经济应用数学教案3.2.3
经济应用数学电子教案重点[样例5]
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经济应用数学电子教案重点[样例5]第一篇：经济应用数学电子教案重点经济应用数学电子教案第一章函数本章主要内容：一．函数的概念 1.函数的定义（1）函数的要素（2）函数的定义域（3）函数的国家 2.函数的表示法二．函数的简单性质 1.单调性 2.奇偶性 3.周期性 4.有界性三．初等函数 1.基本初等函数 2.初等函数四．经济分析中的常用函数 1.需求函数和供应函数 2.成本函数 3.收入函数 4.利润函数5.库存问题本章重难点：1.函数的简单性质2.基本初等函数第二章极限与连续本章主要内容：一．极限的概念 1.极限的定义 2.极限的性质3.无穷小量与无穷大量4.极限的四则运算法则二．两个重要极限eim(1+1/x)x=e x→∞ eim sinx/x=1 x→0 三．函数的连续性 1.函数连续的概念 2.函的间断点 3.连续函数的运算4.闭区间上连续函数的性质本章重点：极限的概念及求法第三章导数与微分主要内容及教学目的一．导数的概念 1.导数的定义 2.导数的几何意义 3.可导与连续的关系二．导数的基本公式与运算法则 1.导数的四则运算法则 2.基本初等函数的导数公式3.复合函数的导数4.隐函数的导数5.高阶导数三．微分 1.微分的概念 2.微分的计算四．边际函数与弹性 1.边际函数 2.函数的弹性本章重点：导数的概念导数的基本公式与运算法则第四章中值定理与导数的应用主要内容及教学目的一．中值定理 1.罗尔定理2.拉格朗日定理3.罗必达法则二．函数的单调性 1.函数单调性的判定2.f(x)>0或f(x)<0是函数单调的充分条件不是必要条件，在个别点处允许f(x)=0 三．函数的数值1.极值存在的必要条件2.极值存在的充分条件3.极值判别法Ⅰ4.极值判别法Ⅱ 四．曲线的凸性与特点五．经济管理中的最大值和最小值问题简介1.最低平均成本问题2.最大收入问题 3.最大利润问题4.库存模型总费用最低问题本章重点：函数的单调性。
经济应用数学基础(第二版)全书课件汇总整本书电子教案(最新)
lim
n
xn
A
如: lim 1 0 ； lim n 1
n n
n n 1
1.2 极 限
【经济问题1-1】中老大每次分得的马匹数构成
的数列
17 2
17 18 2
17 182 2
17 18n1 2
17
易知
lim
n
18n1
2
0
1.2 极 限
2. 函数极限
定义1.5 如果当自变量 x取正值并无限增大时，函数
（2）由题意，收益函数为
R(Q) Q P Q(90 0.5Q) 90Q 0.5Q
L(Q) R(Q) C(Q) 1.5Q2 94Q 10
1.2 极限
1.2.1 极限概念
1. 数列极限
定义1.4 对于数列 ，xn如果当 无限n 增大时， xn
无限趋近于一个确定的常数 A，则称常数 为A 数列
2
3 x, 1 x 2
1
(1)求此函数的定义域并作出草图；-2 -1
12 -1
x
(2)求 f ( 1), f (1), f ( 4) 的值。
-2
2
3
解 （1）函数的定义域为 (1,2] ,
（2）f ( 1) 1 1 3 , f (1) 12 1, f (4) 3 4 5
22
2
lim f (x) lim (x 1) 1
x0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1
x0
x0
因为 f (x) 的左极限和右极限都存在但不相等，所以
lim f (x)不存在。
x0
1.2 极 限
1.2.2 无穷小量与无穷大量
七年级数学下册《经济类应用问题》教案、教学设计
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组讨论以下问题：
-在生活中，你还遇到过哪些经济类应用问题？请举例说明。
-如何将这些经济问题转化为数学模型？请列出相应的线性方程或不等式。
2.小组分享：各小组分享讨论成果，其他小组给予评价和建议。
3.教师点评：对各小组的讨论成果进行点评，指出优点和不足，引导学生进一步思考。
-组织小组讨论，引导学生相互交流、取长补短，共同解决问题。
3.注重数学方法的灵活运用，提高学生的解题能力。
-指导学生根据不同类型的经济问题，选择合适的数学方法进行求解。
-通过典型例题的分析与讲解，帮助学生掌握解题技巧，提高解题能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，使学生认识到数学在生活中的重要作用。
七年级数学下册《经济类应用问题》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握单价、数量、总价之间的关系，并能运用这一关系解决实际问题。
