垂径定理 (2)
垂径定理(2)
4、在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中 点的距离是 10cm和40cm .
·O
半径、圆心到弦的垂线段
2、一个Rt△：
AC B
半径、圆心到弦的垂线段、半弦
3、两个定理： 垂径定理、勾股定理
E
┌ ┌
例1：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
O
求半径OC的长。
D
A
B
C
E
练习1:在圆O中，直径CE⊥AB于
D，OD=4 ㎝，弦AC= 10㎝ ，
求圆O的半径。
那么⊙O的半径为
5 Cm
9.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
B
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
M
A
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 , AC= 4 ,OA= 13
ON C
垂径定理的应用 小结
运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问
题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦a，弦 心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
·O
∴
CD⊥AB,A⌒C
=⌒BC,
A⌒ D
⌒
=BD.
AE
B
D
垂径定理的推广；
满足其中 任两条， 可以推出 其余三条
（1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分弦 （4）这条直线平分弦所对的优弧
（5）这条直线平分弦所对的劣弧
垂径定理(2)
的同旁， （1）AC、AD在AB的同旁，如右图所示 ） 、 在 的同旁 如右图所示: 作OE⊥AC,OF⊥AD ⊥ ⊥ C E A F ∵AB=16，AC=8，AD=8 3 ， ， ∴AE=CE=4,AF=FD=4 3 ,OA=8 1 O 在Rt△AOE中，AE= OA △ 中
，
的直径， 、 是 例3.AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两 是 的直径 的两 已知AB=16，AC=8，AD=8 3 ， 弦，已知 ， ， 求∠DAC的度数 的度数
A O
C
B
解： 设OA=R，在Rt△AOC中， ， △ 中 M AC=30，CD=18 ， R2=302+（R-18)2 （
D E C（m） （ ） O 解得 连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16 连接 ， ， △ 中 342=162+（34-x)2 （ 162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得x ， 解得 1=4，x2=64（不合题意舍去） （不合题意舍去） 不需采取紧急措施． ∴DE=4 ∴不需采取紧急措施．
如果一条直线来满足: 如果一条直线来满足 （1）过圆心 （2）垂直于弦 ） ） （3）平分弦（4）平分弦所对的优弧 ）平分弦（ ） （5）平分弦所对的劣弧 ） 上述五个条件中的任何两个条 件都可以推出其他三个结论
一、判断是非： 判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 ）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 r （2）平分弦的直线，必定过圆心。 ）平分弦的直线，必定过圆心。 r （3）一条直线平分弦（这条弦不是直 ）一条直线平分弦（ ），那么这 条直线垂直这条弦。 径），那么这 条直线垂直这条弦。 r A C O (1)B D A C •O (2)D B A C •O (3)D B
垂径定理(2)
AB=37.4, CD=7.2
7.2
A
18.7
D
B
R
R-7.2
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
解得 R≈27.9（m）. 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
O
垂径定理的推论:
合作探究
平分弦 （不是直径） 的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧． CD⊥AB吗？
例1：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥 37.4 主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）
C
解：如图，设半径为R，
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
1 1 AD AB 37 .4 18 .7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
课堂学习检测 一、基础知识填空 1．圆是______对称图形，它的对称轴是 ______________________；圆又是______对 称图形，它的对称中心是 ____________________． 2．垂直于弦的直径的性质定理是 ______________________________________ ______． 3．平分________的直径________于弦，并且 平分________________________________．
二、填空题 4．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为 4cm，则AB=______cm．
5．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E， DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．
垂直于弦的直径(2)
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且
垂径定理(2)
A
1.5
OB
2
4.已知，如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A （1,0），B（5,0），C（0,5）三点。
（1）求抛物线的函数关系式。
（2）若过点C的直
线y=kx+b与抛物线
y
相交于点E（4，m）， 请求出△BCE的面积 S的值。
C P1
P4
（3）在抛物线上找出
AB
x
所有使得△ABP为等
O
腰三角形的P点，一共 有几个P点。
P5P2PPP6E3
A
O
N
CD
M
B
2.在半径为1的⊙O中，弦AB,AC的长分别 为 3和 2 ，求∠BAC的度数。
A
C
O
C B
3.某条公路隧道的形状如 图，半圆拱的圆心离地 面2m，半径为1.5m，一 辆高3m，宽为2.3m的集 装箱卡车能顺利通过这 个隧道吗？如果要使高 度不超过4m，宽为2.3m 的大货车也能顺利通过 这个隧道，且不改变圆 心到地面的距离，半圆 拱的半径至少为多少米？
（3）圆中不与直径垂直的弦
（不是直径）必不被这条直径
平分.
