轴向拉(压)杆截面上的应力
轴向拉伸和压缩
第七章轴向拉伸和压缩一、内容提要轴向拉伸与压缩是杆件变形的基本形式之一，是建筑工程中常见的一种变形。
(一)、基本概念1. 内力 由于外力的作用，而在构件相邻两部分之间产生的相互作用力。
这里要注意产生内力的前提条件是构件受到外力的作用。
2. 轴力 轴向拉（压）时，杆件横截面上的内力。
它通过截面形心，与横截面相垂直。
拉力为正，压力为负。
3. 应力 截面上任一点处的分布内力集度称为该点的应力。
与截面相垂直的分量σ称为正应力，与截面相切的分量τ称为切应力。
轴拉（压）杆横截面上只有正应力。
4. 应变 单位尺寸上构件的变形量。
5. 轴向拉（压） 杆件受到与轴线相重合的合外力作用，产生沿着轴线方向的伸长或缩短的变形，称为轴向拉（压）。
6. 极限应力 材料固有的能承受应力的上限，用σ0表示。
7. 许用应力与安全系数 材料正常工作时容许采用的最大应力，称为许用应力。
极限应力与许用应力的比值称为安全系数。
8. 应力集中 由于杆件截面的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。
(二)、基本计算1. 轴向拉（压）杆的轴力计算求轴力的基本方法是截面法。
用截面法求轴力的三个步骤：截开、代替和平衡。
求出轴力后要能准确地画出杆件的轴力图。
画轴向拉（压）杆的轴力图是本章的重点之一，要特别熟悉这一内容。
2. 轴向拉（压）杆横截面上应力的计算任一截面的应力计算公式 AF N =σ 等直杆的最大应力计算公式 AF max N max =σ 3. 轴向拉（压）杆的变形计算虎克定律 A E l F l N =∆εσE =或 虎克定律的适用范围为弹性范围。
泊松比 εε=μ'4. 轴向拉（压）杆的强度计算强度条件塑性材料：σma x ≤[σ] 脆性材料： σt ma x ≤[σt ]σ c ma x ≤[σc ]强度条件在工程中的三类应用（1）对杆进行强度校核在已知材料、荷载、截面的情况下，判断σma x是否不超过许用值[σ]，杆是否能安全工作。
杆件的轴向拉压变形及具体强度计算
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题
1、强度校核：
max
FN A
2、设计截面：
A
FN
3、确定许可载荷： FN A
目录
拉压杆的强度条件
例题3-3
F
F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200 。
〔σ〕=120MPa。试校核斜杆的强度。
解：1、研究节点A的平衡，计算轴力。
目录
——横截面上的应力
目录
FN
A
——横截面上的应力
该式为横截面上的正应力σ计 算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设 可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂 直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式为：
目录
• 拉(压)杆横截面上的应力
FN 2 45° B
F
FN1 28.3kN FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
B
1
FN1 A1
28.3103 202 106
4
F
90106 Pa 90MPa
x
2
FN 2 A2
20103 152 106
89106 Pa 89MPa
目录
三、材料在拉伸和压缩时的力学性质
教学目标：1.拉伸、压缩试验简介； 2.应力-应变曲线分析； 3.低碳钢与铸铁的拉、压的力学性质； 4.试件的伸长率、断面收缩率计算。
教学重点：1.应力-应变曲线分析； 2.材料拉、压时的力学性质。
教学难点：应力-应变曲线分析。 小 结: 塑性材料与脆性材料拉伸时的应力-应变曲线分析。 作 业: 复习教材相关内容。
轴向拉压杆件应力
建筑工程学院 莫振宝
复习提问
1、截面法的步骤？ ①截开：在需求内力的截面处，沿该截面假 想地把构件切开选取其中一部分为研究对象。
② 显示：将弃去部分对研究对象的作用，以 截面上的未知内力（正方向）来代替。
③平衡：根据研究对象的平衡条件，建立平衡 方程，以确定未知内力的大小和方向。
2、轴力的符号规定？ 相对于截面拉力为正，压力为负。
作业：
1、有一低碳钢杆件受三力如图，
F1=30KN, F2=10KN, F3=20KN,求杆
件各截面处的内力。
F1
A
F2 •B C F3
