证明圆的切线的两种类型训练

证明圆的切线的两种类型

类型1 已知直线与圆的交点【方法】“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直”

如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.

求证：DM与⊙O相切.

练习1 (湖州中考改编)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB 垂直平分OC.

(1)求BC的长；

(2)求证：PB是⊙O的切线.

练习2 (德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C 是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形.

(1)求AD的长；

(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由.

练习3 (临沂中考)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E.

(1)证明：DE为⊙O的切线；

(2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.

类型2 未知直线与圆的交点【方法】作垂直，证半径，得切线

如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点.求证：AC 与⊙D 相切.

练习4 如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 上一点，以O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点M ，与AB 、AD 分别相交于点E 、F. 求证：CD 与⊙O 相切.

练习5 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，

E 为AB 上的一点，DE=DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB=5，EB=3. （1）求证：AC 是⊙D 的切线;

（2）求线段AC 的长.

圆的有关计算

类型1 动态几何中弧长或扇形的面积问题

练习1 已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 m ，半圆的直径为4 m ，则圆心O 所经过的路线长是______m.(结果用π表示)

练习2

如图所示，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，

AC=,

∠ACB=90°,∠A=30°,若Rt △

ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线长为______.(结果用含π的式子表示)

3

练习3 (恩施中考)如图，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD ，将正方形ABCD 沿x 轴的正方向无滑动的在x 轴上滚动，当点A 离开原点后第一次落在x 轴上时，点A 运动的路径线与x 轴围成图形的面积为( )

A.

+ B.

+1 C.π+1 D.π+

练习4 如图所示，扇形OAB 的圆心角为60°，半径为1，将它向右滚动到扇形O ′A ′B ′的位置，点O 到O ′所经过的路线长为( ) A.π

B.

π C.π

D.2π

练习5 (日照中考)如图，正六边形ABCDEF 是边长为2 cm 的螺母，点P 是FA 延长线上的点，在A 、P 之间拉一条长为12 cm 的无伸缩性细线，一端固定在点A ，握住另一端点P 拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P 运动的路径长为( ) A.13π cm B.14π cm C.15π cm D.16π cm

练习6 如图，边长为2的正六边形ABCDEF 在直线l 上按顺时针方向作无滑动的翻滚.

(1)当正六边形绕点F 顺时针旋转60度时，A 落在点A 1位置； (2)当点A 翻滚到点A 2的位置时，求点A 所经过的路径长.

类型2 圆中不规则图形的面积问题 (盐城中考)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，

AB ＝5 cm ，AC ＝2 cm ，将△ABC 绕顶点C 按顺时针方向旋转45°至△A 1B 1C 的位置，求线段AB 扫过区域(图中阴影部分)的面积.

7. (泰安中考)如图7，半径为2 cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( ) A.(

-1) cm 2

B.(

+1) cm 2

C.1 cm 2

D.

cm 2

2π2

12

π

2

13

4

3

52

π

2

π

2

π

8 (重庆中考)如图8，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，以AB 为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为( ) A.25π-6

B.

π-6 C.

π-6 D.

8-6 9 (乐山中考)如图，正方形ABCD 的边长为3，以A 为圆心，2为半径作圆弧，以D 为圆心，3为半径作圆弧.若图中阴影部分的面积分别为S 1、S 2，则S 1-S 2=______

10 (河南中考)如图，在菱形ABCD 中，AB=1，∠DAB=60°.把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB ′C ′D ′，其中点C 的运动路径为CC ′，则图中阴影部分的面积为______ 11 (襄阳中考)如图，在正方形ABCD 中，AD=2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处.再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG. (1)求证：EF ∥CG ；

(2)求点C ，点A 在旋转过程中形成的弧AC,弧AG 与线段CG 所围成的阴影部分的面积.

2

25

6

25

8

25