（√ ）
（4）平分弦的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧（×）
（5）圆内两条非直径的弦不
能互相平分.
（√）
（6）平分弦的直径，平分这
条弦所对的弧。
（×）
（7）平分弦的直线，必定过
圆心。
（×）
（8）弦的垂直平分线一定是
圆的直径。
（ ×）
∴△AOB是等腰三角形
∵AE=BE,
∴CD⊥AB
A
（等腰三角形三线合一） ∴A⌒D=B⌒D，A⌒C=B⌒C
27.3 垂径定理(2)
27.3 垂径定理（2）[推论及应用]第一组 27-71、如图27-7-1，在圆O 中，AB 为圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠AOC=60º，则∠B=（ ） A 、30º B 、45º C 、60º D 、15º2、如图27-7-2，圆O 的半径OA=10，设AB=16，P 为AB 上一个动点，则点P 到圆心的最短距离为（ ）A 、5B 、6C 、7D 、83、边长为3的等边三角形的外接圆的半径是（ ）A 、√3B 、2√3C 、3√3D 、4√34、如图27-7-3，在圆O 中，弦AB ⊥弦CD ，AB 被CD 分成7 cm 和13 cm 两段，则CD 的弦心距为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、55、如图27-7-4，已知弦AB 、CD 相交于点E 。
（1）若CD 是直径，且CD ⊥AB ，写出图中的等量 ；（2）若CD 是直径，且E 是AB 的中点，AB 与CD 的位置关系 ； （3）弦CD 垂直平分AB ，且CD=10，则这个圆的半径 。
6、如图27-7-5，AD 是圆O 的直径，AB=AC ，∠BAC=120º，根据以上条件写出三个正确的结论（OA=OB=OC=OD 除外） ， ， 。
图 27- 7 - 3图 27- 7 - 2图 27- 7 - 1BCOAD图 27- 7 - 6图 27- 7 - 5图 27- 7 - 4OE FBDCAGOCABD7、如图27-7-6，AB 是圆O 的直径，弦CD 与AB 相交一点E ，∠BED=45º，OF ⊥CD 于点F ，若OF=1cm ，ED=1.5cm 。
则CD= 。
8、如图27-7-7，圆O 的弦AB 、AC 的夹角为50º，M 、N 分别是AB̂=AC ̂ 的中点，则 ∠MON= 。
9、如图27-7-8，在圆O 中，M 是AB̂ 的中点，N 是弦AB 的中点，AB=2√3，MN=1，则圆心O 到AB 的距离等于 。
9下-§3.3 垂径定理(2)
3. 垂径定理逆定理的三种语言：
文字语言
图形语言
几何语言
2
深度学习离不开归纳，没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的。
1.回顾（补充）学习： 轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合.
2. 垂径定理逆定理证明方法:构造等腰三角形,由平分弦得出垂 直于弦;由圆心角相等得出弧相等.
3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作 弦的垂线段(弦心距),再由半径、弦心距、半弦构造直角三角形， 利用勾股定理解答.
长，与条件有关的半径为 OP,OQ ,所以
若 MP NQ 14 ， AC BC 18 ，
连接 OP,OQ ,由垂径定理及有关知识说
则直径 AB 的长.
明 OPM,OQN 三点共线，再由条件中的
HK
两个与线段有关的等式求出 OP,OQ 长.
6
学习抓关键，思维抓核心，学必须学的。
答案：连接OP 交 AC 于 H ，连接OQ 交 BC 于 K
在正方形 ACDE 中， AC// DE，AC DE
,BC ，的中点分别是 M，N，P，Q .若
在正方形 BCFG中， BC// FG，BC FG OP DE,OP 平分 DE ，OQ FG,OQ平分 FG
MP NQ 14 AC BC 18，则直径 AB 的长.
M，N 是 DE ， FG 的中点， OPM,OQN 三点共线.
二 平分弦（非直径） 联 的直径垂直于弦.
重要方法：
三 渗垂透用径代定数理方逆法定理 解 （应列方用程，法构）造解直决角
三角形.进而用勾
几股何问解题决的问思题想..