2、试求图中所示各杆件横截面1-1、2-2、3-3上 的轴力。F1=50KN，F2=40KN，F3=30KN。
A
正应力正负的规定与轴力相同，以拉为正，以压为负。
例1 已知A1=2000mm2，A2=1000mm2，求图示杆各段横截面
上的正应力。
A1 A2 60kN 20kN
AB
CD
解：
A1 A2 60kN 20kN
A B CD
轴力图
20kN ⊕
－○
40kN
AB
FN AB A1
40103 2000
20MPa
Ⅲ 30kN
FN3 30 0
FN3
Ⅲ
FN3 30kN
练习 画图示杆的轴力图。 3kN 2kN 2kN A B CD
3kN ⊕ 1⊕kN
○－
1kN
轴力图
一、横截面的正应力
拉压杆的应力及强度条件
拉压杆横截面上只有正应力而无剪应力，忽略应力集中 的影响，横截面上的正应力可视作均匀分布的，于是有
FN
02.3.应力·拉(压)杆内的应力解析
武生院建筑工程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
F
a b
a
b
c
d
c d
F
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。由于假设材料是均匀的，而杆 的分布内力集度又与杆件纵向线段的变形相对应，因而杆件 横截面上的正应力s呈均匀分布，亦即横截面上各点处的正 应力s 都相等。由合力概念知：
第12页
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• 讨论题
第13页
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第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-2 试求此正方 形砖柱由于荷载引起的横 截面上的最大工作应力。 已知F = 50 kN。
第14页
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第二章 轴向拉伸和压缩
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
FN1 50 103 N s1 A1 (0.24 m) (0.24 m) 0.87 106 P a 0.87 MP a (压应力)
Ⅱ.轴向拉(压)杆横截面上的应力
(1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关； (2) s在横截面上的变化规律：横截面上各点处s 相等 时，可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力——轴 力FN；横截面上各点处s 不相等时，特定条件下也可组成 轴力FN。
第7页
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第二章 轴向拉伸和压缩
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN 2 150103 N s2 0.37 m 0.37 m A2 1.1106 Pa 1.1 MPa (压应力)
s 2 s1
所以，最大工作应力为 smax= s2= -1.1 MPa (压应力）
轴向拉伸与压缩时横截面上的应力
例 一正中开槽的直杆，承受轴向载荷F =20kN的作用， 如图4-7a所示。已知h = 25mm，h0 = 10mm，b = 20mm。试求 杆内的最大正应力。
1 2
F
1 2
F
解 (1) 计算轴力 由截面法可求得杆中 各横截面上的轴力均为
a)
FN F
b)
图4-7
FN = -F = -20kN
A1
图4-6
由材料的均匀性、连续性假设可以推断出轴力在横截面 上的分布是均匀的，而且都垂直于横截面，故横截面上的正 应力也是均匀分布的，如图4-6c所示。因此，轴向拉伸与压 缩时的横截面上的正应力计算公式为
FN σ= A
σ 式中， 为横截面上的正应力；FN 为横截面上的内力（轴
力）；A 为横截面面积。 正应力的正负号与轴力的正负号一致。即拉应力正， 压应力为负。
h0 h
A2
h
b b
c)
(2)计算最大正应力 图4-7 由于整个杆件轴力相同，故最大正应力发生在面积较小 的横截面上，即开槽部分的横截面上如图4-7c,其面积为
A = (h-h0 )b = (25-10)
则杆件内的最大正应力 σ max 为
×20mm2 =
300mm2
σ max
拉压杆横截面上的应力应变及胡克定律
