浅谈初中数学中的数形结合

浅谈初中数学中的“数形结合”思想

新街初中丁耀华

教材在发展过程中，不断地改进，不断地整合，不断地优化。还记得十几年前的几何与代数是分开上的，甚至两者所属的教师都不同，实践证明这是行不通的，是对代数的“数”与几何的“形”的误解。数形结合的思想方法能扬数之长、取形之优，使得“数量关系”与“空间形式”珠联璧合，相映生辉。在十五年的教学中，我深刻的感受到数与形不可分割的特点，她们就像孪生兄妹一样“形影不离”，在教学体系中“无处不在”。

下面，我们就从几个方面来感受一下“数形结合”的魅力。

一、数形结合在有理数有关内容的体现

初中阶段最早感受数形结合思想的就是通过数轴来理解相反数、绝对值的概念，特别是在出现了负数之后，解决如何进行有理数加法运算时，借助数轴这种最简单的图形，利用点在数字轴上的移动，可生动、形象、直观地使学生更深地理解有理数的运算。相反数、绝对值的概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻画的。尽管学的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过数形结合的思想方法，帮助初一学生正确理解有理数的性质及其运算法则。

二、数形结合思想在函数方面的体现。

对于初中生来说，学习函数是个难点，通过教学中绘制图像，加上计算所显示的数量关系，变换图像，观察数值变化，使学生能够得到具体、生动、直观的感性认识，更好的理解函数的开口、形状、对称顶点与函数解析式中系数的关系。函数反映一种运动变化的过程，它有三种表示方式———解析式法、图像法、表格法，但通常情况下是前两种方式结合在一起解决问题。

例如：甲、乙两车从A地出发，沿同一条高速公路行驶至距A地400 千米的B 地，l1，l2分别表示甲、乙两车行驶路程y（千米）与时间x（时）之间的关系（如图2 所示），根据图一像提供的信息，可以解答下列问题：（1）l1，l2的函数表达式；（2）甲、乙两车是否同时出发，哪辆车晚走，比前一辆车晚走多长时间？（3）甲、乙两车哪一辆先到达B 地，该车比另一辆车早多长时间到达B 地？（4）晚出发的车经过多长时间追赶上了前面的车？

图一图二

三、数形结合思想在方程、函数与不等式三者间关系方面的体现。

数形结合思想将这三种看似独立的知识有机紧密地联系在了一起，体现了数与形之间的和谐与统一。例如，一次函数y=32x- 3 的图像如图二所示，根据方程、函数与不等式三者之的关系可知，一元一次方程32x- 3=0 的解应该是该函数图像与x 轴交点坐标的横坐标，也就是说可从图中直观地得出方程的解为x=2，一元一次不等式32x- 3＞0 的解集也可从图中直观地得出为x＞2。

四、数形结合思想在验证平方差公式、完全平方公式方面的体现。

由于学生逻辑思维能力还不够发达，对知识的分析能力欠佳，若能以图代文，以图诱思，将事半功倍。因此，在进行知识讲解时应尽量将复杂的关系转化为形象的几何图形，变抽象思维为形象思维。

如：两个乘法公式可以从整式乘法的角度推导出来，但利用图形验证更为直观。如平方差公式，先表示出图三（1）中的阴影面积S=a2-b2，再把图三（1）阴影部分拼成一个图（1）（2）所示的长方形，此时该长方形长为(a+b)，宽为(a- b)，面积为S=（a+b）(a- b)，从而得到(a+b)(a- b)=a2- b2。

a a b

b

图三（1）图三（2）

五、学习数形结合思想，增强解决问题的灵活性，提高分析问题、解决问题的能力。

在教学中渗透数形结合思想时，应让学生了解，所谓数形结合就是找准数与形的契合点，根据对象的属性，将数与形巧妙地结合起来，有效地互相转化，就成了解决问题的关键所在。数形结合的结合思想主要体现在：1）用方程、不等式或函数解决有关几何量的问题；2）用几何图形或图像解决有关方程或函数的问题；3）解决一些与函数有关的代数、几何综合性问题；4）以图像形式呈现信息的应用性问题。

例如：一个角的补角是这个角余角的3倍，求这个角的度数。

解：设这个角为x，则它的余角为（900-x），它的补角为（1800-x），由题意得：1800-x=3（900-x）解这个方程得：x=450

六、应用数形结合的思想，培养学生的发散思维能力。

发散思维是从同一来源的材料或同一个问题，探求不同思路和方法的思维过程，其思维方向是从不同角度、不同方面看待同一个问题。在数学教学中，常常借助“一题多解”或“一题多变”的形式，突出已知条件与问题之间的矛盾联系，来激发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，达到知识融会贯通，发展思维的广阔性和灵活性，激励学生的好奇心和求知欲，提高解决问题的应变能力。如教学相遇问题时，运用线段图的不同呈现方式，使学生理解两种解法。

数形结合思想在其他很多方面都有渗透和体现，在知识的理解上它所带来的直观性，在分析问题、解决问题时它所带来的方便，都说明了这种思想方法的伟大与优越，因此，在教学过程中，如果是几何部分，不仅要从形的方面去考虑问题，往往还需充分利用代数知识；如果是代数部分，则需经常注意它们的几何意义。总之，在教学中应从学生的认知规律出发，以探索性学习为主要形式，采用数形结合的教学方法，重视学生能力的提高，强化数学与现实生活的密切联系，让学生在学习数学中享受快乐，享受进步。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。