-掌握单价=总价÷数量、数量=总价÷单价、总价=单价×数量的计算方法。
-能够根据实际情况，选择合适的计算方法求解经济类应用问题。
2.学会使用线性方程和不等式解决经济类应用问题。
1.基础知识巩固：
-完成课本第XX页的练习题1、2、3，要求学生在解答过程中注意单价、数量、总价之间的转换关系。
-自主设计一道购物预算问题，包含至少3种商品，要求计算每种商品的单价、数量和总价，并求出总预算。
2.实际问题求解：
-根据课堂上所学的线性方程和不等式方法，解答课本第XX页的例题4、5，要求学生写出解题过程，并注意检查答案的合理性。
-鼓励学生对经济问题进行深入分析，提出自己的观点和见解。
六年级数学下册教案-2.3 税率20-人教版
六年级数学下册教案-2.3 税率20-人教版教学目标1. 知识与技能：- 理解税率的概念，掌握如何计算各种商品的税额。
- 学会使用税率来计算商品的实际价格。
- 能够运用税率知识解决实际问题。
2. 过程与方法：- 通过实际案例分析，培养学生运用税率知识解决问题的能力。
- 培养学生观察、分析、解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：- 培养学生尊重税法、自觉纳税的意识。
- 培养学生的社会责任感和公民意识。
教学重点与难点1. 重点：- 税率的概念及计算方法。
- 运用税率知识解决实际问题。
2. 难点：- 税率的计算在实际生活中的应用。
- 税率与商品价格之间的关系。
教学方法- 案例分析法：通过实际案例分析，让学生了解税率的概念和计算方法。
- 小组讨论法：学生分组讨论，共同解决实际问题，培养合作能力。
- 情景教学法：创设生活情境，让学生在实际情境中学习税率知识。
教学过程1. 导入（5分钟）：- 通过生活中的实例，引出税率的概念。
- 提问：同学们，你们在购物时是否注意过商品的价格标签上有一个额外的百分比？这个百分比就是税率。
2. 新课导入（15分钟）：- 讲解税率的概念，以及如何计算商品的税额。
- 通过案例，演示如何计算商品的实际价格。
3. 案例分析（10分钟）：- 提供几个实际案例，让学生计算商品的税额和实际价格。
- 分组讨论，共同解决案例中的问题。
4. 小组讨论（10分钟）：- 学生分组讨论，探讨税率在实际生活中的应用。
- 各小组汇报讨论成果，教师点评。
5. 情景教学（10分钟）：- 创设生活情境，让学生在实际情境中学习税率知识。
- 学生表演情景剧，展示税率知识在实际生活中的应用。
6. 总结与作业（5分钟）：- 总结本节课所学内容，强调税率知识在实际生活中的重要性。
- 布置作业：让学生收集生活中的税率实例，并计算税额和实际价格。
教学评价- 课堂参与度：观察学生在课堂上的参与程度，了解他们对税率知识的兴趣。
经济应用数学课件2.3函数微分
dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(uv)d udv d(C)u Cdu d(u)vvdu udv d(u v)vdv 2udv
11
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铃
经济应用数学
例2 设 yln x (ex2)求 , d.y
解
y
12xex2 xex2
,
12xex2 dy xex2 dx.
例3 设 y e1 3 xco x ,求 sd.y 解 d c yx o d ( e s 1 3 x ) e 1 3 x d (c x )os
14
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铃
经济应用数学
例5 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.
( 1 ) d () c t o ; d ( 2 s ) d t (x s 2 ) ( i ) d ( n x ).
解 ( 1 ) d (s t) i n c o t, d st
cotsdt1d(s in t)d(1sint);
3
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经济应用数学
2.3.2 微分的定义
1.定义 设函数 y f(x)在某区间内有 ,x0及 定x0义x
在 这 ,如 y 区 f 果 ( x 0 x 间 ) f( x 0 ) 内 A x o ( x ) 成 ( 其 立 A 是 中 x 无 与关 )则 , 的 称 y f 常 (x ) 在 函 x 数 0 点 数 可,并 微且 A x为 称函 yf(数 x)在x0 点 相应于
定理 函数f(x)在点x0可微的充要条件是函 数 f(x ) 在 x 0 处 点 ,且 可 A f( 导 x 0 ).
