《新编基础物理学》第2章习题解答和分析2

第2章 质点动力学

2-30 一物体在介质中按规律2x ct =作直线运动，c 为一常量。设介质对物体的阻力正比于速度的平方。试求物体由x 0=0运动到x =l 时，阻力所做的功。（已知阻力系数为k ）

分析 本题是一个变力做功问题，按功的定义式d W F x =⋅⎰v v

来求解。

解 由运动学方程2x ct =，可得物体速度

d 2d x ct t

==v

物体所受阻力大小为

22244F k kc t kcx ===v

阻力做的功为

200d d 4d 2l l

W F x F x kcx x kcl =⋅=-=-=-⎰⎰⎰v v

2-31．一辆卡车能沿着斜坡以1

15km h -⋅的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切

tan 0.02α=，所受的阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，则卡车

的速率是多少？

分析：求出卡车沿斜坡方向受的牵引力，再求瞬时功率。注意：牵引力和速度同方向。 解：如解图2-31所示，由于斜坡角度很小所以有

sin 0.02tg αα≈=

且阻力

0.04f G =

上坡时牵引力为

sin 0.06F f G G α=+=

下坡时牵引力为

sin 0.02F f G G α'==－

由于上坡和下坡时功率相同，故

P F F ''==v v

所以

1145km h 12.5m s --'=⋅=⋅v

2-32．某物块重量为P ，用一与墙垂直的压力N F 使其压紧在墙上，墙与物块间的滑动摩擦系数为μ，试计算物块沿题图2-32所示的不同路径：弦AB ，劣弧AB ，折线AOB 由A 移动到B 时，重力和摩擦力的功。已知圆弧半径为r 。 分析：保守力做功与路径无关，非保守力做功与路径有关。 解：重力是保守力，而摩擦力是非保守力，其大小为f N μ=。 （1） 物块沿弦AB 由A 移动到B 时，重力的功

1G W mgh Pr ==

摩擦力的功

解图2-31

α

题图2-32

12f W f AB Nr μ=⋅=

（2） 物块沿圆弧AB 由A 移动到B 时，重力的功

2G W mgh Pr ==

摩擦力的功

»21

2

f W f AB Nr πμ=⋅=2

（3） 物块沿折线AOB 由A 移动到B 时，重力的功

3G W mgh Pr ==。

摩擦力的功

32f W f AOB Nr μ=⋅=

2-33．求把水从面积为2

50m 的地下室中抽到街道上来所需做的功。已知水深为1.5m ，水面至街道的竖直距离为5m 。

分析：由功的定义求解，先求元功再积分。

解：如解图2-33以地下室的O 为原点，取x 坐标轴向上为正，建立坐标轴。

选一体积元d d V S x =，则其质量为

d d d m p V pS x ==。

把d m 从地下室中抽到街道上来所需做的功为

d (6.5)d W g x m =-

故

1.5 1.5

60

d (6.5)d 4.2310(J)W W pSg x x ==-=⨯⎰⎰

2-34．一人从10 m 深的井中提水．起始时桶中装有10 kg 的水，桶的质量为1 kg ，由于水桶漏水，每升高1 m 要漏去0.2 kg 的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所做的功． 分析：由于水桶漏水，人所用的拉力F 是变力，变力做功。 解：选竖直向上为坐标y 轴的正方向，井中水面处为坐标原点. 由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F 等于水桶的重量，即

0.2107.8 1.96F mg gy y =-=-

人的拉力所做的功为 0

d d H

W W F y ==⎰⎰

＝10

(107.8 1.96)d =980 (J)y y -⎰

2-35．一质量为m 、总长为l 的匀质铁链，开始时有一半放在光滑的桌面上，而另一半下垂。试求铁链滑离桌面边缘时重力所做的功。

分析：分段分析，建立如解图2-35坐标轴，对OA 段取线元积分求功，对OB 段为整体重力在中心求功。 解： 选一线元d x ，则其质量为

解图2-33

解图2-35

d d m

m x l

=

。 铁链滑离桌面边缘过程中，OA 段的重力做的功为

1

12210

11

d ()d 28

l l W W g l x m mgl ==-=⎰⎰

OB 段的重力的功为

2111

224

W mg l mgl =

⨯= 故总功

123

8W W W mgl =+=

2-36．一辆小汽车，以i =r v

v v 的速度运动，受到的空气阻力近似与速率的平方成正比，2F A i =-r r

v ，A 为常量，且220.6N s m A -=⋅⋅。

（1）如小汽车以1

80km h -⋅的恒定速率行驶1km ，求空气阻力所做的功； （2）问保持该速率,必须提供多大的功率？ 分析：由功的定义及瞬时功率求解。 解：（1）小汽车的速率为

1212

80km h 10m s 9

--=⋅=⨯⋅v

空气阻力为

22228000

0.6(10)(N)927

F A =-=-⨯⨯=-v

则空气阻力所做的功

8000

1000J =296(kJ)27

W F r =⋅∆=-⨯r r ()

（2）功率为

8000200

(2)6584(W)279

P F ==

⨯=v 2-37．一沿x 轴正方向的力作用在一质量为3.0kg 的质点上。已知质点的运动方程为

2334x t t t =-+，这里x 以m 为单位，时间t 以s 为单位。试求：

（1）力在最初4.0s 内做的功；

（2）在=1s t 时，力的瞬时功率。

分析：由速度、加速度定义、功能原理、牛顿第二定律求解。 解：(1) 2d ()383d x

t t t t

==-+v 则

11(4)19m s ,(0)3m s --=⋅=⋅v v

由功能原理，得

22

1(4)(0)528(J)2

k W E m ⎡⎤=∆=-=⎣⎦v v