四 悟
4
学习抓关键，思维抓核心，学必须学的。
3.3 垂径定理(2)
9下-§3.3垂径定理（2）（垂径定理逆定理及推论）课题组一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.）1.垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.2. 垂径定理逆定理解读：（1）条件：“弦”不可以是直径；因为任意两直径都被圆心平分,不一定有垂直关系.（2）结论：“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧.3. 垂径定理逆定理的三种语言：文字语言 图形语言 几何语言是直径（AB 过圆心）二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）1.回顾（补充）学习：轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合.2. 垂径定理逆定理证明方法:构造等腰三角形,由平分弦得出垂直于弦;由圆心角相等得出弧相等.3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作弦的垂线段(弦心距),再由半径、弦心距、半弦构造直角三角形，利用勾股定理解答.4.定理推论：以下五个条件：“过圆心、垂直于弦、平分弦、平分劣弧、平分优弧”知二推三.三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）;CD AB ⊥∴AB DM CM ,= ;AD AC =;BD BC =【典例】如图 ，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD ，点O 是弧CD 所在圆的圆心），其中m CD 600=，E 为弧CD 上一点，且OE 平分弦CD ，交CD 于F ，m EF 90=． 求这段弯路的半径．一读：关键词：点O 是圆心，OE 平分弦CD .二联：重要结论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦.重要方法：垂径定理逆定理应用，构造直角三角形.进而用勾股解决问题.三解：解：连接.OC设,R OE OC ==则有.)90(m R OF -=OE 是半径（点O 是圆心），OE 平分弦CDCD OE CD CF ⊥==∴，30021 在OCF RT ∆中，由勾股定理得222OF CF OC +=22290300）（-+=∴R R ∴解得：545=R所以这条弯路的半径为m 545四悟：渗透用代数方法（列方程法）解决几何问题的思想.四、金题核思点拨（学习抓重点，思维抓核心，学必须学的.）1. 下列命题中，假命题是（ ）（A ）平分弧的直径必平分这条弧所对的弦.（B ）圆的任意两条弦的垂直平分线的交点是该圆的圆心.（C ）平分弦的直径垂直于弦.（D ）垂直平分一条弦的直线平分弦所对的两条弧.核思点拨: 理解“①过圆心、②垂直于弦、③平分弦、④平分劣弧、⑤平分优弧”知二推三.并能灵活应用.答案：选（C ）选项（A ）是由①④(⑤)推③,正确; 选项（B ）是②③推①,正确; 选项（C ）被平分的弦没有说明不是直径,不正确; 选项（D ）②③推④⑤,正确2. 如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连结AC ，BC ，分别以AC ，BC 为边向外作正方形ACDE ，BCFG ，DE ，FG ， , ，的中点分别是Q P N M ，，，.若14=+NQ MP ，18=+BC AC ，则直径AB 的长.核思点拨: 垂径定理与逆定理及有关推论的综合运用,求直径AB 长，即求半径长，与条件有关的半径为OQ OP ,,所以连接OQ OP ,,由垂径定理及有关知识说明OQN OPM ,三点共线，再由条件中的两个与线段有关的等式求出OQ OP ,长.答案：连接OP 交AC 于H ，连接OQ 交BC 于KOP 为半径，点P 是 的中点. 点Q 是 的中点.OP AC OP ,⊥∴平分AC ，OQ BC OQ ,⊥∴平分BC在正方形ACDE 中，DE AC DE AC =，//在正方形BCFG 中，FG BC FG BC =，//OP DE OP ,⊥∴平分DE ，OQ FG OQ ,⊥∴平分FGN M ， 是DE ，FG 的中点，OQN OPM ,∴三点共线.18=+BC AC ，92121=+∴BC AC ，18=+NK MH 9=+∴OH OK27918=+=+++OK OH NK MH14=+NQ MP131427=-=+∴OQ OP∴直径13=+=OQ OP ABAC BC AC BC H K。
3.3 垂径定理 (2)
学习方法报数学周刊
知识回顾
➢圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
➢圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么?
你能找到多少个对称中心？
●O
你又是用什么方法解决这个
问题的?
知识回顾
➢圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）
课内练习
➢ 2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有：
. 图中相等的劣弧有:
.
B M
E D
A OF
C N
课内练习
➢ 3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
例题解析
课内练习
➢ 1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
对的另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
➢ 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
C
说你的想法和理由.