《经济数学》课时教案1-16[16页]
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珠海城市职业技术学院
《经济数学》教案
序号：01-07
授课时间
授课时数
2
授课地点
5404
授课题目
2.5投资评估与决策
授课班级
17会计
教学目的与
教学要求
1.理解贴现、贴现率、现值等概念
2.掌握和分析金融计算问题的思维方法
重点难点
重点：贴现、贴现率、现值等概念
难点：掌握和分析金融计算问题的思维方法
3.教师讲解定理4.4.1
4.教师讲解定积分的性质
5.教师讲例4.4.3
参考资料
课后作业
与思考题
习题4.4
第1、2、3、5题
教学反馈
珠海城市职业技术学院
《经济数学》教案
序号：01-16
授课时间
授课时数
2
授课地点
5404
授课题目
4.5定积分的应用
授课班级
17会计
教学目的与
教学要求
1.理解和掌握定积分在多种应用
重点：需求与供给函数的形式与特点
难点：税收对供求函数产生的影响
教学方法
1讲授法，2练习法
主要内容
1.需求与供给的特点
讨论两个函数表达式的区别
均衡需求与均衡价格
2.理解影响需求与供给的市场因素
替代品，互补品，
低档品、正常品
3．税收对供求函数的影响
通过例题讲解税收对供求函数和市场的影响
讲解例1.2.2
学生自读例1.2.3
教学反馈
珠海城市职业技术学院
《经济数学》教案
序号：01-05
授课时间
授课时数
2
授课地点
5404
授课题目
经济3.2导学案
课时：1课时课型：复习课主笔：高二备课组审核：高二备课组班级组别姓名学号一、考纲解读——认清目标，奋力前行1、准确识记并区分各种消费心理。
2、记忆理解做理性消费者应遵循的原则。
3、正确看待金钱。
二、重、难点分析1、准确区分各种消费心理。
2、理解做理性消费者应遵循的原则。
三、学习过程（一）知识清单，找出并写出准确答案并记忆。
（基础知识必须过关！）1、四大消费心理及其各自的特点与我们的态度。
2、四个消费原则？3、绿色消费的宗旨与核心？4、如何正确看待金钱？（探究）（二）观点辨析：请判断正误，并予以解释说明。
（思路要清晰，观点要明确）1、消费者在选择商品时考虑质量好不好，服务是否到位，功能是否齐全是一种攀比心理。
（）说明：2、“花明天的钱，圆今天的梦”是一种超前消费，与适度消费相矛盾。
（）说明：3、提倡勤俭节约、艰苦奋斗就是限制消费。
（）说明：（三）热点探究：灵活运用基础知识，合作共享。
（1）根据表格，小明同学可能存在什么消费心理？（2）你如何针对小明的消费行为进行劝说？（四）反馈检测——夯实基础，感悟成功1、手机、电脑、MP4如今成了许多大学生的日常用品，俗称校园“三大件”，回宿舍玩电脑、上课发短信、走路听MP4，而由此带来的“学费外支出”迅速增长，令许多家长有苦难言。
这一现象给我们的消费警示是：A、必须树立正确的消费观B、要防止消费滞后现象C、要避免盲从，坚持理性消费D、过于节俭是不可取的2、玫瑰之乡山东平阴县盛产一种低度七色玫瑰酒，这种包装新奇的七瓶七色套装酒采用了男女形体组成的“情”字作为注册商标，新颖的设计、独特的口味，受到许多青年人的欢迎。
这种玫瑰酒的热销属于A、从众心理引发的消费B、攀比心理引发的消费C、求实心理引发的消费D、求异心理引发的消费3、去年8月，天津市第一家名品折扣店——水牛城折扣店正式亮相。
该店以最大化的折扣，调动了人们的购物热情，给一直客流稀少的商圈带来了少有的热闹场面。
七年级数学下册《经济类应用问题》优秀教学案例
1. 教师将学生分成小组，每组针对一个经济问题进行讨论，如：“如何合理安排家庭月收入？”或“如何选择合适的理财产品？”
2. 学生在小组内部分工合作，运用所学的数学知识，分析问题、制定解决方案，并进行计算。
3. 各小组汇报讨论成果，分享解决问题的方法和经验，教师进行点评和指导。
（四）总结归纳
4. 反思与评价的重视
本案例注重学生的自我反思和评价，教师设计反思性问题，引导学生课后总结所学内容。同时，鼓励学生相互评价，发现他人的优点和不足。这种反思与评价的环节，有助于学生认识到自己的不足，明确努力方向，不断提高数学应用能力。
5. 数学知识与人文素养的融合
本案例在教授数学知识的同时，注重培养学生的人文素养。通过解决实际经济问题，使学生认识到数学在生活中的重要性，激发其对数学的热爱。此外，案例还强调正确的消费观念和理财意识，帮助学生形成良好的生活态度和价值观。
（二）讲授新知
1. 教师以超市购物为例，讲解经济类问题中的数学知识，如单价、总价、数量等概念，并引导学生理解它们在实际生活中的应用。
2. 通过具体例子，介绍百分比、比例和简单的代数方程在经济问题中的应用，让学生掌握解决问题的方法。
3. 结合教材内容，讲解如何运用所学的数学知识解决家庭收支和理财产品等问题，培养学生理财意识。
2. 问题导向的教学方法
本案例以问题导向为核心，引导学生围绕实际问题展开探究。通过设计具有启发性和挑战性的问题，激发学生的思考，培养他们解决问题的能力。问题导向的教学方法有助于学生深入挖掘问题的本质，提高数学思维能力。
3. 小组合作与团队协作
小组合作是本案例的重要环节，学生需要在小组内部分工合作，共同解决经济问题。这种教学策略不仅培养了学生的团队协作能力，还锻炼了他们的沟通表达能力。学生在合作过程中，相互学习、相互促进，共同提高数学素养。
经济应用数学课教案
复习思考题、作业： p4∗0 9、10
课后小结：
第 6 次课教案
2007 年 10 月 18 日 星期四
章 节：习题课
教学任务：
使学生理解与掌握极限的定义与运算，理解两个重要极限， 会利用法则及公式求极限.理解函数连续性概念，能够综合运用所 学理论解决实际问题.
重点、难点：
小结第 3 章.
