盘输入汉字，必须给汉字设计相应的输入编码方法。

其编码方案有很多种，主要的分为三类：数字编码、拼音码和字形编码。

2. 汉字的内码3. 汉字字形码2.2.1 补码加法运算补码加法的公式是：[ x ]补+ [ y ]补= [ x + y ]补( mod 2 )含义是：两个数的补码之和等于两个数之和的补码。

2.2.2 补码减法运算[x-y]补=[x]补-[y]补=[x]补+[-y]补( mod 2 )2.2.3 溢出概念及检测方法在计算机中，若采用定点小数，数的表示范围为|x|＜1，如果出现运算结果超出数的表示范围的现象，就称为溢出。

在采用定点整数的情况下，由于机器字长一定，所以能表示的数据范围也是有限的，仍存在溢出问题。

产生溢出会丢失有效数字，结果将是错误的，因此，必须解决溢出的判断问题，当计算过程中出现溢出时，能及时处理。

两个正数相加，结果大于机器所能表示的最大正数，称为正溢。

而两个负数相加，结果小于机器所能表示的最小负数，称为负溢。

为了判断“溢出”是否发生，可采用两种检测方法。

1．变形补码操作检测方法2．单符号位操作检测方法2.2.4 基本的二进制加法/减法器重点介绍一位全加器(FA)。

2.3.1 原码一位乘法。

在定点计算机中，两个原码表示的数相乘的运算规则是：乘积的符号位由两数的符号按异或运算得到，而乘积的数值部分则是两个正数相乘之积。

设n位被乘数和乘数用定点小数表示(定点整数也同样适用)被乘数[x]原= xf .x0 x1 x2 …xn乘数[y]原= yf .y0 y1 y2 …yn则乘积[ z ]原= ( xf⊕yf ) . (0. x0 x1 x2 …xn)(0 . y1 y2 …yn)式中，xf为被乘数符号，yf为乘数符号。

乘积符号的运算法则是：同号相乘为正，异号相乘为负。

由于被乘数和乘数和符号组合只有四种情况(xf yf = 00，01，10，11),因此积的符号可按“异或”(按位加)运算得到。

数值部分的运算方法与普通的十进制小数乘法相类似，不过对于用二进制表达的数来说，其乘法规则更为简单一些：从乘法y的最低位开始，若这一位为“1”，则将被乘数x写下；若这一位为“0”，则写下全0。

然后再对乘数y的高一位进行的乘法运算，其规则同上，不过这一位乘数的权与最低位乘数的权不一样，因此被乘数x要左移一位。

依次类推，直到乘数各位乘完为止，最后将它们统统加起来，便得到最后乘积z 。

2.3.2 补码一位乘法原码乘法的主要问题是符号位不能参加运算，单独用一个异或门产生乘积的符号位。

故自然提出能否让符号数字化后也参加乘法运算，补码乘法就可以实现符号位直接参加运算。

2.4.1 原码一位除法两个原码表示的数相除时，商的符号由两数的符号按位相加求得，商的数值部分由两数的数值部分相除求得。

设有n位定点小数(定点整数也同样适用)：被除数x，其原码为[x]原= xf . x1 x2 …xn除数y，其原码为[y]原= yf . y1 y2 …yn设商为q = x/y，其原码为[q]原= ( xf⊕yf ). ( x1 x2 …xn / y1 y2 …yn )商的符号运算qf= xf⊕yf 与原码乘法一样，用模2求和得到。