拉、压杆横截面上的应力、应变及胡克定理
一、杆件在一般情况下应力的概念
用同一材料制成而横截面积不同的两杆，在相同 拉力的作用下，随着拉力的增大，横截面小的杆件必 然先被拉断。这说明，杆的强度不仅与轴力的大小有 关，而且还与横截面的大小有关，即杆的强度取决于 内力在横截面上分布的密集程度。分布内力在某点处 的集度，即为该点处的应力。
A 力平观在面察横假到截设：面。横上向的线分在布变是形均前匀后的均，为且直都线垂，直且于都横垂截直面于。杆的轴线，
只是其正间应距力增大，(缩其小计)算，式纵为向间距减小(增大)，所有正方形的
网格均变成大小相同的长方形。
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一中段开槽的直杆，承受轴向载荷F＝20kN作用，
机械工业出版社
同的。当=0时，横截面上的正应力达到最大值
max =
当 =45时，切应力达到最大值
max
=
2
当 =90时， 和均为零，表明轴向拉（压）杆在平
行于杆轴的纵向截面上无任何应力。
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＝ cos2
＝ sin 2
2
（6-3）
机械工业出版社
A11—1
A22—2
h h0 h
中段正应力大。
A2=(h-h0)b=(25-10)20mm2
=300mm2
F
b
b
FN
3）计算最大正应力
max
FN A2
20103 300
N/mm 2
66.7MPa
负号表示其应力为负（压力）。
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三、斜截面上的应力
轴向拉（压）杆的破坏有 F
机械工业出版社
解 1）作轴力图。用截 面法求得CD段和BC段的轴力
§4-3 轴向拉(压)杆的应力
§4-3 轴向拉(压)杆的应力1．应力的概念为了解决杆件的强度问题，不仅要知道当外力达到一定值时杆件可能沿哪个截面破坏，而且还要知道该截面上哪个点首先开始破坏。
因而仅仅知道杆件截面上内力的合力是不够的，还需要进一步研究截面上内力的分布情况，从而引入了应力的概念。
应力就是杆件截面上分布内力的集度。
若考察某受力杆截面m-m 上M 点处的应力，如图4-8所示。
图4-8 一点的应力在M 点周围取一很小的面积A ∆，设A ∆面积上分布内力的合力为F ∆，则面积A ∆上内力F ∆的平均集度为A F p m ∆∆= (4-1) 式中m p 称为面积A ∆上的平均应力。
当微小面积A ∆趋近于零时，就得到截面上M 点处的总应力，即dA dFA Fp A =∆∆==∆lim 0(4-2) 由于F 是矢量，故P 也是矢量，其方向一般不与截面垂直或平行，因此可以分解成与截面垂直的法向分量正应力σ和与截面向切的切向分量切应力(剪应力)τ。
从应力的定义可知，应力是与“截面”和“点”这两个因素分不开的。
一般地说，杆件在外力作用下，任一截面上不同点的应力值是不同的，同一点位于不同截面上的应力值也是不同的。
因此在谈内力时，应明确是哪个截面哪个点处的应力。
应力的量纲为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2长度力，其国际单位为Pa(帕斯卡)，1Pa=1牛顿/米2。
工程中常用MPa ，1MPa=106Pa 。
2．拉(压)杆横截面上的应力对于拉(压)杆，横截面上的内力为轴力F N ，与轴力对应的应力为正应力σ。
观察受拉等直杆(图4-9(a))的变形情况。
首先在等直杆侧面作两条横向线ab 和cd ，代表其横截面，然后在杆的两端施加一对轴向拉力F 使杆发生变形。
可以观察到，横向线ab 和cd 移动到a’b’和c’d’的位置了，如图4-9(b)所示。
对于压杆，同样可以观察到该现象。
根据这一现象，可以假设原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，即平面假设。
根据这一假设，拉(压)杆变形后两横截面将沿杆轴线方向作相对平移，也就是说，拉(压)杆在其任意两个横截面之间纵向线段的伸长变形是均匀的。
第三节轴向拉压杆界面上的应力
一、截面应力：
1、截面应力----轴杆在在外力作用下产生内力，内力除位：Pa或N/m2
2）符号：
受拉为：+
受压为：-
二、例题：
例1、如图，变截面A、B、C、D，
已知P1=20KN,P2=P3=35KN,di=12mm，d2=16mm，d3=24mm, 求杆的应力
2）轴向变形量（应变）---或伸长或缩短
变形量：b b1 b
b b1 b 应变： b b