教学内容提要：
章 节：第 1 章 应用数学绪论
第 2 章 函数模型 §2.1 函数及其性质 §2.2 初等函数
教学任务：
使学生深刻理解函数的概念，熟练掌握基本初等函数、分 段函数的定义、性质与图像.
重点、难点：
1. 分段函数； 2. 基本初等函数的定义、性质与图像.
教学内容提要：第 1 章 应用数学绪论
第 2 章 函数模型 §2.1 函数及其性质 2.1.1 函数的概念
定理 3.12 一切初等函数在其定义域上都是连续的.
由定理知
lim
x→x0
f(g(
x
))=f(
lim
x→x0
g(
x
))=f(g(
x0
))
2. 复合函数求极限的方法
1
例 3.3.5（P36）求 lim ln (1+ x)x x→0
1
1
解 lim ln (1+ x)x = ln lim (1+ x)x = ln e = 1
3.1.2 左极限与右极限
左极限 lim f (x) =A x→ x0−
或 f (x) →A ( x → x0− )
右极限 lim f (x) =A x→ x0+
或
f (x) →A ( x → x0+ )
数学与经济教案
数学与经济教案教案概述教案名称：数学与经济适用对象：高中一年级学生课时：2课时教学目标：1. 了解数学在经济领域的应用，并认识数学对经济决策的重要性；2. 掌握解决与经济相关的数学问题的方法和技巧；3. 培养学生应用数学分析解决经济问题的能力。
教学内容与安排教学内容一：数学在经济中的应用1. 引入：通过引用著名经济学家的观点，加深学生对数学与经济的关系的认识；2. 案例分析：选取经济领域中常见的案例，如消费者理论、生产函数等，分析其中的数学原理和方法；3. 讨论与总结：引导学生讨论数学在经济中的应用，总结出数学对经济决策的重要性。
教学内容二：解决与经济相关的数学问题1. 理论讲解：介绍解决经济问题所需的数学工具和方法，如应用函数、微积分等；2. 练习与演示：提供一系列数学与经济相关的问题，引导学生进行思考和解答，并现场演示解题过程；3. 拓展应用：课堂上引导学生运用所学知识解决实际经济问题，激发学生对数学的兴趣和应用能力。
教学内容三：培养解决经济问题的能力1. 引导思考：让学生反思数学在经济中的应用对个人和社会的重要性，以及数学学习对未来职业发展的意义；2. 合作探究：根据学生的个性和兴趣，分组进行项目研究，探索特定经济领域中的数学应用；3. 总结反思：引导学生总结本课的学习收获，反思自己在数学与经济中的学习态度和能力提高。
教学评价与反思教学评价方式：1. 课堂讨论及参与度评价：评估学生在课堂上的表现，包括思考能力、发言质量、参与讨论等；2. 作业评价：设置数学与经济相关习题，评估学生的解决问题的能力和方法；3. 项目报告评价：对学生进行小组项目报告评估，评估学生的合作能力、创新思维和研究成果。
教学反思：1. 在数学与经济相关案例的设计上，要注意案例的真实性和生动性，以激发学生的兴趣和学习积极性；2. 针对不同程度的学生，可以提供不同难度的数学与经济问题，确保每位学生都能够有所收获；3. 鼓励学生多与同学合作讨论，促进交流与思维碰撞，提高解决问题的能力和思维习惯。
经济数学基础3(本)课程教学设计方案.doc
经济数学基础3（本）课程教学设计方案一、课程说明《经济数学3》课程是浙江广播电视大学经济、金融专业本科的一门基础选修课，它是为培养适应社会主义现代化经济发展和科学进步需要的本科管理应用型人才服务的，也是学习专业理论课程知识不可缺少的基础课程。
本课程是在学生完成经济数学、线性代数基本知识、基本理论和基本方法的学习基础上，介绍概率论和数理统计等内容。
这些内容的设置是为学生学习后继的专业课程和今后的实际工作提供必要的数学基础的知识和方法。
本课程36学时，2学分。
内容包括随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础。
二、课程的目的与要求本课程的教学目的是使学生在经济数学、线性代数学习的基础上，进一步扩充在后续课程的学习和今后实际工作中必须具备的数学学科的基本知识、基本理论和基本方法，使学生初步掌握概率论和数理统计的基本概念和基本方法，培养学生具有一定的抽象思维和概括能力，提高学生综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力以及自学能力，使学生具有较高的学习专业理论的素质。
因此，通过本课程的学习，要求学生：理解概率论和数理统计是研究随机现象数量规律性的科学，掌握概率论与数理统计的基本概念和基本理论，以及处理随机现象的基本思想和基本方法，具有运用概率统计方法分析和解决实际问题的一定能力。
三、教学内容与教学要求第1章随机事件与概率（8 学时）(一)教学内容1.随机事件随机事件的关系与运算。
2.随机事件的概率随机事件的频率、概率，古典概型及其简单计算，概率的基本性质。
3.概率的运算法则概率的加法公式，条件概率与乘法公式，事件的独立性。
完备事件组概念，全概公式。
4.贝努里概型n重贝努里试验与二项概型。
（二）教学要求1.了解随机事件、频率、概率等概念。
2.掌握随机事件的运算，了解概率的基本性质。
3.了解古典概型的条件，会求解较简单的古典概型问题。
4.熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握条件概率和全概公式。
5.理解事件独立性概念。
《经济应用数学》教学教案(全)
《经济应用数学》教学教案(全)一、教学目标1. 理解经济应用数学的基本概念和原理，掌握数学在经济领域中的应用方法。
2. 培养学生运用数学工具解决实际经济问题的能力，提高学生的数学思维和创新能力。