商的数值部分的运算，实质上是两正数求商的运算。

根据我们所熟知的十进制除法运算方法，很容易得到二进制数的除法运算方法，所不同的只是在二进制中，商的每一位不是“1”就是“0”，其运算法则更简单一些。

1．恢复余数法事实上，机器的运算过程和人毕竟不同，人会心算，一看就知道够不够减。

但机器却不会心算，必须先做减法，若余数为正，才知道够减；若余数为负，才知道不够减。

不够减时必须恢复原来的余数，以便再继续往下运算，这种方法称为恢复余数法。

要恢复原来的余数，只要当前的余数加上除数即可。

2．加减交替法对恢复余数法来说，由于要恢复余数，使除法进行过程的步数不固定，因此控制比较复杂。

实际上常用不恢复余数法，又称加减交替法。

其特点是运算过程中如出现不够减，则不必恢复余数，根据余数符号，可以继续往下运算，因此步数固定，控制简单。

原码加减交替法的规则是：当余数为正时，商“1”，余数左移一位减除数；当余数为负时，商“0”，余数左移一位，加除数。

2.4.2 补码一位除法补码除法的被除数、除数用补码表示，符号位和数值位一起参加运算，商的符号位与数值位由统一的算法求得。

1．补码加减交替法算法在补码一位除法中也必须比较被除数(余数)和除数的大小，并根据比较的结果来上商。

另外，为了避免溢出，商的绝对值不能绝对值大于1，即被除数的绝对值一定要小于除数的绝对值。

补码加减交替除法的算法规则如下：(1) 被除数与除数同号，被除数与减去除数；被除数与除数异号，被除数加上除数。

(2) 余数和除数同号，商为1，余数左移一位，下次减除数；余数和除数异号，商为0，余数左移一位，下次加除数。

(3) 重复步骤(2)，包括符号位在内，共做n+1步。

2．商的校正补码一位除法的算法是在商的末位“恒置1”的舍入条件下推导的。

按照这种算法所得到的有限位商为负数时，是反码形式。

而正确需要得到的商是补码形式，两者之间至多是相关末位的一个“1”，这样引起的最大误差是2 - n。

在对商的精度没有特殊要求的情况下，一般采用商的末位“恒置1”的方式进行舍入，这样处理的好处是操作简单，便于实现。

如果要求进一步提高商的精度，可以不用“恒置1”的方式舍入，而按上述法则多求一位后，再采用如下校正方法对商进行处理：(1) 刚好能除尽时，如果除数为正，商不必校正；如果除数为负，则商加2 - n。

(2) 不能除尽时，如果商为正，则不必校正；如果商为负，则商加2 - n。

2.5.1 逻辑非逻辑非也称求反。

对某数进行逻辑非运算，就是按位求它的反，常用变量上方加一横来表示。

2.5.2 逻辑加对两个数进行逻辑或，就是按位求它们的“或”，所以逻辑或又称逻辑加，常用记号“V “或“+”来表示。

2.5.3 逻辑乘对两数进行逻辑与，就是按位求它们的“与”，所以逻辑与又称逻辑乘，常用记号“∧”或“·”来表示。

2.5.4 逻辑异或对两数进行逻辑异或就是按位求它们的模2和，所以逻辑异或又称按位加，常用记号“⊕”来表示。

2.6.1 多功能算术/逻辑运算单元(ALU)了解74181ALU算术/逻辑运算功能表，并结合实验内容完成本部分的教学工作。

2.6.2 内部总线由于计算机内部的主要工作过程是信息传送和加工的过程，因此在机器内部各部件之间的数据传送非常频繁。

为了减少内部数据传送线并便于控制，通常将一些寄存器之间数据传送的通路加以归并，组成总线结构，使不同来源的信息在此传输线上分时传送。

因此，所谓总线，就是一个或多个信息源传送信息到多个目的的数据通路，它是多个部件之间传送信息的一级传输线。

根据总线所处的位置，总线分为内部总线和外部总线两类。

内部总线是指CPU内各部件的连线，而外部总线是指系统总线，即CPU与存储器、I／O系统之间的连线。

本节只讨论内部总线。

按总线的逻辑结构来说，总线可分为单向传送总线和双向传送总线。

所谓单向总线，就是信息只能向一个方向传送。

所谓双向总线，就是信息可以向两个方向传送，即可以发送数据，也可以接收数据。

总线的逻辑电路往往是三态的，即输出电平有三种状态：逻辑“1”、逻辑“0”和“浮空”状态。

三态缓冲器是靠在“允许/禁止”输入端来禁止其操作的，禁止时，输出呈现高阻抗状态。

在高阻抗状态下，可以认为输出与电路的其他部分被断开。

2.6.3 定点运算器的基本结构运算器包括ALU、阵列乘除器、寄存器、多路开关、三态缓冲器、数据总线等逻辑部件。

运算器的设计，主要是围绕着ALU和寄存器同数据总线之间如何传送操作数和运算结果而进行的。

在决定方案时，需要考虑数据传送的方便性和操作速度，在微型机和单片机中还要考虑在硅片上制作总线的工艺。

计算机的运算器大体有如下三种结构形式：1．单总线结构的运算器2．双总线结构的运算器3．三总线结构的运算器2.6.4浮点运算器实例（了解）2.7.1 浮点加法和减法完成浮点加减运算的操作过程大体分为四步：1. 0 操作数的检查；2. 比较阶码大小并完成对阶；3. 尾数进行加或减运算；4. 结果规格化并进行舍入处理。