b
b
b1
b
b1
3）横向变形量（应变）---或伸长或缩短
横向变形量： d d1 d
d d1 d 横向应变： d d
/
b
d
b
b1
d1 d1
b
b1
4）符号：
受拉为正，受压为负
四、胡克定律：
1、胡克定律
在弹性限度内，应变与应力成正比，即：
E
E 弹性模量
2、胡克定律变形：
E
l l
N A
Nl l EA
3、泊松比： 在弹性限度内，轴向应变与横向应变之比是定值，成 为泊松比
/
D
C B A P3 P1 P2
P1
d3
d2
d1
例2、如图，一等直混凝土柱子，横截面边长为200mm的正方形，
如果在截面A和B上受有载荷P1=200KN，P2=100KN，试求在1-1，
2-2截面上的应力
P1
2m
1 P2
1
2m
2
2
三、拉杆变形：
1）拉压变形----一根轴载受到轴向力作用下，伸长或缩短的变形
材料力学——2-1～3 轴力 应力
危险点：应力最大的点。
s
max
max(
FN ( x) A( x)
)
16
4. 公式的应用条件： 直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。
5. Saint-Venant原理： 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作
用方式的影响。 6. 应力集中（Stress Concentration）： 在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
10
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右:
遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。
8kN
5kN
3kN
5kN +
5kN
8kN – -3kN
8kN 3kN
11
简
OA
便
求
5P
法
OA
RO=2P
5P
FN
2P +
–
- -3P
PD = P, 轴力图如何？ FN
3
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
P P
4
二、
工 程 实 例
5
§2–2 内力、截面法、轴力及轴力图
例如： 截面法求FN
P
A
P
截开：
P
A P
简图
代替：
P
FN A
平衡：
X 0 P FN 0 P FN
2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用FN 表示。
6
3. 轴力的正负规定: FN 与外法线同向,为正轴力(拉力) FN
0
–
-5P
BC 8P 4P
建筑力学第3章轴向拉伸与压缩
A
F
x
0
FN 1 cos 45 FN 2 0
FN 2 45° B
F
x
F
45°
y
0
B F
C
FN 1 sin 45 - F 0
FN 1 28.3kN FN 2 -20kN
A
2、计算各杆件的应力。
45°
C
B
FN 1 28.3 10 90MPa A1 20 2 4
斜截面上全应力：
p 0 cos
k
③pa 分解为：
p
P
P
p cos 0 cos 2
p sin 0 cossin
0
2
k
k
sin2
P
P
k
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。 当 = 0时， 当 = 90°时， 当 = ±45°时， 当 = 0,90°时，
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN 2 - 150 103 -1.1 MPa Ⅱ 2 A2 370
所以，最大工作应力为
max= = -1.1 MPa (压应力）
三、 轴向拉（压）杆斜截面上的应力
上述讨论的横截面上的正应力是今后强度计算的基础。 但不同的材料实验表明，拉（压）杆的破坏并不总是沿横截 面发生，有时确是沿斜截面发生的，为此，应进一步讨论斜 截面上的应力。为了全面分析拉（压）杆的强度，应研究它 斜截面上的应力情况。
解(1)、(2)曲线交点处：
30
60
B 31;PB 54.4kN
1 1
PB1 ,60 A /cos60/sin604601024/ 355.44kN
6-11拉压杆的应力计算
30KN
20KN
B 1
C 2
三、杆件截面上的应力
1. 应力的概念
内力在截面上的分布集度。
如右图。微面△Ａ上的内力之和为△F, 则 △Ａ上的平均应力为：
P1 P2
△F △A