A
┗●
B 小明发现图中有:
垂径定理（2）
教学方法
(学习方法)
教学过程
合作交流、引导法
一、复习巩固：根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条
直线来说，如果具备：①Fra bibliotek经过圆心② 垂直于弦
③ 平分弦
④ 平分弦所对的优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
由五个条件中的任何两个条件能否推出其他三个结论
二、新知探究：1、推论二：圆的两条平行弦所夹的弧相等
如图，CD 为⊙O 的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结
教案
课题 授课人
教学目标 (学习目标)
教学重点 教学难点 教学用具
24.1.2 垂直于弦的直径(2)
课时及授 课时间
1 课时
年月
日
知识与技能 探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质； 能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。 过程与方法 在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆 的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程． 情感态度与价值观 培养学生独立探索，相互合作交流的精神。 探索并证明垂径定理。 利用垂径定理解决实际问题。 多媒体
论？
EA
2、试一试 三、判断：
C O F BD
⑴垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧.
（
）
⑵平分弦所对的一条弧的直 径一定平分 这条弦所对 的另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（
）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
3、练习：（1）．已知⊙O 的半径为 10，弦 AB∥CD，AB=12，CD=16，
则 AB 和 CD 的距离为
垂径定理(2).解析
1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
37.4m
7.2m
C
A
E
B
O
解：用 弧AB表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为O， AB
O
A
┌E
D
B
D
600
C
通过这节课的学习， 你有哪些收获？ 能与大家一起分享吗？
·Ｏ
E
Ｄ
（4）ＯＢ平分∠ＣＢＤ
Ｂ
（５） B⌒C=B⌒D 正确的有——————
3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点， 且OP=3cm, 则过P点的弦中， （1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm
C
5 3 OO
A
4 PP B
D
⊙O的两条平行弦的长分别是 ＡＢ＝８㎝ ，CD＝6㎝ ，半径为5㎝. 求弦AB与CD之间的距离。
注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.
小华画圆时忘了点圆心，现在找 不到圆心在哪？你能帮他找出圆 心吗
练习
如图，点A是⊙O上的点，OB是⊙O的半径，
与弦CD相交于CD的中点E，连结BC、BD、
AC、AD。
Ａ
下列结论：（1）OB⊥CD （2）BC=BD（3）AC=ADＣ
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足， OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点， C是弧AB的中点，CD 就是拱高．
3.3 垂径定理第2课时 垂径定理(2) 浙教版数学九年级上册课件
A M
③测量∠MED的度数.
O
C
∠MED=90°，即MN⊥CD. 如果弦CD是直径呢？
EN D
当弦CD是直径时，平分弦的直径不一定垂直于这条弦. M
M1
C
M2 D
O
N2
N1 N
垂径定理的推论1： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
C
·O
AE
B
D
试
一 你能对垂径定理的推论1进行证明吗？
r
·
探究学习
C
垂径定理：
AP
B
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分
·O
弦所对的弧.
D
反过来，平分弦的直径一定垂直于这条弦吗？平分弧的直 径一定垂直于弧所对的弦吗？
探 请在白纸上画一个以点O为圆心， OA为半(不是直径).
①找到弦CD的中点E； ②过点E作⊙O的直径MN；
2
A CB
O 1.5
2
课堂小结 垂径定理的两个推论： 推论1： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的弧. 推论2： 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
C
·O
AE
B
D
感谢观看！
·O
AE
B
D
试
一 你能对垂径定理的推论2进行证明吗？
试
D
·O
A
PB
C 所以点A与点B重合，即A，B关于直线CD对称，所以CD垂
直平分弦AB，这就证明了推论2.
思 比较垂径定理、推论1、推论2的条件和结论，你 考 发现了什么？ 垂径定理及其推论可以看成由五个事项构成：
①两条弦互相垂直；
②一条弦经过圆心；
③一条弦(不是直径)被平分； ④平分弦所对的一条弧；
垂径定理2
做一做P补 6
船能过拱桥吗
解：如图AB 7.2, CD 2.4, 1 1 1 HN MN 1.5.AD AB 7.2 3.6, 2 2 2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由 勾股定理，得
OA AD OD ,
2 2 2
即R 3.6 ( R 2.4) . 解得 R=3.9（m）.
2、弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，
13 则这弓形所在的圆的半径为 cm . 4
C A D O B
练习
3、⊙O中，弦AB长为8cm ，P是AB上一动点. 若半径是5cm，则OP长的范围是 。
变式：若BP=2 cm，则OP长为
。
O A D P B
练习
4、已知P为⊙ O内一点，且OP＝2cm，如果 ⊙ O的半径是3cm，那么过P点的最短的 弦等于 2 5 cm .