3. 增强学生的经济素养，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
二、教学内容1. 经济应用数学的基本概念和原理理解经济应用数学的定义和作用掌握经济应用数学的基本概念和原理，如线性规划、非线性规划、概率论等了解经济应用数学在经济领域的应用范围和实际案例2. 数学在经济领域中的应用方法熟悉数学模型在经济分析中的应用掌握数学工具在经济预测、决策和优化中的应用方法了解数学在经济政策制定和评估中的应用3. 实际经济问题的解决分析和解决实际经济问题，如市场供需分析、成本收益分析等运用数学工具进行经济数据的处理和分析提出合理的经济决策和优化方案三、教学方法1. 讲授法：通过讲解、板书和多媒体展示等方式，传授经济应用数学的基本概念和原理。
2. 案例分析法：通过分析实际经济案例，引导学生运用数学工具解决实际问题。
3. 实践操作法：通过实验、模拟和实际操作等方式，培养学生的数学思维和创新能力。
4. 讨论法：组织学生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的观点和见解。
四、教学安排1. 第一周：介绍经济应用数学的基本概念和原理，讲解数学在经济领域中的应用方法。
2. 第二周：通过案例分析，引导学生运用数学工具解决实际经济问题。
3. 第三周：进行实验和模拟操作，培养学生的数学思维和创新能力。
4. 第四周：组织学生进行小组讨论，分享自己的观点和见解。
五、教学评估1. 课堂参与：评估学生在课堂上的参与程度和积极性。
2. 作业完成：评估学生完成作业的情况和质量。
3. 测试成绩：通过测试评估学生对经济应用数学知识的掌握程度。
4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现和贡献。
六、教学资源2. 多媒体资源：利用多媒体课件、视频和动画等资源，丰富教学内容和形式。
《经济应用数学》教学教案(共25课)第21课-概率论基础(二)
课题概率论基础（二）——事件的独立性、全概率公式与贝叶斯公式、随机变量及其分布课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）理解事件的独立性。
（2）了解全概率公式与贝叶斯公式。
（3）掌握随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的概念。
（4）掌握常用的两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布与正态分布。
思政育人目标：通过学习概率论的相关知识，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的概念教学难点：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布与正态分布教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min）第2节课：知识讲解（30 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（33 min）⏹【教师】讲解事件的独立性，并通过例题讲解介绍其应用定义6设A B，是同一试验中的两个事件，若A B，中任一事件的发生与否不影响另一事件的概率，即(|)()P B A P B=或(|)()P A B P A=，则称事件A与事件B相互独立，否则称其不相互独立．例6某科研项目由3个小组独立研究，这3个小组成功完成该项目的概率分别为0.25，03，0.4，求该项目被研究成功的概率．解设123A A A，，分别表示3个小组成功完成该项目的事件，由题意知1()0.25P A=，2()0.3P A=，3()0.4P A=．学习事件的独立性，全概率公式与贝叶斯公式，随机变量的概念。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化由于123A A A ，，相互独立，且该项目被研究成功的事件为123()A A A ++．而事件123()A A A ++与123()A A A 互为对立事件，所以123123()1()P A A A P A A A ++=-．由相互独立事件的性质可知，123A A A ，，也相互独立，所以123123123()1()1()()()P A A A P A A A P A P A P A ++=-=-1(10.25)(10.3)(10.4)0.685=----=．例7 某采购部门分别向供应商A 和供应商B 紧急采购一批特殊原料，如果两批原料均未在4天内运达，则生产就必须停止直到原料运达为止．供应商A 在4天内将原料运达的概率为0.55，供应商B 在4天内将原料运达的概率为0.35，假设这两个供应商将原料运达的时间相互独立，请计算下列事件的概率．（1）两个供应商均在4天内将原料运达； （2）至少有一个供应商在4天内将原料运达； （3）4天后由于原料短缺而被迫停产． 解 设{4}{4}A AB B ==供应商在天内将原料运达，供应商在天内将原料运达（1）()()()0.550.350.1925P AB P A P B ==⨯=；（2）()()()()0.550.350.19250.7075P A B P A P B P AB =+-=+-=（3）因为A B ，相互独立，所以，A 与B 也相互独立．