令△A→0，即可得极限值p, 称为截面上某一点的总应力：
应力单位: 1MPa=1N/mm2 或1MPa=106Pa, 1GPa=109Pa
2. 应力的概念
内力在截面上的分布集度。
P1
t
p
通常将总应力p分解为与截面垂直
的法向分量σ和与截面相切的切向
s
应力分量τ。
P2
法向分量称为正应力，切向分量 称为切应力。
问题的提出
一、横截面上的正应力 1.实验观察—平面假设，变形前是平面的横截面，变形后仍 然保持为平面且仍垂直于轴线。
演示
变形规律试验及平面假设：
变形前
a
b
c
d
受载后
F
a´
b´
F
c´
d´
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。
正应力：横截面上应力的方向垂直于横截面，称为“正应
力”并以“s ”表示：
正应力
s FN
A
说明
式中s 为横截面上的正应力，FN为横截面上的轴力，A为横截
面面积。
当轴力为正时，s 为拉应力取正号；当轴力为负时，s 为压应
设想拉（压）杆由纵向纤维组成，根据平面假设， 拉（压）杆所有纵向纤维的伸长（缩短）是相同的。 从而推得，拉（压）杆横截面上只有正应力，且各 点的正应力相等，即横截面上正应力均匀分布。
正应力σ和轴力FN同号。即拉应力为正，压应力为负。 若杆轴力、截面沿轴线缓慢变化，横截面上的正应力 为x的函数。
工程材料力学第四章轴向拉压杆的应力与变形
fx
微段的分离体
图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同， 故不同截面的变形不同。
x x 截面处沿x方向的纵向平均线应变为 x
18
fl
f ( x x)
x
f
l
x
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f 轴力图
fx
微段的分离体
x d x lim x截面处沿x方向的纵向线应变为 x x 0 x dx
4
为此： 1. 观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后 的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直 于杆的轴线。 2. 设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平 截面假设——原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对 于拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。
5
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设 进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截
37
变形假设：两平行的斜截面在杆受拉 ( 压 ) 而变形后 仍相互平行。 => 两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸 长变形相同。
13
推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截
面上各点处的总应力p相等。
斜截面上的总应力：
F F F p cos s 0 cos A A / cos A
上？
16
§4-5 轴向拉(压)杆的变形·胡克定律
拉(压)杆的纵向变形 （轴向变形） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
纵向总变形Δl = l1-l （反映绝对变形量）
l 纵向线应变 （反映变形程度） l
17
fl
f ( x x)
3-轴向拉伸和压缩杆的强度计算
F2 =10kN
AAC =500mm2 ACD =200mm2
AB段:
AB
NAB AAB
20103 N 500mm2
40MPa
压
第26页，共37页。
【例3-3】试求图示阶梯形钢杆: ⑴各段杆横截面上的内力和应 力；⑵杆件内最大正应力；⑶杆件的总变形。
⑶杆件的总变形
已知弹性模量E=200GPa
l lAB lBC lCD
学习情境3
轴向拉伸和压缩杆的强度计算
甘肃省庆阳市及西峰区体委联合组
织西峰区各乡镇及市区机关单位共11支 500人代表队在庆阳市西峰区世纪大道一
级公路路面上举行万人拔河比赛，所用
钢丝绳长约550米，直径约3厘米，在比 赛到第二回合， 正当双方用力拼比时，