B O E C A P D
A C
●
P
O
D
5、⊙ O直径 CD⊥AB于P, AB =10cm，且 CP:DP=1：5，则⊙ O的半径是等于 . 变式： P为OC中点，则直径为------A C
●
P
B O
D
B
6、半径是5的⊙ P交y轴于M（0，-4），N（0，-10）， 则P坐标为 .
y
O
M x
P
N
7、（ 河南2013）、坐标系内A（10，0），B（8，0）， 点C、D在以OA为直径的半圆上，且四边形OCDB为平行四边 形，求点C坐标。
y
C
D
x
O
M
B
A
做一做P补 5
船能过拱桥吗
• 2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米 ,拱顶高出水面2.4米. 现有一艘宽3 米、船舱顶部 为长方形并高 出水面2米的 货船要经过这 里,此货船能顺 利通过这座拱 桥吗？
浙教版-数学-九年级上册-3.3 垂径定理(2) 教案
3.3 垂径定理（2）教学目标知识目标1．理解和掌握垂径定理的两个逆定理．2．会运用这两个逆定理解决有关弦、弧、弦心距及半径之间关系的证明和计算．能力目标：通过画图探索垂径定理的逆定理，培养学生探究能力和应用能力．情感目标：经历垂径定理逆定理的探索过程，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质．教学重点难点重点：垂径定理的逆定理的探索及其应用．难点：利用垂径定理的逆定理解决有关实际问题．课堂教与学互动设计创设情境，引入新课1．垂径定理是指什么？你能用数学语言加以表达吗？2．若把上述已知条件CD⊥AB，改成CD平分AB，你能得到什么结论？3．若把上述已知条件CD⊥AB，改成CD平分弧AB，你又能得到什么结论？合作交流，探究新知一、自主探索1．垂直于弦的直径平分这条弦的逆命题是什么？它是真命题吗？为什么？2．平分弦的直径一定垂直于弧所对的弦吗？画图试一试．二、叙一叙定理1：_______弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分_______．【答案】平分弦所对应的弧定理2：平分弦的直径________平分弦所对的________．【答案】垂直弦三、证一证已知：如图，⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点P，AP=BP.求证：CD⊥AB，弧AC=弧BC.证明：连结OA,OB,则AO=BO∴△AOB是等腰三角形∵AP=BP∴CD⊥AB∴弧AC=弧BC例题解析，当堂练习例1如图，⊙O的弦AB，AC的夹角为50°，M，N分别是AB和AC的中点，求∠MON 的度数．w&ww.z*zste%^~hslx3y3h∵OC⊥AB，∴AB=2AD=2×56=112mm．。
3.3 垂径定理(2) 课件
（7）平分弦的直线，必定过圆心。
（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。
A
C
C
C
OD
•O
(1) B
A
B
D
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。
（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。
（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
例1、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图) 的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求 桥拱的半径(精确到0.01m).
解：AB表示桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，
半径为R，C为AB的中点，连结OC，交AB
●O
D
规律 ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
④A⌒C=⌒BC,
⑤⌒AD=⌒BD.
（3） （1）
（2） （4） （5）
（2） （3）
（1） （1）
（4） （4）
（5）
（3） （2） （5）
（1） （5）
（3） （4） （2）
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并
且平分弦所对的两条弧
M
A
B
C
D
.
O
O.