()1()10.550.45()1()10.350.65P A P A P B P B =-=-==-=-=，所以，()()()0.450.650.2925P AB P A P B ==⨯=⏹ 【学生】理解事件的独立性⏹ 【教师】讲解全概率公式与贝叶斯公式，并通过例题讲解介绍其应用1．全概率公式定义7 若12n A A A ，，，为完备事件组，B 为任意事件，则 111()()(|)()(|)()(|)nn n i i i P B P A P B A P A P B A P A P B A ==++=∑，该公式称为全概率公式．例8 设某厂从两个不同供应商处购买零件，该厂有65%的零件由供应商1提供，其余35%由供应商2提供．供应商1提供的零件质量保证率为95%，供应商2提供的零件质量保证率为90%．现从中任取一个零件，其质量保证率为多少？ 解 设1{1}A =供应商提供的零件，2{2}A =供应商提供的零件，B ={有质量保证的零件}，则1212()0.65()0.35(|)0.95(|)0.9P A P A P B A P B A ====，，，显然，任取一个零件，不是供应商1提供的，就是供应商2提供的，即12A A Ω=且12A A =∅，所以1BA 与2BA 互不相容．于是121212()()[()][()()]()()P B P B P B A A P BA BA P BA P BA Ω====+1122()(|)()(|)0.650.950.350.90.9325P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=所以，任取一个零件，其质量保证率为93.25%．例9 设仓库有10箱相同规格的产品，已知其中有5箱、3箱、2箱分别是甲厂、乙厂、丙厂生产，且甲厂、乙厂、丙厂生产该种产品的正品率依次为91419101520，，，从这10箱产品中任取一箱，再从取得的这箱中任取一件产品，求取得正品的概率． 解 设{}(1 23)i A i i ==第厂生产的产品，，分别表示甲厂、乙厂、丙厂，123A A A ，，为完备事件组，{}B =正品，则112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++593142190.92101010151020=⨯+⨯+⨯=． 所以，任取一件产品取得正品的概率为0.92．2．贝叶斯公式定义8 若12n A A A ，，，为完备事件组，()0(12)i P A i n >=，，，；另有事件B ，它总是与事件12n A A A ，，，之一同时发生，则有1()(|)(|)()(|)i i i njjj P A P B A P A B P A P B A ==∑，该公式称为贝叶斯公式．因为(|)i P A B 是在试验得到结果“事件B 发生”后求得的关于事件i A 的概率，故称()i P A 为先验概率，(|)i P A B 为后验概率．例10 在例8中，如果从这批零件中随机任取一个发现是合格品，求这件合格品是由供应商1提供的概率． 解 由题意得，要求的概率为1(|)P A B ，由贝叶斯公式得 1111122()(|)0.650.95(|)0.6622()(|)()(|)0.9325P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯==≈+⏹ 【学生】了解全概率公式与贝叶斯公式 ⏹ 【教师】讲解随机变量的概念定义1 在某一随机试验中，对于试验的每一个样本点，都唯一对应一个数值，这样按不同样本点而取不同数值的点称为随机变量．通常用希腊字母ξη，或大写英文字母X Y Z ，，等表示随机变量，用小写英文字母i i x y ，表示随机变量对应于某个随机试验结果所取的数值． 以下为一些随机变量的例子．（1）投掷骰子出现的点数用随机变量X 表示，X 可取值为{123456}，，，，，； （2）话务台每小时收到的呼叫次数用Y 表示，Y 可取值为{012}，，，； （3）地铁调度中心安排每5 min 发一辆车，乘客在站台的候车时间{|05}ξt t =； （4）某电子零件的寿命用{|03000}T t t =表示．根据取值情况不同，随机变量可分成以下两类．（1）离散型随机变量：取有限个或无限个可以列出的数值，如上述例子中的（1）（2）；（2）非离散型随机变量：可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部值，非离散型随机变量的范围较大，本书只研究其中常见的一种，即连续型随机变量，如上述例子中的（3）（4）．⏹【学生】掌握随机变量的概念课堂测验（10 min）⏹【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况⏹【学生】做测试题目⏹【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程⏹【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解（30 min）⏹【教师】讲解离散型随机变量及其概率分布，并通过例题讲解介绍其应用定义2 设X是一个随机变量，如果X的所有可能取值为有限个或无限个可以列出的值，则称X为离散型随机变量．要掌握一个随机变量的变化规律，不但要知道它可能取什么值，更重要的是要知道它取每一个值的概率是多少．定义3设X是一个离散型随机变量，其可能取的值为()12kx k=，，，则称{}(12)k kP X x p k===，，为X的概率分布，简称分布列或分布．例1现有2个一级品、3个二级品，从中随机取出3个，用X表示取出其中一级品的个数，求X取不同值时的概率．解由题意知，X的可取值为{012}，，．3335C1{0}C10P X===，122335C C3{1}C5P X===，212335C C3{2}C10P X===．下面介绍三种常见的离散型随机变量的分布．学习离散型随机变量及其概率分布，连续型随机变量及其概率密度。