钢丝绳突然被拉断，拉断的钢丝绳绳头 将分界线两旁的人打伤，另将其余人摔 倒在公路上致使多人被擦破手腿皮肤和 踩伤。
第27页，共37页。
子情景3.2 轴向拉伸和压缩杆的强度计算
3.2.1 轴向拉伸和压缩杆的强度条件
⒈ 安全因数与许用应力
塑性材料，当应力达到屈服极限时，构件已发生明显的塑性变形，
影响其正常工作，称之为失效，因此把屈服极限作为塑性材料的极
限应力。 脆性材料，直到断裂也无明显的塑性变形，断裂是失效的唯一标
≤
第33页，共37页。
【例3-5】图示托架, AC是圆钢杆,许用拉应力[σ l]=160MPa, BC是方 木杆, F=60kN, 试选钢杆直径d。
N2 40 30 20
30kN压
4
4
N4
③CD段 X 0 :
N3 30 20
10kN 拉
④DE段 X 0 : N4 20kN压
轴向拉伸与压缩—轴向拉(压)杆横截面上的正应力(工程力学课件)
• 与截面垂直的应力称为正应力，用σ表示。 • 与截面相切的应力称为剪应力，用τ表示。
应力单位：帕（Pa）、千帕（kPa）、兆帕 （MPa）、吉帕（GPa）。
➢ 2.轴向拉（压）杆横截面上的正应力 平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，
且垂直于杆轴线。
结论：轴向拉（压）杆横截面上只有正应力，且均匀分布。
第一节 轴向拉（压）杆的内力与轴力图 第二节 轴向拉（压）杆横截面上的正应力 第三节 轴向拉（压）杆的强度计算 第四节 轴向拉（压）杆的变形计算 第五节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
➢ 1.应力的概念
应力——内力在单位面积上的分布集度。反映了内力在横截面上分布 的密集程度。
1Pa 1N / m2 1kPa 103 Pa 1Mpa 1N / mm2 106 Mpa 1Gpa 109 Pa
X 0 N BA sin 30 P 0
Y 0 N BA cos 30 N BC 0
P 15 NBA sin 30 0.5 30kN
N BC N BA cos 30 30 0.866 26kN
（2）计算各杆的应力
AB
N BA ABA
4 N BA
d 2
4 30 103 3.14 162
149.3MPa
BC
N BC ABC
26 10 2
103 10 2
2.6MPa
结论：拉杆横截面上产生的应力为均匀分布的正应力。 轴向拉（压）杆横截面上的正应力计算公式为：
N
A
N——横截面上的轴力； A——横截面面积。
σ 的符号：正号表示拉应力；Байду номын сангаас号表示压应力。
例题3 有一根钢丝绳，其截面积为0.725 cm2，受到3000N 的拉力，试求这根钢丝绳的应力是多少？
昆明理工大学材料力学第五章-轴向拉压杆的应力和变形
杆件拉伸时，FN 为正—拉力（方向：离开横截面）;
F
m
F
m
F
m FN
m FN m
m
∴ FN 为
F
轴力FN 的正负规定:
杆件压缩时，FN 为负—压力（方向：指向横截面 ）。
F
m
F
m
F
m FN
m FN m
∴ FN 为
F
m
用“设正法”求轴力: 先假设欲求轴力为正，解得为正是拉力，解得
为负是压力。
F
m
F
FF
F
F
22
}
例1. 等截面直杆，已知横截面面积A=500mm2。
(1)画轴力图; (2)求各段横截面上的正应力。
1 80kN 2 50kN 3
解：（1）求各段轴力
30kN
AB段: 由1-1右侧
A 1B
2 C 3D
FN1=80-50+30 =60kN
60
BC段: 由2-2右侧
30
FN2= 30-50
2. 极限应力: 材料破坏时的应力。用σo表示。 3. 许用应力:工作应力允许的最大值。用[σ] 表示。
为保证构件能正常工作并具有足够的安全储备， 将极限应力除以一个大于1的系数n（安全系数也称
为安全因数），便得到许用应力 [σ]，即
[s ] s o
n
n1
n—安全因数。
二、强度条件: 杆内的最大工作应力s max不得超过材料的许用应力。
二、由外力直接求内力 任意横截面上的轴力等于截面一侧所有外力的代数和。
规定（对外力）：离开截面取 ，指向截面取 。
F1
F2
2 F3
1 F4
轴向拉压杆件横截面上的应力
轴向拉压杆件横截面上的应力在工程设计和材料力学中，轴向拉压杆件是一种经常使用的结构元件，其横截面上的应力分布是一个重要的研究内容。
在此，将介绍轴向拉压杆件横截面上的应力分布，并给出相关参考内容。
轴向拉压杆件是指受到拉力或压力作用的杆件，其横截面形状可以是圆形、方形、矩形、椭圆形等。