A
A
E C
D
B
B
.O
课堂小结:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂
线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，
为应用垂径定理创造条件。
NO.3 垂径定理(2)
NO.3 垂径定理（2）（复习课）教学目标：进一步理解垂径定理及其推论，并能灵活应用垂径定理及推论解决相关的几何问题． 教学重点：垂径定理、推论及其运用教学难点：熟练添加辅助线，利用垂径定理及推论进行几何证明与计算，并掌握代数方程思想在垂径定理问题中的计算应用。
教学过程： 一、知识回顾：1、 请口述垂径定理及其推论的内容；2、 依照图形，完成垂径定理及其推论的表述；3、 如图，直径AB ，非直径的弦CD 。
（1）若AB ⊥CD ，则 ,,CE DE BCBD AC AD ===. （2）若CE ＝DE ，则 ,,AB CD ACAD BC BD ^==. （3）若弧BC ＝弧BD ，则 ,,CE DE AB CD ACAD =^=. 4、 请归纳我们所学的的圆中常用辅助线。
（①连接半径；②过圆心作弦的垂线）5、 请谈谈我们所学的与圆有关的计算技巧。
（代数方法：设出未知数，构建方程）二、例题剖析：1、已知⊙O 的半径为13xm ，弦AB ∥CD ，AB ＝10cm ，CD ＝24cm ,求AB 与CD 间的距离。
2、如图①，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过A 、B 分别作CD 的垂线，垂足为E 、F ，求证CE ＝DF ，如图②，若CD 与AB 相交，其它不变，CE 与DF 是否仍然相等？三、变式练习： 1、如图，有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图示，正常水位下水面宽AB =60m ，水面到拱顶距离CD ＝18m ，当洪水泛滥时，水面到拱顶只有2m 时就需采取紧急措施，问当洪水到来时，水面宽MN =32m 时是否需要采取紧急措施?请说明理由．2、如图①，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过C 、D 分别作AB 的垂线，垂足为E 、F ，求证CE ＝DF ，如图②，若CD 与AB 相交，其它不变，CE 与DF 是否仍然相等？ 3、如图，⊙O 的直径AB ＝16，P 为AB 的中点，CD 是过P 点的弦，且∠APC ＝30o ，求CD 的长。
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2、符号语言
因 为 AB CD于 E， AB为 O的 直 径
CE=DE, AC =AB ,
BC=BD.
3、图形语言
1、判断下列图是否是表示垂径定理的图形。
C
c
C
A
D
B
O
A
E
B
O
O
A
E
B
D
是
不是
是
2、请画图说明垂径定理的条件和结论。
C
O
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E
D
条件
结论
｝｛ CD为直径，
CD平分弦 AB
点C平分弧ACB
线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形
2、举例什么是中心对称图形。
把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后 的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图 形叫做中心对称图形。
平行四边形、正方形、矩形
3、圆是不是轴对称图形？ 圆是轴对称图形，经过圆心的 每一条直线都是它的对称轴。
A
O
C
E
B
如图，AB为⊙ O的直径， CD为⊙ O的弦，AB, CD相 交于点E，当弦CD在圆上运 动的过程中有没有特殊情况？
C
例3 已知：⊙O中弦 AB∥CD。求证：A⌒C＝B⌒D
A
证明：作直径MN⊥AB。
∵AB∥CD，∴MN⊥CD。 则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M ∴A⌒C＝B⌒D
M D B
.O
N
C
O
A
A
E
B
A
O
D
B
D
B
O
D
C
A
A
O
C
B
C
C
B
D
O
作业
课本第76页习题3 .3 1，2，3，4题
因为垂直于弦AB的直径CD所在的直
线既是等腰三角形OAB的对称轴又
是⊙ O的对称轴。所以，当把圆沿着
直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆
A
重 合合，，A⌒CA、点A和⌒DB分点别重和合B⌒，C、AE和BE重 B⌒D重合。因此
⌒ ⌒⌒ ⌒
AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
.O
E
B
D
垂径定理
1、文字语言 垂直于圆的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧。
∴AE＝4cm
在Rt △AOE中，根据勾股定理有OA＝5cm
∴⊙O的半径为5cm。
例2 已知：如图，在以O为
圆心的两个同心圆中，大圆
的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。
E O.
证明：作OE⊥AB，垂足为E， A C
┐ DB
则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
CD⊥AB
点D平分弧ADB
B
｝｛ （1）过圆心
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
（2）垂直于弦
（5）平分弦所对的劣弧
例1 如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8cm，圆心O到 A AB的距离为3cm，求⊙O的 半径。
E
B
.
O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3cm，AE＝BE。
∵AB＝8cm
D 直径AB和弦CD互相垂直
在⊙O中，AB为弦，
C
CD为直径，AB⊥CD
你在圆中还能找到那
些相等的量？并证明
O
你猜得的结论。
A
E
B
CE=DE，
D
AC =AD ,BC=BD
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是
弦AE，＝CBDE⊥，AAB⌒C，＝垂B⌒C足，为AE⌒D。＝求B⌒证D。：
C
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
北师大版数学九年级下册
垂径定理
1、了解圆是轴对称图形，能说出它的对 称轴，知道圆又是中心对称图形，它的 对称中心是圆心。
2、会用图形语言、文字语言、符号语言 表示垂径定理。
3、会用垂径定理解决简单的实际问题。
1、举例什么是轴对称图形。
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能 够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。