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3.2.3 运输问题数学模型教学目的：熟练掌握运输问题的表上作业法，掌握图上作业法。
内 容：1. 表上作业法2. 图上作业法教学重点：表上作业法、图上作业法 教学难点：表上作业法 教 具：多媒体课件教学方法：启发式教学，精讲多练 教学过程： 1.引入新课：由研究配送、运输管理及物资调运等问题引出运输问题数学模型，并给出解决运输问题数学模型的方法：表上作业法与图上作业法。
2.教学内容：一、表上作业法【例1】设某种物资有A 1、A 2、A 3三个产地和B 1、B 2、B 3、 B 4四个销地，各产地的产量分别为25吨、25吨和80吨，各销地的销量分别为45吨、20吨、30吨和35吨。
由各产地到各销地的单位运价见表1。
问如何安排供应才能使得总运费最省（最优调运方案）？解 设ij x 表示由产地i A 运往销地j B 物质数量（1,2,3;1,2,3,4i j ==），即供应数量，S 为总运费。
由题意可得运输问题的数学模型为：111234111213142122232431323334112131122232132333142434min 85925258045..2030350(1,2,3;1,2,3,4)ijS x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x i j =++++++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎪++=⎪⎪≥==⎩ 约束条件实际上只有6个独立的方程。
此问题有3416+-=个基变量，其它是非基变量。
一般地，如果一个运输问题有 m 个产地，n 个销地，则该运输问题的数学模型可表示为：1111min (1,2,,)..(1,2,,)0(1,2,,;1,2,,)mnij iji j nij i j m ij j i ij S c x x a i m s t x b j n x i m j n =====⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪≥==⎪⎩∑∑∑∑其中，ij x 表示第i 个产地运往第j 个销地的运输量；ij c 表示第i 个产地运往第j 个销地的单位运价；S 表示总运费；i a 是第i 个产地的产量；j b 是第j 个销地的销量。
表上作业法具体过程如下： （1）确定初始调运方案最小元素法：在运价表中，选在产销地之间运价最小者优先安排，使需要得到最大限度的满足的方法。
最小元素的具体步骤：首先在表1中找出一个最小的运价222c =，考虑2A 与2B 之间的调运，由于222225,20,A B A B ==>，所以可以让2A 满足2B 的需要，令2220x =，将○20填入表3-29内，2A 剩下的5吨另作安排，因为2B 已供应完，在2B 列12x 32,x 格内划⨯，表示1A 、3A 产地不再供应2B 销地。
其次在剩下的运价表（除去划⨯及划圈标数字元素）中找最小运价334c =，考虑3A 与3B 之间的调运，3A 保证供应3B ，令3330x =，在表中填入○30，在3B 列13x 23,x 格内划⨯，见表2。
再在剩下的运价表中找最小运价24，因为A 2还剩5吨，而B 4需要35吨，所以把A 2所剩5吨全部调运给B 4，令245x =，在表中填入○5，这时A 2的产量已经全部运出，再不能向别处调运，在A 2行的21x 格内划×。
同样，再在剩下的运价表中找最小运价147c =，将A 1的25吨全部调运给4B ，令1425x =，在表中填入○25，在A 1行的11x 格内划×。
由于4B 的销量是35吨，现在有由A 1供应的25吨，由A 2供应的5吨，剩下的5吨应由A 3供应，令345x =，将⑤填入表内，1B 的销量为45吨，完全由A 3供应，令3145x =，将○45填入表中，这时，在运价表上就得到一个调运的初始方案，见表3。
总运费（2）最优方案的判定用最小元素法确定的初始方案，不一定是最优方案，必须加以检验。
在这里我们采用闭回路法来判定一个方案是否最优。
闭回路法依赖于运价表和初始调运方案，画出所有空格的闭回路，然后根据闭回路求出每个空格的检验数。
其步骤如下：①画出空格闭回路。
空格是指没有调运数量的格。
空格闭回路的画法是：在初始调运方案中，从空格出发用垂直和水平的线段作出闭回路。
它的转角点（指闭回路顶点）除空格出发点外，必须是填有调运数量的格（以下称数字格）。
在画闭回路时，线段可以交叉，也可以穿过数字格。
可以证明，只要数字格数等于m +n -1，每一个空格所对应的闭回路就是存在的而且是唯一的。
在表3-30中，空格11x 的闭回路是：1114343111x x x x x →→→→空格12x 的闭回路是：1214242212x x x x x →→→→ 空格13x 的闭回路是：1314343313x x x x x →→→→ 空格21x 的闭回路是：2124343321x x x x x →→→→ 空格23x 的闭回路是：2324343323x x x x x →→→→ 空格32x 的闭回路是：3234242232x x x x x →→→→②求空格的检验数。
检验数的求法是：由空格出发沿闭回路前进，给空格和各转角顶点依次标记序号为0，1，2…，将奇顶点的运价都加上负号，偶顶点的运价都加上正号，这些正负数的代数和称为空格检验数。