在讨论轴向拉压杆件横截面上的应力分布时，我们假设该杆件是均匀材料、轴对称且受到等径向拉力或压力作用。
根据这些假设，我们可以得到以下结论。
首先，对于圆形横截面的轴向拉压杆件，应力沿着截面的半径方向是均匀的。
这意味着，在横截面上的任何一点，杆件的应力大小是相同的，只是方向不同。
具体而言，在拉力作用下，横截面上的应力大小为σ = F/A，其中F是作用于杆件上的拉力，A是横截面的面积。
而在压力作用下，横截面上的应力大小为σ = -F/A。
其次，对于矩形或方形横截面的轴向拉压杆件，其应力分布是非均匀的。
在拉力作用下，杆件的边缘处应力最大，中心处应力最小。
具体而言，在矩形或方形横截面的边缘处，应力计算公式为σ = F/2A，其中F是作用于杆件上的拉力，A是横截面的面积。
而在中心处，应力计算公式为σ = F/A。
此外，对于椭圆形横截面的轴向拉压杆件，其应力分布也是非均匀的。
在拉力作用下，杆件的长轴方向应力最大，短轴方向应力最小。
具体而言，在椭圆形横截面的长轴方向，应力计算公式为σ = F/2A，其中F是作用于杆件上的拉力，A是横截面的面积。
而在短轴方向，应力计算公式为σ = F/A。
综上所述，轴向拉压杆件横截面上的应力分布与杆件的形状密切相关。
在实际工程中，根据结构的要求，可以选择合适的截面形状来平衡应力分布，以提高杆件的强度和稳定性。
参考文献：1. 程训文等著. 材料力学. 北京：清华大学出版社，2016年2. 韩良辉等著. 结构力学. 北京：中国建筑工业出版社，2019年3. 林万善等著. 实用结构力学基础. 北京：中国水利水电出版社，2014年4. Beer, Ferdinand P., Johnston, E. Russell, DeWolf, John T. Mechanics of Materials. New York: McGraw-Hill Education, 2017.5. Popov, Egor P. Engineering Mechanics of Solids. Upper Saddle River, NJ: Pearson, 2015.。
1拉压杆横截面上的应力
1拉压杆横截面上的应力6.1.1 应力的概念同一种材料制成横截面积不同的两根直杆，在相同轴向拉力的作用下，其杆内的轴力相同。
但随拉力的增大，横截面小的杆必定先被拉断。
这说明单凭轴力F N 并不能判断拉（压）杆的强度，即杆件的强度不仅与内力的大小有关， 图6-1而且还与截面面积有关，即与内力在横截面上分布的密集程度（简称集度）有关，为此引入应力的概念。
要了解受力杆件在截面m-m 上的任意一点C 处的分布内力集度，可假想将杆件在m-m 处截开，在截面上围绕C 点取微小面积ΔA ，ΔA 上分布内力的合力为Δp (图6-1a)，将Δp 除以面积ΔA ，即Ap p ∆∆=m （6-1） p m 称为在面积ΔA 上的平均应力，它尚不能精确表示C 点处内力的分布状况。
当面积无限趋近于零时比值Ap ∆∆的极限，才真实地反映任意一点C 处内力的分布状况，即 lim 0dAdp A p p A =∆∆=→∆ （6-2） 上式p 定义为C 点处内力的分布集度，称为该点处的总应力。
其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切。
通常，将它分解成与截面垂直的法向分量和与截面相切的切向分量（图6-1b ），法向分量称为正应力，用σ 表示；切向分量称为切应力，用τ表示。
将总应力用正应力和切应力这两个分量来表达具有明确的物理意义，因为它们和材料的两类破坏现象——拉断和剪切错动——相对应。
因此，今后在强度计算中一般只计算正应力和切应力而不计算总应力。
应力的单位为“帕”，用Pa 表示。
1Pa=1N/m 2, 常用单位为兆帕MPa ，1MPa=106Pa=1MN/mm 2=1N/mm 2，1GPa=109Pa 。
6.1.2 轴向拉伸和压缩时横截面上的正应力取一等截面直杆，在其侧面作两条垂直于杆轴的直线ab 和 cd ，然后在杆两端施加一对轴向拉力F 使杆发生变形，此时直线ab 、 cd分别平移至a 'b '、 c 'd '且仍保持为直线（图6-2a ）。
轴向拉压时横截面的正应力分布
轴向拉压时横截面的正应力分布
纵压轴拉压对于肋杆行走机的性能有着重要的作用，将影响动力
性能，精度和效率，因此，对于了解纵向拉压轴时截面正应力分
布具有重要的意义。
首先，我们来了解纵向拉压轴的结构特性。
纵向拉压轴由多个不
同类型的材料，如木材，钢材，塑料或玻璃纤维等组成，其中木
材需要进行赋形加工，除此之外，还需要分段设计，使拉伸时轴
受力均匀，符合该设备在行走机上使用的考虑，轴上有不同的外
形加工和热处理，都为了改善其表面硬度，以增加拉伸强度。
接下来，我们来看看纵向拉压轴的正应力分布。
在拉伸的过程中，总的正压力分布会以减小的趋势沿着轴节进行分布，由于轴上的
赋形加工和分段设计，部件的各处的轴的拉伸强度会有较大的变化，为些部位的拉伸强度会更高，反之，也有些位置的拉伸强度
会更低。
另外，由于荷载、加工和热处理等因素，也会对轴上正
应力分布产生一些影响，使正应力分布线不均匀，分布轮转，进
而影响设备的使用性能。
综上所述，纵向拉压轴在拉伸时其截面正应力分布是不均匀的，
得益于不同的外形加工和热处理，其正应力分布以减小的趋势沿
着轴节进行，但是由于荷载、加工和热处理等因素的影响，使得
正应力分布的线不会均匀，从而会影响到设备的使用性能。
因此，
能在设计和制造过程中，考虑到各个位置的正应力分布，综合应
用加工处理技术，进行及时的溢流处理，以保证合格的产品质量。
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轴向拉（压）杆截面上的应力
【解】（1）内力分析。取结点D为研究对象，其受力图如图56（b）所示，求各杆轴力：
∑Fy=0，FNBD·cos 45°－F=0，FNBD=2F=31.4 kN ∑Fx=0，－FNCD－FNBD·sin 45°=0，FNCD=－F=－22.2 kN可见， BD杆受拉，CD杆受压。 （2）求各杆的应力。 根据公式（5-2）可得
工程力学
Hale Waihona Puke 轴向拉（压）杆截面上的应力
1.1 轴向拉压杆横截面上的应力
在已知轴向拉压杆横截面轴力的情况 下，确定该横截面的应力，必须要首先了 解横截面上应力的分布规律。由于应力分 布与构件变形之间存在着一定的物理关系， 因此可以从杆件的变形特点上着手，分析 应力在横截面上的变化规律。
轴向拉（压）杆截面上的应力
现以拉杆为例，杆的横截面积为A，受轴向拉力F的作
用，如图5-7（a）所示。为了研究任意斜截面上的应力，用
一个与横截面夹角为α的斜截面m—m，将杆分成两部分
［见图5-7(b）］。用Aα表示斜截面面积，用pα表示斜截面 上的应力，Fα表示斜截面上分布内力的合力。按照研究横截 面上应力分布情况的方法，同样可以得到斜截面上各点处的
轴向拉（压）杆截面上的应力
【例5-3】
工程力学
首先取一等直杆，在其表面等间距地刻画出与杆轴线平行的 纵向线和垂直轴线的横向线，如图5-5（a）所示。当杆受到拉力 F作用时，观察变形后的杆件，发现：纵向线仍为直线，且仍与 轴线平行；横向线仍为直线，且仍与轴线垂直；横向线的间距增 加，纵向线的间距减小，变形前横向线和纵向线间相交得到的一 系列正方形都沿轴向伸长，横向缩短，变成一系列矩形，如图55（b）所示。根据观察到的变形现象和材料的连续性假设，可以 由表及里地对杆件内部变形做出如下假设：变形前为平面的横截 面，在变形后仍然保持为平面，并且垂直于轴线，只是各横截面 沿杆轴线间距增加，此即为平面假设。
轴向拉（压）杆截面上的应力
由内力、应力的概念可知，横截面上应力的合力即 为横截面上的轴力FN，由于轴力垂直于横截面，可知拉压 杆横截面上只有垂直于截面的正应力σ，因此有
即 （5-2）
式中，A为横截面面积。正应力的正负号随轴力的正 负号而定，即拉应力为正，压应力为负。
轴向拉（压）杆截面上的应力
【例5-2】
其中，BD杆承受拉应力，CD杆承受压应力。
轴向拉（压）杆截面上的应力
1.2 轴向拉压杆斜截面上的应力
前面分析了等直杆拉伸或压缩时横截 面上的应力。但实验表明，铸铁试件受压 时，并不是沿着横截面方向发生破坏，而 是沿着斜截面方向破坏。所以需要研究拉 （压）杆在任意斜截面上的应力情况。
轴向拉（压）杆截面上的应力
应力pα相等的结论。再由左段的平衡条件［见图5-7（b）］ 可知
F=Fα
(a) (b)
轴向拉（压）杆截面上的应力
图5-7
轴向拉（压）杆截面上的应力
轴向拉（压）杆截面上的应力
可见，轴向拉伸（压缩）时，在杆件 的横截面上，正应力为最大值；在与杆件 轴线成45°的斜截面上，即α=45°时，切 应力为最大值，且τmax=σ2。此外，当α= 90°时，σα=τα=0，这表示在平行于杆件 轴线的纵向截面上无任何应力。
轴向拉（压）杆截面上的应力
图5-5
轴向拉（压）杆截面上的应力
由于杆件的连续性假设，可假想杆件是 由许多纵向纤维所组成的，由平面假设可以 推断，两任意横截面间的纵向纤维具有相同 的伸长变形。由于材料是均匀的，不难想象， 各纵向纤维变形相同，受力也应相同，由此 可以推断横截面上各点处的应力均匀分布， 如图5-5（c）所示。