通常把空格ij x 检验数记作ij λ。
如果所有空格的检验数ij λ都非负，则对应的调运方案就是最优方案，这一法则叫最优方案的判定法则。
在表3-30中，1187991λ=-+-= 1257622λ=-+-= 1367944λ=-+-= 21106994λ=-+-= 2376946λ=-+-= 3239622λ=-+-=-由于检验数3220λ=-<，所以该方案不是最优方案。
判断方案是否为最优方案，就是看检验数中是否有负数。
因此，我们只要在在调运表中逐格检查，遇到一个空格就求与它相对应的检验数，一旦发现有负的检验数，就立即进行调整，其余空格的检验数就不用再求了。
（3）方案的调整对于运输问题，最优解总是存在的。
如果初始调运方案不是最优的，我们可以在原方案的基础上进行调整。
首先在表3-31中找出对就于负检验数32λ的空格32x 及这个空格的闭回路，见表4。
在表4中，把空格32所对应的非基变量改为基变量，使这一非基变量的值由零增大到一适当的数值，为保持平衡，同时还必须使改变后的基变量不出现负数，因此非基变量增大的数值（称为调整数），必须是闭回路中第奇次拐角中最小的调运量。
然后把32x 的闭回路第奇次拐角点的调运量都减去这个调整数，偶拐角点的调运量都加上这个调整数。
在本例中，取min(5,20)5θ==为调整数，调整后的运量见表5。
上等于检验数-2与调整数5的乘积，即调整后运费降低量ij λθ=⨯。
这样每次调整后运费能降低多少，我们都能预先知道。
表5对应的是不是最优方案，还需进行判定，经检验1187623910λ=-+-+-=-<，该方案仍不是最优方案，应当继续调整。
找出11λ对应的空格及这个空格的闭回路，见表6。
这个方案的总运费为815710625930320430790S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元)。
这个方案是否最优，仍需检验，其检验数为： 1258933λ=-+-=1368943λ=-+-= 21108763λ=-+-=222678931λ=-+-+-= 237678945λ=-+-+-= 3497891λ=-+-=由于检验数均大于零，所以该方案是最优方案，其最小运费790S =元。
表上作业法求解运输运输问题的步骤： Ⅰ. 用最小元素法编制出初始调运方案；Ⅱ. 用闭回路法逐一求出所有空格的检验数λ（只要判定正、负号即可）。
如果所有的检验数都非负，就得到最优方案，计算可以终止；Ⅲ. 一经发现负的检验数就进行调整，得到新的调运方案；Ⅳ. 对新的调运方案，重复Ⅱ、Ⅲ两步，直到所有检验数都非负，这时所得方案为最优方案。
注意：①在用最小元素法编制初始调运方案或用闭合回路法调整调运方案时，必须始终保持m+n -1个基变量。
②遇到不平衡运输问题时，通常总是把它转化为平衡运输问题来解决。
【例2】设某商品有三个产地和四个销地，它们的产量和销量及单位运价见表8。
问应如何安排供应，才能使总运费最省？现虚设一个销地（或增加一个库存，库存为4吨），同时在运价表上增加一列，因为库存不需要运费，所以这一列的运价都填上零，如表9。
这里要注意，在利用最小元素法编制初始调运方案时，不考虑库存一列，然后逐次取最小运价进行编制，得初始调运方案，见表10。
224333142335S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）。
由表3-38可以看出，多余的4吨物资应库存在A 1、A 2两地各2吨，然后进行平衡物质调运才能使总运费最少。
二、图上作业法求解运输问题，直接在交通图上作流向图，编制并确定最优方案，这种方法称为图上作业法。
1．基本概念定义1 在运输问题中，调出物资的地点称为发点。
用“○”表示，调出物资的数量称为发量（单位：吨），记在“○”内；调入物资的地点称为收点，用“□”表示，调入物资的数量称为收量（单位：吨），记在“□”内。
运输路线用“—”表示，称为交通线。
如果把收发点、收发量和连接它们之间的交通线画出来，并在交通线旁边标上距离（单位：公里）就得到交通图。
交通图有多种多样，但一般可分为交通图不成圈、交通图成圈两种情况，分别如图1、图2所示。
定义2 物资的调运方向称为流向，用“→”表示，模仿交通法规，画在前进方向交通线的右侧。
流向经过的距离称为流向长。
调运物资的数量称为流量，记在“→”的右侧，并加括号“（）”（与交通线旁的距离区别开），把标有流向和流量的交通图称为流向图。
如图3所示的流向图，表示A2B1上的流量为5吨，流向长为2+3=5公里；流向A1B2上的流量为10吨，流向长为3+5=8公里。
A1、A2是发点，发量为10+5=15吨；B1、B2是收点，收量为5+10=15吨。
在物资调运过程中，把某种物资从各个发点调运到各个收点，调运方案可以很多，问题是如何去找使运输量（吨·公理）最小的调运方案。
这就必须要避免物资调运中的对流和迂回两种不合理的运输现象。
定义3 同一种物资在同一条交通线上，如果存在往返运输，则称其为对流。
对流现象是物资调运中的不合理现象，是浪费运输力的现象。
在图3中，把A 2点的5吨物资运到B 1点，A 1点的10吨物资运到B 2点，那么就在A 1、A 2之间 这一段交通线上形成了对流。
在流向图上消灭对流是很容易做到的。
把A 1点的10吨物资运给B 1点5吨，余下的5吨运给A 2 点，以满足B 2点对10吨物资的需求，这样得到流向图4注意 定义4 在交通图成圈时，按照画流向图的规定，有的流向在图的圈内，称为内圈流向；有的流向在图的圈外，称为外圈流向。